8/7/2019 as - Listado 08 - Limite & ad

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA 520145

LISTADO No. 8

Problema 1. Usando la definicion de lmite, demostrar:

a) limx1

x 1

x 1 =1

2b) lim

x2(x2 5) = 1 c) lim

x0

x4sen( 1x2

)

a + sen2(x)= 0 , siendo a > 0 dado.

Problema 2. Calcular, si existen, los siguientes lmites:

a) limx3

x

2

2x2 13x + 20 b) limx 19

x +

8

9 c) limx4 |x

3

| |x + 2

||x + 1|d) lim

x2

x3 2x2 4x + 83x2 + 3x 6 e) limx4

3 5 + x1 5 x f) limh0

(x + h)3 x3h

g) limx0

x x33!

+ x5

5!

xh) lim

x1

1 x23

x 1 i) limx3

sen(6x)

3cos2(x) sen2(x)

j) limx8

34

x 2 3x2 x

2

k) limx2

3

3x + 5 + x + 33

x + 1 + 1l) lim

xsen(x)

1 x

2

m) limx

1

sen(x

2)

x n) limx1sen(

4x)

cos(

2x)

22

x

x 1 o) limx 35

cos5x3 + 13 5x

p) limx0

x + |sen(x)||x| q) limx0 x

1 + cos(x) 2

1 cos(x)

r) lim

xysen(x) sen(y)

x y

Problema 3.

a) Sabiendo que limx1

x3 2a2x + ax22ax + x2

= 2a 5, determine el valor de a, si ademas se sabeque a > 0.

b) Si se sabe que

x3

2a2x + ax2

2ax + x2 conduce la forma indeterminada0

0 cuando x = 1, es posi-

ble levantar la indeterminacion? En tal caso, determine el valor de limx1

x3 2a2x + ax22ax + x2

Problema 4. Hallar los valores de a y b si se sabe que limx2b

x3 x2 + ax + 12x2 4bx + 4b2 existe.

Problema 5. Si limx+

x4 + cx3 + 1

x3 x + 1

x2 + 3x 10

=3

2, determine el valor de c.

Sugerencia: sumar y restar x a toda la expresion.

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Problema 6. Calcular los siguientes lmites, si existen; o su tendencia, si corresponde:

a) limx+

8x + 3

2x 1 b) limx42

(x 4)2 c) limx5 + 2x

3 2xd) lim

x3 2 x(x 3)4 e) limx+ 2x2

x + 54x3 1 f) limx+ 4x2

+ 2x + 12x + 5

g) limx+

3

x3 + 1

x2 + 1

h) limx

3

3

x2 + 1 + x + 2x2 + 1

i) limx+

4x3 + 2x2 5x + 2 8x3

j) limn+

n 1 + 1

2 n + 3n k) limx3x2 3x 1

x4 + 3j) lim

xx

x2 + 1 x

k) limx2+

x2x2 4 l) limx4

16 x2x 4 m) limx0

|x| 2x |x|

Problema 7. Determine el valor de limx

f(x) y limx+

f(x), siendo

a) f(x) =

x2 + x

x2 5 b) f(x) =x2 + 7x + 10

xc) f(x) =

3x + 42x2 5

Problema 8. Determinar todas las asntotas y esbozar la grafica de cada una de las funcionesindicadas en el Problema 7.

Problema 9. Sea la funcion g(x) =

3(x

2 + b) + kx3 |x|x

1 si x < 0bx2(x2 + 1) + ab si x 0

Sabiendo que

limx0

g(x) = L R, y g(1) = 1, determine el valor de a + b + L.Problema 10. Determine para que valores de ,

R, la funcion

f(x) =

2

x2 + 2x + + 2 1 si x < 1(+ 1)(x2 + 2x) + ( + 1)(+ 1) si x 1

es tal que f(0) = 1 y limx1

f(x) existe.

Problema 11. Sea la funcion f(x) =

ax + 1 si x 1bx2 si x > 1

Hallar los valores de a y b si se sabe que f es continua en R, y limx2

f(x) = 5.

Problema 12. Sea la funcion f(x) =

x + c si x < 23cx + k si 2 x 13x 2k si x > 1

Hallar los valores de c y k que hacen que la funcion f sea continua en R.

Problema 13. Considere la funcion f(x) =

2(1 cos(x2))x3sen(x)

si x R {k : k Z}1 si x = 0

Justifique por que f no es continua en su dominio. Se podra redefinir f de modo que seacontinua en su dominio? Por que? De ser as, redefina f con ese fin.

Problema 14. Sea f : [a, b] R una funcion continua en [a, b] tal que:i) f(x) = 0 x (a, b), ii) f(a) = f(b) = 0, iii) Existe x0 (a, b) tal que f(x0) > 0.Concluya que f(x) > 0

x

(a, b).

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Problema 15. Probar que la ecuacion 2x3 + 6x + 10 = 3x2 tiene una solucion en (2, 1).Problema 16. Sea f la funcion definida por f(x) = sen( 5

2x), x [0, ]. Demuestre que existe

x0 (0, ) tal que f(x0) = 1/2.

Problema 17. Sea f una funcion continua sobre [0, +) tal que limx+ f(x) = L Ri) Demuestre que existe b > 0 tal que f esta acotada sobre (b, +).

ii) Teniendo en cuenta i), concluya que f esta acotada sobre [0, +)

Problema 18. Suponga que f es una funcion continua en R, tal que limx

f(x) = 1 ylim

x+f(x) = 10. Como se puede aplicar el teorema del valor intermedio para demostrar que f

tiene por lo menos un cero?

Problema 19. Considere la funcion f(x) =a(4x2 12x + 9)

4x2

bx + c. Determine todos los posibles

valores de a , b , c R para que L1 : 3x y + 6 = 0 sea una asntota oblicua izquierda yL2 : 3x + y + 6 = 0 sea una asntota oblicua derecha del grafico de f.Problema 20. Sea f una funcion definida en R.

a) Muestre que si |f(x)| |x| x R, entonces f es continua en cero.b) Sea g otra funcion definida en R que es continua en cero, g(0) = 0, y ademas |f(x)| |g(x)|

x R. Pruebe que f es continua en cero.

Problema 21. Considere la funcion f(x) =

5x

6si 0 x < 6

x2 4x + 288

si 6 x 10

a) Analice la continuidad de f en [0, 10]. Es f acotada? Por que? Esboce la grafica de fy diga cuales son sus valores extremos y en que puntos se alcanzan.

b) Hallar el supremo e nfimo de f sobre ]3, 7[ Existen maximo y mnimo para f en estecaso? Justifique.

c) Determine el supremo e nfimo de f sobre [2, 8] Existen maximo y mnimo para f en estecaso? Justifique.

d) Hallar el supremo e nfimo de f sobre [1, 9[ Existen maximo y mnimo para f en estecaso? Justifique.

e) Pruebe que f es inyectiva y determine la funcion inversa asociada f1, haciendo las res-tricciones que estime conveniente.

f) Analice la continuidad de f1 sobre Rec(f).

GAC/RBP/ACQ/LNB/MOS/JLSA/ESF/MWC/rbp 31.05.2010

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