Aritmética 4to (13 - 17) Corregido

7252019 Aritmeacutetica 4to (13 - 17) Corregido

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41

Aritmeacutetica

13 Racionales I

1 FRACCIOacuteN DE UN NUacuteMERO

2 FRACCIOacuteN DE FRACCIOacuteN DE UN NUacuteMERO

OPERACIONES CON FRACCIONES

23

Ten en cuenta

En este tipo de ejercicios las palabras sucesivas laquoderaquolaquodelraquo laquode laraquo laquode losraquo significa el siacutembolo (x) demultiplicacioacuten

there4 es 10 veces

Calcula los de 60

x 60 = 4023

35

Calcula los de los de 14057

x x 140 = 6057

35

3 iquestQUEacute FRACCIOacuteN O PARTE ES UN NUacuteMERODE OTRO

= 10

5316

iquestQueacute parte es de 53

16

iquestQueacute parte es 5 de 20

520

14

= there4 es la cuarta parte

1510

= 32

(a) + + + + =

(b) + + + + =

(c) Progresioacuten geomeacutetrica ilimitada de razoacuten menor que 1

S = a + ar +ar2 +ar3 +

11 x 2 12 x 3 13 x 4 1n(n+1) nn+1

11 x 3

13 x 5

15 x 7

1(2n ndash 1) x (2n + 1)

n2n+1

a1 ndash r

S =

iquestQueacute parte de 10 es 15

there4 el triple de la mitad o 1 ymedia veces

4 SERIE DE FRACCIONES ESPECIALES

Te diste cuentaEl nuacutemero precedido de laquoesraquo va en el numeradory el otro precedido de laquoderaquo va en el denominadorEs de la forma

laquoesraquolaquoderaquo

5 F R A C C I O N E S E Q U I V A L E N T E S D E I G U A LCOCIENTE

Calcula una fraccioacuten equivalente a tal que elproducto de sus teacuterminos es 588

2015

dato (4k) (3k) = 588 12 k 2 = 588 k = 7

there4 la fraccioacuten equivalente seraacute 2821

=43

La fraccioacuten equivalente es 4k 3k

2015



42

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta

3Ordena de menor a mayor

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

Reduce

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

23

57

1617

222444

33336666

44448888

1111122222

+ + +

12

14

3 ndash 2

1 12

( )14 ( )1

9 ( )116

( )1900

1- 1- 1-

1-



43

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6Si a los 27 de una cantidad se le quita los 25 de

los 37 de la misma cantidad se obtiene los 29 de

los 45 de 909 Halla la cantidad original

Resolucioacuten

Halla la fraccioacuten equivalente a 610 tal que el

producto de teacuterminos resulte 375

Resolucioacuten

7 Tengo 2400 soles y gasto la tercera parte de los 35iquestCuaacutento me queda

8 Halla laquoSraquo si

S = 1+ x 1+ x 1+ x

x 1+

9 Sentildeala el valor de

P = ( 2 - 1)(2 + )

10 Halla laquoaraquo si se cumple

donde laquoaraquo es un nuacutemero racional

11 Jaime va de compras al mercado Primero gasta los58 de lo que teniacutea luego gasta los 35 de lo que lequedaba y por uacuteltimo gasta los 34 del nuevo restoiquestQueacute parte de lo que teniacutea le quedoacute

12 Un recipiente estaacute lleno de vino Se vierte primerola mitad del contenido luego se vuelve a vaciar los23 de lo que quedaba a continuacioacuten se derrama15 de lo que sobraba y finalmente se vierte los 38de lo que sobroacute antes quedando al final 30l iquestCuaacuteles el volumen inicial de vino

12

13

14

1

n

12 + 1

2 + 1

2 + 1

1a

1a2

1a3+ +P=

infinitos teacuterminos

1 1

1

5

+= 1+2 +

1 +



44

4to Secundaria

1 Ordena de menor a mayor

a = b = c =

a) a b c b) b a c c) b c ad) c b a e) c a b

2 Calcula

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

3 A queacute es igual

a) 12 b) 32 c) 23d) 14 e) 34

4 Simplifica

a) 130 b) 16 c) 730d) 25 e) 115

5 iquestCuaacutento le debemos quitar a los 23 de los 57 de los65 de los 34 de 21 para que sea igual a la mitadde 13 de 25 de 34 de 14

a) 2110 b) 79 c) 6310d) 907 e) 8310

6 Calcula el denominado r de una fraccioacutenequivalente a 1522 y que la suma de sus teacuterminossea 444

a) 180 b) 254 c) 264d) 190 e) 286

7 Calcular la mitad de los 35 del quiacutentuplo de los27 de 280

a) 100 b) 130 c) 110d) 140 e) 120

8 Halla laquoDraquo si

D= 1 ndash x 1 ndash x 1ndash x

x 1 ndash

a) b) c)

d) e) n2

9 Si la serie

tiene infinitos sumandos calcula laquoxraquo

a) 0 b) 3 c) 1e) 4 e) 2

10 Halla laquoSraquo

a) 2025 b) 52025 c) 57625d) 2525 e) 2325

11 De un recipiente lleno de agua se extrae los 25

luego los 34 del resto y por uacuteltimo la quinta partedel nuevo resto iquestQueacute parte queda

a) 521 b) 925 c) 125d) 325 e) 725

12 Una persona entra a un juego con cierta cantidadde dinero cada vez que jugoacute perdioacute la mitad de loque teniacutea Si esto sucedioacute 4 veces sucesivas iquestqueacuteparte le quedoacute al final

a) 116 b) 14 c) 18d) 516 e) 316

1317

58

2124

10101515

666555

7777755555

3399

+ + +25

+

14

12

4 divide 3

2 37

( )12 ( )1

3 ( )14( )1

30

1- 1- 1-

1-

12

13

14

1n

n - 12

1 +n2

n +13

1n

12

14

18

x = 1 + + + +1

16+

12

x = +56

+1112

++599600



45

Aritmeacutetica

14 Racionales II

La fraccioacuten generatriz se obtiene colocando en el numeradorla parte entera seguida de la parte decimal y en eldenominador la unidad seguida de tantos ceros como cifrasdecimales haya

T R A N S F O R M A C I Oacute N D E N Uacute M E R O SDECIMALES A FRACCIONES

1 DECIMAL EXACTO

02 = 013 = 0224 =

242 = 425 =

2

1024210

13

100

224

1000425100

2 DECIMAL PERIOacuteDICO PURO

La fraccioacuten generatriz se obtiene colocando en el numeradorla diferencia entre la parte entera seguida del periacuteodo menos elperiacuteodo y en el denominador tantos nueves como cifras tengael periacuteodo

254999

02 = 013 = 0254=

242 = 3145 =

2924-2

9

13993145-31

99

)

)

)

)

)

3 DECIMAL PERIOacuteDICO MIXTO

La fraccioacuten generatriz se obtiene colocando en elnumerador la diferencia de la parte no perioacutedica seguida delperiodo menos la parte no perioacutedica y en el denominador

tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantosceros como cifras decimales tenga la parte no perioacutedica

9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137

F A C T O R I Z A C I Oacute N D E N Uacute M E R O SFORMADOS POR 983211NUEVES983227

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

023 = =

0214 = =

245 =

23-290

) 2190

214-21900

193900

245-2490

)

)

0124 = =

02752 = =

8324 =

124-1990

123990

2752-279900

27259900

8324-83

990

)

)

)



46

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta

3Indica verdadero (v) o fa lso ( f ) seguacutencorresponda

03222

bull Es una fraccioacuten decimal exacta ( )

bull Es una fraccioacuten decimal perioacutedica

mixta ( )


pura ( )

Resolucioacuten

Indica verdadero (v) o fa lso ( f ) seguacuten

corresponda

bull 02 + 03 = 05 ( )

bull 04 ndash 03 = 02 ( )

bull 02 x 03 = 06 ( )

Resolucioacuten

Simplifica

11 + 12 + 13 ++ 17

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

) )

)

) )

)

) )

)

)

04 + 04004

)

) ) ) )



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir

se obtiene a0b Halla a + b

8 Calcula

9 Calcula

10 iquestEn queacute cifra termina el periacuteodo de

11 Si 0ab = calcula b - a

12 Si 0ab = calcula a + b

)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria

1 Indica verdadero (v) o falso (f) seguacuten corresponda

424 es una fraccioacuten perioacutedica pura ( ) 515 es una fraccioacuten perioacutedica mixta ( ) 428 es una fraccioacuten perioacutedica mixta ( )

a) VVV b) FVV c) VFVd) FFF e) VFF

2 Indica verdadero (v) o falso (f) segun corresponda

087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )

a) VVV b) FFV c) FFFd) VFF e) FVF

3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar

se obtiene 0ab Halla a + b

a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5

12 Si 0a = calcula a2

a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica

15 Razones y Proporciones

EjemploINTRODUCCIOacuteN En la vida cotidiana encontramos varias magnitudes anuestro alrededor por ejemplo La velocidad del bus dondenos desplazamos el tiempo que demora nuestro recreo latemperatura del medio ambiente el precio de una entradaal cine etc

Todas las magnitudes que podamos identificar sonsusceptibles de ser medidas y asociarse a un nuacutemero y unaunidad a la que llamamos cantidad

Veamos algunos ejemplos

MAGNITUD UNIDAD CANTIDAD

Longitud Metro 20 m Masa Kilogramo 8 kg Dinero Soles 40 soles Velocidad kmh 120 kmh

RAZOacuteN

Es la comparacioacuten de dos cantidades homogeacuteneas estacomparacioacuten puede hacerse empleando la sustraccioacuten ola divisioacuten

CLASES DE RAZOacuteN

a Razoacuten aritmeacutetica (RA)Es la comparacioacuten de dos cantidades mediante lasustraccioacuten Dicha comparacioacuten nos determina en cuaacutentoexcede una cantidad a la otra

A un evento deportivo asistieron 42 000 personas aoccidente y 24 000 a oriente iquestCuaacutel es su razoacuten aritmeacutetica

Resolucioacuten

Escribiendo dos datos mediante una sustraccioacuten

42 000 - 24 000= 18000

Valor dela razoacuten aritmeacutetica

Interpretacioacuten del resultado El nuacutemero de personas en occidente excede en 18 000

al nuacutemero de personas en oriente Hay 18 000 personas maacutes en occidente que en oriente En general una razoacuten aritmeacutetica se puede escribir

a-b=RA

Donde a Antecedente b Consecuente RA Valor de la razoacuten aritmeacutetica

b Razoacuten geomeacutetrica (RG)Es la comparacioacuten de dos cantidades mediante la divisioacuten

Dicha comparacioacuten nos determina cuaacutentas veces unacantidad contiene a la otra

Ejemplo

En una mesa de votacioacuten se contabilizoacute 200 hombres y 50mujeres iquestCuaacutel es su razoacuten geomeacutetrica

Resolucioacuten

Efectuando la divisioacuten en el orden que aparecen los datostenemos

= 4Valor de

la razoacuten geomeacutetrica

20050



50

4to Secundaria

InterpretacioacutenEl nuacutemero de hombres es 4 veces el nuacutemero de mujeresEl nuacutemero de mujeres es la cuarta parte del nuacutemero dehombres

En general una razoacuten geomeacutetrica se puede escribir

Dondea Antecedenteb ConsecuenteRG Valor de la RG

= RG

ab

PROPIEDADES

A En una serie de razones geomeacutetricas equivalentes se

cumple que

Es decir ldquoLa suma de antecedentes entre la suma deconsecuentes es igual a la constante de proporcionalidadrdquo

B En una serie de razones geomeacutetricas equivalentes secumple que

Es decir ldquoEl producto de antecedentes entre el productode consecuentes es igual a la constante de proporcionalidadelevada al nuacutemero de razonesrdquo

OBSERVACIOacuteNEn una serie de razones geomeacutetricas equivalentes como

A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr

Es la reunioacuten de dos razones aritmeacuteticas o dos razonesgeomeacutetricas que tienen el mismo valor

PROPORCIONES

CLASES DE PROPORCIOacuteN

A PROPORCIOacuteN ARITMEacuteTICA

(Equi - diferencia)Cuando se reuacutenen dos razones aritmeacuteticas de igual valor

Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45

En generala - b = c - d

Dondea y d son los teacuterminos extremos

b y c son los teacuterminos medios

PropiedadEn toda proporcioacuten aritmeacutetica se cumple que la suma de losteacuterminos extremos es igual a la suma de los teacuterminos medios

Es decirSi a - b = c - d rarr a + d = b + c

Clases de proporcioacuten aritmeacutetica

- Proporcioacuten aritmeacutetica discreta - Es aquellaproporcioacuten aritmeacutetica en la cual los teacuterminos medios sondiferentes

a - b = c - d b ne c

Donde d es la cuarta diferencial de a b y c

- Proporcioacuten aritmeacutetica continua- Es aquellaproporcioacuten aritmeacutetica en la cual los teacuterminos medios soniguales

a - b = b - c

Donde b es la media diferencial de a y c Se cumple

c es la tercera diferencial de a y b

b =a+c

2

B PROPORCIOacuteN GEOMEacuteTRICA

(Equi - cociente)Cuando se reuacutenen dos razones geomeacutetricas de igual

valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD

A y D son los teacuterminos extremosB y C son los teacuterminos medios



51

Aritmeacutetica

PropiedadEn toda proporcioacuten geomeacutetrica se cumple que el productode los teacuterminos extremos es igual al producto de los teacuterminosmedios

Si AB

= CD

rarr A D = B C

Clases de proporcioacuten geomeacutetrica

- Proporcioacuten geomeacutetrica discreta- Es aquella enla cual los teacuterminos medios son diferentes

B ne CA

B

=C

D Donde D es la cuarta proporcional de

A B y C

- Proporcioacuten geomeacutetrica continua- Es aquell aen la cual los teacuterminos medios son iguales

AB

=BC

Se cumple

B = A C

Donde B es la media proporcional de

A y C C es la tercera proporcional de

A y B

Propiedades de la proporcioacuten geomeacutetrica

1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc

a) Producto de 4 teacuterminos

a b b c = b4

b) Producto de 3 teacuterminos

a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k

a) a = bk c = dk e = fk

b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta

3La razoacuten geomeacutetrica de dos nuacutemeros vale 47 y surazoacuten aritmeacutetica es 45 Halla el menor nuacutemero

Resolucioacuten

La razoacuten geomeacutetrica de dos nuacutemeros es 35 si se

aumenta 46 unidades a uno de ellos y 78 al otro

se obtendriacutean cantidades iguales Da la suma de

cifras del nuacutemero menor

Resolucioacuten

En un saloacuten de clase antes del recreo el nuacutemero

de hombres es al nuacutemero de mujeres como 9

es a 5 Si despueacutes del recreo hay 8 hombres y 4

mujeres menos con lo cual la razoacuten de hombres

a mujeres es 74 halla cuaacutentas mujeres habiacutea

antes del recreo

Resolucioacuten

Patty nacioacute 8 antildeos antes que Luis y hace 6 antildeossus edades estaban en la misma relacioacuten que los

nuacutemeros 9 y 5 Si dentro de ldquonrdquo antildeos la razoacuten de

sus edades seraacute 54 halla ldquonrdquo

Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6En una asamblea estudiantil se presenta una

mocioacuten En la primera votacioacuten por cada 4

votos a favor habiacutean 5 en contra pedida la

reconsideracioacuten se notoacute que por cada 7 votosa favor habiacutean 4 en contra Si 247 estudiantes

cambiaron de opinioacuten y no hubo abstenciones

iquestcuaacutentos estudiantes asistieron a la asamblea

Resolucioacuten

Se sabe que

- a es la tercera diferencial de 28 y 20

- b es la cuarta proporcional de 16 a y 36

Halla la media proporcional de a y b

Resolucioacuten

7 Si

y ademaacutes pq = 1100 + mn p - m = 25

calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c

9 La suma de los 4 teacuterminos de una PG es 65 y cadauno de los 3 uacuteltimos es 23 del anterior iquestCuaacutel esel uacuteltimo teacutermino

10 En una proporcioacuten geomeacutetrica continua elproducto de sus 4 teacuterminos positivos es 3 12 yademaacutes uno de sus extremos es 9 veces el otro Dacomo respuesta la suma de sus teacuterminos

11 En una proporcioacuten geomeacutetrica la suma de losteacuterminos de la primera razoacuten es 45 y la suma de

los teacuterminos de la segunda razoacuten es 75 Halla elsegundo antecedente sabiendo que la suma de losconsecuentes es 48

12 En una fiesta se observa que por cada 3 hombreshay 4 mujeres y por cada 5 hombres que fumanhay 4 hombres que no fumanAdemaacutes en lasmujeres por cada 2 que fuman hay 5 mujeres queno fuman Si la cantidad de no fumadoras estaacutecomprendida entre58 y 64 iquestcuaacutentas personasasistieron a la fiesta

mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria

1 La suma de dos nuacutemeros es 320 y su razoacutengeomeacutetrica es 37 Halla el nuacutemero mayor

a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218

2 La razoacuten de las cantidades de dinero de Pedro y

Juan es 817 Si Juan le diera 63 soles a Pedro

ambos tendriacutean la misma cantidad de dinero

iquestCuaacutento tiene Juan

a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138

3 Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 antildeos

respectivamente iquestDentro de cuaacutentos antildeos sus

edades estaraacuten en la relacioacuten de 7 a 6

a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20

4 A un evento deportivo asistieron 4 hombres por

cada 5 mujeres y 3 mujeres por cada 7 nintildeos Si

en total asistieron 1860 halla la razoacuten aritmeacutetica

entre el nuacutemero de hombres y el nuacutemero de nintildeos

a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510

5 Las edades de 2 personas estaacuten en relacioacuten de 5

a 7 dentro de 10 antildeos la relacioacuten seraacute de 3 a 4

iquestCuaacutel era la relacioacuten de sus edades hace 10 antildeos

a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13

6 Halla la cuarta proporcional de 9 12 y 15

a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si

y ademaacutes ab - cd = 780 b - d = 4 calcula b + d

a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que

y a b c + b c d = 16200 halla la suma de los antecedentes

a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56

9 La suma de los 4 teacuterminos de una PG es 85 y cadauno de los 3 uacuteltimos es 14 del anterior iquestCuaacutel esel primer teacutermino

a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64

10 En una proporcioacuten geomeacutetrica continua elproducto de sus 4 teacuterminos positivos es 28 yademaacutes uno de sus extremos es 4 veces el otro Dacomo respuesta la suma de sus teacuterminos

a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18

11 En una proporcioacuten geomeacutetrica la suma de losteacuterminos de la primera razoacuten es 15 y la suma delos teacuterminos de la segunda razoacuten es 25 Halla el

primer antecedente sabiendo que la suma de losconsecuentes es 16

a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12

12 Las edades de Jessica y Karla estaacuten actualmenteen la relacioacuten de 5 a 4 Hace 16 antildeos estaban enla relacioacuten de 3 a 2 iquestCuaacutel es la razoacuten aritmeacuteticade las edades de ambas hace 6 antildeos

a) 10 antildeos b) 8 antildeos c) 12 antildeosd) 20 antildeos e) 15 antildeos

ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS

En la vida diaria encontramos actividades donde el nuacutemerode eventos realizados es un nuacutemero aleatorio(variable)

a) Promedio aritmeacutetico omedia aritmeacutetica (PA)

Si tenemos ldquonrdquo cantidades o datos cuyos valores son a1a2 a3 an entonces el promedio aritmeacutetico o mediaaritmeacutetica de estos seraacute

INTRODUCCIOacuteN

Por ejemplo El nuacutemero de cartas repartidas por un carteroel nuacutemero de boletos vendidos en una funcioacuten de cine elnuacutemero de personas que suben a un oacutemnibus en uno desus recorridos En estos ejemplos podemos darnos cuentaque el nuacutemero de eventos no es una cantidad constante y

puede variar de un diacutea a otro Tomando como ejemplo parael anaacutelisis el nuacutemero de cartas repartidas por un carteroen 5 diacuteas tenemos 48 63 56 71 y 67 Podemos buscarun nuacutemero que sea representativo de todos ellos al quellamaremos Promedio el cual lo calcularemos asiacute

Donde podriacuteamos decir que el cartero en promedio repartioacute61 cartas diarias

48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades

Nuacutemero de cantidadesPA=

Ejemplo

a Analizar un conjunto de datos y determinar la cantidad maacutes adecuada que los pueda representar

a

Reconocer los diferentes tipos de promedio y aplicarlos a situaciones de la vida diaria

Se denomina promedio o cantidad media a una cantidadrepresentativa de otras varias cantidades Se cumpliraacute queeste promedio es mayor o igual que la cantidad menor y esmenor o igual que la cantidad mayor

PROMEDIO

Sean las cantidades

a1 le a2 le a3 le le an

Entonces a1 le Promedio le an

Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=

Un alumno ha rendido cinco praacutecticas de aritmeacutetica yobtuvo las siguientes notas 12 14 10 11 y 13Calcula el promedio aritmeacutetico de sus notas

PA= =1212+14+10+11+135

Promedio Ponderado (PP)

Es un caso especial del promedio aritmeacutetico en el cualse tienen varios grupos conocieacutendose de cada grupo elnuacutemero de elementos o datos que lo conforman (ni) y surespectivo promedio aritmeacutetico (Pi) Es decir

Cantidades n1 n2 n3 nkPromedios

aritmeacuteticos P1 P2 P3 Pk

=Promedioponderado

n1P1+n2P2+n3P3++nK PK

n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo

El siguiente cuadro muestra el nuacutemero de alumnos delas secciones del cuarto antildeo del colegio TRILCE y susrespectivas notas promedio en el curso de Aritmeacutetica Halla

el promedio aritmeacutetico de todas las secciones

SECCIOacuteN NdegALUMNOS PROMEDIO

A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten

Reconociendo los datos

n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16

PP=n1P1+n2P2+n3P3+n4P4

n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30

Promedio ponderado = = 1382070150

b) Promedio geomeacutetrico o media geomeacutetrica(PG)

Si tenemos ldquonrdquo cantidades cuyos valores son a1 a2 a3 anEntonces el promedio geomeacutetrico o media geomeacutetrica seraacute

Es decir

PG= Producto de cantidades

Nuacutemero deCantidades

PG=n

a1 x a2 x a3 x x an

c) Promedio armoacutenico o media armoacutenica (PH)

Es la inversa del promedio aritmeacutetico de las inversas de losnuacutemeros Si tenemos ldquonrdquo cantidades o datos cuyos valoresson a1 a2 a3 an entonces el promedio armoacutenico o mediaarmoacutenica seraacute

Nuacutemero de cantidadesSuma de inversas de las cantidades

PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES

bull Si tenemos un conjunto de datos diferentes se cumpliraacute

PH lt PG lt PA

bull Solo para dos nuacutemeros se cumpliraacute

MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo

La media geomeacutetrica de dos nuacutemeros es 36 y su mediaarmoacutenica es 27 Halla la media aritmeacutetica

Reemplazando en la propiedad

MG2=MAMH(36)2=MA(27)

MA=48

Resolucioacuten

Vivioacute en el siglo II dCEs uno de los astroacutenomos y geoacutegrafos griegos maacutesinfluyentes de su eacutepoca Ptolomeo planteoacute la Teoriacuteageoceacutentrica en una manera que prevalecioacute durante1400 antildeos Sin embargo de todos los matemaacuteticosde la Grecia Antigua es justo decir que su obra hagenerado maacutes discusiones y argumentos que la deninguacuten otroHizo observaciones astronoacutemicas desde Alejandriacuteaen Egipto entre los antildeos 127 y 141 d C De

hecho la primera observacioacuten que podemos fecharexactamente fue realizada por Ptolomeo el 26 demarzo de 127 mientras que la uacuteltima la hizo el 2 defebrero de 141La obra maacutes importante de Claudio Ptolomeo es elAlmagesto un tratado que comprende trece librosPero ese no era su nombre original El nombre griegooriginal se traduce como La recopilacioacuten matemaacuteticael cual fue reemplazado por otro tiacutetulo griego quesignifica La maacutes grande recopilacioacuten Eacuteste se tradujoal aacuterabe como al-majisti y de aquiacute se tradujo al latiacutencomo Almagesto Da en detalle la teoriacutea matemaacuteticade los movimientos del Sol la Luna y los planetas

Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta

3En Cibertec el promedio de las cuatro praacutecticasde un curso para aprobar debe ser exactamente

14 Si un alumno ha obtenido 16 10 y 11 en las

tres primerasiquestcuaacutento debe obtener en la cuarta

praacutectica para lograr el promedio exigido

Resolucioacuten

El promedio aritmeacutetico de las edades de 6

alumnos es 17 antildeos y de otros 4 alumnos es 15

antildeos iquestCuaacutel es el promedio aritmeacutetico de todo

el grupo

Resolucioacuten

La media aritmeacutetica de dos nuacutemeros es 25 y su

media geomeacutetrica es 24 Halla la diferencia de

los nuacutemeros

Resolucioacuten

El promedio aritmeacutetico de 50 nuacutemeros es 312Si se eliminan 12 nuacutemeros el nuevo promedio es

32 Halla el promedio aritmeacutetico de los nuacutemeros

eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta

6Si para dos nuacutemeros se cumple que su mayor

promedio es 1312 y su menor promedio 1313

Halle la diferencia de los nuacutemeros

Resolucioacuten


profesores es 27 antildeos Si ninguno de ellos tiene

menos de 24 antildeos iquestcuaacutel es la maacutexima edad que

podriacutea tener uno de ellos

Resolucioacuten

7 El promedio de notas del examen mensual rendidopor 40 alumnos es 1165 Los 8 mejores alumnosobtuvieron un promedio de 17 y los 10 uacuteltimos unpromedio de 75 iquestCuaacutel es el promedio obtenidopor el grupo restante

8 El promedio aritmeacutetico de 50 nuacutemeros es 16

Si a cada uno de los 20 primeros se le aumenta7 unidades y a cada uno de los 30 restantes sele disminuye 3 unidades iquestcuaacutel seraacute el nuevopromedio

9 La media geomeacutetrica de tres nuacutemeros es 32 y lamedia geomeacutetrica de otros dos nuacutemeros es 243Halla la media geomeacutetrica de los cinco nuacutemeros

10 El promedio geomeacutetrico de tres nuacutemeros paresdistintos es 14 Halla su promedio aritmeacutetico

11 La media geomeacutetrica de 2 4 8 16 32 2n es 512 Halla el valor de n

12 Sean abc enteros positivos Si las mediasgeomeacutetricas de a y b a y c y b y c sondirectamente proporcionales a los nuacutemeros 34 y 5 respectivamente encuentra el valor de laconstante de proporcionalidad que hace que losnuacutemeros ab y c sean los menores posibles



59

Aritmeacutetica

1 El promedio de 20 32 n y 48 es 29 Halla ldquonrdquo

a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19

2 El aula de 4deg ldquoArdquo que tiene 35 alumnos tiene

como nota promedio en el examen mensual de

Aritmeacutetica 16 y los del 4deg ldquoBrdquo que son 45 tienen

como nota promedio 12 iquestCuaacutel es el promedio de

las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475

3 La edad promedio de 25 personas es 22 antildeos Si

se retiran dos personas cuyas edades son 31 y 36

antildeos iquest cuaacutel es el promedio de las restantes

a) 21 antildeos b) 202 antildeos c) 215 antildeos

d) 198 antildeos e) 204 antildeos

4 La media aritmeacutetica de dos nuacutemeros es 20 y su

media geomeacutetrica es 18 Halla su media armoacutenica

a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152

5 El mayor y menor de los promedios de dos nuacutemeros

son nuacutemeros enteros cuya diferencia es 4 Si uno

de los nuacutemeros es 8 halla el otro nuacutemero

a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32

6 El promedio aritmeacutetico de las edades de 6 hombres

es 31 antildeos Si ninguno de ellos es menor de 27

antildeos iquestcuaacutel es la maacutexima edad que podriacutea tener

uno de ellos



7 El promedio de ldquonrdquo nuacutemeros es 38 Si se agrega unnuacutemero ldquoxrdquo el promedio sigue siendo 38 iquestCuaacutel esel valor de ldquoxrdquo

a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2

8 Si a cada nuacutemero de un conjunto de 10 nuacutemeros

se disminuye en 20 entonces la media aritmeacutetica

de los 10 nuacutemeros originales

a) Es la mismab) Aumenta en 200c) Disminuye en 20d) Aumenta en 10e) Disminuye en 200

9 El promedio geomeacutetrico de dos nuacutemeros es 15 yel de otros dos nuacutemeros es 60 Halla el promediogeomeacutetrico de los cuatro nuacutemeros

a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35

10 El promedio geomeacutetrico de tres nuacutemeros diferenteses 7 Halla el promedio aritmeacutetico de los nuacutemeros

a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14

11 El promedio geomeacutetrico de 4 nuacutemeros enteros y

diferentes es 3 3 Halla el promedio aritmeacuteticode dichos nuacutemeros

a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36

12 Sean x y y x + y nuacutemeros enteros conpromedio igual a y Halla el valor de x enfuncion de y

a) x = y b) x = y + 2 c) x = 2yd) x = y 2 e) x = y - 2



60

4to Secundaria

17 Magnitudes Proporcionales

OBJETIVOS

Todos alguna vez empleamos un razonamiento inductivoque viene asociado a experiencias vividas por ejemplodecimos Mientras maacutes alto es un aacuterbol su sombra seraacutetambieacuten mayor si un automoacutevil lleva una mayor velocidadpodraacute recorrer mayor distancia en un mismo tiempo o

mientras maacutes obreros trabajan en la construccioacuten de unacasa se demoraraacuten menos tiempo en terminarla

Todos los ejemplos nos hablan de cambios o variacionesde las magnitudes (altura velocidad distancia nuacutemerode personas diacuteas etc) que intervienen en una situacioacutenEn los dos primeros ejemplos el aumento de una magnitudprovocaba el aumento de la otra y en el tercer ejemplo elaumento de una de ellas provocaba la disminucioacuten de laotra cuando ocurren estas situaciones nos encontramoscon magnitudes proporcionales

Es todo aquello que experimenta cambios y puede sermedido Ejemplo La sombra de un aacuterbol la velocidad deun auto los diacuteas trabajados etc

Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando alvariar una de ellas la otra tambieacuten variacutea

Un alumno llega a una libreriacutea pensando comprar seiscuadernos pero consultoacute por varias opciones y obtuvo lossiguientes resultados

divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3

Ndeg CuadernosCosto (s)

Podemos observar - Si se triplica el ndeg de cuadernos (6 x 3 = 18) se triplica

el costo (24 x 3 = 72)

- Si se reduce a la mitad el nuacutemero de cuadernos(6 divide 2 = 3) el costo tambieacuten se reduce a la mitad(24divide 2 = 12)

- Si dividimos el ndeg de cuadernos entre el costo se obtieneuna cantidad constante

=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN

A Magnitudes directamente proporcionales(DP)

CLASES DE MAGNITUDES

Ejemplo

MAGNITUD

MAGNITUDES PROPORCIONALES

a Reconocer las magnitudes que nos rodean

a Establecer las relaciones entre dos o maacutes magnitudes y expresarlas matemaacuteticamente

a Graficar los valores que toman dos magnitudes

a Aplicar las propiedades adecuadamente en la resolucioacuten de problemas



61

Aritmeacutetica

Graficando y uniendo puntos

bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos

Obtenemos una recta La graacutefica nos indica que si el nuacutemerode cuadernos aumenta tambieacuten el costo aumenta y siel nuacutemero de cuadernos disminuye el costo disminuyePodemos concluir que el costo y nuacutemero de cuadernos sonmagnitudes directamente proporcionales

Definicioacuten

Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) sial aumentar o disminuir una de ellas el valor de la otratambieacuten aumenta o disminuye en la misma proporcioacutenTambieacuten se cumple que el cociente entre sus valorescorrespodientes es una cantidad constante

Es decir dadas la magnitudes A y B

A DP B = constanteAB

B Magnitudes inversamente proporcionales(IP)

Ejemplo

Un capataz contrata 15 obreros que puede construir unmuro en 10 diacuteasLuego de algunos razonamientos elaborala siguiente tabla

divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas

Podemos observar - Si duplica el ndeg de obreros (15x2 = 30) el nuacutemero de

diacuteas se reduce a la mitad (10divide2 = 5)- Si se reduce a la tercera parte el nuacutemero de obreros (15 divide 3 = 5) el nuacutemero de diacuteas se triplica

(10 x 3 = 30)- El producto del nuacutemero de obreros y nuacutemero de diacuteas

es constante

Ndeg Obreros x Ndeg Diacuteas = 5x30=15x10= =30x5=150

constante

Graficando y uniendo los puntos

Se forma una curva denominada hipeacuterbola equilaacutetera Seguacutenla graacutefica podemos ver que si el nuacutemero de obreros aumentael nuacutemero de diacuteas disminuye podemos concluir que elnuacutemero de obreros y el nuacutemero de diacuteas son magnitudesinversamente proporcionales

Definicioacuten

Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) sial aumentar o disminuir una de ellas la otra disminuye enel primer caso o aumenta en el segundo caso en la mismaproporcioacuten Tambieacuten se cumple que el producto entre susvalores correspondientes es una cantidad constante

Es decir dadas las magnitudes A y B

A IP B AB= constante

Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta

3Si la magnitud F es DP al cubo de Tcompleta el siguiente cuadro y da m + p

Resolucioacuten

Si la siguiente graacutefica representa dos magnitudes

inversamente proporcionales halla a+b

Resolucioacuten

Si A IP B2 A IP C y A DP D3 encuentre una

relacioacuten de proporcionalidad

Resolucioacuten

A es IP a B2 y DP a (C + D) Si A = 16 cuandoB = 6 C = 2 y D = 6 Halla A si B = 18

C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6Si se cumpliera que el cuadrado del precio de un

producto es DP a la raiacutez cuadrada de su peso

halla el peso de un artiacuteculo por el cual se pagoacute

6 doacutelares sabiendo que por un artiacuteculo de 49gramos se pagoacute 2 doacutelares

Resolucioacuten

El precio de un diamante es directamente

proporcional al cuadrado de su peso Si

un diamante que cuesta 6400 doacutelares

accidentalemente se parte en dos pedazos unolos 35 del otroiquestqueacute peacuterdida sufrioacute el diamante

Resolucioacuten

7 De la tabla deduzca la relacioacuten de proporcionalidadentre A y B y ademaacutes halle a + b

8 Sean 2 magnitudes A y B tales que A es IP a Bpara B le 30 y A es DP a B para B gt 30 Si A=6cuando B = 20 halla A cuando B = 60

9 Si f (x)

es una funcioacuten de proporcionalidad inversahalla

10 Una rueda A de 50 dientes engrana con otrarueda B de 30 dientes Si la diferencia entreel nuacutemero de vueltas que han dado es 1 600iquestcuaacutentas vueltas ha dado la rueda A

11 La energiacutea almacenada en un condensadoreleacutectrico es directamente proporcional al cuadradode su diferencia de potencial Si un condensador

sometido a una diferencia de potencial de 80voltios almacena una energiacutea de 40 joules iquestcualseraacute la diferencia de potencial requerida para quela energiacutea almacenada sea de 625 joules

12 La velocidad del agua que atraviesa una tuberiacutea esinversamente proporcional a la seccioacuten recta dela misma y directamente proporcional al volumende agua Si por una tuberiacutea de 20 cm2 de seccioacutenrecta circulan 120 m3 a razoacuten de 15 ms iquestcuaacutel seraacutela seccioacuten de otra tuberiacutea por donde circulan 300

m3

a razoacuten de 20 ms

150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria

1 Si A y B son IP calcula a + n

a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204

2 Luego de construir la graacutefica de dos magnitudesIP se obtuvo el siguiente graacutefico Halla p +t

a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05

3 Si A2 es DP a B halla B cuando A es 2 sabiendoque A=6 cuando B es 9

a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9

4 Si A DP a B A IP a C A DP a D2 entonces

a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k

5 El precio de venta de un libro es DP al costounitario de los materiales es IP a la raiacutez cuadradade su tiraje Si para un tiraje de 3600 ejemplares yun costo de S 20 el precio de venta fue de S42iquestcuaacutel seraacute el precio del libro para un tiraje de 2500ejemplares y un costo de S 30

a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726

6 Se tiene un diamante que cuesta $48000 Si eacutestese parte en 2 pedazos (uno el triple del otro)determina el costo total de ambos si sabiendo queel precio es DP al cuadrado de su peso

a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000

7 Si A y B son IP calcula m + n + a

a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173

8 El peso de un elefante es DP a la raiacutez cuadradade su edad Si un elefante de 36 antildeos pesa 300 kgiquestqueacute edad tendraacute cuando pese 400 kg


d) 54 antildeos e) 64 antildeos9 El siguiente cuadro muestra los valores de dos

magnitudes A y B que guardan cierta relacioacutende proporcionalidad Calcula x+y

a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108

10 El precio de una revista variacutea inversamenteproporcional con el nuacutemero de ejemplaresproducidos y directamente proporcional con elnuacutemero de diacuteas que toma su edicioacuten Si una revistacuesta 20 soles y se imprieron 3 500 ejemplaresdemorando su edicioacuten 15 diacuteas iquestcual seraacute el preciode otra revista de la que se imprimieron 2 000ejemplares y su edicioacuten demoroacute 18 diacuteas

a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50

11 La potencia de un motor es directamenteproporcional a la capacidad del motor e inversamenteproporcional a los antildeos de trabajo Si un motor de

25 litros de capacidad y 5 antildeos de uso tiene unapotencia de 10 HP halla la capacidad de otro motorque tiene 6 antildeos de antiguumledad y 15 HP de potencia

a) 4 litros b) 45 litros c) 35 litrosd) 5 litros e) 6 litros

12 La potencia consumida por un foco es DP al cubode la raiacutez cuadrada del tiempo que estaacute prendidoSi la potencia de un foco es 200 watts iquestcuaacutel seraacutela potencia de otro foco si utiliza un tiempo igualal cuaacutedruple del anterior

a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



42

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta

3Ordena de menor a mayor

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

Reduce

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

23

57

1617

222444

33336666

44448888

1111122222

+ + +

12

14

3 ndash 2

1 12

( )14 ( )1

9 ( )116

( )1900

1- 1- 1-

1-



43

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten



Resolucioacuten



S = 1+ x 1+ x 1+ x

x 1+


P = ( 2 - 1)(2 + )





12

13

14

1

n

12 + 1

2 + 1

2 + 1

1a

1a2

1a3+ +P=


1 1

1

5

+= 1+2 +

1 +



44

4to Secundaria


a = b = c =


2 Calcula

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3


a) 12 b) 32 c) 23d) 14 e) 34

4 Simplifica

a) 130 b) 16 c) 730d) 25 e) 115


a) 2110 b) 79 c) 6310d) 907 e) 8310


a) 180 b) 254 c) 264d) 190 e) 286


a) 100 b) 130 c) 110d) 140 e) 120



x 1 ndash

a) b) c)

d) e) n2

9 Si la serie


a) 0 b) 3 c) 1e) 4 e) 2


a) 2025 b) 52025 c) 57625d) 2525 e) 2325



a) 521 b) 925 c) 125d) 325 e) 725


a) 116 b) 14 c) 18d) 516 e) 316

1317

58

2124

10101515

666555

7777755555

3399

+ + +25

+

14

12

4 divide 3

2 37

( )12 ( )1

3 ( )14( )1

30

1- 1- 1-

1-

12

13

14

1n

n - 12

1 +n2

n +13

1n

12

14

18

x = 1 + + + +1

16+

12

x = +56

+1112

++599600



45

Aritmeacutetica

14 Racionales II



1 DECIMAL EXACTO

02 = 013 = 0224 =

242 = 425 =

2

1024210

13

100

224

1000425100



254999

02 = 013 = 0254=

242 = 3145 =

2924-2

9

13993145-31

99

)

)

)

)

)




9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137


Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

023 = =

0214 = =

245 =

23-290

) 2190

214-21900

193900

245-2490

)

)

0124 = =

02752 = =

8324 =

124-1990

123990

2752-279900

27259900

8324-83

990

)

)

)



46

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


03222



mixta ( )


pura ( )

Resolucioacuten


corresponda

bull 02 + 03 = 05 ( )

bull 04 ndash 03 = 02 ( )

bull 02 x 03 = 06 ( )

Resolucioacuten

Simplifica

11 + 12 + 13 ++ 17

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

) )

)

) )

)

) )

)

)

04 + 04004

)

) ) ) )



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir


8 Calcula

9 Calcula




)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



43

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten



Resolucioacuten



S = 1+ x 1+ x 1+ x

x 1+


P = ( 2 - 1)(2 + )





12

13

14

1

n

12 + 1

2 + 1

2 + 1

1a

1a2

1a3+ +P=


1 1

1

5

+= 1+2 +

1 +



44

4to Secundaria


a = b = c =


2 Calcula

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3


a) 12 b) 32 c) 23d) 14 e) 34

4 Simplifica

a) 130 b) 16 c) 730d) 25 e) 115


a) 2110 b) 79 c) 6310d) 907 e) 8310


a) 180 b) 254 c) 264d) 190 e) 286


a) 100 b) 130 c) 110d) 140 e) 120



x 1 ndash

a) b) c)

d) e) n2

9 Si la serie


a) 0 b) 3 c) 1e) 4 e) 2


a) 2025 b) 52025 c) 57625d) 2525 e) 2325



a) 521 b) 925 c) 125d) 325 e) 725


a) 116 b) 14 c) 18d) 516 e) 316

1317

58

2124

10101515

666555

7777755555

3399

+ + +25

+

14

12

4 divide 3

2 37

( )12 ( )1

3 ( )14( )1

30

1- 1- 1-

1-

12

13

14

1n

n - 12

1 +n2

n +13

1n

12

14

18

x = 1 + + + +1

16+

12

x = +56

+1112

++599600



45

Aritmeacutetica

14 Racionales II



1 DECIMAL EXACTO

02 = 013 = 0224 =

242 = 425 =

2

1024210

13

100

224

1000425100



254999

02 = 013 = 0254=

242 = 3145 =

2924-2

9

13993145-31

99

)

)

)

)

)




9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137


Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

023 = =

0214 = =

245 =

23-290

) 2190

214-21900

193900

245-2490

)

)

0124 = =

02752 = =

8324 =

124-1990

123990

2752-279900

27259900

8324-83

990

)

)

)



46

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


03222



mixta ( )


pura ( )

Resolucioacuten


corresponda

bull 02 + 03 = 05 ( )

bull 04 ndash 03 = 02 ( )

bull 02 x 03 = 06 ( )

Resolucioacuten

Simplifica

11 + 12 + 13 ++ 17

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

) )

)

) )

)

) )

)

)

04 + 04004

)

) ) ) )



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir


8 Calcula

9 Calcula




)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



44

4to Secundaria


a = b = c =


2 Calcula

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3


a) 12 b) 32 c) 23d) 14 e) 34

4 Simplifica

a) 130 b) 16 c) 730d) 25 e) 115


a) 2110 b) 79 c) 6310d) 907 e) 8310


a) 180 b) 254 c) 264d) 190 e) 286


a) 100 b) 130 c) 110d) 140 e) 120



x 1 ndash

a) b) c)

d) e) n2

9 Si la serie


a) 0 b) 3 c) 1e) 4 e) 2


a) 2025 b) 52025 c) 57625d) 2525 e) 2325



a) 521 b) 925 c) 125d) 325 e) 725


a) 116 b) 14 c) 18d) 516 e) 316

1317

58

2124

10101515

666555

7777755555

3399

+ + +25

+

14

12

4 divide 3

2 37

( )12 ( )1

3 ( )14( )1

30

1- 1- 1-

1-

12

13

14

1n

n - 12

1 +n2

n +13

1n

12

14

18

x = 1 + + + +1

16+

12

x = +56

+1112

++599600



45

Aritmeacutetica

14 Racionales II



1 DECIMAL EXACTO

02 = 013 = 0224 =

242 = 425 =

2

1024210

13

100

224

1000425100



254999

02 = 013 = 0254=

242 = 3145 =

2924-2

9

13993145-31

99

)

)

)

)

)




9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137


Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

023 = =

0214 = =

245 =

23-290

) 2190

214-21900

193900

245-2490

)

)

0124 = =

02752 = =

8324 =

124-1990

123990

2752-279900

27259900

8324-83

990

)

)

)



46

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


03222



mixta ( )


pura ( )

Resolucioacuten


corresponda

bull 02 + 03 = 05 ( )

bull 04 ndash 03 = 02 ( )

bull 02 x 03 = 06 ( )

Resolucioacuten

Simplifica

11 + 12 + 13 ++ 17

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

) )

)

) )

)

) )

)

)

04 + 04004

)

) ) ) )



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir


8 Calcula

9 Calcula




)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



45

Aritmeacutetica

14 Racionales II



1 DECIMAL EXACTO

02 = 013 = 0224 =

242 = 425 =

2

1024210

13

100

224

1000425100



254999

02 = 013 = 0254=

242 = 3145 =

2924-2

9

13993145-31

99

)

)

)

)

)




9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137


Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

023 = =

0214 = =

245 =

23-290

) 2190

214-21900

193900

245-2490

)

)

0124 = =

02752 = =

8324 =

124-1990

123990

2752-279900

27259900

8324-83

990

)

)

)



46

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


03222



mixta ( )


pura ( )

Resolucioacuten


corresponda

bull 02 + 03 = 05 ( )

bull 04 ndash 03 = 02 ( )

bull 02 x 03 = 06 ( )

Resolucioacuten

Simplifica

11 + 12 + 13 ++ 17

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

) )

)

) )

)

) )

)

)

04 + 04004

)

) ) ) )



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir


8 Calcula

9 Calcula




)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



46

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


03222



mixta ( )


pura ( )

Resolucioacuten


corresponda

bull 02 + 03 = 05 ( )

bull 04 ndash 03 = 02 ( )

bull 02 x 03 = 06 ( )

Resolucioacuten

Simplifica

11 + 12 + 13 ++ 17

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

) )

)

) )

)

) )

)

)

04 + 04004

)

) ) ) )



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir


8 Calcula

9 Calcula




)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



47

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta

6La suma

Resolucioacuten

Calcula

Resolucioacuten

7 Al reducir


8 Calcula

9 Calcula




)

03+003+0003++es igual a ) )

)

21021

)

)

012021

)

1121

x x

65

325

13

53ndash 008

+01

11

)

)

)

)

01 + 12 +2310 + 21 + 32

) )

) )

3130969

) 411

) 1645

01 divide )

0001 )



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



48

4to Secundaria





087 gt 078 ( ) 021 gt 021 ( ) 23 ndash 03 = 2 ( )


3 Calcula

a) 45 b) 405 c) 90d) 900 e) 450

4 Simplifica 01 + 02 + + 08

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

5 Calcula

a) 13 b) 23 c) 59d) 787 e) 1081

6 Calcula

a) 04 b) 07 c) 05d) 08 e) 06

7 Al simplificar


a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

8 Calcula

a) 11 b) 41 c) 21

d) 51 e) 31

9 Calcula

a) 10 b) 25 c) 15

d) 30 e) 20


a) 1 b) 7 c) 3

d) 9 e) 5


a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5


a) 1 b) 36 c) 4

d) 25 e) 16

) )

)

) )

)

)

2 divide 02002

)

) ) )

)

01 + 001 + 0001 + ) )

)

012 + 021032 + 023

) )

)

)

12 ndash 012

02 + 22

)

) )

)

)

455 + 54454 + 45

)

) )

) )

025divide )

011

232277

) 733

23

)



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



49

Aritmeacutetica







RAZOacuteN





Resolucioacuten


42 000 - 24 000= 18000




a-b=RA




Ejemplo


Resolucioacuten


= 4Valor de


20050



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



50

4to Secundaria




= RG

ab

PROPIEDADES


cumple que





A3

= = =B4

C7

K A=3K B=4K y C=7K

AB

A+C+EB+D+F

= K = = =CD

EF

K rArr

AB

ACEBDF

= K 3= = =CD

EF

K rArr


PROPORCIONES




Ejemplo

32 - 7 = 2570 - 45 = 25

32 - 7 = 70 - 45











a - b = b - c



b =a+c

2



valor

Ejemplo

315

=15

420

=15

315

=4

20

En generalAB

=CD




51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



51

Aritmeacutetica


Si AB

= CD

rarr A D = B C



B ne CA

B

=C


A B y C


AB

=BC

Se cumple

B = A C



A y B


1 A+BB

=C+D

D

2 A - BB

=C - D

D

3 A + BA

=C + D

C

4 A - BA

=C - D

C

5 AA+B = CC+D

6 A + BA - B

=C + DC - D

7 A + CB + D

=AB

=CD

En una PGC

ab

=bc


a b b c = b4


a b c = b3

En una PGC

ab

=bc

= k

b = ck a = ck 2

Si

ab

= cd

= ef

= k


b) k =

c) k 3 =

d) k n =

a + c + eb + d + f

a c eb d f

an + cn + en

bn + dn + f nSi

AB

=CD

entonces se cumple1

2

3

4



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



52

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten





Resolucioacuten






antes del recreo

Resolucioacuten




Resolucioacuten



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



53

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta







Resolucioacuten

Se sabe que




Resolucioacuten

7 Si


calcula m + p

8 Si

y ademaacutes

calcula 5a - b - c






mn

=pq

=54

a3

=b5

=c7

(a+b+c)b(a+b-c)

=375



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



54

4to Secundaria


a) 336 b) 224 c) 188

d) 163 e) 218





a) S 238 b) S 248 c) S 112

d) S 122 e) S 138




a) 10 b) 18 c) 15

d) 12 e) 20





a) 540 b) 360 c) 480

d) 690 e) 510




a) 12 b) 23 c) 34

d) 45 e) 13


a) 16 b) 27 c) 20

d) 30 e) 24

7 Si


a) 260 b) 245 c) 254d) 248 e) 250

8 Sabiendo que


a) 84 b) 112 c) 72d) 78 e) 56


a) 4 b) 32 c) 16d) 16 e) 64


a) 14 b) 20 c) 16d) 22 e) 18



a) 6 b) 9 c) 8d) 16 e) 12



ab

= cd

= 34

a3

=b5

=c8

=d

12



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



55

Aritmeacutetica

16 Promedios

OBJETIVOS




INTRODUCCIOacuteN




48+63+56+71+675

3055

= =61

CLASES DE PROMEDIOS

Es decir

Suma de cantidades


Ejemplo


a



PROMEDIO

Sean las cantidades



Menorcantidad

Mayorcantidad

a1+a2+a3++an

nPA=


PA= =1212+14+10+11+135





=Promedioponderado


n1+n

2+n

3++n

k



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



56

4to Secundaria

Ejemplo




A

B

C

D

35

40

45

30

15

12

13

16

Resolucioacuten


n1=35 n2=40 n3=45 n4=30P1=15 P2=12 P3=13 P4=16


n1+n2+n3+n4

PP=35x15+40x12+45x13+30x16

35+40+45+30




Es decir



PG=n

a1 x a2 x a3 x x an




PH=

Es decir

PH=

n

1a1

+ + ++1a2

1a3

1an

PROPIEDADES


PH lt PG lt PA


MG2=MAMH

Menorpromedio

Mayorpromedio

Ejemplo




MA=48

Resolucioacuten



Personaje del Tema

Claudio Ptolomeo



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



57

Aritmeacutetica

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta





Resolucioacuten




el grupo

Resolucioacuten



los nuacutemeros

Resolucioacuten



eliminados

Resolucioacuten



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



58

4to Secundaria

Rpta

5

Rpta




Resolucioacuten





Resolucioacuten










59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



59

Aritmeacutetica


a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19





las dos secciones

a) 1325 b) 1375 c) 1425

d) 1450 e) 1475








a) 162 b) 164 c) 172

d) 154 e) 152




a) 16 b) 18 c) 20

d) 24 e) 32




uno de ellos




a) 76 b) 38 c) 19d) n e) n2






a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 35


a) 17 b) 19 c) 21d) 7 e) 14



a) 11 b) 10 c) 9d) 40 e) 36





60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



60

4to Secundaria


OBJETIVOS







divide2 x3

312

624

1872

936

1248

divide2 x3



el costo (24 x 3 = 72)



=N

C

=3

12

=6

24

=9

36

=12

48

=1

4

Ndeg cuadernos

costoconstante

INTRODUCCIOacuteN



Ejemplo

MAGNITUD








61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



61

Aritmeacutetica


bull

bull

bull

Costo C

36

24

12

3 6 9

N

Aumenta

Aumenta

NdegCuadernos


Definicioacuten





Ejemplo


divide3 x2

530

1510

305

1015

divide2x3

Ndeg Obreros

Ndeg

Diacuteas




es constante


constante



Definicioacuten




Observacioacuten

Si

A DP B

A IP C

A DP D2

=ConstanteACBD2

bull

bull

bull

1015

30

5 10 15

N

Ndeg Obreros

Ndeg Diacuteas D



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



62

4to Secundaria

Rpta

2

Rpta

4

Rpta

1

Rpta


Resolucioacuten



Resolucioacuten



Resolucioacuten


C= 14 y D=4

Resolucioacuten

F

T 4 p 2

m 625 40

V

Pa

2415

3 5 b



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



63

Aritmeacutetica

Rpta

5

Rpta





Resolucioacuten





Resolucioacuten



9 Si f (x)






m3


150B

8a 4

6

16

96

A

24

12

b

f (12)

+ f (6)

f (3)



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y



4to Secundaria


a) 150b) 186c) 173d) 192e) 204


a) 25

b) 2c) 1d) 15e) 05


a) 19 b) 13 c) 1d) 3 e) 9


a) =k b) =k c) =k

d) =k e) =k


a) S 70 b) S 756 c) S 715d) S 802 e) S 726


a) $30 000 b) $20 000 c) $24 000d) $15 000 e) $16 000


a) 150b) 192c) 165d) 204e) 173





a) 124b) 118c) 104d) 240e) 108


a) S 30 b) S 35 c) S 38d) S 42 e) S 50





a) 1200 w b) 1500 w c) 1600 wd) 2000 w e) 3000 w

A

B n 15 1

30 12 a

B

A

6

15p

t 4 12

AD2

B C

ABD2

C

A C

BD2

A

B C D2

AB C D2

nB

1230 m

10

A

15

a

1

36B

x15 45

4

A

25

9

y

Aritmética 4to (13 - 17) Corregido

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