Cuando tenemos una cuerda atada a la pared por uno de sus extremos y empezamos a sacudir el otro, pueden pasar muchas cosas según la frecuencia con que la agitemos. Una cuerda puede ser el medio de propagación de ondas estacionarias, que son aquellas que van y vienen por el mismo camino. Las olas del mar no son estacionarias. Las ondas de la cuerda de un violín sí. Hay algunas frecuencias que son “especiales” para esa cuerda. Esas frecuencias “especiales” reciben el nombre de armónicos.

ARMÓNICOS de una cuerda

Métodos Matemáticos. Luis Bayón. Universidad de Oviedo

Para los siguientes ejemplos, vamos a estudiar una cuerda de guitarra. El primer modo resonante que sufrirá la cuerda ocurrirá cuando nuestra frecuencia de sacudida del extremo libre haga que la longitud de la cuerda sea igual a la mitad de la longitud de onda del primer armónico:

Recuerden, que la longitud de una onda es simplemente la distancia que hay entre dos crestas (o dos valles…). Es el llamado modo fundamental, también llamado primer armónico, y la cuerda vibrará así:

2

L

Métodos Matemáticos. Luis Bayón. Universidad de Oviedo

Si la longitud de cuerda es igual a la longitud de onda, entonces estamos en el segundo armónico:

Cuando la longitud de cuerda es 3/2 de la longitud de la onda que se propaga, tenemos el tercer armónico:

2.2

L

23

L

Métodos Matemáticos. Luis Bayón. Universidad de Oviedo

El cuarto armónico sería de esta forma:

                                                                                                                   

…Y así sucesivamente. Cada armónico tiene mayor frecuencia (menor longitud de onda) que el anterior, por lo que las “ondas” son más pequeñas. Como cada armónico requiere mayor rapidez en la frecuencia, necesita más energía por lo que los armónicos, para una energía dada, van teniendo cada vez menor intensidad. Si vemos los anteriores armónicos todos a la vez, queda esto:

Métodos Matemáticos. Luis Bayón. Universidad de Oviedo

Y si sumamos todos los armónicos que hemos visto, quedaría la auténtica vibración de la cuerda de una guitarra:                                                                             

Métodos Matemáticos. Luis Bayón. Universidad de Oviedo

O sea, que cuando oímos la cuerda de una guitarra tocar un “la”, en realidad estamos oyendo el “la” (que sería el estado fundamental) y muchos de sus armónicos, notas que suenan más altas pero que no oímos conscientemente.

Cada instrumento tiene armónicos de distintas intensidades. La presencia o no de los distintos armónicos y sus intensidades relativas conforma lo que llamamos el timbre de un instrumento. Gracias a la distinta combinación de intensidades de los armónicos, que depende del material y de la geometría del instrumento, podemos distinguir, por ejemplo, si lo que suena es un “la” tocado por un violín o un “la” eructado por un mandril.

Applet de la cuerda de un violín

Métodos Matemáticos. Luis Bayón. Universidad de Oviedo