Julio Oliva Contero Estadstica

Medidas de forma: Asimetra y Curtosis. Momentos 1

TEMA 6 MEDIDAS DE FORMA: ASIMETRA Y CURTOSIS. MOMENTOS

1. Momentos de una distribucin Los momentos de una distribucin son medidas obtenidas a partir de todos sus datos y de sus frecuencias absolutas. Estas medidas caracterizan de tal forma a las distribuciones que si los momentos de dos distribuciones son iguales, diremos que las distribuciones son iguales. Podemos decir que dos distribuciones son ms semejantes cuanto mayor sea el nmero de sus momentos que coinciden. Se define el momento de orden h respecto al origen de una variable estadstica como:

=

=+++=r

1i

ihi

rhr

2h2

1h1h N

nx

N

nx...

N

nx

N

nxa

Es inmediato observar que, para h = 1, a1 es la media de la distribucin. Se defina el momento central de orden h o momento respecto a la media aritmtica de orden ah como:

=

=+++=r

1i

ihi

rhr

2h2

1h1h N

n)xx(

N

n)xx(...

N

n)xx(

N

n)xx(m

Es inmediato observar que m1 = 0 y que m2 = S2 Relaciones entre los momentos

1. 2

22 xam =

2. Los momentos respecto a la media se ven afectados por los cambios de escala, pero no por los cambios de origen. El resto, por ambos.

Julio Oliva Contero Estadstica

Medidas de forma: Asimetra y Curtosis. Momentos 2

2. Forma de una distribucin Cuando dos distribuciones coinciden en sus medidas de posicin y dispersin, no tenemos datos analticos para ver si son distintas. Una forma de compararlas es mediante su forma. Bastar con comparar la forma de sus histogramas o diagramas de barras para ver si se distribuyen o no de igual manera. Para efectuar este estudio de la forma en una sola variable, hemos de tener como referencia una distribucin modelo. Como convenio, se toma para la comparacin la distribucin Normal de media 0 y varianza 1. En particular, es conveniente estudiar si la variable en cuestin est ms o menos apuntada que la Normal. Y si es ms o menos simtrica que sta, para lo que se definen los conceptos de Asimetra y Curtosis, y sus correspondientes formas de medida.

3. La asimetra y su medida El objetivo de la medida de la asimetra es, sin necesidad de dibujar la distribucin de frecuencias, estudiar la deformacin horizontal de los valores de la variable respecto al valor central de la media. Las medidas de forma pretenden estudiar la concentracin de la variable hacia uno de sus extremos. Una distribucin es simtrica cuando a la derecha y a la izquierda de la media existe el mismo nmero de valores, equidistantes dos a dos de la media, y adems con la misma frecuencia.

Una distribucin es Simtrica si x = Me = Mo En caso contrario, decimos que la distribucin es Asimtrica, y entonces puede ser de dos tipos: Asimtrica a la izquierda. Es el caso en que Mo Me x

Curva Asimtrica a la izquierda

Julio Oliva Contero Estadstica

Medidas de forma: Asimetra y Curtosis. Momentos 3

Asimtrica a la derecha. Es el caso en que Mo Me x

Curva Asimtrica a la derecha Coeficiente de asimetra de Fisher En una distribucin simtrica los valores se sitan en torno a la media aritmtica de forma simtrica. El coeficiente de asimetra de Fisher se basa en la relacin entre las distancias a la media y la desviacin tpica.

En una distribucin simtrica x = Me = Mo y m3 = 0. Por eso define como:

3X

3

3X

r

1ii

3i

1 S

m

SN

n)xx(

g =

=

=

Si g1 > 0, la distribucin es asimtrica positiva o a la derecha. Si g1 = 0, la distribucin es simtrica. Si g1 < 0, la distribucin es asimtrica negativa o a la izquierda.

Coeficiente de asimetra de Pearson Se basa en el hecho de que en una distribucin simtrica, la media coincide con la moda. A partir de este dato se define el coeficiente de asimetra de Pearson como:

X

P S

MoxA

=

Si AP > 0, la distribucin es asimtrica positiva o a la derecha. Si AP = 0, la distribucin es simtrica. Si AP < 0, la distribucin es asimtrica negativa o a la izquierda.

Este coeficiente no es muy bueno para medir asimetras leves.

Julio Oliva Contero Estadstica

Medidas de forma: Asimetra y Curtosis. Momentos 4

4. La curtosis y su medida El concepto de curtosis o apuntamiento de una distribucin surge al comparar la forma de dicha distribucin con la forma de la distribucin Normal. De esta forma, clasificaremos las distribuciones segn sean ms o menos apuntadas que la distribucin Normal. Coeficiente de Curtosis de Fischer El Coeficiente de Curtosis o Apuntamiento de Fischer pretende comparar la curva de una distribucin con la curva de la variable Normal, en funcin de la cantidad de valores extremos e la distribucin. Basndose en el dato de que en una distribucin normal se verifica que:

3m

4X

4=

se define el Coeficiente de Curtosis de Fisher como:

3S

m3N

n)x(x

gK4X

4

4X

r

1ii

4i

2 =

==

=

Una distribucin es Mesocrtica si la distribucin de sus datos es la misma que la de la variable Normal. En ese caso, su coeficiente de curtosis es cero.

g2 = 0 Distribucin Mesocrtica. La distribucin es Leptocrtica si est ms apuntada que la Normal. En ese caso, su coeficiente de curtosis es positivo.

g2 > 0 Distribucin Leptocrtica.

Julio Oliva Contero Estadstica

Medidas de forma: Asimetra y Curtosis. Momentos 5

Si la distribucin est menos apuntada que la Normal, entonces es Platicrtica, y su coeficiente de Fisher es negativo.

g2 < 0 Distribucin Platicrtica.