Arte con… Polígonos y Circunferencias

¿Te gustan nuestras creaciones artísticas?

Son parte de las actividades que hemos preparado para que aprendamos juntos sobre polígonos, triángulos, cuadriláteros, circunferencias y cómo utilizarlos para hacer creaciones artísticas tan bonitas como éstas.

A lo largo de la unidad, conforme vayamos adquiriendo los conocimientos necesarios, iremos proponiendo y explicando cómo crear cada una de ellas y algunas más. En esta versión imprimible encontraremos solo algunas de las propuestas. En la versión digital tenemos muchas más.

¡Vamos allá!

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Contenido

1. ¿Qué aprenderemos en esta unidad? ............................................................................ 3

2. Arte con polígonos y circunferencias ............................................................................. 4

2.1. Arte con hilos .................................................................................................................... 4

2.2. Clasificación de los Triángulos .......................................................................................... 6

2.3. Clasificación de los cuadriláteros ..................................................................................... 7

2.4. Elementos de la circunferencia y del círculo .................................................................... 8

3. Investigaciones artísticas .............................................................................................. 9

3.1. ¿Existe ese triángulo? ....................................................................................................... 9

3.2. Cuadriláteros en un geoplano circular ........................................................................... 10

3.3. Elementos notables ........................................................................................................ 11

3.3.1. Baricentro y Medianas ........................................................................................ 11

3.3.2. Circuncentro, bisectrices y circunferencia circunscrita ....................................... 12

3.3.3. Ortocentro y alturas ............................................................................................ 13

3.3.4. Incentro, bisectrices y circunferencia inscrita ..................................................... 14

3.4. Posiciones relativas ........................................................................................................ 15

4. Ponte a prueba........................................................................................................... 17

4.1. Polígonos y circunferencias en nuestra vida diaria ........................................................ 17

4.2. Problemas de Evaluaciones de Diagnóstico ................................................................... 18

Resumen. Polígonos y circunferencias ............................................................................... 22

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1. ¿Qué aprenderemos en esta unidad?

A lo largo de la unidad, aprenderemos:

Qué son los polígonos, sus nombres y sus principales elementos: lados, vértices, ángulos, diagonales, ejes de simetría...

Clasificación de los triángulos (según los lados y según los ángulos) y cuadriláteros. Suma de ángulos de un triángulo, un cuadrilátero y, en general, de un polígono. Circunferencia, círculo y sus elementos (centro, radio, cuerda, sector...).

Averiguar si existe un triángulo, dados ciertos datos suyos. Elementos notables del triángulo: baricentro y medianas, circuncentro y mediatrices,

ortocentro y alturas, incentro y bisectrices. Posiciones relativas respecto una circunferencia. Resolver problemas contextualizados.

Iremos viendo todos estos contenidos a través de su relación con diferentes creaciones artísticas, combinando el aprendizaje teórico de las matemáticas utilizadas con su aplicación práctica.

• En primer lugar, tenemos una sección con los contenidos y definiciones básicos, junto con la clasificación de triángulos y cuadriláteros, reforzadas con propuestas de construcción para nuestro proyecto artístico.

• A continuación, en la sección "investigaciones artísticas" tenemos más propuestas para el proyecto, y aprenderemos propiedades importantes sobre los triángulos, como sus elementos notables y también las posiciones relativas respecto una circunferencia.

• En la versión online podemos encontrar más propuestas para el nuestro proyecto artístico, así como explicaciones y actividades interactivas.

La información está organizada en varios apartados, que constarán de contenido teórico, ejercicios de repaso, y problemas ambientados en situaciones cotidianas.

Por último, también hay una sección de problemas con enunciado, que plantean situaciones con diversos usos cotidianos donde aparecen los polígonos y circunferencias y una pequeña colección de problemas que han aparecido en evaluaciones de diagnóstico y en las pruebas PISA (Programme for International Student Assessment).

Las últimas páginas son un resumen de los conceptos trabajados a lo largo de la unidad.

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2. Arte con polígonos y circunferencias 2.1. Arte con hilos

En nuestra primera propuesta artística vamos a crear un hilorama basado en polígonos.

Los pasos para construir el hilorama son los siguientes:

1. Dividimos cada lado en varias partes iguales. Por ejemplo 10 partes. 2. Hacemos pasar un hilo por la primera división de un lado, la primera del siguiente, etc. 3. Hacemos pasar el hilo por las segundas divisiones, y así sucesivamente. 4. Podemos utilizar alfileres o puntas clavados en una base de corcholina o madera para que

el hilo se sujete, o bien hacer trazos de colores en lugar de utilizar hilo.

¿No recordamos bien qué es un polígono? No hay problema. Veamos algunos detalles sobre ellos. (Amplía información en la versión digital).

Polígonos

Un polígono es una figura cerrada y plana que está limitada por segmentos consecutivos, que llamamos lados. Los ángulos que forman los lados se llaman ángulos internos.

• Los puntos donde se unen los lados se llaman vértices. • Los segmentos que unen dos vértices (no consecutivos) se llaman diagonales. • Polígono regular: cuando todos sus lados y ángulos son iguales. Si no es regular,

decimos que es irregular. • Los polígonos se nombran según su número de lados (triángulo, cuadrilátero,

pentágono, hexágono, heptágono, octógono, nonágono, decágono…). • Polígono convexo: si todos sus ángulos son convexos (menores de 180o). • Polígono cóncavo: cuando alguno de sus ángulos es cóncavo (mayor de 180o). • Eje de simetría: cuando el polígono resulta el mismo si lo reflejamos por ese eje/recta.

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Ejercicio 1. Resuelve:

a)

b)

c)

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2.2. Clasificación de los triángulos

Ejercicio 2. Ayuda a nuestros amigos a elegir cuál es el triángulo que buscan para su composición artística. Indica también qué tipo de triángulo es cada uno de los demás que mostramos.

a)

b)

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2.3. Clasificación de los cuadriláteros

Ejercicio 3. Ayuda a nuestra amiga a elegir cuál es el cuadrilátero que necesita para su

composición artística. Indica también qué tipo de cuadrilátero es cada uno de los demás.

a)

b)

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2.4. Elementos de la circunferencia y del círculo

Repaso: tipos de ángulos y sus posiciones relativas

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3. Investigaciones artísticas 3.1. ¿Existe ese triángulo?

Para dibujar un triángulo basta con tener tres puntos no alineados. Los segmentos que los unen son los lados, y los ángulos que forman esos segmentos, los ángulos del triángulo. Además, los ángulos deben sumar 180o. Pero ¿y si conocemos la longitud de los lados?

• ¿cómo hacer para dibujar el triángulo? • ¿valen números cualquiera? ¿o tienen que cumplir algunas condiciones?

Suma de los ángulos de un polígono:

Como hemos visto, los ángulos de cualquier triángulo suman 180o. Así que dividiendo cualquier polígono en triángulos mediante diagonales podemos calcular la suma de sus ángulos.

Por ejemplo, los ángulos de cualquier cuadrilátero suman 360o, porque se divide en dos triángulos. Para un pentágono podemos dividirlo en tres, y así sucesivamente.

En general, suma=180o·(lados-2)

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Ejercicio 4. Indica en cuáles de las siguientes situaciones podemos construir triángulos:

a)

b)

c)

3.2. Cuadriláteros en un geoplano circular

Como parte de nuestro proyecto artístico, tenemos una pequeña investigación: ¿cuántos tipos de cuadrilátero diferentes podemos dibujar en un geoplano circular de 8 puntos (uniendo los diferentes puntos en cada círculo).

¡Ojo! aunque giremos un cuadrilátero, sigue siendo el mismo. ¿Cómo podríamos justificar que ya los tenemos todos? Reflexionamos: ¿por qué no es posible conseguir cuadriláteros cóncavos, como la cometa? Sin tener que hacer los cálculos, ¿sabrías ordenarlos de menor a mayor perímetro? ¿y área?

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3.3. Elementos notables

3.3.1. Baricentro y Medianas

Para cualquier triángulo, existe un punto que es su punto de equilibrio “baricentro”:

• Si lo ponemos plano, apoyado sobre ese punto, el triángulo se mantiene en equilibrio sin caerse hacia ningún lado.

• Si lo sujetamos en vertical, agarrando por ese punto, no importa en qué posición esté, que no se girará.

Con la siguiente propuesta de nuestro proyecto, buscaremos ese “punto mágico” en el que podemos apoyar un triángulo sobre algo fino, como un bolígrafo o nuestro dedo, sin que se caiga. Para ello:

Recortamos un triángulo que nos guste en una superficie rígida -por ejemplo, cartón-. Dibujamos las medianas -recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto- Su intersección es el baricentro. Con cuidado, lo colocamos apoyando el baricentro sobre la punta de un bolígrafo,

nuestro dedo... ¡Se mantiene en equilibrio!

Aquí tenemos un ejemplo de cómo podría ser nuestro experimento, recortando un triángulo de cartón:

Ejercicio 5. Dibuja las medianas y el baricentro de los siguientes triángulos:

a) c) e)

b) d) f)

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3.3.2. Circuncentro, bisectrices y circunferencia circunscrita Tenemos varios amigos repartidos por la ciudad. ¿Sabríamos decir qué cosas están más cerca de cada uno?

Asignando a cada amigo un color con el que colorear todo aquello que está "más cerca suya", obtenemos una bonita composición artística. Pero... ¿cómo hacemos para dividir el mapa?

¿Qué líneas tenemos que trazar para dividir el mapa?

Cada una de ellas será justo la de los puntos que están a la misma distancia de las dos personas. Pero ¿cuál es?

Pues la que pasa por "el medio de los dos"... que precisamente se llama mediatriz. Uniendo las dos personas, podemos encontrar una pista de cómo trazarla: fíjate, la

mediatriz es perpendicular a la línea que une a las personas. Con tres personas, hay un punto en común a las mediatrices. Ese punto está a la

misma distancia de esas tres personas. Se llama circuncentro, porque con centro en él podemos trazar una circunferencia

circunscrita (que pase por las tres personas), tomando como radio la distancia a las tres, que es siempre la misma).

Nuestro turno:

¿Quieres intentar hacer una composición como estas? Recuerda que hay que utilizar las bisectrices para ir “parcelando” nuestro dibujo. Puede hacerse con cualquier figura en la que hayamos marcado varios puntos.

Aquí tenemos un ejemplo:

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Ejercicio 6. Dibuja las mediatrices y el circuncentro de los siguientes triángulos. Comprueba que el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita

a) c) e)

b) d) f)

3.3.3. Ortocentro y alturas Tres niños están jugando al balón en el patio de su urbanización.

¿Hacia dónde deben lanzarlo para que, al rebotar, vuelva hacia ellos?

Si lo hacen, hay un punto por el que siempre pasarán los balones, que denominamos ortocentro. Los balones tienen que recorrer unas rectas que se llaman alturas, que son las perpendiculares desde cada punto al lado opuesto.

Ejercicio 7. Dibuja las alturas y el ortocentro de los siguientes triángulos.

a) b) c)

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3.3.4. Incentro, bisectrices y circunferencia inscrita Queremos instalar varios paseos con jardineras a los lados en la zona común de una urbanización. ¿Cómo deberíamos trazarlos?

Los paseos comenzarán en los extremos de los edificios y -para contentar a todos los vecinos- quieren que se mantengan siempre "a la misma distancia" de los edificios.

Además, han pensado en instalar una fuente, que también quieren que esté a la misma distancia de los tres edificios.

Ejercicio 8. Dibuja las bisectrices y el circuncentro para estos triángulos. Dibuja la circunferencia inscrita. Podemos utilizar los puntos como guía.

a) c) e)

b) d) f)

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3.4. Posiciones relativas

Enlazando unos arcos de circunferencia con otros, podemos hacer bonitas creaciones artísticas. Para ello, recurrimos al concepto de tangencia en un punto:

cerca del punto, los dos dibujos son prácticamente iguales.

En cursos más avanzados podremos dar una definición matemática más precisa de "muy cerca del punto" y ser "prácticamente iguales", con lo que podremos definir exactamente cuándo una recta o una curva es tangente a otra figura. Por ahora, veremos solo dos casos:

diremos que una circunferencia o una recta es tangente a otra circunferencia si se cortan en un solo punto.

Para la circunferencia, nos basta esa condición para que se cumpla nuestra idea de "ser casi iguales cerca de ese punto".

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Ejercicio 9. ¿Cuál es la posición relativa de estos objetos?

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

Ejercicio 10. Encuentra las circunferencias/rectas que sean…

a) Tangentes interiores c) Recta secante a circunferencia e) Recta tangente

b) Circunferencias secantes d) Circunferencias concéntricas f) Recta exterior a circunferencia

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4. Ponte a prueba A continuación resolveremos algunas situaciones cotidianas en las que aparecen los conceptos que hemos aprendido a lo largo de la unidad.

4.1. Polígonos y circunferencias en nuestra vida diaria

Ejercicio 11. Resuelve los siguientes problemas

a. Llantas. Las ruedas del coche de Encarni tienen unas llantas con 15 radios, similares a los de la figura. ¿Qué ángulo forman los radios entre sí?

b. Arte. Ana quiere dibujar un cuadro que consiste en este polígono regular de 19 lados y todas sus diagonales. Como sabe que tendrá que hacer muchos trazos, lo hará a lo largo de varios días. ¿Cuántas diagonales necesitará dibujar?

c. El mural. Rafa está recortando figuras para un mural de clase. Ya le han proporcionado el valor de alguno de los ángulos con los que debe recortar, pero le faltan datos. ¿Puedes ayudarle con los demás ángulos? ¿Qué tipo de figura está utilizando?

d. El banderín. Marta está diseñando un banderín con forma triangular para su equipo. Para que sea más atractivo, ha pensado que los ángulos podrían estar relacionados como se muestra en la figura. ¿Cuánto medirá cada uno?

e. Videojuegos. Víctor está diseñando un vehículo “futurista” para un videojuego. Está pensando en dejar los ángulos como en la imagen. Completa el dibujo con la medida de los ángulos que faltan.

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4.2. Problemas de Evaluaciones de Diagnóstico

Por último, tenemos una recopilación de problemas tomados de las evaluaciones de diagnóstico que, en ocasiones, se hacen para comprobar el nivel de competencia matemática1.

1. El parque de atracciones (Adaptado de Extremadura, 2014)

El domingo por la mañana fuimos al Parque de atracciones. El Parque tiene esta forma:

Pregunta 1. ¿Qué nombre tiene la forma del parque de atracciones?

Pregunta 2. Estaban poniendo una valla alrededor del Parque ¿Cuánto medirá dicha valla?

2. El campamento (Adaptado de Canarias, 2012)

Escribe el nombre de las figuras geométricas que aparecen dentro del rectángulo que determina la bandera de nuestro campamento:

3. La cruz griega (Adaptado de Castilla y León, 2010)

Las plantas de algunas iglesias tienen forma de cruz griega, por ejemplo, la que aparece en la foto: San Pedro de la Nave, en Campillo (Zamora).

La cruz griega tiene los cuatro brazos iguales y simboliza el Universo y los cuatro puntos cardinales: norte, sur, este y oeste.

Si dividimos los cuadrados por una de sus diagonales, se obtienen dos triángulos iguales. ¿De qué tipo son?

1 Junto a cada problema aparece indicada la evaluación de diagnóstico en la que fue propuesto.

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4. Puerta giratoria (Pruebas liberadas PISA)

Una puerta giratoria consta de tres hojas que giran dentro de un espacio circular. El diámetro interior de dicho espacio es de 2 metros (200 centímetros). Las tres hojas de la puerta dividen el espacio en tres sectores iguales. El siguiente plano muestra las hojas de la puerta en tres posiciones diferentes vistas desde arriba.

Pregunta. ¿Cuánto mide (en grados) el ángulo formado por dos hojas de la puerta?

5. La tarta (Andalucía, 2009)

José es un niño al que le gusta mucho la geometría y su madre el día de su cumpleaños le regala una tarta octogonal y la va a repartir con sus amigos Luís y Manuel.

Quiere cortarla trazando dos líneas desde un vértice a otros dos vértices cualesquiera de forma que queden tres trozos que tengan formas de polígonos de distinto número de lados.

Existen distintas maneras de cortar la tarta. Dibuja las diagonales e indica el nombre de los polígonos que se obtienen.

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6. El edificio retorcido (Pruebas liberadas PISA)

En la arquitectura moderna los edificios a menudo tienen formas inusuales. La imagen siguiente muestra un modelo diseñado por ordenador de un "edificio retorcido" y un plano de la planta baja. Los puntos cardinales muestran la orientación del edificio.

Cada planta de viviendas tiene cierta "torsión" con respecto a la planta baja. La última planta (la 20ª por encima de la planta baja) forma un ángulo recto con la planta baja.

Pregunta. Dibuja el plano de la 10ª planta, mostrando cómo queda situada con respecto a la planta baja.

7. Triángulos (Pruebas liberadas PISA)

Rodea con un círculo la figura que se ajusta a la siguiente descripción:

El triángulo PQR es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en R. El lado RQ es menor que el lado PR. M es el punto medio del lado PQ y N es el punto medio del lado QR. S es un punto del interior del triángulo. El segmento MN es mayor que el segmento MS.

8. Tres triángulos (Andalucía 2010)

Pregunta. Si alineamos sobre una recta un triángulo equilátero, un triángulo rectángulo y un triángulo isósceles forman la siguiente figura:

Sabiendo que el ángulo G mide 45o y el ángulo K mide 70o, ¿cuánto miden los demás ángulos indicados en la figura?

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9. Mirando la torre (Pruebas liberadas PISA)

En las Figuras 1 y 2 de abajo se ven dos dibujos de la misma torre. En la Figura 1 se ven tres caras del tejado de la torre. En la Figura 2 se ven cuatro caras.

En el siguiente dibujo se muestra la vista del tejado de la torre desde arriba. Se han señalado cinco posiciones en el dibujo. Cada una de ellas está marcada con una cruz (× ) y se han denominado de P1 a P5. Desde cada una de estas posiciones, una persona que mirase la torre sería capaz de ver un número determinado de las caras del tejado de la torre.

Indica en número de caras que se verían desde cada una de esas cinco posiciones.

10. Los tetraminós (Adaptado de Andalucía, 2013)

Los poliminós son las diferentes figuras que se pueden formar por la unión de varios cuadrados del mismo tamaño. Veamos algunos tipos:

• Un dominó se compone de piezas formadas por 2 cuadrados. Hay una única combinación.

• Un triminó es una figura formada por 3 cuadrados. Hay solo dos triminós posibles:

Hay que tener en cuenta que dos figuras se consideran iguales si son simétricas o si una es la otra girada. Por ejemplo:

Triminós iguales Pentaminós iguales Pentaminós iguales

Pregunta. Dibuja los cinco tetraminós diferentes que existen.

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Resumen. Polígonos y circunferencias

• Polígono: figura cerrada y plana limitada por segmentos, llamados lados, que se cortan en los vértices. Se llaman triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc.

Si todos los ángulos interiores son convexos, el polígono es convexo. Si alguno es cóncavo, el polígono es cóncavo. Si todos los lados y ángulos son iguales, es regular.

- Polígono inscrito: cuando sus vértices están en una circunferencia. Si el polígono es regular, el segmento que une el centro con el lado se llama apotema.

• Los ángulos de todo triángulo suman 180o, y los de cualquier polígono, 180o·(lados-2).

TRIÁNGULOS.

Clasificación

Equilátero: todos iguales. Isósceles: dos iguales. Escaleno: distintos.

Rectángulo: hay uno recto. Acutángulo: todos agudos. Obtusángulo: algún ángulo obtuso.

Rectas y puntos notables:

Medianas: unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en el baricentro (centroide o centro de gravedad).

Mediatrices: perpendiculares a los lados que pasan por el punto medio. Se cortan en el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Alturas: perpendicular desde cada vértice al lado opuesto. Se cortan en el ortocentro.

Bisectrices: dividen cada ángulo a la mitad. Se cortan en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.

CUADRILÁTEROS.

Los ángulos suman 360o.

Clasificación:

Paralelogramo: todos los lados paralelos, dos a dos. Puede ser:

Cuadrado: lados iguales y ángulos rectos Rectángulo: ángulos rectos,

Rombo: lados iguales Romboide: lados y ángulos iguales dos a dos.

Trapecio: sólo dos lados paralelos. Puede ser rectángulo, isósceles o escaleno.

Trapezoide: no tienen lados paralelos.

Ángulos

Lados

Arte con… polígonos y circunferencias del Proyecto CREA se encuentra bajo una licencia

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CIRCUNFERENCIAS.

- Curva en la que todos los puntos distan lo mismo de otro llamado centro.

- Radio: segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

- Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

- Diámetro: cuerda que pasa por el centro.

- Arco: parte de la circunferencia que hay entre dos puntos.

• Posiciones relativas.

(*) Tangencia en un punto: cuando dos figuras son “casi” iguales “cerca” de ese punto.

- Recta y circunferencia: pueden ser secantes, tangentes o exteriores. Cuando son tangentes, el radio es perpendicular a la recta.

- Circunferencias: pueden ser concéntricas, tangentes (interiores o exteriores), secantes, interiores o exteriores.