ÁRBOL T DE GRAFO

En teoría de grafos, un árbol es un grafo en el que cualesquiera dos vértices están conectados por exactamente un camino. Un bosque es una unión disjunta de árboles. Un árbol a veces recibe el nombre de árbol libre.

Un árbol es un grafo simple no dirigido G que satisface:

G es conexo y no tiene ciclos .

G no tiene ciclos y, si se añade alguna arista se forma un ciclo.

G es conexo y si se le quita alguna arista deja de ser conexo.

G es conexo y el grafo completo de 3 vértices no es un menor de G.

Dos vértices cualquiera de G están conectados por un único camino simple.

Las condiciones anteriores son todas equivalentes, es decir, si se cumple una las demás se cumplirán.

Si un árbol G tiene un número finito de vertices, n, entonces tiene n − 1 aristas.

Un grafo unidireccional simple G es un bosque si no tiene ciclos simples.

Un árbol dirigido es un grafo dirigido que sería un árbol si no se consideraran las direcciones de las aristas. Algunos autores restringen la frase al caso en el que todos las aristas se dirigen a un vértice particular, o todas sus direcciones parten de un vértice particular.

Un árbol recibe el nombre de árbol con raíz si un vértice ha sido designado raíz. En este caso las aristas tienen una orientación natural hacia o desde la raíz. Los árboles con raíz, a menudo con estructuras adicionales como orden de los vecinos de cada vértice, son una estructura clave en informática; véase árbol (programación).

Un árbol etiquetado es un árbol en el que cada vértice tiene una única etiqueta. Los vértices de un árbol etiquetado de n vértices reciben normalmente las etiquetas {1,2, ..., n}.

Un árbol regular u homogéneo es un árbol en el que cada vértice tiene el mismo grado.

COLORACIÓN DE GRAFO

En Teoría de grafos, la coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple, una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice coloración. Similarmente, una arista coloración asigna colores a cada arista tal que aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloración de caras de un grafo plano a la asignación de un color a cada cara o región tal que caras que compartan una frontera común tengan colores diferentes. El vértice coloración es el punto de inicio de la coloración, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versión con vértices. Por ejemplo, una arista coloración de un grafo es justamente una vértice coloración

del grafo línea respectivo, y una coloración de caras de un grafo plano es una vértice coloración del grafo dual.

La convención de usar colores se origina de la coloración de países de un mapa, donde cada cara es literalmente coloreada. Esto fue generalizado a la coloración de caras de grafos inmersos en el plano. En representaciones matemáticas y computacionales se utilizan típicamente enteros no negativos como colores. En general se puede usar un conjunto finito como conjunto de colores. La naturaleza del problema de coloración depende del número de colores pero no sobre cuáles son.

El problema de coloración de grafos, es considerado uno de los más interesantes en lo que respecta a la teoría de grafos. Este problema consiste en buscar la menor cantidad posible de colores para poder colorear un grafo, de tal forma que los nodos adyacentes nunca tengan el mismo color. Este problema también se puede plantear para aristas o para las caras del plano de un grafo, en donde la forma de desarrollo es la misma. Un claro ejemplo de esto se puede apreciar en la siguiente figura, en que cada color del plano representa un nodo del grafo.

El número de colores con que se colorea un grafo es denominado número cromático, que es el menor valor que puede tomar k, donde k es el número de colores con que se puede colorear el grafo.

En el problema de Coloración de Grafos, se puede encontrar un teorema denominado el teorema de los cuatro colores. Este teorema establece que dado un grafo cualquiera, este puede ser coloreado a lo más, con 4 colores, de manera que no queden nodos adyacentes con el mismo color. Un claro ejemplo de este teorema, es la figura que se muestra a continuación, en donde cada sector coloreado del plano representa una arista del grafo. Se puede ver que cada en ningún caso un sector está coloreado del mismo color que un sector adyacente y para lo cual se ocupan sólo 4 colores: amarillo, azul, verde y rojo.