ÁREAS - GEOMETRÍA.

 

CONCEPTO DE ÁREASería muy conveniente que trataras de estudiar este tema de un modo un poco diferente del que generalmente se acostumbra.Procura no recitar una fórmula. Intenta desde el principio, comprender ,   saber lo estás diciendo.Esto necesita un trabajo suplementario, pequeño pero creo que muy importante. Por si te atreves a aceptar lo que se te propone, adelante.Hasta ahora has estudiado en lo que a geometría se refiere, los temas de puntos, líneas, ángulos, polígonos, etc., nos hemos dedicado a representarlos en el plano. En realidad, siempre hemos dibujado líneas, unas veces rectas otras curvas, pero siempre líneas.En muchos problemas y ejercicios nos hemos limitado a calcular longitudes.

A partir de ahora, al estudiar las áreas, además de la longitud  necesitamos conocer otra dimensión como es la anchura o la altura .Sobre todo, al comienzo, deberías estudiar este tema ayudándote de una regla graduada, un bolígrafo, unas tijeras y papel.

15(2).1   En una hoja de papel dibuja un pequeño cuadrado de 1 cm., de lado. Ahora, añádele otros 9, tal como tienes en la figura, recórtala y tienes en tu mano un trozo de papel que mide 10 cm. de largo por 1 cm., de ancho:

 

¿Cuántos cuadrados de 1 cm., de lado tienes?

Respuesta: 10 cuadrados de 1 cm. de lado.

15(2).2    Dibuja una línea de 10 cm., de largo y cinco cm., de ancho. Recórtala.  ¿Cuántos cuadrados de 1 cm., de lado tienes?

Respuesta: 50 cuadrados de 1 cm., de ladoSolución:

15(2).3   ¿Cuál sería el modo más sencillo de saber el número de cuadrados de 1 cm., de lado de la figura anterior?

Respuesta: Multiplicar el número de cuadrados que hay a lo largo por los que hay a lo ancho:

15(2).4    Se supone que has recortado la tira de papel que tiene 10 cm., de largo y 5 cm., de ancho.Si ahora quieres tener en tus manos una tira de papel de 8 cm., de largo por 10 cm., de ancho. ¿Es necesario que dibujes 80 cuadrados de 1 cm., de lado?

Respuesta: No, basta que dibuje una línea de 8 cm., de largo y otra de 10 cm., de ancho.

15(2).5   Tu última tira de papel de 8 cm., de largo por 10 cm., de ancho ¿coincide con la figura que tienes a continuación?

Respuesta:

CÁLCULO DEL ÁREA DE UN RECTÁNGULOCuando hagas un problema o un ejercicio, siempre que te sea posible, debes escribir la respuesta la parte numérica acompañada por el tipo de unidades, por ejemplo:  8 Km, 12 Ha, 4 m2., 12 cm., etc  En la última figura tienes un rectángulo de 8 cm., de largo y 10 de ancho ¿cuántos centímetros que sean cuadrados tienes?

Según lo que venimos estudiando, serían: 

Recuerda que para multiplicar potencias de la misma base se suman los

exponentes; cm tiene por exponente 1, luego:   lo mismo que:

15(2).6   En la figura siguiente ¿cuántos centímetros cuadrados tienes?

Respuesta: 

Comprobación:

El número de centímetros cuadrados, si los cuentas verás que hay 70.

15(2).7  Con una regla graduada, dibuja un rectángulo que tenga 90 milímetros de largo y 50 milímetros de ancho. Recorta y comprueba con la respuesta. ¿Cuántos milímetros cuadrados tiene el rectángulo que tienes en tus manos?

Respuesta:   y la figura es:

15(2).8   ¿Cuántos   tiene un  rectángulo  que tiene 4 dm., de ancho y 3 dm., de largo?

Respuesta: 

ÁREA Y SUPERFICIESon palabras que las usamos indistintamente, vienen a ser lo mismo. Hay quienes dicen que el área es la expresión numérica que se obtiene tras medir una superficie, otros dicen otras cosas parecidas, nosotros vamos a utilizarlas indistintamente.

Todos los trozos de papel que has recortado son superficies de tamaños diferentes.Ves que para obtener el área exacta de una superficie necesitamos conocer dos medidas: largo y ancho (o alto imagínate una pared que tiene 3 metros de largo y 5 metros de alto).

15(2).9    ¿Cuál es el área de una plaza rectangular de 90 metros de larga por 80 metros de ancha?

Respuesta: 

RECTÁNGULO ÁUREO

Se llama rectángulo áureo al que el cociente entre el valor del lado mayor entre el menor nos da el número de oro o cociente áureo.En este momento posiblemente digas, con toda razón: “no me he enterado de nada”.Después de hacer los doce pasos siguientes te habrás enterado de la mitad.Vas a hacer lo siguiente:1) Toma un papel, un bolígrafo, una regla y un compás.

2) Dibuja un cuadrado que tenga 2 cm. de lado:

3) Halla el punto medio de la base (en la figura, el punto rojo):

Cada mitad de la base vale 1 cm.

4) Toma la regla y une el punto medio anterior con el vértice superior derecho

5) Toma el compás y haciendo centro en el punto medio de la base (punto rojo figura del apartado 3) y con radio igual a la longitud de la recta que acabas de trazar dibuja una circunferencia:

6) Prolonga la línea de la base hasta cortarse con la circunferencia y borra parte de la circunferencia para que te quede:

7) Calculamos la longitud del radio de la circunferencia, es decir, de r:

El triángulo de color rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos valen 1 cm. y 2 cm. siendo r el valor de la hipotenusa.

Haciendo uso del teorema de Pitágoras escribimos:

8) La línea de color amarillo de la siguiente figura valdrá:

Por tratarse del radio (hipotenusa del dibujo anterior).

9) ¿Cuánto vale la línea  de figura siguiente?

La línea de color rojo mide 

10) Traza una perpendicular de 2 cm. a la línea   en el punto B:

La base completa en color rojo ahora mide 

11) Unimos el vértice superior derecho del cuadrado con la perpendicular al punto B, de la base y escribes las medidas del nuevo rectángulo:

12) Recuerda que llamamos razón al cociente indicado de dos números.

Si divides el valor del lado mayor   entre el valor del lado menor (2), es decir:

a este cociente indicado o razón llamamos razón áurea,  y el valor que se obtienes de este cociente llamamos número de oro o número áureo que se

representa por la letra griega   (se lee FI) y vale:

Dirás que hasta has entendido, pero todo esto ¿para qué? ¿para qué sirve saber esto?Los griegos, varios siglos antes de Cristo decían que este rectángulo era armonioso que tenía una extraordinaria belleza, de tal modo que utilizaban estas proporciones a sus más famosos monumentos (Partenón, si encuentras una fotografía toma las medidas de su anchura y altura y te encontrarás con el número de oro).También los egipcios hicieron uso de la razón áurea (pirámide de Keops).

Varios siglos después, uno de las mentes más grandes que han existido en la humanidad, Leonardo da Vinci que vivió entre los años 1452 y 1519 profundizó en los estudios y aplicaciones (cuerpo humano-perfección de su anatomía, Mona

Lisa, etc.) de   y fue él quien dio los nombres de razón áurea, número de oro, etc.

Ejercicio:Tu tarjeta del D.N.I ¿tiene forma de un rectángulo de oro o rectángulo áureo?.Comprueba.

Para los griegos el rectángulo áureo era un rectángulo además de bello por sus proporciones, era misterioso. Existen muchos trabajos, estudios sobre algunas figuras geométricas basadas en este rectángulo, que si te gusta investigar encontrarás cosas muy interesantes. Merece la pena.

Espiral áurea:Disponemos de un rectángulo áureo tal como lo tienes en la figura siguiente:

 

Determinamos el cuadrado mayor (amarillo) y trazamos un arco de circunferencia con centro en el vértice superior derecho e inicio en el ángulo superior izquierdo y final del arco en el vértice inferior derecho de dicho cuadrado.El resto de la figura, es decir, todo el dibujo que nos queda prescindiendo del cuadrado amarillo, es otro rectángulo áureo del que calculamos el cuadrado, en color verde y dibujamos un arco de circunferencia con centro en el ángulo superior izquierdo de dicho cuadrado verde, inicio en el vértice inferior izquierdo y final en el vértice superior derecho del citado cuadrado de color verde.

Si a la figura completa le quitas los cuadrados de color amarillo y verde te queda otro rectángulo áureo del que determinas su cuadrado y repites las acciones anteriores.Al final, obtenemos la espiral áurea la que dentro del arte, arquitectura, escultura, etc., tiene aplicaciones dada su armonía y belleza. También en la naturaleza encontramos espirales áureas en las conchas de algunos moluscos.Es interesante observar la belleza de líneas que esconde un rectángulo áureo.Veremos al tratar el icosaedro lo útil de los rectángulos áureos.

 CÁLCULO DEL ÁREA DEL CUADRADO

Nos basamos en lo estudiado en el caso del rectángulo. El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales, lo que quiere decir que la largura y la anchura son iguales:

Para calcular el área del cuadrado tengo multiplicar el largo por el ancho, pero como valen lo mismo, multiplico por sí misma una de las medidas:

 

Comprobación:Si cuentas los centímetros cuadrados verás que son 25:

15(2).10  ¿Cuál es el área de una pared cuyas medidas son 2 metros de longitud por 2 metros de altura?

Respuesta: 

 

CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO

Nos vamos a fijar en el rectángulo para saber como se calcula el área del triángulo.En la figura siguiente tenemos un rectángulo que tiene 10 cm. de largo por 8 de ancho.No pierdas de vista a la diagonal:

15(2).11   Dibuja en un papel un rectángulo con las medidas de la figura anterior y traza la diagonal. Recorta la figura y no la estropees que la vas a necesitar.

Observa la figura siguiente:

Hemos cogido las tijeras y hemos cortado por la diagonal y nos han quedado dos triángulos iguales.Haz tu lo mismo, corta por la diagonal y tendrás en tus manos dos triángulos que

tienen 10 cm., de largo por 8 centímetros de alto o de anchura máxima. Es mejor que hablemos de altura.Antes de cortar por la diagonal, ¿cuál era el área del rectángulo?

Exactamente: 

Como el rectángulo ha quedado dividido en dos partes iguales, cada una de ellas valdrá:

Cada una de las dos partes es un triángulo cuya superficie vale 

Para obtener esta cantidad, hemos multiplicado la base por la altura del rectángulo y luego hemos dividido por dos ya que los dos triángulos juntos valen el área del rectángulo.Fíjate bien en los dos recortes que has obtenido al cortar el rectángulo por la diagonal. Tienes dos superficies triangulares que al juntarlas por la diagonal forman el rectángulo.

15(2).12   En la figura anterior tienes un dibujo que representa la fachada de una casa a la que hay que pintarla. Su figura geométrica la componen un triángulo y un rectángulo cuyas medidas las tienes indicadas.

Calcula el precio que cuesta pintarla si tenemos que pagar 1,65 € el 

Respuesta: 986,70 €

CÁLCULO DEL ÁREA DEL ROMBO

Recordarás que el cuadrado y el rombo se parecen en que los dos son paralelogramos, es decir, sus lados son paralelos dos a dos, los lados miden lo mismo, pero así como en el cuadrado los 4 ángulos son iguales, en el rombo, son iguales dos a dos y las diagonales en el cuadrado son iguales, en el rombo son diferentes.Comprueba lo que acabas de leer en la siguiente figura:

Recuerda que las diagonales del rombo una es mayor que la otra:

Si te fijas bien, dentro del rombo se nos han formado dos triángulos iguales como lo tienes dibujados en la siguiente figura:

La base del triángulo amarillo mide el valor de la diagonal mayor y la altura o anchura máxima vale la mitad de la diagonal menor.

Vemos que el área del rombo se calcula multiplicando las dos diagonales y a ese resultado lo dividimos por 2.

También podemos deducir el área del rombo del modo siguiente:Si te fijas, en la siguientes figura, tenemos dos triángulos que forman el rombo. Los dos triángulos son iguales.La altura de cada uno equivale a la mitad de la diagonal mayor y la base, común para ambos triángulos, es igual a la diagonal menor.

15(2).13    Calcula el área que ocupa la parte pintada de rojo en la figura siguiente:

Respuesta: 

SoluciónVamos a resolverlo de dos maneras:

a) Calculamos el área del rectángulo: 

Calculamos el área del rombo: 

La diferencia entre las áreas del rectángulo y el rombo nos dará el área coloreada

de rojo:   

b)Si observas la siguiente figura verás que cada zona pintada de rojo es un triángulo cuyas medidas las tienes indicadas en la misma:

Tienes 4 triángulos de 4,25 cm., de base por 2 cm., de altura, es decir, cada uno tiene una superficie de:

Como son 4 triángulos, la superficie en rojo vale: 

15(2).14   El área de un rombo vale   y la diagonal mayor vale el doble de la diagonal menor. Calcula el valor de las dos diagonales.

Respuesta: 10 m. la mayor y 5 m. la menor. Solución:Si el valor de la diagonal menor es: dEl valor de la diagonal mayor será: 2dDedujimos que el área del rombo es igual a:

 

CÁLCULO DEL ÁREA DEL ROMBOIDE.

Recordarás que un romboide es un paralelogramo que tiene sus lados paralelos dos a dos, lo mismo que sus ángulos.Sus diagonales no son perpendiculares ni son iguales. En la figura siguiente tienes un romboide con sus medidas de líneas y ángulos para que compruebes lo que acabamos de decir:

Para deducir el área del romboide fíjate en la figura siguiente:Tienes un romboide de 6 cm. de largo de base y 2,5 cm., de alto o ancho.

Si ahora trazamos dos perpendiculares desde los extremos de la línea superior hasta la base:

Vemos que se nos forman dos triángulos rectángulos iguales que los pintamos de rojo:

Si eliminamos el primero de los triángulos y le añadimos el segundo al romboide, su área sigue siendo la misma:

Pero ahora, se ha transformado en un rectángulo cuya área será el largo por el ancho o alto.

Compruebo que el área de un romboide y  rectángulo son iguales. En este

caso: 

15(2).15   Toma papel, regla, lapicero y tijeras. Dibuja un romboide que tenga  10 cm., de largo y una anchura de 4 cm. 

Desde los extremos del lado superior traza las alturas (rectas perpendiculares a la base).Recorta los triángulos que se te han formado (de color verde en la figura siguiente) y comprueba que los dos triángulos son iguales y que lo que te queda después de recortar es un rectángulo que tiene 10 cm., de largo y 4 cm., de ancho.

 

Respuesta:

CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRAPECIO

El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. El trapecio no es un paralelogramo. El paralelogramo tiene sus lados paralelos dos a dos.

En la figura siguiente tienes tres clases de trapecios:1) Trapecios rectángulos.- Los que tienen dos ángulos rectos y dos lados paralelos.2) Trapecios isósceles.- Los que sus dos lados NO paralelos miden igual.

3) Trapecios escalenos.- Los que sus cuatro lados tienen medidas diferentes y dos lados son paralelos.

 

Para calcular el área de un trapecio te vas a fijar en la figura siguiente en os cuatro pasos que hacemos con un trapecio rectángulo:

En primer lugar dibujamos un trapecio rectángulo.

Hacemos una copia de él.

Giramos a la copia 180º.

Aproximamos la copia con el original

Los juntamos y nos queda un rectángulo cuya base es la suma de las dos bases.La altura o anchura sigue siendo la misma.

Si calculamos el área del rectángulo que se nos ha formado tenemos:

Pero es ésta la superficie del trapecio? NO,  Porque en este rectángulo tenemos dos trapecios iguales, luego, el área de uno de los trapecios sería:

15(2).16    Dibuja dos trapecios iguales que tengan 5 cm., de base menor, 10 cm., de base mayor y 6 cm.,  de altura.Ahora recorta los dos trapecios. Gira a uno 180º y júntalo al primero y a partir de aquí, calcula el área del rectángulo que se te ha formado y el del trapecio inicial.

Respuestas: 

15(2).17   Si en lugar de utilizar un trapecio rectángulo en todo cuanto hemos hecho anteriormente para calcular el área de un trapecio hubiésemos utilizado un trapecio escaleno ¿habríamos llegado al mismo resultado?

Respuesta: Sí

Solución gráfica:

Comentario:

Dibujamos (verde) un trapecio escaleno. Sacamos copia (rojo).Giramos la copia 180º. Juntamos original y copia.Nos queda un romboide cuya longitud de base equivale a la suma de las dos bases.Dado que el área del romboide equivale a la del rectángulo, el cálculo del área del trapecio siempre es: la mitad del área del rectángulo o la del romboide por la altura: suma de las dos bases por la altura dividido por dos (porque en estos casos, tanto el rectángulo como el romboide contienen dos trapecios iguales).

CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRAPEZOIDE

Recuerda que un trapezoide es un cuadrilátero,  en el que ninguno de sus lados es paralelo a otro, por lo tanto, no se trata de un paralelogramo.Como en todos los cuadriláteros, la suma de sus ángulos es de 360º.La longitud de sus lados es diferente por lo que sus ángulos también miden distinto lo mismo que sus diagonales:

El área del trapezoide lo estudiaremos en el tema correspondiente a Trigonometría.

 

CÁLCULO DEL ÁREA DE UN PENTÁGONO REGULAR

Primero, dibuja un pentágono regular.

Recuerda que un polígono regular es el tiene sus lados iguales (como consecuencia también sus ángulos.Une el centro del pentágono con cada vértice:

Observarás que nos han quedado tantos triángulos como lados tiene el polígono:

Trazamos la altura de uno de los triángulos que también es la apotema   del polígono:

Recorta el hexágono que has dibujado y tienes en tus manos una superficie hexagonal.

Para calcular el área de un polígono, en este caso, un pentágono , regular podemos calcular el área de dos formas:1ª Calculamos el área de un triángulo y a este valor le multiplicamos por 5 que son el número de triángulos.

2ª Podríamos considerar al pentágono como un triángulo que tiene como base la suma de las bases de cada triángulo del polígono y por altura el valor de la apotema:

Para comprobar vamos a calcular el área del pentágono regular aplicando las dos maneras que acabas de estudiar.

15(2).18   Calcular el área del pentágono:

Respuesta: 

1ª Solución:El área de uno de los triángulos es:

 

Como son  5  triángulos  el área será: 

2ª Solución:La base total sería:

15(2).19   Calcula el área del pentágono que tienes en la figura siguiente de las dos maneras explicadas. Comprueba si los dos resultados son exactamente iguales:

Respuesta: 

PERÍMETRO DEL PENTÁGONO REGULAR

Llamamos perímetro al contorno y como el contorno de un pentágono regular son 5 segmentos iguales, su perímetro será la suma del valor de sus lados.Por lo tanto, podemos decir que el área de un pentágono es igual al perímetro por la apotema dividido entre dos.

15(2).20   El perímetro de un pentágono mide 25 cm. y su área 50 cm2 ¿cuánto vale su apotema?

Respuesta: 4 cm.

CÁLCULO DEL ÁREA DE UN HEXÁGONO REGULAR

Primero, dibuja un  hexágono regular.

Comprobarás los 6 triángulos equiláteros por lo que  sus lados miden lo mismo e igualmente sus ángulos.

Para calcular el área podemos hacerlo del modo al estudiado en el caso del pentágono regular.

1º Calculamos el área de un triángulo multiplicando su altura o apotema del hexágono regular por su base o lado del hexágono, lo dividimos por 2 y el resultado lo multiplicamos por 6 que es el número de triángulos.

Resolvemos el área de los 6 triángulos de la siguiente figura:

2º Consideramos al hexágono como a un triángulo cuya base es el perímetro del mismo, es decir, la suma de las bases de los 6 triángulos y la altura es la misma que la apotema:

 

Ves que es lo mismo emplear un método u otro. Elige el que más te guste.

15(2).21    ¿Cuántos metros cuadrados tiene un parque  de forma hexagonal lleno de árboles cuyas medidas las tienes en la figura siguiente:

Respuesta: 

 

15(2).22  En un terreno pedregoso en la montaña se quieren plantar unas encinas. A cada planta hay que asignarle 6 metros cuadrados de terreno.¿Cuántas plantas necesitamos teniendo en cuenta la  forma y dimensiones del terreno que son las tienes en la figura siguiente?:

Respuesta: 43.292 encinas.

CÁLCULO DEL ÁREA DEL CÍRCULO.

Continuamos con el mismo modo de cálculo del área de figuras planas sin recurrir a fórmulas aprendidas de memoria.

Dibuja una circunferencia de 3,5 cm. de radio.

Recorta el papel por la línea dibujada, es decir, por la circunferencia y cuando hayas terminado tendrás en tu mano una superficie circular o la superficie o la parte del plano (papel) limitada por la circunferencia.

¿Podemos considerar a la circunferencia como a un polígono de muchos lados?Por supuesto que sí. Veamos como lo demostramos.

Dibujo una circunferencia de 3,54 cm., de radio.                                       

Dentro de la circunferencia dibujo 20 triángulos con las medidas que ves en el siguiente dibujo: 

La suma de las bases de los 20 triángulos apenas coinciden con la línea de la circunferencia.

Hemos tomado una parte de la figura anterior y la hemos ampliado al doble de su tamaño:

Ves en color azul la superficie de tres triángulos en tamaño doble del de la figura anterior a ella. En color rojo puedes comprobar la superficie que no tenemos en cuenta.Esto quiere decir que el área del círculo será mayor que el de la suma de todos los triángulos.El área del círculo será igual a la suma de las áreas de todos los triángulos más las superficies en color rojo.

Calculamos el área de los 20 triángulos:

Sería lo mismo que juntar todos los triángulos en uno sólo:

A estos 20 triángulos los puedo transformar en uno sólo siendo la base, la suma de todas las bases y la altura la que es común a todos ellos.

Su área es:

Si introdujésemos dentro del círculo triángulos cuyas bases fueran más pequeñas se aproximarían más a la línea de la circunferencia.Esto significaría que el área total de todos los triángulos se aproximaría más a la superficie del círculo.

En lugar de dibujar 20 triángulos de 1 cm., de base y 3,5 de altura vamos a comprobar con 44 triángulos de 0,5 cm., de base y la misma altura 3,5 cm:

  En la siguiente figura compruebas el resultado. Tenemos 44 triángulos de  3,5 cm., de altura con una base de 0,5 cm., dentro de una circunferencia:

Verás que al aprovechar mejor los espacios nos quedaban entre un triángulo y otro cuando dibujábamos 20, la superficie medida se ha incrementado desde

Ahora la línea formada por los 44 triángulos dan la longitud de la circunferencia de un modo más exacto de cuando lo hacíamos con 20 triángulos de 1 cm., de base.

¿Cómo calculamos con exactitud el área de un círculo?

En el caso de los 44 triángulos tendríamos que la base del triángulo que engloba

a todos ellos tendría :   y la altura sería la misma, 3,5 cm.

Transformo la figura anterior en un solo triángulo con su misma superficie:

El área de este triángulo vale:   

A pesar de haber incrementado el número de triángulos a 44, las bases no forman una línea curva perfecta, hay una pequeña diferencia que lo puedes comprobar en la siguiente figura donde una parte la hemos ampliado hasta 8 veces:

Notarás que no coinciden las líneas blancas con las rojas. Esto quiere decir que el área del círculo tiene que ser algo superior al área de los 44 triángulos.¿Cómo solucionamos el cálculo del área del círculo? De un modo muy sencillo.En el caso de los 44 triángulos hemos calculado que el perímetro, es decir, la suma de las longitudes de esos triángulos es de 22 cm.

En lugar de tomar como base del triángulo el perímetro de los 44 triángulos, tomamos como perímetro o longitud de la base, la longitud de la circunferencia

que sabemos que es de  . Pero ahora no tenemos que tener en cuenta la altura del triángulo sino el radio de la circunferencia que es el lado del triángulo y vale 3,51 cm.:

Porque la altura es la perpendicular a la base del triángulo y el lado del triángulo será algo mayor que su altura.A partir de aquí tenemos un triángulo que tiene por base, 3,51 cm., y por altura: 3,51 cm.

El área exacta del círculo de 3,51 cm., de altura y 22,05 cm., de base:

Notarás una pequeña diferencia entre calcular el área del círculo por medio de triángulos y calcularlo tomando como base del triángulo ÚNICO el de la longitud de la circunferencia y el radio o uno de los lados iguales del triángulo.

La diferencia es de: 

Cuando tengas que calcular la superficie de un círculo lo puedes hacer considerándolo como un triángulo en que la base es la longitud de su contorno o circunferencia y la altura el valor del radio:

15(2).23  Calcula el área de la figura en color gris. Las medidas las tienes acotadas en la misma figura:

Respuesta: 

Solución:Tenemos un semicírculo de radio 2,5 cm. (mitad del diámetro que es 5) y un rectángulo de 5 cm., de largo por 4,5 cm., de alto o ancho:

15(2).24   En la figura siguiente tienes un jardín que has de tener en cuenta las siguientes partes y medidas en metros:

 

1.- La parte exterior tiene forma de hexágono rellena de piedras planas.2.- Un paseo circular en color gris3.- Zona de césped de hierba (color verde)4.- 6 pequeñas superficies triangulares con rosas rojas y amarillas en el césped5.- Una fuente central en color gris.¿Cuál es la superficie de:                a) Suelo con piedras planas                b) El paseo circular (color gris)                c) El césped                d) Los rosales                e) La fuente central?

Respuestas:

Comprobación:

Si todo el jardín fuese un hexágono su área sería: 

Si a esta superficie le quitamos el círculo mayor que marca el paseo obtendríamos el área de la parte empedrada: Área del círculo mayor del paseo:

Si al área total le quitamos el área del círculo mayor del paseo nos queda la superficie del empedrado:

Hallamos el área del círculo menor del paseo:

La diferencia de los dos círculos que componen el paseo nos dará el área del mismo:

Si al área formada por el círculo menor del paseo le quitamos el área que ocupa la fuente obtenemos el área del césped incluidos los 6 rosales:                          

Área de los 6 rosales:

Área de la fuente central:

La suma de la parte empedrada más el área del paseo circular más la zona de césped que contiene a los 6 rosales más el área de la

fuente:  , como ves, coincide con el área considerando que todo el jardín fuese un hexágono.

CÁLCULO DEL ÁREA  DE LA CORONA CIRCULAR

Llamamos  corona circular a la parte del plano comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro:

 

La zona coloreada del plano es la corona circular.Para saber su superficie necesitas conocer las medidas del radio mayor y la del radio menor.

Primero calculas el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del círculo con el radio menor y hallas su diferencia. Esta diferenta representa la corona circular:  

Como observarás, hallas la diferencia de los cuadrados de los radios y multiplicas por 

15(2).25  Halla el área (datos en centímetros) de la región en color rojo de la siguiente figura:

Respuesta: 

 

CÁLCULO DEL ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

Primeramente tenemos que saber que es un sector, zona, porción, parte, etc.,  circular.Sencillamente es una parte, zona del círculo que está comprendida entre DOS RADIOS Y EL ARCO comprendido entre ambos.Lo verás que es un concepto muy sencillo al comprobar la figura:

El sector circular es la superficie del círculo comprendida entre dos radios y el arco.Para el cálculo de su área son suficientes dos datos, la medida del radio y el ángulo que forman los dos radios.Con una simple regla de tres obtienes el resultado:

15(2).26   Calcula la superficie del sector circular correspondiente a la figura anterior.

Respuesta: 

Solución

    

Si a 360º  corresponde una superficie de   a  117º

corresponderá una superficie de  .

    

15(2). 27   Calcula el área del sector circular cuyo ángulo central mide 60º y el radio del círculo 5 cm.

Respuesta: 

 

CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

Primero tenemos que saber qué es un trapecio circular, simplemente, un trapecio en el que sus bases son curvas. Observa la siguiente figura:

La zona en color azul es el área de un trapecio circular. Comprobarás que las bases son curvas.

Para calcular el área de la superficie de color azul hallamos primero el área del círculo de mayor radio que lo representamos por R, seguidamente el área del círculo de menor radio que lo representamos por r.Hallamos su diferencia y obtenemos el área de la corona circular:

 

La zona coloreada es el área de la corona circular que corresponde a un ángulo central de 360º.En el caso del cálculo del área del trapecio circular tendremos que saber el área de corona circular que corresponde a un determinado ángulo, tal como lo tienes en la siguiente figura:

15(2).28  Calcula el área de la zona coloreada de la última figura, teniendo en cuenta los datos de contiene (en centímetros).

Respuesta: 

La superficie calculada corresponde a 360º y lo que tenemos que hacer es calcular la superficie correspondiente a 94º.Para ello hacemos uso de la regla de tres:

A 360º corresponde una superficie de 

a   94º corresponderán……………….

15(2).29   Calcula el área del trapecio circular cuyas medidas son: R = 3 cm., r = 1,5 cm., y el ángulo central 104º.

Respuesta: 

CÁLCULO DEL ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR

Primero tenemos que saber qué es un segmento circular.Se trata de la superficie de un círculo que está limitada por una cuerda (segmento que uno dos puntos cualesquiera de una circunferencia)  y el arco que ésta comprende:

La cuerda es el segmento  y el arco es la longitud de la circunferencia comprendida entre los puntos A y B.La zona de círculo en color rojo es la superficie que denominamos área del segmento circular. ¿Cómo calculamos el área del segmento circular?Un procedimiento sencillo teniendo en cuenta lo que hemos estudiado hasta ahora es:   1) Dibujo la circunferencia, el arco, la cuerda y uno los extremos de ésta con el centro de la circunferencia:

 

2) Cálculo el área del sector circular   y después el área del triángulo (en color verde) .

3) Hallo la diferencia entre ambas áreas y su resultado será el área del segmento circularAB.

15(2). 30   Calcula el área del segmento circular de la figura que tienes a continuación. Las medidas representan centímetros:

Respuesta: 

Solución1) Área del sector circular:

                                                   

A 360 º corresponde un área de   a  101º

corresponderán……….      

2) Área del triángulo:

3) Área del segmento circular:

15(2). 31   Calcula el área del segmento circular de la figura que tienes a continuación cuyas medidas en centímetros son: 0,62 cm., de sagita (segmento que une punto medio del arco con el punto medio de la cuerda), 2,92 cm., de radio y 76º de ángulo del sector circular.

Respuesta: 

Solución1) Área del sector circular:                            

                 

 

A 360 º corresponde un área de                  

a   76º corresponderán……….      

2) Área del triángulo:

Debo conocer la  altura y para ello, calculo la diferencia del radio con la sagita: 

3) Área del segmento circular: 

15(2). 32   Calcula el área del segmento circular (en color rojo) de la figura que tienes a continuación cuyas medidas en centímetros son: 4 cm., de radio, 6,23 cm., la base del triángulo (en color azul) y 102º de ángulo del sector circular.

Respuesta: 

Solución

1) Área del sector circular:

                

A 360º corresponde un área de               

         

 a  102º corresponderán………. 

      

2) Área del triángulo:Para calcular la altura utilizo el teorema de Pitágoras. La altura es un cateto y la mitad de la base, (por ser un triángulo isósceles –dos lados iguales son radios) el otro cateto, y la hipotenusa que es igual al radio vale 3.Recuerda que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Conozco la base del triángulo y la altura. Su área será:

3) Área del segmento circular:

CÁLCULO DEL ÁREA DE LA LÚNULA

En primer lugar tenemos que saber que es la lúnula. En las uñas de los dedos de las manos, especialmente en los dedos pulgares puedes apreciar en la parte inferior un semicírculo blanquecino, a esa zona de la uña llamamos lúnula (palabra que procede del latín: lunula = pequeña luna). Puedes apreciar cuanto acabamos de decir en el dibujo siguiente:

Te preguntarás que tiene que ver esto con la geometría.

También en geometría se estudia la lúnula.

1º Dibujamos un cuadrante (se trata del primer cuadrante en color gris):

Unimos los puntos A y B:

Hallamos el punto medio del segmento  que mide 5,66 cm., y trazamos con esta medida un semicírculo que pase por los puntos A y B y la zona en color verde de la figura siguiente es la lúnula:

Para calcular el área de color verde (lúnula) tenemos que restar le área del segmento circular en color rojo.

Comenzamos el cálculo del área de lúnula:1º. Calculamos el área del semicírculo del que forma parte la lúnula  (la zona en color rojo y verde) que tiene 2,85 cm., de radio:

Dividimos por 2 por tratarse de un semicírculo.

2º Para calcular el área del segmento circular hallamos antes el área del sector circular correspondiente a un ángulo de 90º; en gris tienes el primer cuadrante, es decir, la cuarta parte de todo el círculo que tiene por radio un segmento de 4 cm., cuya área es:

Hemos dividido al área de todo el círculo de radio 4 cm., por 4 porque queremos saber el área de uno de los 4 cuadrantes.

3º) Ahora calculamos el área del triángulo cuya altura es de 2,85 cm., y su base 5,66:

La diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo será el área delsegmento circular:

4º) El área de la  lúnula la obtendremos al restar, el área del semicírculo menos el área delsegmento circular:

Otra forma de calcular el área de lúnula es:

Área del semicírculo: 

Le quitamos el área del sector circular:  

Hallamos el área del triángulo: 

A este resultado le sumamos la diferencia entre el área del semicírculo y del

sector circular: 

15(2).33  Dibuja las lúnulas correspondientes a los catetos de un triángulo rectángulo cuyas medidas en centímetros las tienes en la figura siguiente y demuestra que la suma de sus áreas corresponden  al área del triángulo.

Hallamos el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo, es decir, el circuncentro o el lugar donde se cortan las mediatrices (mediatriz es la recta perpendicular a un segmento y que pasa por su punto medio) y trazamos  la circunferencia:

Las mediatrices, en color negro, son perpendiculares a los lados del triángulo pasando por los puntos medios A, B y C de cada lado. Una vez trazada la circunferencia ves que el triángulo ha quedado inscrito.A partir de los puntos medios de los catetos trazamos 2 circunferencias color magenta con radio igual a la mitad del lado:

De este modo hemos conseguido las lúnulas correspondientes a los catetos A y B:

Vamos a eliminar curvas y segmentos que para nuestro cálculo no los necesitamos.

Al mismo tiempo, sirviéndonos del transportador de ángulos, una regla y un compás calculamos algunas medidas de las que vamos a necesitar:

Calculamos el área de la lúnula 1:

1º) Hallamos el área de la superficie del semicírculo en rojo de la siguiente figura

en la que el radio vale 

y el  área del semicírculo es: 

2º) Hallamos el área del sector circular en verde de la figura siguiente, sabiendo

que el radio vale 

Si a 360º corresponde un área de 

a 103º corresponderá un área de    

3º) Hallamos el área del triángulo en color gris que como vemos en la figura siguiente conocemos la base la altura:

4º) El área de la lúnula 1 será:

 Calculamos el área de la lúnula 2:1º) Hallamos el área de la superficie del semicírculo en rojo de la siguiente figura en la que el radio vale la mitad del lado: 3,44 cm.

y el  área del semicírculo es: 

2º) Hallamos el área del sector circular en verde de la figura siguiente, sabiendo

que el radio vale 

Si a 360º corresponde un área de 

a  77º corresponderá un área de    

3º) Hallamos el área del triángulo en color gris que como vemos en la figura siguiente conocemos la base la altura:

4º) El área de la lúnula 2 será:

La suma de las áreas de las dos lúnulas es: 

El área del triángulo rectángulo de la siguiente figura es:

que como vemos tiene 5,22 cm., de altura y 11 cm., de base, el  área es:

Puedes comprobar que la suma de las  áreas de las lúnulas correspondientes a los catetos del  triángulo rectángulo es igual al área del triángulo.

 Con las lúnulas podemos realizar algunas figuras geométricas interesantes:

Tienes cuatro lúnulas girando 90º alrededor de un punto.       En sentido horizontal:

Por fin, una muestra de:

Esta figura la hemos girado 6º alrededor del vértice A lo que quiere decir que, hemos utilizado 60 veces el mismo dibujo y hemos obtenido el resultado de la figura siguiente: