Ayundatía Sec7 - 01

Ayudant´ ıa I - Supremos, ´ Infimos y L´ ımite de Sucesiones Patricio Peralta - [email protected] Problema 1 Considere dos conjuntos V, W ⊆ R , no vac´ ıos, que cumplen la relaci´ on: ∀x ∈ V, ∀y ∈ W, x + y< 0 Demuestre que ambos conjuntos son acotados superiormente, y que sup(V ) + sup(W ) ≤ 0 Problema 2 Considere un conjunto A ⊆ R en que A = {x ≥ 0: x n ≤ a} con a ∈ (0, 1]. Probar que A posee un supremo s, tal que s n ≥ a. Hint: puede usar la siguiente propiedad “Si b ≥ 0 es tal que b n <a, entonces existe c>b tal que b n <c n <a” Problema 3 Sea a n la sucesi´ on definida por a 1 =3 a n = p 2+ a n-1 Demuestre que a n es convergente y luego calcule su l´ ımite. Problema 4 Considere la sucesi´ on P n , con n ∈ N definida por P n+1 = bP n a + P n con P 0 > 0, a, b ∈ R+. 1. Demuestre que si P n converge, entonces su l´ ımite es ya sea 0 o b - a. 2. Pruebe que si a>b, entonces P n es decreciente y converge a 0. 3. Suponga ahora que a<b y0 <P 0 <b - a. Pruebe que 0 <P n <b - a, ∀n, y que P n es creciente. Determine l´ ım n→∞ P n Problema 5 Calcule los siguientes l´ ımites: 1. l´ ım n→∞ 2n 4 +3n 2 +1 5n 4 - n 3 + n - 1 2. l´ ım n→∞ ( √ n +1 - √ n) p n +1/2 3. l´ ım n→∞ 2 n+1 +3 n+1 2 n +3 n 4. l´ ım n→∞ n( 3 p 27 + 1/n - 3) 5. Determinar L, α, β ∈ R tal que: l´ ım n→∞ n( √ n 2 + n +1 - (αn + β)) = L Sabiendo que L EXISTE 6. l´ ım n→∞ 2 n sin 2 (n) n! 1

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Ayudanta I - Supremos, Infimos y Lmite de Sucesiones

Patricio Peralta - [email protected] 1Considere dos conjuntos V, W R , no vacos, que cumplen la relacion:

x V,y W, x+ y < 0

Demuestre que ambos conjuntos son acotados superiormente, y que

sup(V ) + sup(W ) 0

Problema 2Considere un conjunto A R en que A = {x 0 : xn a} con a (0, 1].Probar que A posee un supremo s, tal que sn a.Hint: puede usar la siguiente propiedad

Si b 0 es tal que bn < a, entonces existe c > b tal que bn < cn < aProblema 3Sea an la sucesion definida por

a1 = 3

an =

2 + an1

Demuestre que an es convergente y luego calcule su lmite.Problema 4Considere la sucesion Pn, con n N definida por

Pn+1 =bPn

a+ Pncon P0 > 0, a, b R+.

1. Demuestre que si Pn converge, entonces su lmite es ya sea 0 o b a.

2. Pruebe que si a > b, entonces Pn es decreciente y converge a 0.

3. Suponga ahora que a < b y 0 < P0 < b a. Pruebe que 0 < Pn < b a, n, y que Pn es creciente.Determine lmn Pn

Problema 5Calcule los siguientes lmites:

1. lmn

2n4 + 3n2 + 1

5n4 n3 + n 1

2. lmn

(n+ 1

n)n+ 1/2

3. lmn

2n+1 + 3n+1

2n + 3n

4. lmn

n( 3

27 + 1/n 3)

5. Determinar L,, R tal que:lmn n(

n2 + n+ 1 (n+ )) = L

Sabiendo que L EXISTE

6. lmn

2nsin2(n)

n!

1