Antes de empezar la unidad ...

CONVIENE QUE... Mediatriz de un segmento

Recuerdes cómo se construye.,. +la medialriz de un segmento. ..

I:

I: :

PORQUE ...A B A : / R

Nos servirá para determinar ..:

el circuncentro de un triángulo. Y" . :0Trazamos dos arcos, con La recIa que pasa porcentro en los puntos A y B, los puntos de corte P y Ode igual radio y que se corten. es la mediatriz.

CONVIENE QUE ... Bisectriz de un ángulo

Repases cómo se construye la bisectriz B Ji ~

de un ángulo.

~PORQUE ...Vamos a utilizarlo para determinarel ¡ncentro de un triángulo.

O A O e A O A

Con centro en el Trazamos dos arcos Los arcos se cortaránvértice Q y cualquier que se corten, uno en P. la rectaabertura, tralamos con centro en e y que pasa por O y pun arco. otro con centro en D. es la bisectriz.

CONVIENE QUE... Cuadrado de un número y raíz cuadrada

Sepas relacionar el cuadrado La raíz cuadrada de un número es otro numero que elevadode un número con la ralz cuadrada. al cuadrado es igual al primero.

PORQUE.:. .¡¡ = 2, porque 2? = 4Ll\necesitaremos para calcular 62 = 36, entonces .f36 = 6los catetos de un triángulo rectángulo.

• Clasificar polígonossegún sus lados yángulos.

• Determinar los ejesde simetría de unpolígono.

• DibUjar las rectasy los puntos notablesde un triángulo.

• Utilizar el teoremade Pitágoras.

AN-OEIRABAJEn esta unidadaprenderás a...

b)a)

b) 4' = D, entonces v'16= D

EVAlUACION INICIAL

Mediatriz de un segmento

1. Dibuja las mediatrices de los ladosde estos triángulos. ¿Se cortanlas tres mediatrices en algún punto?

Bisectriz de un ángulo alD b)¿J2. Dibuja las bisectrices de los ángulosde estos triángulos. ¿Se cortanlas tres bisectrices en algun punto?

Cuadrado de un número y ralz cuadrada

3. Completa.

al V25 = D. parque 5' = O

197

2 Triángulos'----c _Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Para nombrar un triángulo:

• DesIgnamos sus vérticescon letras mayúsculasAB.CDesignamos sus ladoscon las mismas letrasminúsculas: a, b. c.de manera Que el ladoopuesto al vértice Aes el lado d, el lado b esel opuesto al vértice B

Equilátero: llene los treslados y los tres ángulosIguales.

e

6 a=b~(b a ~ ~ ~

A=B=CA , B

Acutángulo: tiene los tresángulos agudos

e

~A , B

lsósccles: tiene doslados y dos ángulosiguales.

e

Ü a~bb a ;¡~¡¡

A , B

Rectángulo: tieneun ángulo reelO

eb~a

A~B

Escaleno: licne loslrcslados y los trcsángulos desiguales.

e

¿/\zA , "

Obtusángulo: tieneun ángulo obtuso.

~A , "

6A (' U

Para nombrar un triánUllloutilizamos sus tres vértices,ABC, y el simbolo .•...-'>... Á8C

Relaciones entre los lados y los ángulos

Dado un triángulo ABe, siempre se cumple que:• Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos.• Cua14Uler lado es mayor que la diferencia de los otros dos.• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 1800

.

EJEMPLO

2 Comprueba las relaciones entre los lados y los ángulos de este triángulo.

1.° a<b t-c b<a+e c<a+b

4<3+5 3<4+5 5<44 3

2.° a > e - b b > e - a e> a4>5-3 3>5-4 5>4

A + ¡¡+ E ~ 53"+ 37"+ 00" ~ 100"

9 El ángulo obtuso de un triángulo isóscelesobtusángulo mide 120°. ¿Cuánto midenlos otros ángulos del triángulo isósceles?

REFLEXIONA

Calcula el ángulo obtuso de un triánguloisósceles, si uno de sus ángulos agudosmide 40°.

b) 2,4y 14cma) 15,8y20cm

I En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 30°.¿Cuánto miden los otros dos ángulos?

PRACTICA

7 Indica si existe un triángulo cuyos lados miden:

200

3 Rectas y puntosnotables en un triángulo

3.1 Medianas

,&.. Las medianas de un triángulo son las rec-tas que se obtienen al unir cada uno de losvértices del triángulo con el pumo medioddlado opuesto.

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.

3.2 Medial,ices

Las media trices de un triángulo son las reclas perpendiculares a suslados que pasan por el pumo medio.

APLICA

12 Dibuja en tu cuaderno un triángulo cualquiera.Halla su baricentro y su circuncentro.

REFLEXIONA

13 En un triángulo rectángulo, dibuja susmediatrices y señala su circuncentro.¿Qué observas?

En un lriángulv Jblusángulo.el cirCUflccntro es un punto extenordel tn¡ingulo.

Las mediatrices se cortan en un pumo situadoa la misma distancia de los tres vértices. Esepumo se denomina circuncentro.

Con centro en el clrcuncentro. }' radio la dis-tancia del circuncentro a un vénice, podemosdibujar una circunferencia que pasa por lostres vértices: la circunferencia circunscrita.

En un triángulo obtusángu1o.el baqcentro es un punto Interiordel triángulo.

PRACTICA

11 Dibuja tres triángulos: uno acutángulo,otro rectángulo y un tercero obtusángulo.

a) Traza las mediatrices de los triángulosy señala, en cada caso, su circuncentro.

b) Comprueba con el compás que elcircuncentro está a la misma distanCiade los tres vértices.

EJEMPLO

3 Determina el baricentro y el circuncentro de un triángulo obtusangulo.

201

3.3 Alturas

3.4 Bisectrices

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno desus ángulos en dos partes iguales.

Las alturas de un triángulo son lasreclas perpendiculares trazadas desdecada vértice aliado opuesto, o su pro-longación.

Las bisectrices de un triángulo se cortanen un punto llamado incentro.

Con centro en el incentro, y radio la dis-tancia de este punto a cualquiera de loslados del triángulo, podemos trazar unacircunferencia tangente a los tres ladosdel triángulo: la circunferencia inscrita.

e

~A B

Las tres alturas de un triángulo se cortanen un pumo que se llama ortocentro

EJEMPLO

4 Determina el ortocentro en un triángulo rectángulo 'J el incentroen un triángulo equilátero.

\

del ángulo recto. notables son el mismo

PRACTICA

14 Dibuja varios triángulos obtusángulos,traza sus alturas y halla su ortocentro.¿Dónde se encuentra situado?

APLICA

15 Dibuja en un triángulo equilátero susmediatrices, bisectrices, alturas y medianas.Comprueba que todas coinciden.

REFLEXIONA

16 Razona las respuestas.

al ¿El incentro de un triángulo puede estarsituado en el exterior del mismo?

b) ¿Y sobre uno de sus lados?

Compruébalo, dibujando varios triángulosacutángulos, rectángulos y obtusángulos,y hallando este punto.

202

EJEMPLOS

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (900). Los lados queforman el ángulo recto se llaman caletos, y el lado mayor, hipotenusa.

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2=b2+c1

:~A , B

Teorema de Pitágoras

a es la hipotenusa,b y e son los catetos.

4

s Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuanto mide la hipotenusa?

Aplicando el teorema de Pltágoras·

a7. = 3:' - 4" -+ a- = 9 + 16 = 25 ....• a - J25 ....•a = 5 cm

6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.¿Cuánto mide el otro cateto?

Supongamos que el cateto conocido es b:

ai. - b'+ e' ~ 1(j= 6'+ c?- 10"-6" =c -+ e- =64....•r - J&1- 8em

~ otro cdteto mide 8 cm.

7 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 Y 11 cm,respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo.

Si es un triángulo rectángulo, se debe cllmplir el teorema de Pitágoras:

Ir = 121J '61 + g:.: _ 117 -+ 112 I 62 +92-+ No se cumple el teorema de Pltagoras.

No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.

DATE CUENTA ~

Conociendo la medidade un cateto y la hipotenusa,pOdHJTlO:-; hallar el otrocateto:

~ ,b -d'-C2---'b-~

e = d - b" ---. e = ,,¡;¡--¡;

PRACTICA

17 En un triángulo rectángulo, los catetosmiden 5 y 12 cm, respectivamente.¿Cuánto medirá la hipotenusa?

18 En un triángulo rectángulo,un cateto mide 7 cmy la hipotenusa 25 cm.¿Cuánto mide el otrocateto?

~",m

~

APLICA

1. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetosmidan 8 cm y 15 cm. Mide con la reglala hipotenusa y, después, aplica el teoremade Pitágoras para comprobar el resultado.

REFLEXIONA

20 ¿Se puede dibujar un triángulo con dos ángulosrectos? ¿Por qué?

203

7 Circunferencias

7.1 Elementos de la circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están si-tuados a la misma distancia de otro pumo llamado centro, O.

A

SUSCRIBE Asl .~~

Una circunferencia se suele

• Su centro: 0, O', O" O2,,

o Su radio: r, r', {,. r1 ..

• Su diámetro: d. d', di, d?

al mOVimiento de las a~ulasrlf'1 rl'loj

ílA

Los elementos de una circunferencia son:

Centro de la circunferencia: es el punto delcual equidistan todos los pumos que la forman.Radio: es un segmento que une el centro conun pumo cualquiera de la circunferencia

Cuerda: es un segmento que une dos puntos dela circunferencia.Diámetro: es una cuerda que pasa por el centrode la circunferencia .

Arco: es la parte de la circunferencia compren-dida entre dos pumos de ella .

A cada cuerda le corresponden dos arcos. Si la cuerda coincide con eldiámetro, las longitudes de los dos arcos son iguales, y el arco se llamasemicircunferencia.

7.2 Ángulo central e inscrito

Un ángulo central de una circunferencia es unángulo que tiene su vértice en el centro de la cir-cunferencia

© Un angulo mscnto es un angula que tiene suverttee en un punto de la CIrcunferencia y sus dos

O lados cortan a la CIrcunferenCIa

A

PRACTICA

29 Indica el nombre de cada uno de los elementosde la siguiente circunferencia:

APLICA

31 Dibuja una circunferencia de radio 4 cm,y señala sobre ella un diámetro, un radio,un arco y una cuerda. ¿Cuánto mide el diámetro?

30 Dibuja una circunferencia de radio 5 cm.

206

REFLEXIONA

32 Fíjate en la rueda de estecarro. Indica qué elementosde la circunferenciaobservas.

8.2 Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Una recta, s, puede SItuarse en tTes posiciones respecto de una clTcunfe-renCla:

8.1 Posiciones relativas de un punto y una circunferencia

Dada una circunferencia, un punto, P, puede situarse en diferentes posi-ciones respecto de la misma:

Dentro de la circunferencia: P es un punto interior.

Sobre la cIrcunferencia: P es un punto de la circunferencia.Fuera de la circunferencia: P es un punto exterior.

8 Posicionesrelativas en el plano

Pumoexlenor

Si cona a la circunferencia en dos puntos, A y B: la recta s essecante a la circunferencia.

Si la reCla y la circunferencia tienen un único pumo, P, en común:la recta S es tangente a la circunferencia.

Si la TCCla y la circunferencia no lienen ningún pumo en común: larecla s es exterior a la circunrerencia.

l.a recw s es tangente a la Clrcunrerencia enel punto P (punto de tangencia). Se puedecomprobar también que la tangeme en elpunto P es perpendicular al radio.

Una recIa tangente a una circunrcrencia es perpendicular al radio queva del cemro al punto de tangencia.

PRACTICA

"33 Indica cuál es la posición relativa de cada unade las rectas respecto de la siguientecircunferencia:

APLICA

Deduce la posición relativa deuna circunferencia de radio ry una rectaque se halla a una distancia d de su centro,en los siguientes casos.

a) r = 6cm,d= 4cm

b) r = 6cm,d= 6cm

e) r = 4cm,d = 6cm

d) r = 4cm,d = Ocm

REFLEXIONA

35 Con una moneda o un vaso, dibujaen tu cuaderno una circunferencia.¿Sabrras indicar su centro?

207

Concentricas 8.3 Posiciones relativas de dos circunferencias

Tangentes Inleriores

Dos circunferencias pueden ocupar diferentes posiciones;

• Circunferencias concéntricas: no tienen nmgún punto en común,y tienen el mIsmo centro, 0, y distinto radio. La distancia, d, entrelos centros es cero.

d= r- r'

Circunferencias tangentes interiores; tienen un puma en comúny distimo cemro. La distancia, d, emre sus centros es igual que ladiferencia de los radios.

Circunferencias tangentes exteriores: tienen un solo punto encomún. La distancia, d, entre sus cemros es igual que la suma desus radios.

Circunferencias secantes; tienen dos pumos en común. La dis-tancia, d, entre sus centros es menor que la suma de los radios ymayor que su diferencia.

d> r - r'd< r+ r'

Circunferencias interiores: no tienen ningún puma en común ytienen distintos centros. La distancia, d, entre sus cemros es menorque la diferencia de los radios.

d< r ~ r'

Interiores

SecanTes

~r e.;Q~.

('~.

\lXl)....~

~.\J7;v

: d :

Tant,¡·IIIe'>e:.:uo:riolt'S

Exteriores d= r t- r'

Circunferencias exteriores; no tienen ningún punto en común. L'1dislancia, d, entre sus centros es mayor que la suma de los radios.

d> r+ r'

PRACTICA

36 Indica la posición relativa delas circunferencias: la polea de la cadenade una bicicleta y la maquinaria interna deun reloj.

APLICA

J7 Dadas dos circunferencias de radios 6 y 3 cm,respectivamente, dibuja en tu cuadernotodas sus posibles posiciones.

REFLEXIONA

38 Tenemos dos circunferencias, una de radio3 cm y otra de radio 4 cm, La distanciaentre los centros de estas circunferenciases de4 cm.a) ¿Pueden ser tangentes exteriores?

¿Y tangentes interiores?

b) ¿Qué posición relativa ocupan?

208

Un polígono inscrito en una circunferencia es un polígono que tienetodos sus vénices situados en la circunferencia.

CualqUier polígono regular está inscrito:

El centro de la circunferencia, O, se llama centro delpolígono y su radio, r, se denomina radio del polígono.

El segmento trazado desde el centro de la circunferen-cia al punlO medio de un lado, a, es la apotema delpolígono regular.

9 Polígonos regularese inscritos

DCuadrilalero inscrilOen una circunferencia

Construcción de polígonos regulares

Construcción de un cuadrado

1.<.1 Traza una circunferencia y di- 2.° Une los extremos de los diá-bup en ella dos diámetros per- metros.pendiculares.

'/>\

o.1"

• Io -

·0 -

Construcción de un hexágono regular

l." Traza una circunferencia y, a 2.° Une los seis pumos de divisiónpanir de un pumo P de ella, que quedan marcados.lleva cuerdas iguales al radio.

p.~ 'x

Construcción de un triángulo equilátero

1.0 Traza una circunferencia y di- 2." Une, de dos en dos, los pumosvidela en seis panes iguales. de división.

P,i

+ $PRACTICA APLICA

39 Traza un hexágono regular inscrito enuna circunferencia. Después, traza los tresdiámetros que unen sus vértices opuestos.¿En cuántos triángulos queda descompuestoel hexágono? Comprueba que todoslos triángulos formados son equiláteros.

Si divides una circunferencia en diez partes y unescada par de puntos, ¿qué poHgono se forma?

REFLEXIONA

41 ¿Cómo podrías dibujar un octógono regular?

209

Lo esencial

Rectas y puntos notables de un triángulo

66LEquilátero Isósceles Escaleno

LL~ Trapezoides

Paralelogramos

~ [og[~~]~Trapecios

Rectángulo Isósceles Escaleno~~n

Cuadriláteros

lTr :~~í~OnO~avo

POligOnOOconvexo

Acutángulo Rectángulo Oblusángulo

Polígonocóncavoy convexo

Triángulos

~\Medi(}trices-

I~Circuncentro

~~'~::tc""~lro

PoUgono regular

Apotema

Circunferencia

ACCOf8¡A ,0

(; O ?--?;o

B /:Diámetro

HAZlO DE ESTA MANERA

1. DETERMINAR lOS EJES DE SIMETRíA DE UN POliGO NO

Determina los ejes de simetría de un pentágono regular y de un hexágono regular.

PRIMERO. Cuando el número de vértices es SEGUNDO.Cuando el número de vértices es par,impar. comprobamos si son ejes de simetría comprobamos si son ejes de simetría las rectas que

pasan por cada uno de sus unen dos vértices opuestos y las rectas que pasanpunto medio del lado opuesto. por los puntos medios de dos lados opuestos.

Un pentágono regular tiene 5 ejes de simetría Un hexágono regular tiene 6 ejes de simetría.

210