Aritmética_3°.pdf

ndiceUNIDAD 1 LA frmULA mAtemtIcA De LA beLLezA

Captulo 1razones ............................................................ 5

Captulo 2Proporciones .................................................... 11

Captulo 3Serie de razones geomtricas equivalentes ...... 18

UNIDAD 2 cmo DetermINArAS eL ANcho De eSte ro?

Captulo 1magnitudes proporcionales .............................. 25

Captulo 2complemento ................................................... 32

Captulo 3reparto proporcional simple ............................ 35

Captulo 4reparto proporcional compuesto ..................... 40

Captulo 5regla de compaa ........................................... 46

Captulo 6repaso .............................................................. 53

Captulo 7regla de tres simple ......................................... 56

Captulo 8regla de tres compuesta .................................. 62

UNIDAD 3 QU tAL PeNDIeNte!

Captulo 1Porcentaje I ...................................................... 70

Captulo 2Porcentaje II .................................................... 76


UNIDAD 4 LAS tArjetAS De crDIto

Captulo 1regla de inters simple I .................................. 85

Captulo 2regla de inters simple II ................................. 91

Captulo 3repaso .............................................................. 96

UNIDAD 5 eL mS grANDe De toDoS LoS tIemPoS

Captulo 1Promedios ........................................................ 99

TRILCE

AritmticaUNIDAD 6 UN PrecIo jUSto

Captulo 1mezcla .............................................................. 105

UNIDAD 7 LoS cIrcUItoS DIgItALeS

Captulo 1Lgica proposicional ........................................ 112

Captulo 2cuantificadores ................................................ 119


UNIDAD 8 DIoS eS Lo mS grANDe?

Captulo 1conjuntos ......................................................... 125

Captulo 2operaciones con conjuntos .............................. 132

Captulo 3repaso bimestral .............................................. 139

UNIDAD 9 UN DetALLe ImPortANte

Captulo 1estadstica I ..................................................... 143

Captulo 2estadstica II .................................................... 150

Captulo 3estadstica III ................................................... 156

Captulo 4medidas de tendencia central ........................... 163

Captulo 5complemento de estadstica ............................ 170

Captulo 6Probabilidades .................................................. 174

Captulo 7repaso bimestral .............................................. 181

La frmula matemtica de la bellezaBELLEZA =

(Largo del rostro)(Ancho del rostro)(Tamao de la oreja)2

2p Amor

Sera extrao que de esta manera pudiramos calcular la belleza de una persona, pero esta frmula no es real sin embargo: Existir alguna frmula matemtica que determine la belleza de una persona? Y si existe, en qu conceptos matemticos estar basada dicha frmula?APreNDIzAjeS eSPerADoS

Razonamiento y demostracin

Identificar y relacionar las clases de razn y proporcin.

Interpretar los resultados que se obtienen de la resolucin de problemas de ndole real.

Comunicacin matemtica

Representar matemticamente enunciados vinculados a la proporcin.

Utilizar el lenguaje correcto para leer enuncia-dos de proporciones.

Resolucin de problemas

Resolver problemas que involucren razones arit-mtica y geomtrica as como proporciones.

Resolver problemas de contexto real y mate-mtico que implican utilizar una relacin en-tre medidas.

Las matemticas estn presentes en el arte y en la naturaleza, por ejemplo, el nmero ureo fue usado profusamente por des-tacados artistas. El rostro de la Mona Lisa de Leonardo tiene la proporcin del nmero ureo (ver imagen). Asimismo, pode-mos ver en el fsil del Nautilus y tambin en algunos molus-cos actuales, como la forma del caparazn corresponde a una espiral logartmica, que es tambin dependiente de la relacin urea.

UNIDAD 1

1razones

UNIDAD 1central: 619-8100 5

razonesEn este captulo aprenderemos:

A reconocer la razn aritmtica y razn geomtrica as como identificar los tipos de ra-zn y su aplicacin.

A elaborar modelos de la vida real donde se aplique las razones.

A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones.

A resolver problemas de contexto real y matemtico que implican utilizar una relacin entre medidas.

El mapa topogrfico nacional

Los mapas topogrficos son aquellos que utilizan escalas muy grandes (1:25 000 y 1:50 000) porque representan superficies muy pequeas de la Tierra. Son los mapas adecuados para estudiar las pobla-ciones y sus comarcas adyacentes.

En los mapas topogrficos, como en el Mapa Topogrfico Nacional editado en Per, aparecen aspectos fsicos (relieve, red hidrogrfica, vegetacin, etc.) y aspectos humanos (ciudades importantes, capitales, lmites polticos, etc.), en la leyenda, est la escala que permite identificarlos.

Esto nos da una idea de la importancia que tiene en la vida real la aplicacin de la comparacin que se hace entre la medida real, es decir en el terreno y la medida en el papel, es decir en el mapa, ahora responde:

Sabes qu es una escala? Qu escala usaras para realizar un mapa de tu colegio?

Aritmtica

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Saberes previos

Sabes simplificar?

1. 12 45 54 18

16 81 15 =

Es importante que sepas despejar:

2. 3x8

= 154 x =

3. x + 13

= 49

x =

4. Encuentra el valor de "a" y "b", si son nmeros enteros y positivos mediante el tanteo:

a . b = 15a + b = 8

a =b =

5. Resuelve: (2k)2 + (3k)2 = 52

Conceptos bsicos

RaznSi observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra nos preguntamos: en cuntas unidades es ma-yor? cuntas veces contiene la mayor a la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por divisin respectivamente.

Clases de razn Razn aritmtica

Es la comparacin de dos cantidades mediante la sustraccin. Dicha diferencia determina en cuntas unidades excede una cantidad a la otra.

Ejemplo:

En el 3er ao del colegio Trilce asisten 25 varones y 18 mujeres. Cul es la razn aritmtica?

Comparando:

25 varones 18 mujeres = 7 varones14243 14243 14243 Antecedente Consecuente Valor de la

razn aritmtica

En general:

a b = r

RaznConsecuenteAntecedente

Razn geomtrica

Es la comparacin de dos cantidades utilizando la divisin.

Ejemplo:

La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 aos respectivamente.

Comparando:

PadreHijo

= 40 aos5 aos

= 8

Interpretacin:

La edad del padre es ocho veces la edad del hijo.

La edad del hijo es la octava parte de la edad del padre.

1razones


Ahora hazlo t! La altura de un edificio "A" es: 120 m

La altura de un edificio "B" es: 60 m

Compara las alturas (utilizando la razn geomtrica) e interpreta.

En general:

ab

= kDonde: a: antecedente b: consecuente k: valor de la razn geomtrica

"Razn es la comparacin de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operacin de sustraccin o divisin existiendo la razn aritmtica y la razn geomtrica respectivamente".

Recuerda que...

Sntesis terica

Geomtrica

Razn

ab

= k

Puede ser

Es decir

o puede ser

Es decir

aritmtica

a b = r

a: antecedenteb: consecuente

Aplica lo comprendido

10 x 550

1. Coloca verdadero (V) o falso (F) segn sea el siguiente caso: 8 3 = 5

8 excede en 5 a 3 ............................... ( )

3 es 5 unidades menor que 8 ............. ( )

Es un ejemplo de razn geomtrica .... ( )

2. Coloca el nombre que corresponde a cada tr-mino:

15 5 = 10

3. Representa matemticamente: "La edad de Pedro es a la edad de Luis, como 2 es a 3".

Representa como una razn geomtrica: "Ana tiene el doble de dinero que Rosa".

4. Coloca el nombre que corresponde a cada tr-mino:

ab

= c

5. Las edades de Juan y Roco estn en relacin de 5 a 9 y su suma es 84. Hallar la edad de Juan.

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Aprende ms

1. La razn aritmtica de dos nmeros es 20 y su razn geomtrica es 2. El nmero mayor es:

2. La razn entre dos nmeros es 3/5. Determinar la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72.

3. Dos nmeros estn en la razn de 3 a 2. Si la suma de dichos nmeros excede a la diferencia de los mismos en 80, hallar el mayor de los n-meros.

4. La edad de Carlos es a la edad de Julio como 5 es a 6 y despus de cierto tiempo sus edades estn en la relacin de 9 a 10. En qu relacin estn el tiempo transcurrido y la edad inicial de Julio?

5. Si:

AB

= 94

y

A B= 4, hallar "A B"

6. De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mu-jeres. Si en el colegio hay 50 varones, cuntos alumnos son en total?

7. Dos nmeros son entre s como 11 es a 4. Ha-llar el mayor de los nmeros, sabiendo que su razn aritmtica es 77.

8. En una reunin hay hombres y mujeres. Sien-do el nmero de hombres al nmero total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los nmeros de hombres y mujeres es 24. Cul ser la relacin entre hombres y mujeres, si se retiran 33 mujeres?

9. La razn de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 soles a Pe-dro ambos tendran la misma suma de dinero. Cunto tiene Juan?

10. Dos nmeros estn en la relacin de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los nmeros.

11. Si el corredor "A" compite con el corredor "B" en una carrera de 100 metros, "A" le da a "B" una ventaja de 20 metros. Cuando corre "B" contra "C" en una carrera de 100 m, "B" le da a "C" 25 metros de ventaja. Qu ventaja debera darle el corredor "A" a "C" en una carrera de 200 m, si en los dos primeros casos los compe-tidores llegan al mismo tiempo a la meta?

12. Un termmetro defectuoso indica 2 para fun-dirse el hielo y 107 para el agua hirviendo. Cul es la temperatura real en C cuando mar-ca 23?

13. Por cada 100 huevos que compro se me rom-pen 10 y por cada 100 huevos que vendo doy 10 de regalo. Si vend 1 800 huevos, cuntos huevos compr?

14. En una reunin el nmero de hombres que bailan es al nmero de mujeres que no bailan como 1 a 2 y adems el nmero de mujeres es al nmero de hombres que no bailan como 3 es a 5. Determinar cuntas personas bailan, si en total asistieron 72 personas.

15. El nmero de vagones que lleva un tren "A" es los 5/11 del que lleva un tren "B" y el que lleva un tren "C" es los 7/13 de otro "D". Entre "A" y "B" llevan tantos vagones como los otros dos. Si el nmero de vagones de cada tren no excede de 60, cul es el nmero de vagones que lleva el tren "C"?

aplicacin cotidiana

Congestin vehicular

16. La Unin Europea pierde 100 mil millones de euros anuales por congestin vehicular. Sin embargo los accidentes auto-movilsticos son una constante en estos pases. Se sabe que uno de cada mil vehculos sufre un accidente en 1 kilmetro. Cuntos vehculos de cada milln sufren un accidente en 2 kilmetros?

1razones


T puedes!

1. Una empresa dispone de S/. 28 710 para ser distribuidos entre 25 obreros, 12 empleados y 10 ejecuti-vos. Se sabe que la parte de un obrero es los 5/7 de las de un empleado y tambin representa los 5/11 de un ejecutivo. El haber de un empleado es:

a) S/. 630 b) 2 250 c) 400 d) 210 e) 120

2. Un auto consume un galn de gasolina para recorrer 40 km y otro auto consume un galn para reco-rrer "m" km. Cuntos km puede recorrer el primer auto con la gasolina que el segundo emplea para recorrer 120 km?

a) 480 m b) 4 800 m c) 4 800 + m

d) 4 800

m e)

480m

3. Newton parte a caballo de "A" hacia "B", al mismo tiempo que Einstein y Trilce parten a pie desde "B" hacia "A". Newton se encuentra primero con Einstein y 16 km ms adelante con Trilce, esto debido a que el caballo se desplaza con una rapidez que es cuatro y cinco veces la de cada peatn. Hallar la distancia de "A" a "B".

a) 520 km b) 480 c) 400 d) 360 e) 320

4. Las alturas de tres cubos son proporcionales a 1; 2 y 3. El primero est lleno de agua por completo y las cantidades de agua son proporcionales a 3; 4 y 5. Se arroj la mitad del contenido del primero en cada uno de los otros dos. En qu relacin quedan los volmenes vacos de los otros dos?

a) 2,4 b) 4,3 c) 3,5 d) 4,027 e) 4,02

5. Se tiene un aula de tres filas "A", "B" y "C", en donde la cantidad de varones con la cantidad de mujeres en la fila "A", en la fila "B" y en la fila "C" estn en la relacin de 2 a 3, de 3 a 4 y de 5 a 2 respectiva-mente. Hallar el total de alumnos, si los varones de la fila "A" son tantos como las mujeres de la fila "C" y adems la cantidad de varones de la fila "C" excede a la cantidad de mujeres de la fila "B" en 12. En la fila "A" y "B" la cantidad de alumnos estn en la relacin de 10 a 7.

a) 62 b) 65 c) 70 d) 80 e) 85

Practica en casa

18:10:45

1. Un padre tiene 34 aos y su hijo 7. Al cabo de cunto tiempo, la razn de las edades ser 1/2?

2. Si "a3" es a "b3" como 125 es a 8, cunto val-dr "b" cuando "a" sea 35?

3. Si "m" y "n" son entre s como 5 es a 9, cul ser el valor de:

E = 5n + 3m

n m?

4. En un corral hay gallinas y pavos. Se sabe que el nmero de gallinas es al total de aves como 2 es a 9 y la diferencia entre pavos y gallinas es 30. Hallar el nmero de pavos.

5. Dos nmeros estn en la razn de 2 es a 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. Cul es el menor?

6. Los volmenes que contienen dos recipientes estn en la relacin de 5 a 8. Si agregamos 22 litros a cada uno, la nueva relacin ser de 7 a 9. Cuntos litros tena al inicio cada recipiente?

7. La suma de tres nmeros es 18 300. El primero es al segundo como 25 a 10 y su diferencia es 300. Hallar la suma de las cifras del nmero mayor.

8. La suma del antecedente y el consecuente de una razn geomtrica es 26. Cul es su diferen-cia, si la razn vale 0,04?

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9. Un alumno que mide 1,60 m proyecta una som-bra de 3,20 m. Si en el mismo instante un poste de luz proyecta una sombra de 12 m, cunto mide el poste?

10. Lo que gana y gasta un hombre suman 6 000 soles y la razn entre lo que gasta y gana es 2/3. Cunto tiene que disminuir lo que gasta para que la razn anterior se transforme en 3/5?

11. Un jugador de billar "A" le da 40 puntos de ven-taja a otro "B", para un total de 100. "B" le da de ventaja a otro "C", 30 puntos para 50. Cuntos puntos de ventaja debe dar "A" a "C" en un par-tido de 150?

12. Un termmetro mal calibrado indica 6 C para el hielo al fundirse y 81 C para el vapor de agua hirviendo. Si la lectura real es 32 C, cul ser la lectura incorrecta?

13. A una fiesta asisten 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, cul es la razn entre el nmero de hombres y el nmero de mujeres que se quedan en la fiesta?

14. Para elegir la directiva de un club que consta de 1 200 socios se presentan las listas "A" y "B". Antes de las elecciones, "B" es favorito en la relacin de 7 a 5, pero en el da decisivo los votos favorecieron a "A" en la relacin de 5 a 3. Cuntos socios cambiaron de opinin, si no hubo abstenciones?

15. En un saln de clases, el nmero de varones es al de mujeres como 9 es a 5. Si despus del recreo se retiran 1/5 de las mujeres y 1/3 de los varones, cul es la nueva relacin entre el n-mero de varones y de mujeres?

2Proporciones


ProporcionesEn este captulo aprenderemos:

A definir y distinguir las clases de proporciones.

A identificar los trminos de una proporcin aritmtica y una proporcin geomtrica.

A codificar y decodificar los enunciados y smbolos relacionados con las proporciones.

A resolver problemas referidos a la proporcin.

El nmero de oro presente en nuestro cuerpo

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y romanos, las plasm en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvi para ilustrar el libro La Divina Proporcin de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artsticas. En particu-lar, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones ureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos estn extendidos y formando un ngulo de 90 con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el NMERO DE ORO

(j = 1 + 5

2 1,61803.)

ste nmero de oro es el que determina la frmula de la belleza o de la esttica.

Crees que tu cuerpo coincidira con este nmero de oro?

Cualquier persona tendr un cuerpo armonioso?

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Saberes previos

Cunto vale?

1. 42 93

362 =

2. 64 121

Hallar "x".

3. 1215

= 16x

x =

4. 50x

=

x2

5. x + ab

=

ba

x =

Conceptos bsicos

ProporcionesEs la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases.

Proporcin aritmtica (Equi diferencia)

Igualdad de dos razones aritmticas.

a b = c d

Medios

Extremos

Adems: "a" y "c": antecedentes "b" y "d": consecuentes

La suma de medios es igual a la suma de extre-mos:

a + d = b + c

Observacin:

Las proporciones aritmticas se dividen en dos tipos:

P. a. Discreta

Cuando se cumple que sus trminos medios son diferentes entre s.

a b = c d ; b c

Al ltimo trmino "d" se le denomina cuarta diferencial de "a", "b" y "c".

Observacin:

Ejemplo:

Calcular la cuarta diferencial de 18; 14 y 46

Luego: 18 14 = 46 x

Resolviendo: x = 42

Ahora hazlo t! Calcular la cuarta diferencial de 35; 26 y 56

2Proporciones


P. a. Continua

Cuando los trminos medios son iguales.

a b = b c

"b" se denomina media diferencial o media aritmtica de "a" y "c".

"c" se denomina tercera diferencial de "a" y "b".

Observacin:

Ejemplo:

Calcular la tercera diferencial de 78 y 65

Luego: 78 65 = 65 x

Resolviendo: x = 52

Ahora hazlo t! Calcular la tercera diferencial de 41 y 34

Ejemplo:

Calcular la media diferencial de 28 y 20

Luego: 28 x = x 20

Resolviendo: x = 24

Ahora hazlo t! Calcular la media diferencial de 34 y 30

La media diferencial de "a" y "c" tambin se puede calcular de la siguiente manera:

a + c2

Observacin:

Proporcin geomtrica (Equi cociente)

Igualdad de dos razones geomtricas.

ab

= cd

"a" y "d": extremos"b" y "c": medios

"a" y "c": antecedentes"b" y "d": consecuentes

El producto de medios es igual al producto de extremos:

a . d = b . c

Observacin:

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Las proporciones geomtricas se dividen en dos tipos:

P. G. Discreta

Cuando se cumple que sus trminos medios son diferentes entre s:

ab

= cd

; b c

Alltimotrmino"d"seledenominacuarta proporcionalde"a","b"y"c".

Observacin:

Ejemplo:

Calcular la cuarta proporcional de 28; 14 y 16

Luego:

2814

= 16x

Resolviendo: x = 8

Ahora hazlo t! Calcular la cuarta proporcional de 45; 15 y 36

P. G. Continua

Cuando los trminos medios son iguales.

ab

= bc

A "b" se le denomina media proporcio-nal o media geomtrica de "a" y "c".

A "c" se le llama tercera proporcional de "a" y "b".

Observacin:

Ejemplo:

Calcular la tercera proporcional de 40 y 20.

Luego:

4020

= 20x

Resolviendo: x = 10

Ahora hazlo t! Calcular la tercera proporcional de 27 y 9.

Ejemplo:

Calcular la media proporcional de 48 y 3

Luego:

48x

= x3

Resolviendo: x = 12

2Proporciones


1. Coloca verdadero (V) o falso (F):

P.G. es comparar razones aritmticas ( )

P.A. es comparar razones geomtricas ( )

2. Si: ab

= cd

"a" y "c": .................... "b" y "d": ....................

"a" y "d": .................... "b" y "c": ....................

3. En la siguiente proporcin: 84

= 42

, la tercera

proporcional es:

4. Aplica la propiedad:

Producto de extremos = Producto de medios

Resuelve:

x6

= 2824

24x

= 729

5. Halle "x"

24 x = 12 6

x 18 = 24 6

Ahora hazlo t! Calcular la media proporcional de 20 y 5.

La media proporcional de "a" y "c" tambin se puede calcular de la siguiente manera:

a . c

Observacin:

Sntesis terica

PROPORCIn

Puede ser

a b = c dab

= cd

es

Puede ser

es es es

Proporcin geomtricaProporcin aritmtica

P.G. Continua Tercera y media

proporcional

ab

= bc

P.a. Continua Tercera y media

diferencial

a b = b c

P.G. Discreta Cuarta proporcional

ab

= cd

P.a. Discreta Cuarta diferencial

a b = c d


10 x 550

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1. El producto de los extremos de una proporcin geomtrica es 12. Hallar el producto de los cua-tro trminos.

2. En una proporcin geomtrica continua, la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional.

3. La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a:

4. Hallar la tercera diferencial entre la media pro-porcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14.

5. En una proporcin geomtrica continua, los tr-minos extremos estn en relacin de 4 a 9 sien-do su suma 65. Hallar la media proporcional.

6. En una proporcin aritmtica continua, se sabe que los extremos son 10 y 4. Hallar la media diferencial.

7. Si la tercera proporcional de 9 y "a" es 25, hallar la cuarta proporcional de "a"; 35 y 12.

8. En una proporcin geomtrica continua, el pro-ducto de los cuatro trminos es 50 625. Hallar la media proporcional.

9. La diferencia entre el mayor y menor trmino de una proporcin geomtrica continua es 25. Si el otro trmino es 30, hallar la suma de los trminos, si los cuatro son positivos.

10. En una proporcin aritmtica continua, la me-dia diferencial es igual a 16 y la razn aritmtica de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos.

11. Si "m" es la media proporcional de 9 y 4 y "n" es la cuarta proporcional de 8; "m" y 12, hallar "m + n".

12. En una proporcin geomtrica continua, los tr-minos extremos estn en relacin de 4 a 9, sien-do su suma 39. Hallar la media proporcional.

13. En una proporcin aritmtica continua, la suma de los cuatro trminos es 36 y el producto de los extremos es 32. Calcular la razn aritmtica, sabiendo que es positiva.

14. El producto de los cuatro trminos de una pro-porcin geomtrica continua es 1 296 y la suma de los cuadrados de los extremos es 97. Calcu-lar uno de los extremos.

15. Determinar una proporcin geomtrica con-tinua, sabiendo que el producto de sus cuatro trminos es 312 y adems uno de sus extremos es nueve veces el otro. Dar como respuesta la suma de sus trminos.

Aprende ms

aplicacin cotidiana

Elecciones en el club

16. Para elegir los nuevos dirigentes del club Lima Deport Center se presenta-ron dos listas "A" y "B" y para votar se hacen presentes 240 socios. En una votacin de sondeo inicial la eleccin favorece a "B" en la proporcin de 3 a 2; pero en la segunda votacin legal gan "A" en una proporcin de 5 a 3. Si no hubo abstenciones, cuntos socios que inicialmente votaron por "B" cambian de opinin por "A"?

T puedes!

1. Cuntas proporciones geomtricas continuas de trminos naturales existen, tal que la suma de sus trminos sea 81 y su razn sea mayor que 1?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

2Proporciones


2. El producto de los cuatro trminos de una proporcin geomtrica cuya razn es 2/3, es 656 100. Si los antecedentes estn en la relacin de 3 a 5, determinar la suma de los cuatro trminos de dicha proporcin.a) 90 b) 100 c) 120 d) 125 e) 15

3. La media proporcional de los nmeros "a" y "b" es 12 y la tercera diferencial de "a" y "b" es 2. La media diferencial de "a" y "b + 1" es:

a) b + 1 b) b + 2 c) b + 3 d) b + 4 e) b + 5

4. En una proporcin geomtrica continua, el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuen-tes es 6 400. Hallar la suma de los cuatro trminos. Indique la suma de cifras del resultado.

a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

5. Quince es la media proporcional de "a" y 25 y "2a" es la tercera proporcional de 8 y "b". Cul es la cuarta proporcional de "a"; "b" y 15?

a) 18 b) 20 c) 15 d) 30 e) 45

Practica en casa

18:10:45

1. Julio tiene 38 aos y Juan 24 aos. Hace cun-tos aos sus edades fueron como 2 es a 1?

2. Tres nmeros estn en la misma relacin que 5; 9 y 13. Si la suma de ellos es 216, indicar el mayor de ellos.

3. La suma de los extremos de una proporcin geomtrica continua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la media proporcional.

4. El producto de los cuatro trminos de una pro-porcin geomtrica continua es 1 296. Si uno de los extremos es 3, la suma de cifras del otro es:

5. La media proporcional de "a" y 27 es "b" y ade-ms "a" es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar "a b".

6. Determinar la tercera proporcional entre la me-dia proporcional de 9 y 16 y la cuarta propor-cional de 10; 15 y 14.

7. Las edades de tres hermanas hace 4 aos esta-ban en la misma relacin que 2; 3 y 4. Si dentro de 4 aos ser como 6; 7 y 8, qu edad tiene la mayor?

8. En una proporcin geomtrica continua, la suma de los extremos es 51 y su diferencia 45. Hallar la media proporcional.

9. En una reunin se observ que por cada 5 hom-bres hay 3 mujeres. Si llegaron 10 hombres y 8

mujeres, la nueva relacin ser de 3 hombres por cada 2 mujeres. Cuntas personas haban inicialmente en la reunin?

10. Si 5 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b" y adems "b" es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30, halle "a + b".

11. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12.

12. La suma de los cuadrados de los trminos de una proporcin geomtrica continua es 400. Hallar el mayor trmino, sabiendo que un ex-tremo es la cuarta parte del otro.

13. Si 8 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b", y "a" es la cuarta proporcional de "b"; 16 y 48, hallar el valor de "a + b".

14. El producto de los cuatro trminos de una pro-porcin geomtrica es 50 625. Sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75, indicar la suma de los cuatro trminos de la proporcin.

15. En una reunin social las cantidades de inge-nieros, mdicos y arquitectos forman una pro-porcin aritmtica continua de razn 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2 arquitectos, cuntos son en total?

18

3 Aritmtica

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Serie de razones geomtricas equivalentes

En este captulo aprenderemos:

A analizar el concepto de serie de razones geomtricas equivalentes.

A identificar una serie de razones geomtricas equivalentes y continuas.

A demostrar y aplicar las propiedades de serie de razones geomtricas equivalentes.

A resolver situaciones problemticas que requieran para su solucin propiedades de la serie de razones geomtricas equivalentes.

Una mezcla gaseosa muy proporcional

La idea de que los compuestos tienen frmulas qumicas definidas fue propuesta, primero, al final del ao 1700 por el qumico francs Joseph Proust. ste realiz varios experimentos y observ que no importaba cmo diferentes elementos reaccionan con el oxgeno, pues ellos siempre reaccionan en proporciones definidas.

Por ejemplo: Dos partes de hidrgeno siempre reaccionan con otra parte de oxgeno al formar agua. Una parte de mercurio siempre reacciona con una parte de oxgeno al formar el xido de mercurio.

Dalton us la ley de proporciones definidas de Proust al desarrollar su teora atmica.

+

2 partes de hidrgeno 1 parte de oxgeno 1 parte de agua gaseosa

La ley tambin se aplica a los mltiplos de la proporcin fundamental.

+

4 partes de hidrgeno 2 partes de oxgeno 2 partes de agua gaseosa

Ahora responde:

Si queremos formar agua y tenemos ocho partes de hidrgeno, doce partes de hidrgeno o diez partes de hidrgeno, con cuntas partes de oxgeno deben reaccionar, respectivamente?

En qu relacin se encuentran el hidrgeno y el oxgeno en todos los casos anteriormente menciona-dos?

3Serie de razones geomtricas equivalentes


Saberes previos

Sabemos que: 80 = 16 . 5 = 4 5

Entonces a qu es igual:

1. 50

2. 48

Resuelve las ecuaciones:

3. 3k + 4k + 5k = 48

4. Hallar "a" y "b" en: a3

= b5

= 2

5. Reducir: (2m)2 + (2n)2 + (2p)2

m2 + n2 + p2 =

Conceptos bsicos

Serie de razones geomtricas equivalentes

Se denomina as al conjunto de ms de dos razones geomtricas que tienen el mismo valor.

Ejemplos:

1530

=

714

= 1428

=

816

= 0,5 Valor de la razn

357

= 102

= 408

= 255

= 5 Valor de la razn

En general:

a1c1

= a2c2

= a3c3

= ... = ancn

= k

Donde:

"a1"; "a2"; "a3"; ...; "an" antecedentes " c1"; "c2"; "c3"; ; " cn" consecuentes k constante de proporcionalidad o valor de la razn

Tambin: a1: Primer trmino a2: Tercer trmino

c1: Segundo trmino c2: Cuarto trmino etc.

Propiedades

a1 + a2 + a3 + ... + anc1 + c2 + c3 + ... + cn

= k a1 . a2 . a3 . ... . anc1 . c2 . c3 . ... . cn

= kn

am1cm1

= am2

cm2 = a

m3

cm3 = ... = a

mn

cmn = km

Sabas que...? Una serie de razones geomtricas equivalentes y continuas, se expresa de la siguiente

manera:

ab

= bc

= cd

= de

= ... = k

A partir de la segunda razn, el antecedente es igual al anterior consecuente.

Aritmtica

TRILCEColegios

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Sntesis terica

am

= bn

= cp

= dq

= k

ab

= bc = c

d = d

e

"a"; "b"; "c"; "d" Antecedentes"m"; "n"; "p"; "q" Consecuentes

Serie de razones geomtricas equivalen-

tes y continuas

Propiedades

SERIE DE RazOnES GEOmtRICaS EqUIvalEntES

a = mkb = nkc = pkd = qk

a + b + c + dm + n + p + q

= ka . b . c . dm . n . p . q

= k4


10 x 550

1. Completar:

En una serie de razones geomtricas equiva-lentes, la suma de dividido entre

la suma de. es igual a la cons-tante de proporcionalidad.

2. Completar la siguiente serie de razones geom-tricas equivalentes:

30 = 7

= 14

28 =

16

3. En la siguiente serie: ab

= bc

= cd

= de

= k

Deduce y completa en el espacio en blanco:

a = e.k b = e.k

4. Dada la siguiente serie: 186

= 248

= 124

= 155

Completa:

El segundo trmino es......................

El tercer antecedente es.............

El 12 es el .......... trmino

5. Se tiene la serie: ab

= bc

= cd

= de

Completar:

El ltimo antecedente es ..................

El segundo consecuente es ........

El tercer trmino diferente es ..................

antecedentes

consecuente

15

14

4

3

6

12

quinto

d

c

c



Aprende ms

1. En una serie de razones equivalentes los conse-cuentes son: 3; 5 y 9 y la suma de los antece-dentes es 102. Hallar la razn geomtrica.

2. Si se tiene: a4

= b8

=

c10

= d15

a . b + c . d = 1 638

hallar "a + b + c + d"

3. Si: 4a

= 7b

= 8c

= 10d

y adems: b . c = 504

hallar "a + b + c + d"

4. En una serie de tres razones geomtricas equi-valentes, los consecuentes son 30; 35 y 15. Si el producto de los antecedentes es 1 008, hallar la constante de proporcionalidad.

5. Si: a3

= b5

= c7

y adems: (a + b + c)b(a + b c)

= 375

Calcular: 5a b c

6. Dada la serie: 9a

=

b35

= 18c

= d20

y adems:

b d = 9, hallar "a + b + c + d"

7. Si se tiene: p2

12 = q

2

27 = r

2

48 = s

2

147

(p + s) (q + r) = 36, hallar "p + q + r + s"

8. Si se cumple: Aa

= Bb

= Cc

= Dd

A + B + C + D = 45

a + b + c + d = 125

Hallar: E = 23

( Aa + Bb + Cc + Dd)

9. Si: 9a

= 15b

= 33c

= 21d

y adems: c a + b d = 6, hallar "a . c"

10. Si: ab

= cd

= ef

=k, hallar: a2 + c2 + e2

ab + cd + ef

11. Los pesos de tres recipientes son proporcionales a los nmeros 8; 12 y 15. Si el peso total con-tenido en los tres asciende a 2 100 kg, cunto pesa el menor de los tres?

12. Las edades actuales de tres hermanos son pro-porcionales a los nmeros 3; 4 y 7. Si el menor naci cuando el mayor tena 12 aos, hallar la suma de las edades de los hermanos dentro de 10 aos.

13. Dada la serie: ab

= cd

= ef

= k

Hallar:

a20 + c20 + e20

b20 + d20 + f20

14. Si se tiene: Am

= Bn

= Cp

A2 + B2 + C2 = 324

hallar: E = 5

2 Am + Bn + Cp

m2 + n2 + p2

15. En una serie de tres razones geomtricas conti-nuas y equivalentes, la suma del primer antece-dente y ltimo consecuente es 189. Si la suma de las tres razones es 6, calcular el segundo an-tecedente.

aplicacin cotidiana

tres das con la ley

16. El nmero de asistentes en los tres das que dur la ltima presentacin del grupo "La Ley" el mes pasado se observ que por cada 4 del primer da asistieron 5 del segundo da y 8 del tercer da. Si las entradas tuvieron un precio nico de $ 25, cuntas personas asistieron el ltimo da, si la recaudacin por las tres presentaciones ascendi a $ 85 000?

Aritmtica

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1. Si: a4

= b5

= c7

y a + 3c = 75, hallar "b"

2. Si: m3

= n7

= p8

; calcular: E = 4m n + 2p

n + 2p

3. Si: a . b . c = 1 008, hallar "a + b + c", en:

a

30 =

b

35 =

c

15

4. Si: 32b

= bc

= c4

= 4e, hallar "e"

5. Si: a9

= b6

= 4c

adems "a" es a "b" como "b" es a "c", hallar: a b

6. En una serie de razones iguales, los antecedentes son los cuatro primeros nmeros primos, siendo la suma de los cuadrados de los consecuentes 34 800. Entonces el consecuente mayor es:

7. En una serie de razones geomtricas, los ante-cedentes son 2; 3; 4 y 5. Si la suma de los con-secuentes es 98; luego la suma de las cifras del mayor consecuente es:

8. En una serie de razones geomtricas, los antece-dentes son los tres primeros impares naturales. Si la suma de los consecuentes es 108, entonces el mayor consecuente es:

9. Tres nmeros son entre s como 5; 7 y 8. Si se suman 5; 10 y "n" al primer, segundo y tercer trmino respectivamente, la nueva relacin es ahora 11; 16 y 21. Hallar "n"

10. Dada la serie: ab

= cd

= ef

Si:

a2 . c2 . e2

b2 . d2 . f2 +

a2 + c2 + e2

b2 + d2 + f2 = 4 112

hallar: E = ab

+ cd

+ ef

T puedes!

1. Sabiendo que: a7

= b9

=

c11

= d15

y: a + b + c = 36, calcular el valor de "d".

a) 20 b) 25 c) 42 d) 52 e) 48

2. Si: a5

= b8

=

c15

y adems: 3a 5b + 2c = 245, hallar el valor de "a + b + c".

a) 892 b) 1 436 c) 842 d) 982 e) 1 372

3. Si: ab

= cd

= ef

= 12

, hallar: 2a4b2 + 3a2e2 5e4f2b6 + 3b2f2 5f5

1

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

4. Se tiene tres nmeros "a"; "b" y "c" que suman 1 270 y cumplen que:

a + ba b

= 237

y

b + cb c

= 137

. Hallar "a"

a) 400 b) 200 c) 300 d) 550 e) 750

5. Hallar "a + b", si: 1111aaaa

= 2222bbbb

= 3333cccc

y: a + b + c = 360

a) 120 b) 180 c) 150 d) 160 e) 280

Practica en casa

18:10:45



11. En una serie de cuatro razones geomtricas, los antecedentes son los cuatro primeros nmeros naturales. Si la suma de los consecuentes es 190, entonces el mayor consecuente es:

12. Si: ab

= cd

= ef

= K2 y b.d.e = R2

K2 (R > 0)

hallar: a . c . f

13. Sabiendo que: 15A

= 24B

= 33C

y que: 4A 2B + 5C = 295

calcular: A + B + C

14. Si: a2

12 =

b2

27=

c2

48 =

d2

75

(b + d) (a + b) = 210, hallar: a + b + c + d

15. Si: a2 1668

=

b2 2585

=

c2 49119

adems: a + b + c = 12

Determinar: 2a + 3b c

UNIDAD 2

cmo determinaras el ancho de este ro?

El ro Maran es el ms importante del Per, porque es uno de los principales afluentes del curso alto del ro Amazonas. Te parece esta zona muy inaccesible? De qu manera podramos estimar el ancho de este ro?APreNDIzAjeS eSPerADoS

Razonamiento y demostracin

Interpretar los resultados que se obtienen de la resolucin de problemas de carcter real.

Comunicacin matemtica

Representar matemticamente en forma ade-cuada enunciados vinculados a la proporcin.

Interpretar enunciados de proporcionalidad. Comprender que la proporcionalidad resuelve

muchos problemas de carcter comercial.

Resolucin de problemas

Resolver problemas que involucren reparto proporcional as como su aplicacin que es regla de compaa y ejercicios de regla de tres.

1magnitudes proporcionales


magnitudes proporcionalesEn este captulo aprenderemos:

A identificar la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

A interpretar los grficos entre magnitudes D.P. e I.P.

A resolver ejercicios de grficos con rectas e hiprbolas.

la proporcionalidad, herramienta auxiliar de la electrosttica

Coulomb desarroll la balanza de torsin con la que determin las propiedades de la fuerza elec-trosttica. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tien-de a regresarla a su posicin original, con lo que conociendo la fuerza de tor-sin que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejerci-da en un punto de la barra. La ley de Coulomb tambin conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas elctricas de un material, es decir, de-pende de que sus cargas sean negativas o positivas.

Saberes previos

1. Determina el valor de "x": 1821

= 24x x =

Suma las componentes del punto "A".

2. 18

12 A

B

4 6

3. 18

9

A

B

3 6

Con: A = 3; B = 2 y C = 6, hallar:

4. A . B2

C

5. A2 . B

C

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Conceptos bsicos

magnitudEs todo aquello que puede ser medido o cuantificado; ejemplo: el rea de un terreno, la edad de una per-sona, etc.

magnitudes proporcionalesDos magnitudes sern proporcionales si son dependientes entre s, es decir, si una de ellas vara, la otra tambin vara.

Clases de magnitudes magnitudes directamente proporcionales (D.P.)

Tambin denominadas simplemente proporcionales. Las magnitudes "A" y "B" son directamente pro-porcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante.

Es decir:

"A" D.P. "B"

AB

= k (constante)

o tambin:

A = Bk

Se denota: A B

Si una magnitud se duplica, triplica, cuadruplica, etc. la otra magnitud lo realiza en la misma relacin.

Ejemplo:

Sean las magnitudes "costo" del kg de arroz y "cantidad" de arroz.

magnitudes valores correspondientes

A: Costo 2 4 6 10 B: kg arroz 1 2 3 5

Del cuadro, observamos que si dividimos el costo entre el nmero de kg de arroz se obtiene una cantidad constante.

Esta grfica nos indica que a medida que "B" (nmero de kg de arroz) aumenta; tambin "A" (costo) aumenta, o si "B" disminuye tambin "A" disminuye.

Grficamente:

6

A

4

2

1 3 B2 4 5

10Costo (S/.)

(kg arroz)

Recta

Ahora hazlo t! Del grfico anterior, cul es el costo de 7 kg de arroz?

"Cuando dos magnitudes son D.P. entonces la divisin de sus valores correspondientes es siempre constante".

Recuerda que...



magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)

Dos magnitudes "A" y "B" son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores co-rrespondientes es una constante.

Es decir:

"A" I.P. "B" A. B = k (constante)

o tambin: A = kB

Se denota: A 1

B

Esto significa que al duplicarse "A", "B" se reduce a su mitad y si "A" se cuadruplica, "B" se reduce a

la cuarta parte, etc.

Ejemplo:

Un mvil al recorrer un tramo con una velocidad de 20 km/h se demor 8 horas. Si duplica su velocidad, entonces se de-morar menos tiempo en recorrer el mismo tramo especfica-

mente la mitad del tiempo; es decir

82

horas = 4 horas.

magnitudes valores correspondientesA: Velocidad 20 40 80

B: Tiempo 8 4 2

Del cuadro, observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para este cuadro, 160 una cantidad constante.

Grficamente:

60

A

40

20

2 6 B4 8

80

(Velocidad)

(Tiempo)

Hiprbola equiltera

Ahora hazlo t! Del grfico anterior, cunto tiempo se demora para una velocidad de 10 km/h?

"Cuando dos magnitudes son I.P. entonces el producto de sus valores correspondientes es siempre constante".

Recuerda que...

Propiedades

Si: "A" D.P. "B""A" D.P. "C"

AB . C

= k

Si: "A" D.P. "B""A" I.P. "C""A" D.P. "D"

A. CB . D

= k

Aritmtica

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Sntesis terica

maGnItUDES

magnitudes proporcionales

Proporcionalidad compuesta

Propiedades

Directamente proporcionales Inversamente proporcionales

pueden ser

"A" D.P. "B"

A B

= k

"A" I.P. "B"

A . B = k

ms de dos magnitudes

"A" D.P. "B""A" I.P. "C"

A . C B

= k

pueden ser

RectaHiprbola


10 x 550

1. Une con una flecha, la grfica que corresponda:

Magnitud D.P. Hiprbola equiltera

Magnitud I.P. Recta

2. Coloca verdadero (V) o falso (F) segn conven-ga:

an D.P. bn "a" I.P. "b" ...................... ( )

"A" I.P. "B" A D.P. 1B

..................... ( )

3. Coloca verdadero (V) o falso (F) segn conven-ga:

A D.P. 1B

An (I.P.) Bn ......... ( )

"A" D.P. "B""A" D.P. "C" "A" D.P. "BC"..... ( )

4. Escribir en los espacios en blanco, la relacin entre las magnitudes:

Velocidad de un auto .................. Distancia

Nmero de obreros ..................... Obra

Obra ........................................... Tiempo

5. Une con una flecha:

a1b1

= a2b2

= ... = an

bn (I.P.)

a1 . b1 = a2 . b2 = = an . bn (D.P.)



Aprende ms

1. Si "A" es D.P. a "B", hallar: x + y

15A

12

y

4 10 Bx

2. Se sabe que "A" es D.P. a B e I.P. a C2. Si: A = 3 cuando B = 36 y C = 8, hallar "B", cuan-do A = 6 y C = 4.

3. "P" vara D.P. a "Q" e I.P. a "R", cuando Q = 240 y R = 600 entonces P = 30. Hallar "P", cuando Q = 500 y R = 150.

4. "M" es D.P. a "B" e I.P. a C3 . Calcular el valor de "M" cuando B = 2 y C = 64, si se sabe que cuando M = 16; C = 216 y B = 6.

5. "A" vara D.P. con la diferencia de dos nme-ros. Cuando: A = 15, la diferencia es 6. Cun-to vale esta diferencia, si: A = 18?

6. Si "A" es D.P. a B2 y D.P. a C, hallar "A", cuan-do B = 2 y C = 25, si cuando B = 5 y C = 16 entonces A = 15.

7. Si la siguiente grfica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales, hallar "a + b".

P

Q

a

b85

25

10

8. Se sabe que "A" es D.P. a B2, en cuntas veces aumenta "A", cuando "B" aumenta en su triple?

9. El gasto de un profesor es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Si su sueldo equivale a S/. 900 ahorra S/. 90. Cul ser su sueldo, cuando su gasto sea de S/. 1 260?

10. Se tienen dos magnitudes "A" y "B" tales que "A" es D.P. a B2. Si cuando "B" aumenta en 2 unidades, el valor de "A" se cuadruplica, qu sucede con el valor de "A", si "B" aumenta en 4 unidades?

11. Si "A" es directamente proporcional a la raz cuadrada de "B", completar el siguiente cuadro y dar la suma de los valores obtenidos.

A 240 160

B 81 225

12. "A" es directamente proporcional a "B" y C2 e inversamente proporcional a "D" y "E". Cuando A = 2B; D = 4; C = 2 entonces E = 3. Calcular "E", cuando A = 72; D = 6; B = 2 y C = 3E

13. El precio de un televisor a color vara en forma D.P. al cuadrado de su tamao e I.P. a la raz cuadrada de la energa que consume. Si cuando su tamao es de 14 pulgadas y consume "E" de energa su precio es de S/. 360, cunto costar un televisor cuyo tamao es de 21 pulgadas y

consume E4

de energa?

14. El precio de un diamante es directamente pro-porcional al cuadrado de su peso. Si un diaman-te que pesa 80 gramos cuesta $ 320, cunto costar otro diamante de 100 gramos de peso?

15. Del grfico, calcular "x". A

b

x

4 b2 B12

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aplicacin cotidiana

la ley de Boyle

16. Es la ley de los gases ideales que relaciona el volumen y la presin de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante. Cuando la presin se multiplica por un nmero el volumen se divide entre el mismo nmero y si la presin se divide entre un nmero entonces el volumen se multiplica por el mismo nmero. A qu presin est sometida un gas, si al aumentar esta presin en 2,5 atmsferas, el volumen vara en un 20%?

T puedes!

1. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e I.P. a su seccin y rigidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y 31 mm2 de seccin se le aplican 2 000 newton, sufre un alargamiento de 1 mm. Hallar qu alargamiento ocasiona 800 newton aplicado a una barra de aluminio de 70 cm de largo y 12,4 mm2 de seccin, sabiendo que la rigidez del aluminio es la mitad que la del acero.

a) 1,4 b) 1,2 c) 3 d) 2,5 e) 1

2. La magnitud "A" vara proporcionalmente a la magnitud B2 e I.P. a la magnitud "C"; as mismo "B" va-ra D.P. a la raz cuadrada de "D" y "C" vara I.P. a la magnitud "E". Si: A = 40; D = 2 y E = 5, hallar "A", cuando: D.E = 20.

a) 40 b) 80 c) 30 d) 50 e) 100

3. En cierto proceso de produccin se descubre que sta era D.P. al nmero de mquinas e I.P. a la raz cuadrada de la antigedad de ellas. Si inicialmente haban 15 mquinas con 9 aos de uso y se consi-guen 8 mquinas ms con 4 aos de uso cada una, determinar la relacin entre la produccin actual y la anterior.

a) 5:9 b) 4:9 c) 5:4 d) 4:11 e) 9:11

4. La potencia del motor de un automvil es D.P. a su capacidad e I.P. a los aos de uso. Si un motor de 4,2 litros de capacidad y 3 aos de uso tiene una potencia de 72 caballos, cuntos caballos de poten-cia tiene otro motor de 6,3 litros de capacidad y 6 aos de uso?

a) 54 b) 42 c) 36 d) 40 e) 45

5. La resistencia de un conductor metlico de seccin recta circular es proporcional a su longitud e inver-samente proporcional al cuadrado de su dimetro. Qu sucede con la resistencia, cuando su longitud se duplica y el radio se hace la mitad de su valor?

a) Se multiplica por 4 b) Se multiplica por 8 c) Se divide entre 16 d) Se divide entre 8 e) Se multiplica por 15



Practica en casa

18:10:45

1. Si "A" es D.P. a "B", calcular: x . y

15A

12

y

4 10 Bx

2. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales re-presentadas mediante el siguiente grfico, cal-cular "x".

A

B

18

x4

6

3. Si las magnitudes "P" y "Q" son inversamente proporcionales, hallar "a + b"

P 4 b 12Q a 10 5

4. Se sabe que "M" vara D.P. al cuadrado de "R" e I.P. al cubo de "S". Cul expresin representa la relacin entre las tres magnitudes? (K = cons-tante de proporcionalidad).

a)

MR2S

= K

b) MR2S3

= K

c) MS3

R2 = K d) MR

2

S3 = K

5. Sabiendo que "A" es D.P. a B2, y las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Hallar: a + b + d.

A 27 6a + d d aB a b 4 8

6. Siendo "A" D.P. al cuadrado de "B" e I.P. al cubo de "C", hallar "m" y "p" del siguiente cuadro:

A B C12 4 5

125 m 3p 8 2

7. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales re-presentadas mediante el siguiente grfico, cal-cular "x".

A

B

a

40

204 x

16

8. La presin de un gas es directamente proporcio-nal a su temperatura absoluta. Si a la temperatu-ra de 300 K la presin es de 2 atmsferas, a qu temperatura la presin es de 2,5 atmsferas?

9. "A" es D.P. a B2 y D.P. a C . Hallar "A", cuan-do B = 2 y C = 25, si cuando B = 5 y C = 16 entonces A = 15.

10. "M" es D.P. con P2 e I.P. con N/2, cuando M = 18; P = 3 y N = 8. Hallar "N", cuando "P" es 6 y "M" es 45.

11. "A" vara D.P. con la diferencia de dos nme-ros. Cuando A = 15, la diferencia es 6. Cunto vale esta diferencia, si: A = 20?

12. El precio de una casa es directamente propor-cional al rea e inversamente proporcional a la distancia que la separa de Lima. Si una casa ubi-cada a 75 km cuesta S/. 45 000, cunto costar una casa del mismo material, si su rea es el doble y se encuentra a 150 km de distancia?

13. La potencia del motor de un automvil es direc-tamente proporcional a su capacidad e inver-samente proporcional a los aos de uso. Si un motor de 4 litros de capacidad y tres aos de uso tiene una potencia de 80 caballos, cuntos aos de uso tiene otro motor de 6 litros de capa-cidad y 90 caballos de potencia?

14. El precio de un diamante es directamente pro-porcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta 4 000 dlares, cun-to costar otro diamante que pesa 25 gramos?

15. "A" y "B" son dos magnitudes D.P. Cuando el valor inicial de "B" se triplica, el valor de "A" aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo va-lor de "B" se divida entre 5, qu suceder con el valor de "A", respecto al inicial?

32

2 Aritmtica

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complemento

Aprende ms

1. Las edades de tres hermanas hace cuatro aos estaban en la misma relacin que 2; 3 y 4. Si dentro de cuatro aos ser como 6; 7 y 8, qu edad tiene la mayor?

2. Cinco es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b" y adems "b" es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30, halle "a + b".

3. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12.

4. Determinar la tercera proporcional entre la me-dia proporcional de 9 y 16 y la cuarta propor-cional de 10; 15 y 14.

5. En una reunin social las cantidades de inge-nieros, mdicos y arquitectos forman una pro-porcin aritmtica continua de razn 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2 arquitectos, cuntos son en total?

6. La suma de dos nmeros es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos nmeros es 5 040, indicar la diferencia de los numerales.

7. En un momento de una fiesta, el nmero de hombres que no bailan es al nmero de perso-nas que estn bailando como 1 es a 6. Adems el nmero de damas que no bailan es al nmero de hombres como 3 es a 20. Encontrar el n-mero de damas que estn bailando, si en total asistieron 456 personas.

8. En un corral hay patos y gallinas. Si el nmero de patos es al total como 3 a 7 y la diferencia entre patos y gallinas es 20, cul ser la rela-cin entre patos y gallinas al quitar 50 gallinas?

9. Cuatro nmeros son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5, adems la suma de los cubos de dichos n-meros es 1.288. El mayor es:

10. En una proporcin geomtrica continua, la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cuatro trminos es 15, entonces la diferencia entre los trminos mayor y menor es:

11. En una serie de razones geomtricas equiva-lentes de razn 3, los consecuentes son tres nmeros consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendo que el producto de an-tecedentes es 5 670.

12. Sabiendo que la razn geomtrica de dos n-meros cuya diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor, hallar su producto.

13. En una tienda el nmero de lapiceros azules es al nmero de rojos como 24 es a 31. Si en un da se vendieron la quinta parte de los lapiceros de los cuales los rojos y azules estn en la pro-porcin de 9 a 13, en qu relacin quedaron los lapiceros sin vender?

14. En una proporcin geomtrica continua, la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los trminos diferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes.

15. Del grfico, hallar "a + b".

y

86

1,6

a b x15

2complemento


T puedes!

1. Dos ruedas de 24 y 39 dientes estn concatenadas. En el transcurso de 4 minutos una da 50 vueltas ms que la otra. Hallar la velocidad del menor en rev/min.

a) 38,5 b) 20 c) 37,5 d) 32,5 e) 22,5

2. El precio de impresin de un libro es directamente proporcional al nmero de pginas e inversamente proporcional al nmero de ejemplares que se impriman. Se editaron 2 000 ejemplares de un libro de 400 pginas cuyo costo es $ 6 el ejemplar. Cunto costar editar un ejemplar, si se mandaron a im-primir 1 800 libros de 360 pginas?

a) $ 6 b) 8 c) 4 d) 7 e) 5

3. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al nmero de das que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/. 600 y su rendimiento es como 5 y falt 4 das, entonces, cul es el sueldo de Carlos, si su rendimiento es como 8 y falt 3 das?

a) S/. 960 b) 1 080 c) 1 280 d) 1 440 e) 980

4. La siguiente figura muestra la grfica de dos magnitudes directamente proporcionales: La produccin de una fbrica respecto al nmero de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experi-mentados y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar, cul sera su produccin con 60 obreros experimentados?, y en segundo lugar, cuntos obreros nuevos necesitara para producir con ellos 1 760 artculos?

1300

Produccin

Nmero(Obreros)

1 100

50

Obreros experimentados

Obreros nuevos

a) 1 560; 90 b) 1 240; 70 c) 1 560; 80 d) 1 560; 70 e) 1 650; 90

5. La cantidad de demanda de cierto bien es directamente proporcional al cubo de la inversin en publi-cidad e inversamente proporcional al cuadrado del precio unitario. Si el ao pasado se vendieron 64 millones de artculos a S/. 200 e invirti en publicidad S/. 4 000 , cunto hay que invertir este ao en publicidad, si se quiere vender 80 millones de artculos a S/. 250 cada uno?

a) S/. 5 000 b) 4 000 c) 6 000 d) 8 000 e) 7 000

Aritmtica

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1. Tres nmeros son proporcionales a 2; 5 y 7. Si la diferencia del segundo y el primero es 15, indicar el tercer nmero.

2. En una reunin el nmero de hombres es al nmero de mujeres como 8 es a 7. Si en to-tal asistieron 90 personas, indicar el nmero de mujeres, si se retiran 7 parejas.

3. En un corral el nmero de patos excede al n-mero de gallinas en 75 y adems se observa que por cada 8 patos hay 5 gallinas. Cul es el nmero total de patos y gallinas que hay en el corral?

4. Se tiene dos magnitudes "A" y "B" tales que "A" es D.P. a B2; adems cuando A = 75, entonces B = 5. Hallar "A", cuando B = 4.

5. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 aos, dentro de cuntos aos cuadru-plicar su sueldo?

6. La grfica muestra los valores que toman dos magnitudes "A" y "B". Calcular "m + n".

A

B

m

8

1812 36

n

7. En el siguiente grfico, calcular "a + b".

A

B

a + 16

b3224

a

a 24

8. Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D.P. a "C" e I.P. a B . Hallar "A", cuando B = C2 sabiendo que A = 10; B = 144 y C = 15.

9. La razn geomtrica entre dos nmeros cuya suma es 91, se invierte si se aade 19 al menor y se quita 19 al mayor. Cul es el mayor de dichos nmeros?

10. La razn aritmtica de dos nmeros es a la ra-zn geomtrica de los mismos, como el menor es a 7/4. En qu relacin se encuentran dichos nmeros?

11. En una proporcin aritmtica discreta los extre-mos son entre s como 4 a 3 y los medios son entre s como 5 a 9. Si la suma de los antece-dentes es 68, calcular la cuarta diferencial.

12. En una reunin la relacin del nmero de hom-bres con el nmero de mujeres es 8/5, pero lue-go el nmero total de personas aument en un 20%, quedando el nmero de hombres aumen-tado en su 30%. Hallar la nueva relacin que hay entre el nmero de hombres y el nmero de mujeres.

13. Si A + B es D.P. a C2; cuando A = 6 y B = 3, entonces C = 3. Hallar "B", si: C = 6 y A = 9.

14. El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima y D.P. a su rea. Un cierto terreno cuesta 500 mil soles y otro terreno de doble rea y situado a una distancia cudruple que la anterior costar:

15. Dos veteranos de guerra tienen concedidas pensiones que son D.P. a las races cuadradas del nmero de balazos que recibieron. Si el pri-mero recibi 24 balazos ms que el segundo y las pensiones estn en la relacin de 91 a 65, cuntos balazos recibi el segundo?

Practica en casa

18:10:45

3reparto proporcional simple


reparto proporcional simpleEn este captulo aprenderemos:

A comparar los dos tipos de reparto proporcional simple.

A comprender que el reparto proporcional simple es un ejercicio de proporciones.

A resolver problemas de reparto proporcional simple directo e inverso.

A resolver problemas de contexto real y matemtico que implican utilizar reparto pro-porcional simple directo o inverso.

El reparto: habilidad o tcnica?

El reparto proporcional ha sido fuente de inspiracin para ingeniosos problemas relacionados con la vida cotidiana y que incluso se les puede encontrar en algunas narraciones que tienen como principal objetivo entretener al lector; textos como "El hombre que calculaba" o "Aritmtica recreativa" son solo dos ejemplos que podemos citar. Si bien es cierto que en la actualidad ya no se requieren tantas complicaciones para hacer un sencillo reparto, nos sirve como ejercicio para posterior-mente podernos adaptar a situaciones reales en las cuales la distribucin toma en cuenta muchas variables las que interactan simultneamente, para ello se estructuran pequeos modelos que nos permitirn idealizar la situacin y poder lograr el cometido. Leamos la siguiente historia:

"Cuando con un amigo bamos por un camino, encontramos a un hom-bre que ansiosamente nos pregunt:

Trais quizs algo de comer? Me estoy muriendo de hambre...

Me quedan tres panes respond

Yo llevo cinco dijo a mi lado mi compaero

Pues bien, sugiri l, yo os ruego que juntemos esos panes y comamos en forma equitativa e igual. Cuan-do lleguemos a Bagdad prometo pagar con ocho monedas de oro por el pan que coma.

Al llegar a aquella ciudad y sacando las ocho monedas nos dijo:

Quiero repetiros mi agradecimiento por el gran auxilio que me habis prestado y para cumplir la palabra dada os pagar lo que tan generosamente disteis. Y dirigindose al hombre que calculaba le dijo:

Recibirs cinco monedas por los cinco panes y volvindose a mi aadi:

Y t Oh Bagdal!, recibirs tres monedas por los tres panes

Mas con gran sorpresa ma, el calculador objet respetuoso.

Perdn, oh, Jeque! La divisin, hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemticamente cierta.

"El HOmBRE qUE CalCUlaBa"

Puede usted, alumno sagaz, decirme como deben repartirse las valiosas ocho monedas?"

Aritmtica

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Saberes previos

1. Cmo plantearas "cuatro nmeros son propor-cionales a 2; 4; 5 y 7"?

2. Calcula el m.c.m. de: 24; 30 y 15

3. Determina la inversa de: 23

4. Resolver: 3k + 5k + 6k = 280

5. Simplificar: 18 215

=

Conceptos bsicos

Reparto proporcional simpleEl reparto proporcional simple es un procedimiento aritmtico que consiste en descomponer una cantidad en varias partes que son directamente o inversamente proporcionales a dichos nmeros llamados conve-nientemente ndices.

Reparto simple Reparto simple directo.

En este caso las partes son directamente proporcionales.

Ejemplo:

Repartir 600 en partes D.P. a los nmeros 2; 3 y 7. Dar la mayor parte.

Solucin:

D.P. Partes donde: k = 600

2 + 3 + 7 = 50

a = 100 b = 150 c = 350

600

2 a = 2k

3 b = 3k

7 c = 7k

Ahora hazlo t! Repartir 250 en partes D.P. a los nmeros 9; 11 y 5.

Reparto simple inverso

En este caso las partes son inversamente proporcionales.

Ejemplo:

Repartir S/. 1 800 en forma I.P. a los nmeros 3; 4 y 6. Dar la parte intermedia.

Solucin:

I.P. D.P. Partes

Donde: k = 1 800

4 + 3 + 2 = 200

a = 800 b = 600 c = 400

1800

313

12 = 4 a = 4k

414

12 = 3 b = 3k

616

12 = 2 c = 2k

Ojo: El nmero 12 resulta de calcular el m.c.m. de 3; 4 y 6



Ahora hazlo t! Repartir S/. 370 en forma I.P. a los nmeros 5; 6 y 4.

Sntesis terica

REPaRtO PROPORCIOnal SImPlE

Directo

Ejercicios

Inverso

o puede serPuede ser

Cuando se reparte en forma D.P.

Cuando se reparte en forma I.P.


10 x 550

1. Repartir 3 300 D.P. a 3; 1 y 7.

2. Repartir 6 200 I.P. a 3; 7 y 1.

3. Marca verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda:

Cuando al mayor le toca ms y al menor menos, se trata de un reparto inverso.

( )

Repartir D.P. a 13

; 15

y 1 es lo mismo

que repartir D.P. a 5; 3 y 15.

( )

4. Coloca verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda:

Cuando se reparte 390 I.P. a 1; 4 y 7, la mayor cantidad obtenida fue 280.

( )

Si un reparto de ganancias se hace a los capitales impuestos, se hace en forma I.P.

( )

5. Repartir 600 en forma I.P. a 12

; 15

y 17

.

Aritmtica

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Aprende ms

11. Dividir 400 directamente proporcional a 12; 75; 147 y 363 . Dar como respuesta la suma

de las dos menores partes.

12. Un padre de familia reparte semanalmente una propina de S/. 148 entre sus hijos que tienen respectivamente: 12; 15 y 18 aos, con la con-dicin de que se dividan esta suma I.P. a la edad que tienen. Una de las partes es:

13. Ricardo tiene tres sobrinos de 15; 17 y 19 aos respectivamente y les deja S/. 24 000 con la condicin de que se dividan esta suma D.P. a las edades que tendrn dentro de 3 aos. Una de las partes ser:

14. Se reparte una herencia de $ 19 270 entre tres hermanos en razn inversa a sus edades, que es la del primero 30 aos, la del segundo 40 y la edad del tercero 50. Cunto ms corresponde al menor que al intermedio?

15. Se reparte 720 en tres partes que son D.P. a la suma, la diferencia y el producto de dos nme-ros, correspondindole 540 al producto. Cul es el menor de los nmeros?

aplicacin cotidiana

Premio a repartir

16. Tres ciclistas que compiten en el gran premio "El Valle" en el circuito El Mirador de Pachacmac deben recorrer una distancia y se ponen de acuerdo para distribuirse S/. 94 500 de tal forma que lo que reciba cada uno tenga relacin con los tiempos que demoran en recorrer una distancia acordada. Efectuado el reco-rrido result que el primero tard 3 horas, el segundo 5 horas y el tercero 6 horas. Cunto recibi el ms veloz?

T puedes!

1. Se reparten 180 kilos de un producto entre cinco personas, segn una progresin aritmtica, donde la suma de los dos primeros trminos resulta ser la quinta parte de la suma de los otros tres trminos. Cuntos kilos reciben la primera y quinta persona juntas?

a) 36 b) 72 c) 45 d) 90 e) 70

1. Repartir 900 en partes D.P. a los nmeros 2; 3 y 4. Dar la menor parte.

2. Dividir el nmero 3 280 en partes I.P. a 2/3; 6 y 11/9. Hallar la parte mayor.

3. Repartir S/. 4 950 en forma I.P. a 12; 18 y 6. Indicar la mayor parte.

4. Repartir 36 en partes proporcionales a 28; 63 y 343 . Dar como respuesta al mayor.

5. Repartir 3 330 D.P. a 1010; 1011 y 1012.

6. Repartir 240 D.P. a 1/2 y 1/3, indicar la parte mayor.

7. Repartir S/. 1 600 D.P. a 1; 4; 5 y 6. Dar como respuesta la parte mayor.

8. Repartir 900 en forma I.P. a 1/20; 1/30 y 1/40. Dar como respuesta la parte intermedia.

9. Repartir 2 600 en forma I.P. a 14; 21 y 28. Indi-car la menor parte.

10. Repartir 420 en partes D.P. a los nmeros 2,5; 4,5 y 3,5. Dar la menor parte.



1. Repartir 8 800 en partes D.P. a los nmeros 2; 5 y 4. Dar la menor parte.

2. Repartir 2 300 en forma I.P. a los nmeros 1; 3 y 5. Dar la parte intermedia.

3. Dividir 500 directamente proporcional a 8; 50; 98 y 242. Dar como respuesta la suma

de las dos menores partes.

4. Repartir 48 en partes proporcionales a 63; 28 y 7 . Dar como respuesta la mayor de las

partes.

5. Repartir S/. 4 536 en cuatro partes cuyos cuadra-dos sean directamente proporcionales a 20; 45; 80 y 125. Cul es la mayor cantidad repartida?

6. Al dividir 480 en forma proporcional a 1/2; 2/3 y 5/6, se obtiene que la mayor parte es:

7. Se reparte cierta cantidad en forma I.P. a 4; 6 y 9. Si la diferencia de la parte mayor con la menor es "A", calcular la suma de las partes menores.

8. Repartir 6 513 inversamente proporcional a los nmeros: 0,2; 0,3; 2,5 y 16/5. Una de dichas cantidades es:

9. Las edades de siete hermanos son nmeros con-secutivos, si se reparte una suma de dinero pro-porcionalmente a sus edades, el menor recibe la

mitad del mayor y el tercero S/. 80 000. Cunto recibe el quinto, si el primero es el mayor?

10. Las edades de cuatro hermanos son cantidades enteras y consecutivas. Se reparte una suma de dinero proporcionalmente a sus edades de tal manera que el menor recibe los 4/5 del mayor. Cunto recibe el mayor, si el segundo recibe S/. 140?

11. Repartir 7 200 D.P. a 200 ; 392 y 288 . Dar como respuesta la menor de las partes.

12. Una cantidad se reparte en forma proporcional a 24k3 ; 81k3 y 192k3 donde la menor de las partes result 14. Cul es la suma de cifras de la cantidad repartida?

13. Calcular la suma de cifras de la mayor parte que se obtiene al repartir el nmero 1 240 en forma D.P. a 2400; 2401; 2402; 2403 y 2404.

14. Se reparte S/. 6 500 entre tres personas en forma proporcional a b; b2 y b3. Si el menor recibe S/. 500, cunto recibe el mayor?

15. Dos pastores llevan 5 y 3 panes respectivamen-te. Se encuentran con un cazador hambriento y comparten con ste los 8 panes. Si el cazador pag 48 soles por su parte, cuntos soles le toc a cada pastor?

Practica en casa

18:10:45

2. Tres automovilistas deciden repartirse S/.2 800 en forma proporcional a las velocidades de sus vehcu-los. Si luego de 5 horas han recorrido "3a" km; "4a" km y "7a" km, cunto recibe el ms veloz?

a) S/. 1 600 b) 700 c) 1 400 d) 900 e) 1 440

3. Repartir 1 491 en tres partes de manera que la primera tenga 2/3 ms que la segunda y la segunda 2/5 ms que la tercera. Hallar la mayor parte.

a) 735 b) 715 c) 445 d) 690 e) 700

4. Un canal para riego en cuya construccin se ha gastado 1 644 000 soles, fue construido y usado en comn por tres propietarios. La superficie de riego del segundo propietario es 5/8 de la del primero y la del tercero es 4/9 de la del segundo. Cul es la aportacin del tercer propietario?

a) S/. 360 000 b) 720 000 c) 240 000 d) 900 000 e) 700 000

5. Al repartir 110 700 en tres partes que sean D.P. a las races cbicas de los nmeros 16; "x" y 128 se ha obtenido que la parte proporcional a la raz cbica de "x" es 36 900. Determinar cul es la mayor parte obtenida.

a) 36 000 b) 42 000 c) 45 000 d) 29 000 e) 49 200

40

5 Aritmtica

TRILCEColegios

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reparto proporcional compuestoEn este captulo aprenderemos:

A identificar un problema de reparto proporcional compuesto

A interpretar los resultados obtenidos del reparto proporcional compuesto

A resolver problemas de cierto grado de dificultad de reparto proporcional compuesto

Un justo reparto

En la escuela de Pablo se ha organizado una kerms, para la cual deben cooperar con lo que puedan. Cuatro compaeros ponen el puesto de los refrescos, se organizan para comprarlos y juntan sus aho-rros de la siguiente manera: Pablo S/. 50, Pepe S/. 80, Lucho S/. 35 y Juan S/. 95. Al final del evento el total de la ganancia fue de S/. 520.

Ahora se disponen a repartir el dinero en forma proporcional de acuerdo con la inversin hecha. Qu cantidad le toca a cada alumno?

Respondan las siguientes preguntas:

a) Cunto le debe tocar a Pablo?

b) Y a Pepe?

c) A Lucho?

d) A Juan?

Lucho propuso dividir la ganancia total entre 4, de modo que a cada uno le tocara S/.130.

Juan no est de acuerdo con la forma de repartir el dinero como propuso Lucho.

Comenta:

a) Por qu crees que Juan est en desacuerdo?

b) Juan puso ms de la cantidad de dinero que puso Lucho. Del dinero que van a repartir, cunto le debe tocar a Juan respecto a lo que le toca a Lucho?

c) Cunto dinero juntaron entre todos?

5reparto proporcional compuesto


Saberes previos

1. Repartir 1 430 en forma D.P. a los coeficientes 75; 12 y 48. Dar la parte mayor.

2. Repartir 7 900 en forma I.P. a 3; 8 y 5. Dar la parte menor.

3. Repartir 1 440 en forma I.P. a 12

; 13

; 14

y 17

. Dar la

parte menor.

4. Descomponer 600 en forma D.P. a 3 ; 12 y 27. Dar la parte mayor.

5. Hallar "a", "b" y "c", si:

a3

= b4

= c5

y adems: a + b + c = 60

Conceptos bsicos

Reparto proporcional compuestoEs cuando las partes son proporcionales a varios grupos de ndices.

Procedimiento:

Se convierte la relacin I.P. a D.P. (invirtiendo los ndices).

Se multiplica los ndices de las dos relaciones D.P. (o ms segn el caso)

Se efecta un reparto simple directo con los nuevos ndices.

Ejemplo:

Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.

Solucin:

D.P. D.P. ndices PartesLuego: 2k + k = 648 k = 648

3 = 216

1ero: 2 216 = 432 2do: 1 216 = 216

6484

13

= 43

3 4

2 2k

619

= 23

3 2

2 1k

Ahora hazlo t! Repartir S/. 460 en forma D.P. a 2 y 5 y a la vez en forma I.P. a 3 y 4

Ejemplo:

Repartir S/. 7 000 D.P. a 12 y 24 y a la vez D.P. a 13

y 18

. Indicar la parte menor.

Solucin:

D.P. D.P. ndices Partes Donde: k =

7 0007

= 1 000

a = S/. 4 000

b = S/. 3 000

7 00012

13

4 a = 4k

2418

3 b = 3k

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El reparto proporcional compuesto siempre tiene ms de dos grupos de ndices de reparto.

Recuerda que...

Ahora hazlo t! Repartir S/. 6 000 D.P. a 18 y 16 y a la vez D.P. a 1/9 y 1/4. Indicar la parte mayor.

Sntesis terica

REPaRtO PROPORCIOnal

Directo (D.P.)

Simple(Intervienen solo un grupo de ndices de reparto)

Compuesto(Intervienen dos o ms grupos de ndices de reparto)

Inverso (I.P.)

puede ser puede ser


10 x 550

1. Completa:

"Cuando se tienen dos grupos de ndices, en

forma D.P. y a la vez D.P. entonces los ndices

se."

2. Completa:

"Cuando se tienen dos grupos de ndices, en

forma D.P. y a la vez I.P. entonces se convierte

la relacin I.P. a y luego se

los ndices de las dos rela-

ciones."

3. Completa:

"Cuando una cantidad se reparte D.P. a fraccio-

nes, para facilitar el reparto, se debe multiplicar

por el. de los denominadores y

no se altera el reparto."

4. Si se hace un reparto D.P. a 4; 6; 8 y 9 y a la vez I.P. a 2; 3; 1 y 3, a qu ndices deber hacerse el reparto en forma D.P.?

5. Si se hace un reparto I.P. a 1/4; 1/5 y 1/9 y a la vez D.P. a 2; 4 y 3, a qu ndices deber hacer-se el reparto en forma D.P.?



1. Repartir 9 640 en forma D.P. a los nmeros 3; 5 y 8 e I.P. a los nmeros 4; 3 y 5. Dar como respuesta la parte menor.

2. Repartir 4 536 en forma D.P. a 2; 3 y 5, e I.P. a 3; 5 y 6. Hallar la parte mayor.

3. Repartir $ 9 900 en forma I.P. a 1; 2; 3 y 4 y a la vez D.P. a 5; 4; 3 y 4. Indicar la diferencia que hay entre la mayor y la menor de las partes.

4. Repartir S/. 4 500 en forma I.P. a 1; 2; 3 y 4 y a la vez D.P. a 6; 4; 3 y 9. Calcular la suma de las dos mayores partes.

5. Repartir S/. 175 en forma D.P. a 2 y 12 y a la vez I.P. a 1/2 y 2. Dar como respuesta la suma de cifras de la parte menor.

6. Se reparte una herencia de $ 54 000 en forma D.P. a las edades de tres hermanos que son 8; 12 y 16 y a la vez I.P. al promedio general de notas que son 14; 12 y 16 respectivamente. Cal-cular la parte menor.

7. Al repartir una cantidad en forma I.P. a 1 y 2 y a la vez I.P. a 1/6 y 1 se obtuvo que la parte menor fue S/. 7 200. Cul fue la cantidad repartida?

8. Se reparte una cantidad en forma D.P. a 7 y 12 y a la vez I.P. a 10 y 15 y adems se obtuvo que la parte menor result ser S/. 5 600. Cul fue la cantidad repartida?

9. Al repartir una cantidad de dinero en forma I.P. a 2; 3 y 4 y a la vez D.P. a 7; 3 y 9 se obtuvo que la parte intermedia result ser S/. 8 190. Cul fue la cantidad repartida?

10. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 36; 60 y 45 e I.P. a 16; 24 y 60, se observ que la diferen-cia entre la mayor y menor de las partes es 5 600. La suma de cifras de la cantidad repartida es:

11. Se reparte una cantidad "N" directamente pro-porcional a 3; 5 y 2 e inversamente proporcio-nal a 2; 3 y 5 respectivamente. Si la diferencia entre la cantidad mayor y la intermedia es 10, hallar la cantidad menor.

12. Repartir una cantidad "N" D.P. a 5; 7 y 9; tam-bin D.P. a 3; 2 y 8 e I.P. a 45/2; 7/3 y 24/5. Si la parte intermedia es igual a 360, hallar "N".

13. Repartir una cantidad "N" I.P. a 2; 3 y 5, tam-bin D.P. a 2/5; 5/7 y 4/9 e I.P. a 8/20; 3/21 y 2/18. Si a la parte mayor le toca 150, hallar cunto le toca a la cantidad menor.

14. Repartir S/. 3 936 entre tres personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 7 es a 6 y que la parte de la segunda sea a la tercera como 4 es a 5. La parte intermedia es:

15. Una cantidad "N" se reparte D.P. a 2/13; 5/11 y 7/23 e I.P. a 4/26; 10/33 y 7/46. Si la menor parte es igual a 500, hallar "N".

Aprende ms

aplicacin cotidiana

Pago de impuestos

16. A los distritos de San Miguel; Bolvar y San Gregorio de Cajamarca les correspondi abonar un impuesto (por derecho de limpieza) de S/.113 982, que se reparti en partes proporcionales a 21 600; 12 960 y 8 910, que son respectivamente los habitantes que tienen cada uno e inversamente proporcional a 510; 420 y 360, que son el nmero de calles que tiene cada distrito. Calcular lo que le correspondi abonar al distrito de San Miguel.

Aritmtica

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T puedes!

1. Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir, su herencia se reparta entre sus sir-vientes I.P. a sus edades, pero D.P. a sus aos de servicios. Al morir dicho anciano las edades de sus sirvientes eran 30; 45 y 50 aos y tenan 12; 20 y 25 aos de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observ que el que tena ms aos de servicio recibi 9 000 soles ms que el joven. Deter-minar la herencia repartida.

a) S/. 200 000 b) 120 000 c) 121 000 d) 240 000 e) 180 000

2. Cuando un hombre va a almorzar a un restaurante y le sirve una mujer y un hombre, le da doble de propina a la mujer que al hombre, y si le sirve el hombre y un muchacho, le da el doble de la propina al hombre que al muchacho. Si un da le sirven el hombre, la mujer y el muchacho y les da S/. 14 de propina, cunto recibi cada uno?

a) S/. 8; 3 y 3 b) 8; 4 y 2 c) 7; 6 y 1 d) 5; 5 y 4 e) 6; 6 y 2

3. Al repartirse cierta cantidad en tres partes que sean D.P. a 3N; 3N 1 y 3N + 1 e I.P. a 4N 1; 4N +

1 y

4N respectivamente se observa que la primera parte excede a la ltima en 216. Hallar la suma de cifras de la cantidad a repartir.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

4. Tres obreros "A", "B" y "C" trabajan en cierta obra. El propietario de la obra otorga quincenalmente una gratificacin de 52 dlares para repartirla entre los que trabajan. En la quincena que trabajan "A" y "B", corresponde a "A" los 3/4 de la gratificacin y a "B" el resto. En la quincena que trabajan "B" y "C", el primero cobra los 3/4 y el segundo el resto. Determinar la cantidad que debe recibir "B" en la quincena que trabajan los tres.

a) $ 36 b) 42 c) 12 d) 16 e) 4

5. Un hombre muere dejando a su esposa embarazada, un testamento de 130 000 soles que se repartir de la siguiente forma: 2/5 a la madre y 3/5 a la criatura si nace varn y 4/7 a la madre y 3/7 a la criatura si nace nia. Pero, sucede que la seora da a luz un varn y una nia. Entonces, lo que les toca a la nia y al varn, en ese orden es:

a) S/. 25 000; 65 000 b) 30 000; 60 000 c) 35 000; 55 000 d) 28 000; 62 000 e) 32 000; 58 000

Practica en casa

18:10:45

1. Al repartir $ 490 en dos partes D.P. a 8 y 9 e I.P. a 2 y 3 se obtuvieron las partes:

2. Repartir S/. 3 100 I.P. a 2 y 18 y a la vez I.P. a 4 y 3. Dar como respuesta la mayor cifra de la parte mayor.

3. Repartir S/. 7 000 D.P. a 12 y 24 y a la vez D.P. a 1/3 y 1/8. Indicar la parte menor.

4. Repartir S/. 845 en forma I.P. a los nmeros 1; 5; 2 y 4 y a la vez D.P. a 2; 5; 3 y 8. Calcular la suma de las dos mayores partes.

5. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 16; 6 y 40 e I.P. a 8; 4 y 10, se observ que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es 600. La suma de cifras de la cantidad repartida es:

6. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 2 y 3 y a la vez tambin I.P. a 1/5 y 1 se obtuvo que la parte menor fue 1200. Cul fue la cantidad repartida?

7. Dividir 156 en tres partes de modo que la prime-ra sea a la segunda como 5 es a 4 y la primera sea a la tercera como 7 es a 3. La segunda parte es:



8. Dividir S/. 880 en tres partes de modo que la pri-mera sea a la segunda como 3 es a 4 y la primera sea a la tercera como 5 es a 3. La segunda es:

9. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 10; 35 y 45 y a la vez I.P. a 1/4; 3/2 y 5/2, se obtuvo que la parte mayor result ser S/. 3 000, cul fue la cantidad menor?

10. Se reparte una cantidad en cuatro partes propor-cionales a 4; 12; 3 y 5 e inversamente propor-cionales a 7; 14; 3 y 7. Cul es la cantidad re-partida, si las dos ltimas partes juntas, exceden a las dos primeras partes en 480?

11. Dividir 42 entre "A", "B" y "C" de manera que la parte de "B" sea el doble del cuadrado de la parte de "C" y la de "C", la diferencia de las par-tes de "A" y "B". Cul es la mayor de las partes sealadas?

12. En un juego de lotera participan cuatro ami-gos "A", "B", "C" y "D"; los cuales realizaron

los aportes siguientes: "A" aport el doble que "C" y "B" aport un tercio de "D" pero la mitad de "C". Ganaron el premio y se repartieron de manera proporcional a sus aportes. Cunto re-cibi "A", si "D" recibi S/.1.650?

13. Se contratan tres camiones para el transporte de 24 toneladas de cemento por un total de S/. 49 590. El primero tiene que transportar 6 toneladas a 22 km, el segundo 10 toneladas a 15 km y el tercero el resto a 30 km. Cunto debe pagarse al tercer camin?

14. Daniel, Miguel y Alberto deciden repartirse S/. 5 699 en partes inversamente proporcionales a 1/3; 1/5 y 1/7, proporcionalmente a 5/6, 6/7 y 7/8 e inversamente a 10/3, 3/14 y 7/16 respecti-vamente. Cunto recibe Miguel?

15. Repartir S/. 20 500 entre tres personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y la segunda a la tercera como 4 es a 7. Dar la mayor parte.

46

5 Aritmtica

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regla de compaaEn este captulo aprenderemos:

A proponer comparaciones entre el reparto proporcional compuesto y la regla de com-paa.

A clasificar la regla de compaa de acuerdo a los diferentes casos que existen.

A reconocer un ejercicio de regla de compaa como una aplicacin particular del repar-to proporcional.

A codificar en forma matemtica un enunciado de regla de compaa.

A resolver problemas de regla de compaa.

A usar las operaciones bsicas para realizar problemas de regla de compaa.

las primeras compaas

Las primeras compaas del mundo occidental se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos (sociedades en commenda) de Venecia, Gnova y Pisa a partir del siglo IX. Hay referencias histricas que en los pases rabes situados en el medio oriente ya se haban constitui-do incipientes empresas que tenan por objeto comercializar de manera organizada los productos oriundos de esos lugares.

La regla para las reparticiones de ganancias o prdidas de las compaas fue desarrollada y publicada en manuscritos rabes y que son atribuidos a AbulI Wefa de Bagdad (940998 D.C.) y que fue recogida por Leonardo de Pisa (Fibonacci) en uno de sus viajes como mercader, y se encarg de difundirla por todo occidente a travs de su libro "Aritmtica comercial".

En la actualidad para los repartos en las sociedades mercantiles hay toda una legislacin plasmada en c-digos de comercio que tienen sus pequeas variantes de acuerdo a la realidad de cada pas.

5regla de compaa


Saberes previos

1. Resolver:

I. 3k + 11k + 8k = 132

II. 8k + 5k + 2k = 90

2. Simplifica y resuelve, si: a + b + c = 120

I.

a14

=

b21

= c35

II. a

200 =

b

300 = c

500

3. Si: 4a = 2b = c

hallar "a", si: a + b + c = 140

4. Si una empresa gana S/. 15 000 anualmente, cunto le corresponde a cada uno de los seis socios? (Todos estn con iguales condiciones).

5. "A", "B" y "C" forman un negocio y al cabo de 1 ao tienen una ganancia de S/. 4 000. Si "A" gan S/. 800 y "B" el doble, cunto gan "C"?

Conceptos bsicos

Regla de compaaEn este captulo los problemas son comerciales. Es normal que personas se asocien formando una empresa por eso veremos que la regla de compaa es un caso particular del reparto proporcional y se emplea para realizar distribuciones de beneficios o prdidas entre los socios de una empresa mercantil, proporcional-mente al capital aportado y/o al tiempo de permanencia en la sociedad. Los elementos son:

Capital aportadoTiempo de permanenciaGananciaPrdida

(C)(T)(G)(P)

Y se cumple que:

(Ganancia o prdida) D.P. (Capital)(tiempo)

Para "n" socios:

G1C1 . t1

=

G2C2 . t2

=

G3C3 . t3

= ... =

GnCn . tn

Siendo "Gi", "Ci" y "ti" la ganancia, capital y tiempo de permanencia en la sociedad respectivamente del isimo socio (1 i n).

Casos especiales

1er caso: Reparto de ganancia o prdida dependiendo de los capitales, permaneciendo el mismo tiempo en el negocio.

Ejemplo:

Giancarlo y Ximena se asocian para formar un negocio aportando cada uno S/. 3 200 y S/. 1 800 respectivamente. Culminado el negocio, hubo S/. 2 500 de ganancia. Cunto gan Ximena?

Solucin:

D.P.

25003 200 16 K =

2 500

16 + 9 = 100 Ximena gan: 9 100 = S/. 900

1 800 9

Ahora hazlo t! Ins y Carlos se asocian para formar un negocio aportando cada uno

S/. 1 200 y S/. 1 440 respectivamente. Culminado el negocio hubo S/. 2 750 de ganancia. Cunto gan Ins?

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2do caso: Reparto de ganancias o prdidas dependiendo de los tiempos de permanencia, aportan-do el mismo capital en el negocio.

Ejemplo:

Ins forma una empresa con cierto capital y tres meses ms tarde acepta una socia que aporta el mismo capital. Si el negocio dur 9 meses, produciendo una prdida por S/.18 500, cunto perdi cada una?

Solucin: El negocio dur 9 meses y la primera form dicho negocio, entonces permaneci 9 meses pero la segunda entr 3 meses ms tarde, entonces permaneci 6 meses, luego hacemos el reparto:

D.P.

18 5009 meses 3 k =

185003 + 2

= 3 7006 meses 2

Cada socia perdi: 3 3 700 = S/.11 100

2 3 700 = S/. 7 400

Ahora hazlo t! Jos forma una empresa con cierto capital y cuatro meses ms tarde acepta un socio que aporta el mismo capital. Si el negocio dur 10 meses, producindose una prdida de S/.8 000, cunto perdi cada uno?

3er caso: Reparto de ganan

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