Autómatas y Lenguajes Formales

Práctica 7 y 8

Tips

UNLaM

2

Computabilidad

Modelo de Cómputo : MAQUINA DE TURING

• Nos otorga el marco formal , teórico . Independiente de la máquina, el lenguaje y el compilador

• Define los límites de la computabilidad

• Tesis de Turing : Si una Máquina de Turing no resuelve un problema entonces ninguna computadora

puede hacerlo.

• Tesis de Church: las funciones parciales son la clase de funciones que cualquier sistema computacional

puede calcular

• Tesis de Church Turing: las funciones parciales son aquellas funciones que pueden computarse por

Máquinas de Turing y vicerversa.

Computabilidad : Funciones Parciales y Máquina de Turing

MÁQUINA DE TURING

COMPUTA

FUNCIONESRECONOCE

LENGUAJES

PUEDE

NO

PARARFUNCIONES

PARCIALES

LENGUAJES

RECUSIVAMENTE

ENUMERABLES

LENGUAJES

RECURSIVOS

O

DECIDIBLES

SIEMPRE

PARA

PUEDE

NO

PARAR

FUNCIONES

RECURSIVAS

PRIMITIVASSIEMPRE

PARA

Computabilidad

Teorema Para toda función parcial existe un programa en un lenguaje

esencial para computar dicha función

Cualquier otro lenguaje que tenga las propiedades del lenguaje esencial es un lenguajeTuring Completo.

Hay una equivalencia entre :

Funciones Parciales

Máquina de Turing

Lenguaje Esencial

Computabilidad

Problemas DecidiblesALGORITMO

Lenguajes Recursivos y

Funciones S-computables totales

Halting Problem

Teselación del Plano

Problemas Indecidibles

Funciones parciales ,Leng. Recursivos Enumerables

y Funciones S-computables parciales

Lenguaje MT

Universal

Siempre podemos hacer un programa (proceso)

para un lenguaje computable

Si lo implementamos y no para → indecidible

Si lo implementamos y para → decidible

En este último caso el programa es un ALGORITMO

Problemas No Computables

Computabilidad

Practica 7 -Ej 1 : f(x) = 3x

[A] IF X ≠ 0 GOTO BZ Z + 1IF Z ≠ 0 GOTO E

[B] X X – 1Y Y +1Y Y +1Y Y +1Z Z +1IF Z ≠ 0 GOTO A

6

Solo se pueden hacer operaciones básicas y las comparaciones son contra cero

Practica 7 -Ej 2 : Macro x1+x2

Y X1Z X2

[B] IF Z ≠ 0 GOTO AGOTO E

[A] Z Z -1Y Y + 1GOTO B

Las macros las desarrollamos para poder utilizarlas en otros programasEn este ejemplo hay dos macros que son Y X1y la macro GOTO

Computabilidad

Practica 7 -Ej 5 : f(x1,x2) 1 si x1=x2

0 cc

Z1 X1Z2 X2 uso la macro x2 X1

[A] IF Z1 ≠ 0 GOTO BIF Z2 ≠ 0 GOTO CY Y + 1GOTO E Y queda en 1

[C] GOTO E Y queda en cero[B] IF Z2 ≠ 0 GOTO D

GOTO E Y queda en cero[D] Z1 Z1 -1

Z2 Z2 -1GOTO A

7

Esta es una función TOTAL porque está definida para todo el dominio

Los resultados van a Y

TestingX1 X2 Z1 Z2 Y1 2 0 0 0

1 2 0 1

TestingX1 X2 Z1 Z2 Y2 2 0 0 1

2 2 1 10 0

Computabilidad

Practica 7 -Ej 8 : f(x) √ x si x es un cuadrado perfecto

cc

[A] Z1 Z1 +1Z2 Z1*Z1 uso macro X1*X2IF Z2 = X GOTO B uso macro X1=X2GOTO A

[B] Y Z1

8

Esta es una función PARCIAL porque no está definida para todo el dominio (los x que no son cuadrados perfectos)

Testing

X Y Z1 Z24 0 0 0

1 12 42

Testing

X Y Z1 Z25 0 0 0

1 12 4

3 9 entra en loop

Complejidad

9

Nos enfocamos en los problemas decidiblesdonde los procesos se detiene siempre dando unarespuesta de decisión SI o NO. Estos procesos selos denominan ALGORITMOS

Problemas

Decidibles

ALGORITMO

Otra vez nuestro modelo de cómputo es laMáquina de Turing que se va a detener en unestado de aceptación SI o en un estado de rechazoNO.

Un algoritmo es un proceso para resolver unproblema, con una secuencia finita de pasos y quetermina en un tiempo finito.Siempre debe dar una respuesta

Complejidad

10

Nos interesa estudiar la complejidad de unalgoritmo para medir su eficiencia frente a otroalgoritmo sobre todo cuando estamos frente aentradas de tamaño considerablemente grandes.

La complejidad de un algoritmo es una funciónque representa el tiempo de ejecución en funcióndel tamaño de su entrada.Entonces queremos tener una estimación de comocrece el tiempo de ejecución de un algoritmocuando crece el tamaño de las instancias de laentrada.Lo importante es la cantidad de operacioneselementales ejecutadas y no el tiempo que seemplea en cada una de ellas.

El modelo de Turing representa la función en lospasos que realiza la máquina para un entradadeterminada

El tamaño de una instancia corresponde alnúmero de bits necesarios para representar lainstancia en una computadora . Va a depender delalfabeto y de la base utilizada.Ej. Para almacenar n se necesita la longitud den = |log2 (n) | + 1 dígitos binarios.Para almacenar una lista de m enteros, senecesitan long(m) + m long(N) dígitos binariosdonde N es el valor máximo de la lista.

Complejidad

11

Para expresar el comportamiento dela función para valores grandesusamos la cota superior llamada Ogrande o Big O

Un algoritmo es eficiente si su comportamiento es polinomial.Entonces un problema está bien resuelto si existe un algoritmo decomplejidad polinomial para resolverloHay problemas para los cuales no se conocen algoritmos polinomialesque los resuelvan

i= 1 1 pasowhile i <=n n+1 pasos comparación (n veces + 1

comparación más del n+1 Ej : de i=1 a 3 son n pasos + la comparación cuando n es 4)

s= s+ i……. 2 pasosi = i +1 2 pasos n veces

goto while 1 paso

Total For : 1+ (n +1) + 5 n =6n+2

Complejidad

12

Practica 8 -Ej 3 : Definir la función de pasos

int sumatorio (int n){ int s, i;s = 0; // 1 paso

for (i=1; i<=n; i++) // 6n+2 pasoss = s + i;

return s; / 1 paso

}

T(n) = 6n + 4 El algoritmo sumatorio tiene una complejidad lineal del orden (n)

Los ciclos pueden estar en alto nivel o ser un for, entonces siempre lollevamos a un ciclo while

Complejidad

13

Practica 8 -Ej 6 : Doble ciclo

#define M 10#define N 20void suma_matrices(double a[M] [N], double b[M] [N], double c[M] [N]){int i,j;for (i=0; i<N; i++)

for (j=0; j<M; j++)c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];

i=0 1 operación

while (i N) N+1 comparaciones

j=0 1 operación

while (j M) M+1 comparaciones

cij = aij + bij suma y asigna 2 operaciones

j= j+1 suma y asigna 2 operaciones M veces N veces

goto whilej 1 operación

i=i+1 suma y asigna 2 operaciones

goto whilei 1 operación

Ciclo interno : (M+1) + 5 M 6M+1

Ciclo externo : 1+ (N+1) + [1 + (6M+1) + 3] * N = 1+N+1+N+6 (M*N)+N+3N = 6 (M*N) + 6N + 2

T(n) = 6 (M*N) + 6N + 2

El algoritmo doble ciclo tiene una complejidad lineal del orden (n2)

Complejidad

14

Practica 8 -Ej 9 : For especial

FOR Variable IS RANGE n {STEP cte} NEXT Variable

Ejemplo: FOR a1 IS RANGE n {STEP 2} … NEXT a1

a1=0 1 paso

while (a1 menor n) itera n/2 veces (n/2 + 1 comparaciones)

a1= a1 + 2 suma y asigna 2 operaciones que se hacen (n/2) veces

goto while 1 operacion n/2 veces

Total : 1 + (n/2) + 1 + 3 (n/2) = 2 + 2n

T(n) = 2n + 2El algoritmo sumatorio tiene una complejidad lineal del orden (n)

Los ciclos pueden estar en alto nivel o ser un for, entonces siempre lollevamos a un ciclo while