Aula 5 - Bases

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena – EEL

ALCV

Bases

MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq

2012Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq2

ROTEIRO

Bases

• Dimensão e Base

• Coordenadas e Mudança de Base

• Bases Ortogonais

• Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt )

• Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.


ROTEIRO

Bases




• Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) •



Dimensão e Bases - Conceito

Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “gera” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”;

A DIMENSÃO do espaço é o NÚMERO DE ELEMENTOS desta base.

Conjuntos Geradores BasesBases

Conjuntos LI



Tendo em vista o conceito apresentado anteriormente, temos que responder duas questões para se definir uma base:

1- O que são vetores LI ?

Esta pergunta já foi respondida nos capítulos anteriores de nosso curso.

“Quando um vetor puder ser escrito com sendo a combinação linear de um conjunto

de outros vetores, este conjunto de vetores é chamado de LINEARMENTE

DEPENDENTE (LD). Caso contrário, os vetores são denominados de

LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI)”



A segunda questão pode ser enunciada conforme segue:

2- Como saber se um conjunto de vetores LI “gera” um espaço U ?

Um conjunto de vetores LI gera um espaço W quando TODOS os vetores deste espaço puderem ser escritos como sendo uma COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores LI que constituem a referida base;

Ou seja, o espaço vetorial W é constituído por TODAS as combinações lineares dos vetores que compõe uma dada base S:

nnVVVSspanW ...)( 2211


Exemplo 1.1

Demonstre que os vetores geram , sendo:

De acordo com o conceito apresentado anteriormente, devemos determinar se um

vetor arbitrário pode ser escrito como uma combinação linear dos

vetores .

e , 321 VVV 3R

e , 321 VVV

3

2

1

uuu

U

102

e 210

,321

321 VVV


Exemplo 1.2

Ou seja, devemos verificar se:

O problema se reduz em provar que o sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO.

3322113 VVVURU

3321

221

131

2 3 2

2

uuu

102

e 210

,321

321 VVV

3

2

1

uuu

U


Exemplo 1.3

Desde que:

O sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO e tem solução única para todo valor de U.

Portanto, os vetores geram

3321

221

131

2 3 2

2

uuu

0123012201

e , 321 VVV3R


Exemplo 2

Determine se o conjunto de vetores é LI, sendo:

O conjunto contém apenas dois vetores. Estes serão LD quando um vetor

for múltiplo do outro. Caso contrário, eles serão LI.

Claramente, o conjunto é LI.

, 21 VV

56

12

021

21 VeV

, 21 VV

, 21 VV


ROTEIRO

Bases

• Espaços Vetoriais







Coordenadas

Seja B uma BASE do espaço vetorial V e X um vetor pertencente a V. Logo, vale afirmar:

sendo

Os escalares são chamados de COORDENADAS de X relativas a

base B.

nnVVVX ...2211

nVVVB , ... , , 21

n ,...,, 21


Exemplo 3

Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B, sendo:

Aplicando a definição:

É fácil perceber que: , ou seja, as

coordenadas de X , na base B, são dadas por:

3,1,2X 3R

nnVVVX ...2211

1,0,00,1,00,0,13,1,2 321

1,0,030,1,010,0,123,1,2

312

][ BX

1,0,0,0,1,0,0,0,1B


Exemplo 4.1

Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B.

Aplicando a definição:

Chegaremos no sistema:

1,2,1 X 3R

nnVVVX ...2211

5,3,22,1,01,0,11,2,1 321

5,3,2,2,1,0,1,0,1 B

121

521310201

3

2

1


Exemplo 4.2

Cuja solução será as COORDENADAS de X relativas à base B

121

521310201

3

2

1

285

][

3

2

1

BX


Exemplos 5 e 6

5) Seja a base . Determine as coordenadas do vetor v na base B

sabendo-se que:

6) Sejam e duas bases de R2. Determine as

coodenadas de B’ em relação a B e as coordenadas de B em relação à B’.

2,0,1,1B

52

v

2

32

Bv

4,3,1,2 B 1,0,0,1'B

'11

111

401

B

'11

211

310

B


Subespaços Gerados por Bases

Desde que, por definição,

“Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “GERA” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”,

Surge a questão: Determinar o SUBESPAÇO gerado por um CONJUNTO DE VETORES !!!


Conjuntos LI



Considere o subespaço de R3 gerado pelo conjunto de vetores:

A descrição de S como espaço gerado NÃO DEIXA CLARO se S é TRIVIAL ou uma RETA que passa pela origem ou um PLANO que passa pela origem !

Qual é o procedimento para estabelecer esta descrição (trivial, reta ou plano) do subespaço gerado?

1,2,2,1,0,3,1,2,1 B



Por definição: 1,2,2,1,0,3,1,2,1 B

1,2,21,0,31,2,1,, cbazyx

nnVVVX ...2211


Mudança de Base

Os exemplos anteriores ilustram a metodologia de obtenção das coordenadas de um dado vetor referenciado à uma base B;

Observa-se também que um espaço vetorial pode conter mais de uma base. Obviamente, para cada base, o vetor em análise apresentará diferentes coordenadas.

Este fato leva à questão: Existe uma correspondência entre as BASES que geram um dado espaço vetorial??? Em outras palavras, qual a relação matemática que exprime esta correspondência ?


Conjuntos LI


Matriz de Mudança de Base: TL

Considere duas bases associadas ao espaço vetorial V, denominadas de B e B’.

Vamos supor que EXISTE UMA RELAÇÃO entre os vetores das respectivas bases, ou seja:

O que significa dizer:

},{

},,{'2

'1

21

VVB

VVB

dc

Vba

V BB ][ e ][ '2

'1

21'2

21'

1 ,

dVcVV

bVaVV



Considere o VETOR pertencente à base B’:

Então, substituindo as relações anteriores, tem-se:

2

1][ ,kk

V Bvv

221121

212211

'22

'11

)()( )()(

VdkbkVckakdVcVkbVaVk

VkVk

v

21'2

21'

1 ,

dVcVV

bVaVV



Esta expressão pode ser escrita na forma matricial conforme segue:

ou seja:

221121 )()( VdkbkVckak v

2

1

21

21 kk

dbca

dkbkckak

Bv

''2

'1 BB VV vv

Coordenadas do vetor v na base B’.

2

1][ kk

Bv



A expressão deduzida anteriormente estabelece uma relação matemática entre as bases B e B’;

É interessante observar a MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO é gerada a partir do conhecimento entre os respectivos vetores constituintes das bases;

Esta matriz de transformação é dada por:

sendo A '

dbca

BB

'' BBBB A vv

Matriz de Mudança de Base

Base B’ para a base B

21'2

21'

1 ,

dVcVV

bVaVV


Exemplo 5.1

Considere as bases B e B’ no . Determine:

Matriz de mudança de base de B’ para B;

Matriz de mudança de base de B para B’;

As coordenadas do vetor na base B.

22

,21

'

,2

4,

23

B

B

2R

21

'

BV


Exemplo 5.2

Matriz de mudança de base de B’ para B:

A partir da definição, tem-se:

Portanto:

Na forma matricial: e

22

,21

'

,2

4,

23

B

B21'2

21'

1 ,

dVcVV

bVaVV

242322

,242321

dcba

21

2243

ba

2

222

43dc


Exemplo 5.3

Resolvendo o sistema, tem-se:

22

,21

'

,2

4,

23

B

B

21

2243

ba

2

222

43dc

1223

' dbca

ABB


Exemplo 5.4

Matriz de mudança de base de B para B’:

Desde que , tem-se que:

1223

'BBA

3221

1223 1

'BBA


Exemplo 5.5

As coordenadas do vetor na base B

A partir da definição:

Ou seja:

Apenas reforçando, as componentes de V na base B são

21

'

BV

'' BBBB VAV

01

21

1223

BV

01


ROTEIRO

Bases

• Espaços Vetoriais







TRABALHOS

1-Resolução de Equação 3º grau

2-Demonstração do Método de Kramer

3-Aplicação de Matriz de Mudança de coordenadas:Cilíndrica <> Cartesiana

4-Aplicação de Matriz de Coordenadas:Esférica <> Cartesiana

5-Aplicação de Matriz de Coordenadas:Esférica <> Cilíndrica

6-Números de Fibonacci e o conceito de Autovalores/Autovetores

7-Aplicação de Tranformações Lineares : Elipse Hipérbole Parábola

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