UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

LISTADO 3. INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERS ITARIA 520145

Contenido : GEOMETRIA ANALITICA 1. Considere ( 2, 3) , (2,1) , (6,5)A B C− − en 2

ℝ Determine si los puntos son colineales 2. Determinar las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo de vértices ( 3, 2) , (6, 1) ( 2,5)A B y C− − − − 3. Los extremos de un trazo son A(-2,-5) , B(7,7) ; determinar las coordenadas del

punto 1P que lo divide interiormente y 2P que lo divide exteriormente en la razón 45

λ =

Indic.. P2 A P1 B a , x1 , b , x2 ∈ℝ (abscisas ) x2 a x1 b

1 2

1 2

intAP P A

division erior division exteriorPB P B

λ λ= =

4. Si los vértices de un triángulo son A (-5,3) , B (3,-1) y C (-1,7). determinar (a.) ¿Qué clase de triángulo es? (b) ¿Cuál es su perímetro ? (c) ¿Cuál es su área ? (d) ¿ Cuáles son las coordenadas de los puntos medios de sus lados ? (e) ¿ Cuánto mide cada mediana ? (recta que une los puntos medios de los lados ) 5. Determinar la pendiente del trazo PQ , si P (-4 , 8 ) y Q ( 3 , -2 ) son puntos dados 6. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1 , 3 ) y es perpendicular al trazo determinado por los puntos A (2 , 8) y B (7 , 3). Calcular las coordenadas del punto de intersección de la recta con el trazo. 7. Calcular la distancia desde el punto P ( 6 , 2 ) a la recta que pasa por los puntos A (-5 , 0 ) y B ( 0 , 3 ). 8. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto A ( 2 ,-3 ) y el punto de intersección de las rectas L1 : 5x – 4y + 7 = 0 y L2 : x - 6y + 9 = 0

9. ¿Qué valor debe tener k en L : 3x - 5ky +16 = 0 , para que ( 2 , 2) L− − ∈ ?

1

10. Una recta interseca los ejes coordenados en A (15,0) y B (0,20). Determine su ecuación 11. Determinar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas L1 : 4x – 11y -36 = 0 ; L2 : 11x -4y +6 = 0 12. Justificando sus respuestas, determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas (a) La parábola de ecuación y2 = 2x− tiene por parámetro p = 1 (b) La parábola de ecuación y2 = 3x tiene por directriz el eje de las ordenadas

(c) La elipse de ecuación 2 2

13 4

x y+ = tiene por excentricidad e = 32

(d) La elipse de ecuación 2 2

14 3

x y+ = admite por eje focal al eje de las abscisas

(e) La Hipérbola de ecuación 2 2

19 4

x y− = admite por asíntotas las rectas

2 2,

3 3y x y x= =− y tiene por excentricidad e =13

3

(f) La curva de ecuación x2 – y2 -2x +1 = 0 es una parábola (g) La curva de ecuación 4x2 + 9y2 – 24x + 36y +72 = 0 se reduce a un punto 13. En un sistema ortogonal , se considera el punto F de coordenadas ( 3 , 2 ) y la recta D de ecuación x= 1 .Determine la ecuación de la parábola P de foco F y de directriz D 14. Identificar las cónicas indicando sus elementos fundamentales (a) 4x2 + 9y2 = 36 (b) 3y + x2 = 0 ( c) x2 + 2x = 2y (d) 6x2 - 5y2 = 30 (e) 4x2 + 9y2 – 24x + 36y -72 = 0 15. Considere el conjunto F = { }2 2 2( , ) ;4 9 8 54 113 0M x y x y x y∈ − + + − =ℝ

Identifique la gráfica que lo representa y determine sus elementos principales 16. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (3 , -4 ) B (2,-5 ) y C( 2 , -4 )

2

17. En 2

ℝ considere los puntos F ( 0 , 2 ) , H ( 4 , 0 ) y K (3 , -2 ) (a) Muestre que triángulo FHK es rectángulo en H. (b) ¿Cuál debe ser la directriz de una parábola P que tiene como foco el punto F , por eje de simetría el eje de las y además por tangente en uno de sus puntos la recta KH ? (c) Encuentre la ecuación de la parábola P 18. Calcular el centro , el radio y la forma canónica de la circunferencia (a) a2x2 + a2y2 = c2 ( a , c constantes ) (b) x2 + y2 -4x -10y +24 = 0 (c) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia centro (-2 , 5 ) y radio 3 2 ? 19. Dadas las circunferencias C1 : x

2 + y2 - 6x - 4y - 3 = 0 C2 : x

2 + y2 -14x +2y + 41 = 0 (a) Calcular la distancia entre los centros (b) Calcular las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias 20. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 -8x +6y + 16 = 0 ( a) ¿Cuál es su centro? ( b) ¿Cuál es su radio ? (c) ¿Cuál es su intersección con el eje de las y ? 21. Identificar la ecuación de la cónica con centro en (3,1) , vértice (3,-2) y

excentricidad 1

3e= .

22. Encontrar la ecuación de la cónica con foco (-1,-1) ; excentricidad 2

2e = y

directriz x = 0 23. Calcular el área de la región comprendida entre las circunferencias : C1 : x

2 + y2 -8x +4y + 16 = 0 y C2 : x2 + y2 -4x +2y - 20 = 0

24. Encuentre el valor de k para el cual la recta 4x + k y = 5

(a) Pasa por el punto (2,1) (b) Es paralela al eje de las y (c) Es paralela a la recta 6x – 9y = 10 (d) Es perpendicular a la recta 3y – 2x +5 = 0

3

25. Encuentre la región de la hipérbola (a) Cuyos vértices son los puntos (0,4) , (0,-4) (b) Que tiene su centro en el origen , uno de sus vértices en el punto

(0, 7)− y pasa por el punto 14(5, )

3

26. Determine todos los elementos característicos (focos , vértices ,excentricidad y asíntotas ) de la hipérbola 2 236 9 324x y− =

27. Determine algebraicamente los puntos de intersección de las siguientes curvas y observe la situación geométrica (d).

(a) y2 - 4 = x , y - x = 2 (b) 3x2 - 4x - 3 = y , y = 2x - 6 (c) x2 + y2 - 6x + 2y +4 = 0 , x2 +y2 +2x -4y = 6 (d) x2 - 6x + y2 -6y = -14 , x2 +2x +y2 + 4y = 4

28. Estudie las simetrías y las intersecciones con los ejes de las siguientes funciones, y grafique

(a) x2 + xy = 1 (b) x = 2y (c) y(x2 + 1 ) = 1

(d) 2x y− = (e) 1

1

xy

x

+ =−

29. Encuentre las regiones en 2

ℝ , indicando el o los puntos de intersección de las curvas determinadas por las siguientes ecuaciones ,

(a) x2 < y ; (x – 1)2 < -y + 2 (b) y2 < x + 3 ; (x – 1)2 + y2 < 1 (c) x2 - y2 > 1, ; x2 + y2 < 4

(d) 1,

1

xy

x

+ <−

; (x – 1)2 + (y – 1)2 < 1

FLNB/Abril/2010 4