SolucinVolumen:El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos. Los cuerpos geomtricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o ms superficies.En el clculo integral el volumen es el espacio ocupado por un slido al hacer girar una figura plana alrededor de un eje y su formula en trminos de integrales es

Donde representan reas.

Solido de revolucin:Los slidos de revolucin son slidos que se generan al girar una regin plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un slido que resulta al girar un tringulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectngulo alrededor de uno de sus lados

Mtodo de los casquetes cilndricos:Este mtodo sirve para encontrar el volumen de slidos de revolucin, muchas veces este mtodo es ms fcil de aplicar que el mtodo de discos o el de arandelas, debido a que en estos dos ltimos mtodos es difcil despejar las variables de la funcin y ponerlas en trminos de una variable en especfico dependiendo del eje de rotacin. Un cascarn cilndrico es un slido acotado por 2 cilindros circulares rectos como se ve en el bosquejo. El cilindro est definido por el radio interno, el radio externo y por la altura.

1. Solucin

A)

Igualamos las ecuaciones para encontrar los puntos de interseccin:

Para que se cumpla

Luego:Se observa que:

Usando el mtodo de la arandela:

Luego:

B)

Igualamos las ecuaciones para encontrar los puntos de interseccin:

Para que se cumpla

Se observa que:

Usando el mtodo de la arandela:

Luego:

C)

Se observa que:

Luego:

2. Solucin

A) Consideremos el triangulo rectngulo:

Utilizando la ecuacin punto pendiente

Primero hallamos la pendiente:

Luego al evaluar el punto

Luego:

B) Consideremos una circunferencia de radio con centro en el origen:

Luego:

C) Consideremos el triangulo:

Utilizando la ecuacin punto pendiente

Primero hallamos la pendiente:

Luego al evaluar el punto

Luego: