ESTADSTICA ESPAOLAnm. 1 Q8, 1985, pgs. 35 a 5fi

Auditoria y Mtodos Estadsticos :Metodologa General y An lisis de pruebas

sustantivas mediante estimacin de variables

pr ROBERTO ESCl^1DER VALLESCatedrgtico de Estadfstica Econdmica y

Universidad de Valencia.

RESUMEN

En este trabajo pretendemos dar una visin general de la utilidad de losMtodos Estadsticos en la Auditora de Estados Financieros. Los aspectosmetodolgicos bsicos las hemos agrupado en cinco apartados y ademsdentro de cada uno de ellos, hacemos referencias operativas al problemaconcreto de la estimacin y/o contrastacin de variables (rnedias y totales)mediante el procedimiento estadstico de muestreo irrestricto de poblacio-nes finitas.

Palabras clave: Auditora, contabilidad, estadsticos muestrales, fiabilidad,intervalos de confianza, muestreo, rnuestra aleatoria, prueba de cumpli-rniento, prueba sustantiva.

1. INTRODUCCION

Repetidas veces c: auditor tiene que decidir, si las normas establecidas por el controlinterno de una empresa se cumplen satisfactoriamente o no, otras, tiene que verificar laracionalidad de un importe, otras, debe realizar una estimacin, etc. etc.

[-tir ^^[a^^1 [c ^^ t:s[^ ^^+c^[ ^^

En los diferentes casos que pueden presentarse al auditc^r, puede tomar dos vas cieaccin, a sabc^r:

a) Analizar uno a uno todos los dotumentos originales para obtener su conclusin;accin que an siendo posible realizarla, muchas veces no se Ileva a cabo por imperati-vos de coste y tiempo.

b) Analizar slo una parte de los documentos originales (subconjunto o ms propia-rnente hablando, "muestra"), e inferir (estimar y/o contrastar) a partir de dichos datos^larciales, propiedades sobre la totalidad (o "poblaciQn") de los mismos.

En el prirnero de los casos apuntados, se utiliza nicamente anlisis descriptivo. Elanlisis a r^alizar se denomina exhaustivo, total o censai y aunque en su aplicacinmetodolgica pueden requerirse tcnicas de Estadstica Descriptiva, no se trata deanlisis estadstico propiamente dicho, ya que lo que se entiende por tal, es el anlisisinferencial a partir de muestras aleatorias.

En el segundo caso o anlisis parcial, se pretende elaborar conclusiones sobre latotalidad o poblacin a partir solamente de una parte o muesira de la misma. Estatcnica parcial o no exhaustiva, requiere al menos tres fases diferenciadas pero relacio-nadas entre s, que son: la seleccin de la muestra, el clculo de los estadsticos ocoeficientes muestrales ms adecuados para las inferencias a realizar, y la elaboracinde las inferencias o conclusiones referidas a toda la poblacin a partir de los datosmuestrales.

En cuanto a la seleccin de la muestra puede hacerse bien a juicio o criterio personaldel auditor, bien mediante mtodos estadsticos o de muestreo estadstico proporciona-dos por la Ciencia Estadstica.

Cuando la seleccin de la muestra se deja al criterio del auditor aparecen los mtodosde muestreo o de obtencin de muestras a,jr^^crn o a crit^^rio; mientras que si la eleccinde la muestra se realiza mediante procedimientos que sugiere la Ciencia Estadsticatenemos los mtodos o criterios de rrlttc^srrc^^^ estaclstic^^. Existen tambin procedimien-tos mixtos con mezcla de componentes de ambos tipos.

Sin menospreciar el mtodo de criterio o de juicio, pues a veces da buenos resultados,pero falla por lo rnenos en dos cosas:

-- I^+fo hay forma objetiva de calcular las unidades que formarn la muestra o tamaomuestral.

-- No hay forrna objetiva de elaborar inferencias o conclusiones; ni de asignarles un

^^ r>i rc^ka ti^ !^^^:^to^x^^ F^ti^r -^r^tir ic:-c^ti

nivel de canfianza o de fiabilidad: esto es un porcentaje entre 0% y 100%,, que supongauna valoracin de su posible veracidad.

Sin embargo los Mtodos Estadstieos posibilitan: una formulacin objetiva de clculode tamao muestral; mecanismos aleatorios para la identificacin de los elernentosmuestrales; y, una deduccin objetiva y valorada, mediante un coeficiente de confian-za--fiabilidad, de las conclusiones que se infieren para tada la poblacin.

He aqu algunos ejemplos y cuestiones a dilucidar:

a) C'uando el auditor ha de examinar una cantidad muy grande N de documentas ojustificantes, y no puede hacer un examen c^.thuic.^^tivv o c^c^^^.^ct ^Cuntos elementos odocumtntos tiene que examinar?, ^,Por qu un 10% y no un 1 Sc%, o un 2oc%r?

b) Si los documentos estn clasificados, bien por importes monetarios, bien porcualquier otro mdulo, ^conviene extraer documentos de todos los grupos, o por elcontrario, basta que sean de uno o de varios de los grupos establecidos?. An ms, unavez aclarada la cuestin anterior en cuanto al grupo o grupos, ^cuntos elernentosconviene extraer de cada uno de los grupos seleccionados?.

c) ^Qu coeficientes debe estudiar en la muestra, y cmo debe proyectarlos a latotalidad de la poblacin.?

d) i.Se puede asaciar a las conclusiones algn grado de fiabilidad o de confianza, en-tendiendo por tal un porcentaje, entre el 0% y el 100%, de forma que cuanto ms seaproxirnen al l0U% las conclusiones sean rns veraces?.

Para resolver estas cuestiones, as como otras rnuchas, se precisa del conocimiento delos Mtodos de Muestreo Estadstico, su fundamento, sus posibilidades y sus aplicacio-nes generales y especficas.

Los mtodos estadsticos, una vez fijados los objetivos, proporcionan una serie de di-seos, de los que se obtiene mediante procedimientos lgicos la "rnuc^.ti^tru " a seleccio-nar, as como los "r^.^^tur^strcu.ti ^y^uE^strules " para realizar "lnJE^rPnC^ius c^.staclsticus " medi-das probabilsticamente.

Las muestras obtenidas mediante procedimientos estadsticos se denominan rrrecc^.stru.s^ulc^ut^^rru.^^ u c^.ti^tucl.^^ticus. A stas son las nieas a las que nos vamos a referir. Comovamos a ver, su seleccin se basa en la idea de aleatoriedad. Su obtencin real, seconsigue por la identificacin de documentos originales con ni^mc^rus ulc^uturiv.ti^, bienobtenidos de una tabla de dgitos aleatorios bien generados por un ordenador.

E5TADSTI('A ESPAOI..A

Existen diferentes dise^os o procedimientos de seleccin muestral. Extrada e identifi-cada la muestra, en funcin del diser^o se calculan los estadsticos muestrales sugeridospor la metodologa estadstica y posteriormente se obtienen las conclusiones o inferen-cias sobre la poblacin con una fiabilidad determinada.

Por todo lo anteriormente dicho, en la parte que sigue en esta exposicin vamos aconsiderar los siguientes apartados:

a) Formulacin de objetivos y delimitacin de la poblacin.

b) Eleccin del dise^o y mtodo aleatorio.

c) Clculo del tamao muestral.

d) Seleccin al azar (o aleatoriamente de los items o unidades poblacionales queconstituyan la muestra).

e) Clculo de los estadsticos muestrales necesarios para llevar a cabo la investiga-cin, su proyeccin poblacional e inferencias.

fl Conctusiones.

2. FORMULACION DE OBJETIVOS Y DELIMITACION DE LA POBLACION.

I. En Auditoria suelen realizarse das tipos de pruebas:

a) La.^' s'i^sturltivas, mediante las cuales se pretende estimar y/o contrastar la raciona-lidad de importes {montantes y/o desviaciones) rnonetarios de alguna partida o cuentade un estado cantable.

b) Las de ci^rnplimic^ntu, que si bien pueden relacionarse con desviaciones numricasde los estados contables, fundamentalmente tienden a contrastar si los criterios, contro-les, requisitos, etc., etc., establecidos por la direccin, se cumplen o no; en definitiva 1aeficacia o no del enntrvl intPrno.

Tanto unas como otras pueden abordarse mediante la ^Vfetodologa Estadstica.

En las pruebas de cumplimiento suele establecerse un porcentaje mximo de error, apartir del cual se considera que hay mat^rralidad o error de importancia. La pruebaestadstica correspondiente va dirigida a determinar si a partir del porcentaje de errormuestral obtenido, puede inferirse, si el posible error poblacional supera o no alpreestablecido como indicador de una materialidad; por lo tanto desde un punto devista estadstico consisten en una contrastacin de atributos, y pueden considerarse bien

Al.'DITORA Y MTODOS EST,aDS"TI('OS 39

como un caso de estimacin y/o contrastacin de proporciones, bien dentro de lametodologa del rnuestreo de aceptacin--rechazo o de continuacin-suspensin (go andstop sampling), bien como un caso de muestreo de descubrmiento o exploratorio que esel procedimiento ms expeditivo para identificar poblaciones incorrectas, y tambinmediante la utilizacin de mtodos bayesianos.

Las pruebas sustantivas consisten, bien en la estimacin de un valor, bien en lacontrastacin de la racionalidad de un importe. Son propias de variables y puedenabordarse mediante los mtodos estadsticos de estimacin y contrastacin de variables,con sus diferentes variantes, tanto en cuanto al diseo muestral elegido (estratificado,muesireo irrestricto, sistemtico, por conglomerados, por unidades monetarias, etc., etc. )como a la metodologa utilizada (cisica o bayesiana). Dentro de esta tipologia laprueba ms comunmente realizada en Auditora es la estimacin y/o contrastacin deun "total", corno puede ser por ejemplo una cuenta de existencias, de clientes, etc.,mediante muestreo irrestricto.

II. tJna vez especificada la prueba, bien sustantiva bien de cumplimiento hay quedef nir con todo rigor y precisin la poblacin o conjunto de los elernentos poblaciona-les. Unas veces sern albaranes, otras facturas, otras lneas de un listado de ordenador,otras asientos del libro diario, etc., etc. Tambin se deber especif car la naturalezacualitativa y/o cuantitativa de esos los elementos poblacionales as como el perodo detiempo de referencia.

Dilucidados con todo detalle el tipo de prueba y la poblacin es cuando se puedepasar a las etapas propiamente de naturaleza estadstica y que en cste trabajo, junto a lametodologa estadstica de aplicacin a la Auditora en general, hacemos tambinreferencias al caso concreto de estimacin y/o contrastacin de variables rnediantemuestreo irrestricto, con la finalidad de estimar el valor total de una cuenta, o bien,contrastar la racionalidad de un importe que figure registrado en Contabilidad.

3. EL PROBLEMA DEL DISEO

Formulados los objetivos, y especificada la poblacin, hay que elegir el diseo 0mtodo aleatorio a utilizar, cuya eleccin puede depender adems de si la prueba essustantiva o de cumplimiento:

-- de la propia estructura de la poblacin.

-- del nivel de confianza y de la precisin deseados, y

del coste de la operacin.

E:STr1[)S T ll^^r7 E:SF' ^^It)t_r^

La metodologa Estadstica ofrece diferentes diser^os, algunos vlidos para los dostipos de pruebas, otros salo para uno. Como acabamos de indicar en el epgrafe 2., dosson los rntodos estadisticos generales utilizados;

a) Los correspondientes a la estimacin y contrastacin estadstica de variables y/oatributos, y los mtodos de

b) aceptacin-reehazo, suspensin-continuacin, (o go-stop sampling) y su caso par-ticular muestreo de descubrimiento o exploratorio.

Dentro de ellos, puede hacerse un anlisis partiendo nica y exclusivamente de lainformacin muestral, o, anlisis cisico; a bien utilizando aderns una determinadainformacin inicial, o anlisis bayesiano. Tambin pueden ser utilizados, fundamental-mente dentro de la estimacin de variables, los mtodos indirectos corno los de diferen-cia, razn y regresin.

Aunque los mtodos bayesianos van introduciendose paulatinamente, los mtodosestadsticos ms utilizados hoy por hoy en Auditora son los clsicos; utilizndose los deaceptacin-rechazo (y descubrimiento) para contrastar atributos, y los de estimacin ycontrastacin tanto para estimar como para contrastar variables y/o atributos.

La metodologa de estirnacin-contrastacin es ms completa que la deaceptacin-rechazo, pero exige ms requisitos.

Elegida la metodologa general, existen sabre todo para la estimacin de variables,diferentes dise^os de seleccin muestral y consecuentemente distintas aproximaciones encuanto a las inferencias poblacionales. No vamos a hacer una descripcin general detodos e11os, pues es ms bien propio de un libro sobre Muestreo Estadstico. Basta saberque para cada uno de ellos la metodologa estadstica proporciona la forma de extraerla muestra, los estadsticos muestrales a utilizar y sus propiedades, as como las inferen-cias posibles y su fiabilidad {vase por ejemplo ^ochran, 1977). Nosotros tan solovamos a realizar algunas consideraciones muy generales y entresacar algunos aspectospeculiares en la prctica de la auditora mediante muestreo.

El procedimiento de muestreo ms elemental desde un punto de vista estadstico es elde muestreo aleatorio simple, en el que, cada muestra posible de tamao n, debe teneruna misma probabilidad de ser extrada, as como cada elemento de la misma probabili-dad de ser seleccionada para formar parte de la muestra; segn que un mismo elementopoblacional pueda o no aparecer repetido en una misma muestra, se denomina restrictoo irrestricto. En el caso de poblaciones infinitas no tiene sentido su diferenciacin, peroel caso de poblaciones finitas (Vase R. Escuder y S. Murgui, 1983) que es el que sepresenta en Auditora, debe utilizarse el muestreo aleatorio simple sin reposicin o

Al_'UITORA Y MTO[X)S FS^I ADST I('O:ti ^

irrestricto, por razones obvias. De las condiciones definitorias del procedimiento queson las que acabamos de enunciar e introduciendo algunos supuestos sirnplificadoressobre la poblacin a analizar la Ciencia Estadstica proporciana la frmula para laobtencin del tamao rnuestral, los estadsticos a utilizar, as como las posibles inferen-cias (estimacin y/o contrastacin).

Otros diseos ms complejos san:

a) Particionar la poblacin U={u^} en partes y muestrear dentro de cada una de ellaso Muestreo Aleatorio Estratificado.

b) Particionar la poblacin U, en partes, y muestrear con dichas cldses o partes y nocon unidades. Este mtodo se denomina muf^strc^o ulc^atorrc^ por rvn,^,xlr^mc^rc^c^ns, yadmite como caso particular el procedimiento denominado muc^strc^o ulc^utc^ric^ .si.^tc^m-tieu, y el de rc^plic^ac^icn. (Vase Deming 1960).

c) Generalizar el proceso descrito en b) en n etapas, en cuyo caso tenemos eln^t^c^strc^c^ alc^atoric.^ pvliE^tpicv. E1 easo ms estudiado es el hic^tpicc^, tambin eonoeidocon el nombre de muYStre^ pvr c^n^Ic^meradc^s cvn st^hmrcc^str^c^, siendo el muc^streU porc^vn,^lc^mc^raclc^.^^ (simplc^) un caso particular.

d) Finalmente podemos considerar tambin los llamados procedimientos de unidadmunc^taric^, que utilizan el diseo irrestricto o sistemtico, pero no con probabilidadesde seieccin iguales para cada elemento o unidad muestral, sina proporcionales a susimportes monetarios estadsticamente, muestreo con probabilidades proporcionales altamao, (vase por ejemplo Arens y Loebbecke, 1981).

^4. DETERMINACIN DEL TAMANO MUESTRAL

Como hemos indicado anteriormente, la metodologa estadstica permite elaboraruna frmula o expresin objetiva para el clculo de tamao muestral. Esta deper^cie deltipo de diseo, y de especificaciones concretas dentro del mismo. En general dependedel tamao poblacional N, del error o precisin E deseado y del nivel de confianza ofiabilidad (1-a) exigido.

En el diseo irrestrictamente aleatorio, que es e1 ms sencillo la expresin del tamaomuestral para la estimaciQn o contrastacin de variables es:

ESTADSTI

At1DI^TORA Y M^TU[X)S FSTAU^STIC'OS

introduciendo el parmetro o coeticiente:

4i

_ --- o~ (6 )N- 1

N

que puede denominarse euasivarianza poblacional, se obtiene como intervalo I,_^ parala media poblacional de nivel de confianza, cuando irz ( o^) es conocido:

1 ^_a ^`' [ .x - t^ 1 _ nj NQn

.x + tx i _ _ .._..._..^ N ^

y finalmente llamado error o precisin (por defecto y por exceso) a:

E.-!z 1 -n =^ N ^

elevando al cuadrado y haciendo operaciones se obtiene:

n=

E 1+-

QQ +

($)

(4)

esta expresin proporciona una forma objetiva de obtencin del tamario muestral, enfuncin del nivel de confianza { 1-a), precisin unitaria E deseada, y tarnao poblacional N.

Obsrvese que con (9), queda dilucidado para un caso concreto, uno de los problemasque se le plantean al auditor en el caso de utilizar informacin parcial y no exhaustiva.La interpretacin emprica del nivel de confianza, o' fiabilidad, la hacemos en elapartado siguiente. Ahora solo hacemos un comentario en cuanto a la expresin:

E

Q

Q

o razn del error unitario a.la cuasidesviacin tpica.

E^sTA[)STI('.^ E^SP.Ayt)l :A

En general la des^fiacin tpica pohlacional ^r (o hien la cuasidesviacin tpica ^r) no seconoce y hay que estirnarla, pero para estimarla se necesita una muestra y como hemos

visto para obtener el tamao muestral, se precisa la desviacin tpica. En definitiva seproduce un crculo vicioso que se rompe as:

-- Si no se conoce la desviacin tpica poblacin, se estima a partir de una muestrade tamaa pequeo, alrededor de 36, o un poco ms segn los casos. Estaestimacin de la desviacin tpica (o de la cuasidesviacin tpica) la denominare-mos "inicial" y salo se utilizar para el elculo de n a partir de la expresin (9),

A

de ah que aparezca r^l, en ( 1). Para su estimacin puede utilizarse tanto s, como s,o tambin el resultante del mtado del rango o recorrido ( vase para este ltimoArkin 1.974). (*}

- Obtenido el tamao muestral definido n, a partir de ( 1 } se procede a calcular losestadsticos adecuados para realizar las inferencias oportunas a partir de (7) comoveremos ms adelante.

En todo el proceso del diseo muestral, conviene no olvidar que las estimaciones y ocontrastaciones de variables tiles para Auditora en general son ms bien sobre totalesy no sobre medias. Gomo veremos en el apartado sexto de este trabajo, del intervalo (7)para la media fcilmente se obtiene otro para el total, y que la frmula (1) para elclculo del tamao rnuestral sigue siendo vlida teniendo en cuenta que E es el error oprecisin respecto de la media y no respecto del total.

Por otra parte el tamao muestral "n" deducido de (1 }, no debe considerarse definiti-vo, puesto que la precisin E' realmente obtenida, puede no ser igual (y en general no laes) a la inicialmente establecida E, debiendo tomar una muestra complementaria encaso de ser necesario mejorar E'.

Finalmente debemos indicar que desde un punto de vista estrictamente estadstico, noes necesaria frmula alguna para el clculo del tamao muestral puesto que ste puedeser un nmero cualquiera, fijado arbitrariamente; lo que si que es preciso es o,ue lamuestra se extraiga aleatoriamente, segn los requisitos del diseo utilizado (vaseapartado siguiente), pero de esta forma, la precisin E' realmente obtenida, puede diferirmuchsmo de la inicialrnente propuesta E.

(*) Por s y sdentamos respectivamente a la desviacin tpica y a la cuasidesviacin tpica de lamuestra (vase b.2.).

Al^f)itt)FtA Y' Mf:TC)D()SE^I.A[)STI

46 ESTADISTICA ESPAOLA

I11.- La identificacin de los documentos, justificantes, asientas, etc., etc., que forma-rn parte de la muestra, exige una prenumeracin de las mismos, o bien aprovechar lanumeracin que dichos documentos posean.

Si el nmero de documentos o justificantes de la poblacin, es un mltiplo exacto del0, por ejemplo k, habr que utilizar series de k dgitos aleatorios. Si est entre dosmltiplas k' ^ k", habr que tomar series de k" digitos aleatorios, pero en la seleccinhabr nmeros que se debern despreciar por no corresponderles documento o justifi-cante original alguno.

Pueden presentarse adems muchos casos singulares. Por ejernplo, si los documentosestn clasificados por, semanas, meses, y dentro de cada perodo numricamente, pue-den tomarse dos vas de accin equivalentes para asegurar la aleatoriedad:

a) Considerar dos series diferentes de nmeros aleatorios, una para los perodos, yatra para los nmeros o documentos de cada perodo.

b) Utilizar tablas de semanas o meses aleatorios, para los perodos (en caso de sersemanas o meses) y tablas de dgitos aleatorios para la numeracin.

Si se tratara de asientos en el libro Diario, o listados de ordenador, puede utilizarsetambin dos series diferentes de nmeros aleatorios, una para identif car las pginas yotra para los asientos o lneas de cada pgina, etc. etc.

Tambin se usan artificios para hacer la seleccin aleatoria ms rpida, ordenandopreviamente los nmeros aleatorios extrados; pero hay que tener cuidado de no perderla secuencia aleatoria ariginal, pues hay procedimientos estadsticos, como el del rangomedio para estimar la desviacin tpica, que precisa la secuencia aleatoria original.

6. OBTENCION DE LOS ESTADISTICOS O COEFICIENTES MUESTRALES. SUPROYECCION POBLACIONAL. INFERENCIAS.

I.- Identificada la muestra, la Ciencia Estadstica, para cada diseo nos indica: loscoefieientes muestrales a calcular, cmo proyectarlos a la totalidad de la poblacin, ycmo asignar un ndice de fiabilidad, a dichas proycciones.

En el caso de variables y dentro de los problemas concretos de Auditora, normal-mente se trata, como ya hemos indicado anteriormente, de estimar y/o contrastar unimporte (t^tal) de una cuenta. Por lo tanto Ilamando N al nmero total de elementospoblaci^nales (nmero de clientes, nmero de partidas de un inventario etc.) se sigueevidentemente que

Total poblacional - N . m (10}

Alt)ITORA Y MFTO[?OS FSTA[^STIt^Os 47

y tdcilmente se demuestra que el estadstico muestral a utilizar para estimar y/ocontrastar ese parmetro (vase Cochran 1977) no es el total muestral "n ..^" sino:

N -z^ (1 1)

y dado que .^r es una variable aleatoria asociada al proceso de muestreo con media yvarianza especificadas por (3) y(4), recordando las propiedades estadsticas ms elemen-tales de los momentos de una disiribucin tendrernos que:

E(N.^^)=N.rrr (l0')

D`' ( N . .Y) - N ' (1-Jjrt

rtdonde.J^= - (fraccin de muestreo).

N

luego suponiendo vlida la aproximacin normal, el correspondiente intervalo de fiabi-lidad o de nivel de confianza aproximadamente igual a ( 1-a), para el total poblacionalser:

jt r^ ' n ^I ^-^ = ( N -Y - Ix N 1 - -- - ; N_Y + t^ N 1 - -- ----) (12 )' N n ^ N r^

Llamando E' al error por defecto o por exceso de la estimacin tendremos:

E' = 1 x N^

y por lo tanto la relacin entre E' y E es:

E=E^=t _n ^x lN 2 N n

(13' )

por lo que se justifica que la expresin ( 1) para el clculo del tamao muestral es vlidatanto para medias como para totales. La nica salvedad es que si el dato es E' en (1)

E'debe sustituirse E por --N

El intervalo ( 12} posee una probabilidad aproximadamente igual a( l-a) de incluir alverdadero total poblacional desconocido N. m, y por ello se dice que despus de sacada

48 ESTA[^STIt^y^ E.:SPr^(^l.A

la muestra y evaluado el intervalo (12) hay una confianza en tanto por uno de ( I-x) deque dicho intervalo contendr al verdadero valor.

Debido a la simetra de la distribucin normal, los intervalos

( ^ - ^;,^`'1 1 - n= N

a,

n

^

I^ + t,^,N 1 _ n ^ )^ N n

poseer^n un nivel de conf anza (1 - a).2

(15}

lI.- En cuanto a los estadsticos muestrales a utilizar, se desprenden de (12), as comode las propiedades estadsticas de los estimadores de poblaciones finitas (Vase Azorn(1969), y S. Crespo ( l 9$0) ).

Dado que el estimador insesgado del total poblacional N. m, es N..-^, siendo :x^ lamedia muestral:

X-

n

^ x;'r_-1 (16)

y que en general no se conoce, siendo el estimador insesgado de Q`' la cuasivarianzamuestral

n

^ (X; - -^);_ ^n -1

se utili

At^ C)I T^OR^A 1' MTOCX)S ESTADSTi( ()S ^y_

_

_ -_ _. _ .. _

aunque tambin puede usarse .^^, o bien el resultado de estimar desviaciones tpicas porel mtodo del ran^o o recorrido medio (Vase Arkin, 1974).

lll.- ^videntemente la proyeccicn poblacional ser:

.1'( N ^x -- t^N l-^-^----; N^x + t,^N 1- n--)^ N n ^ N rr

(19)

expresin que se obtiene sencillsimannente a partir de (12) y sustituyendo i^`' por su.estimacin insesgada .^^'. La expresin (19} es un intervalo de posibles valores para eltotal poblacional, que tiene asociada una confianza, (1--a), de incluir al verdadero totalpoblacional N x m, ya que la correspondiente expresin ex--ante, (Vase 7.4.), teniendoen cuenta (5), (6), (1Q') y(1 1'), es:

P N X- t^ ^ 1- n-=< NXm < N X+ t^ 1- n-?- = 1-a (19')^^ N^ ^ 1'J^

IV.- La metodologa que hemos expuesto est basada en la teora de intervalos deconf anza. Sin embargo, la mayora de las veces, el auditor tiene que tomar una decisinracional sobre un determinado importe monetario con referencia a una materialidadpreestable^ida, o bien sobre un ratio o porcentaje; lo cual desde un punto de vistaestadstico presupone utilizar la teora de los contrastes de hiptesis. Para adaptar estaproblemtica al esquema descrito en los subapartados anteriores, necesitamos hacerunas consideraciones adicionales.

Para aceptar o rechazar un importe monetario (registrado en los libros de contabil^-dad, o supuesto) resp^ecto de una determinada materialidad, y anlogamente cuando setrate de un ratio, el auditor necesita conocer adems de dicho importe: la cifra (o ratio)de la materialidad; la probabilidad {o riesgo} "a" de cometer un "error tipo I", oprobabilidad de decidir incorrectamente que hay un error material cuando de hecho nolo hay (conviene observar que es igual a la unidad menos el nivel de confianza delintervalo correspondiente); y la probabilidad o riesgo "i3" de cometer un "error tipo II",o de de^idir incorrectamente que no hay materialidad cuando de hecho la hay. Laforma ms clsica de visualizar esos dos tipos de errores y sus probabilidades son:

SU ESTAnSTIf'A ES^.AOLA__ _

RFq ^^^^isiLlp,^b D^V NQ MATERIALIDAD MATERIALIDAD

^10 DECISII^N: CORRECTA DEC1S1iJN: INCORRECTA(ERR(JR TIPO 1}

MATERIALIDAD PRCJBABILIDAD: "t - a" PROBABILIDAD: "a"

DECISION: 1NCORRECTA DECISION: CORRECTAMATERIALIDAD (ERROR T1P0 11}

PROBABILIDAD: "B" PROBABILIDAD: "1 - [3"

Especificados estos pormenores, el auditor puede aplicar a los contrastes la metodolo-ga aqu descrita, con la salvedad de que el valor E(precisin) de la formula (9) no lopuede establecer libremente, puesto que ahora se encuentra funcionalmente relacionadocon la materialidad {importe o ratio), con "a", y con "C3"; pudindose obtener paracada caso concreto una expresin materntica al menos aproximada (que depender dela distribucin de probabilidad asociada al proceso de muestreo), para la determinacnde E.

Por ejemplo si el auditor tratara de contrastar la racionalidad de un importe (valor deuna cuenta de clientes, de existencias etc.) respecto de una materialidad M, fcilmentese obtiene a travs de la aproximacin normal:

a.-- Que el valor de E a utilizar en (9), f jados "M", "a", y"t3", es:t^

E = M =--ta # l^^

b.-- Obtenida la muestra, calculados los estadsticos muestraies "x" y".^', y el inter-valo (19), se deduce con un nivel de confianza (1-a):

b.l.- Que ha habido sobrevaloracin, si el importe registrado (o supuesto) excedeal extremo superior de (19).b.2.- Que ha habido infravaloracin, si dicho importe es menor que el extremoinferior de (19), yb.3.- Si el susodicho importe pertenece a(19), puede admitirse la racionalidaddel mismo.

c.-- F i proceso b.- puede realizarse anlogamente a travs de (1 d), o(15), siendoentonces e! nivel de confianza (1 -`^.

2.

En todos estos casos el valor efectivamente obtenido de "13", depender de "s" comoms adelante explicaremos.

AIJUITnRfA Y MTODOS ESTApSTIC'OS 51

Controlar los valores "a", y"13", es muy importante para el auditor, ya que en laspruebas donde "a" resulte excesivamente elevado se incurri r en un excesivo riesgo deerror tipo 1, con la posible consecuencia de realizar ms pruebas de auditoria (o lasmismas pero ms rigurosas) que las estrictamente necesarias; rnientras que aceptar lahiptesis nula del contraste con excesivo riesgo de error tipo Il, esto es concluir que nohay materialidad con un desproporcionado valor de "!3", puede acarrear consecuenciasmuy graves para la firrna auditada y consecuentemente para el auditor. Por ello "a"suele recibir en calificativo de riesgo de excesiva (o sobre) auditora ("overauditingrisk"), y anlogamente "13" el de riesgo de no garanta {"unwarranted relidnce risk"),esto es riesgo de confiar en demasia en la potencia {o posibilidad) de detectar errorespor parte det sistema auditado. (Roberts, D. M. 1978).

7. CONSlDERACIONES FINALES.

1.- En todo el razonamiento anterior se ha puesto la aproximacin normal. Evidente-mente el teorema central del lmite establece las condiciones de normalidad paradistribuciones como la media muestral, especifi^ando a su vez las condiciones para cadauna de las variables componentes. Sin embargo las poblaciones de contabilidad, a vecesaparecen bastante sesgadas en cuanto a su simetra, pinsese por ejemplo en una cuentade clientes, en la que posiblemente el nmero de ellos variar de forma inversamenteproporcional a los importes de sus saldos. Algo parecido podramos decir en cuanto alas partidas de un inventario, etc. etc.

Por ello en los casos en los que ia aproximacin normal sea un poco forzada se cl^^h^^intentar introducir tcnicas ms sofisticadas como puede ser 1a de estratificacin, 1^^ ^ieunidades monetarias, etc, etc. O bien dentro del muestreo irrestricto proceder a introdu-cir factores correctares por falta de simetra y/o por apuntamiento excesivo, comosugiere Arkin ( 1982), o utilizar la aproximacin de Tchebychev, como indicamosseguidamente.

En general, aunque la no normalidad si que se tiene en cuenta para la evaluacin oclculo del intervalo ( 19), no se suele introducir en la determinacin del tamaomuestral, que puede seguir calculndose mediante (1) ya- que se considera una expresinorientativa, que en todo caso ser rectificada a posteriori, despus de la evaluacin delintervalo (19).

El criterio sugerido por H. Arkin (19$2), consiste en utilizar los valores tano directa-. 2

mente de la tabla de la distribucin normal reducida, sino a partir de las tablas de E.S.

5? k.ti f" 1f)ftiT 1('^^ F-SP^1^()1...4

Pearson y H.O. Hartley publicadas en I y54, donde los ti^alores t rse corri^en teniendo en

cuenta posibles coefcientes de asimetria positivos y negativo:^ (recurdese que el coefi-^^.^

ciente de asimetra ^, esto es el momento central de tercer orden dividido por larr

desviacin t^pica elevada a! cubo, de cualquier distribucin normai, es cero) y posibles

coeficientes de kurtosis diferentes a las de la normal (recurdese que el coefciente de

kurtosis de cualquier distribucin normal es 0 3 se^n su expresin sea bien el

momento central de cuarto orden ^u4 dividido por desviacin tpica elevada a la cuarta

potencia, bien la expresin anterior menos tres, ya que ^' = 3 para toda distribucina

^normal).

Finalmente el otro criterio alternativo consiste en utilizar los valores de t_xdeducidost

de1 teorema (o mejor dicho), desig,ualdad de Tchebycheff' (vase por ejemplo Arniz(1978). y N.V. Srnirnov (1978) ), con lo que las conclusiones son vlidas para cualquiertipo de distribuein.

Una formulacin de dicha desi^ualdad es:

P[X--kQ

Al;[)I1ORA 1^' M"T^(7[)OS E^ST^1D511( (>S

11.- En cuanto a la determinacin del tamao muestral en los casos de no normali-dad, puede obtenerse la correspondiente expresin a partir de la expresin del intervalo(19) modificado par las correcciones de asimetra y Kurtosis, o bien a partir de la (2 I);pero en general se sigue utilizando el valor que arroje la expresin (1) o un poco rnayorpara corregir el efecto de la no norrnalidad, puesto que utilizar un tamao muestral uotro no invalida para nada el proceso estadstico seguido siempre que la muestra seextraiga segn el diseo ateatorio preestablecido, lo nico que puede ocurrir es que enla evaluacin defnitiva del intervalo resulte un error muy por encima al preestablecido,en cuyo caso habra que rectificar el tamao muestral inicial, hasta conseguir un erraradecuado.

Ill.- Con referencia al clculo de los intervalos de confianza en el caso de no utilizarla aproximacin normal, hay que tener en cuenta que si se toma la primera vaalternativa los intervalos suelen ser ms anchos, esto es menos precisos y si se toma lasegunda va, la desigualdad de Tchebychef^ solo proporciona cotas inferiores de proba-bilidad.

tV.- En cuanto a la evaluacin de los resultadas abtenidos al utilizar mtodosestadsticos en el contexto de Ia auditoria, podemos concluir que su utilizacin essiempre positiva. Ahora bien tanto en el caso de estimacin como en el de contrasta-cin, la definitiva precisin obtenida en (19) es:

.

E"=Nt,^ 1 -n --^' N ^,^ rr

expresin que depende de "'' y por lo tanto puede ser diferente de la inicialmenteestablecida E'.

Si E" < E', significar que la inferencia realizada verifica en demasa las especifi

S4 ES7ADISTIt'A ESPAt?LA

La forma de especificar "a" y"E"' en el caso de estimaein, y"a", "[3", y"M" (o elcorrespondiente ratio) en el caso de contrastacin, desde un punto de vista completa-mente especulativo, podra corresponder al libre albedro del auditor; pero situndonosen el contexto de la auditora, "E"' y"M" (importes o ratios) los especifica el auditoren funcin de su experiencia y de la naturaleza y c^ase de la prueba, mientras que "a" y"f3" dependen, del riesg,o total que desee soportar el auditor en su informe, de laevaluacin del controt interno que inicialmente haga, y de la informacin no estadsticaque el auditor pueda obtener de comparaciones con otras situaciones anlogas (Stringer,K, W. I 9?5}; an ms, Roberts D. M. (19?8), insiste en que el auditor siempre deberavalorar conjuntamente tanto los riesgos de utilicar muesiras (estadisticas o a jucio)como los na-muestrales o pasibilidad de que el sistema falle en encontrar defectos ananalizando todos los elementos de las correspondientes poblaciones. Evidentementetambin tendr que tenerse en cuenta el posible coste asociado al tamao muestralresultante.

T.M.F'. Smith (197b) indica que la mejor forma de utilizar la totalidad de la informa-cin es a travs de la metodologa bayesiana, y as lo hace en un recientsimo trabajo encolaboracin con R. W. Andrews (1985), continuando la va iniciada por Cox D. R.{1979).

Alternativamente, existen criterios que pueden ayudar al auditor a establecer losadecuados valores de "a" y de "B", corno puede verse en Willinham J. J. { 19? 1) para"a", Elliott R. K. (1972) para "t3", y en general en los S.A.S. (Statemens on AuditingStandars) de la A.I.C.P.A. (American Institute of Certified Public Accountants).

AIDITORA Y MT^[X)S ES'TADSTI('OS

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SU M MARY

AUDITING AND STATISTICAL METHODS: GENERALMETHODOLOCY AND SUBSTANTIVE TESTING ANALISISTHROUGH THE ESTIMATION OF VARIABLES

In this study we shall try to give a general idea of the usefulneti^ ot'Statistical Sampling in the Auditing of Financial Statements. The basicaspects of inethodology have been put nto five separate groups and withineach of these, operative reference is made to the basic problem ofestimation and testing of statistical hypotheses on variables (means andtotals) by means of the statistical process of unrestricted sampling of finitepopulations.

k'^^^ ^urcis: Auditing, accaunting, sampling, sustantive test, compliance test,random sample, fiability, confiance interval, sample statistics,evaluation.

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