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Geometría Analítica en el Plano

Para hacer geometría analítica en el plano consideramos un sistema rectangular de

coordenadas, que nos permite identificar los puntos del plano con pares ordenados de × o

2 .

Distancia entre dos puntos de 2 .-

Si ( )1 1 1,P x y y ( )2 2 2,P x y son dos puntos del plano, la distancia entre ellos está dada por:

( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2,d P P x x y y= − + −

Punto medio de un segmento: Si ( )1 1 1,P x y y ( )2 2,P x y son dos puntos del plano, el punto

medio del segmento 21PP es

1 2 1 2,2 2

x x y yM

+ +

Circunferencias.-

Definición: La circunferencia con centro en un punto C del plano y de radio 0r > , es el

lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a C es r.

Si el centro es ( ), ,C h k un punto ( ),P x y pertenece a la circunferencia si y sólo si

( ),d P C r= , es decir, si y sólo si

( ) ( ) 22 2x h y k r− + − =

La ecuación de toda circunferencia es de la forma general:

2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + =

donde , , , yA B C D E∈ son reales fijos y A B= 0≠ .

Recíprocamente, toda ecuación de esta forma general, con A B= 0≠ , representa una

circunferencia en el plano o una circunferencia degenerada (un punto o el conjunto vacío)

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Rectas en el plano.-

Rectas paralelas a los ejes coordenados:

Verticales o paralelas al eje y : x c= (eje y tiene ecuación 0x = )

Horizontales o paralelas al eje x : y c= (eje x tiene ecuación 0y = )

Def.- Si ( )1 1 1,P x y y ( )2 2,P x y son dos puntos que no están sobre una vertical, se define la

pendiente del segmento como la razón:

2 1

2 1

y ymx x−

=−

Def.- Dados un número real m y un punto ( )0 0 0,P x y del plano, la recta de pendiente m

que pasa por el punto 0P es el lugar geométrico del conjunto de todos los puntos P del

plano tales que la pendiente del segmento 0P P es constante e igual a m .

Ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por 0P :

( )0 0y y m x x− = −

Esta ecuación tiene la forma general:

y m x b= +

donde m es la pendiente de la recta y b IR∈ es la coordenada del punto de intersección de l

con el eje y .

Recíprocamente, la ecuación y mx b= + , representa a la recta de pendiente m e intersección

con el eje y igual a b .

La forma general para la ecuación de una recta es:

0a x b y c+ + =

donde , y a b c ∈ son fijos y al menos una de las constantes o a b es no nula. Rectas paralelas.-

• Dos rectas verticales son paralelas.

• Si 1 2y l l , son rectas de pendientes 1 2 y m m , respectivamente, entonces:

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1 2 1 2//l l m m⇔ =

Rectas perpendiculares.-

• Una recta vertical y una horizontal, son perpendiculares.

• Si 1 2y l l , son rectas de pendientes no nulas, 1 2 y m m , respectivamente, entonces:

1 2 1 2 1l l m m⊥ ⇔ ⋅ = −

Distancia de un punto a una recta.-

Si l es la recta de ecuación 0ax by c+ + = , y ( )0 0 0,P x y es un punto del plano, la distancia

de 0P a l está dada por:

( ) 0 00 2 2,

a x b y cd P l

a b+ +

=+

Elipses.-

Sean 1 2,F F dos puntos del plano y 0k > un número mayor que la distancia entre

estos puntos. La elipse de focos 1 2,F F y eje mayor de longitud k, es el lugar geométrico

de los puntos del plano cuya suma de distancias a 1 2y F F es k. El punto medio entre los focos

es el centro de la elipse.

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor horizontal:

Si los focos de la elipse son los puntos ( ) ( )1 2,0 , ,0F c F c− con 0c > y 2k a= es la

longitud del eje mayor, con 2 2a c> , es decir a c> , entonces un punto ( ),P x y del plano

pertenece a la elipse si y sólo si

( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a+ =

Esta condición se traduce en la ecuación equivalente: 2 2

2 2 1x ya b

+ = , siendo 2 2 2 , 0b a c b= − > ,

que es la ecuación de la elipse.

Notemos que de la definición de b , se tiene b a< .

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Para dibujar el gráfico de esta ecuación, consideremos algunas simetrías que puede tener el

gráfico de una ecuación.

Simetrías del gráfico de una ecuación: El gráfico de una ecuación ( ), 0F x y = es simétrico

a) con respecto al eje x si al cambiar y por y− la ecuación no cambia:

( ) ( ) ( ), , , 0 , 0x y F x y F x y∀ = ⇒ − =

b) con respecto al eje y si al cambiar x por x− la ecuación no cambia:

( ) ( ) ( ), , , 0 , 0x y F x y F x y∀ = ⇒ − =

c) con respecto al origen, si al cambiar x por x− e y por y− la ecuación no cambia:

( ) ( ) ( ), , , 0 , 0x y F x y F x y∀ = ⇒ − − =

En la ecuación de la elipse notemos que:

a) su gráfico es simétrico con respecto a ambos ejes y al origen del sistema.

b) si un punto ( ),P x y está en la elipse, se tiene x a≤ y y b≤ .

c) La recta que pasa por los focos (y el centro) tiene dos puntos de la elipse, que son los

extremos de su eje mayor y se llaman vértices de la elipse. Son los puntos ( ) ( )1 2,0 , ,0V a V a− .

d) el segmento perpendicular al eje mayor levantado en el centro de la elipse y limitado por

dos puntos en la elipse, es su eje menor, y tiene longitud 2b .

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor vertical:

2 2

2 2 1x yb a

+ = con 2 2 2b a c= −

Los focos de esta elipse son los puntos ( ) ( )1 20, , 0,F c F c− , los vértices ( ) ( )1 20, , 0,V a V a− ,

con 0a c> > .

Gráfico: Traslación paralela de ejes coordenados: Consideremos un nuevo sistema de ejes

coordenados en el plano, con igual unidad de longitud que el original y ejes, respectivamente,

paralelos. Supongamos que el origen del nuevo sistema es el punto ( ),C h k (en el sistema

original). Si un punto P cualquiera del plano tiene coordenadas ( ),x y en el sistema antiguo y

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coordenadas ( ),X Y en el nuevo sistema, entonces éstas se relacionan por las “ecuaciones de

la traslación”:

X x hY y k

= −= −

Elipses con centro en ( ),C h k y eje mayor paralelo al eje x:

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

+ =

Si la distancia focal 2c= , la longitud del eje mayor 2a= y la longitud del eje menor 2b= , los

focos son ( ) ( )1 2, , ,F h c k F h c k− + ; y los vértices: ( ) ( )1 2, , ,V h a k V h a k− + .

Elipses con centro en ( ),C h k y eje mayor paralelo al eje y:

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

b a− −

+ =

Focos ( ) ( )1 2, , ,F h k c F h k c− + y vértices: ( ) ( )1 2, , ,V h k a V h k a− + . Forma general de la ecuación de una elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados:

2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + =

donde , , , yA B C D E IR∈ son reales fijos y 0A B⋅ > y A B≠ .

Recíprocamente, toda ecuación de esta forma general, con 0A B⋅ > y A B≠ representa una

elipse o una elipse degenerada: vacío o bien un punto.

Hipérbolas.-

Sean 1 2,F F dos puntos del plano y 0k > un número menor que la distancia entre

estos puntos. La hipérbola de focos 1 2,F F y eje transverso de longitud k, es el lugar

geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a 1 2y F F es k. El punto

medio entre los focos es el centro de la hipérbola. La perpendicular al eje transverso levantada

en el centro contiene al eje conjugado de la hipérbola.

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Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje transverso horizontal:

Si los focos de la hipérbola son los puntos ( ) ( )1 2,0 , ,0F c F c− con 0c > y 2k a= es la

longitud del eje transverso, con 0 a c< < , entonces un punto ( ),P x y pertenece a la hipérbola

si y sólo si: ( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a− = .

Esta relación se traduce en la ecuación: 2 2

2 2 1x ya b

− = , siendo 22 2b c a= −

llamada ecuación de la hipérbola.

Notemos que entre a y b no existe una relación de orden determinada.

La recta que pasa por los focos de la hipérbola (y por el centro) contiene dos puntos de ella que

son sus vértices: ( ) ( )1 2,0 , ,0V a V a− . El segmento de recta que los une es el eje transverso

de la hipérbola.

El segmento de recta perpendicular al eje transverso, levantado en el centro de la hipérbola y de

longitud 2b es el eje conjugado de la hipérbola.

Si despejamos y en la ecuación de la hipérbola, obtenemos:

2 2by x aa

= ± − ,

ecuaciones que están definidas para x tal que x a≥ , siendo los valores de y reales

arbitrarios. Por otra parte, vemos que si x es “grande” comparado con a , los puntos de la

hipérbola están “cerca” de los puntos de las rectas de ecuación:

by xa

= ±

que son dos rectas que pasan por el origen, centro de la hipérbola, y que se llaman asíntotas de

la hipérbola.

Gráfico:

Análogamente, si el eje transverso de la hipérbola es vertical, su ecuación es 2 2

2 2 1y xa b

− = con 2 2 2b c a= −

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donde los focos de la hipérbola son los puntos ( ) ( )1 20, , 0,F c F c− con 0c > y 2k a= es la

longitud del eje transverso, 0 a c< < .

Las asíntotas de esta hipérbola son las rectas:

ay xb

= ±

Ecuación de una hipérbola con centro en ( ),C h k y eje transverso

a) horizontal: ( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

− = ; asíntotas: ( )by k x ha

− = ± −

b) vertical: ( ) ( )2 2

2 2 1y k x h

a b− −

− = ; asíntotas: ( )ay k x hb

− = ± −

En ambos casos 2a es la longitud del eje transverso, 2b la longitud del eje conjugado y 2c

la distancia focal.

Forma general de la ecuación de una hipérbola con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados:

2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + =

donde , , , yA B C D E∈ son reales fijos y 0A B⋅ <

Recíprocamente, toda ecuación de esta forma con 0A B⋅ < representa una hipérbola o una

hipérbola degenerada: unión de dos rectas.

Parábolas.-

Sea F un punto del plano y l una recta que no contiene a F .

La parábola de foco F y directriz l , es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan del foco y de la directriz.

La perpendicular a la directriz bajada desde el foco es un eje de simetría de la parábola que se

llama su eje de simetría. El punto medio del segmento perpendicular a la directriz, entre el foco

y la directriz es un punto que está en la parábola y se llama su vértice.

Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría vertical:

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Sea ( )0,0V el vértice de la parábola y ( )0,F c su foco, con 0c ≠ y por lo tanto su

directriz la recta de ecuación y c= − . El eje y su eje de simetría.

Un punto ( ),P x y del plano pertenece a la parábola, si y sólo si:

( ) ( ), ,d P F d P l=

Considerando las coordenadas esta relación equivale a : 2

4xyc

=

Gráficos posibles con 0c > y con 0c < . Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría horizontal:

2

4yxc

=

donde 0c ≠ es la abscisa del foco, la directriz es la recta x c= − y el eje de simetría es el eje

x .

Gráficos posibles con 0c > y con 0c < .

Ecuación de una parábola con vértice en ( ),V h k y

eje de simetría vertical: ( )2

4x h

y kc−

− = ; eje de simetría es: x h=

eje de simetría horizontal: ( )2

4y k

x hc−

− = ; eje de simetría es: y k=

Si 0c > la parábola se “abre” hacia arriba o hacia la derecha y si 0c < se “abre” hacia abajo

o hacia la izquierda. En ambos casos c es la distancia entre el vértice y el foco de la parábola.

La forma general de la ecuación de cualquier parábola con eje de simetría paralelo a uno de los

ejes coordenados es: 2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + =

Con 0A = o bien 0B = . Recíprocamente, cualquier ecuación de esta forma con 0A = o

bien 0B = , representa una parábola con eje de simetría horizontal o vertical, o bien, representa

una parábola degenerada: vacío, una recta o la unión de dos rectas.