Ayudanta I - Supremos, Infimos y Lmite de Sucesiones

Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.comProblema 1Considere dos conjuntos V, W R , no vacos, que cumplen la relacion:

x V,y W, x+ y < 0

Demuestre que ambos conjuntos son acotados superiormente, y que

sup(V ) + sup(W ) 0

Problema 2Considere un conjunto A R en que A = {x 0 : xn a} con a (0, 1].Probar que A posee un supremo s, tal que sn a.Hint: puede usar la siguiente propiedad

Si b 0 es tal que bn < a, entonces existe c > b tal que bn < cn < aProblema 3Sea an la sucesion definida por

a1 = 3

an =

2 + an1

Demuestre que an es convergente y luego calcule su lmite.Problema 4Considere la sucesion Pn, con n N definida por

Pn+1 =bPn

a+ Pncon P0 > 0, a, b R+.

1. Demuestre que si Pn converge, entonces su lmite es ya sea 0 o b a.

2. Pruebe que si a > b, entonces Pn es decreciente y converge a 0.

3. Suponga ahora que a < b y 0 < P0 < b a. Pruebe que 0 < Pn < b a, n, y que Pn es creciente.Determine lmn Pn

Problema 5Calcule los siguientes lmites:

1. lmn

2n4 + 3n2 + 1

5n4 n3 + n 1

2. lmn

(n+ 1

n)n+ 1/2

3. lmn

2n+1 + 3n+1

2n + 3n

4. lmn

n( 3

27 + 1/n 3)

5. Determinar L,, R tal que:lmn n(

n2 + n+ 1 (n+ )) = L

Sabiendo que L EXISTE

6. lmn

2nsin2(n)

n!

1