Axiomas Algebraicos[editar]Los axiomas algebraicos, pudindose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adicin y de la multiplicacin.1. Axiomas de la adicinA1.1 Para todo, existe un nico elemento, tambin en, denotado porque llamamos la suma dee.A1.2para todo.A1.3para todo.A1.4 Existe un elemento de, denotado portal quepara todo.A1.5 Para cadaexiste untal que.

2. Axiomas de la multiplicacinA2.1 Para todo, existe un nico elemento, tambin en, denotado porque llamaremos el producto dee.A2.2para todo.A2.3para todo.A2.4 Existe un elemento de, que denotaremos portal queA2.5 Para cadatal que no sea cero, existe untal que.

3. Axioma de distribucinEste axioma conecta la suma con la multiplicacin:A3.1 Para todo.

Anlisis axiomtico[editar] El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de lossumandosno altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es vlido slo para sumas finitas. El axioma (1.3) conocido comopropiedad asociativa de la sumadice que la asociacion de la suma no altera el valor de sta. El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los nmeros reales que, al ser sumado con cualquier nmero real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce tambin como el elementoneutro aditivo de este conjunto. El axioma (1.5) dice que dado un nmero real cualquiera existe otro (nico) tal que la suma de ambos es nula. Si este elemento es, el nmero tal que la suma de ste y el otro nmero sea cero es. Este elemento se llamainverso aditivo de. El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto. El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce comopropiedad asociativa de la multiplicacin. El axioma (2.4) dice que existe un nmero real tal que el producto de ste con otro real, sigue siendo este ltimo. Este elemento denotado porse conoce comoneutro multiplicativo. El axioma (2.5) dice que para cualquier realno nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado porse conoce comoinverso multiplicativo de.Axiomas de orden[editar]Los axiomas de orden establecen una relacin de "cantidad"(vase construccin de los naturales). Esta relacin es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un nmero esmenorque otro si est contenido en ste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.Para establecer una relacin de orden, es necesario introducir el smboloque nos dir si un nmero es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el smboloque ya conocemos.Se dir queoslo sies menor que. O dicho de otra forma, sies mayor que.De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjuntotal quesi y slo si.Se dan a continuacin losaxiomas de orden

O1.1 Si, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:;;O1.2 Siy adems, entonces.O1.3 Si, entoncespara todoO1.4 Siy, entonces.

Anlisis axiomtico[editar] El axioma (1.2) dice geomtrica mente que siest a la izquierda dey ste a su vez a la izquierda de, entonces debe estar pe2a la izquierda de. Esta interpretacin es bastante til.(R,+, , ) es un cuerpo ordenado.Axioma topolgico[editar]Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un nmero irracional, como raz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topolgico que dice lo siguiente.Toda sucesin creciente y acotada superiormente es convergente.