AVISO IMPORTANTE - Universidad de Castilla

Coordinación de la EvAU en la UCLM

Materia: MATEMÁTICAS II

Curso 2019/2020

AVISO IMPORTANTE

I. Currículo de Bachillerato en Castilla-La Mancha.Matemáticas II.

Los contenidos de referencia de la Evaluación para el Acceso a la Universidad (EvAU) seránlos establecidos en el Decreto 40/2015, de 15/06/2015, por el que se establece el currículo deEducación Secundaria Obligatoria y Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Castilla-LaMancha. [2015/7558].

(Decreto 40/2015 de 15/06/2015, DOCM nº 120 de 22-06-2015. Concretamente lo referente a lamateria de Matemáticas II de 2º de Bachillerato.)

A continuación se incluye la tabla de la materia de Matemáticas II de 2º de Bachillerato dondese presentan los contenidos, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje publicadosen el Decreto 40/2015 de 15/06/2015 correspondientes a los Bloques:

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.

Bloque 2. Números y Álgebra.

Bloque 3. Análisis.

Bloque 4. Geometría.

Bloque 5. Estadística y Probabilidad.

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Matemáticas II. 2º Bachillerato

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

Planificación del proceso deresolución de problemas.

Realización de investigacionesmatemáticas a partir de contextos dela realidad o contextos del mundo delas matemáticas.

Elaboración y presentación de uninforme científico sobre el proceso,resultados y conclusiones del procesode investigación problemas.

Estrategias y procedimientos puestosen práctica: relación con otrosproblemas conocidos, modificación devariables, suponer el problemaresuelto.

Soluciones y/o resultados obtenidos:coherencia de las soluciones con lasituación, revisión sistemática delproceso, otras formas de resolución,problemas parecidos,

1. Explicar de forma razonada la resolución de un problema. 1.1. Expresa de forma razonada el procesoseguido en la resolución de un problema, conrigor y precisión.

2. Resolver un problema, realizar los cálculos necesarios ycomprobar las soluciones.

2.1. Comprende el enunciado de un problema, loformaliza matemáticamente y lo relaciona conel número de soluciones.

2.2. Realiza estimaciones y predicciones sobre lasolución del problema.

2.3. Establece una estrategia de investigación yencuentra las soluciones del problema.

3. Demostrar teoremas con los distintos métodosfundamentales (demostración directa, por reducción alabsurdo o inducción).

3.1. Conoce distintos métodos de demostración.3.2. Demuestra teoremas identificando los

diferentes elementos del proceso.4. Elaborar un informe científico y comunicarlo. 4.1. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos

matemáticos adecuados.4.2. Utiliza de forma coherente argumentos,

justificaciones, explicaciones y razonamientos.

4.3. Plantea posibles continuaciones de lainvestigación; analiza los puntos fuertes ydébiles del proceso y hace explícitas susimpresiones personales sobre la experiencia.

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generalizaciones y particularizacionesinteresantes.

Iniciación a la demostración enmatemáticas: métodos,razonamientos, lenguajes, etc.

Métodos de demostración: reducciónal absurdo, método de inducción,contraejemplos, razonamientosencadenados, etc.

Razonamiento deductivo e inductivo. Lenguaje gráfico, algebraico, otras

formas de representación deargumentos.

Elaboración y presentación oral y/oescrita de informes científicos sobre elproceso seguido en la resolución deun problema o en la demostración deun resultado desarrollado.

Práctica de los procesos demodelización, en contextos de larealidad y en contextos matemáticos.

Confianza en las propias capacidadespara desarrollar actitudes adecuadasy afrontar las dificultades propias deltrabajo científico.

Utilización de medios tecnológicos enel proceso de aprendizaje para:

5. Planificar un trabajo de investigación. 5.1. Conoce la estructura del proceso deelaboración de una investigación matemática:problema de investigación, estado de lacuestión, objetivos, hipótesis, metodología,resultados, conclusiones, etc.

5.2. Planifica el proceso de investigación según elcontexto en que se desarrolla y tipo deproblema.

6. Elaborar estrategias para el trabajo de investigación:a. Resolución y profundización de un problemab. Generalizaciones de leyes o propiedadesc. Relación con la historia de las matemáticas

6.1. Generaliza y demuestra propiedades dedistintos contextos matemáticos.

6.2. Busca conexiones de las matemáticas con larealidad y entre distintos contextosmatemáticos para diseñar el trabajo deinvestigación.

7. Modelizar fenómenos de la vida cotidiana y valorar esteproceso.

7.1. Obtiene información relativa al problema deinvestigación a través de distintas fuentes deinformación.

7.2. Identifica situaciones reales, susceptibles decontener problemas de interés y analiza larelación entre la realidad y matemáticas.

7.3. Usa, elabora o construye modelosmatemáticos adecuados que permitan laresolución del problema dentro del campo delas matemáticas.

8. Desarrollar y cultivar las actitudes personales propias deltrabajo matemático.

8.1. Transmite certeza y seguridad en lacomunicación de las ideas, así como dominiodel tema de investigación.

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a) la recogida ordenada y laorganización de datos;

b) la elaboración y creación derepresentaciones gráficas de datosnuméricos, funcionales o estadísticos;

c) facilitar la comprensión depropiedades geométricas ofuncionales y la realización decálculos de tipo numérico, algebraicoo estadístico;

d) el diseño de simulaciones y laelaboración de predicciones sobresituaciones matemáticas diversas;

e) la elaboración de informes ydocumentos sobre los procesosllevados a cabo y los resultados yconclusiones obtenidos;

f) comunicar y compartir, en entornosapropiados, la información y las ideasmatemáticas.

8.2. Reflexiona sobre el proceso de investigación yelabora conclusiones sobre el nivel de: a)resolución del problema de investigación; b)consecución de objetivos.

8.3. Interpreta la solución matemática del problemaen el contexto de la realidad.

8.4. Realiza simulaciones y predicciones, en elcontexto real, para valorar la adecuación y laslimitaciones de los modelos, proponiendomejoras que aumenten su eficacia.

8.5. Se plantea la resolución de retos y problemascon curiosidad, precisión, esmero e interés.

8.6. Reflexiona sobre los procesos desarrolladosaprendiendo de ello para situaciones futuras.

9. Emplear medios tecnológicos para buscar información,realizar cálculos, presentar los trabajos y difundirlos.

9.1. Utiliza las herramientas tecnológicas para larealización de cálculos y representacionesgráficas.

9.2. Diseña presentaciones digitales para explicarel proceso seguido utilizando documentosdigitales y entornos geométricos.

9.3. Usa adecuadamente los medios tecnológicospara buscar información, estructurar, mejorarel proceso de aprendizaje y elaborarpredicciones.

Bloque 2. Números y álgebra Matrices. Tipos matrices y

operaciones. Estudio de las matricescomo herramienta para manejar y

1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matricespara describir e interpretar datos y relaciones en laresolución de problemas diversos.

1.1.Utiliza el lenguaje matricial para representardatos facilitados mediante tablas o grafos ypara representar sistemas de ecuacioneslineales.

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operar con datos estructurados entablas y grafos.

Aplicación de las operaciones de lasmatrices y de sus propiedades en laresolución de problemas extraídos decontextos reales.

Determinantes. Propiedadeselementales.

Rango de una matriz. Matriz inversa. Sistemas de ecuaciones lineales.

Expresión matricial. Teorema deRouché-Fröbenius. Método de Gauss.Regla de Cramer. Aplicación a laresolución de problemas.

1.2.Opera con matrices y aplica las propiedades delas operaciones, de forma manual o con elapoyo de medios tecnológicos.

2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual allenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicasalgebraicas determinadas (matrices, determinantes ysistemas de ecuaciones), interpretando críticamente elsignificado de las soluciones.

2.1. Calcula determinantes hasta orden 4.2.2. Determina el rango de una matriz aplicando el

método de Gauss o determinantes.2.3. Determina las condiciones para que una matriz

tenga inversa y la calcula empleando elmétodo más adecuado.

2.4. Resuelve problemas susceptibles de serrepresentados matricialmente e interpreta losresultados obtenidos.

2.5. Plantea un sistema de ecuaciones lineales apartir de un enunciado, lo clasifica, lo resuelvee interpreta las soluciones.

Bloque 3. Análisis Concepto de límite de una función.

Cálculo de límites. Continuidad de una función en un

punto. Continuidad de una función enun intervalo. Tipos de discontinuidad.Teorema de Bolzano y deWeierstrass.

Función derivada. Teoremas de Rolley del valor medio de Lagrange. Reglade L’Hôpital. Aplicación al cálculo delímites.

Aplicaciones de la derivada:problemas de optimización.

1. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en unintervalo, aplicando los resultados que se derivan de ello.

1.1.Estudia la continuidad de una función y clasificalos puntos de discontinuidad.

1.2.Aplica los conceptos y el cálculo de límites yderivadas, así como los teoremasrelacionados, a la resolución de ejercicios yproblemas.

2. Aplicar el concepto de derivada de una función en unpunto, su interpretación geométrica y el cálculo dederivadas al estudio de fenómenos naturales, sociales otecnológicos y a la resolución de problemas geométricos,de cálculo de límites y de optimización.

2.1.Aplica la regla de L’Hôpital para resolverindeterminaciones en el cálculo de límites.

2.2.Plantea problemas de optimización relacionadoscon la geometría o con las cienciasexperimentales y sociales, los resuelve einterpreta el resultado obtenido dentro delcontexto.

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Primitiva de una función.Propiedades. La integral indefinida.Integrales inmediatas. Integración porpartes y mediante cambio de variable.Integrales racionales.

La integral definida. Propiedades.Regla de Barrow. Teoremas del valormedio y fundamental del cálculointegral. Aplicación al cálculo de áreasde regiones planas.

3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando lastécnicas básicas para el cálculo de primitivas.

3.1.Aplica los métodos básicos para el cálculo deprimitivas de funciones.

4. Aplicar el cálculo de integrales definidas en la medida deáreas de regiones planas limitadas por rectas y curvassencillas que sean fácilmente representables y, en general,a la resolución de problemas.

4.1.Calcula el área de recintos limitados por rectas ycurvas sencillas o por dos curvas.

4.2.Utiliza los medios tecnológicos para representary resolver problemas de áreas de recintoslimitados por funciones conocidas.

Bloque 4. Geometría Espacios vectoriales. Sistemas de

vectores linealmente independientes ygeneradores. Bases de un espaciovectorial. Coordenadas de un vectorrespecto de una base.

Espacio vectorial euclídeo. Productoescalar, vectorial y mixto. Significadogeométrico.

Ecuaciones de la recta y el plano enel espacio afín euclídeo R3.

Posiciones relativas (incidencia,paralelismo y perpendicularidad entrerectas y planos).

Propiedades métricas (cálculo deángulos, distancias, áreas yvolúmenes).

1. Resolver problemas geométricos espaciales, utilizandovectores.

1.1. Realiza operaciones elementales convectores, manejando correctamente losconceptos de base y de dependencia eindependencia lineal.

2. Resolver problemas de incidencia, paralelismo yperpendicularidad entre rectas y planos utilizando lasdistintas ecuaciones de la recta y del plano en el espacio.

2.1. Expresa la ecuación de la recta en sus distintasformas, pasando de una a otra correctamente,identificando en cada caso sus elementoscaracterísticos, y resolviendo los problemas derectas en el espacio afín.

2.2. Obtiene la ecuación del plano en sus distintasformas, pasando de una a otra correctamente.

2.3. Analiza la posición relativa de planos y rectasen el espacio.

2.4. Obtiene las ecuaciones de rectas y planos endiferentes situaciones.

3. Utilizar los distintos productos entre vectores para calcularángulos, distancias, áreas y volúmenes, calculando suvalor y teniendo en cuenta su significado geométrico.

3.1. Maneja el producto escalar y vectorial dedos vectores, el significado geométrico, laexpresión analítica y las propiedades.

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3.2. Conoce el producto mixto de tres vectores,su significado geométrico, su expresiónanalítica y sus propiedades.

3.3. Determina ángulos, distancias, áreas yvolúmenes utilizando los productos escalar,vectorial y mixto, aplicándolos en cada caso ala resolución de problemas geométricos.

3.4. Utiliza programas informáticos específicospara profundizar en el estudio de la geometría.

Bloque 5. Estadística y Probabilidad Sucesos. Asignación de

probabilidades a sucesos mediante laregla de Laplace y a partir de sufrecuencia relativa. Definiciónaxiomática de probabilidad.

Aplicación de la combinatoria alcálculo de probabilidades.

Experimentos simples y compuestos.Probabilidad condicionada.Dependencia e independencia desucesos.

Teoremas de la probabilidad total y deBayes. Probabilidades a priori, aposteriori y verosimilitudes de unsuceso.

Variables aleatorias discretas.Función de probabilidad. Media,varianza y desviación típica.

1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios enexperimentos simples y compuestos (utilizando la regla deLaplace en combinación con diferentes técnicas derecuento y la axiomática de la probabilidad), así como asucesos aleatorios condicionados (Teorema de Bayes), encontextos relacionados con el mundo real.

1.1. Calcula la probabilidad de sucesos enexperimentos simples y compuestos mediantela regla de Laplace en combinación condiferentes técnicas de recuento o las fórmulasderivadas de los axiomas de la probabilidad.

1.2. Calcula probabilidades a partir de los sucesosque constituyen una partición del espaciomuestral.

1.3. Calcula la probabilidad a posteriori de unsuceso aplicando al Teorema de Bayes.

2. Identificar los fenómenos que pueden modelizarsemediante las distribuciones de probabilidad binomial ynormal calculando sus parámetros y determinando laprobabilidad de diferentes sucesos asociados.

2.1. Identifica fenómenos que pueden modelizarsemediante la distribución binomial, obtiene susparámetros y calcula su media y desviacióntípica.

2.2. Calcula probabilidades asociadas a unadistribución binomial a partir de su función deprobabilidad o aproximando mediante unadistribución normal, usando los métodosadecuados.

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Distribución binomial. Caracterizacióne identificación del modelo. Cálculo deprobabilidades.

Variables aleatorias continuas.Función de densidad y de distribución.Distribución normal. Tipificación de ladistribución normal. Asignación deprobabilidades en una distribuciónnormal.

Cálculo de probabilidades mediante laaproximación de la distribuciónbinomial por la normal.

2.3. Conoce las características y los parámetros dela distribución normal y valora su importanciaen el mundo científico.

2.4. Calcula probabilidades de sucesos asociadosa fenómenos que pueden modelizarsemediante la distribución normal a partir de latabla de la distribución o mediante calculadora,hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica.

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Los siguientes epígrafes están orientados teniendo como referencia la matriz deespecificaciones de la materia Matemáticas II de la Orden PCM/139/2020, de 17 de febrero,por la que se determinan las características, el diseño y el contenido de la evaluaciónde Bachillerato para el acceso a la Universidad, y las fechas máximas de realización yde resolución de los procedimientos de revisión de las calificaciones obtenidas en elcurso 2019-2020.; y el Decreto 40/2015, de 15/06/2015, por el que se establece el currículode Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha. [2015/7558].

II. Especificaciones sobre los contenidos de la prueba.

Bloque de Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.

1. Seguir los contenidos establecidos en el Decreto 40/2015.

Observaciones.

Es importante orientar los temas teniendo como referencia los criterios de evaluación y losestándares de aprendizaje establecidos en el Decreto 40/2015 y en la Orden PCM/139/2020

Expresar de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con rigor yprecisión. Comprender el enunciado de un problema y formalizarlo matemáticamente. Usar ellenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados. Utilizar de forma coherenteargumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos. Comprobar las soluciones einterpretar los resultados obtenidos.

Bloque de Números y Álgebra.

2. Matrices. Operaciones con matrices. Trasposición de matrices. Las matrices comoherramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Matriz deadyacencia de un grafo. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones conmatrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales.Tipos de matrices. Matriz inversa.

3. Determinantes. Regla de Sarrus. Propiedades elementales de los determinantes. Cálculode determinantes por los elementos de una línea. Cálculo de la matriz inversa. Rango de unamatriz. Cálculo del rango de una matriz. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales.

4. Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial de un sistema. Clasificación yresolución de sistemas lineales. Método de Gauss. Teorema de Rouché-Fröbenius. Regla deCramer. Sistemas homogéneos. Sistemas de ecuaciones con un parámetro. Aplicación de lossistemas de ecuaciones a la resolución de problemas.

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Observaciones.


La resolución de sistemas lineales de ecuaciones, el cálculo del rango de una matriz y elcálculo de la matriz inversa se pueden realizar por distintos procedimientos. Los alumnosdeben conocer el enunciado del teorema de Rouché-Fröbenius. Los determinantes que seplanteen serán, como máximo, de cuarto orden. Es importante insistir en la utilización de laspropiedades de los determinantes. El estudio de sistemas que dependen de un parámetro sehará, como máximo, con tres incógnitas.

Bloque de Análisis.

5. Concepto de función. Las funciones como modelos para estudiar fenómenos científicos ytecnológicos. Dominio. Concepto de límite de una función en un punto. Cálculo de límites.Límites laterales. Límites infinitos cuando la variable tiende a un número real. Límites finitosen el infinito. Límites infinitos en el infinito. Resolución de indeterminaciones. Asíntotas.

6. Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo cerrado. Continuidadde las funciones elementales. Tipos de discontinuidades. Teorema de Bolzano y deWeierstrass. Aplicaciones.

7. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física del concepto dederivada. Recta tangente y recta normal. Derivadas laterales. Función derivada. Cálculo dederivadas. Regla de la cadena. Continuidad de las funciones derivables. Derivadassucesivas.

8. Aplicaciones de las derivadas al estudio de las propiedades locales de una función.Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. Extremos absolutos. Concavidad. Puntos deinflexión. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Problemas deoptimización. Regla de L’Hôpital.

9. Primitivas de una función. Propiedades. Integral indefinida. Integrales inmediatas. Técnicaselementales de cálculo de primitivas. Integración por partes. Integración mediante cambio devariable. Integración de funciones racionales.

10. Introducción al concepto de integral definida. Propiedades elementales de la integraldefinida. Regla de Barrow. Aplicaciones al cálculo de áreas de regiones planas. Teoremas delvalor medio y fundamental del cálculo integral.

Observaciones.

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Debe conocerse la interpretación geométrica y física de la derivada. De los teoremas deBolzano, Weierstrass, Rolle y Lagrange debe conocerse el enunciado, interpretacióngeométrica y aplicaciones en casos sencillos. Debe conocerse el enunciado de la regla deBarrow y de los teoremas del valor medio y fundamental del cálculo integral.

No es objetivo mínimo integrar funciones racionales con raíces complejas múltiples nisimples, excepto las inmediatas del tipo arcotangente. En las integrales mediante cambio devariable se indicará este.

Bloque de Geometría.

11. Vectores en el espacio tridimensional. Dependencia lineal de vectores. Bases de unespacio vectorial. Coordenadas de un vector respecto de una base. Producto escalar.Interpretación geométrica. Ángulo entre vectores. Producto vectorial. Interpretacióngeométrica. Producto mixto. Interpretación geométrica.

12. Ecuaciones de la recta: ecuaciones paramétricas, generales o implícitas y en formacontinua. Ecuaciones del plano: ecuaciones paramétricas y ecuación general. Posicionesrelativas de dos rectas. Posiciones relativas de recta y plano. Posiciones relativas de dos otres planos.

13. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias,áreas y volúmenes. Ángulos entre elementos del espacio. Distancias entre elementos delespacio. Áreas de paralelogramos y triángulos. Volúmenes de paralelepípedos y tetraedros.

Observaciones.


No es objetivo mínimo desarrollar la estructura de espacio vectorial. Es importante que, en laresolución de problemas geométricos, se razone el proceso seguido.

Bloque de Estadística y Probabilidad.

14. Experimentos aleatorios y sucesos. Frecuencia y probabilidad. Propiedades de laprobabilidad. Definición clásica de probabilidad. Regla de Laplace. Definición axiomática.Probabilidad de la unión y la intersección de sucesos.

15. Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos. Aplicación delTeorema de la probabilidad total y del Teorema de Bayes.

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16. Variables aleatorias discretas. La distribución binomial. Variables aleatorias continuas. Ladistribución normal. Tipificación de la distribución normal. Manejo de tablas. Aproximación dela distribución binomial por la normal.

Observaciones.


Es importante saber plantear probabilidades. Es importante la tipificación de la distribuciónnormal. No es objetivo mínimo la aproximación de la distribución binomial por la normal.

III. ESTRUCTURA DE LA PRUEBA.

- Cada propuesta de examen de la materia de Matemáticas II constará de dos opcionesdiferentes A y B, de las cuales el estudiante deberá elegir una única opción. Dentro decada opción se elegirán cuatro ejercicios entre los cinco propuestos.

- En la materia de Matemáticas II se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora, tipex y seescribe en un solo color con boligrafo azul o negro.

- Los alumnos NO podrán llevar al examen sus propias tablas de la distribución Binomial oNormal. En caso de necesitar algún valor se le indicarán en el mismo examen los valoresnecesarios en un extracto de la tabla completa.

IV. CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN DEMATEMÁTICAS II.

Los criterios generales de corrección serán los siguientes:

1. En cada uno de los ejercicios o en los distintos apartados que aparezcan en cadaejercicio, se indicará la calificación máxima que le corresponda.

2. Si un estudiante desarrolla ejercicios de las dos opciones A y B, solo seráncalificados los ejercicios de la primera opción que aparezca desarrollada en laprueba. Asimismo, si dentro de la opción elegida desarrolla los cinco ejerciciospropuestos, solo serán calificados los cuatro primeros desarrollados por elestudiante.

3. En la valoración de los ejercicios se tendrá en cuenta:

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El planteamiento, el desarrollo y razonamientos empleados.

La claridad en la exposición, las explicaciones adicionales y la presentación delejercicio.

La corrección en las operaciones.

La interpretación de los resultados cuando sea necesario.

Los errores conceptuales y los errores operacionales.

La corrección y precisión de los gráficos incluidos.

4. El tribunal corrector ponderará, en cada ejercicio, la valoración que se asigne acada una de las consideraciones del punto anterior.

5. En cualquier caso, nunca se calificará un ejercicio atendiendo exclusivamente alresultado final.

V. ASESORES DE LA MATERIA MATEMÁTICAS II.

Para cualquier duda o consulta sobre la coordinación de esta materia pueden ponerse en contacto con los asesores de la misma:

Rosa Eva Pruneda González.UCLM. Departamento de Matemáticas.E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos. Edificio politécnicoAvda. Camilo José Cela s/n13071 Ciudad Real (Spain)Teléfono: 926295300 Extensión 3292.Correo electrónico: [email protected]

Enrique Martínez Arcos.I.E.S. Azarquiel.Paseo de San Eugenio, 21, 45003 Toledo.Teléfono: 925 28 40 43.Correo electrónico: [email protected]

VI. Tablas de la distribución Binomial y de la Normal N(0,1).

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mailto:[email protected]



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TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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