*

AQUÍ SE PRESENTA OTRO TIPO DE MODELACIONES O ESTRATEGIAS USADAS PARA RESOLVER PROBLEMAS SE USA PREFERENTEMENTE CUANDO LOS PROBLEMAS INVOLUCRAN MULTIPLICACIOES ITERADAS. COMO TODO MOELO MATEMÁTICO ES TAMBIÉN UNA HERRAMIENTA Y NO DEBE SER CONFUNDIDA COMO UN CONTENIDO GENERALMENTE LOS PROBLEMAS INVOLUCRADOS TIENEN QUE VER CON ARREGLOS , PERMUTACIONES Y COMBINATORIAS

DE AQUÌ DERIVA UN CONCEPTO FUNDAMENTAL EN LA TEORÍA CORDINTORIA “ EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO “ * ESTABLECEREMOS ALGUNOS CONCEPTOS A TRAVÉS DE UN PROBLEMA – LÚDICO PROBLEMA : EN UNA SALA RECTANGULAR HAY UN RATÓN EN CADA ESQUINA . ¿ CUÁNTOS OJOS VE CADA RATÓN?

EL RAZONAMIENTO PUEDE PENSARSE DEL SIGUIENTE MOD O:

1.- UN RATÓN NO PUEDE VER SUS PROPIOS OJOS . 2.- UN RATÓN PUEDE VER ,ESO SI, EL PAR ( 2 ) DE OJOS DE CADA UNO DE LOS TRES ( 3 ) RATONES RESTANTES . Montoya

EN CONSECUENCIA COMO UD. YA BIÉN HA SUPUESTO VERÁ : 3 * 2 = 6 OJOS HABRÁ NOTADO QUE ESTE NO ES UN PROBLEMA SENCILLO PARA UN ALUMNO DE PRIMARIA, PORQUE ADEMÁS DE MULTIPLICAR (CORRECTAMENTE ) REQUIERE AQUÍ DE UN RAZONAMIENTO MAS ELEVADO . DEBEMOS HABITUARNOS A GESTIONAR PROBLEMAS QUE REQUIERAN PRECISAMENTE DE ÉSTE TIPO DE ANÁLISIS Y NO QUEDARNOS EN EL SIMPLE CÁLCULO ATENDIENDO A MODELOS MECANIZANTES Y A ALGORITMOS PRESTABLECIDOS QUE DE ESOS ABUNDAN LOS TEXTOS OFICIALES

. AHORA LE INVITO A ESTUDIAR OTRO PROBLEMA TANTO O MÁS INTERESANTE QUE EL ANTERIORMENTE EXPUESTO :

PROBLEMA 2.- SE QUIERE CONFECCIONAR UNA BANDERA DE TRES FRANJAS IGUALES HORIZONTALES . PARA ELLO SE DISPONE CON TELA DE COLORES DIFERENTES : ROJO , AMARLLO , VERDE Y AZÚL . ¿CUÁNTAS DE ESTAS BANDERAS DISTINTAS SE PUEDEN HACER? UN PROCEDIMIENTO , ES DARSE A LA TAREA DE HACER TODAS LA BANDERAS, ESTA ESTRATEGIA , A PESAR DE LO ENTRETENIDA , QUE PUEDA SIGNIFICAR NO ES MUY RECOMENDABLE E INCONDUCENTE .

ALGUNAS PUEDEN SER :

PERO SI AHORA RAZONAMOS DEL MODOQUE SIGUE : MODELO GRÁFICO SE PUEDE REPRESENTAR COMO SE INDICA :

1.- PARA LA FRANJA 1 TENGO 5 COLORES DE TELAS DISTINTAS A ELEGIR (ROJO , AMARILLO , VERDE AZÚL Y NEGRO ) 2.- PARA LA SEGUNDA FRANJA ME QUEDAN 4 COLORES A ELEGIR ( RECUERDE QUE YA ELIGIÓ UNO PARA LA PRIMERA FRANJA ) 3.-PARA LA TERCERA FRANJA NOS QUEDAN NAA MÁS QUE TRES COLORES . ENTONCES TENDREMOS EN TOTAL 5 * 4 * 3 OPCIONES , O SEA 60 BANDERAS DISTINTAS . NO CREE UD. QUE SON DEMASIADAS PARA DIBUJARLAS TODAS VOLVAMOS A NUESTRA BANDERITA TRICOLOR ( POR EL MOMENTO ) .

¿CUÁNTAS BANDERAS DISTINTAS PODEMOS DISEÑAR CON CADA UNA DE LAS TELAS DE MODO QUE LAS TRES FRANJAS TENGAN EL MISMO COLOR .

EFECTIVAMENTE ¡ UNA ¡ . MUY BIEN PENSADO AQUÍ VA UNA :

¡ BONITA EH!

INSTITUCIONALIZACIÓN CONCEPTUAL : LLAMAREMOS ARREGLO MONARIO DE m ELEMENTOS AL TOMARLOS DE UNO A LA VEZ EL MODELO MATEMÁTICO SE ESCRIBE : A 1

m = m

EN ESTE CASO A 15 = 5 SI AHORA DISEÑAMOS UNA BANDERA CON LOS MISM OS COLORES , PERO CON DOS BANDAS O FRANJAS HORIZONTALES IGUALES PODEMOS HACER , DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO , RAZONADO ANTERIORMENTE 5 * 4 = 20 BANDRAS MONTOYA

CUYO MODELO MATEMÁTICO CORRESPONDE A :

A2m = m ( m – 1 ) , y para este caso particular :

A25 = 5 * ( 5 – 1 )

SI VOLVEMOS AL DISEÑO ORIGINAL , ES DECIR : A3

m = m ( m -1 )( m – 2 ) , y para este caso particular ; A3

5 = 5 ( 5 – 1 )( 5 – 2 ) ,Y ASÍ CONTINUAMOS

A45 = m(m – 1)(m – 2 )(m – 3 ) , continuando con este

criterio , HASTA GENERALIZAR PARA m ELEMENTOS ( EN ESTE CASO COLORES ) TOMADOS DE n FORMAS ( FRANJAS ) , OBTENEMOS :

Demostración de la igualad anterior : AHORA BIEN , APLICANDO UN POCO DE ALGEBRA , PODEMOS ESTABLECER QUE : A1

m = m A2

m = m( m – 1 ) = A1m * ( m – 1 ) A3

M =m( m – 1 )(m- 2) = A2m * ( m – 2) A4

m = = A3m * ( m – 3 )

A nm = A 1−n

m * ( m-n + 1 ) Ahora , si multiplicamos miembro a miembro estas igualdades se obtiene :

A 1M * A 2

M * A 3M …………= m * A1

M *(m – 1 ) * A2m * ( m – 2 )

………………. De donde :

QUE CORRESPONDE AL MODELO MATEMÁTICO DE LOS ARREGLOS O CORDINACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON “ m “ ELEMENTOS TOMADOS DE “ n” EN “n” . EJEMPLO : ¿CUÀNTOS NÙMEROS DISTINTOS DE TRES CIFRAS SE PUEDEN HACER CON LOS DÌGITOS : { }9,8,7,6,5,4,3,2,1 EN ESTE CASO TENEMO : A 3

9 = 9*8*7 = 504 , QUE EXPRESA EL NÚMERO TOTAL DE ARREGLOS QUE SE PUEDEN HACER , ESTO ES EL NÙMERO TOTAL DE NÙMEROS DE 3 CIFRAS QUE SE PUEDEN HACER CON LOS DÌGITOS 1 , 2 , 3 ………..9 AHORA BIEN , ES MÁS APROPIADO APLICAR EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO A ESTE TIPO DE ARREGLOS O COORDINACIONES. REPRESENTEMOS EL NÙMERO EN CUESTIÒN DE TRES CIFRAS POR CASILLEROS

ENTONCES EL TOTAL DE ARREGLOS SERA DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO : 9*8*7 = 504

AHORA SI EN EL MISMO PROBLEMA CONSIDERAMOS QUE LOS DÌGITOS SE PUEDEN REPETIR , EL RAZONAMIENTO SERÁ :

QUE CORRESPONDE A 93 = 729

LAS VARIACIONES QUE PODEMOS HACER RSPECTO A LAS INTERROGANTES DE ESTE PROBLEMA PUEDEN SER :

1.-¿CUÀNTOS NÙMEROS DE TRES DÍGITOS SE PUEDEN FORMAR CON LOS DÍGITOS SIN REPETIR 1,2,3,4,5,6,7,8,9 RP. 504 2.-¿CUÁNTOS MÀS SE PUEDEN FORMAR , SI LOS DÌGITOS SE PUEDEN REPETIR? RP : 729 – 504 = 225

AHORA LE INVITO A UN JUEGO UN TANTO CURIOSO ¡SEA USTED NATURAL!.

TOME CUALQUIERA DE LOS NÙMEROS DE TRES DÌGITOS ANTES MENCIONADO . EJEMPLO 537. PONGAMOS ALGUNAS CONDICIONES 1.-DETERMINE CUANTOS NATURALES SE PUEDEN OBTENER CON TRES DIGITOS DISTINTOS.(LLAMAREMOS A ELLOS LOS SEMEJANTES “) 2.-DEMUESTRE QUE AL DIVIDIR LA SUMA DE TODOS LOS SEMEJANTES POR LA SUMA DE LOS VALORES DE LAS TRES CIFRA, EL CUOCIENTE INVARIABLE ES 222 . ¡CURIOSA PROPIEDAD ADITIVA! 3.-DETERMINE UN CÀLCULO RÀPIDO DE SU SUMA , SIN BUSCAR LOS SEMEJANTES. 4.-CONSTATE QUE LA CURIOSA PROPIEDAD SE CONSERVA CUANDO LAS TRES CIFRAS , O DOS CUALQUIERA ENTRE ELLAS, SON IDÈNTICAS ; ALGUNOS SEMEJANTES SON TAMBIÈN IDENTICOS DESCARANDO SÒLO EL 000. 5.-DEMUESTRE EN VIRTUD DE LA EXTRAÑA PROPIEDAD , SON IGUALES LAS SUMAS QUE CORRESPONDEN A TODOS LOS CONJUNTOS CUYOS SEMEJANTES POSEEN LA MISMA SUMA DE VALORES DE SUS TRES CIFRAS .

6.-DESCUBRA DE LA MISMA MANERA , Y LUEGO EN FORMA DIRECTA , QUE AL DIVIDIR UN NATURAL DE TRES CIFRAS IGUALES ( SALVO EL 0) POR EL TRIPLE EL VALOR DE ESA CIFRA , EL COCIENTE ES SIEMPRE IGUAL A 37. SI A CAUSA DE LOS TIEMPOS DIFÌCELES QUE CORREN (¡EN LUGAR DE MARCHAR!) USTED DESEA UN APOYO EFICAZ , HE AQUÍ ALGUNAS INDICACIONS IMPORTANTES , DE VERIFICACIÒN Y DSPUÉS DE INVESTIGACIÒN , SOBRE CADA UNO DE LOS SEIS PUNTOS SUCESIVOS DE ESTA MEDULOSA GUIA. A.- UN ÀRBOL ES LO INDICADO PARA FORMAR EL CONJUNTO DE LOS SEMEJANTES , CUYO CARDINAL SEA 6 ( 3! ¡ATENCIÒN! ) B.-SE PUEDE EFECTUAR EL CÀLCULO DEL CUOCIENTE PRIMERO EN FORMA NUMÉRICA , POR EJEMPLO CON 2,5,7 O INCLUSO 0,3,4 Y DESPUÉS EN FORMA LITERAL , PERO CONVIENE REALIZAR LA DSCOMPOSICIÒN ORDINAL DA CADA SEMEJANTE ANTES DE ELABORAR UNA TABLA ALGORÍTMICA DE ADICIÓN C.- ESTE CÀLCULO RÀPIDO ES CONSECUENCIA DIRECTA DE LA FAMOSA PROPIEDAD ; CONSTÁTELO CON LOS NATURALES SEÑALADO ANTERIORMENTE . D.-LOS ENSAYOS CON 2,8,8 , LUEGO 5,5,5 E INCLUSO 0,0,3 SERÀN CONCLUYENTES , PERO NO CON EL 0,0,0. POR OTRA PARTE… E.-LAS SUMAS QUE CORRESPONDEN A ESTOS CONJUNTOS “ EQUIVALENTES CONSTITUYEN EL MISMO MÙLTIPLO 222 ; UN CONTROL CON 2 , 4 ,7 Y 4,4,5 ES ALECCIONADOR. F.- ESTA ÙLTIMA CONSECUENCIA SE VERIFICA CON 5,5,5 O 1,1,1 PERO NO CON 0,0,0 ; EL 222 ES ADEMÁS UN MÚLTIPLO DE 3! Y POR OTRA PARTE , aaa = 111ª AHORA COMPARE SUS RESPUESTAS.

SOLUCIONES DE ¡SEA UDTED NATURAL! 1.- SE PUEDE EXPRESAR LOS NATURALES DEL CONJUNTO POR MEDIO DE ÈSTE ÀRBOL , CORRESPONDIENTE AL CONJUNTO DE 3 ELEMENTOS { }cba ,,

El conjunto de los semejantes es pues { }cbacabbcabacacbabc ,,,,, y su cardinalidad o nùmero de elementos 3! = 6 2.- Ejemplo : Càlculo con 2,5,y 7 ,sea { }752,725,572,527,275,257 257 +275 + 527 + 572 + 725 + 752 = 3108

2 + 5 +5 = 14 Por consiguiente 3108 : 14 = 222 Cálculo con : 0,3 y 4 sea : 034 , 043 , 304 , 340 , 403 , 430 Cuya suma es : 34 + 43 +304 + 340 + 403 + 430 = 1554 Y cuya suma de los dígitos corresponde a 0 + 3 + 4 = 7 Por consiguiente : 1554 : 7 = 222 Ahora generalicemos el problema , o más bien la deducción :

La descomposición ordinal de los naturales literales del conjunto y su adición en una tabla algorítmica

AHORA DEFINAMOS LA SUMA DE LOS DÍGITOS COMO s = a + b + c ENTONCES PODEMOS ESCRIBIR :S = 222 s

O bién : s

S = 222

3.- LA IGUALDAD ANTERIOR , S = 222s , permite calcular rápidamente S con s , por medio de una simple multiplicación sin siquiera recurrir a los Naturales del conjunto , así con los Naturales 2 , 5 y 7 S = 222 * ( 2 + 5 + 7 ) = 222 * 14 = 3108 Y con : 0 , 3 y 4 : S = 222 * ( 0 + 3 + 4 ) = 222 * 7 = 1554 4.- prueba co 2 , 8 y 8 y también funciona 5.- PARA DOS CONJUNTOS DE SUMAS S y s ; S’ y s’ , tenemos que : S = 222 s y además S’ = 222 s’ , luego si : s = s’ , entonces S = S’ VERIFICACIÓN : CON 2, 4 y 5 : S = 222 * ( 2 + 4 + 5 ) = 222 * 11 = 2442 CON 3 , 7 y 1 : S’ = 222 * ( 3+ 7 + 1 ) = 222 * 11 = 2442.

6.- EN EFECTO: CON 5, 5 y 5 , los números serán 555 , 555 , 555 , 555 , 555 , 555 ( aquí no todos los cincos son iguales , aunque naturalmente se escriben iguales , para ello es más apropiado pensar en cincos de diferentes colores ) Entonces la suma corresponderá a : 555 * 6 = 3330 , o bien : 222 * ( 5 + 5 +5 ) = 222 * 15 = 3330 Ahora bien según la curiosa propiedad : S = 222 * ( a + a + a ) = 222 * 3 a = 666 a Ahora dando respuesta al problema : con 5 , 5 y 5 ; 555 : 15 = 37 Generalizando : si el número es aaa = 100 a + 10 a + a = 111 a : 3 a = 37 ESTE RESULTADO NO RIGE PARA EL NATURAL 000 , FRANCAMENTE ORDINAL . ESTE FASCINANTE JUEGO PROBLEMA DE LOS CURIOSOS SEMEJANTES APORTA SENCIALMENTE UNA DEMOSTRACIÓN LITERAL DE UNA PROPIEDAD POR DESCOMPOSICIÓN ORDINAL DE NATURALES Y MEDIANTE UNA TABLA ALGORÍTMICA . REQUIERE COMO ACCESORIOS EL CONOCIMIENTO DE FACTORIALES Y EL USO DE UN ÁRBOL DE PERMUTACIONES . FINALMENTE LA CALCULADORA PUEDE RESULTAR ÚTIL PARA LAS DEMOSTRACIONES NUMÉRICAS DE VERIFICACIÓN , PERO PARA LA GENERALIZACIÓN SERÍA NECESARIA UNA MICROCOMPUTADORA PROGRAMABLE . POR ÚLTIMO ESTE ES UN PROBLEMA EN QUE EL ALUMNO PUEDE USAR LA CALCULADORA CON UN PROPÓSITO CLARO , CUAL ES , HACER UNA DEDUCCIÓN Y GENERALIZAR LOS MUCHOS CONCEPTOS QUE APARECEN INVOLUCRADOS . ¿QUEDÓ CON GANAS?

AHORA ME ATREVO A PRESENTARLE UN NUEVO JUEGO - DESAFÍO ¡ UNA VEZ MÁS EL 1089!

1089 , es el número clave de un bonito truco de magia numérica , perfecto para asombrar a los amigos . Ud. Lo conocerá a continuación y espero que también lo comprenda . Elija un natural cualquiera de tres cifras , tal que la primera sea mayor que la última . Réstele el natural formado por las mismas cifras en orden inverso ( pero que no es su inverso ) Sume a esta diferencia su propio inverso y ….¡ sorpréndase con el resultado! El resultado del cálculo mencionado es independiente del cardinal elegido en primer término , de manera que usted puede adivinarlo y así montar este pequeño ruco , incluso con ayuda de una pequeña calculadora. Me parece que usted se muere de ganas de demostrar la propiedad operatoria que constituye la base de este truco de magia y que es propia de ciertos cardinales de tres cifras . Si esto es verdad , a continuación le doy un bosquejo de demostración posible , accesible y eficaz. Designe el cardinal elegido con “abc” , con afb , y con “d” la diferencia a-b , de una cifra . Demuestre por medio de las descomposiciones ordinales que la diferencia entre abc y cba es un múltiplo invariable de d. Calcule todos los valores posibles de la diferencia anterior . Finalmente a cada diferencia súmele su inverso , para caer siempre en el previsible 1089. No espere que me extienda más sobre este tema , otros interesantes aguardan su turno y me están esperando.

Recuerde que hemos establecido un modelo matemático para determinar el número de coordinaciones de m elementos tomados de n en n :

Esto es : Anm = m ( m – 1)( m – 2 ) ……….( m – n + 1 ). Aquí va un par de ejemplos : 1.-¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9? Aquí m = 9 , n= 4 , luego aplicamos la formula ; A 4

9 = 9 *8 *7 * 6 = 3024 2.- ¿Cuántas patentes distintas se pueden hacer ( solo las letras ) con las letras de alfabeto ,tomando de a dos cada vez . Aquí : m = 29 n = 2 Luego : A2

29 = 29 * 28 * …………………..*28 AHORA BIÉN , SI SE ESTABLECE LA CONDICION DE QUE CIERTO NÚMERO DE ELEMENTOS TIENEN QUE OCUPAR LUGARES FIJOS EN LOS GRUPOS QUE SE FORMEN , AL PLICAR LA FÓRMULA , m y n SE DISMINUYEN EN EL NÚMERO DE ELEMENTOS FIJOS . EJEMPLOS : CON 10 JUGADORES DE BÁSQUETBOL . ¿DE CUÁNTOS MODOS SE PUEDE DISPONER EL TEAM DE 5 JUGADORES SI LOS PIVOT DEBEN SER SIEMPRE LOS MISMOS? AQUÍ HAY DOS JUGADORES QUE OCUPAN LUGARES FIJOS : m = 10 y N = 5 , PERO TENEMOS QUE DISMINUIR m y n EN 2 , PORQUE HABIENDO 2 JUGADORES FIJOS EN DOS POSICIONES , QUEDAN 8 POSICIONES PARA OCUPAR LAS 3 POSICIONES QUE QUEDAN , LUEGO LOS ARREGLOS DE 3 QUE PODEMOS FORMAR CON LOS 8 JUGADORES SON : A3

8 = 8 * 7 *6 = 336 MODOS . AGREGEMOS A ESTO UNA NUEVA INTERROGANTE ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD MÍNIMA QUE TIENE UNO DE LOS JUGADORES QUE NO SON FIJOS DE INTEGRAR EL TEAM ELEGIDO POR EL DIRECTOR TÉCNICO?

RAZONEMOS DEL SIGUIENTE MODO : 1.- UN MISMO JUGADOR PUEDE INTEGRAR MÁS DE UN TEAM ELEGIDO. ( EN MÁS DE UNO DE LAS 336 COORDINACIONES DIFERENTES ) 2.-AL MENOS ESTARÁ INTEGRADO A UNO DE ELLOS ( AL MENOS EN UNO DE LOS 336 ) . POR TANTO , TENEMOS CASOS (MÍNIMO ) FAVORABLE = 1 CASOS POSIBLES = 336 P =

336

1 * 100 = 0,29 %

CON LOS DÍGITOS 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . ¿ CUÁNTOS NÚMEROS DE 5 CIFRAS SE PUEDEN FORMAR SI EL 9 DEBE SER SIEMPRE LA CIFRA CENTRAL? m= 9 → m’ = 8 n = 5 → n’ = 4 , luego entonces A48 = 8 * 7 *6 *5 = 1680 ESTE PROBLEMA TAMBIÉN SE PUEDE PLANTEAR DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO .

SI EL NUMERO , LO REPRESENTAMOS POR EL MODELO :

RECUERDE QUE EL 9 ES FIJO Y ES LA CIFRA CENTRAL. POR LO TANTO : PARA OCUPAR LA : 1° CASILLA HAY 8 OPCIONES ( DESCONTAMOS UNA , EL 9 ) 2° CASILLA HAY 7 4° CASILLA HAY 6 5° CASILLA HAY 5 VEAMOSLO ASÍ :

O BIÉN = 8-*7*6*5 = 1680 .

SUPONGA QUE AHORA SE HACEN FICHAS CON TODOOS (LOS 1680) LOS NÚMEROS DE CINCO CIFRAS ESTABLECIDOS EN EL PROBNLEMA , Y SE PONEN LAS FICHAS EN UNA BOLSA ¿CUÁL ES LA PROBANILIDAD DE “SACAR” DE LA BOLSA EL NÚMERO 15934?

P = 1680

1 *100 = 0,059 %

¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR EL NÚMERO 35927 o EL NÚMERO 34987

P 21O = P1 + P2 = 1680

1 + 1680

1 = 1680

2 * 100 = 0,12 %

EL PRODUCTO :1*2*3*4*5 , SE PUEDE ABREVIAR COMO : 5! ASÍ , TAMBIÉN , EL PRODUCTO : 1*2*3*4*5*6*7*8 = 8 !

CUANDO CON LOS n LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO SE PUEDEN HACER n ARREGLOS TOMADOS DE n FORMAS DISTINTAS , EL NÙMERO TOTAL DE ESTAS COORDINACIONES O ARREGLOS QUEDA EXPRESADO POR

PERMUTACIONES : DE n ELEMENTOS SON LAS DISTINTAS FORMAS EN QUE SE PUEDEN ORDENAR DICHOS ELELMENTOS.

EJEMPLOS :

1.- 5 ¡ = 120 2.- ¿ DE CUÀNTAS MANERAS SE UEDEN ORDENAR 5 PERSONAS EN UNA SOLA FILA?. P )5,5( = 5! = 120 EN LA PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EL ORDEN EN QUE SE TOMEN DICHAS COORDINACIONES IMPORTA , EJEMPLO. CONSIDEREMOS TODAS LAS PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON LAS FIGURAS :

ESTAS SON :

EL TOTAL DE PERMUTACIONES CORRESPONDE A P )3,3( = 3! = 6

AHORA BIÉN , EL PROBLEMA SE PUEDE RESOLVER ATENDIENDO A CRITERIOS DE ARREGLOS, EN EFECTO : SUPONGAMOS QUE LAS FIGURAS LAS DISPONEMOS EN EL INTERIOR DE CADA UNO DE LOS RECTANGULOS QUE SE INDICAN :

PARA EL PRIMER RECTÁNGULO SE TIENEN 3 OPCIONES ( SE PUEDE ELEGIR CUALQUIERA DE LAS TRES FIGURAS , PARA LLENAR EL SEGUNDO RECTANGULO QUEDAN DOS OPCIONES , Y, PARA LLENAR EL TERCER RECTÁNGULO QUEDA SOLAMENTE UNA FIGURA. ESTO ES :

EJEMPLO : ¿ CUÁNTOS NÙMEROS DISTINTOS DE 4 CIFRAS SE PUEDEN CONSTRUIR CON LOS DÌGITOS 2 , 3 , 4 , 6 TOMANDOLOS TODOS A LA VEZ? LA PREGUNTA QUE HAY QUE HACERSE ANTES DE PROCEDER ES : ¿ IMPORTA EL ÒRDEN EN QUE SE TOMEN LOS NÙMEROS? SI LA RESPUESTAS ES SI IMPORTA , ENTONCES SE TRATA DE UNA PERMUTACION DE LOS ELELMENTOS , COMO ES ESTE CASO.

LUEGO: P )4,4( = 4! = 4*3*2*1= 24 PERMUTACIONES DIFERENTES.

¿CUÀLES SON? .

CONSIDEREMOS LOS ELEMENTOS

Y DETERMINEMOS LAS PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON ÈLLOS AL ORDENARLOS , SE OBTIENE:.

COMO SE OBSERVA HAY EFECTIVAMENTE 24 PERMUTACIONES , SI SE CONSIDERA QUE LOS CUADRADOS SON DISTINTOS ENTRE SÍ. PARA EFECTO DE IDENTIFICAR UN CUADRADO DE OTRO , UNO DE ELOOS SE HA “MARCADO” CON UN CÌRCULO . AHORA CONSIDERANDO LO ANTERIOR :

POR LO TANTO SE REPITEN 2! PERMUTACIONES . ENTONCES EL TORAL DE PERMUTACIONES DISTINTAS EN ESTE CASO QUEDA EXPRESADO POR : P =

!2

!4 = 12 .

EN GENERAL : SI SE TIENEN “n” ELEMENTOS CO “r” , “ k” ….”z” . ELEMENTOS REPETIDOS , EL NÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN OBTENER DE LOS “ n” ELEMENTOS ESTÁ DADO POR EL MODELO MATEMÁTICO :

EJEMPLO : CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN HACER CON LAS LETRAS DE LA PALABRA” PARALELEPÍPEDO” SOLUCIÓN : HAY 14 LETRAS EN TOTAL

LA LETRA “P” SE REPITE 3 VECES EN LA PALABRA. LA LETRA “A” SE REPITE 2 VECES. LA LETRA “L” SE REPITE 2 VECES LA LETRA “E” SE REPITE 3 VECES. ENTONCES EL TOTAL DE PERMUTACIONES SERÁ : P =

!3!.2!.2!.3

!14 =

CONSIDEREMOS AHORA LA SIGUIENTE SITUACIÓN : SUPONGAMOS QUE QUEREMOS DETERMINAR EL TOTAL DE PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON LOS SÍMBOLOS :

SI PONEMOS LA CONDICIÓN QUE EL CUADRADO

OCUPE SIEMPRE UNA POSICIÓN FIJA , DIGAMOS EL SEGUNDO LUGAR DE IZQUIERDA A DERECHA , EL TOTAL DE PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER SERÁN :

SE OBSERVA ENTONCES QUE HAY 6 PERMUTACIONES DIFERENTES, LO QUE SE EXPRESA CON EL MODELO MATEMÁTICO: P = (4-1)! = 3! = 6 SI SE ESTABLECE LA CONDICIÓN DE QUE DETERMI NADOS ELEMENTOS HAN DE OCUPAR LUGARES FIJOS , EL NÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES ES EL QUE SE PUEDE FORMAR CO N LOS DEMÁS ELEMENTOS.

EJEMPLO :

¿DE CUANTAS MANERAS SE PUEDEN FORMAR 5 SOLDADOS , UN TENIENTE Y UN SARGENTO . SI EL

TENIENTE DEBE ENCABEZAR LA COLUMNA Y EL SOLDADO DEBE OCUPAR EL ÚLTIMO LUGAR? SOLUCIÓN ; EL TENIENTE Y EL SARGENTO SE DESCARTAN DE LA PERMUTACIÓN , PORQUE DE ACUERDO A LA CONDICIÓN DEL PROBLEMA OCUPAN LUGARES FIJOS , DE MODO QUE LOS SOLDADOS SOLAMENTE PERMUTAN ( SE MUEVEN) LUEGO : P = (7-2)! = 5! = 120 FORMAS DISTINTAS. HAGAMOS UNA VARIACIÓN AL MISMO PROBLEMA : ¿DE CUANTAS MANERAS PUEDEN FORMARSE 5 SOLDADOS , UN TENIENTE Y UN SARGENTO , SI ESTOS ÚLTIMOS DEBEN UBICARSE EN LOS EXTREMOS DE LA FILA? EN UN ESQUEMA :

DONDE OBSERVAMOS QUE AHORA LA FILA COMPLETA SE MUEVE O PERMUTA , LUEGO EL TOTAL DE ESTAS PERMUTACIONES ESTÁ DADO POR : P = 5!.2! = 240

SUPONGAMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN : ALREDEDOR DE UN MESA CIRCULAR SIN NINGÚN TIPO DE REFERNCIAS SE QUIEREN SENTAR CUATRO PERSONAS ., QUE LAS IDENTIFICAREMOS CON ALGUN SIMBOLO , DIGAMOS

Y LA MESA CON :

LAS PERMUTACIONES POSIBLES QUE SE PUEDEN HACER , TE LAS PRESENTO A CONTINUACIÓN :

DONDE OBSERVAMOS QUE HAY 6 PERMUTACIONES EN TOTAL DE LOS 4 ELMENTOS ESTE RESULTADO SE PUEDE EXPRESAR EN EL SIGUIENTE MODELO MATEMÁTICO : P(4) = (4-1)!= 3! = 6 EN GENERAL : CUANDO n ELEMENTOS SE DISPONEN ALREDEDOR DE UN CÍRCULO , EL NÚMERO DE PERMUTACIONES ES (n -1)! , SI SE CUENTA SIEMPRE EN EL MISMO SENTIDO A PARTIR DE UN MISMO ELEMETO ES DECIR ;

EJEMPLO : ¿DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN SENTAR 6 PERSONAS EN UNA MESA CIRCULAR SIS NINGUNA REFERENCIA? P(6) = 5! = 120 MANERAS ¿DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN DISPONER 3 LLAVES TODAS DISTINTAS EN UNA ARGOLLA SIN FIN?( ARGOLLA SIN FIN ES AQUELLA QUE NO TIENE MARCAS O REFERENCIAS).

P(3) = 2! = 2

CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN

CON LAS FIGURAS :

CONSTRUIREMOS TODOS LOS GRUPOS QUE CONTENGAN TRES FIGURAS DISTINTAS , DE MODO QUE EL ÓRDEN EN QUE APAREZCAN NO IMPORTE . ASÍ TENDREMOS : EJEMPLO : AQUÍ VEMOS QUE EL ÓRDEN EN QUE APARECEN LOS ELEMENTOS CARECE DE IMPORTANCIA , LO QUE IMPORTA ES QUE EL TRÍO ESTÉ FORMADO POR LOS MISMOS ELEMENTOS.

ESTABLECIDO ESTE CRITERIO , LOS TRÍOS QUE SE PUEDEN FORMAR SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN:

ESTOS SEIS TRÍOS DISTINTOS RECIBEN EL NOMBRE DE COMBINACIONES DEL GRUPO DE ESTOS CUATRO ELEMENTOS TOMADOS DE A TRES .

EN EL EJEMPLO ANTERIOR , ES CLARO QUE EL NÚMERO DE COMBINACIONES ES 6 ANÁLISIS : EL TOTAL DE ARREGLOS QUE SE PUEDEN HACER CON LOS 4 ELEMENTOS TOMADOS DE A 3 , VIENE DADO POR LA FÓRMULA Cm

n = m(m-1)(m-2)…….(m-n+1) EN ESTE CASO : C4

3 = 4 * 3*2 = 24

ADEMÁS CADA TRIO PERMUTA ENTRE SÍ DE P 3 = 3! = 3*2 = 6 MANERAS DIFERENTES . POR LO TANTO EL NÚMERO TOTAL DE LAS COMBINACIONES TERNARIAS QUE SE PUEDEN HACER CON LOS CUATRO ELEMENTOS SERA : C =

6

24= 4.

INSTITUCIONALIZACIÓN : SI DESIGNAMOS POR C m

n LAS COMBINACIONES DE m COSAS TOMADAS n A n , POR Pn LAS PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN FORMAR CON LOS n ELEMENTOS DE CADA GRUPO , Y POR A m

n , LAS COORDINACIONES O ARREGLOS QUE SE OBTIENEN AL PERMUTAR LOS n ELEMENTOS DE CADA GRUPO , TENDREMOS ;

LO QUE DICE QUE EL NÚMERO DE COMBINACIONES DE m ELEMENTOS TOMADOS DE n A n ES IGUAL AL NÚMERO DE COORDINACIONES DE LOS m ELEMENTOS TOMADOS n A n DIVIDIDO ENTRE EL NÚMERO DE PERMUTACIONES DE LOS n ELEMENTOS DE CADA GRUPO . EN LA PRÁCTICA SE SUELE HACER USO DE LA FÓRMULA SIMPLIFICADA DE LAS COMBINACIONES DE LOS m ELEMENTOS TOMADOS DE n MANERAS , QUE EXPRESA :

EJEMPLO : DE UN GRUPO DE 7 PERSONAS . ¿DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDE ELEGIR UN COMITÉ FORMADO POR 4 DE ELLAS? NATURALMENTE QUE AQUÍ NO IMPORTA EL ORDEN EN QUE SE ESCOGAN LOS CUATRO INTEGRANTES , TENEMOS ENTONCES : C74 =

!3!*4

!7 = 35 MODOS

2.- EN UNA PRUEBA DE MATEMÁTICA EL PROFESOR MONTOYA PONE 8 EJERCICIOS PARA QUE EL ALUMNO ESCOJA 6 A RESPONDER.¿CUÁNTAS ELECCIONES PUEDE HACER EL ALUMNO? C86 =

!2!*6

!8 = 2!*6

!6*7*8 = 56 ELECCIONES.