ARITMÉTICA 5

77

NOCIÓN: Es la reunión, unión, colección o agrupación de diversa clase de objetos que tienen en común una propiedad cualquiera. Estos objetos pueden ser números, días, meses, niños, personas, países, astros etc. A estos objetos, en general se les conoce como “elementos de conjuntos”. Ejemplos:

1) El conjunto formado por los niños y niñas del colegio “Claret”.

2) El conjunto de los meses del año.

3) El conjunto formado por los departamentos de nuestro Perú.

-VEAMOS TODO SOBRE LOS CONJUNTOS

Además: Cada uno de los componentes de un conjunto recibe el nombre de elemento.

REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO:

Para representar un conjunto dibujamos una línea cerrada y en su interior los elementos. Así:

F

a. e. Así:

i. o. F = {a; e; i; o; u}

u.

QUINTO GRADO 1

CONJUNTO

REUNIÓN

FAMILIA COLECCIÓN

AGRUPACIÓN

“idea”

A.a

.e.i .

o .u

),(

A1

Aa

),(

B

.a

.e.i .o.u

A

.b.c .d

BA

ARITMÉTICAARITMÉTICA

TEORÍA DE CONJUNTOS

78

Recuerda: Para determinar los elementos de un conjunto se escriben entre dos llaves y separados por comas. Así:

A = {a, e, i, o, u}

Ahora:

Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que posee.

El conjunto de las vocales V = {a, e, i, o, u} tiene cinco elementos y nada más que cinco elementos. Luego el cardinal de V es cinco.

1. Representa en forma simbólica los conjuntos que a continuación se te presentan.

a) El conjunto M formado por los números pares mayores que 11 y menores que 19.

____________________________________

b) El conjunto X formado por los números múltiplos de 2 mayores que 31 y menores 41.

____________________________________

c) El conjunto W formado por las letras de las palabras Claret.

____________________________________

d) El conjunto Q formado por las vocales de la palabra “murciélago”.

____________________________________

e) El conjunto U formado con las consonantes de la palabra “murciélago”.

____________________________________

El conjunto L de los números pares mayores o iguales que 298 y menores que 350 solo pares.

____________________________________

f) El conjunto E de los meses del año que tengan 28 o 29 días.

____________________________________

g) El conjunto P de los útiles escolares que utilizamos en el colegio.

____________________________________

h) El Conjunto K de los miembros de mi familia.

____________________________________

i) El conjunto H de las figuras geométricas que tengan 4 lados.

____________________________________

QUINTO GRADO2

Desafiando nuestras habilidades

77

2. Observa los diagramas y denota los conjuntos y sus elementos simbólicamente.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

1. Determina por comprensión o extensión según corresponda.

Determinación por Extensión Determinación por comprensión

A ={……………………………………}

B = { 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 ;} B = {……………………………………}

C = {……………………………………}

D = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13} D = {……………………………………}

T = {10; 20; 30; 40; 50} T = {……………………………………}

3. Determina por extensión.

a)

__________________________________

b)

__________________________________

c)

__________________________________

d)

__________________________________

e)

__________________________________

f)

__________________________________

QUINTO GRADO

B C

3

4

5

6

7

A

1 2

U

11

15

A = {………………}

B = {………………}

C = {………………}

U= {………………}

3

78

I. Determina los siguientes conjuntos por extensión.

a)

________________________________

b)

________________________________

c)

_________________________________

d)

__________________________________

e)

__________________________________

f)

__________________________________

RELACIÓN DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN

RECUERDA:

Solo los elementos de un conjunto pueden o no pertenecer a otro conjunto. La pertenencia sólo se da de un elemento a un conjunto.

Un conjunto es subconjunto de otro, si todos sus elementos también pertenecen a él. La inclusión sólo se da entre conjuntos.

AHORA TE TOCA A TÍ

1. Observa los conjuntos representados en el diagrama y completa usando los símbolos

QUINTO GRADO

1…….A4…….A 9…….UB.......... A

6…….C5…….A 5…….UB.......... C

2…….B8…….C7…….B A.......... C

3…….B6…….U2…….C A.......... B

7…….C4…….U3…….U C.......... A

B…….A A…….B B…….C

C…….B C…….U A…….C

C…….A U…….A B…….U

C

BA6

8

7

1

2

3

4

5

U

4


77

RECONOCIENDO ALGUNAS CLASES DE CONJUNTOS

AHORA TE TOCA A TÍ

Escribe tus propios ejemplos de cada clase de conjunto.

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

QUINTO GRADO 5

CLASES DE CONJUNTOS

Carece de elementos, se denota: = { }

C. Vacío

Tiene un solo elemento

C. Unitario

Se considera todos los subconjuntos de un conjunto Se representa con U.

C. Universal

El proceso de contar sus elementos no concluye. Ejm:

C. Infinito

Tiene un número limitado de elementos Ejm:

C. Finito

Son todos los subconjuntos del conjunto A, incluyendo al conjunto vacío. Se denota P(A)

C. Potencia

78

CONOCIENDO EL PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

☻ El conjunto A tiene dos elementos y el conjunto B tiene 3 elementos.

☻ Las flechas muestran las combinaciones que se pueden hacer para formar pares de elementos del conjunto A y otro del conjunto B.

☻ Hay tantos pares como flechas.

QUINTO GRADO

A x B donde A y B son conjuntos

Elementos

Pares ordenados

Al conjunto A

Segunda ComponentePrimera Componente

Al conjunto B

de

cuyos

son

lala

pertenecen pertenecen

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

6

A B

.1

m. .2

n. .3

A x B = {(m; 1); (m; 2); (m; 3); (n; 1); (n; 2); (n; 3)}

Observa los conjuntos A y B.

77

D

1. Dados los conjuntos.

Señala cuál o cuáles son unitarios

___________________________________________________________________________

2. Dados los conjuntos C = {5; 6; 7; 1} y

A = {a; b; c}. Halla C x A

3. Dados los conjuntos M = {m; n; p} y

R = {1; 2; 3; 5}. Halla M x R

4. Observa los siguientes productos, y luego escribe V si es verdadero y F si es falso.

a) )24;35()6;2

4( ( ) b) (

)

c) ( ) d) ( )

5. En un campeonato cuadrangular de fútbol se enfrentan Chile, Argentina; Perú y Bolivia en partidos de ida y vuelta.

¿Cuántos y cuáles son los partidos a realizarse? ____________________

¿Cuántos partidos jugarán cada equipo? __________________________

OPERACIONES CON CONJUNTOS

QUINTO GRADO 7


comunes"Elementos"

B"ónintersecciA"BA

B"en no pero

Aen estan que lo "

B"enosmA"BA

B"unión A "BA

A conjunto ely conjunto el

diferencia la es A´,

A

B

A B

AB

A B

AB

A

B

A B

A

B

AB

A B

AU

BA

AB

AB BA

BA

BA BA

A'A

B)(AB)(AB ΔA

A)-(BB)-(AB ΔA

BA BA BA

BdesimetricaDiferenciaA

B ΔA


78


1. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:

Recuerda: Se llama conjunto disjunto a los conjuntos que no tienen elementos en común.

La intersección de dos conjuntos disjuntos es el vacío.

1. Dados los conjuntos : M = {2 ; 3 ; 4 ; 5 }, N = { 5 ; 6 ; 8 ; 9 , 10 }, O = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 }.

Halla simbólicamente y gráficamente:

a) M N

b) N O

c) M O

d) (M N ) O

QUINTO GRADO8

A B

a 1

e i 2

u o 4

A ∩ B = {i; o}

U

U

U

U


La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

77

2. UNIÓN DE CONJUNTOS:

1. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4; 5; 6}, B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} y C = {4; 5; 6; 7; 9 }


a) A B

b) C B

c) A C

d) (A B ) C

QUINTO GRADO 9

A B

a 1

e i 2

u o 4

A U B = {a; e; i; o; u; 1; 2; 4}

U

UU

U¡A estudiar se ha dicho!


La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a esos dos conjuntos.

78

3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS

1. Dados los conjuntos : A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, B = { 2 ; 5 ; 7 ; 8 } y C = { 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }.


a) A - B

b) C – B

c) B - C

d) (A B ) - C

QUINTO GRADO10

La diferencia de dos conjuntos (A – B) es la operación que nos permite crear un nuevo conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto A que no pertenezcan al conjunto B.

A B

a 1

e i 2

u o 4

A - B = {a; e; i}


U

U

U

U

U

U

77

RESOLVEMOS OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. Dados los conjuntos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ; y B = {0, 2, 4}

Construye el diagrama respectivo dentro del recuadro.


“C conjunto de letras de la palabra María” y

“D conjunto de letras de la palabra rima”.

Determina por extensión y construye el diagrama respectivo:

3. Dado el diagrama adjunto, determina por extensión cada conjunto y establece las relaciones de inclusión y no inclusión.

A = ...........................................................................

B = ..........................................................................

C = ..........................................................................

4. Dado el diagrama adjunto, escribe los conjuntos

A = ...........................................................................

B = ...........................................................................

C = ...........................................................................

5. Dados los conjuntos: A = {5, 6, 7, 8, 9}; B = {6, 8}; C = {8, 9, 10}; D = {2, 4}

Efectúa la operación de intersección y construye el diagrama respectivo:

A B = .................................................. A C = ........................................................

QUINTO GRADO 11

78

C D = ..................................................... A B C D = …………………………….

6. Dado el diagrama adjunto, escribe dentro de cada paréntesis, V si la operación es correcta y F si es falsa:

R S = {6, 7} ( )

T S = {5, 4} ( )

R T = {2, 3} ( )

S T = {} ( )

R S = {8, 9} ( )

S R = {7} ( )

7. Dado el diagrama adjunto, escribe los conjuntos:

A = {..........................................................................................}

B = {..........................................................................................}

C = {..........................................................................................}

8. Dado los conjuntos: A = { x N / 2 < x < 8}

B = { x N / 0 x < 6 y x es par}; C = { x N / x + 2 = 7} y D = { x N / 7 < x < 10}

1. Efectúa la operación y construye los diagramas respectivos.

a) A C b) A B

QUINTO GRADO12


77

c) C D d) A B C D

2. Dado el diagrama adjunto, escribe dentro de cada paréntesis V si la operación es correcta y F si es falsa:

P Q = {0, 2, 3, 4, 6} ( )

Q R = {3, 4, 6, 1, 5} ( )

P R = {0, 2, 1, 5} ( )

P Q R = {0, 2, 3, 4, 6, 1, 5} ( )


A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 3, 5}; C = {5, 6, 7}; D = {8}

Construye los diagramas de las operaciones siguientes:

a) A - B = {2, 4} b) B - C = {1, 3}

c) C - D = {5, 6, 7}

QUINTO GRADO 13

A RESOLVER SE HA DICHO

78


A = {x Є N / x < 6}; B = {x Є N / 3 < x 5}; C = {x Є N / 4 < x 9} y D = {10, 12}

Efectúa y construye los diagramas respectivos:

a) A - B = ...................................................... c) B – A =................................................

b) B - D = ........................................................ d) D – B = …………………………………..


A = {3, 4, 5, 6}; B = {6, 7, 8}; C = {6}

Construye los diagramas de las operaciones siguientes:

a) A B = (A - B) (B - A)

A B = {3, 4, 5} {7, 8}

b) A - B = {………………………….}

c) B C = {………………………….}

d) B - C = {………………………….}

QUINTO GRADO14

77

EJERCICIOS

Resuelve los problemas que a continuación se te presentan:

1. De 40 alumnos del 5to. Grado: 25 aprueban Lenguaje y 12 aprueban Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos alumnos aprueban sólo Matemática?

Rpta: ......................

2. De un grupo de 60 personas: 35 personas gustan de teatro y 30 del cine. Si 17 gustan de los dos espectáculos. ¿Cuántas personas no gustan de ninguno?

Rpta: ......................

3. De un grupo de 350 personas: 185 consumen la bebida A, 130 la bebida B y 62 las dos bebidas. ¿Cuántos no consumen ninguna de las dos bebidas?

Rpta: ......................

4. De 45 alumnos, 30 practican fútbol y 20 practican básquet. ¿Cuántos practican los dos deportes?

Rpta: .............,....

1. Dado los conjuntos:

A = {2, 4, 6}; B = {dígitos pares de 72 948}; C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}; y D = {0, 10}

Escribe los símbolos: , ó = entre:

A ............ B

B ............ D

A ............ C

D ............ B

D ............ A

D ............ C

2. Dados los conjuntos: E = {vocales de la palabra José}; F = {vocales de palabra Pedro}; H = {a, m} y

Z = {j, o, s, e, l, i, t}. Escribe V si la notación es correcta y F si es falsa:

a) E = F ()

b) E = F ()

c) E G ()

d) F G ()

e) m H ()

f) G H ()

QUINTO GRADO 15


78

g) E G ()

h) e Є H ()

i) m Є H ( )

3. Dados los conjuntos: A = {x N / 2 x < 7}; B = {x N / x + 2 < 6}; y C = {1, 2}

Efectúa y construye el diagrama respectivo de:

a) A B b) B C

c) A C d) A B C


P = {4, 6, 8}; Q = {8, 12, 15}; y R = {6, 8}

Efectúa y construye los diagramas respectivos de:

a) A B b) B C

c) A C d) A B C

QUINTO GRADO16

77

5. Dado el diagrama adjunto, escribe en cada paréntesis V, si la operación es correcta y F si es falsa:

D E = { } ( )

E F = {4, 5} ( )

D F = {1, 2, 3, 4} ( )

D E F = {1, 2, 3, 5} ( )

6. Dados los conjuntos: A = {5, 6, 7}; B = {7, 8}; C = {5, 6}; y D = {4}

Efectúa y construye los diagramas respectivos en tu cuaderno:

* B - A * D - A * C - B

* C - D * B - C * A - C

7. Dado el diagrama adjunto, escribe dentro de cada paréntesis V si la operación es correcta y F si es falsa:

P - Q = {1, 3, 8} ( )

Q - R = {4, 5, 6, 9} ( )

R - P = {7, 9} ( )

Q - P = {4, 5, 9} ( )

ACERTIJO

QUINTO GRADO 17

78

¿Cuáles 3 debes mover para lograr?

Para lograr la siguiente figura e indicar cuales son:

QUINTO GRADO18

77

Se denomina así, al conjunto de símbolos y reglas que permiten expresar o representar los números.

Ejemplo:

Sistema de numeración egipcio, babilónico, romano, etc.

Sistema de numeración decimal, binario, ternario, etc.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Se denomina así al que tiene por base 10 y que cuyas características son:

1. Conjunto de numerales: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (formado por 10 numerales llamadas cifras arábicas)

2. Base: 10

3. Principio de posición: decimal

TABLERO DE VALOR POSICIONAL

BILLONES MILES DE MILLONES MILLONES MILES

CE

NT

EN

A D

E B

ILL

ÓN

DE

CE

NA

DE

BIL

LÓ

N

UN

IDA

D D

E B

ILL

ÓN

CE

NT

EN

AS

DE

MIL

LA

R D

E M

ILL

ÓN

DE

CE

NA

S D

E M

ILL

AR

DE

MIL

LÓ

N

UN

IDA

DE

S D

E M

ILL

AR

DE

MIL

LÓ

N

CE

NT

EN

AS

DE

MIL

LÓ

N

DE

CE

NA

S D

E M

ILL

ÓN

UN

IDA

DE

S D

4E M

ILL

ÓN

CE

NT

EN

AS

DE

MIL

LA

R

DE

CE

NA

S D

E M

ILL

AR

UN

IDA

DE

S D

E M

ILL

AR

CE

NT

EN

AS

CB

LL

DB

LL

UB

LL

CM

IML

L

DM

IML

L

UM

IML

L

CM

LL

DM

LL

UM

LL

CM

DM

UM C

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA:

Para descomponer polinomicamente una cantidad cualquiera, se comienza por la izquierda y se termina por la derecha; observando el mayor orden que ocupa la última cifra de la izquierda.

Ejemplo:

a) 6 728 = 6 UM + 7 C + 2 D + 8 U

= 6 x 1 000 + 7 x 100 + 2 x 10 + 8 x 1

= 6 000 + 700 + 20 + 8

= 6 728

QUINTO GRADO 19

Sistemas de numeración

78

Descomponer polinomicamente los siguientes números:

a) 724

b) 2 162

c)6 293

d) 1 897

e) 17 562

f) 4 006

g) 918

h) 23 128

i) 3 216

j) 152 643

k)4 709

l) 81 126

m) 10 803

n) 73 004

o) 12 126

p) 91 126

q) 8 362

r) 32 425

s)7 541

t) 162 123

u) 2 426

v)91 742

w) 937

x)2 516 743

y)563

z)3 002 003

VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número, es el mismo número. Ejemplo:

a) 27 642

V.A. de 7 es: 7

V.A. de 4 es: 4

V.A. de 6 es: 6

VALOR RELATIVO: El valor absoluto de un número, es el valor que tiene por el lugar de orden que ocupa en el tablero de valor posicional. Ejemplo:

a) 72 365

V.R. de 3 es: 300

V.R. de 6 es: 60

V.R. de 2 es: 2 000

V.R. de 7 es: 70 000

a) 6 836 V.A. de 3: __________________

V.A. de 8: __________________

V.A. de 6: __________________

b) 15682 V.A. de 5: __________________

V.R. de 6: __________________

V.R. de 8: __________________

V.R. de 2: __________________

c) 15 937 V.R. de 7: __________________

V.R. de 5: __________________

V.R. de 1: __________________

V.R. de 9:__________________

V.A. de 7: __________________

V.A. de 9: __________________

V.R. de 3: __________________

QUINTO GRADO20


Aplico lo aprendido

VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN NÚMERO

77

d) 8537 V.A. de 5: __________________

V.R. de 7: __________________

V.A. de 8: __________________

V.R. de 8: __________________

V.R. de 5: __________________

e) 517 826 VA 7: __________________

f) 9 123 874 VR 9: __________________

VR 8: __________________

VA 2: __________________

VR 5: __________________

VR 1: __________________

1. Ubica los dígitos en el tablero de valor principal:

5 047 398

DMLL UMLL CM DM UM C D U

19 432 168

C DMLL UM D DM UMLL U CM

19 432 168

C DMLL UM D DM UMLL U CM

2. Escribe y lee los números correspondientes:

CM DM UMLL DMLL UM U D U

9 5 3 2 8 7 6 2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

D C DM U DMLL UM UMLL CM

0 4 8 6 5 7 2 9

QUINTO GRADO 21

NÚMEROS NATURALES (IN)

78

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

QUINTO GRADO22

77

3. Lee:

20 000 020

8 800 800

95 950 095

14 145 104

755 149 095

4. Escribe:

Ochocientos ochenta mil ochocientos

Cuarenta y cinco millones cuatrocientos cuarenta y cinco

Veinte millones doscientos veinte mil veinte

5. Escribe la notación desarrollada de:

a) 28 407 = .................................................................................................................................................

b) 643 008 = .......................................................................................... ....................................................

c) 4 360 060 = ........................................................................................ ..................................................

d) 18 046 046 = ...................................................................................... ..................................................

6. Escribe el número correspondiente a:

a) 2 000 + 500 + 80 + 1 = ........................................................................

b) 70 000 + 3 000 + 200 + 20 + 4 = .........................................................

c) 800 000 + 40 000 + 3 000 + 600 + 20 + 5 = .........................................

d) 90 000 000 + 7 000 000 + 400 000 + 0 + 2 000 + 0 + 40 + 2 = ...............

7. Completa:

a) 37 680 < 38 754, porque .....................................................................

b) 752 187 > 560 190, porque .................................................................

c)864 900 < 867 165, porque …..............................................................

d) 2 728 415 > 1 937 960, porque ............................................................

e) 5 348 695 ............... 4 978 762, porque .....................................

f) 92 685 000 ............... 92 796 124, porque ....................................

g) 87 936 149 ............... 87 928 364, porque …................................

QUINTO GRADO 23

78

8. Ordena en forma creciente:

a) 5 327; 184 025; 97 368; 605 090; 20 000 147 ; 32 000 543

9. Ordena en forma decreciente:

a) 543 081; 497 039; 975 018; 1 247 329; 36 012 954; 36 005 987

10. Escribe los tres términos siguientes de las sucesiones:

a) 9, 16, 23, 30, 37,.......................................................................................

b) 80, 71, 62, 53, 44, …................................................................................

c) 3, 9, 27, 81, 243, ......................................................................................

d) 10, 15, 12, 17, 14, ...................................................................................

e) 2, 10, 5, 25, 20, .......................................................................................

f) 6, 12, 8, 16, ........................................................................................

11. Dado el 1er. término y la ley de formación, escribe 5 términos de cada sucesión.

1er. Término Ley de Formación Sucesión

7 sumar 9

4 multiplicar por 3

60 restar 11

3 sumar 8 y restar 4

8 restar 3 y multiplicar por 2

5 multiplicar por 3 y restar 4

12. Escribe el número anterior y posterior inmediatos a:

a) ……........ 937 508 …….......

b) ................1 004 360 ...........

c)…….......... 25 302 030 .............

d) ................50 708 100............

1. Escribe:

a) Setecientos ochenta y cuatro mil noventa:........................................................

b) Doce millones cinco mil tres: ….........................................................................

QUINTO GRADO24

Resolvamos los ejercicios

Aplico lo aprendido

77

c)Veintitrés millones seis mil noventa: ….............................................................

d) Treinta y siete millones siete: ….......................................................................

e) Sesenta y cinco millones setenta y cinco: .......................................................

2. Lee:

a) 870 070: ..............................................................................................................................

b) 976 209: .............................................................................................................................

c)1 004 004 : ........................................................................................ ......................................

d) 2 310 010: .............................................................................................................................

e) 5 043 264:................................................................................................................................

f) 8 300 300 : ..............................................................................................................................

g) 11 011 011: ...............................................................................................................................

h) 15 204 098 :. ……......................................................................................................................

i) 32 064 000 : ..............................................................................................................................

j) 68 206 206 :......................................................................................... .......................................

3. Escribe una notación desarrollada de:

a) 5 328 : …………….……………………………………………………………….

b) 24 080 : ………….……………………………………………………………….

c)305 409 : ….….………………………………………………………………….

d) 7 021 368 : ………………………………………………………………………

e) 6 345 080 : ………………………………………………………………………

f) 9 406 197 : ………………………………………………………………………

g) 12 047 184 : ……………..………………………………………………………

h) 32 605 270 : ………………………………………………………………..……

i) 49 087 108 : …….………………………………………………………………

4. Escribe el número correspondiente a:

a) 50 000 + 3 000 + 200 + 70 + 5 = .............................................................................................................

b) 9 000 000 + 800 000 + 70 000 + 1 000 + 300 + 20 + 3 = ........................................................................

c) 20 000 000 + 9 000 000 + 0 + 40 000 + 7 000 + 0 + 10 + 6 = .................................................................

5. Escribe el signo >, < ó = entre:

a) 3 297 ____ 1 876

b) 53 268 ____ 54 098

c) 725 098 ____ 6 324 180

d) 4 049 175 ____ 4 100 000

e) 9 368 545 ____ 9 368 545

f) 17 204 193 ____ 15 647 368

g) 53 428 624 ____ 53 604 125

QUINTO GRADO 25

¡ESFUÉRZATE!

78

6. Ordena de mayor a menor:

A) 3 024; 62 190; 37 120; 438; 124; 270 920; 1 003 020

..................................................................................................................

B) 276 045; 12 003 960; 9 997 985; 7 308 005; 40 000 040

..................................................................................................................

PIENSA Y COMPLETA

Colocar el símbolo < ó > correspondiente:

< ó >

a 11 111

b 145 45

c 2 328 3 282

d 461 46

e 10 001 100 011

1. ADICIÓN CON IN

Es la primera operación aritmética que hace corresponder a cada par ordenando de números naturales llamados SUMANDOS, otro número natural llamado SUMA.

TÉRMINOS DE LA ADICIÓN

Toda adición tiene los siguientes términos:

Del esquema se deduce que adición y suma no es lo mismo; adición es toda la operación y suma es el resultado.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

a) Propiedad de Clausura.- “La suma de dos números naturales cualesquiera, es siempre otro número natural”.

QUINTO GRADO26

7 + 9 = 1 6

sum a n d o s

signo sum a

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

77

Ejemplo:

1) 7 + 3 = 10 10 є N

2) 13 + 8 = 21 21 є N

b) Propiedad Conmutativa. “El orden de los sumandos no altera la suma total”.

a + b = b + a

Ejemplo:

1) 8 + 12 = 12 + 8

20 = 20

c) Propiedad del Elemento Neutro. “Toda cantidad sumada con el elemento neutro (cero), es igual a la misma cantidad”.

a + 0 = a

Ejemplo:

a) 5 + 0 = 5 b) 0 + 13 = 13

d) Propiedad de Monotonía “Si a ambos miembros de una igualdad o desigualdad se le suma un mismo número, se obtiene una igualdad o desigualdad según sea el caso”.

a = b => a + n = b + n

a <> b => a + n <> b + n

Ejemplo:

1) 8 = 5 + 3 => 8 + 7 = 5 + 3+ 7

15 = 15

2) 7 < 12 => 7 + 6 < 12 + 6

13 < 18

e) Propiedad de Cancelación:

a + n = b + n => a = b

a + n <> b + n => a <> b

Ejemplo:

1) 8 + 6 = 3 + 6+ 8

8 = 8

2) 5 + 12 < 7 + 12

5 < 7

TÉCNICA OPERATIVA DE LA ADICIÓN

.

QUINTO GRADO

Nccba ;

27

Para efectuar la adición de números naturales, se coloca las cantidades en forma vertical cuidado que las unidades se encuentran debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas, las centenas debajo de las centenas y así sucesivamente.

78

Luego se comienza a sumar por las unidades. Ejemplo:

1. Sumar: 8279 + 937 + 42 + 128 =

9 3 8 6

8 2 7 9 +

9 3 7

4 2

1 2 8

9 3 8 6

DESAFÍO MI HABILIDAD

1. Halla las sumas y las diferencias

4 3 2 6

+ 1 2 7 5

6 5 0 0

+ 3 2 7 5

7 9 9 9

+ 1 5 8 6

6 3 6 9

- 5 9 3 8

3 8 8 0

- 1 5 3 3

2 0 0 0

- 1 9 5 3

2. Completa:

2 4 3 5

3 2 1 0

+ .... 1 2 4

5 ..... .... 9

5 7 2 6

9 7 8

+ 3 1 9 7

.... 9 .... 1

3 2 1 8 6

7 5 9 4

+ 1 3 7 6 8

....3.... 4 ....

4 5 1 4 8

1 0 7 9

+ 1 8 8

4 .... .... 1 ....

5 3 6 5

...... 2 4

+ 1 8 .... 3

.... 4 3 ....

3 7 2 8

.... 6 3 4

+ 4 5 1 ....

9 .... .... 0

1 7 0 4 5

5 .... 3 8

+ 3 4 6 ....

2 .... 2 .... 5

9 6 4

4 2 8 7 5

+ 7 6 .... .... 2

....1 .... 8 7 ....

QUINTO GRADO28

77

AHORA TE TOCA A TI

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a) Una madre y su hijo pesan juntos 90 kg y la madre sola pesa 65 kg. ¿Cuánto pesa el hijo?

b) Debía 10 000 soles y aboné 5 308 soles. ¿Cuánto debo todavía?

c) Compré un par de zapatos a 52 soles y unas botas a 96 soles. ¿Cuánto pagué?

d) La suma de dos números es 45 628 y uno de ellos es 7 329. ¿Cuál es el otro número?

e) Raúl vende un terreno en S/. 31 800 perdiendo S/.5 400. ¿Cuánto le costó dicho terreno?

f) Pablo compra dos terrenos uno por

S/.27 500 y el otro por S/.32 400. Si vende los dos terrenos por S/.72 000. ¿Cuánto ganó?

g) Un comerciante compra S/. 5 760 de arroz, S/.3 500 de azúcar y S/.2 450 de leche. ¿Cuánto pagó en total?

h) Roberto quiere comprar un automóvil que cuesta S/.31 800 y solamente tiene

S/.18 720. ¿Cuánto le falta?

i) En una granja hay 4 500 aves entre pollos, gallinas y pavos. Si hay 2 750 pollos y 1 230 gallinas. ¿Cuántos pavos hay?

j) Violeta tiene S/.12 500 y Carmen tiene S/. 3 480 menos que Violeta. ¿Cuánto tienen entre las dos?

AHORA TE TOCA A TI

4. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

k) Una madre y su hijo pesan juntos 90 kg y la madre sola pesa 65 kg. ¿Cuánto pesa el hijo?

l) Debía 10 000 soles y aboné 5 308 soles. ¿Cuánto debo todavía?

m) Compré un par de zapatos a 52 soles y unas botas a 96 soles. ¿Cuánto pagué?

n) La suma de dos números es 45 628 y uno de ellos es 7 329. ¿Cuál es el otro número?

o) Raúl vende un terreno en S/. 31 800 perdiendo S/.5 400. ¿Cuánto le costó dicho terreno?

p) Pablo compra dos terrenos uno por

S/.27 500 y el otro por S/.32 400. Si vende los dos terrenos por S/.72 000. ¿Cuánto ganó?

q) Un comerciante compra S/. 5 760 de arroz, S/.3 500 de azúcar y S/.2 450 de leche. ¿Cuánto pagó en total?

r) Roberto quiere comprar un automóvil que cuesta S/.31 800 y solamente tiene

S/.18 720. ¿Cuánto le falta?

s) En una granja hay 4 500 aves entre pollos, gallinas y pavos. Si hay 2 750 pollos y 1 230 gallinas. ¿Cuántos pavos hay?

t) Violeta tiene S/.12 500 y Carmen tiene S/. 3 480 menos que Violeta. ¿Cuánto tienen entre las dos?

QUINTO GRADO 29

78

1. Coloca los siguientes números en forma vertical y luego efectúa las siguientes adiciones en tu cuaderno:

a) 5 126 + 894 +17 + 91 518 =

b) 93 842 + 1 542+ 9 876 + 729 + 93 =

c)162 343 + 89 125 + 72 614 + 952 + 85 =

d) 93 125 + 8 124 + 765 + 94 + 13 + 6 082 =

e) 516 934 + 123 006 + 832 + 15 + 3 013 =

f) 9 123 643 + 342 128 + 92 006 + 5 303 + 89 =

g) 15 326 + 22 789 + 1 598 + 734 + 92 + 126 =

h) 92 769 + 15 836 + 28 126 + 917 + 4 519 + 3 128 009 =

i) 15 636 + 93 008 + 17 428 + 9 006 + 1 534 125 + 9 326 =

j) 935 + 8 312 + 7 015 + 15 632 + 92 128 + 532 129 =

k) 122 + 6 783 + 9 517 007 + 825 + 93 + 89 188 =

l) 623 + 7 124 + 95 106 + 81 234 + 125 =

m) 5 312 + 23 716 + 280 006 + 15 234 + 937 + 125 =

n) 65 + 9 548 + 13 789 + 9 428 + 15 123 + 956 =

o) 517 + 8 094 + 731 242 + 6 432 + 70 243 =

p) 716 + 73 784 + 3 120 + 42 123 + 932 + 516 =

q) 5 124 632 + 93 863 + 50 516 + 935 + 816 =

r) 14 + 932 126 + 928 + 15 642 + 7 343 =

s)4 123 625 + 5 634 + 8 124 006 + 4 123 =

t) 6 934 315 + 128 129 + 839 + 6 745 + 19 + 8 + 3806 =

2. SUSTRACCIÓN EN N

Es la operación inversa de la adición que consiste en hacer corresponder a cada par de números naturales, un tercer número natural llamado DIFERENCIA

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN

1. Propiedad de la Monotonía

a = b => a – b = b – n

a <> b => a – n <> b – n

Ejemplos:

1) 7 = 7 => 7 – 3 = 7 – 3

4 = 4

2) 15>5 => 12 – 3 > 5 – 3

9 > 2

QUINTO GRADO30


5 – 3 = 2minuendo

sustraendo

diferencia

77

2. Propiedad de la cancelación

a – n = b – n => a = b

a – n <> b – n => a = b

3. Propiedad de la alterabilidad en la diferencia

Ejemplos:

1) 18 – 9 = 9 => (18+2)–9=9+2

20–9 = 11

11=11

2) 15 - 7 = 8 => (15 – 3) = 8 – 3

12– 7 = 5

5 = 5

4. Propiedad de la inalterabilidad de la Diferencia

Ejemplos:

1) 12 – 5 = 5 => (12–4) – (7–4)

8 – 3

2) 9 – 5 = 4 => (9 – 3) – (5 – 3)

6 – 3

4

TÉCNICA OPERATIVA DE LA SUSTRACCIÓN

Se ubica los números en forma vertical. Teniendo en cuenta que el minuendo es mayor que el sustraendo.

1) 7216 – 2416

7 2 1 6 –

2 4 1 6

4 8 0 0

7 2 1 6

1. Completa Los espacios en blanco:

7 5 1 7 9

- 3 1 0 6 8

.... .... 1 .... 1

3 6 8 0 3 1

- 1 9 3 7 1 8

.... .... 4 .... 1 ....

5 0 7 2 3 8

- 2 7 3 5 6 2

.... .... 3 .... 7 ....

2 3 1 0 0

- 7 9 8 4

.... 5 .... 1 .....

8 0 7 1 4 3

- 5 9 4 3 9 ....

.... 1 .... .... 4 5

9 1 5 1 4 8

- 1 6 .... 8 2

4 9 .... 7 .... ....

ACERTIJO:

QUINTO GRADO 31


¿Cuál es el número mínimo de cerillas que hay que mover para que la aceituna quede fuera de la copa sin mover la aceituna? (No importa la orientación final de la copa).

78

2. Efectúa las siguientes sustracciones en tu cuaderno (colocando en forma vertical):

a) 5 312 – 3 126 =

b) 8 506 – 7 289 =

c) 156 232– 8 671 =

d) 28 127 – 13 985=

e) 9 812 – 6 913=

f) 23 642 – 19 765

g) 531 265 – 342 962

h) 93 648 – 68 129

i) 182 604 – 134 624

j) 35 642 – 6 571 =

k) 74 625 – 39 726 =

l) 19 124 – 8 932 =

m) 64 625 – 39 726 =

n) 516 328 – 324 009 =

o) 93 129 – 74 008 =

p) 73 649 – 69 575 =

q) 48 004 – 35 949 =

r) 235 642 – 197 632 =

s) 69 596 – 53 764 =

t) 2 517 008 – 938 942 =

3. Plantea y resuelve los problemas que a continuación te presento:

a) La suma de dos números es 8 523 y uno de ellos es 6 380. ¿Cuál es el otro?

b) La diferencia de dos números es 17 607 y el menor es 8 979. ¿Cuál es el número mayor?

c) Jessica compró un polo en S/.32 y una blusa en S/.13 más que el polo. Si pagó con un billete de S/.100. ¿Cuánto recibió de vuelto?

d) José compró un pantalón por S/.85; una camisa por S/.20 menos que el pantalón y un par de zapatos por S/.125. ¿Cuánto gastó en total?

MULTIPLICACIÓN EN IN

Es la operación por la que a cada par de números naturales le hace corresponder otro número natural llamado PRODUCTO

1) Términos de una Multiplicación:

9 x 8 = 7 2

Facto res P r o du cto

M u l ti p lican d o 9 xM u ltip li cad or 8P ro d u cto 7 2

QUINTO GRADO32

77

2) Propiedades de la Multiplicación

a) Propiedad de Clausura: “El producto de dos números naturales cualesquiera, es otro número natural”.

Ncba Ejemplo.

1) 7 x 9 = 63

2) 4 x 5 = 20

b) Propiedad Conmutativa.- “El orden de los factores no altera el producto”.

abba Ejemplo:

1) 6 x 5 = 5 x 6

30 = 30

2) 12 x 8 = 8 x 12

96 = 96

c) Propiedad Asociativa.- “Asociando los factores de modos distintos se obtiene el mismo producto”.

(a . b) . c = c . (b . a)

Ejemplo:

1) (5 x 4) x 2 = 5 x (4 x 2)

20 x 2 = 5 x 8

40 = 40

2) (3 x 6) x 4 = 6 x (4 x 3)

18 x 4 = 6 x 12

72 = 72

d) Propiedad del Elemento Neutro.- “El producto de un número natural con el elemento neutro (1) es igual al mismo número natural”

a . 1 = a

Ejemplos:

1) 18 x 1 = 18

2) 1 x 36 = 36

e) Propiedad del elemento Neutro. “Todo número multiplicado por el elemento absorbente (cero) es igual al mismo elemento absorbente 0”

a . 0 = 0

Ejemplo:

1) 7 x 0 = 0

2) 0 x 16 = 0

f) Propiedad de la Monotonía. “Si a ambos miembros de una igualdad o desigualdad se multiplica un mismo factor, entonces se obtiene otra igualdad o desigualdad”

a = b => a . n = b . n

a<>b => a . n <>b . n

Ejemplo:

1) 6=4+2 => 6 x 3 = (4+2) 3

18 = 18

g) Propiedad de Cancelación: “Si en ambos miembros de una igualdad o desigualdad aparece un mismo factor, entonces se puede suprimir, obteniendo una igualdad o desigualdad según sea el caso”

a . n = b . n => a = b

a . n <>b . n => a = b

h) Propiedad Distributiva:

n(a+b) = an + bn

n(a–b) = an – bn

Ejemplo:

1) 9(8+6) = (9)(8) + (9)(6)

= 72 + 54

= 126

2) 3(5 – 2) = (3)(5) – (3)(2)

= 15 – 6

= 9

TÉCNICA OPERATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

QUINTO GRADO 33

78

A. Multiplicación abreviada por la unidad seguida de ceros

Ejemplo:

1) 10 x 54 = 540

2) 832 x 100 = 83200

B. Multiplicación abreviada con ceros al final de los factores

Ejemplo:

1) 70 x 800 = 56000

2) 600 x 300 = 180000

C. Otros casos

a) 3 7 2 6 x

9 3 2

7 4 5 2

1 1 1 7 8

3 3 5 3 4

3 4 7 2 6 3 2

1. Completa:

5 7 6

x 9

5 .... 8 .....

1 3 6 8

x 4 2

.... 7 .... 6

.... 4 .... 2___

..... .... ..... ..... 6

2 7 6 5

____ x 2 7

1 9 .... 5 ....

5 .... 3 ....____

7 .... .... .... ....

2. Multiplica:

2 8

x 5 6

4 7 5

x 5 8

6 0 9

x 8 8

3 4 8

x 2 0 6

6 0 8 5

x 4 7 3

8 6 0 5 4

x 6 0 7

3. Halla el producto en forma abreviada

a) 56 x 10 = _______________

b) 56 x 100 = ______________

c) 56 x 1000 = _____________

d) 12 x 300 12 x 3 x 100 = 3 600

e) 124 x 40 = ______________

f) 724 x 30 = ______________

g) 88 x 1000 = _____________

h) 35 x 100 = ______________

i) 70 x 10 = _______________

j) 15 x 50 15 x 5 x 10 = 750

k) 329 x 60 = ______________

l) 352 x 20 = ______________

QUINTO GRADO34


77

4. Completa aplicando la propiedad que se sugiere:

a) 12+ 10 = 10 + ______

b) 8 x 5 = 5 x _______

c) 5 + 0 = 0 + ____ = ____- 6 x 1 = 1 x ____ = ____

d) 3 + 5 + 6 = (3 + 5) + ______

e) 4 + 2 + 7 + 9 = (4 + 2) + _____

f) 3(5 + 2) ) = 3 x 5 + ______

g) 5(6 + 4) = 5 x 6 + ______

5. Aplica las propiedades que se piden en el cuadro:

Propiedad De la adición De la Multiplicación

Clausura 8 + 7 = 5 x 6 =

Conmutativa 6 + 4 = 10 x 2 =

Asociativa

Del elemento neutro 13 + 0 = 15 x 1 =

Absorbente del cero 8 x 0 =

Distributiva

6. Resuelve los problemas:

A. María comió 8 panes y su hermano Pepe el triple. ¿Cuántos panes comió Pepe?

B. El sastre de mi papá cobró 405 soles por coser un saco. ¿Cuánto tengo que pagarle a otro sastre que cobra el doble?

QUINTO GRADO 35

78

C. La mamá de Perico compró 10 kg de turrón y la mamá de Rosita compró el triple. ¿Cuánto compró la mamá de Rosita?

D. Una caja tiene 200 tizas. ¿Cuántas tizas hay en 59 cajas?

E. En 100 años. ¿Cuántos días hay?

F. Un tren recorre diariamente 550km. ¿Cuántos km recorre en 1 año?

G. En cada vuelta que dan las ruedas de un tren éste avanza 4m. Si da 3200 vueltas. ¿Qué distancia recorre?

H. La llave de un depósito de agua vierte 85 litros por minuto y tarda en llenarlo una hora y media. ¿Cuál es la capacidad en litros del depósito?

I. Ricardo compra 8 bolsas de cemento a S/.18.00 cada bolsa y 24 varillas de fierro a S/.15.00 cada varilla. ¿Cuánto gastó?

J. Una persona normal respira (inhalación y expiración del aire) 25 290 veces al día aproximadamente. ¿Cuántas veces respira en un minuto?

QUINTO GRADO36

77

7. Completa el cuadro

Número 1 2 6 8 10

Cuadrado 1 4 9 25 49 81

Cubo 1 8 64

8. Efectúa las potencias siguientes:

a) 112 = 11 x 11 = 121

b) 102 = .............................................................................

c) 43 = ...............................................................................

d) 103 = .............................................................................

e) 34 = .............................................................................

f) 25 = .............................................................................

g) 182 = .............................................................................

h) 153 = .............................................................................

9. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) 123 x 60 =

b) 9 383 x 94 =

c) 234 128 x 639 =

d) 516 006 x 724 =

e) 8 314 629 x 623 =

f) 1 506 x 700 =

g) 83 420 x 820 =

h) 73 516 x 924 =

i) 642 167 x 639 =

j) 526 248 x 728 =

k) 197 300 x 200 =

l) 3 945 618 x 345 =

m) 9 129 516 x 724 =

n) 517 834 x 356 =

o) 152 900 x 5432 =

p) 936 589 x 7 696 =

q) 63 129 x 810 =

r) 517 834 x 765 =

s) 912 100 x 123 =

t) 3 162 728 x 236 =

1. Multiplica:

a) 48 x 100 =

b) 750 x 1000 =

c) 650 x 200 =

d) 400 x 500 =

e) 48 x 36 =

f) 75 x 80 =

g) 566 x 100 =

h) 729 x 100 =

i) 427 x 100 =

j) 64 x 70 =

k) 41 x 500 =

l) 426 x 60 =

m) 526 X 100 =

n) 402 x 108 =

o) 350 x 205 =

p) 4320 x 55 =

q) 4608 x 106 =

r) 7002 x 405 =

s) 8005 x 109 =

QUINTO GRADO 37


78

2 4 6 4

D i vi d en do D iv iso r

C oci ente

2. Efectúa:

a) 123 = ____________________

b) 84 = ____________________

c) 202 = ____________________

d) 303 = ____________________

e) 35 = ____________________

f) 76 = ____________________

3. Resuelve:

a) Un comerciante compra 5 docenas de camisas a S/.45.00 cada una. ¿Cuánto pagó?

b) El corazón de una persona normal late aproximado 70 veces por minuto. ¿Cuántas veces late en un día?

ACERTIJO

..... el valor de m, n, p y q en las siguiente adiciones:

- 3 + 8 + m + 5 = 24

- 14 + n + 7 + 11 = 49

- 26 + 3 + 9 + q = 50

- 65 + p + 17 + 46 = 145

DIVISIÓN EN N

1. Términos:

2. Tenemos dos tipos de divisiones:

a. División exacta.- Cuando el residuo es igual a cero:

Ejemplo:

QUINTO GRADO38

Es la operación que hace corresponder a un par ordenado de números naturales, un tercer número natural llamado COCIENTE.

2 1 6 1 2 96 18

1 2 x 1 8 9 61 22 1 6

77

b. División Inexacta.- Cuando el residuo es diferente de cero:

Ejemplo:

OBSERVACIONES

1° El cero como dividendo

i) 0

50

=> porque 0 x 5 = 0

ii) 0

120

=> porque 0 x 12 = 0

2° El cero como Divisor

i) No es posible, porque ningún

número multiplicado por cero da

8

ii)

0

24

TÉCNICA OPERATIVA DE LA DIVISIÓN

Ejemplo.

QUINTO GRADO 39

62 38 60 2 38 1 03 5 8

1 6 3 x 6 06 1 8 0 5 86 2 3 8

7 0 0 5 81 2 0 1 2 4

5 8 x 1 21 1 65 86 9 6 47 0 0

78

1. Divide:

a) 6 096 : 8 =

b) 3 570 : 6 =

c) 480 930 : 82 =

d) 319 884 : 57 =

e) 608 165 : 208 =

f) 726 076 : 527 =

2. Completa los cuadros:

División Cociente Residuo

125 ÷ 10 12 5

1388 ÷ 1000

2567 ÷ 10

381 ÷ 10

493 ÷ 100

3. Resuelve

a) Los 38 alumnos del 5to. grado A de mi colegio sembraron tomates en el biohuerto escolar y han obtenido una cosecha de 542 kg. ¿Cuántos kg corresponden a cada alumno y cuántos sobran?

b) Tengo 500 cm de cinta bicolor. ¿Cuántas escarapelas de 5 cm puedo hacer?

c) Las tres secciones del quinto grado se van de paseo y se han anotado 38 alumnos de la sección A; 27 alumnos de la sección B y 40 de la sección C, Si los profesores decidieron que vayan en 3 grupos ¿Cuántos alumnos irán en cada grupo?

d) Un automóvil recorrió 760 Km en 8 horas. ¿Cuántos Km recorrió en 1 hora?

QUINTO GRADO40


77

4. Halla los cocientes y los residuos

8 3 8 2 3

6 9 3 6

1 4 8

1 3 8

1 0

7 2 3 3 5 6 3 8 4 8

5 6 1 : 1 7 9 8 3 : 2 7 1 6 5 0 : 8 5

“La educación es la preparación a la vida completa”

QUINTO GRADO 41

78

5. Halla el dividendo o divisor según corresponda

190 ÷ 23 = 8; residuo 6

23 x 8 + 6 = 190

......... ÷ 7 = 11; residuo 3

.........

......... ÷ 8 = 25; residuo 5

.........

........ ÷ 9 = 45; residuo 5

.........

......... ÷ 8 = 41; residuo 2

.........

......... ÷ 5 = 67; residuo 4

.........

6. Lee, piensa, y resuelve los siguientes problemas:

a) Luis compra un departamento por S/.110 000. Si da una cuota inicial de S/.50 000 y el resto debe pagar en 5 años. ¿Cuánto pagará mensualmente?

b) Ocho buses llenan sus tanques con 320 galones de petróleo. Si los tanques son de igual capacidad. ¿Cuánto se pagó por combustible para cada bus, si el galón cuesta S/.5?

1. Efectúa las siguientes divisiones:

a) 2968 : 73 =

b) 62126 : 124 =

c) 827006 : 89 =

d) 516314 : 218 =

e) 729124 : 316 =

f) ) 82142 : 94 =

g) 76006 : 219 =

h) 281785 : 324 =

i) 62126 : 83 =

j) 5126783 : 397 =

k) 82700 : 726 =

l) 516123 : 423 =

m) 6124673 : 517 =

n) 4009003 : 88 =

QUINTO GRADO42

Aplico lo aprendido

77

o) 512692 : 516 =

p) 42673 : 612 =

q) 3128918 : 43 =

r) 25006124 : 264 =

s) 934129 : 517 =

t) 609008 : 482 =

:

2. Completa:

División Cociente Residuo

1348 ÷ 100 13 48

9936 ÷ 10

7285 ÷ 1000

8500 ÷ 1000

1200 ÷ 100

3. Resuelve:

a) Un agricultor cosechó 1200 kg de papa y los llena en sacos de 50 Kg cada uno. Si vende a S/.75 cada saco. ¿Cuánto obtuvo?

b) Una profesora sale de paseo con sus 40 niños a un parque de atracciones y dispone de S/.200. Si separa S/.82 para refrigerio. ¿Cuánto costó cada entrada?

PIENSA

Efectúa:

1. Si tenemos:

m = 3221; n = 697; p = 101

Calcular:

m + n + p = ?

2. Si:

c + d + e = 212

Calcular c cuando:

(d + e) = 21

QUINTO GRADO 43

78

POTENCIACIÓN EN IN

1. Términos

an = PDonde: a = base

n = exponente

P = potencia

2. Casos Especiales

a. Exponente Uno: a1 = a

Ejemplo:

1) 51 = 5

2) 9371 = 937

b. Exponente Cero: a0 = 1

Ejemplo:

1) 70 = 1

2) 8130 = 1

c. Productos de potencia de igual base:

am . an = am+n

Ejemplos:

1) 74 . 22 = 74+2 = 76

2) 53 . 55 = 53+5 = 58

d. Cociente de potencias de bases iguales

Ejemplos:

1) 93 : 92 = 93 – 2 = 91

2) 174 : 172 = 174–2 = 72

e. Potencia de Potencia

m.nmn a)a(

Ejemplos:

1) 124.343 77)7(

2) 63.232 66)6(

f. Potencia de un producto

(a . b)m = am . bm

Ejemplos:

1) (2.7)3 = 23 . 73

2) (2a)5 = 25 . a5

g. Potencia de un cociente

(a : b)m = am : bm

1) (15 : 5)2 = 152 : 52

“Sin metas y sin planes para alcanzarlas, se es como un barco que se

hace a la mar sin un punto de destino”

QUINTO GRADO44

La potenciación viene a ser la máxima expresión de una cantidad exponencial, que resulta de repartir la base como factor, tantas veces indique el exponente.

77

1. Resuelve aplicando la teoría de exponentes en los casos siguientes:

a)

2

65

=

b) 755 =

c) 25 =

d) 322 =

e) 86 : 82 =

f) 04376

=

g) (3 . 7)5 =

h) 27 . 24 =

i) (64)3 =

j)

4032216

=

k)3

5

8

8

=

l) 73 . 72 =

m) (6 . 5)3 =

n) 273 =

o) 14 =

p)

3

73

=

q) 5161 =

r) 82 =

s)5

7

13

13

=

t) (15 . 4)2 =

u) 60317

=


Como producto

Como potencia Base

Exponente Se lee Potencia

7 x 7 72 7 2 Siete al cuadrado 49

93

2 8

106

8 4

1 x 1 x 1 x 1 x 1

2. Observa los ejemplos y resuelve las operaciones con potencias

a) 23 x 22 = 2 3+2

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25

= 32

b)

= 8

QUINTO GRADO 45


Aplico lo aprendido

78

7

1. Resuelve:

1. 72 x 7 = 72+1 = 73 = 314

2. 102 x 103 = ____________________

3. 42 x 42 = _______________________

4. 32 x 33 = ______________________

5. 64 ÷ 62 = 64-2 = 62 = ______________

6. 85 ÷ 83 = _______________________

7. 47 ÷ 44 = ______________________

8. 35 ÷ 32 = ______________________


Base 8 2 10 40 6 70 73 90 98 80 60

Exponente 2 5 3 4 2 3 3

Valor 64 32 100 4 900 6 400 3 600

Número 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuadrado 4

Cubo 8

3. Observa cómo, aplicando la propiedad distributiva, puedes hacer cálculo rápido. Completa:

a) 23 x 9 = 23 x (10 - 1) = (23 x 10) - (23 x 1) = 230 - 23 = 207

b) 23 x 19 = 23 x (20 - 1) = (23 x 20) - _______________________________________

c) 72 x 99 = 72 x (100 - 1) = (72 x __________________________________________

d) 87 x 999 = 87 x ( ___ - ___ ) = ___________________________________________

e) 94 x 11 = 94 x (10 + 1) = (94 x 10) + (94 x 1) = 940 + 94 = 1 034

ACERTIJO:

QUINTO GRADO46

Aplico lo aprendido

Ahora te toca a ti

EL PASTEL: Se pretende dividir un pastel como el de la figura en el pensamiento del enanito, en 8 trozos iguales. ¿Cuál es el mínimo número de cortes necesarios para conseguirlo?

77

4. Completa el cuadro, reemplazando a, b y c por su valor numérico

a b c a + b + c (a + b) - c a + (c - b) a x b a ÷ b

1 630 21 15 1 666

857 7 185

2 625 100 24

122 58 105

3 485 34 258

5. Resuelve las operaciones combinadas

a) 3 [ 4 + (6 - 2) ] + [ 32 - (6 - 2)] - (7 - 5)3

b) 2 [ 33 - 32 ] - (4 + 0)2 - 2(7 + 3)

c) 26 - [13 - [2 x 3 - 5 x 10]} + (6 x 3 - 1) + (36 : 12)

6. Resuelve los problemas

QUINTO GRADO 47

“Estudiar para triunfar”

78

a) Un señor gana S/. 90 diarios y su esposa S/. 50 menos. Si gastan diariamente S/. 120, ¿cuánto les sobra cada día y cuánto ahorran al año?

Rpta. : _____________

b) He comprado 35 docenas de ponchos a S/. 24 la docena. Después he vendido a S/. 3 cada uno. ¿Cuánto he ganado?

Rpta. : _____________

c) Tres hermanos tienen una deuda común de S/. 432 510. ¿Cuánto le toca pagar a cada uno?

Rpta. : _____________

d) Tres niños se reparten 150 figuras. El primero recibe 25 y el segundo el triple que el primero. ¿Cuántas recibió el tercero?

Rpta. : _____________

COMPRUEBO LO QUE APRENDÍ

1. Resuelve operaciones con potencias

a) 63 ÷ 62 = ________

b) 34 x 32 = ________

c) 72 x 72 = ________

d) 163 ÷ 162= ______

e) 25 x 26 = ______

f) 44 x 42 = ______

g) 33 x 33 = ______

h) 35 ÷ 33 = ______

i) 33 ÷ 33 = ______

j) 482 x 482 = ______

k) 196 ÷ 195= ______

l) 59 ÷ 57 = ______

2. Resuelve las operaciones combinadas

QUINTO GRADO48

77

24 x 2 + 22 + 8 - (7 - 4) 88 - 2 x (7 - 4) + (5 - 2) 4 x 52 + (2 + 3) x 22

(20 x 3) + 4 - 8 x 23 [ (9 - 6) x 32 ] - 12 + (5 - 2) (5 - 1 + 4) - 2 + 12 ÷ (3 - 1 + 2)

3. Aplica la propiedad distributiva y resuelve

a) 72 x 111 = 72 x (____ + ____ + ____) = __x__ + __x__ + __x__= ______ + ______ + _____ = _____

b) 15 x 106 = 15 x (100 + 6) = 15 x ____ + 15 x ____ = ____ + ____ = ____

c) 42 x 108 = ____ x ( ____ + ____ ) = ____ + ____ = ___ + ____ = ____

4. Resuelve estos problemas

a) La suma de dos números es 1 245. Si la mitad del mayor es 424. ¿Cuáles son estos números?

b) Entre Ica y Piura hay una distancia de 1 331 km y entre Lima y Piura hay 1 023 km. ¿Cuántos kilómetros hay entre Ica y Lima?

c) Un negociante compra un saco de frijol de 48 kg en S/. 96. Si quiere ganar S/. 1 por kg, ¿a cómo debe vender cada kilogramo de frijol?

PIENSA UN POCO

Comienza con siete mil súmale cuatrocientos tres, réstale ahora once y me obtendrás a mí.

¿Quién soy?

……………….

QUINTO GRADO 49

78

RADICACIÓN EN IN

Sí:

Ahora te toca a ti:

“La ingratitud es la amnesia del corazón”

QUINTO GRADO

OPERACIONES COMBINADAS

( si tienen signos de agrupación , se resuelve primero las operaciones que estén en estos signos de la parte interior hacia la parte exterior ).

1 Las radicaciones o potenciaciones.

2.- Las multiplicaciones o las divisiones

3.- Las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

SOLUCION

DE LA OPERACION

50


77

RESOLVEMOS OPERACIONES COMBINADAS

I. Resuelve las siguientes operaciones combinadas

1. 12 + 3 - 5 + 4 - 6 + 8 x 2 - 10 : 5 x 2 =

A) 28 B) 20 C) 4 D) 8 E) 16

2. (4 + 8) 6 - 8 : (16 - 14) + 5 x 8 : 4 : 2 - 36 : 12 x 24 =

A) 72 B) 4 C) 73 D) 5 E) 1

3. [(18 - 6) : 4 + (12 - 4) : 4] + (8 x 7) : 14 – 5 =

A) 5 B) 18 C) 9 D) 4 E) 3

4. 400 - {(7 - 2) 9 : 3 x 4 + 16 : (15 - 7)} – 46 =

A) 318 B) 134 C) 292 D) 56 E) 4

5. 86 - 9 x 6 + (14 + 3 - 8) : 3 - 15 x 4 + 6 x 5 =

A) 5 B) 14 C) 86 D) 3 E) 1

II. Efectúa las operaciones combinadas siguientes:

1. 23 x 4 - =

Rpta: ...............

2. 2 x 14 : 7 + 23 - 13 + =

Rpta: ...............

3. 43 x 23 : 24 =

Rpta: ...............

4. 100 : 102 + 103 : 10 - 10 =

Rpta: ...............

5. 102 + 48 : 3 - 16 =

Rpta: ...............

6. (3 + 1)2 - 8 x 2 + 70 : 7 =

Rpta: ...............

7. [(8 x 2 x 3) ÷ 16]2 + [(5 + 7) ÷ 6]3 - [(5 + 13) ÷ 6]2 - [(8 - 6)4 ÷ (11 - 7)2] = ?

Rpta: ...............

8. {93 ÷ 81 - 36 ÷ 22 + 33 - 72 ÷ 7 - 22 x 4 - 12 + (3 + 5)2} ÷ 23 = ?

Rpta: ...............

9. 112 + 4 (23 - 22) - 34 (2 + 32) ÷ 11 + 24 x 4 ÷ 23 - 32 - 22 x 5 - (43 - 13 x 3) = ?

Rpta: ...............

10. [82 (14 - 7)0 - 73 ÷ 49 + 152 ÷ 5 (20 - 8 + 3) + 5 x 22] ÷ 24 =

Rpta: ...............

QUINTO GRADO 51

¿Resolvemos juntos?.

78

III. Simplifica:

1. A = 23 x 3 + (18 - 8) ;

B = 20 + [10 - (5 -3)2], el valor de 2A - B es:

2. Si: P = 4 x 3 - (8 - 6)3 - 1; y

Q = 2 x 32 + [410 : 10 + (3 - 2)2]

El valor de: P2 + PQ - Q es:

3.

4. (18 : 3 + 4 x 5 - 2) : (2 x 4 - 10 : 5) =

PROBLEMAS CON IN

1. Si 28 sacos de café cuestan S/. 3360 ¿Cuántos sacos de café podré comprar con S/. 1440?.

2. En 1978, Naomi James navegó alrededor del mundo en 272 días. ¿En cuántas semanas y días habrá navegado alrededor del mundo?.

3. Si después de repartir S/. 43 979 entre cierto número de obreros, a cada uno le corresponde S/. 584 de sueldo mensual y todavía sobran S/. 179. ¿Cuál es el número de personas?.

4. Por un artefacto a plazos se da 204 soles de inicial y por el saldo se firman 9 letras. ¿Cuál es el valor de cada letra, sabiendo que el artefacto vale 960 soles?.

QUINTO GRADO52

2x113x54:89:3x664 2323

77

5. En un estanque hay 36000 litros de agua, se abre un desagüe que deja pasar 6 litros en un minuto. ¿En cuántas horas se vaciará el estanque?.

6. Un comerciante compró cerdos por 1200 soles y los vendió por 1600 soles ganando 50 soles por cada cerdo. ¿Cuántos cerdos compró?.

7. Un sastre tiene 30 metros de tela que desea vender por S/. 2500. Si ha vendido 25 metros por S/.80 el metro. ¿A cómo debe vender el metro de los que les queda?.

8. El residuo de una división es 3, l dividendo 435 y el cociente 27. ¿Cuál es el divisor?.

9. El propietario de una librería compró 60 textos de Matemática de una distribuidora. Si dicha compra asciende a 1830 soles. ¿A cómo tiene que vender cada texto para ganar 270 soles?.

10. Cuántos libros de 40 soles cada uno comprará un comerciante con 1640 soles y cuánto obtendrá de ganancia, si lo vende a 48 soles cada uno?.

11. Roberto recibió de regalo por su cumpleaños 119 estampillas; luego 45 estampillas más. Regaló a su hermano menor, 56 estampillas. El resto lo distribuyó por igual entre sus 9 amigos. ¿Cuántas estampillas recibió cada amigo?.

12. Karina compra 5 metros de tela por S/ 280. ¿Cuánto pagará si compra 25 metros de dicha tela?.

QUINTO GRADO 53

78

13. Después de pagar una deuda de 8 000 soles, un padre que tiene 346 000 soles desea repartir el saldo entre sus 35 obreros. ¿Cuánto le tocará a cada obrero?.

14. Si a un número se le añade 12, de la suma obtenida se le resta 19 y la diferencia obtenida se multiplica por 7; se obtiene 56. ¿Cuál es el número inicial?.

15. En 30 días 64 obreros han hecho 230 400 cajas. ¿Cuántas cajas fábrica cada obrero al día?.

16. La capacidad de un deposito de agua es de 10 800 litro. ¿En cuántas horas se llenará si la cañería vierte 60 litros por minuto?.

17. ¿En cuántas horas se unirán dos ciudades distantes a 1 800 km en un auto que corre a 120 km por hora?.

18. Un negociante compró 8 docenas de piñas por S/.480. ¿Cuánto costó cada piña?.

19. Un comerciante compró algunas corbatas por S/. 182 y las vendió en S/224, ganando S/ 5 por cada corbata. ¿Cuántas compró?.

20. El socio de una cooperativa tiene una deuda de S/ 4 800. Si cada mes paga S/ 80 ¿En cuántos años debe pagar toda la deuda?.

QUINTO GRADO54

77

21. ¿Qué día y que hora es cuando ya han transcurrido 116 horas de la semana? (recordamos que el primer día de la semana es el lunes.

22. Un fábrica de chocolates, produce 5 500 000 chocolates al día; se envasan en cajas de 100 chocolates, luego éstos en cajones de 55 cajas. ¿Cuántas cajas y cajones se emplean diariamente?.

23. Un año tiene 52 semanas. ¿Cuántos años tendrás cuando hayas vivido 3432?.

24. Las Islas Bermudas se encuentran situadas en el Océano Atlántico. Tiene una población aproximadamente de 64200 habitantes. El área es de aproximadamente 52 kilómetros cuadrados. Calcula el promedio de habitantes por kilómetro cuadrado. (redondea los decimales).

UN POCO DE HISTORIA

Los hindúes inventaron el sistema de numeración decimal que utilizamos en la actualidad, y los árabes, lo extendieron por todo el mundo. A lo largo de la Historia se han utilizado distintas formas de contar y agrupar objetos. A estas distintas formas, las llamamos sistemas de numeración.

REPASAMOS LOS SISTEMA DE NUMERACIÓN

El abuelo de los sistemas de numeración: es el sistema en base 12. Fue utilizado por antiguas culturas como Mesopotamia y consiste en tomar la unidad como agrupaciones de doce elementos. Se cree que utilizaban las falanges de la mano para agrupar los elementos, ya que, utilizando todos los dedos de la mano, menos el pulgar, tenemos:

3+3+3+3 = 12

De esta forma, agrupaban los elementos de doce en doce:

1 docena = 12 elementos12 docenas = 144 elementos

Así, la docena se utiliza todavía en algunas medidas, como: para comprar huevos, pinzas de ropa, lapiceros, etc.

QUINTO GRADO 55

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

78

El sistema de numeración Maya: base 20. Este sistema tiene su explicación en culturas donde el clima era cálido, y las personas podían andar descalzas ¿por qué?; pues porque necesitaban para contar, las manos y los pies. Agrupaban los elementos en grupos de veinte de forma que:

1 grupo = 20

20 grupos = 20 x 20 = 400 y así sucesivamente

Aún quedan restos de este sistema en la numeración francesa, ya que el número 80, se dice quatre-vingt, es decir, cuatro veintes, 4 x 20 = 80.

En el sistema de numeración de los antiguos Babilonios: la base 60, utilizaban como base el número 60, es decir agrupaban todo en conjuntos de sesenta elementos. Aún hoy nos quedan restos de este sistema en nuestra cultura. Por ejemplo, la forma de medir el tiempo:

1 hora = 60 minutos

1 minuto = 60 segundos

SISTEMA BINARIO

Con este sistema matemático, funcionan todas las computadoras del mundo. Consiste en utilizar sólo dos cifras, el 0 y el 1. Para pasar un número de sistema decimal a sistema binario se hace de la siguiente forma:

Por ejemplo, para pasar el número "5"del sistema decimal al binario, se hacen divisiones sucesivas entre 2, de esta manera: El número "5" en base 2, se escribiría 101. Pero no se lee ciento uno, sino: uno, cero, uno.

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el número que indica la cantidad de unidades necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

El número A en base n se escribe An

En el sistema de base n, n es un número natural mayor que 1.

En el sistema de base 5, usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4.

En el sistema de base 7, usamos las cifras: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Descomposición Polinómica

534(6) = 5 x 62 + 3 x 6 + 4

30412(5) = 3 x 54+6 x 53+4 x 52+1 x 5+2

CAMBIO DE BASE

a) Cambio de Base 10 a Base n:

Para cambiar un número de base 10 a base n utilizaremos las divisiones sucesivas. Así:

Ejemplo:

- Convertir 14 a base 4

14 = 32(4)

- Convertir 78 en base 4

78 = 1032(4)

QUINTO GRADO56

14 4

12 3

2 14 = 32 (4)

77

1. Convertir los siguientes números a las diferentes bases (en tu cuaderno)

a) 64 en base 3

b) 83 en base 4

c) 918 en base 6

d) 513 en base 8

e) 87 en base 4

f) 956 en base 8

g) 117 en base 5

h) 3216 en base 8

i) 813 en base 7

j) 512 en base 2

k) 1513 en base 4

l) 913 en base 3

m) 792 en base 5

n) 809 en base 3

o) 894 en base 3

p) 215 en base 5

q) 2516 en base 6

r) 457 en base 8

s) 613 en base 8

t) 182 en base 2

b. Cambio de base n a base 10

Resolveremos mediante la descomposición polinómica. Así:

1. 23(4) = 2 (4) + 3

23(4) = 8 + 3

23(4) = 11

2. 456 (7)

1. Convierte al sistema decimal los siguientes números:

a) 3213(4) =

b) 2172(4) =

c) 7517(8) =

d) 73516(8) =

e) 4132(5) =

f) 82143(4) =

g) 4003(6) =

h) 3002(5) =

i) 8514(9) =

j) 2817(8) =

k) 12716(8) =

l) 13240(5) =

m) 83517(9) =

n) 510123(6) =

o) 73516(5) =

p) 523006(7) =

q) 40302(6) =

r)424612(7) =

QUINTO GRADO 57

Aplico lo aprendido

Aplico lo aprendido

78

A. MÚLTIPLO

Un número es múltiplo de otro, si contiene un número exacto y entero de veces.

Ejemplo:

M5 = {0; 5; 10; 15; 20; 25; ...}

1º Cero es múltiplo que cualquier número

2º Todo número es múltiplo de sí mismo

3º Todo número tienen infinitos múltiplos

OJO: el múltiplo de un número es infinito.

B. DIVISOR

Se dice que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.

Ejemplo:

D18 = {1,2,3,6,9,18}

1º La unidad es divisor de cualquier número

2º Todo número es divido que sí mismo

3º Todo número tienen una cantidad infinita de divisores.

QUINTO GRADO58

¡Trabajar juntos!

MÚLTIPLOS Y DIVISORES EN IN

77

1. Escribe los 7 primeros múltiplos de:

a) M6 = {……………………………}

b) M30 = {……………………………}

c) M8 = {……………………………}

d) M10= {……………………………}

e) M12 = {……………………………}

f) M5= {……………………………}

g) M30= {……………………………..}

h) M11= {……………………………..}

i) M3= {……………………………..}

j) M11= {……………………………..}

k) M15 = {……………………………..}

l)

m) M25= {………………………..}

n) M7= {……………………………..}

o) M4= {……………………………..}

p) M5= {……………………………..}

q) M92= {……………………………..}

r) M16= {……………………………..}

s) M6= {……………………………..}

t) M21= {……………………………..}

u) M78= {……………………………..}

v) M23 = {……………………………..}

w)M100= {……………………………..}

2. Halla los divisores de:

a) D8 = {……………………………..}

b) D28 = {……………………………..}

c) D6 = {……………………………..}

d) D30 = {……………………………..}

e) D10 = {……………………………..}

f) D32 = {……………………………..}

g) D12 = {……………………………..}

h) D36 = {……………………………..}

i) D15 = {……………………………..}

j) D32 = {……………………………..}

k) D16 = {……………………………..}

l) D35 = {……………………………..}

m) D20 = {……………………………..}

n) D42 = {……………………………..}

o) D20 = {……………………………..}

p) D40 = {……………………………..}

q) D21 = {……………………………..}

r) D24 = {……………………………..}

s) D22 = {……………………………..}

t) D25 == {…………………………..}

QUINTO GRADO 59

Recordando lo aprendido

78

1. Escribe 6 primeros múltiplos de:

a) M42 =

b) M80 =

c) M90 =

d) M73 =

e) M120 =

2. Halla los divisores de:

a) D50 =

b) D17 =

c) D24 =

d) D60 =

e) D55 =

A. DIVISIBILIDAD POR 2

Un número es divisible por dos, si la última cifra es cero o múltiplo de 2 (cifra par).

Ejemplo:

a) 7200 b) 628

B. DIVISIBILIDAD POR 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras da un número múltiplo de 3.

Ejemplo:

a) 630 = 6+3+0= 9 es múltiplo de 3

b) 178407 = 1+7+8+4+0+7 = 27 es múltiplo de 3

C. DIVISIBILIDAD POR 4+

Es divisible por 4, si sus dos últimas cifras terminan en cero ó múltiplo de 4.

Ejemplo

a) 1360 b) 12 364

D. DIVISIBILIDAD POR 5

Un número es divisible por 5 si su última cifra es cero o cinco.

Ejemplo:

a) 18 000 b) 755

E. DIVISIBILIDAD POR 6

Es divisible por 6, si es divisible a la vez por 2 y 3.

Ejemplo:

a) 510:

Es divisible por 2 cuando su última cifra es cero.

Es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Así: 5+1+0=6

F. DIVISIBILIDAD POR 8

Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras terminan en ceros o múltiplos de ocho.

a) 5000 b) 8064++

G. DIVISIBILIDAD POR 9

Es divisible por 9, cuando sumadas sus cifras dan nueve o múltiplos de nueve.

Ejemplo:

a) 612 = 6+1+2+ = 9 es múltiplo de 9

b) 7803 = 7+8+0+3+ = 18 es múltiplo de 9.

H. DIVISIBILIDAD POR 10

Un número es divisible por 10 cuando termina siempre en cero.

Ejemplo:

QUINTO GRADO60

Aplico lo aprendido

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

77

a) 8120 b) 716 400

I. DIVISIBILIDAD POR 11

Un número es divisible por 11, si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11.

Ejemplo:

a) 9 873 226

6+2+7+9 = 24 (1)

2+3+8 = 13 (2)

24 - 13 = 11

ACERTIJO:

QUINTO GRADO 61

¿Cuál es el número mínimo de cerillas que se han de quitar para que en el dibujo queden 4 triángulos equiláteros exactamente iguales a los 8 que hay? (no puede quedar ninguna cerilla suelta)

78

I. Marca con un aspa si consideras que el número A de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la dila horizontal superior.

Número A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ES PAR

3 366 x x x x x

71 110

4 496

392

2 585

6 180

2 528

5 080

2 235

48 265

43767

8 046

775

69 575

5 712

3 588

18 046

49 347

104 265

3 401 734

626 813

455 792

QUINTO GRADO62

Aplico lo aprendido

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

77

A. NÚMERO PRIMO

Es aquel número que tienen como únicos divisores a la unidad y así mismo.

a) D2 = {1; 2}

b) D13 = {1; 13}

B. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ

Se dice que dos o más números naturales son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.

Ejemplos:

a) D5 = {1; 5} D6 = {1; 2; 3; 6}

b) D7 = {1; 7} D14 = {1; 2; 7; 14}

C. NÚMEROS COMPUESTOS

Son aquellos números que además de tener como divisores a la unidad y a sí mismo, tienen otros divisores.

Ejemplos:

a) D8 = {1; 2; 4; 8}

b) D10 = {1; 2; 5; 10}

1. Marca con un aspa según el número dado sea PRIMO ABSOLUTO o COMPUESTO.

NÚMERO PRIMO COMPUESTO NÚMERO PRIMO COMPUESTO

7 X 341

24 X 311

111 321

173 409

187 413

119 477

213 419

217 509

2. Escribe todos los divisores de los números dados y forma las parejas de dichos números cuyos

elementos sean números primos entre sí.

QUINTO GRADO 63

Aplico lo aprendido

78

NÚMERO DIVISORES NÚMERO DIVISORES

12 45

15 48

28 50

33 54

42 55

QUINTO GRADO64

77

DESCOMPOSICION DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS

Teorema fundamental

Todo número natural positivo mayor que la unidad se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si elevados a cierto exponente, está descomposición es única y se le denomina: “DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA”.

Ejm :

Número de divisores de un número compuesto

Sea número compuesto N expresado en función de sus factores primos.

La cantidad de divisores de N estará dado por:

Ejemplos:

Hallar el número de divisores de 540.

1. Se escribe el número en función de sus factores primos.

2. Se toman los exponentes; y se les suman uno y se multiplican; el producto es el número total de divisores.

Entonces 540 tiene 24 divisores.

ACERTIJO:

QUINTO GRADO 65

¿Cuál es el número mínimo de cerillas que hay que mover para que el cerdito quede mirando hacia el lado contrario (hacia la dicha)?

78

I. Descompón canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichos números.

a) 120 =

b) 900 =

c) 240 =

d) 1 200 =

e) 90 =

f) 1 580 =

g) 180 =

h) 1 620 =

i) 240 =

j) 1 840 =

k) 300 =

l) 2 000 =

m) 360 =

n) 2 380 =

o) 520 =

p) 2 600 =

q) 400 =

r) 3 600 =

s) 480 =

t) 3 800 =

u) 560 =

v) 4 500 =

w) 724 =

x) 5 200 =

y) 846 =

z) 6 800 =

QUINTO GRADO66


PROCEDIMIENTO

A. Por Descomposición en Factores Primos

Hallar el M.C.D. de 24 y 30

1° Descomponemos 24 Y 30:

24 = 23 x 3 30 = 2 x 3 x 5

Los factores comunes son: 2 y 3

2 x 3 = 6

MCD = 6

Hallar el MCD de 120; 350 y 240

120 = 23 x 3 x 5

350 = 2 x 52 x 7

240 = 24 x 5 x 3

Los factores comunes son: 2 y 5

2 x 5 = 10

MCD = 10

B. Por el Método Abreviado

Hallar el MCD de 30, 84 y 66

MCD = 3 x 2 = 6

30 84 66 2

15 42 33 3

5 14 11

El M.C.D.(30,84,66) = 2 x 3

M.C.D.(30,84,66) = 6

1. Considerando que un DIVISOR divide exactamente a un número dado, completar el siguiente cuadro hasta hallar el M.C.D. de los números señalados aplicando sólo el concepto de M.C.D.

El M.C.D. de dos o más números naturales es el mayor divisor común de los números dados.

Aplico lo aprendido

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

DIVISORES COMUNES A: NÚMERO DIVISORES

36 Y 27 40 Y 18 38 y 30 72 y 40 45 y 30 42 y 32

72

38

45

36

40

32

27

18

30

42

MCD =>

2. Calcular el M.C.D. de los siguientes números por «golpe de vista»

NÚMEROS 5 y 3 6 y 3 12 y 4 7 y 8 3 y 4 18 y 3 18 y 6 24 y 5 16 y 12

MCD


MCD

3. Hallar el M.C.D. de los siguientes números aplicando DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y comprueba tu respuesta hallando el mismo M.C.D. por el Método Abreviado.

01) 60 y 90 05) 35; 70 y 80 09) 25; 40; 15 y 80

02) 32; 40 y 50 06) 45; 85 y 100 10) 16; 30; 64 y 72

03) 54; 80 y 64 07) 12; 60 y 72 11) 180; 300; 240 y 360

04) 18; 64 y 72 08) 18; 60 y 54 12) 720; 400; 520; 800

PROCEDIMIENTO

A. Por Descomposición en Factores Primos

a) Hallar el MCM de 120, 36 y 30

120 = 23 x 3 x 5

36 = 22 x 32

30 = 2 x 5 x 5

Extraemos los factores comunes y no comunes cada uno con su mayor exponente. El producto de éstos es el MCM buscado.

MCM = 23 x 32 x 6

MCM = 360

B. Por el Método Abreviado

a) Hallar el MCM de 120, 36 y 30

120 36 30 2

60 18 15 2

30 9 15 2

15 9 15 3

5 3 5 3

5 1 5 5

1 1 1

ACERTIJO:

El MCM de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de los números dados.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

Una bomba está a punto de estallar, y su mecanismo de desactivación consiste en colocar 4 litros EXACTOS sobre una báscula conectada al sistema de detonación. Para ello solo disponemos de un grifo que nos abastece de todo el agua que requiramos y 2 bidones adicionales vacíos, de capacidades 3 y 5 litros respectivamente (no se dispone de ningún otro bidón, y por se desprecia el peso del plástico de los 2 que tenemos). ¿Cómo conseguimos los 4 litros exactos para que la bomba no estalle?

1. Considerando que un MÚLTIPLO contienen exactamente a un número dado, completa el siguiente cuadro hasta hallar el M.C.M. de los números señalados, aplicando sólo el concepto de M.C.M. (Escribir sólo los 10 primeros múltiplos de cada número)

DIVISORES COMUNES A: NÚMERO MÚLTIPLOS

36 Y 27 40 Y 18 38 y 30 72 y 40 45 y 30 42 y 32

6 6;12;18;24;30;36;42;48;54;… 24

8 8;16;24;32;40;48;56;64;72;… 48

12

15

18

16

20

24

2

36

MCM =>

2. Calcula el MCM de los siguientes números por «golpe de vista»


MCM


MCM

3. Halla el MCM de los siguientes números aplicando descomposición en FACTORES PRIMOS y comprueba tu respuesta hallando el MCM por el MÉTODO ABREVIADO

a) 60 y 90 e) 35; 70 y 80 i) 25; 40; 15 y 80

b) 32; 40 y 50 f) 45; 85 y 100 j) 16; 30; 64 y 62

c) 54; 80 y 64 g) 12; 60 y 72 k) 180; 300; 240 y 360

d) 18; 64 h) 18; 60 y 54 l) 720; 400; 520; 800 y 640

PROBLEMAS DE MCD Y MCM

Plantea y resuelve los problemas en tu cuaderno.

1. Dos tiras de cartulina de 12 y 20 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?

2. Narciso pregunta a su padre ¿Cuántos años tienes? y él le contesta: “él número de mis años es múltiplo de 7 y también de 5; por otra parte no llego a 45”. ¿Cuántos años tiene el padre de Narciso?

Aplico lo aprendido

3. Tres aviones salen de Trujillo el primero cada 6 días, se segundo cada 5 días y el tercero cada 10 días, Si hoy sales los tres juntos. ¿Dentro de cuántos días volverán a salir juntos?

4. Un hijo pregunta a su padre por su edad lo que él contesta: “Si mi edad se divide entre 6; 12; 16 siempre que de residuo 3” Si la edad del padre no llega a 55 años ¿Cuántos años tiene el padre?

5. De las 256 clases de matemática al año. Gabriel asistió a un número de ellas que es múltiplo de 8, 16 y 15. ¿A cuántas clases asistió y a cuantas no asistió?

6. Un comerciante elabora antenas para televisores, utiliza varillas de aluminio de 40cm y de 80cm. Se desea saber:

a. La menor longitud de una varilla que necesita si que falte ni sobre nada

b. El número de piezas de 40 cm, de 60 cm o de 80 cm.

7. ¿Cuál es el mayor número que al ser dividido por 12, por 18 o por 20, deja de residuo siempre 3?

8. Tres amigos turistas parten regularmente de la misma ciudad cada 7, 14 y 18 días respectivamente. La última vez que salieron juntos fue el 17 de mayo de 1997; con la promesa de reunirse las tres en la primera oportunidad para intercambiar ideas de sus inquietudes. ¿En qué fecha se produce el reencuentro?

9. Un padre da a uno de sus hijos 30 caramelos a otro 45 caramelos y a otro 25 caramelos para obsequiar a sus compañeros, de modo que todos den a sus compañeros la misma cantidad. ¿Cuál es el mayor número de caramelos que podrá dar a cada compañero cuántos son los compañeros favorecidos?

10. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 18cm, de 30cm y de 25 cm de largo?

11. Tres llaves de un estanque vierten respectivamente 15, 24 y 60 litros por minuto. Si cualquiera de las llaves puede llenarlo en un número exacto de minutos. ¿Cuál es la menor cantidad del estanque?

12. ¿Cuál es el mayor número que divide exactamente a 30, 75 y 120?

¿SABIAS QUÉ?

Las matemáticas nos hacen la vida más fácil

Las fracciones son muy útiles para muchos aspectos de nuestra vida diaria, y también para los trabajos de la escuela. Cuando hagas un trabajo o en tus apuntes de clase, numera siempre las hojas con fracciones, así sabrás cuántas tienes en total y podrás ordenarlas siempre correctamente. Imagina que tu trabajo tiene 50 hojas, entonces las numerarías así: 1/50, 2/50, 3/50... De esta forma, siempre podrás conocer las páginas del trabajo y te será más fácil ordenar y buscar.

TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN:

Una fracción se compone de dos números: el numerador, que es el número de arriba, y el denominador, que es el de abajo.

LECTURA DE FRACCIONES

Para leer una fracción, nombramos primero el número del numerador, y después leemos el denominador de esta forma:

Número de Denominador Leemos

2 medio

3 tercio

4 cuarto

5 quinto

6 sexto

7 séptimo

8 octavo

9 noveno

10 décimo

Por ejemplo si queremos leer las fracciones: 3/4, 7/5, 5/9, lo haremos así: tres cuartos, siete quintos y cinco novenos.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Al proceso de reducir una fracción a su mínima expresión se denomina simplificación; para lo cual se divide por un mismo número al numerador y al denominador a la vez, tantas veces sea posible.

Ejemplo:

“Una fracción, nos indica que la unidad se ha dividido en partes iguales, y de esas partes, cogemos una o varias. Las fracciones 4/16 y 1/8, también se pueden representar con un dibujo”

FRACCIONES

II. Simplifica las siguientes fracciones en tu cuaderno:

III. Relaciona mediante flechas las fracciones equivalentes:

¿SABIAS QUE?

Los

egipcios y las fracciones

Ahora te toca a tí

3

2

960

300

5

2

24

20

16

5

48

32

6

5

25

10

5

2

75

25

2

1

8

6

3

1

30

12

4

3

18

9

El pueblo egipcio realizó muchos avances en matemáticas. Aparte de grandes números y amplios conocimientos de geometría, también utilizaban las fracciones, pero no con los números que utilizamos en la actualidad, para ellas, utilizaban unos símbolos especiales.

NOS DIVERTIMOS CON LAS FRACCIONES

IV. Completa los siguientes cuadros:

LA FRACCIÓN SE LEE

….………………………………………….......................

………………………………………..................................

…..…………………………………...................................

..……………………………………..................................

…………..…………………………..................................

………..…………………………….................................

……..……………………………….................................

…..…………………………………................................

………….……………………………………….................

………………………………………………….................

Nueve veintitresavos

Dieciocho quinceavos

Un centésimos

Quince ochentiunavos

Ciento tres milésimos

Quince catorceavos

Mil ocho milésimos

Nueve cien milésimos

Cuatrocientos seis centésimos

cuarenta y tres centésimos

V. Calcula la fracción del número que se indica en cada caso:

VI. Une mediante una línea cada fracción con el que corresponda:

ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES

1. ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas, sólo adicionamos o sustraemos los numeradores, y colocamos el mismo denominador. Así:

OPERACIONES CON FRACCIONES

Ahora te toca a ti:

I. Resuelve:

2. ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON FRACCIONES HETEROGÉNEAS:

Para sumar o restar fracciones heterogéneas (diferente denominador) se reducen las fracciones a un mínimo común denominador (m.c.d.), luego se suman o restan las fracciones homogéneas obtenidas. Ejemplo:

a) Halla:

1° Hallamos el M.C.M. de los denominadores.

8 15 12 2

4 15 6 2

2 15 3 2

1 15 3 3

1 5 1 5

1 1 1

2° Dividimos el M.C.M. hallado con el primer denominador y luego multiplicamos con su numerador. De esta forma con todas las fracciones.

3° La respuesta puede ser simplificada. Así:

M.C.M. (8, 15, 12) = 23 x 3 x 5 =120

Ahora te toca a ti:

I. Resuelve las adiciones que a continuación se te presentan:

II. Halla el resultado de las siguientes adiciones:

III. Halla el resultado de las operaciones combinadas; efectúa primero las operaciones dentro de los símbolos de agrupación:

IV. Lee, plantea y resuelve los problemas con adiciones y sustracciones de fracciones:

1. ¿Cuánto le falta a 7/8 para ser igual a 2?

2. Después de trabajar el lunes ½ del trabajo y el martes 1/3. ¿Qué parte del trabajo falta para terminarlo?

3. Nadia tiene S/. 75, de los que da a Diana S/. 35 y a Otilia S/. 25 ¼ . ¿Cuánto le queda?

4. Paulo ha pintado 1/8 de una pared y Adrian 1/4más que Paulo. ¿Qué parte de la pared les falta pintar para acabarlo?

5. Ángela retira 2/5, ¼ y 3/10 de lo que tiene ahorrado en el Banco de la Nación. ¿Qué parte de su dinero le queda en el banco?

6. Rosangela pinta una varilla de la siguiente manera. Las ¾ partes lo pinta de azul, la 1/6 parte lo pinta de amarillo y lo restante lo pinta de rojo. ¿Qué parte de la varilla pintó de rojo?

7. Saraí tenía 34 2/5 metros de tocuyo, vende 29 ½ metros; luego compra 100 metros. ¿Cuántos metros tiene ahora?

8. De las naranjas que produce una mata, Carlos recibe 1/5, Rosa 1/3 y Augusto 3/10. ¿Cuánto reciben entre los tres?

9. Del dinero que tengo, gasto los 5/9 en comer; los 7/10 en comprar ropa. ¿Qué parte del dinero me queda aún?

10. Miguel, Juan y César compraron una cometa, Miguel pagó 1/6 del precio; Juan pagó los 2/3 y César 1/12, el resto lo quedaron debiendo. ¿Cuánto pagaron entre los tres y cuánto quedaron debiendo?

11. Una persona ha invertido 2/8 del día en trabajar, 1/6 del día en las comidas y en trasladarse a su casa, y 8 horas en dormir. ¿Qué tiempo libre le ha quedado?

a) 6 horas b) 8 horas c) 2 horas d) 5 horas

MULTIPLICACIÓN CON FRACCIONES

I. Resuelve en tu cuaderno y expresa cada resultado en su mínima expresión

II. Halla los productos por el método práctico:

III. PROBLEMAS CON MULTIPLICACIONES CON FRACCIONES:

1. Preguntando Luis por la hora respondió: ”Son las 2/3 de las ¾ de las 5/8 del día”. ¿qué hora señalaba su reloj?

2. De los 200 litros de aceite que tiene un depósito se vende 4/5. ¿Cuántos litros quedan por venderse?

a) 20 litros b) 30 litros c) 40 litros d) 50 litros

3. De un total de 900 libros, Esther vende loa 5/6. ¿Cuántos libros le queda por vender?

a) 150 b) 175 c) 200 d) 250

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. De las fracciones dadas.

4. Ignacio tenía en el Banco Interbank S/. 5 600; retira los 7/8 de sus ahorros para comprar un carro. ¿Cuánto dinero tiene aún en el banco?

a) S/. 500 b) S/. 600 c) S/. 700 d) S/. 800

5. Se han vendido los 2/3 de una pieza de tocuyo de 240 metros; luego ¼ del resto. ¿Cuántos metros quedan?

a) 50 m b) 60 m c) 65 m d) 70 m

6. ¿Cuánto es los 2/3 de los 3/5 de 40?

a) 20 b) 18 c) 17 d) 16

7. En el salón del 6º grado de primaria del colegio “Claret”, la mitad de los alumnos son varones y la tercera parte de ellos juegan básquet. ¿Qué parte del total juegan básquet?

8. Paulo César corre 2/5 de kilómetro en 10 minutos. ¿Cuántos metros corre en 30 minutos? (1 km 0 1 000m)

a) 1 200 m b) 1 100 m c) 1 000 m d) 900 m

9. Un reloj se retrasa 7/12 de minutos por hora. ¿Cuántos minutos se atrasará en un día y medio?

a) 20 min b) 21 min c) 22 min d) 24 min

10. Una costurera emplea ¾ de metro de tela para confeccionar una blusa. ¿Cuántos metros necesitará para confeccionar dos docenas de blusas iguales?

a) 24 m b) 22 m c) 20 m d) 18 m

DIVISIONES CON FRACCIONES

Ejemplo:

ACERTIJO:

Para dividir una fracción entre otra, se invierte el divisor y luego se procede a multiplicar directamente el numerador con el numerador y el denominador con el denominador.

Se pretende conseguir que de la hilera de 8 vasos de la figura, queden al final llenos y vacíos de forma alternada (o sea el primero lleno, el segundo vacío, el tercero lleno, etc. o al contrario). ¿Cuál es el número mínimo de vasos que hay que mover para conseguirlo?

I. Halla el cociente de las siguientes divisiones:

II. Halla el cociente de un número natural entre una fracción o viceversa:

CASOS ESPECIALES DE LA DIVISIÓN CON FRACCIONES:

1º Caso 2º Caso 3º Caso

Ejemplo:

Ejemplo: Ejemplo:

Aplico lo aprendido

OTRA FORMA DE HALLAR COCIENTES:

Halla el resultado de cada expresión:

III. Problemas con divisiones de fracciones:

1. Ricardo tiene un listón de madera de 10 m de longitud, que debe cortar en pedazos de ½ m. ¿Cuántos pedazos obtiene?

a) 18 b) 20 c) 22 d) 24

2. ¿Por qué número hay que dividir 12 para obtener 3/4?

a) 16 b) 14 c) 12 d) 18

3. Si el kilogramo de carne cuesta S/. 4 ½. ¿Cuántos kilogramos podré comprar con S/. 27?

a) 4 kg b) 6 kg c) 8 kg d) 10 kg

4. ¿Cuál es la velocidad por hora de un automóvil que recorre 735 km en 5 5/6 horas?

a) 130 km/h b) 128 km/h c) 126 km/h d) 135 km/h

5. Para confeccionar un saco de terno se necesita 1 5/7 de tela. ¿Cuántos metros se necesitará para confeccionar 14 sacos?

a) 24 m b) 22 m c) 18 m d) 28 m

6. Cristina debe envasar 150 litros de leche en recipientes de 1 ½ litros. ¿Cuántos envases necesita?

a) 200 b) 150 c) 100 d) 170

7. Un caño echa 5 7/8 litros de agua por minuto. ¿En cuántos minutos llenará un depósito de 940 litro?

a) 2h 30 min b) 2 h 40 min c) 2 h 45 min d) N.A.

8. Un reloj se adelanta 5/12 de minuto cada hora. ¿Cuántos minutos se adelantará en 3 días?

a) 30 min b) 25 min c) 20 min d) 35 min

9. Sandra decide premiar a los alumnos de su salón dándoles S/. 5 ½ a cada uno. Si reparte S/. 110 en total. ¿Cuánto son los niños beneficiados?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25

10. Marcia hace un trabajo en 10 horas. ¿Qué parte del trabajo ejecuta en 2 horas?

a) ¼ b) 1/5 c) 1/8 d) ½

POTENCIACIÓN CON FRACCIONES

O sea:

1. Halla las potencias de:

El valor de A2 es:

El valor de es:

Para hallar la POTENCIA de una fracción basta elevar el numerador y denominador a dicho exponente.

Aplico lo aprendido

RADICACIÓN CON FRACCIONES

Sí:

PRACTIQUEMOS UN POCO

1. Halla las raíces de:

2. Halla el valor de

Sí:

1. Resuelve las operaciones combinadas que se te presentan:


( si tienen signos de agrupación , se resuelve primero las operaciones que estén en estos signos de la parte interior hacia la parte exterior ).

1 Las radicaciones o potenciaciones.

2.- Las multiplicaciones o las divisiones

3.- Las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

SOLUCION

DE LA OPERACION



2. Resuelve las operaciones combinadas en tu cuaderno, teniendo presente las jerarquías operativas:

FRACCIONES COMPLEJAS

Son aquellas cuyo numerador y/o denominador son fracciones. Así:

Ojo: Para reducir una fracción compleja a simple, se efectúa la multiplicación del numerador entre las fracciones del denominador. Así:

Ahora te toca a tí

Resuelve los ejercicios planteados en tu cuaderno:

PROBLEMITAS

1. Jessica debe S/. 75, si paga S/. 25. ¿Qué parte del total debe aún?

a) 1/3 b) ½ c) 2/3 d) 4/3

2. Aldo realiza el lunes 1/8 de una obra, el martes ¼, si debe terminar la obra el día miércoles. ¿Qué parte de la obra ejecuta el miércoles?

a) 5/8 b) ½ c) 2/8 d) 4/8

3. Al terminar una trabajo reciben Juan 4/5 de S/. 150, Rubén ¾ de S/. 200 y Maura 7/8 de S/. 400. ¿Cuánto reciben los tres juntos?

a) S/. 600 b) S/. 620 c) S/. 564 d) S/. 782

4. Nadia tiene 24 metros de tela, si necesita ¾ de metro para hacer un vestido de muñeca. ¿Cuántos vestidos hará con los 24 metros?

a) 26 b) 28 c) 30 d) 32

5. Sí por un cuarto de kilogramo de oro se paga S/. 1 500. ¿Cuánto se pagará por dos kilogramos?

a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000 d) 14 000

6. Kelly resolvió la ½ de su tarea, Maicol la 3/5 partes y David 5/6. ¿Quién de los tres resolvió la mayor parte de su tarea?

a) Nelly b) Maicol c) David d) Ninguno

7. Nancy tiene una parcela de terreno, siembra 1/10 de lechuga, 2/5 de espinaca y el resto de col. ¿Qué parte del total esta sembrado de col?

a) 1/10 b) 5/10 c) 7/10 d) 4/10

8. Un ciclista empieza a correr a las 10 ¾ horas, sí corre 2 ½ horas. ¿A qué hora termina la carrera?

a) 13 1/3 b) 13 ½ c) 13 1/4 d) 13 4/3

9. Un recipiente de vino tiene una capacidad de 8 ¼ litros, si se vende primero 2 ½ litros y luego 3 ¼ litros. ¿Qué cantidad de vino queda en el recipiente?

a) 2 litros b) 2 ½ litros c) 2 2/3 litros d) 4 1/3 litros

10. Raquel tiene 120 kg de miel que debe guardar en recipientes de ¾ kg. ¿Cuántos recipientes necesita?

a) 100 b) 150 c) 160 d) 180

LAS UNIDADES DECIMALES

a) María no se encuentra bien. Hoy no irá a la escuela, su madre le ha puesto el termómetro, y tiene unas décimas de fiebre.

El termómetro está graduado desde 35 grados de temperatura, hasta 41. Cada una de las temperaturas está dividida en diez partes, cada parte es una décima y se puede representar con una fracción 1/10 o con un número decimal 0,1. Se lee cero coma uno.

Las unidades decimales se representan siempre después de una coma y resultan de dividir una unidad en diez, cien o mil partes. Si la unidad se divide en diez partes, se llama décima; si se divide en cien, centésima y si se divide en mil partes, milésima.

En nuestras notas de clase, en los tiempos que realizan los deportistas, o para medir nuestra estatura, utilizamos los números decimales. Estos números, nos permiten obtener medidas más exactas que los números enteros.

NÚMEROS DECIMALES

EL VALOR DE POSICIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.

Hoy han dado las notas del examen de matemáticas. Luis ha sacado un 5,75, casi por los pelos y Ana un 7,253, una buena nota. Las dos calificaciones son números decimales, números que tienen dos partes separadas por una coma. A la parte de la izquierda, se le llama parte entera y a la de la derecha, detrás de la coma, parte decimal.

a) El número 5,75 tiene 5 unidades de parte entera, 7 décimas y 5 centésimas.

También podemos descomponer el número de la siguiente manera:

5 unidades.

7 décimas = 0,7 unidades.

5 centésimas = 0,05 unidades.

b) El número 7,253 tiene 7 unidades, 2 décimas, 5 centésimas y 3 milésimas, o lo que es lo mismo:

7 unidades.

2 décimas = 0,2 unidades.

5 centésimas = 0,05 unidades.

3 milésimas = 0,003 unidades.

TABLERO DE VALOR POSICIONAL DE NÚMEROS DECIMALES

DE

CE

NA

S D

E

MIL

LA

R

UN

IDA

DE

S D

E

MIL

LA

R

CE

NT

EN

AS

DE

CE

NA

S

UN

IDA

DE

S

CO

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AL

déc

imo

s

cen

tési

mo

s

milé

sim

os

die

z m

ilési

mo

s

cien

milé

sim

os

mill

on

ésim

a

DM UM C D U , d c m dm cm mll

Coma decimal

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES

Para leer un número decimal, escribimos primero la parte entera, seguida de la palabra "unidades" y a continuación la parte decimal, seguida de la palabra décimas, centésimas o milésimas, según tenga una, dos o tres cifras decimales. Por ejemplo:

a) 3,4: Se lee, tres unidades y cuatro décimas.

b) 12,58: Doce unidades y cincuenta y ocho centésimas.

c) 45,786: Cuarenta y cinco unidades y setecientas ochenta y seis décimas.

Para escribir un número decimal, ponemos primero la parte entera y al llegar a la palabra "unidades", ponemos la coma. Después escribimos la parte decimal, teniendo en cuenta que debe tener el número de cifras decimales que corresponde a la palabra final. Es decir, si queremos escribir los números: Catorce unidades y cuarenta centésimas: 14,40.

1. Completa en los espacios que faltan del cuadro:

FRACCIÓN DECIMAL NÚMERO DECIMAL SE LEE

0,3 Tres décimos

0,14

0,001

Veinticuatro milésimos

0,0078

5 enteros 312 diez milésimos

2,006

1,3472

2. Lee los siguientes números decimales:

a) 0,273 = …………………..……………………………………………….………

..

b) 87, 306 = ………………..……………………………………………..…………

c) 0, 01 = …………………..………………………………………………….……

d) 2, 1 = ………………..………………………………………………………..…

e) 92,945= …..……………………………………………………………………

f) 568,2487 = .…………………………………………………………………..…

Ahora te toca a tí


g) 0,0014 = ….…………………………………………………………….……

h) 103,25 = ……………………………………………………………………

i) 0,38 = ……..………………………………………………………………

2. Escribe los siguientes números decimales:

a) Cinco enteros y cinco décimos = ………………………….

b) Veintidós centésimos = ………………………………….....

c) Dos enteros y veintinueve cien milésimos = …………….

d) Cinco milésimos = ………………………………………….

e) Un diez milésimos = …………………………….………….

f) Treinta y cuatro enteros, trece milésimos = …………………….

g) Cuatro enteros, cinco millonésimos = …………………………..

h) Tres diez milésimos = ……………………..

COMPARACIÓN DE DECIMALES:

I. Marca la alternativa que consideres adecuada:

1. ¿Cuál es el menor de los números decimales presentados:

a) 0,76 b) 0,7 c) 0,734 d) 0,00076

2. ¿Cuál es el mayor de los números?

a) 4,38 b) 4,098 c) 4,982 c) 4,9

3. Coloca el número que falta:

a) __________ > 87,469 b) 65,328 < __________

c) 278,85 = _________ d) ________ < 846,75 – 376,9

4. Coloca <, > ó = en los siguientes casos:

23,986 __________ 72,687

0, 657 __________0,675

99,876 __________99,646

76,85 __________67,58

81,56 __________ 98,74

76,89 __________76,89

299,768__________387,85

5. Ordena en forma ascendente (de menor a mayor)

23,867; 76,476; 98, 736; 10,756; 8,37; 25,8; 80,67; 87,56

______________________________________________________________________________

6. Ordena en forma descendente (de mayor a menor)

54,86; 53,67; 60,35; 54,80; 64,67; 50,756; 68,746; 56,89

7. Daniela paga por 2 kg de turrón con un billete de S/. 20 y recibe de vuelto S/. 4,50; luego compra 2 kg de carne a S/. 9,75 el kilogramo. ¿Cuánto gastó en total?.

8. Ángela tiene 350 kg de quinua, vende primero 53,80 kg, luego el doble de lo que vendió primero menos 17,50 kg y la tercera venta tantos kilogramos como las dos ventas anteriores juntas. ¿Cuántos kg aún les falta vender?

9. Mariluz compra 15,25 metros de percala a S/.8 el metro. Si paga con dos billetes de S7. 50. ¿Cuánto recibe de vuelto?.

10. Lee los siguientes números decimales:

a) 0,273 = …………………..……………………………………………….………

..

87, 306 = ………………..……………………………………………..…………

ADICIONES Y SUSTRACCIONES CON NÚMEROS DECIMALES:

Para sumar o restar números decimales se sigue los siguientes pasos:

1. Se escriben los números decimales verticalmente. De modo que las comas queden en la misma columna (es decir ordenando las comas).

2. Si los números no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se añaden a la derecha los ceros necesarios que tengan igual cantidad.

3. Se suma o se resta normalmente y se agrega la coma al resultado bajo la columna de las comas.

Ejemplos:

ADICIÓN SUSTRACCIÓN

12,45 + 3,567 + 0,65= 56,847 – 24,98 =

12,450 +

3, 567

_ 0,65 0 __

16, 667

56,847 -

24,98 0

31,867

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Aplico lo aprendido

1. ADICIONES CON NÚMEROS DECIMALES:

Halla el resultado de las siguientes adiciones:

a) 25,214 + 0,182 + 6,2 =

b) 0,6 + 12,3 + 3 + 0,005 =

c) 872 + 34,567 =

d) 32,342 + 23, 34 + 3,120 =

e) 834 + 0, 4746 + 2,4 =

f) 0, 236 + 34, 523 + 34,45 =

g) 64,82 + 6,36 + 6 525 =

h) 98,47 + 4,87 + 237,674 =

i) 364,983 + 0,736 + 826 =

j) 284, 736 + 5,9027 + 0,64 =

2. SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS DECIMALES:

Resuelve y halla la diferencia de los siguientes ejercicios:

a) 258,54 – 35, 88 =

b) 1 500 – 627, 726 =

c) 400 – 263, 079 =

d) 317,6 – 198 =

e) 38,4 - ( 40 – 17,378) =

f) (13 + 43,74) – (43,65 – 41,7) =

g) 1 000 – [348,7 + (500 – 72,456)] =

h) 1 235,8 – [759,5 + (624 –

329,682) ] =

i) 284, 746 – (87,3556 +129 ) + 1,23 =

j) (827,34 – 736,2) + (23, 453 – 12,34) =

EJERCICIOS

Plantea y resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

1. Daniela paga por 2 kg de turrón con un billete de S/. 20 y recibe de vuelto S/. 4,50; luego compra 2 kg de carne a S/. 9,75 el kilogramo. ¿Cuánto gastó en total?.

2. Para comprar un juguete que cuesta S/. 30 me falta S/.5,60, si me prestara S/.10 y comprar el juguete. ¿Cuánto me sobraría?.

3. La medida de una pizarra de forma rectangular es 3,75 metros de largo y 2,45 metros de ancho. ¿Cuánto mide el perímetro de la pizarra?.

4. Arnaldo compra 50 metros de tela, utiliza primero 10,75 metros, luego 15,5 metros. ¿Cuántos metros aún le queda por utilizar?.

5. Un recipiente tiene 125 litros de capacidad, si se echa primero 36,725 litros y luego 42,5 litros. ¿Cuántos litros le faltaría echar para que se llene el recipiente?.

6. Raúl recibe un adelanto de S/.100, paga por un pantalón S/. 34,50 y por unos zapatos S/. 12,75 más que el pantalón. ¿Cuánto le queda?.

7. Gisela gana S/. 25 al día, Idalí S/. 3,50 menos que Gisela y Jessica S/. 8,75 más que Idalí. ¿Cuánto cobrará Jessica después de 3 días de labor?.

8. Andrés compra un pantalón por S/. 125,50 una camisa por S/. 28,75 menos que el pantalón y una chompa que cuesta S/. 17,50 más que la camisa. ¿Cuánto pagó por las tres prendas?.

9. José tiene S/. 62,80; quiere comprar una pelota que cuesta S/. 105, pide a Sebastián S/. 30 quien le da S/. 4,50 metros de lo que le pide. Pide a Carlos S/. 20,50 y le da S/. 6,75 más de lo que pide. ¿Cuánto le falta o le sobra para comprar la pelota?.

10. Ángela tiene 350 kg de quinua, vende primero 53,80 kg, luego el doble de lo que vendió primero menos 17,50 kg y la tercera venta tantos kilogramos como las dos ventas anteriores juntas. ¿Cuántos kg aún les falta vender?

.

MULTILPLICACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

1. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UN NÚMERO ENTERO:

Seguiremos los siguientes pasos:

b) Primero, se realiza la multiplicación si tener en cuenta la coma.

c) Después se cuentan las cifras que hay a la derecha de la coma en el factor decimal.

d) Finalmente, se escribe la coma en el residuo, de tal manera que queden con la misma cantidad de cifras a la derecha de la coma que el factor decimal.

Ejemplo:

32,76 x

7

22932

2 cifras dec.

32,76 x

7

22932

32,76 x

7

229,32

2 cifras dec

1. Halla los productos de:

a) 8,756 x 4 =

b) 264,7 x 5 =

c) 53,806 x 8 =

d) 84,09 x 9 =

e) 635, 46 x 45 =

f) 65,48 x 72 =

g) 64,57 x 26 =

h) 42,80 x 74 =

i) 680,76 x 58 =

j) 75,83 x 68 =

2. Resuelve:

a) (3,94 – 2,65) x 3 =

b) (9,2 – 5,647) x 7 =

c) (1,2 + 3,4) x 5 =

d) 5,3 x 8 + 1,2 =

e) 31,4 x 9 – 75,74 =

f) 5,34 x 7 – 23,2 =

g) 7 x ( 12,94 + 23,6) =

h) 3 x( 23,45 – 22,903) =

2. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR OTRO DECIMAL

Debemos seguir los siguientes pasos:

Aplico lo aprendido

a) realizaremos la multiplicación sin tener en cuenta las comas.

b) Después contamos la cantidad de cifras decimales que hay en total en los dos factores (multiplicando y multiplicador).

c) Finalmente, se escribe la coma en el resultado, de tal manera que queden con la misma cantidad de cifras decimales como las que hay entre los dos factores.

24,53 X

3,4

9812

7359

83402

2 cifras decimales

24,53 X

3,4 1 cifra decimal

9812

7359

83,402 3 cifras decimales

Halla los productos de:

a) 12,5 x 5,4 =

b) 858,7 x 1,5 =

c) 9,6 x 0,06 =

d) 52,4 x 3,7 =

e) 86,74 x 4,3 =

f) 0,175 x 0,03 =

g) 860,64 x 4,9 =

h) 85,746 x 39,7

3. MULTIPLICACIÓN POR 10, 100, 1 000, etc.

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 100, etc. corremos la coma tantos lugares como ceros tenga el segundo factor.

Halla los productos que se te presentan:

Aplico lo aprendido

a) 74,36 x 10 = 743,6

b) 0,53 x 1 000 =…………..

c) 2,64 x 10 =…………..

d) 4,4 x 1 000 =……………

e) 7,309 x 10 000 =…………..

f) 0,64 x _______ = 640

g) 36,894 x _________ = 3698,4

h) 0,300096 x ________ = 30,96

i) 7,02 x ____________ = 702

j) 1,6435 x ___________ = 164

Resuelve en tu cuaderno los ejercicios planteados:

1) 2 543,98 X 3,6 =

2) 35,8754 X 6,9 =

3) 946,56 x 72,8 =

4) 4 564 por 6,97 =

5) 4 (7 – 6,45) + 2 (3,5 + 5,78) =

6) 100 – 4 (15,6 + 4,98) =

7) 214 – 12 (20 – 4,64) + 156,8 =

8) 275,6 + 4 (23 + 6,75) – 298,862 =

9) Si: A = 4 ( 15 – 12,5) + (12,5 + 7,5)

B = 100 – 6 (20 – 14,8)

Halla: 2a + B – 10,078

10) E = 17 – 2 ( 4,5 + 3,75) + 2,9

F = 15 (7 – 4,8 + 3,64) – 5 (6 – 3,4)

Halla: 4E – F

11) 10 (36 – 24,5) + 100 ( 49,8 + 37,24)

12) 100 ( 19 – 4,62) – 10 (23,8 – 6,5)

13) 10 ( 4,96 + 16,24) + 186 – 100 ( 17 – 4,63)

14) 100 + 100 (4 – 2,5) – 10 ( 28,6 + 7,9)

EJERCICIOS

a) Daniel y sus cuatro hijas van al circo, la entrada al circo cuesta S/. 10,60 por persona; en el espectáculo compra golosinas por S/.24,75, si tenía S/. 100. ¿Cuánto le queda?.

b) Mariluz compra 15,25 metros de percala a S/.8 el metro. Si paga con dos billetes de S7. 50. ¿Cuánto recibe de vuelto?.

c) César compra un par de medias por S/. 7,25, una gorra por el doble de lo que costo las medias y un polo por el triple de la gorra. Si paga con un billete de S/. 50 y otro de S/. 20. ¿Cuánto recibirá de vuelto?.

d) Miriam compra 75,6 metros de cable a S/. 0,75 el metro; 428,50 metros de alambrón a S/. 2,40 el metro y 64 bolsas de cemento a S/. 18,25 la bolsa. Si tiene para pagar S/. 2 500. ¿Cuánto le queda?.

A resolver se ha dicho


e) Laura compra medio millar de lápices a S/. 0,75 cada uno, un cuarto de ciento de tajadores a S/: 2,20 res cuartos de millar de lapiceros a S/. 0,80 cada uno. ¿Cuánto le queda si tiene S/. 1 052,50?.

f) Luis compra un cuarto de millar de trompos a S/. 1,20 cada uno, si vende un ciento a S/. 1,75 y el resto a S/. 1,90. ¿Cuánto gana en total?.

g) Denys paga S/ 4,25 por un cuarto de kg de pasas importadas. ¿Cuánto pagará por 24,74 kilogramos.

h) Mery compra un ciento y medio de melones a S/. 0,55 cada uno, si vende dos quintos a S/. 1,20 y el resto a S/. 1,25. ¿Cuánto gana en total?.

i) Camilo compra el metro de polipyma a S/. 7,00 , y vendo ganando la mitad de su costo . ¿A cómo vende primero un decímetro, segundo 35 centímetros, tercero un metro y medio?.

j) María 24 metros de cable eléctrico a S/.4,50 el metro, el comerciante ha medido el cable con un metro ya gastado que media 98 cm. ¿Qué perdida sufre María?.

k) Una persona de 2000 pasos de 75 cm cada paso ¿Cuántos km ha recorrido?.

l) El piso de un dormitorio tiene 3,6 m de ancho. Si se que quiere cubrir dicho piso con alfombra, ¿Cuánto de ancho tendrá la alfombra?.

4. DIVISIÓN CON DECIMALES

a) División por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, primero escribimos el número sin coma, y después corremos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si se nos acaban los lugares, añadiremos ceros a la izquierda. Es decir, si queremos dividir el número 8,972 entre 10, 100 ó 1.000, lo haremos así:

8,792 : 10 = 0,8792; como no teníamos más lugares a la izquierda, hemos añadido un cero para poder correr la coma.

8,792 : 100 = 0,08792; añadimos dos ceros a la izquierda para poder correr la coma.

8,792 : 1.000 = 0,008792; añadimos tres ceros a la izquierda para poder correr la coma.

b) División no exacta con cociente decimal

Se resuelve la división en la forma conocida.

Como el resto que se obtiene es diferente de cero, se escribe una coma en el cociente y se agrega un cero a la derecha del resto.

Se continúa dividiendo y agregando un cero a al derecha de los restos que se van resultando hasta obtener un cociente con una, dos, tres, … cifras decimales.

55 8

49 6, 7 5

60

56

40

40

- 0

54 8

48 6

6

Resuelve:

c) División de números decimales

Para dividir dos números decimales, se suprime la coma del divisor y se corre la coma del dividendo tanto lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario se agregan ceros.

Efectúa las siguientes divisiones en tú cuaderno:

a) 1,404 : 2,4 =

b) 35,2 : 6,8 =

c) 8,51 : 7,4 =

d) 65,66 : 6,7 =

e) 21,443 : 4,1 =

f) 36,8 : 9,2 =

g) 71,54 : 7,3 =

h) 20,88 : 2,4 =

i) 73,8 : 12,3 =

j) 958,5: 21,3 =

Si hay paréntesis se resuelve primero la operación que está dentro de éstos.

Si no hay paréntesis se resuelven primero las multiplicaciones y las divisiones, luego las sumas y restas.

Ejemplo:

a) (0,8 – 0,1) x 6,3 = ?

0,7 x 6,3

4,41

I. Resuelve las operaciones combinadas que se te presentan a continuación

Aplico lo aprendido

71,54 7,3 1 cifra

se corre 1 cifra

715,4 73

657 9,8

584

584

- - 0

Ahora:

Dividendo = divisor x cociente + residuo


Aplico lo aprendido

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES

Para resolver ejercicios con operaciones combinadas hay que tener presente los siguientes principios:

EJERCICIOS

a) Patricio necesita embotellar 75 litros de aceite en recipientes de ¾ de litro. ¿Cuántas botellas utilizará?.

b) Ada compra 6 docenas de cuadernos a S/. 2,25 la unidad, además recibe de regalo media docena de cuadernos, si vende ganando un quinto de sol por cada cuaderno. ¿Cuánto ganará en total?.

c) ¿Cuál es la longitud de un rollo de plástico que ha costado S/. 562,50. Sabiendo que la vender 30 metros en S/. 180 se ha ganado S/. 1,50 por metro?.

d) Carmelita compra 10 kg de carne a S/. 8,60 el kilogramo, siendo los huesos 2/5 del peso total. ¿cuál es el precio del kilogramo de carne sola?.

e) Jhoana compra medio ciento de papayas por S/. 112,50, vende 3/5 del total a S/. 2,80 cada una y el resto a S7. 3. ¿Cuánto gana en total?.

f) Por un tubo de 37,35 se paga S/. 388,35, se vende la tercera parte a S/. 12 el metro y el resto a S/. 14,50 el metro. ¿Cuánto es la ganancia total?

.

¿SABIAS QUE?

El mayor salto de patines con decimales

Aunque normalmente utilizamos los números decimales para multitud de situaciones, una de sus mayores

utilidades, es medir distancias. En estos últimos tiempos, se han puesto de moda en todo el mundo los patines en línea, a pesar de que son más viejos de lo que creemos. Ya los esquimales los hacían con huesos de animales a principio de siglo, hoy se hacen competiciones de salto con estos patines en todos los lugares del planeta. El salto más espectacular lo hizo un suizo en el año 1996. Llegó a saltar 2,7 metros de altura sobre el suelo, casi podríamos decir que voló.

DECIMAL EXACTO O TERMINANTE:

Son aquellas fracciones que al dividirse da un número exacto. Así:

DECIMAL PERIÓDICO PURO

Son aquellas fracciones que al dividirse, el número de la parte decimal se repite infinitamente.

DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

Son aquellas fracciones que al dividirse, hay un una parte periódica y otra no periódica. Así:

1. RAZONES O RELACIONES

Es el resultado de comparar dos cantidades. La comparación entre dos cantidades puede efectuarse de dos modos distintos.

a) Razones Aritméticas

Cuando se calcula la diferencia entre ambas cantidades, es decir, restándolas.

La razón aritmética de 9 a 5 se escribe: 9 - 5 y se leerá «nueve es a cinco»

b) Razones Geométricas

Cuando se calcula el cociente entre ambas cantidades es decir, dividiéndolas.

La razón geométrica de 7 a 3 se escribe: o 7/3 y se lee «siete es a tres»

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES

RAZONES Y PROPORCIONES

TÉRMINOS DE UNA RAZÓN GEOMÉTRICA

- Antecedente:

Es el numerador o Dividendo al cociente indicado

- Consecuente

Es el denominador o Divisor del cociente indicado.

2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Es la igualdad de dos razones geométricas por Cociente, las proporciones geométricas se pueden representar de dos maneras distintas.

Simbólicamente

Se lee: m es a n como x es a y»

m : n :: x : y Se lee «m es a n como x es a y»

a) Términos de una Proporción Geométrica

1. Términos Extremos

Se les considera al antecedente de la primera razón y al consecuente d ela segunda razón, es decir el primero y el cuarto.

2. Términos Medios

Se les considera al antecedente de la segunda razón y al consecuente de la primera razón, es decir, el segundo y el tercero.

Donde:

Los extremos son : 1 y 10. Los medios son: 5 y 2

I. Marca la respuesta correcta; además completa los números que faltan para formar razones equivalentes:

a) 14 b) 16 c) 18 a) 3 b) 5 c) 7

a) 24 b) 12 c) 26 a) 4 b) 5 c) 6

II. Escribe tres razones equivalentes:

Los términos de una razón geométrica son:

Aplico lo aprendido

¿Resolvemos juntos?

III. Completo las tablas de proporcionalidad

Cucharitas de azúcar 1 3 7

Tazas de té 3 6 15

Precio en soles 5 15 40

Número de juguetes 2 4 8

Proporción es la igualdad de dos razones.

Donde: a y d son extremos

b y c son medios

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

I. Forma proporciones a partir de las razones dadas:

II. Escribe V ó F según corresponda:

PROPORCIÓN


III. Aplico la propiedad fundamental y hallo el valor de x.

I. Halla la media proporcional de:

a) Hallar la media proporcional de: 7 y 6

b) Hallar la media proporcional de: 4 y 12

c) Hallar la media proporcional de: 26 y 8

d) Hallar la media proporcional de: 9 y 7

e) Hallar la media proporcional de: 5 y 6

f) Hallar la media proporcional de: 4 y 13

g) Hallar la media proporcional de: 7 y 12

h) Hallar la media proporcional de: 8 y 9

i) Hallar la media proporcional de: 6 y 5

Aplico lo aprendido

j) Hallar la media proporcional de: 4 y 3

k) Hallar la media proporcional de: 6 y 7

l) Hallar la media proporcional de: 1 y 2

m) Hallar la media proporcional de: 9 y 6

n) Hallar la media proporcional de: 8 y 18

o) Hallar la media proporcional de: 20 y 2

p) Hallar la media proporcional de: 5 y 15

q) Hallar la media proporcional de: 6 y 30

II. Hallar la cuarta proporcional de:

1) 2; 4 y 6 2) 8; 10 y 12

3) 15; 17 y 19 4) 21; 23 y 24

5) 32; 35 y 38 6) 42; 47 y 50

7) 60; 62 y 70 8) 72; 80 y 90

9) 75; 80 y 85 10) 67; 69 y 71

PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE

1. Si 2 metros de tela cuesta S/. 30. ¿Cuánto se pagará por 100 metros de tela de igual calidad?.

Regla de tres directa:

2. Si 10 obreros hacen una obra en 15 días. ¿En cuánto tiempo tardará 30 0breros?.

Regla de tres inversa:

3. Por 3 juguetes se paga S/. 40. ¿Cuánto se necesita para comprar tres docenas de juguetes de igual calidad?.

Los problemas que plantean relaciones de proporcionalidad directa o inversa, se

resuelven mediante procedimientos al que se denomina “regla de tres” y que consiste en

hallar el término cualquiera de una proporción cuando e conocen los otros tres.

APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD

4. Dos albañiles levantan un muro en 10 días. ¿Cuántos albañiles más serán necesarios para que terminen en 5 días?.

5. Con 2 kg de azúcar se pueden preparar 6 pasteles. ¿Cuántos pasteles se prepararán con 18 kg?.

6. Para hacer 3 vestidos se necesita 7,50 m de tela. ¿Cuánto se necesitan para hacer 72 vestidos?.

7. Un carro recorre 90 km en 2 horas. ¿Cuántos km recorrerá en 5 horas?.

8. 6 obreros cobran S/. 150 por un día de trabajo. ¿Cuánto cobrarán 9 obreros por el mismo tiempo de labor?.

9. Con S/. 36 se pueden comprar 4 juguetes. ¿Cuánto se necesitará para comprar 3 docenas de juguetes?.

10. Analí compra 5 kg de carne a S/. 35. ¿Cuánto pagará por 31 kg de carne de igual precio?.

1. Aplicación del Tanto por Ciento

Tenemos los siguientes casos:

Se llama tanto por ciento de un número, a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número

TANTO POR CIENTO O PERCENTAJE (%)

I. Hallar el tanto por ciento de un número.- Primero se traduce el enunciado del problema en forma esquemática; luego se forma una proporción con los cuatro números directamente Proporcionales y finalmente se halla la cuarta proporcional.

Ejm:

a) Hallar el 50 % de 400

400 --------- 100% (directamente

x --------- 50% proporcional)

x = 200 El 50 % de 400 es 200

I. Hallar:

a) 30% de 1200

b) 28% de 500

c) 42% de 720

d) 69% de 130

e) 84% de 700

f) 93% de 2100

g) 12% de 820

h) 10% de 624

i) 32% de 246

j) 60% de 582

k) 28% de 634

l) 38% de 1000

m) 94% de 730

n) 15% de 300

o) 24% de 242

p) 16% 364

q) 28% de 810

r) 38% de 810

s) 82% de 930

t) 86% de 2300

II. Dados dos números calcular que tanto por ciento es uno del otro.-

Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 15 de 600?

600 ------ 100%

15 ------ x

x = 2,5

El 15 de 600 es 2,5%

I. Qué porcentaje es:

1) 30 de 900

2) 26 de 300

3) 28 de 240

4) 32 de 1200

5) 20 de 310

6) 18 de 724

7) 19 de 122

8) 12 de 516

9) 23 de 814

10) 82 de 915

11) 40 de 1200

12) 36 de 824

13) 22 de 720

14) 60 de 1500

15) 64 de 930

16) 72 de 1220

17) 90 de 760

18) 82 de 572

19) 14 de 232

20) 28 de 318

Aplico lo aprendido


III. Hallar el número cuando se conoce un tanto por ciento de él

¿De qué número es 46 el 23%?

46 ---------- 23%

x ---------- 100%

x = 200 ENTONCES: 46 es el 23% de 200

I. ¿De qué número es:

1) 20 el 18%

2) 39 el 24%

3) 60 el 32%

4) 82 el 19%

5) 76 el 43%

6) 96 el 56%

7) 120 el 30%

8) 216 el 36%

9) 312 el 48%

10) 610 el 56%

11) 1200 el 20%

12) 368 el 34%

13) 612 el 92%

14) 516 el 82%

15) 2200 el 66%

16) 614 el 19%

17) 518 el 24%

18) 916 el 24%

19) 1500 el 98%

20) 732 el 75%

EJERCICIOS

1) De los 50 alumnos que hay en el segundo grado del Colegio «Claret» 42 alumnos llevan loncheras. ¿Qué porcentajes no llevan loncheras?.

2) De las 100 estudiantes del quinto grado del Colegio «Claret” 47 se movilizan en microbús, 23 en auto particular y el resto a pie. ¿Qué porcentaje se movilizan a pie?.

3) En nuestro colegio estudian en total 700 alumnos. el 5% de dichos alumnos usan lentes. ¿Cuántos alumnos usan lentes y cuántos no lo usan?.

4) Quiero comprar un carro. Su precio es de 9 850 soles. Al contado me hacen una rebaja del 20%. ¿Cuánto debo pagar por cinco carro, si lo compro al contado?.

5) Una fábrica japonesa de artefactos produce 2 600 computadoras, al año. Exporta el 65% de su producción. ¿Cuál es el número de computadoras que exporta?.

6) En el desfile escolar de fiestas patrias participaron 396 alumnos, que representan el 22% de la totalidad de los alumnos de

nuestro centro educativo. ¿Cuántos alumnos tiene nuestro colegio?.

7) Arnaldo gastó 27 625 soles en comprar un terreno. Esta suma de dinero representa el 32,5% de lo que tenía. ¿Cuánto tenía Arnaldo?.

8) De los 1800 habitantes de una ciudad sólo 252 tienen casa propia. ¿Qué porcentaje de los habitantes de esa ciudad tiene casa propia?.

9) Dimas tenía 54200 soles. Entregó a su hermano, en calidad de préstamo la suma de 10027 soles. ¿Qué porcentaje de lo que tenía prestó a su hermano?.

10) De los 7200 alumnos existentes en el Colegio «Santa Isabel», 6408 aprobaron la asignatura de Matemática. ¿Qué porcentaje de los 7200 aprobaron matemática?.

11) Por la compra al contado de un televisor cuyo valor es de 680 soles, me hicieron un descuento del 5%. ¿Cuánto pagué por el televisor?.

Aplico lo aprendido

12) Diana compró una cocina a kerosene cuyo costo es de S/. 350. Si le hicieron un descuento del 15%. ¿Cuánto pagó Diana por la cocina?.

13) Un granjero compra 900 kilos de alimento para pollos a 10 soles cada Kg. Si le hacen un descuento del 20% ¿Cuánto paga en total?.

14) En las secciones del 6° grado de primaria del colegio Claret hay 45 alumnos de los cuales el 80% son promovidos al final del año. ¿Cuántos alumnos fueron desaprobados?.

15) Karina recibe un sueldo de S/. 800, si gastó el 30% y regaló a su mamá el 40% ¿Cuánto le queda?.

16) María Luisa compra una lustradora al contado. Siendo su precio de S/.900, le hacen un descuento del 12%. ¿Cuánto le costó la lustradora y cuánto ahorró?.

17) Un auto usado se ha comprado en 7520 soles y debe vender ganando el 15%. ¿En cuánto debe venderse?.

18) He comprado 3 760 cuadernos con a condición de recibir 5 más por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debe darme el vendedor?.

19) Si en una sección de sexto grado hay 50 alumnos y se promocionan (pasan de año) el

90% al finalizar el año. ¿Cuántos alumnos se promocionan?.

20) En un colegio de 5 800 alumnos, en un determinado día asistieron el 95% de ellos ¿Cuántos estuvieron ausentes?.

21) Una tienda de artefactos compra 40 licuadoras en 3 600 soles. Si le hacen un descuento del 20% ¿Cuánto es el precio de cada licuadora?

22) El 20% de un número es12. ¿El número es?

23) ¿Qué tanto por ciento de 1 es 0,2?

24) ¿El 40% de que número es 20?

25) El número de habitantes de un pueblo se incrementa de 5 280 a 7 300 habitantes. ¿Cuál es e porcentaje del incremento?

26) Gabriela compró una máquina de escribir en 150 dólares. Si al momento de pagar le cobrarón 10% más de impuestos. ¿Cuánto pagó Alberto?

ELEMENTOS QUE INTERVIENEN

a) Capital : C

b) Interés : I

c) tanto por ciento : % o r

d) Tiempo : t

A. Aplicación de Interés (I)

100txrxC

I

( si el tiempo está dado en años)

Es una operación que tiene por objeto determinar la ganancia o interés que produce cierto capital, a un tanto por ciento señalado y en un tiempo dado.

REGLA DE INTERÉS

1200txrxC

I

(Si el tiempo está dado en meses) (Si el tiempo está dado en días)

01. ¿Qué interés habrá producido un capital de 4 000 soles al 28% durante 3 años?.

02. ¿Qué interés habrá producido un capital de 900 soles prestado al 10% de interés durante 8 meses?.

03. ¿Qué interés producirá un capital de 1 800 soles al 30% anual en 20 días?.

04. Hallar el capital impuesto al 30% anual y que ha producido un interés de 900 soles en un año.

05. Hallar el capital que al 30% anual durante 9 días ha producido un interés de 120 soles.

06. Hallar el tanto por ciento que estuvo impuesto 850 soles que en 10 meses ha ganado un interés de 60 soles.

07. ¿A qué tanto por ciento estuvo impuesto un capital de 5 800 soles que en 6 años han producido 1 560 de interés?

08. ¿A qué tanto por ciento anual estuvo impuesto un capital de 7 200 soles que en 30 días ha generado un interés de 840 soles?

09. Halla el tiempo durante el que estuvo impuesto un capital de 800 soles que al 10% anual ha producido un interés de 320 soles.

10. ¿En cuántos meses han estado impuestos 1 000 soles que al 40% anual han producido un interés de 800 soles?.

11. Hallar el tiempo (en días) que estuvo impuesto 2400 de capital que al 30% anual ha producido 120 soles de interés?

12. ¿Qué capital prestado al 12% interés anual en 4 años y 2 meses, ha producido un interés de 225 años?

13. ¿Qué capital, prestado al 12% de interés anual, en 4 años y 2 meses, ha producido un interés de 225 soles?

14. El señor Fernández paga 12 soles cada 6 meses por un préstamo de 420 soles que recibió. ¿A qué interés le prestaron el dinero?

15. Hallar el interés de 750 soles al 5% anual desde el 8 de mayo de 1997 al 25 de julio de 1 998.

16. Víctor Calle pagaba 9 soles al mes como interés de una hipoteca de 1 800 soles; pero el acreedor le redujo los intereses mensuales a 6 soles. ¿En cuánto le han rebajado los intereses?

18. El señor Cárdenas pone al banco 6 600 soles al 6%, al cabo de 3 años le entrega el capital más los intereses acumulados. ¿Cuánto dinero recibirá?.

19. Por un préstamo de 30 000 soles al 6% se han pagado 100 soles de interés. Si se hubieran pagado 125 soles de intereses.

36000

txrxCI


¿Cuánto tiempo más se había tenido el dinero?

MAGNITUDES FISICAS

metro m

Longitud

segundo s

Tiempo

kilogramo kg

Masa

amperio A

Intensidad de corriente eléctrica

Kelvin k

Temperatura termodinámica

candelacd

Intensidad Luminosa

mol mol

Cantidad de sustancia

El Sistema Internacional de Unidades nació por acuerdo de la undécima Conferencia General de Pesas y Medidas que se desarrollo en París, Francia en 1960.

Este sistema tiene su origen en el sistema métrico decimal y está formado por unidades básicas, unidades suplementarias y unidades derivadas.

CLASIFICACIÓN:

Unidades básicas.

Unidades suplementarias.

Unidades derivadas.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Conociendo los símbolos más usados

PREFIJO SIMBOLO VALOR

Peta P 1 000 000 000 000 000 = 1015

tera T 1 000 000 000 000 = 10128

giga G 1 000 000 000 = 109

mega M 1 000 000 = 106

kilo k 1 000 = 103

hecto h 1 00 = 102

deca da 1 0 = 101

deci d 0,1

centi c 0,01

mili m 0, 001

micro u 0,000 001

nano n 0,000 000 001

Investigando el sistema de Longitud del SI

RECUERDA: La unidad fundamental de la longitud es el metro.

UNIDAD DE LONGITUD

¡Qué fácil es convertir unidades!

REALIZAMOS CONVERSIONES SENCILLAS

1. Convertir a la unidad que se indica.

a) 6m a mm =

b) 87km a hm =

c) 23 hm a dm =

d) 23 Mm a mm =

e) 54 dm a km =

f) 23 dam a Mm =

g) 309 m a hm =

h) 4657 cm a m =

i) 8675 dam a hm =

j) 1547 m a cm =

k) 188 m a cm =

u m mm cm dm m dam hm km Mm

x 10 x 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 x 10

: 10 : 10 : 10 : 10 :10 : 10 : 10 : 10

Es la cantidad de materia que

contiene un cuerpo. La masa es

constante (no varia) en ningún lugar

del universo.

UNIDADES MASA CONJUNIDADES DE

La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg), con sus múltiplos y submúltiplos.

¡Qué fácil es convertir unidades!

REALIZAMOS CONVERSIONES SENCILLAS

1) ¿Cuál es la unidad fundamental de masa?

a) gramo b) kilogramo c) megagramo

d) decagramo

2) ¿Cuántos mg hay en 25 g?

a) 2,5 b) 25 c) 250 d) 2 500

3) ¿Cuántos dg hay en 78 hg?

a) 7 800 b) 78 000 c) 78 d) N.A.

4) ¿Cuántos kg hay en 350 dag?

a) 35 b) 350 c) 3,5 d) 3 500

5) Completa:

a) 12 dag = ………..….hg

b) 15 dag = ………..…. g

c) 27 dag = ………..…. g

d) 8 Mg = ………..…. hg

e) 15 t = ………..…. g

f) 24 hg = ………..…. cg

g) 36 dg = ………..…. mg

h) 4,5 g = …………. cg

Es la fuerza con que la gravedad

de la tierra atrae a los cuerpos,

el peso varia (cambia) de

acuerdo a la masa del astro,

siendo menor en la tierra que en

Júpiter.

Es de común que se usen como sinónimos los términos más y peso aunque no lo son

ug mg cg dg g dag hg kg Mg

x 10 x 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 x 10

: 10 : 10 : 10 : 10 :10 : 10 : 10 : 10

i) 15,6 dag = …………. dg

j) 7 600 mg = …………. dg

k) 57 000 cg = …………. g

l) 4 600 g = …………. Dag

m) 800 kg = …………. g

n) 12 000 kg = …………. t

¡PIENSA CABECITA, PIENSA!

6) ¿Cuánto debo pagar por 280 g de carne, si el kg cuesta S7. 30?

a) S/. 5 b) S/. 8 c) S/. 8,4 d) S/. 9

7) Veinte barras de metal, cada una de igual peso, pesan en total 2,8 toneladas. ¿Cuál es el peso de cada barra en kg?

a) 140 b) 150 c) 130 d) 200

8) Un comerciante compró 2 toneladas de naranja y vendió 7/8. ¿Cuántos kg le quedan?

a) 200 b) 250 c) 300 d) 400

9) Un comerciante compra 2 t de mangos, 14 mag de piñas y 576 kg de papayas. ¿Cuántos kg de frutas compró el comerciante?

a) 2 000 b) 2 590 c) 2 716 d) 2 617

10) Un bodeguero tiene 2,5 toneladas de azúcar. Para vender el azúcar prepara bolsas de 5 kg cada una. ¿Cuántas de estas bolsas tendrá que llevar?

a) 450 b) 540 c) 500 d) 550

11) Un agricultor vendió en los primeros días de la semana la siguiente cantidad de trigo: lunes: 0,4 t y 350 kg, miércoles: 0,6 t y 120 kg, martes: 1,3 t y 200 kg

¿Cuántos kg de trigo vendió en los tres días?

a) 2 970 kg b) 2 790 kg c) 300 kg

d) 3 000 kg

PROBLEMITAS

1) Paúl tiene camotes, que vende a S/. 0,75 el kilogramo.

¿Cuánto recibirá por un quintal? …………………………

¿Cuánto por 1,8 toneladas? …………………………

¿Cuánto por 2 650 kg? …………………………

Recuerda:

El quintal es una unidad comercialmente utilizada (q) que equivale a 100 kilogramos.

1 q = 100 kg

La tonelada (t)es el megagramo (Mg) con nombre comercial

1 Mg = 1 t

1 t = 10 q

2) Eloysa compra 2 kilogramos de manzanas por S/. 5 y vende 3 kilogramos por S/. 9. ¿Cuánto gana si comercializa 1,5 toneladas?

a) 700 b) 720 c) 750 d) 800

3) Ángela compra 800 kg de quinua a S/. 5, vende pelado y embolsado 250 gramos por S/. 2,25. ¿Cuánto gana si vende los 800 kilogramos?

a) 3 000 b) 3 200 c) 3 750 d) 3 800

4) Carmen compra 45 kg de carne a S/. 10, si el 30% corresponde a la grasa y los huesos. ¿Cuánto vale dos y medio kilogramos de carne sola?

a) 35,70 b) 72,56 c) 35,67 d) 80,86

5) Un cable eléctrico cuesta S/. 0,75 el metro. ¿Cuánto se pagará por 2 hm; 5,6 dam y 4,6 m?

a) S/. 193,45 b) S/. 195,45 c) S/. 198

d) S/. 198,50

6) El metro cuadrado de un terreno vale S/. 5. ¿Cuánto se pagará por 1,6 hm2 y 4 dam2?

a) 79 500 b) 79 000 c) 78 500

d) 77 000

7) Una plancha de forma rectangular mide 2,40 metros de largo y 1,50 metros de ancho, si el decímetro cuadrado vale S/. 0,25. ¿Cuánto vale 15 planchas?

a) 1 350 b) 1 450 c) 1 500 d) 1 550

8) 1 ¼ kilogramo de carne de cerdo vale S/. 15. ¿Cuánto se paga por 10,2 kg?

a) S/. 102,40 b) S/. 112,40

c) S/. 122,40 d) S/. 132,40

9) Ricardo vende quinua a razón de S/. 650 el quintal métrico. ¿Cuánto recibirá por 1,025 toneladas?

a) S/. 6 562,50 b) S/. 6 662,50

c) S/. 6 672,50 d) S/. 6 762,50

EQUIVALENCIAS:

1 año (a) = 365 días

1 día (d) = 24 horas (h)

1 hora (h) = 60 minutos (min)

1 minuto (min) = 60 segundos (s)

Recuerda: Los años también tienen su propia denominación.

1 lustro = 5 años 1 década = 10 años

1 siglo = 100 años 1 milenio = 1 000 años

Segundo

(s)

Minuto

(min)

Hora

(h)

EL TIEMPO: Es un intervalo entre dos acontecimientos, la unidad convencional de medida del tiempo es el segundo (s) con sus múltiplos minutos y horas. El submúltiplo que no es de uso frecuente es la décima de segundo.

MEDIDA DE TIEMPO: La medida de tiempo está relacionada al movimiento de rotación de la Tierra en torno a su eje en 24 horas y al de traslación alrededor del sol en 365 días 5 horas 48 minutos 46 segundo.

El año civil tiene 365 días repartidos en 12 meses, el día se divide en 24 horas, la hora en 60 segundos. El año comercial es de 360 días, el año bisiesto es de 366 días que se da cada 4 años.

UNIDADES DE TIEMPO

OPERACIONES CON LAS UNIDADES DE TIEMPO

ADICIÓN:

1. Daniel estudia el lunes 4 horas, 12 minutos y el martes 13 horas 50 minutos. ¿Cuánto tiempo estudió en total?

SUSTRACCIÓN:

1. Un automóvil recorre240 kilómetros en 3 horas, si viene recorriendo desde hace 2 horas 40 minutos. ¿Cuánto tiempo le falta para llegar a su destino?

MULTIPLICACIÓN

1. Para hacer una obra Raúl emplea 4 horas, 15 minutos, 24 segundos.¿Cuánto tiempo empleará para hacer 6 obras iguales?

DIVISIÓN:

Una persona sola realiza un trabajo en 12 horas 43 minutos. ¿En cuánto tiempo terminarán la obra si trabajan 5 personas a la vez?

1. ¿Cuántos minutos hay en ¾ de hora? 2. ¿Cuántos segundos hay en 3/10 de minutos?

3.

Convierte a horas y minutos:

70 min = _________h _________min

195 min = ________h _________min

278 min = ________h _________ min

4. Convierte a minutos y segundos:

88 s = _________min _________s

103 s = ________min _________ s

502 s = ________ min_________ s

Forma las equivalencias:

1,5 h = ___________ min

½ min = __________ s

1 800 s = __________h

6. Pinta del mismo color los tiempos equivalentes:


La palabra ESTADÍSTICA es derivada del latín “status” que significa posición, situación, estado y del griego “statera” que es igual a balanza.

DEFINICIONES PREVIAS:

POBLACIÓN: Es un conjunto de elementos que tienen una o más características en común.

MUESTRA: Es un parte o subconjunto de la población, generalmente se eligen al azar.

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN EN GRÁFICAS

Existen varios tipos de gráficas que se emplean para representar los datos obtenidos, siendo los más empleados: la gráfica de barras, el polígono de frecuencias y los pictogramas.

1. Gráfico de barras

Este gráfico nos permite observar y analizar de manera más fácil los datos dados hallados; pudiendo expresarse mediante barras verticales u horizontales.

CLASES DE ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA INFERENCIAL

¿Cómo hacer gráfica de barras lineales?

1º Determina una escala.

Halla los valores mayor y menor de los datos.

Selecciona una escala que se ajusta a los datos.

2º Traza y marca los datos horizontal y vertical de la gráfica.

3º Dibuja los puntos para la gráfica lineal o las barras.

4º Dale un nombre a la grafica.

ESTADÍSTICA

1) Observa los gráficos de barras y luego contesta a las preguntas formuladas:

En una encuesta deportiva a los alumnos del colegio “San Antonio Maria Claret” los datos fueron presentados en una grafica de barras.

2) Observa en este grafico de barras la cantidad de niñas, niños y profesores que hay en un colegio.

3) Observa en este grafico de barras la cantidad de gallinas, pavos, patos y cerdos que hay en una granja.

Responde:

¿Cuántos profesores hay en el colegio?

……………………………………………

¿Cuántos niños menos que niñas hay?

……………………………………………

¿Cuántas personas hay en total?

…………………………………….…….

Responde:

¿Cuántos cerdos hay en la granja?

……………………………………….

¿Cuántos pavos hay en la granja?

………………………………………

¿Cuántos patos más que pavos hay?

………………………………………

¿Cuántos animales hay en total?

…………………..…………...…….

Responde:

¿Cual es el deporte más practicado?

…………………………………………

¿Cuántos practican natación?

………………………………….

¿Cuántos más prefieren fútbol que gimnasia?

...............................................................


4) La venta de televisores de CARSA es : Realiza su gráfico de barras.

DIA CANTIDAD

Lunes 30

Martes 10

Miércoles 20

Jueves 10

Viernes 30

5) En el colegio hay mesas en cada grado, Realiza su gráfico de barras.

GRADOCANTIDAD DE

MESAS

Primero 15

Segundo 13

Tercero 12

Cuarto 16

Quinto 20

Sexto 18

2. GRÁFICA LINEAL

PASOS:

1º Dibujar una tabla y/o cuadro con escalas, al igual que en el grafico de barras.

2º Colocar un punto por cada par ordenado de datos.

3º Unir los puntos mediante segmentos en las coordenadas.

Ejemplo:

DIASCANT. DE CHOMPAS

VENDIDAS1º día 52º día 203º día 124º día 405º día 106º día 53

Los gráficos lineales permiten representar informaciones numéricas.

1) Construye una gráfica lineal con los siguientes datos:

a) Alumnos aprobados en lógico matemática del colegio “Claret”: primer bimestre 750, segundo bimestre 500, tercer bimestre 800 y cuarto bimestre 650.

b) Observa el cuadro y luego realiza el gráfico lineal:

NIÑOS EDADES

Rosa María 11

Maritza 15

Luis Enrique 20

Manolo 18

Los números del recuadro representan las notas de matemática de una sección de 52 alumnos:

14 13 09 08 16 10 11 16 15 10

15 12 08 12 17 12 13 08 14 11

11 15 12 11 12 08 13 10 15 14

16 10 11 13 11 09 16 09 12 12

En esta tabla de datos, donde no existe un orden ni una estructura definida, es llamada muestra bruta.

Para facilitar el estudio es conveniente ordenar los datos. Una forma de ordenarlos consiste en colocarlos en forma creciente (de menor a mayor) y mostrar la frecuencia absoluta o frecuencia de cada nota.

El arreglo de una muestra, donde se señalen los datos en un cierto orden y su frecuencia, se llama Tabla de frecuencias o Distribución de Frecuencias.



DATOS ESTADÍSTICOS Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

La siguiente tabla de frecuencias es de la anterior muestra bruta:

DATOS CONTEO FRECUENCIA

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

IIII

IIII

IIII

IIII II

IIII III

IIII II

IIII I

IIII

IIII

I

5

4

5

7

8

7

6

5

4

1

Número total de alumnos : 52

Como se puede observar en este cuadro, al lado de cada dato se ha colocado el número de veces que se repite cada nota.

Este número que se repite se llama frecuencia y se representan con la letra f.

En este cuadro podemos observar la tabla donde aparecen los diferentes datos y la frecuencia de cada uno de ellos.

Esta tabla se llama distribuciones de frecuencias.

I. Observa y resuelve:

Notas de 40 alumnos en el curso de Lógico Matemática del 6º grado de C.E.P. “Claret”

14 09 08 13 09 16 17 11 13 12

16 13 09 14 12 17 10 15 13 15

12 14 13 10 12 12 17 15 16 17

10 15 11 08 05 15 13 14 10 11

1) Ordena los datos anteriores y determina la frecuencia de cada uno de ellos.

2) Construye una tabla de distribuciones de frecuencias.


II. Observa y resuelve:

Edades que tienen 40 alumnos en el aula del 1º grado del C.E.P. “Claret”

11 10 13 12 11 11 10 12 13 11

12 11 13 12 10 13 12 13 11 10

10 12 12 10 12 12 11 10 10 12

11 11 13 13 11 13 12 11 10 11



III. Observa y resuelve:

Estatura en cm de un grupo de

alumnos del 6º grado del colegio

“Claret”

150 148 147 152 149 150

156 152 152 146 153 149

149 150 147 146 150 153

148 152 149 152 150 152

146 158 149 150 146 149



Para calcular la media aritmética, llamada también promedio se suman todos los datos y se divide entre la cantidad de datos. Así:

PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA

Dada la siguiente tabla:

ASIGNATURA NOTA

Lógico matemática 14

Comunicación Integral 15

Ciencia y Ambiente 12

Personal Social 17

Ingles 13

Psicomotriz 18

Para calcular la media aritmética o promedio de notas se sumará todas las notas obtenidas entre la cantidad de notas.

Así: la MEDIA ARITMÉTICA es el valor promedio de una serie de datos estadísticos.

1. Calcular la media aritmética de las notas de lógico matemática de cada alumno:

a) Juan b) Raúl

Mis notas son: Mis notas son:

12,16,11,10 18,19,15,20

c) Rosa d) Roxana


11,19,14,10 12,11,10,11

e) Maritza f) César

Aplico lo aprendido


20,15,16,11 11,15,17,10

2. Observa esta tabla de datos y halla la media aritmética de los datos de la tabla:

Peso en kg de 7 alumnos del 6º grado del colegio “Claret”- El Tambo.

NOMBRES PESO EN KG

Miguel 50

Rogelio 40

Mayra 45

Rosalia 48

Marina 50

Ricardo 60

Miguel 58

3. Observa esta tabla de datos y halla la media aritmética de los datos:

Talla en cm de 7 alumnos del 6º grado del Colegio “Claret”- El Tambo.

NOMBRES PESO EN KG

Miguel 152

Rogelio 155

Mayra 135

Rosalia 140

Marina 152

Ricardo 160

Miguel 158

AHORA TE TOCA A TI

1. Numéricamente 8 enteros, nueve milésimo es:a) 0,89b) 8,9c) 8,09d) 8,009

2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

6, 50 > 6,5 ( ) 3,8 > 3,79 ( )

0,9 = 0,09 ( ) 0,07 < 0,7 ( )

De lo anterior es correcto:

a) VFVFb) FVFVc) FFVVd) FFFV

3. El decimal que corresponde a la fracción 15/1000 es:a) 1,5b) 0,15c) 0,015d) 0,0015

4. La fracción que corresponde al número decimal 0,008 es:a) 8/100b) 8/1000c) 8/10d) 8/10000

5. El decimal equivalente a la fracción decimal 6/5 es::a) 0,8b) 1,2c) 2,4d) 6,5

6. Completa <, > ó =:

a) 0,6 0,50

b) 12,38 12,3

c) 0,035 0,04

d) 6,5 6,500

ARITMÉTICA 5

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