Argumentacion de futuros profesores de

matematicas en tareas sobre fracciones mediadas

por un sistema de evaluacion en lınea con

feedback automatico

Jorge GaonaUniversidad Metropolitana de Ciencias de la Educacion

Email: jorge.gaona@umce.cl

Romina MenaresUniversidad de Valparaıso

Email: romina.menares@uv.cl

31 de agosto de 2021

Resumen

ResumenEn este artıculo se reporta el trabajo de argumentacion de un grupo de

profesores de matematicas en formacion en una experimentacion realizadaen una clase virtual (a causa de la emergencia del COVID-19), durante el2020. Se trabajo con una tarea sobre fracciones en un sistema de evalua-cion en lınea con preguntas con parametros aleatorios e infinitas respuestascorrectas posibles. A partir de esto, se desarrollo un trabajo de discusionsobre las estrategias y las justificaciones, argumentaciones y validacionesde estas estrategias y de otras conjeturas que surgieron. En este artıculose analiza este trabajo desde un enfoque cualitativo usando como marcoteorico el Espacio de Trabajo Matematico. Los resultados evidencian queel trabajo de discusion provoco que los profesores en formacion pudieranhallar interpretaciones para los algoritmos procesados por la computado-ra, potenciando el discurso y la argumentacion epistemica en contexto deuso de artefactos tecnologicos. A su vez, los mismos discursos permitierona los futuros profesores instrumentalizar los procesos para ser utilizadosen nuevas tareas.

arXiv subject classification: math.HOKeywords: tecnologıa digital, justificacion y˙prueba, formacion de profeso-

res, clases en lınea.

1

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iv:2

108.

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021

1. Introduccion

Segun Balacheff (1987), hay que diferenciar entre una explicacion o argu-mentacion, una prueba, y una demostracion. Una argumentacion es un discursoque busca hacer entendible o convencer sobre la veracidad de una proposicion;una prueba es una explicacion aceptada por una comunidad; y una demostraciones un tipo de prueba con una estructura especıfica que se caracteriza por seruna cadena de enunciados organizados con reglas determinadas. En el ambitoeducativo se propone valorar aquellas pruebas que puedan ayudar a explicar yjustificar conjeturas apoyandose en elementos matematicos (Hanna, 2001).

En Chile, las bases curriculares de secundaria proponen de forma explıci-ta la argumentacion como una de las habilidades que se deben desarrollar enmatematicas (MINEDUC, 2019).

La comunidad de investigadores en educacion matematica del paıs ha estadoreportando distintos resultados en torno a la argumentacion en la formacion ini-cial y continua de profesores de matematicas. En geometrıa, Nagel et al. (2008)declaran que muchos profesores en su primer ano de formacion inicial son capa-ces de ordenar sus argumentos de modo deductivo, sin embargo, aun no poseenla capacidad de desarrollar argumentos deductivos en todas las tareas propues-tas, aun cuando se trata de una universidad que recibe a estudiantes de altonivel academico. En otra investigacion en formacion inicial sobre sistemas deecuaciones lineales, Rodrıguez-Jara et al. (2019) observan que los estudiantesargumentan erroneamente sobre la base de la proporcionalidad de los coeficien-tes, y segun los autores, esto muestra que no han coordinado algunos procesosrelacionados con los objetos matematicos involucrados.

Hay otro grupo interesante de resultados sobre las argumentaciones, en estecaso, de profesores en ejercicio. En educacion primaria, Pizarro et al. (2018)concluyen que las debilidades de profesores en el conocimiento de estimacionno permiten argumentar de forma adecuada. En otro trabajo sobre numerosenteros, Solar (2018) muestra la importancia de algunas estrategias para que elprofesor fomente la argumentacion: dar oportunidades de participacion, gestio-nar el error y realizar ciertos tipos especıficos de preguntas, como preguntas quefavorezcan la explicacion, evitar preguntas retoricas, hacer contra preguntas ypreguntas que mantengan el foco en la discusion.

En cuanto a la educacion secundaria, varias investigaciones dan cuenta delas argumentaciones en el trabajo matematico propuesto por profesores debu-tantes en sus clases. Por ejemplo, en el trabajo de Henrıquez-Rivas y Montoya-Delgadillo (2015) o de Montoya-Delgadillo el al. (2014) se senala que, en lasclases de profesores debutantes sobre algebra y geometrıa, el trabajo de ar-gumentacion es relegado o esta casi ausente. Ademas, en esta misma lınea yconsiderando la argumentacion como parte del trabajo discursivo dentro de unaactividad matematica mas general, que considera aspectos semioticos e instru-mentales (Kuzniak et al., 2016), Henrıquez-Rivas y Montoya-Delgadillo (2016)muestran que hay tareas que fomentan lo discursivo, aunque aun se observan di-ficultades para desarrollar esta dimension cuando se implementan. En el area delas probabilidades, Montoya-Delgadillo et al. (2016) reportan que los profesores

2

debutantes se encuentran con que no han tenido la experiencia necesaria pa-ra promover procesos argumentativos, concluyendo que para los profesores, losprocesos de demostracion no son viables en el nivel escolar del cual se ocupan,lo que los lleva a privilegiar la operatoria, sumado ademas a que, por encon-trarse muy cercano aun a su institucion formadora, su desempeno en el aulaesta tensionado entre lo que piensan como matematicos y lo que piensan comoprofesores.

A nivel internacional, al hacer una busqueda sobre la argumentacion deprofesores en la base bibliografica de Scopus y Web of Science, encontramos quela argumentacion en la formacion de profesores tambien ha sido abordada endiferentes lugares. En Estados Unidos y Reino Unido se estudio a profesores deprimaria en trabajos sobre aritmetica y se concluye que los profesores tienenuna buena comprension de la distincion entre prueba y argumentos empıricos(Stylianides & Stylianides, 2009), aunque los profesores se deben enfrentar auna serie de desafıos cuando resuelven una tarea que implica argumentar, talescomo, diferenciar entre describir y explicar, o coordinar las interpretacionescon las estrategias (Lo et al., 2008). Cuando estan en el papel de profesores, lasmayores dificultades estan relacionadas con implementar tareas relacionadas conel razonamiento y la demostracion y gestionar los habitos mentales preexistentesde los estudiantes que no estaban en sintonıa con la creacion de un sentidomatematico (Stylianides et al., 2013).

Belin y Akar (2020) abordaron la argumentacion con numeros reales y mos-traron que luego de una instruccion donde se trabajaron distintas representacio-nes, los futuros profesores generaron sus propios ejemplos y dibujaron diagramasmientras explicaban los enunciados y las notaciones dadas en las argumentacio-nes, donde los decimales se utilizaban para trabajar con numeros periodicos.Este tipo de instruccion puede superar obstaculos epistemologicos (Bachelard,1938) sobre la comparacion entre numeros mediante distintas notaciones pe-riodicas (Mena-Lorca et al., 2014).

Cuando en la busqueda bibliografica se agregan palabras relacionadas conla tecnologıa para potenciar la argumentacion en futuros profesores, las inves-tigaciones son mas bien escasas; estan los artıculos que utilizan software dematematicas para asistir la argumentacion y hay otros donde la tecnologıa esel medio de comunicacion para dar soporte al trabajo de argumentacion de losestudiantes. Los trabajos de Stupel y Ben-Chaim (2017) y de Zengin (2017) uti-lizaron Geogebra para asistir el trabajo de argumentacion y prueba en tareas degeometrıa. En Stupel y Ben-Chaim (2017) se presentan varios teoremas distin-tos cuya demostracion se realiza inicialmente mediante el software de geometrıadinamica y posteriormente de forma clasica. En Zengin (2017), a partir de unatarea se les mostro a los estudiantes multiples soluciones, algunas de ellas seexploraban inicialmente con Geogebra. En ambas investigaciones, los estudian-tes tuvieron una buena actitud hacia la argumentacion luego hacia el trabajopropuesto por los investigadores.

Por su parte, Fernandez et al. (2012), presenta un trabajo donde se utilizala tecnologıa como medio de comunicacion. En este trabajo se subraya que elformato ciertamente presenta desafıos adicionales al proceso de argumentacion.

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La investigacion muestra una tarea de aritmetica, y se reflexiona acerca de comose puede llevar a cabo una discusion en lınea tomando en cuenta que compartirun texto escrito con otros puede fomentar la discusion.

En Chile, como consecuencia de la pandemia, las clases se hicieron en formatoen lınea durante todo el ano 2020, y la participacion de los estudiantes fue una delas problematicas que emergieron. El acceso y la conectividad para la asistenciaa las clases virtuales ha sido la primera barrera. Se ha reportado un promediode 27 % para el quintil mas pobre y 89 % para el quintil mas rico de acceso alas clases virtuales en educacion obligatoria (MINEDUC, 2020).

En educacion superior aun no hay datos reportados. Sin embargo, a nivellocal, se ha detectado poca participacion de los estudiantes en las clases virtua-les, poco compromiso de los estudiantes para participar, y camaras y microfonosapagados durante las clases.

Dado este cambio obligado por la emergencia, en este artıculo analizamoslas argumentaciones epistemicas que pueden existir entre los estudiantes y elprofesor en el contexto de una clase virtual apoyada por un sistema de evaluacionen lınea para una tarea de fracciones, donde la tecnologıa aparece como elementode comunicacion, entre estudiantes y profesores, y tambien, como soporte de laactividad matematica. De forma mas especıfica, la pregunta de investigacion quese propone es: ¿cual es el trabajo de argumentacion puesto en juego enun contexto de clase virtual donde se usa una tarea en un artefactode evaluacion en lınea para una tarea de fracciones?

2. Marco teorico

Queremos caracterizar las discusiones epistemicas usando el Espacio de Tra-bajo Matematico (ETM) (Kuzniak et al., 2016a; Kuzniak & Richard, 2014)descomponiendolas en las distintas genesis y planos que ofrece este marco teori-co.

El ETM permite identificar y analizar el trabajo matematico de un sujeto,tomando en cuenta aspectos epistemologicos y cognitivos del tema abordadoy de quien resuelve, respectivamente. Estos aspectos se articulan mediante lasgenesis semiotica, instrumental y discursiva (Figura 1). Aca la palabra genesis seutiliza en un sentido amplio y hace referencia, tanto al comienzo de un proceso,como a su desarrollo e interaccion entre los polos del plano epistemologico y delplano cognitivo.

En nuestro trabajo, para identificar el valor epistemico de las discusionesque se generan entre pares y estudiantes–profesor, identificaremos cuales sonlas genesis que se activan en las argumentaciones que se realizan. Para esto,es indispensable identificar si un objeto matematico, tal como una funcion ouna formula, es usado en el dialogo como una herramienta semiotica, artefactomaterial o simbolico o como herramienta teorica.

En el plano epistemologico se encuentran los objetos y/o herramientas quepermiten desarrollar el trabajo matematico y se definen tres polos: el represen-tamen , los artefactos y el referencial teorico. De acuerdo con Kuzniak et al.

4

Figura 1: Espacio de trabajo matematico. Extraıdo de Kuzniak (2016).

(2016b), en el modelo de los ETM, los objetos matematicos pueden convertirseen herramientas o viceversa. Por otra parte, en el plano cognitivo, se encuen-tran tres procesos, a traves de los cuales se intenta dar cuenta de la actividadmatematica: visualizacion, construccion y prueba.

Cabe observar que, para poder identificar las genesis que se activan o privi-legian en la resolucion de una tarea, necesitamos identificar en cual de los trespolos del plano epistemologico se encuentra un objeto matematico en particu-lar. El estatus de un objeto o herramienta, en relacion con el polo en el cual seencuentra, estara dado mas bien por su utilizacion que por una caracterısticaintrınseca. A saber, diremos que un objeto o herramienta matematica esta enel polo del representamen cuando se utiliza como una herramienta semiotica,en otros terminos, cuando se trabaja a partir de su visualizacion y se tomanen cuenta las relaciones entre sus unidades figurales y no solo la percepcionvisual que provee el acceso directo al objeto. Los objetos del polo de los artefac-tos materiales o simbolicos se identificaran cuando se trabaje con herramientasmateriales (como regla y compas), herramientas informaticas (como una calcu-ladora CAS) o artefactos simbolicos, como un algoritmo. Para los dos primeroscasos, dada su naturaleza, son facilmente identificables, en cambio, el artefactosimbolico lo identificaremos cuando un objeto matematico o un algoritmo se uti-lice como una herramienta para obtener un resultado y no se tomen en cuentasus propiedades, vale decir, cuando su uso no este apoyado en el referencial teori-co. Ası, asociaremos el estatus de simbolico a un uso totalmente naturalizado yrutinario, en el que no se discuta ni cuestione su validez ni justificacion.

Finalmente, en el polo del referencial teorico estan las propiedades, teoremasy axiomas que dan sustento al discurso matematico. Este polo no se debe pensarsolo como una coleccion de propiedades, porque al dar soporte a las justificacio-nes deductivas, debe estar organizado de forma coherente y bien adaptado a lastareas que se les pide a los estudiantes que resuelvan (Kuzniak et al., 2016b).

Tal como lo indican Kuzniak et al. (2016a), la matematica es ante todo unaactividad humana y no solo una lista de signos y propiedades. Por esta razon,

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este modelo considera un segundo nivel centrado en el sujeto, considerandolo co-mo un sujeto cognitivo cuyos procesos mentales estan en interaccion con el planoepistemologico a traves de una actividad matematica especıfica. Los tres proce-sos que se consideran en el plano cognitivo son: la visualizacion, la construcciony la prueba. La visualizacion, esta relacionada con la interpretacion de signosy la construccion interna de la representacion de los objetos y sus relaciones.La construccion, esta relacionada con la utilizacion de artefactos (materiales osimbolicos), junto con esquemas de uso para producir elementos tangibles comoescritos o dibujos y tambien para la observacion, exploracion y experimentacionmediada por un artefacto. Finalmente, la prueba, esta relacionada con el procesode justificacion mediante herramientas teoricas y no solamente una validacionempırica, la cual se podrıa entender mas como el proceso de construccion antesdescrito.

Los planos epistemologico y cognitivo se articulan mediante tres genesis:semiotica, instrumental y discursiva.

La genesis semiotica conecta el proceso de visualizacion en el plano cognitivocon el representamen en el epistemologico. Esta genesis puede partir por el signoen el representamen que es interpretado por el sujeto mediante la visualizacion.Tambien puede partir por el sujeto que codifica y produce un signo.

La genesis instrumental conecta el proceso de construccion en el plano cog-nitivo con el polo de los artefactos. Cuando se trabaja con herramientas mate-riales, informaticas o simbolicas, la genesis involucra dos procesos: el de instru-mentalizacion y el de instrumentacion (Coutat & Richard, 2011). El primero,comprende la emergencia y evolucion de los esquemas de uso del artefacto y lautilizacion de las posibilidades que ofrece el artefacto. El segundo parte desde elsujeto y es relativo a la emergencia y evolucion de los esquemas de uso y de lasacciones instrumentadas, su constitucion, funcionamiento, coordinacion, combi-nacion, inclusion y asimilacion de artefactos nuevos a esquemas ya constituidos.El trabajo matematico podrıa ser considerado rutinario si es que no se conectacon la validacion y justificacion de los artefactos.

Finalmente, la genesis discursiva conecta el proceso de prueba con el polodel referencial teorico en el plano epistemologico y esta asociado al proceso derazonamiento deductivo mediante teoremas y propiedades. En este ultimo caso,el foco esta puesto en las propiedades y teoremas, por lo que se esta pensandoen razonamientos que van mas alla de los visuales o instrumentales, pero quepueden ser desencadenadas por estos.

Cuando no es posible distinguir que genesis esta siendo privilegiada, el ETMse puede caracterizar mediante la conexion de dos genesis, considerando algunosde los tres planos verticales: semiotico-instrumental, semiotico-discursivo o elinstrumental-discursivo (Coutat & Richard, 2011).

3. Toma de datos y metodologıa

La presente investigacion se desarrolla a traves de un enfoque cualitativo,dada la naturaleza del fenomeno en estudio. De acuerdo con Creswell y Poth

6

(2009), la investigacion cualitativa es un proceso interpretativo de indagacion ba-sado en distintas tradiciones metodologicas que examina un problema humanoo social. Desde esta perspectiva, y entendiendo que la problematica esta en-marcada en el ambito de la Didactica de la Matematica como ciencia, resultaapropiada una indagacion que permita articular un marco teorico con procedi-mientos especıficos para el analisis de datos. El analisis corresponde a un casomultiple (Stake, 2007) de tipo opinatico (Ruiz, 2003), pues se trata de un cursoal cual se tiene acceso.

En la Universidad donde se realizo el estudio, los alumnos de primer ano dela carrera Pedagogıa en Matematicas tienen una asignatura denominada TICspara el aprendizaje de las matematicas. Uno de los objetivos propuestos fuepropiciar en el curso la discusion y la argumentacion sobre distintos conceptosmatematicos utilizando herramientas tecnologicas. Esta universidad es publicaen Chile y tiene una larga tradicion en la formacion de profesores de matemati-cas.

Se propuso una serie de tareas en una plataforma Moodle (http://moodle.org)que tenıa incorporado el plugin Wiris (http://www.wiris.com), a la cual cadaestudiante tenıa acceso durante la clase, pues bastaba con tener conexion a in-ternet. Estas herramientas permitieron crear tareas con infinitas respuestas conel fin de propiciar la discusion. Las tareas se implementaron durante el segundosemestre del 2020, fueron 15 profesores en formacion (de primer ano) quienestrabajaron en un primer momento en forma individual respondiendo en la pla-taforma durante 10 minutos y luego vino una fase de discusion. La clase, alser virtual, fue grabada y se transcribieron los pasajes donde se produce unadiscusion epistemica.

En el cuestionario que se analiza en este trabajo cada estudiante tenıa unespacio (virtual) individual donde debıa dar tres respuestas distintas a la mismatarea. A partir del trabajo de Gaona (2020), el artefacto-tarea en una plataformase evaluacion en lınea se descompone en:

El enunciado: en el que a su vez se puede identificar el tipo de tarea ylos objeto matematico Gaona et al. (2021): en este caso la tarea la tareaconsistio en ingresar una fraccion de la forma a/b, con a y b enteros, que

este entre1

4y

2

4junto con un trozo de la recta real donde se ubicaban

estos valores.

El sistema de entrada: un editor de ecuaciones para ingresar las respuestas.

El sistema de validacion: que clasificaba las respuestas entre incorrectas,parcialmente correctas e incorrectas. El sistema califica la primera respues-ta (figura 2A) como parcialmente correcta porque el estudiante ingreso undecimal en el numerador, y se pedıa en las instrucciones que fueran nume-ros enteros. La segunda respuesta (figura 2B) tambien fue calificada como

parcialmente correcta porque el valor ingresado es mayor que1

4pero no

7

Figura 2: Tarea que debıa responder cada estudiante.

menor que2

4. La tercera respuesta (figura 2C) se considera correcta, pues

cumple con todos los requisitos.

El sistema de feedback: una vez que el estudiante ingresa la respuesta, elsistema ademas de calificarlo como correcto o incorrecto, le entregaba unfeedback automatico, que muestra por que las respuestas son consideradascomo parcialmente correctas o incorrectas. Lo anterior se muestra en lafigura 2.

En este feedback, la plataforma ubica en la recta numerica el valor in-gresado y se indica si cumple con el resto de las condiciones, es decir, elfeedback no da la respuesta ni sugiere alguna estrategia sobre como re-solverlo, sino que entrega una explicacion sobre por que lo realizado escorrecto o incorrecto. Ademas, en el caso de ser correcto, invita al usuarioa buscar otro valor que sea distinto al ingresado, por ejemplo, en la figura3C, se pide ingresar un valor mas cercano a 1/4.

Figura 3: Feedback automatico generado por el sistema una vez que el estudianteingresa una respuesta.

En este caso, el artefacto digital contiene una componente pragmatica y otraepistemica (Artigue, 2002): tiene una componente pragmatica porque recibe,registra y califica automaticamente la respuesta de los estudiantes; y tiene unacomponente epistemica porque emite un juicio sobre la respuesta del estudiante

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(indicando si es correcto o incorrecto) y porque, ademas, en el feedback ubicala respuesta del estudiante en una recta numerica, haciendo comparaciones deforma grafica y analiza la estructura de la respuesta para indicar si cumple ono con el formato solicitado, por lo que da un significado a la interaccion quese produce.

Durante el estudio, se trabajo en tres etapas:

Clase 1: se hizo un trabajo individual en la plataforma de 10 minutos

donde debıan encontrar una fraccion entre1

4y

2

4. El resto de la clase

se discutio sobre las estrategias y generalizacion de resultados. La clasetermino con la tarea: encuentre una secuencia infinita de fracciones entre1

4y

2

4.

Clase 2: se hizo un trabajo grupal donde debıan trabajar en buscar unarespuesta a la tarea que quedo planteada al final.

Evaluacion: se realizo una parte virtual donde tenıan que encontrar frac-ciones entre otras dos fracciones dadas, de forma aleatoria y luego, enpapel, tenıan que buscar una secuencia de infinitas fracciones que estu-vieran entre las fracciones que habıan respondido en la plataforma.

Para los analisis se codificaron los dialogos del profesor con la letra P y la delos estudiantes con la letra E y un numero para diferenciarlo: E1, E2, etc.

4. Resultados y discusion

4.1. clase 1: encontrar una fraccion entre dos fracciones

4.1.1. Trabajo individual en la plataforma

Los 15 estudiantes ingresaron respuestas. El promedio de intentos, respuestascorrectas y tiempo utilizado se resume en la tabla 1.

Intentos % R1 % R2 % R3 Tiempo (min)1.3 80.8 % 91.6 % 92 % 6.2

Cuadro 1: Promedio de intentos, tasa de respuesta 1, 2 y 3 y promedio de tiempo(en minutos)

El promedio de intentos fue de 1,3 porque hubo 5 estudiantes que hicieron 2intentos y el resto hizo 1. Tambien, se puede observar que la tasa de respuestascorrecta fue alta, es decir, las preguntas resultaron ser suficientemente sencillaspara los estudiantes. De hecho, la tasa mas baja del primer intento se dio masbien por dificultades de tipo instrumental como por ejemplo, un estudiante queingreso la respuesta y una frase, que el sistema considero incorrecta. El promediode tiempo empleado, tambien indica que pudieron responder a la pregunta deforma bastante rapida.

9

4.1.2. Estrategias declaradas por los estudiantes

Este trabajo, inicialmente sencillo, permitio, en una segunda instancia, plan-tear preguntas durante la clase que se direccionaban hacia la elaboracion deargumentos sobre las distintas estrategias utilizadas. Al preguntar, mediante elchat o mediante voz, fueron 2 estrategias que aparecieron:

7 estudiantes indicaron que utilizaron decimales, es decir, transformaronlas fracciones a decimales, encontraron un decimal entre los dos valores yluego convirtieron en fraccion nuevamente el numero encontrado.

3 estudiantes declararon que utilizaron amplificacion, es decir, amplifi-

caron1

4y

2

4por distintos numeros enteros positivos y a partir de eso

encontraron un valor entre ambos.

5 estudiantes no se pronunciaron sobre la estrategia utilizada.

Mediante un proceso inductivo, se les pregunto cuantas fracciones se obtenıan

entre1

4y

2

4al amplificar por 2, 3, 4, . . . y n. Los estudiantes rapidamente con-

jeturaron que hay n − 1 fracciones entre ambas. Se les pidio demostrar estaconjetura y se propuso revisarla mas tarde.

Luego se pidio a las estudiantes describir el procedimiento que habıan rea-lizado con decimales, una estudiante por ejemplo eligio 0.3, 0.26 y 0.4, los que

transformo a fracciones:3

10,

13

5y

2

5(los simplifico).

4.1.3. Trabajo de discusion a partir de una estrategia no prevista

Posteriormente, se les pregunto a los estudiantes si alguien habıa utilizadolos decimales de una forma distinta y E1 indico que los habıa escogido al azar;

nombro:3

10,

2

5y el

9

20. A partir de esto, se produce el dialogo que se muestra

en la Tabla 1.En esta discusion se observa que el estudiante E1 utiliza como estrategia

el ensayo y error. La calculadora la utiliza como artefacto digital. En terminosteoricos, podemos evidenciar la activacion parcial de la genesis instrumental(Kuzniak et al, 2016a). Decimos parcial, pues el trabajo no inicia a partir dela instrumentalizacion del artefacto que se pone en uso, sino mas bien, es unartefacto que se asocia a la accion de corroborar si los numeros establecidos sonvalidos o no para satisfacer el enunciado de la pregunta que se planteaba. Enesta discusion el estudiante esta intentando explicitar, a partir de las preguntasdel profesor cuales fueron sus procedimientos.

El profesor, a partir del relato del estudiante sobre la estrategia de ensayo yerror, hace preguntas (lınea 122 y 126 de la Tabla 2) que cambian el foco de la

discusion. Ahora se buscan los valores para los cuales9

nestan entre

1

4y

2

4.

E2, en la lınea 129, indica que “elevando la fraccion a menos 1 se da vueltala desigualdad”. En esta frase se observa que su argumento se basa en un

10

110. P: el 920¿como lo encontraste? porque es distinto a los que estaban aca [re-

firiendose a los que habıa encontrado previamente su companera]111. E1: empece a amplificar, o sea empece a subir el numerador, por conse-cuente el denominador tambien lo fui subiendo hasta que me diera una fraccion112. P: quiero que explicites mas eso mismo que estas diciendo, a que te refierescon. . .113. E1: o sea, que empece a probar con numeros, empece a jugar con losnumeros y. . . fui probando con todos 1, 2, 3,... 7, 8, 9 si igual como que use hartorato y empece a dividir por numeros, a ver si me daban entre. . .114. P: ya, entonces, por ejemplo, ¿probaste con otros denominadores? ¿comodecidıas si no te funcionaba el denominador que habıas elegido?115. E1: porque lo veıa con la calculadora (risas)116. P: dame un ejemplo, quiero que explicites el proceso que realizaste, antesdel 20 te acuerdas que numero elegiste?117. E1: el 5 parece118. P: calculaste 9

5 , ¿eso?119. E1: sı, pero ese es 1,8 como que es mucho, a ver un denominador muygrande, por ejemplo el 10120. P: y ese ¿cuanto te dio?121. E1: 0.9, tampoco cumplıa, luego elegı el 15 yendo como parametro, porquesi me salıa muy cercano sabıa que podıa probar entre esos dos numeros nuevos[] luego el 20 [el denominador elegido] que es 0.45.

Cuadro 2: Momento 1, se intenta explicitar una estrategia definida por el estu-diante como “al azar”.

Figura 4: El profesor escribe lo que relata el estudiante E1 entre las lıneas 110 a121, tambien escribe la pregunta que se indica en la lınea 122 y 126 de la tabla3

esquema rutinario, en el cual no explicita una propiedad, por lo que calificamossu justificacion como instrumental.

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El profesor pregunta cuales son las propiedades que justifican que se inviertanlas desigualdades. Es decir, nuevamente hay un cambio de foco. Si primerose busco explicitar las estrategias, luego encontrar todos los valores de n que

satisfacıan1

4<

9

n<

2

4, ahora se busca, entre las lıneas 129 y 169, la justificacion

de esta solucion. Se observa que hay argumentos erroneos: como el de la lınea133 donde E1 dice que se multiplica por −1. O argumentos circulares como elde la lınea 140 dada por E4: “se podrıa hacer eliminando las fracciones // o seapasando a y b a sus lados contrarios (escrito por chat de la plataforma)”, el dela lınea 141 dada por E1: “¿no puede multiplicar cruzado?”, E7 en la lınea 150:“se eleva a −1 y se invierten las desigualdades?”.

Finalmente, entre las lıneas 155 y 169 las justificaciones se basan en el re-ferencial teorico, los estudiantes evocan los axiomas y propiedades de orden delos numeros reales. Si uno compara los argumentos utilizados antes de la lınea155 se observa un transito desde lo instrumental a lo discursivo, los estudiantespasan de usar artefactos simbolicos como “multiplicar cruzado” o “se invierten”a propiedades del referencial teorico, incluso, a diferencia de lo observado en eluso de artefactos simbolicos, se preocupan del dominio de validez de la propo-sicion construida. Concretamente, se extiende la validez de la afirmacion masalla de lo que se necesita para justifica la solucion de la desigualdad.

En este proceso se observa que el profesor es quien valida los argumentos delos estudiantes a traves de contra-preguntas. Hasta aquı, los estudiantes aun nose muestran autonomos para determinar la validez de sus afirmaciones.

Luego el profesor realiza un resumen donde retoma los elementos entregadospor los estudiantes y corrobora para n = 21: si n es mayor a 18 y menor a 36

entonces9

21=

3

7, que esta entre

1

4y

2

4. Primero, lo hace pidiendoles el calculo

de su valor decimal y luego les pide que demuestren que esta entre los valorespedidos, sin usar decimales. En los calculos aparece el mınimo comun multiplo,que en una primera instancia obtuvieron por medio de una tabla (artefactosimbolico) y luego por descomposicion prima. En este episodio nuevamente seve un transito de lo instrumental a lo discursivo sobre el orden de las fracciones.

En seguida, se retoma una conjetura que se habıa hecho al comienzo dela clase y E2 la demuestra, lo que se transcribe en la Tabla 4. El estudianterecurre a una secuencia escrita de forma algebraica para demostrar (Figura4). El argumento se transcribe en la lınea 173. Al costado derecho, dentro dela Figura 4, se ve tambien la demostracion discutida entre las lıneas 122 y169. Nuevamente se observa un trabajo en el plano discursivo coordinado conartefactos simbolicos, donde el algebra sirve de soporte para las demostraciones.

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Figura 5: Pantalla compartida por E2 explicando la demostracion a la conjeturaplanteada.

Para finalizar la clase el profesor plantea la siguiente pregunta: ¿como en-contrar infinitas fracciones entre 1

4 y 24?

Esquematizamos lo ocurrido en la clase 1 en la Figura 6. En el esquema se ob-serva como los estudiantes van transitando desde el uso de artefactos materialesno clasicos (calculadora), a la utilizacion de artefactos simbolicos (algoritmos).Luego, progresan en sus argumentos evocando al referencial teorico (con el usode propiedades sobre numeros reales). Ası, se construye una articulacion entrelas genesis instrumental y discursiva, es decir, una activacion del plano verticalinstrumental–discursivo, pues se aprecia una coordinacion entre procesos querefieren al uso deartefactos, con argumentos basados en teorıa matematica.

4.2. Clase 2: infinitas fracciones entre 14

y 24

En una segunda clase se abordo la pregunta planteada en la clase anterior,para esto el curso se dividio en 3 grupos, en el cual participaron 16 estudiantes.

4.2.1. Trabajo en grupos

El estudiante E1 del primer grupo explica en la lınea 178 como construyo lasecuencia (Tabla 5). Primero encontro una secuencia acotada entre 1 y 2, paraluego dividirla por 4 para que quedara en el intervalo solicitado. Aca se utilizade forma implıcita que si a < an < b y k > 0 entonces ka < kan < kb. Estaargumentacion la podemos clasificar en el plano instrumental-discursivo puesto

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122. P: Si tu agrandas este numero tanto como tu quieras [refiriendose al de-nominador] ¿siempre esta en el intervalo?123. E1: creo que sı124. P: por ejemplo, piensa en un numero grande125. E1: 9

50 da 0,18 no da dentro [del intervalo]126. P: el 9 hasta que numero lo puedes dividir? ¿ 9

n es menor que 12 y mayor

que 14? ¿alguien me podrıa dar la respuesta de eso? [el profesor va escribiendo

parte de lo que relatan los estudiantes y de las preguntas que el hace ]127. E2: [despues de 20 segundos] entre 36 y 18128. P: ¿Como se obtiene ese 36 y 18?129. E2: puedo elevar toda la fraccion a menos 1 y los sımbolos se dan vuelta130. P: el profesor escribe eso en la hoja proyectada y pregunta ¿que pasa conlos sımbolos?131. E2: se invierten y amplifico todo por 9132. P: y queda 36 > n > 18 ¿estan de acuerdo? ¿por que esta desigualdad seinvierte?133. E1: se multiplica por un numero nega. . . osea, no se porque. . . ahh sipo, se da vuelta porque multiplico por −1134. P: no multiplico por −1, elevo a −1135. E1: ahh ya, entonces no se por que136. P: la pregunta es, la voy a plantear de esta manera: Si a < b entonces¿ 1a > 1

b ?137. E3: sı, yo creo que sı138. P: entonces, esto es cierto para todo a, b en R (los reales)? ¿Como lo podrıasdemostrar? [...] ¿como se demuestra? si es cierto lo que hizo su companero antes(se los voy a mostrar) eso que esta ahı es cierto o sabrıamos en que casos lopodemos utilizar ¿ideas?139. E4: inaudible, [estudiantes indican que se escucha despacio e indica queescribira por chat]140. E4 (por chat): se podrıa hacer eliminando las fracciones // osea pasando a y b a sus lados contrarios141. E1: ¿no puede multiplicar cruzado?

142. E4. lo que dijeron recien jajajaja143. P: ¿se puede multiplicar cruzado? O sea pasando a y b a sus lados contrario.Tu dices (escribe a < b)144. E2: profe ya lo demostre145. P: ¿cual, esta o la anterior?146. E2: las dos147. P: esperame un poquito para ver si el argumento que estan utilizando o queestan pensando los companeros es el mismo que vas a utilizar tu, si es distintobien, si es la misma me dices si estas de acuerdo o no. Si a < b ¿que operaciondebo aplicar a ambos lados de la desigualdad?148. E5: por 1

a y luego 1b

14

149. E6: para eliminar denominadores150. E7: se eleva a -1 y se invierten las desigualdades?151. E2: eso es lo que queremos demostrar xd152. P: pero eso es lo que queremos demostrar, acuerdense que ası partio esto,elevo a menos 1 y se invierte la desigualdad153. E7: ah chuta no habıa cachado154. P: estan de acuerdo que demostrar “a < b entonces 1

a ¡ 1b” es equivalente ademostrar “si a < b y elevo a la menos 1 entonces la desigualdad se invierte”?155. E1: ¿si igualamos a cero? ¿si a < b entonces a− b < 0?156. P: entre este paso y el otro paso ¿que operacion hubo?157. E7: −b158. E1: se sumo el inverso aditivo159. P: ¿por que yo se que se mantiene la desigualdad? ¿Que axioma estoyutilizando? ¿Que axioma de orden me permite hacer este paso que hay aca?160. E2: a < b lo multiplico por 1

ab con a y b positivos, ası me aseguroque no me invierta la desigualdad161. P: asumiste que a y b son positivos162. E2: sı, los restringı y queda 1

b ¡ 1a es para los reales positivos163. P: hay esta lo que se querıa demostrar164. E2: pero solo para reales positivos165. P: exactamente, el resultado no es para todo R, ¿cierto? ¿hay otros nume-ros para los cuales esto es cierto?166. E6: profe, ¿no sera para cuando a y b tienen el mismo signo? si a y bson negativos entonces tambien la multiplicacion da positiva y tienen que serdistinto de cero167. E1: si se puede en los reales positivos y negativos entonces ¿es en todoslos reales? ¿o no?168. E6: deberıan ser en todos los reales siempre y cuando tengan el mismosigno169. P: entonces no es para cualquier par de reales, si alguno de los dos vale 0¿es cierto?

Cuadro 3: Construccion de la justificacion de la solucion de la inecuacion 14 <

9n < 2

4

que se justifica, pero no esta claro hasta que punto el estudiante es conscientede las propiedades que esta utilizando en su argumentacion. Se observa que lasecuencia que se obtiene es decreciente y converge a ¼, pero esto no es mencio-nado. El profesor, realiza con los estudiantes un trabajo de comprobacion condistintos numeros donde la secuencia se cumple. Los otros estudiantes del grupomuestran que no tienen claro que la condicion de que la secuencia cumpla lacondicion para ciertos valores no es suficiente para que se cumpla para todo nmayor que cierto valor.

El grupo 2 (ver Tabla 6) manifiesta que no sabe como abordar el problema.En cambio, el grupo 3 indica que sı encontraron una, mostraron que probaron

15

170. P: E2 nos dijo que habıa demostrado la otra conjetura. Que si tenemos 14

y 24 y lo amplifico por n entonces hay n− 1 fracciones entre ambos numeros y

E2 dijo que lo habıa demostrado. ¿Lo quieres mostrar?171. E2: profe lo hice en paint172. [...] P: explıcanos lo que estamos viendo (E2 esta demostrando que alamplificar por n se obtienen n-1 fracciones entre ambas)173. E2: definı cuantas fracciones. . . espere, me enrede Puse las fracciones unapor una entre n

4n y 2n4n : n

4n ,n+14n , . . . ., 2n−1

4n , 2n4n y conte todas las fracciones que

habıan. Para contarlas reste el numerador de aca [refiriendose 2n − 1] y el deaca [ refiriendose a n] y se obtiene 2n− 1− n y me dio n− 1.174. P: Esta muy buena la demostracion, ¿alguien tiene alguna observacion?175. E2: puse todas las fracciones que hay entre n

4n y 2n4n y luego las conte cal-

culando 2n− 1− n = n− 1.

Cuadro 4: Transcripcion de la demostracion de la conjetura: si amplifico elnumerador y denominador de 1

4 y 24 por n, obtengo n− 1 fracciones entre ellas.

Figura 6: Circulacion clase 1 a partir de la discusion sobre las estrategias utili-zadas por los estudiantes para encontrar una fraccion entre 1

4 y 24 .

que funcionaba porque evaluaron en numeros grandes y pequenos, de algunaforma utilizan lo que Balacheff (2000) denomina “ejemplo crucial” (p.26) por-que buscan probar ejemplos generalizados. En el dialogo se evidencia que lajustificacion presentada se produce a traves de la activacion del plano verticalinstrumental-discursivo, donde el proceso instrumental se da a traves de la eva-luacion de numeros grandes en la secuencia construida. El profesor les indicaque a pesar de que, a partir de estos ensayos, pueden tener cierta seguridad desus resultados, esto no implica que este procedimiento pueda ser consideradocomo una demostracion matematica.

16

178. E1: lo que entendı es que habıa que encontrar una formula general denumeros entre 1

4 y 24 . Lo primero que hice fue encontrar una que este entre

2 y 1 y esta la dividı en 4 que, serıa n+1n , luego lo dividı en 4 y quedo n−1

4nesta entre 1

4 y 24 .

179. E2: entendı la primera parte, pero no entendı por que se divide por 4.180. P: primero veamos si es cierto lo que dice su companero: n−1

4n esta entre14 y 2

4? Quiero que respondan E2 y E3.181. E3: si reemplazamos por 1 tendrıa que estar entre los valores182. P: tu dices si n= 1 ¿cuanto queda la expresion del medio?183. E3: 2

4 que es lo mismo que 12 y no cumple

184. P: probemos otros numeros porque lo que importa es que haya infinitosque sirvan. Si 4n=)) ¿cuanto queda?185. E3: 3/8186. P: ¿sirve?187. E3: sı, se comprueba multiplicando cruzado.188. P: probemos un numero mas adelante: n = 7, ¿cuanto queda?189. E3: 8

28190. P: ¿sera menor a 1

2 y mayor a 24?

191. E3: se cumple192. P: ¿estos tres casos me sirven para demostrar que esta expresion esta siem-pre entre 1

4 y 24?

193. E2: es que son poquitos numeros194. P: si pruebo 10 y resulta ¿con eso serıa suficiente?195. E3: multiplicando el numero que usemos en n nos va a dar un numero quesea menor que este porque se va como achicando.196. P: si probamos 100, 1000 o hasta un millon no es suficiente para probarque todos estan, necesitamos ese tipo de argumentos, un poco mas especıficospara demostrar que todos estan. Piensen en eso, me unire a otro grupo queesta llamando.

Cuadro 5: Transcripcion del trabajo realizado por el grupo 1. Un estudianteencontro una secuencia y sus companeros intentaban entender si funcionaba ypor que.

4.2.2. Discusion colectiva

Luego hay una discusion colectiva con las secuencias encontradas. Solo apa-recen 3 secuencias, dos del grupo 1 y una el grupo 3, todas descritas en la Tabla

8. Las que encontro el grupo 1 son an =2n− 1

4ny bn =

n + 1

4n, a pesar de que

ambas secuencias sirven, E1 solo pudo demostrar que a n no era mayor que ¼.Este estudiante utilizo propiedades de los reales para ir acotando la secuenciay demostrar lo que habıa hecho, tal como se muestra la Figura 5. Tambien, E7del grupo 3 demuestra que la secuencia que encontro es creciente (ver Figura 6)aplicando la definicion.

En ambas demostraciones se observa, a diferencia de lo que se hizo al co-

17

197. E4: profe no entendemos nada, estamos perdidos.198. E5: si profe, no sabemos como hacerlo199. P: dejenme ve a otros alumnos que estan fuera de las grupos pequenos yvuelvo.200. P: ¿no saben como hacerlo o no entienden el problema?201. E5: entiendo el problema, pero no se como hacerlo, pense en sumatorias,pero no me acuerdo.202. P: es mas sencillo que eso, les dare una idea para que puedan avanzar:piensen en 1

n+2 . Si n = 1, 13 esta entre 1

4 y 24?

203. E6: sı204. P: si n = 2, ?‘ 14 esta entre 1

4 y 24?

205. E4, E5 y E6: no

Cuadro 6: Transcripcion de discusion del profesor con el grupo 2.

207. E7: encontramos una, pero restringido eso sı.208. P: ¿como restringida?209. E7: solo para los numeros naturales210. P: pero sirve, los numeros naturales son infinitos. Habrıa que ver comodemostraron que estaba entre 1/4 y 2/4.211. E8: probamos en muchos numeros212. E7: pero eso no es demostrar es mostrar213. E8: probamos con numeros altos, con el millon, con el 100, probamos connumeros grandes y chicos.214. P: ¿los probaron todos?215. E7: ¿como los vamos a probar todos?216. P: no me convence su argumento, como probaron numeros grandes y pe-quenos, eso les da cierta seguridad de que parece que resulta, pero como no loshan probado todos [. . . ] eso es lo que tienen que demostrar217. E7: ya profe, ahı lo llamamos cuando este listo.

Cuadro 7: Transcripcion de discusion del profesor con el grupo 3.

mienzo de la clase 1, que los estudiantes buscan cuales son las propiedadesy definiciones que justifican sus proposiciones, es decir, este trabajo esta masorientado hacia la genesis discursiva.

4.3. Evaluacion de la secuencia

Finalmente, se hizo una evaluacion que tuvo una componente individualen la plataforma con correccion automatica y una grupal que debıan enviaren un escrito a mano o escrita en LaTex que se corregıa manualmente. En esta

18

218. P: E1 ¿puedes mostrar las secuencias que encontraste?219. E1: no las tengo juntas. Esta la otra secuencia 2n−1

4n y la demostracionpara mayor o igual que 1

4 me salio mal.220. P: muestrala igual porque, aunque no este bien, puede dar pistas a tuscompaneros para que la intenten demostrar, porque lo que se demostro es que2n−14n es mayor que 1

4 y si se multiplica todo por 1n no queda mayor que 1

4 . ¿yla otra que encontraste?221. E1: La otra, la demostracion es esta (muestra la Figura 5(c)) y la otrala tiene usted (el profesor hace una transcripcion de lo relatado por E1 y lomuestra en la Figura 5(c))222. P: Lo interesante de esta secuencia es que tiene infinitos valores que seencuentran entre 1

4 y 24 . Otro grupo propuso la secuencia 2n−1

4n , sobre esa se-cuencia hay varias preguntas: ¿esta entre 1

4 y 24? ¿es creciente, porque eso dijo

el companero?223. E7: demostre que la segunda secuencia que habıa puesto era creciente224. P: ¿puedes mostrar la demostracion?225. E7: no puse en escrito lo que hice pero lo que hice fue usar la definicionque la diferencia entre an+1 − an tiene que ser mayor o menor que cero. Sies mayor es creciente, si es menor es decreciente, entonces me dio un numeropositivo ası que es creciente (muestra la Figura 6).226. P: dejamos hasta aca la clase, estamos un poco pasados de tiempo, nosvemos la proxima semana.

Cuadro 8: Transcripcion de discusion colectiva, durante la clase 2, sobre lassecuencias infinitas que se encontraron despues de trabajar en grupos

evaluacion participaron 17 estudiantes, dos mas de los que asistieron a la primeraclase. Todos dieron mas de un ejemplo, por eso hay mas respuestas que numerode estudiantes.

Al hacer un resumen de todas las secuencias encontradas por los estudiantes,en la Figura 7, se observa un patron: las respuestas que estan entre A1 y D5

(32 respuestas) construyen a partir dea1b1

ya2b2

, la secuenciaa1b1

+1

b1n. Todas

las secuencias que se construyen son decrecientes y convergentes aa1b1

.

El segundo grupo de respuestas corresponden a las tres secuencias que estanentre D6 y D8. En este caso, los estudiantes eligen una letra distinta para lavariable independiente. Construyen tres secuencias. La primera, es una secuen-

cia creciente y convergente al valor mas grande del intervalo, en este caso6

8.

La segunda, es una secuencia como la del primer grupo, es decir, creciente y

convergente al valor mas pequeno, en este caso1

6. La tercera y ultima secuen-

cia tambien es creciente, pero es una secuencia que esta conformada por unapotencia del valor mas pequeno.

El tercer grupo son las secuencias de la columna E, que son todas secuenciasconvergentes al centro del intervalo.

19

Figura 7: Demostracion realizada por E1 en la clase 2 para justificar que lassecuencias encontradas estan acotadas entre 1

4 y 24 .

Figura 8: Demostracion realizada por E1 en la clase 2 para justificar que unasecuencia es creciente

4.3.1. Justificaciones del primer y tercer grupo de secuencias

Las justificaciones del grupo 1 son demostraciones que siguen el mismo es-

quema. Primero demuestran quea1b1

es menor quea1b1

+1

b1 · n, luego dejan la

secuencia de la formaa1 · n + 1

b1 · nque es la respuesta que se presenta. Luego

en una segunda parte construyen, mediante desigualdades equivalentes, la co-

20

Figura 9: Resumen de todas las secuencias encontradas por los estudiantes.

ta superior. Si se analiza a nivel individual (ver figura 10), la demostracion lapodrıamos clasificar en el plano discursivo, pero si se analiza a nivel global, to-mando en cuenta que la mayorıa de los estudiantes utilizaron el mismo argumen-to adaptandolo a su secuencia, podrıamos concluir que estas argumentacionesestan en el plano instrumental-discursivo. De alguna forma, el procedimiento pa-ra demostrar se instrumentaliza y pasa a convertirse en un artefacto simbolico,probablemente mediante un proceso de discusion colectiva.

4.3.2. Justificaciones del segundo grupo de secuencias

El unico grupo de respuestas que utilizo argumentos de naturaleza diferentefue el grupo 2 (entre D6 y D8 de la tabla de la Figura 11). En efecto, utiliza-ron Geogebra para graficar la funcion continua asociada y a partir de la graficajustificar que se encuentra acotada. Aunque la justificacion es escueta, se puedeapreciar en ella un trabajo en el plano semiotico-instrumental. El artefacto digi-tal –y particularmente su sistema de graficas– funciona como elemento principalde la justificacion.

El esquema de la Figura 12 muestra la transformacion del proceso discur-sivo. Se puede observar que en un comienzo el uso coordinado de artefactossimbolicos y elementos del referencial teorico para construir una justificacion,provoca la activacion principalmente del plano vertical instrumental-discursivo,salvo una respuesta que activa el plano semiotico-instrumental. Posteriormentese construyen demostraciones, lo que evidencia un enriquecimiento de la genesisdiscursiva en relacion con lo que se observo en la primera clase. Finalmente,los argumentos de las demostraciones son instrumentalizados, pues son utiliza-dos posteriormente, por casi todos los estudiantes, para dar respuesta a nuevas

21

Figura 10: Una de las demostraciones enviadas por una estudiante para justificar

que la secuencia de infinitos valores esta entre6

11y

7

11.

Figura 11: Justificacion de la respuesta D6, donde se utiliza Geogebra para

graficar la funcion6

8− 1

8x

tareas de una forma similar.Si resumimos la activacion de las distintas genesis y planos, durante la clase

2 y la evaluacion, se puede apreciar un transito desde lo discursivo hacia lo

22

instrumental; las justificaciones, en su mayorıa usan un esquema argumentativosimilar, salvo el grupo 3 que utiliza una argumentacion usando el sistema degraficas de Geogebra.

Figura 12: Esquema del trabajo matematico en la clase 2 y de la evaluacionsobre la construccion de secuencias infinitas que esten entre 1/4 y 2/4 y luegoentre dos fracciones definidas aleatoriamente por la plataforma.

5. Conclusion

En las clases virtuales realizadas durante el ano 2020 se observo poca par-ticipacion de los estudiantes en las clases; las intervenciones eran escasas, y lamayorıa de las veces las camaras y microfonos se mantienen apagados. Entre lasiniciativas adoptadas por docentes para la formacion de futuros profesores, secomenzaron a desarrollar preguntas abiertas, que tuvieran infinitas soluciones,con correccion y feedback automatico, con el objetivo de fomentar la discusionsobre las estrategias mas que sobre las respuestas. Los resultados del trabajomatematico de los estudiantes, luego de implementar una secuencia de tareassobre fracciones, son los que se presentan en este artıculo.

Para el estudio nos planteamos abordar la pregunta: ¿cual es el trabajo deargumentacion puesto en juego en un contexto de clase virtual donde se usa unatarea en un artefacto de evaluacion en lınea para una tarea de fracciones?, ypara poder responderla, se realizo una intervencion compuesta por dos clases yuna evaluacion.

23

En la intervencion, se les pidio primero a los estudiantes encontrar una frac-

cion de la formaa

bcon a y b en los enteros, entre

1

4y

2

4. Por la densidad de los

racionales, esta pregunta tiene infinitas soluciones y una vez que se ingresaba larespuesta, el sistema evaluaba si se encontraba o no en el intervalo y si cumplıao no con el formato pedido, y entregaba un feedback. Ademas, daba razones depor que la respuesta era correcta. La situacion evoluciono a partir del trabajode discusion y finalizo con una pregunta que pedıa encontrar una secuencia con

infinitas fracciones, primero entre1

4y

2

4y luego entre dos fracciones con valores

aleatorios dados por la plataforma.Luego del trabajo individual en la plataforma, se comenzo a discutir con

los estudiantes sobre las estrategias utilizadas, y estos solo declararon dos es-trategias: con decimales, y amplificando por el mismo numero el numerador ydenominador de cada fraccion. Esta ultima estrategia hizo aparecer la siguiente

conjetura: si1

4y

2

4se amplificaba por n entonces aparecıan n − 1 fracciones

entre ellas. Uno de los estudiantes hizo la demostracion al finalizar la clase.Ademas, en la discusion aparecio otra estrategia que fue por ensayo y error,

que permitio entrar en una discusion epistemica. Esta discusion se caracte-rizo por un transito desde argumentos instrumentales –tales como “elevandola fraccion a menos 1 se da vuelta la desigualdad”, argumentos erroneos, y algu-nos argumentos circulares– hacia la genesis discursiva (Kuzniak et al., 2016a),basados en propiedades del referencial teorico.

En una segunda clase se extendio la pregunta hacia la busqueda de secuen-

cias infinitas de fracciones que estuvieran entre1

4y

2

4. Esta tarea fue mas

compleja para los estudiantes, pero hubo al menos dos grupos que encontraronalgunas secuencias correctas. Se discutio sobre la diferencia entre mostrar queuna secuencia cumple para varios valores y demostrar para todo n natural, loque Stylianides y Stylianides (2009, p. 315) llaman argumentos empıricos versusuna demostracion y que, dependiendo de la tarea y de como se implemente, per-mite a los estudiantes construir un proceso de justificacion en el cual busquenargumentos en un referencial teorico.

Finalmente, en la evaluacion se pidio a cada estudiante ingresar en la pla-

taforma un valor entre fracciones aleatorias, digamosa

by

c

d. Luego, se pide

encontrar una secuencia infinita que estuviera entrea

byc

d, y demostrar que tal

secuencia estaba entre ambas fracciones dadas. La respuesta y la correccion delas ultimas dos tareas se realizaba en forma manual. El argumento principal pa-ra demostrar que una secuencia infinita estaba entre dos fracciones fue analogoal mostrado en la clase 1, dicho de otra forma, la estructura de la argumentacionpaso a ser un artefacto simbolico para todos los grupos.

Se advierte que es difıcil saber que camino tomaran estas discusiones y quedependen en gran medida del papel mediador del profesor. Tal como lo indicaYackel (2002), es rol del profesor reconocer la importancia y validez de los ar-

24

gumentos, conocer las posibilidades conceptuales de los estudiantes y conocerlos conceptos matematicos subyacentes para transitar hacia una argumentacionmatematica significativa. Es difıcil pensar en una planificacion a priori parasaber hacia donde llevara la discusion por lo que la posibilidad de replicar laintervencion no es lo que se demuestra, sino el proceso de argumentacion ensı mismo.

Durante toda la intervencion se percibe un juego interesante entre las genesisinstrumentales y discursivas. Si en la clase 2 aparecieron argumentos en la di-mension discursiva, estos mismos argumentos pasaron a ser artefactos simbolicoscuando justificaron sus respuestas en la evaluacion. Como la mayorıa de los estu-diantes utilizaron el mismo esquema argumentativo, se podrıa interpretar como“una secuencia culturalmente codificada de acciones que se instancian continua-mente en la practica social” (Radford, 2014, p. 417). Los argumentos construidospor un estudiante en la clase 2 fueron compartidos con los companeros, quienesadaptaron la justificacion a cada par de numeros que les asigno la plataforma deforma aleatoria. Si bien se pudo observar que en diferentes instancias se activael plano instrumental-discursivo (Kuzniak y Richard, 2014), las cualidades delos argumentos sufrieron transformaciones gracias a la utilizacion de diferentesartefactos y elementos del referencial teorico.

El rol de la tecnologıa es devolver a los estudiantes la responsabilidad decomprometerse con una respuesta, de tal forma que cada uno tenga algo quedecir. En clases previas, de alguna forma, los estudiantes no se sentıan compro-metidos a responder a las preguntas planteadas, las discusiones eran escasas yforzadas. Segun Solar y Piquet (2016) una de las condiciones, para promover laargumentacion, es dar oportunidades de participacion. En este sentido, la plata-forma permite dar estas oportunidades de forma explıcita. Tambien, cuando laplataforma interviene con correccion y feedback automatico, la informacion queentrega al sujeto genera significados, los cuales hay que cuestionar, de manerade seleccionar aquellos que son epistemologicamente validos o, si no lo son, tenerclara su validez relativa.

La literatura analizada muestra que es necesario trabajar en el desarrollo dela argumentacion de futuros profesores, tanto porque es una habilidad de ordensuperior, como porque los trabajos en profesores debutantes muestran debili-dades al respecto. Ademas, gracias a que se estan formando como profesoresde matematicas, se advierte como el contrato didactico (Brousseau, 1998) losobliga a buscar argumentos basados en propiedades matematicas mas que a soloresolver, por lo que es posible que esta misma situacion funcione en estudiantesde otros niveles educativos.

Una de las perspectivas de este trabajo es ver que otras discusiones emergenen distintos contextos formativos y si es posible automatizar otras preguntasque, eventualmente, puedan aparecer. Por ejemplo, que un sistema sea capaz devalidar si una secuencia esta acotada, en particular, que se pueda automatizarla validacion de que una secuencia {an} esta acotada por dos fracciones, estopara que sirva como forma de experimentacion para los estudiantes, para reducir

25

los tiempos de correccion de los profesores, y a traves del feedback, instar a labusqueda de secuencias con otras caracterısticas distintas a las observadas enesta investigacion.

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