B2_Matematicas 1 conecta

BLO

QUE

2

✓ Resuelveproblemasutilizandoelmáximocomúndivisoryelmínimocomúnmúltiplo.

✓ Resuelveproblemasgeométricosqueimpliquenelusodelaspropiedadesdelasalturas,medianas,mediatricesybisectricesentriángulosycuadriláteros.

Aprendizajes esperados

82

S-CNCT_M1_B2_082-087_maestro_de_alta_001 82 3/26/12 1:42 PM

Constantemente efectuamos cálculos matemáticas con números grandes,

pequeños, múltiplos, divisores, etcétera.

En este bloque comprobarás que para esos cálculos y algunos problemas son

necesarias las herramientas matemáticas, como la descomposición de números

en factores o el trazo de bisectrices.

Arte numérico

Observa el arreglo de botellas: hay 196 y están colocadas rectangularmente en 7 fi las y 28 co-lumnas. Tanto 7 como 28 son divisores de 196, ya que ambos lo dividen de manera exacta. Siempre que disponemos un conjunto de ele-mentos de manera rectangular, los números de fi las y columnas son divisores del número de elementos.La imagen está inspirada en una obra de Andy Warhol (1928-1987) de 1962, quien utilizó con frecuencia en sus trabajos objetos cotidianos, rostros de personajes famosos y objetos de difusión masiva.

1. ¿Puedescolocarrectangularmenteestasbo-tellasentresfilas?¿Porqué?

2. ¿El número 7 tiene divisores? ¿Y el 28?¿Cómopuedescolocar7botellasenunarre-glorectangular?¿Y28botellas?

3. Reúnete con un compañero. Conviértanseen un Warhol poniendo en juego su crea-tividad. Dibujen un cuadro teniendo encuenta que el motivo que se repite debehacerlo60vecesendisposiciónrectangular(nopuedesobrarninguno).¿Cuántasfilasycolumnasdibujaron?Comparenelresultadocon los del grupo. ¿Todos tienen la mismadisposición?

ParasabermássobreAndyWarholentraa…

www.e-sm.com.mx/SCM1-083

83


84

BLOQUE

2Secuencia 1 / lección 30

Divisores y números primos

Saber qué número divide a otro exactamente es útil para resolver algunos problemas, como verás enseguida. También sabrás cómo comprobar si un número puede dividirse entre 2, 3, 5 y 9 exactamente, sin hacer la división.

1. Con60mosaicossepuedeformarunrectángulodediezenunladoyseisenelotrosinquesobrealguno.

a) Con esa misma cantidad de mosaicos, ¿puede formarse un rectángulo que tenga ocho

en un lado? ¿Y uno que tenga doce? Explica cómo lo sabes

b) Encuentra los rectángulos que podrían formarse con 60 mosaicos. Puedes represen-tarlos con una multiplicación. Por ejemplo, si tiene diez en un lado y seis en el otro se representa 10 × 6.

2. Encuentralosdivisoresde600yescríbelosentucuaderno.

m Compartelosdivisoresqueencontrastecontuscompañeros.Verifiquenquesean16.Comentensusprocedimientosparaasegurarquenofaltealguno.

3. Encuentratodoslosdivisoresdelosnúmeros.

Número Divisores Número Divisores Número Divisores

1 8 15

2 9 16

3 10 17

4 11 18

5 12 19

6 13 20

7 14 21

Los divisores de un números son los que lo dividen exactamente, es decir, con los que el cociente es entero y el residuo, 0.En el problema anterior, las cantidades de mosaicos que se pueden poner en los lados de los rectángulos son divisores de 60, puesto que lo dividen exactamente; por ejemplo, 10 y 6:

60 ÷ 10 = 6 con residuo 060 ÷ 6 = 10 con residuo 0

Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distingue entre números primos y compuestos.CO

NTEN

IDO

resolver

1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10

R. P.

No. Sí. 12 x 5

1

1, 2

1, 3

1, 2 ,4

1, 5

1, 2, 3, 6

1, 7

1, 2, 4, 8

1, 3, 9

1, 2, 5, 10

1, 11

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 13

1, 2, 7, 14

1, 3, 5, 15

1, 2, 4, 8, 16

1, 17

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 19

1, 2, 4, 5, 10, 20

1, 3, 7, 21

Una pista

En toda multiplicación de números enteros, por ejemplo: 100 × 6 = 600,los factores son diviso-res del producto:• 100 es divisor de 600, puesto que 600 ÷ 100 = 6 con residuo 0.• 6 es divisor de 600, puesto que 600 ÷ 6 = 100 con residuo 0.Por tanto, se pueden conocer los divisores de un número buscando las multiplicaciones que lo arrojan como resultado.


85

Los números que tienen exactamente dos divisores, 1 y el mismo número, se llaman números pri-mos. Por ejemplo, 7 es primo pues sus únicos divisores son 1 y 7. El 8 no es primo pues, además de 1 y 8, tiene como divisores a 2 y a 4. Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.El número 1 solamente tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto.

Todo número es múltiplo de sus divisores y divisor de sus múltiplos.

a) Del número 2 al 21, hay ocho que tienen exactamente dos divisores. ¿Cuáles son?

b) ¿Qué número es divisor de todos los de la tabla anterior?

c) Un número siempre es divisor de sí mismo. Explica en tu cuaderno por qué.

m Verifica,contuscompañeros,siencontrastelosmismosnúmerosprimosentre1y21.

4. Identificalosnúmerosprimosentre1y100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

» En el cuadro, encierra el número 2, que es primo, y tacha aquellos de los que es divisor (todos los múltiplos de 2).

» Encierra el siguiente número no tachado y tacha sus múltiplos.

» Sigue hasta que todos los números estén tachados o encerrados.

» Conclusión: los números encerrados son los números primos entre 1 y 100.

m Verifica,engrupo,lalistadelosprimosmenoresa100.Debenser25(nosecuentael1).Comentenlasiguienteinformación.

técnicas

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

1

Ya sabemos...

Los números que se obtienen multiplican-do un número natural por otros números na-turales son múltiplos de ese número. Así, 2, 4, 6, 8… son múltiplos de 2. En cambio, 7 no lo es, pues no hay número natural que multiplicado por 2 dé 7.

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de números primos.

En contexto

Eratóstenes de Cirene, un matemático griego del siglo III a. n. e., con-cibió un método similar, al que se le llamó criba de Eratóstenes.


86

BLOQUE

2 ¿Quién divide a quién?

Secuencia 1 / lección 31

1. Haz,enequipo,losiguiente.

a) Anoten cada número de la lista que aparece a continuación, en uno o en varios de los casilleros de la tabla de abajo, según si el número es divisible entre 2, 3, 4, 5 o 6. Un mismo número puede ir en dos o más columnas. Repártanse el trabajo. Pueden usar calculadora.

10, 12, 15, 21, 24, 32, 36, 100, 112, 123, 150, 204, 360, 500, 561, 1 000, 2 700, 3 000, 6 570, 15 000

Divisibles entre 2 Divisibles entre 3 Divisibles entre 4 Divisibles entre 5 Divisibles entre 6

10, 12 12 12 10 12

Probablemente ya observaste que en todos los números divisibles entre 2 la cifra de las unidades es par: 0, 2, 4, 6 u 8.Esta característica es el criterio de divisibilidad entre 2 y permite saber si un número es divisible entre 2, sin tener que hacer la división. Por ejemplo, puede saberse que 421 no es divisible entre 2 pues la cifra de las unidades no es par.

Formula los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distingue entre números primos y compuestos.CO

NTEN

IDO

b) Comparen los números que pusieron en cada columna con los de otros equipos.Corrijan si es necesario.

c) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 2. ¿Qué observan?

d) Analicen las similitudes de los números divisibles entre 5. ¿Qué observan?

m Compartansusobservacionesconelgrupo.Revisensiloqueobservaronlespermitedeterminarsielnúmero236esdivisibleentre2ysiesdivisibleentre5,sinhacerlasdivisiones.

e) Completa el criterio de divisibilidad entre 5.

Un número es divisible entre 5 si

¿Cómo comprobarías que no existe un núme-ro divisible entre 2 cuya cifra de las unidades sea 3?

24, 32, 36, 100, 112,

150, 204, 360, 500,

1 000, 2 700, 3 000,

6 570, 15 000

18, 20, 26, 40, 156,

254, 400, 700, 1 300,

5 000,

11 000, 30 000

15, 21, 24, 36, 123, 150,

204, 360, 561,

2 700, 3 000, 6 570,

15 000

18, 27, 111, 156,

30 000

24, 32, 36, 100, 112,

204, 360, 500, 1 000,

2 700, 3 000, 15 000

18, 20, 26, 40, 400,

700, 1 300, 5 000,

11 000, 30 000

15, 100, 150, 360,

500, 1 000, 2 700,

3 000, 6 570, 15 000

20, 35, 40, 125, 400,

700, 1 300, 5 000,

11 000, 30 000

24, 36, 150, 204, 360,

2 700, 3 000, 6 570,

15 000

18, 156, 30 000

R. T. Todos acaban en cifra par.

R. T. Todos acaban en 0 o en 5.

R. T. termina en 5 o en 0.


87

3. Ubicaenlatablaanteriorlossiguientesnúmeros.Usaloscriteriosdedivisibilidadenlugardehacerladivisión.

18, 20, 26, 27, 35, 40, 111, 125, 156, 254, 400, 700, 1 300, 5 000, 11 000, 30 000

m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Comentencómoubicaronlosnúmerosdivisiblesentre4yentre6.Sihaydiferencias,veanquiénescometieronunerror.

4. Resuelvelosproblemas.Cuandoseaposibleutilizaloscriteriosdedivisibilidad.Explicatusprocedimientosenelcuaderno.

a) Se quieren empacar 1 028 galletas en bolsitas iguales, sin que sobre ninguna.

¿Es posible hacerlo de dos en dos? ¿De cinco en cinco?

¿Y de tres en tres?

b) En una tienda se venden paletas de tres pesos. En el registro de ventas del día aparecen las cantidades que se indican a continuación. Encierra las que podrían corresponder a la venta de distintas cantidades de paletas.

$92; $10; $3; $21; $43; $ 61; $72; $27; $28; $45; $101; $20

c) Con 180 losetas se puede formar un rectángulo de 45 × 4 losetas. ¿Qué otros rectángu-los se pueden formar? Encuentra todos los que puedas e indícalos en el cuaderno.

d) De una cartulina rectangular de 30 × 105 cm se quieren recortar cuadrados sin que sobre cartulina.

¿Los cuadrados podrían tener 2 cm de lado? ¿Y 3 cm?

¿Podrían tener 5 cm?

e) Los alumnos de primer grado fueron de excursión al campo. El guía los organizó en grupos pequeños. Si los agrupaba de cinco en cinco, no quedaba alguno fuera, si lo hacía de tres en tres, tampoco; pero si los agrupaba de dos en dos, uno quedaba fuera. A la excursión fueron entre 40 y 50 alumnos.

Determina cuántos asistieron.

m Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.Comentenquécriteriosdedivisibilidadusaron.

2. Acontinuaciónsepresentaelcriteriodedivisibilidadentre3.Verificaquelosnúmerosdelatablaqueseanmúltiplosde3locumplanylosdemásno.

En los números divisibles entre 3, la suma de sus cifras es divisible entre 3. Si la suma no es divisible entre tres, el número tampoco lo es. Por ejemplo, la suma de las cifras del número 2 301 es 2 + 3 + 0 + 1 = 6, por tanto sí es divisible entre 3.

Sí.

Sí. Sí.

Sí.

45

No.

No.

Aprende más sobrenúmeros primos en…


resolver


88

BLOQUE

Mínimo común múltiplo


2Se quiere cuadricular una explanada de 20 m × 30 m de manera que todos los cuadrados queden completos. ¿Cuánto mide el lado del mayor cuadrado posible? En esta secuencia estudiarás situaciones como esta, en las que es necesario encontrar múltiplos o divisores compartidos por dos o más números.

1. Eljuegodelapulgaylastrampas.1

a) Reúnete con un compañero. Hagan una tira de papel de 2 m × 5 cm y escriban en ella los números de 1 a 50, dejando 4 cm entre cada uno.» Uno de ustedes ubica trampas (cualquier objeto) en cuatro números.» El otro determina la forma en que saltará su pulga (desde 2 en 2 hasta 9 en 9). Si escoge,

por ejemplo, saltos de 3 en 3, la pulga (un objeto distinto al de las trampas) pasará por los números 3, 6, 9…

BLOQUE

1JuegotomadodeFuenlabrada,I.et al.(1991).Juega y aprende matemáticas.LibrosdelRincón.México:sep,1991.

1 62Salida 73 84 95 10 11 12 47 48 49 50

» Si la pulga cae en una trampa, el que puso las trampas se anota un punto. Si la pulga completa la tira sin caer en las trampas, el punto es para su dueño.

» Jueguen cinco o seis veces alternando los papeles.

2. Contestalaspreguntasyhazloquesepide.

a) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 12?

b) ¿Con qué tipos de salto las pulgas caen en el 17?

c) Como habrás observado, unos números solo atrapan a las pulgas de un tipo de salto, mientras que otros atrapan a las de distintos tipos. Escribe en tu cuaderno un ejemplo de cada caso.

d) Si tienes en cuenta todos los tipos de salto, ¿en qué número caen más pulgas?

¿Con qué tipos de salto?

e) ¿En qué números deben ir las trampas para que no pase ninguna pulga?

f ) ¿Es posible lograrlo solo con dos trampas?

m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.

Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.CO

NTEN

IDO

resolver

Convivimos

Para jugar es necesario respetar las reglas y el turno de los demás. También se pueden inventar nuevas reglas y ponerlas a consideración de otros.

Una pista

Observa que 36 es un múltiplo común de 2, 3, 4, 6 y 9, entre otros. Es, por tanto, un buen número para poner una trampa.

2, 3, 4, 6

Ninguno

24 y 48 con 2, 3, 4, 6, 8; 36 con 2, 3, 4, 6, 9

R. T. 35, 36, 40

No.

24, 36, 48


89

3. Hazlosiguiente.

a) Escribe en tu cuaderno los primeros diez múltiplos de 4 y de 6, y encierra los que sean múltiplos de ambos.

b) ¿Cuál es el múltiplo común más pequeño de 4 y 6?

c) Enlista en tu cuaderno los primeros múltiplos de 6 y 10. ¿Cuál es el múltiplo común más pequeño de 4 y 6? mcm (6, 10) =

d) Calcula lo que se pide.

mcm(4, 10) = mcm (5, 7) = mcm (3, 6) =

mcm(12, 18) = mcm (4, 9) = mcm (2, 8) =

4. Ubicalosnúmerosenlosdiagramas.Algunosyaestánubicados.

Números de 1 a 12 Números de 1 a 30

Múltiplosde3

64

16

5

9

Múltiplosde2 Múltiplosde2

Múltiplosde5

5. Resuelvelosproblemasentucuaderno.Indicalasrespuestasytusprocedimientos.

a) ¿Cuánto mide de lado el cuadrado de menor tamaño que se puede hacer con losetas de 20 cm × 30 cm?

b) María toma tres medicinas: la A cada 2 horas, la B cada 6 horas, y la C cada 8 horas. A las 12 p. m. tomó las tres. ¿A qué hora las volverá a tomar juntas?

c) ¿Cuál es el menor denominador común con el que se puede sumar 1 __ 12 + 1 __ 16 + 1 __ 20 ?

m Comparatusrespuestasdelasactividades3,4y5conlasdetuscompañeros.

Sigue jugando la pulga y las trampas en…


Si un número es múlti-plo de 2 y de 3, ¿puede no serlo de 6?

Múltiplosde3

Al número más pequeño que es múltiplo de dos números a y b se le llama mínimo común múlti-plo de a y b, y se representa como mcm (a, b); por ejemplo:

mcm (4, 6) = 12Este número es útil para resolver algunos problemas.

12

30

20

36

3 2

8

10

1

1

77

11

11

19 23

1317

29

9

3 212 4

8 14

22

26

5 25

28

1020

27

15

6

12

18

24

30

12

35

36

6

8

60 cm Í 60 cm

A las 12 p. m.

240


90

BLOQUESecuencia 2 / lección 33

Máximo común divisor21. Resuelveelproblema.

Se van a preparar bolsas con golosinas para los invitados de una fiesta. Se tienen 24 choco-latines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas. Se quiere que las bolsas sean iguales entre sí, es decir, que no haya una, por ejemplo, con más chocolates que otra. También se desea que no sobren golosinas.

a) ¿Pueden hacerse 8 bolsas? Si tu respuesta es sí, indica cuántas golosinas de cada tipo llevaría una bolsa y demuestra que no sobrarían golosinas. Si tu respuesta es no, explica por qué.

b) ¿Pueden hacerse tres bolsas? Explica por qué.

c) Responde las preguntas.

» ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden hacer?

» ¿Cuántas golosinas de cada tipo se pueden poner por bolsa?

chocolatines, bastones de caramelo y paletas.

Verifica que al multiplicar el contenido de cada bolsa por el número de bolsas obten-gas 24 chocolatines, 36 bastones de caramelo y 60 paletas.

m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Leanlasiguienteinformación.

BLOQUE

Para que un número de bolsas sea una solución al problema anterior, debe dividir exactamente a

cada cantidad de golosinas, es decir, debe ser un divisor común de 24, 36 y 60.

El mayor número de bolsas posible es el máximo común divisor de los tres números y se abrevia

MCD (24, 36 y 60).


NTEN

IDO

resolver

No, porque 60 y 36 no es divisible entre 8.

Sí, porque 24

___

3 = 8,

12

2 3 5

36

___

3 = 12, y

60

___

3 = 20.

Practica tus habilidades para encontrar múlti-plos y divisores en…



91

2. Leeelprocedimientoparacalculartodoslosdivisoresde60.

Una manera de encontrar los divisores de 60 es dividir 60 entre los números del 1 en adelante e identificar los casos en los que el residuo es 0. Cuando se repite un par de divisores se han encontrado todas las opciones.

División Residuo Divisores

60 ÷ 1 = 60 = 0 1 y 60

60 ÷ 2 = 30 = 0 2 y 30

60 ÷ 3 = 20 = 0 3 y 20

60 ÷ 4 = 15 = 0 4 y 15

60 ÷ 5 = 12 = 0 5 y 12

60 ÷ 6 = 10 = 0 6 y 10

60 ÷ 7 = ≠ 0 ---

60 ÷ 8 = ≠ 0 ---

60 ÷ 9 = ≠ 0 ---

60 ÷ 10 = = 0 10 y 6

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60

a) En el problema de las bolsas con tres tipos de golosinas, ¿cuál sería el mayor número de bol-sas que podría hacerse si hubiera 105 chocolatines, 120 bastones de caramelo y 165 paletas?

b) Un engranaje está formado por ruedas dentadas: A, de 12 dientes; B, de 24; y C, de 36. Al girar, las marcas rojas coinciden como se ve en el dibujo. ¿Cuántas vueltas dará C hasta que las marcas vuelvan a coincidir?

c) En un laboratorio hay 1 044 ejemplares de un tipo de insecto, 504 machos y 540 hem-bras. Quieren distribuirlos de manera que se tengan grupos mixtos del mismo tamaño, lo más pequeños posible. ¿Cuántos insectos de cada tipo deben poner por grupo? ¿Cuántos grupos se forman?

m Verifica,contuscompañeros,queenelproblemac),almultiplicarelnúmerodeinsectosdecadagrupoporelnúmerodegrupos,seobtieneeltotaldeinsectos.

5. Resuelveanotandocomodenominadorelmcmdelosdenominadores.

1165

+ 1132 + 1

66 = 775

+ 2105

+ 1165 =

6. Simplificalasfraccionesantesdesumarlas.BuscaelMCDdelnumeradorydeldenominador.

4230 +

5185 +

2255 + 21

105 = 1863 + 30

70 + 44154 =

AB

C

técnicas

4. Resuelvelosproblemas.EnalgunosutilizaráselMCDyenotros,elmcm.Puedesusarcalculadora.Respondeenelcuadernoyexplicatusprocedimientos.

3. Hazlosiguiente.

a) Calcula, con la técnica anterior, todos los divisores de 24 y de 36.

b) Consulta las listas anteriores de diviso-res para encontrar el MCD (24, 36 y 60).

c) Verifica que ese número responda al mayor número de bolsas del problema anterior.d) Calcula lo que se pide.

MCD (6, 14) = MCD (6, 12) = MCD (45, 75) = MCD (7, 9) =

MCD (105, 120 y 165) = 15

4

14 machos, 15 hembras

16

13 59

229

660

5 63

1925

36

2

12

6 15 1

m Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.Veansiencontraronque,enlaprimerasumadefracciones,eldenominadorcomúnes5775.


92


Descomponiendo números2BLOQUE

Todo número natural se puede descomponer en un producto de factores primos. Cuando los nú-meros se expresan de esta manera es fácil encontrar sus divisores y múltiplos comunes, como lo comprobarán enseguida.

En una multiplicación, cada factor es divisor del producto. Por ejemplo, 84 es igual a 2 × 2 × 3 × 7, por tanto 3, 2 y 7 son divisores de 84. También los productos que se obtienen con los factores primos son divisores del número, por ejemplo: 3 × 2 × 2 = 12; entonces 12 es divisor de 84. Verifíquenlo haciendo las divisiones y comprobando que el residuo sea 0.


NTEN

IDO

1. Haz,conuncompañero,losiguiente.» Uno de ustedes expresa, en la segunda fila de la derecha, el

número 180 como producto de dos factores.» El otro lo hace como producto de tres factores en la tercera fila.» Continúan aumentando el número de factores de esta forma.

Si uno ya no puede descomponer más en su turno, el otro lo intenta. El que haga la última descomposición gana (los productos por 1 no valen).

» Repitan la actividad en su cuaderno con los siguientes números y anoten aquí el producto final.

270 = 240 = 1 080 =

m Comparenlasdescomposicionesqueobtuvieronconlasdesuscompañeros.Observenquealfinalseobtienenproductosdenúmerosprimos.Comentenlasiguienteinformación.

2. Trabajaconuncompañero.Ladescomposicióndelnúmero84enfactoresprimoses2×2×3×7.

a) ¿Qué divisores de 84 pueden identificar a simple vista, sin hacer la división?

m Compartanconsuscompañeroslosdivisoresqueencontraronylamaneraenquelohicie-ron.Comentenlasiguienteinformación.

b) La descomposición en factores primos de 70 es 2 × 5 × 7. ¿Qué divisores de 70 pueden

identificar a simple vista, sin hacer la división?

c) Identifiquen, a partir de lo anterior, sin hacer divisiones, algunos divisores comunes de

84 y de 70.

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de mcm y MCD.

180

×

× ×

× × ×

× × × ×

2

R. T.

90

2

2

2

2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

2, 5, 7, 10, 14, 70

2, 7, 14

2 Í 3 Í 3 Í 3Í 5 2 Í 2 Í 2 Í 2Í 3 Í 5 2 Í 2 Í 2 Í 3Í 3 Í 3 Í 5

2

2

2

45

3

3

15

3 5


93

El máximo común divisor de dos números se puede formar con todos los factores primos comu-nes de esos números. Por ejemplo, el MCD de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 7, es decir, 14.

El mínimo común múltiplo de dos números se forma con la menor multiplicación posible que con-tenga a todos los factores primos de cada número. Por tanto, el mcm de 2 × 2 × 3 × 7 y de 2 × 5 × 7 es 2 × 2 × 3 × 5 × 7, es decir, 420.

d) ¿Cuál es el máximo común divisor de 84 y 70? Identifíquenlo a partir de los productos

de factores primos.

e) Utilicen las descomposiciones en factores primos de la actividad 1 para encontrar lo siguiente.

MCD (180, 270) = MCD (240, 1080) = MCD (270, 240) =

MCD (180, 240) = MCD (180, 240, 270) =

m Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.Revisencómoformaronlosmáximoscomunesdivisoresapartirdelosfactoresprimos.

3. Recuerdaqueladescomposiciónenfactoresprimosde70es2×5×7.

a) Subraya, sin resolver las multiplicaciones, las que correspondan a múltiplos de 70.

2 × 5; 2 × 2 × 5 × 7; 2 × 5 × 5 × 7; 2 × 7 × 7 × 7; 2 × 3 × 5 × 7; 5 × 5 × 7 × 7

b) Subraya las multiplicaciones que correspondan a múltiplos de 84.

2 × 2 × 3 × 5; 2 × 2 × 3 × 7 × 5; 2 × 2 × 3 × 3 × 7; 2 × 2 × 2 × 7 × 7

c) Resuelve las multiplicaciones y verifica tus respuestas de los incisos a) y b).

d) Considera las descomposiciones en factores primos de 84 y de 70 para formar la des-composición en factores primos del mínimo común múltiplo de 84 y de 70.

mcm (84, 70) = =

e) Calcula lo que se indica utilizando las descomposiciones en factores primos de la activi-dad 1.

mcm (240, 1 080) = mcm (270, 240) = mcm (180, 240) =

m Comparatusresultadosconlosdetuscompañeros.Comentenporquéesimportanteencontrarlosfactoresprimosdeunnúmero.

60

14

60

2 Í 2 Í 3 Í 5 Í 7 420

2 160 2 160 720

120 30

30

Aprende más del mcm y MCD en…


Encuentra dos números cuyo MCD sea 3.

Encuentra dos cuyo mcm sea 2 × 3 × 5 × 5.


94

BLOQUE

2 La migración indocumentada en Estados Unidos de América

1. Leeeltextoyhazloqueseindica.

a) Subraya la respuesta correcta: 35.7 millones de personas significa…» 35 millones de personas más otras siete personas.» 35 millones de personas más siete décimos de una persona.» 35 millones de personas más siete décimos de un millón de personas.

b) ¿A cuántas personas equivale un décimo de un millón?

c) ¿A cuántas personas equivalen siete décimos de un millón?

d) ¿Cuánto le falta a 35.7 millones para 36 millones?

mm Comenta,engrupoyconayudadelprofesor,tusrespuestas.

2. Organizaenlatablalainformaciónqueaparecealiniciodelalección.


¿Qué tan familiarizado estás con los números fraccionarios y la notación decimal? ¿Puedes calcular mentalmente sumas y restas? En esta secuencia consolidarás estas operaciones.

La población migrante total (nacida fuera de Estados Unidos de América) ascendió, en marzo de 2004, a 35.7 millones de personas. De ellas, 21.7 millones (61%) son residentes con permanencia legal, 1.2 millones (3%) tienen permiso de residencia temporal, 2.5 millones (7%) son refugia-dos llegados después de los ochenta y 10.3 millones (29%) son migrantes indocumentados. (La Jornada, 25 de abril de 2005.)

Escritura simplificada (millones)

Escritura normal Porcentaje

Población migrante total

35.7

Residentes legales 21.7

Residentes con permiso temporal

1.2

Refugiados llegados después de los años ochenta

2.5

Migrantes indocumentados

10.3 10 300 000

Tabla 1

Resuelve problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

CONT

ENID

O

comunicar

35 700 000 100%

21 700 000 61%

1 200 000 3%

2 500 000 7%

29%

100 000

700 000

300 000

Repasa las fracciones equivalentes en…



95

Del total de migrantes indocumentados en EUA, 5.9 millones (57%) provienen de México; 2.5 millones (24%), del resto de América Latina; 1 millón (9%), de Asia; 600 000 (6%), de Europa y Canadá; y 400 000 (4%), de África y otros lugares. (La Jornada, 25 de abril de 2005.)

3. Leelainformaciónyhazloqueseindica.

a) Organiza en la tabla las cantidades del texto anterior.

4. Enlatabla1seobservaqueenEUAhay10.3millonesdeinmigrantesindocumentados,cantidadquedeberíacoincidirconlasumadelasegundacolumnadelatabla2;sinembargo,noesasí.

a) ¿Cuál es la suma de la segunda columna de la tabla 2?

b) ¿Cuál es la diferencia entre esta suma y 10.3 millones?

c) ¿A cuántas personas equivale la diferencia?

d) ¿Es mucha esta diferencia?

mm Comenta,conayudadelprofesor,tusresultadosdelasactividades2,3y4.Sicometistealgúnerror,descríbelo.

5. Interpretalascantidadesyanotaloquesepide.

a) 2.3 km es igual a km con m.

b) 3.8 h es igual a h con min.

c) 5.6 kg es igual a kg más g.

Como puedes notar, el signifi cado de los números decimales es muy importante para interpretar cantidades. Así, por ejemplo, 3.2 millones de personas no signifi ca 3 millones más dos personas, sino 3 millones más 2 décimos de millón, es decir, 3 200 000 (tres millones doscientas mil personas), puesto que la décima parte de un millón es 100 000.

Origen de los migrantes indocumentados

Escritura simplifi cada (millones) Escritura normal Porcentaje

México 5 900 000

Resto de América Latina

Asia

Europa y Canadá

África y otros lugares 0.4

Tabla 2

Del total de migrantes indocumentados en EUA, 5.9 millones (57%) provienen de México; 2.5 millones (24%), del resto de América Latina; 1 millón (9%), de Asia; 600 000 (6%), de Europa y

resolver

10.4

0.1 millones

100 000

R. P.

2

3

5

300

48

600

5.9

2.5

1

0.6

2 500 000

1 000 000

600 000

400 000

57%

24%

9%

6%

4%

Una pista

Un décimo de hora son 6 minutos.


96

BLOQUE

21. Enunacasadecambioapareceelsiguienteletrero.

a) ¿Por qué los precios de venta son más altos que los precios de compra?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el precio de compra y el de venta del dólar?

¿Y en el caso del euro?

c) De acuerdo con la información de la tabla, ¿cuánto más hay que pagar por un euro que

por un dólar?

d) ¿Cuánto gana la casa de cambio por cada 100 dólares que compra y luego vende?

e) La casa de cambio vende, en promedio, 10 000 dólares y 3 000 euros por día.

¿Con qué moneda obtiene más ganancia?

f ) Para viajar de México a EUA, Javier compró 2 000 dólares. Al regresar a México, tenía 500

dólares que no gastó y los vendió. Teniendo en cuenta los precios del letrero, ¿cuánto

dinero perdió?

g) Una cámara fotográfica cuesta $2 500.00 en México, 220 dólares en Nueva York y

200 euros en París. ¿En qué ciudad cuesta menos? (Considera $11.73 por dólar y $16.91

por euro)

mm Analizaengrupotusresultados.


Tipo de cambio y algo más

COMPRA VENTA

Dólarm(USD)

Eurom(EUR)


CONT

ENID

O

resolver

R. T. Para que las casas de cambio obtengan ganancias.

$1.18

$4.00

$30.00

$0.30

Dólares (por la cantidad).

$150.00

París.

En contexto

El euro es una moneda de uso común en la mayoría de los países europeos. Su símbolo es €.


97

2. Resuelvelosproblemassinhaceroperacionesescritas.

a) ¿Qué pareja de fracciones de queso se acerca más a un queso entero?

» 12

queso y 25

queso » 12

queso y 13

queso » 12

queso y 14

queso

b) Para unir dos tablas que miden, respectivamente, 34 y 2

3 de pulgada de espesor, ¿de

qué medida deben ser los clavos para que la punta no salga por el otro lado?

c) Tres clavos A, B y C de 2 12 pulgadas se clavaron en la pared, de modo que del clavo A

quedó más de la mitad afuera, del B quedó la mitad afuera y del C, menos de la mitad. En cada caso, ¿qué parte del clavo quedó dentro?

Clavo A __________ Clavo B __________ Clavo C __________

d) El partido de futbol empezó a las ocho y cuarto, se jugaron dos tiempos de 34 de hora

cada uno y entre cada tiempo hubo 14 de hora de descanso.

» ¿A qué hora terminó el partido?

mm Revisaengrupolosresultadosylosprocedimientosdecálculomentalqueutilizaron.

3. Respondelaspreguntasutilizandolosrecursosquequieras.PilardecidióregalaraMartha1__3,yaHilda2__7desusestampas.

a) ¿Con qué parte de sus estampas se quedó Pilar?

b) ¿A quién le dio más estampas: a Martha o a Hilda?

c) Si Pilar se quedó con 64 estampas, ¿cuántas le regaló a Martha y cuántas a Hilda?

mm Revisa,conayudadelprofesor,tusresultadosdeestaactividad.Situvistealgunadificultad, explicaenquéconsistió.Analizalasiguienteinformación.

Cuando se suman dos o más fracciones con distinto denominador, por ejemplo, 2 __ 3 + 3 __ 4 + 5 __ 6 , es útil encontrar un número que sea múltiplo común de los denominadores, de preferencia el mínimo co-mún múltiplo; en este ejemplo es 12. Las tres fracciones se convierten en doceavos y se suman.

23

= 812

34

= 912

56

= 1012

23

+ 34

+ 56

= 812

+ 912

+ 1012

= 2712

= 94

técnicas

R. P.

A Martha.

10:00

56 a Martha y 48 a Hilda.

17

12

8

21

Una pista

Los tercios y séptimos se pueden convertir en veintiunavos.


98

BLOQUE


Salarios y precios

1. Trabajaenequipo.Enlasiguientetablasepuedevercuántoganaunapersona,enpromedio,duranteunañoenlosestadosdelarepúblicayanivelnacional.Conbaseenesainformación,resuelvanlosproblemasqueaparecen.Enalgunoscasosconvieneusarlacalculadora.

Entidad Remuneraciónpromedio Entidad Remuneraciónpromedio

1. Campeche 141.1 18. Quintana Roo 83.3

2. Distrito Federal 135.9 19. Jalisco 83.0

3. Tabasco 122.8 20. Guanajuato 83.0

4. Nuevo León 118.4 21. Puebla 81.8

5. Tamaulipas 103.0 22. Morelos 81.1

6. Baja California 101.0 23. Durango 78.9

7. Querétaro 99.2 24. Oaxaca 75.4

8. NACIONAL 99.1 25. Zacatecas 72.2

9. México 98.1 26. Colima 70.2

10. Coahuila 97.1 27. Tlaxcala 69.0

11. Chihuahua 97.0 28. Sinaloa 68.6

12. Veracruz 95.9 29. Guerrero 66.2

13. Aguascalientes 90.6 30. Chiapas 65.4

14. Sonora 85.7 31. Yucatán 64.6

15. Baja California Sur 84.3 32. Michoacán 64.4

16. San Luis Potosí 84.0 33. Nayarit 61.9

17. Hidalgo 83.5

Fuente: Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Resumen de los Resultados de los Censos Económicos. 2009.

a) ¿Cuál es el salario promedio anual, en pesos, de una persona que vive en el Distrito

Federal?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el salario promedio anual más alto y el más bajo?

En miles de pesos: En pesos:

c) En el número 8 de la tabla se puede ver el salario promedio anual a nivel nacional. ¿Cuál es la diferencia entre este salario y el de Nayarit, que es el más bajo?

Remuneraciones promedio por persona según entidad federativa en 2008 (miles de pesos anuales)


CONT

ENID

O

resolver

135.9

79.2 79 200

37.2

Ya sabemos…

Por ejemplo, 141.1 mi-les de pesos significa 141 mil, más un dé-cimo de mil, que son 100 pesos, es decir, 141 100 pesos.


99

d) Si se divide el salario promedio anual de Yucatán, que es $64 600.00, entre los 365 días del año, se obtiene lo que gana una persona en promedio por día: $176.98. A continua-ción aparecen los precios de varios productos de consumo básico. Enlista los que se pueden comprar con $176.98.

» kg de huevo: $17.00 » kg de tortilla: $10.00 » kg de carne: $80.00» pieza de pan: $1.50 » l de aceite: $24.00 » kg de jitomate: $10.00» kg de frijol: $25.00 » kg de arroz: $20.00 » kg de chile: $20.00» l de leche: $14.00 » kg de azúcar: $15.00 » kg de manzana: $25.00» kg de cebolla: $10.00 » garrafón de agua sin el envase: $31.00

e) Para la comida del día, Josefina quiere comprar 1 12

kg de carne, 34

kg de jitomate, 14

kg de chile, 1

2 kg de cebolla y 1 kg de tortilla.

» ¿Cuánto gastará?

» ¿Cuánto pesará la bolsa en la que meta sus compras?

mm Revisa,conayudadelprofesor,tusresultadosycorrigeloqueseanecesario.

2. Completaloscuadradosmágicos.Elresultadoquedebesobtenerestádebajodecadacuadrado.

» 12

, 14

, 34

, 1, 54

, 32

, 74

, 2, 94

» 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1

» 16

, 13

, 0.5, 23

, 56

, 1, 76

, 43

,1.5» 0.1, 15

, 0.3, 25

, 0.5, 35

, 0.7, 45

, 0.9

54

74

1

1

0.7

0.6

16

56

23

35

0.5

15

mm Comparatuscuadradosconlosdeotroscompañerosyverificaquesecumplalacondicióndeloscuadradosmágicos.

Suma: 154

Suma: 32

Suma: 2.1

Suma: 2.5

En contexto

Este tipo de cuadrados se llaman mágicos porque en su origen se les atribuyeron, erró-neamente, propiedades astrológicas y adivina-torias. En un cuadrado mágico al sumar tres números (de una co-lumna, fila o diagonal) siempre se obtiene el mismo resultado.

$142.50

4 kg

2

4

5

4

3

0.5

1

7

6

1.51

3

0.1

3

4

0.3 0.7

2

50.9

9

4

1

2

1

40.4

1.1

0.5

3

2

00

00

0.9

0.4

Practica la suma y resta de fracciones con distinto denominador en…


resolver


100

BLOQUE

La mitad de un cuarto I


2Multiplicar una cantidad por un número natural equivale a sumar esa cantidad varias veces, por ejemplo, 2 × 3

4 km es lo mismo que 34 km + 3

4 km. Pero, ¿qué significa multi-plicar una cantidad por un número fraccionario, por ejemplo, 2

5 × 34 km ? ¿El resultado

también es mayor que 34 km?

En esta secuencia estudiarás la multiplicación y la división con fracciones y comprobarás que con ellas pasan cosas inesperadas, distintas a las que suceden con números naturales.

1. Resuelvelosproblemasusandofracciones.

a) Varios jóvenes improvisaron una banca uniendo extremo con extremo cinco tablas de

3 __ 4 m de largo. ¿Cuál es, en metros, la longitud de la banca?

b) En un puesto del mercado se vende queso en trozos de 1 __ 4 kg. Si una persona lleva diez

trozos, ¿cuántos kilogramos compró?

c) Luis utiliza aproximadamente 1 __ 10 de tanque de gasolina en su viaje de ida y vuelta al trabajo. Si va al trabajo 20 veces al mes, durante diez meses al año, ¿cuántos tanques de

gasolina consume anualmente?

2. Verificasiloquehicisteenelejercicioanteriorcoincideconlasiguientetécnica.Encasodenoserasí,buscaelerror.Para multiplicar una fracción por un número entero, basta con multiplicar el numerador de la fracción por el entero. Por ejemplo: 3 __ 4 m × 5 = 15

__ 4 m = 3 3 __ 4 m.

Si una cuerda de 34 m

se corta a la mitad,

¿qué fracción de metro

medirá cada parte?

a) 3 × 1 _ 3

=

d) 5 × 4 _ 15

=

g) 4 × 1 1 _ 4

=

b) 2 × 3 1 _ 4

=

e) × 3 _ 10

= 9 _ 10

h) × 2 _ 7

= 1 1 _ 7

c) × 1 _ 6

= 1 _ 3

f ) × 1 _ 6

= 1 _ 2

m Comparenlatécnicaquecadaunodescribióenlaactividad2ysusresultadosdelasmulti-plicacionesdelaactividad3.Verifiquenquehayanaplicadolasiguienteregla.

BLOQUE

Resuelve problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

CONT

ENID

O

técnicas

validar

3. Completalasmultiplicaciones.Simplificalosresultados.

Para multiplicar un entero con una medida fraccionaria, por ejemplo, 5 × 3 __ 4 m, se multiplica el numerador de la fracción por el entero: 5 × 3 __ 4 m = 5 × 3

____ 4 m = 15 __ 4 m = 3 3 __ 4 m.

3.750 m

2.5 kg

20 tanques

1

3

2

3

45

4

3

13

2


101

4. DonPanchosolosiembra14 desuterrenoyen

12 de

esapartehasembradofrijol.Elrectángulodeladerecharepresentatodoelterreno.Efectúaloquesepide.

a) Representa en el rectángulo la parte sembrada de frijol.

b) ¿Qué fracción del terreno representa esa parte?

» Verifica que al multiplicar por 3 la fracción de pastel de cada uno se obtengan las cantidades de pastel repartidas.

» Verifica que cuando se reparten 2 __ 8 entre 3, a cada quien le corresponde lo doble que si se reparte 1 __ 8 entre 3.

6. Resuelveelproblemacontuscompañeros:almultiplicarpor2elnumeradorde 34 m,

seobtieneunafraccióndeldobledetamaño: 64 mo1 1

2m.¿Quésucederíasi,en

lugardemultiplicarelnumerador,semultiplicaraeldenominadorde 34

mpor2?Expliquensurespuesta.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Fracción de pastel que Luis reparte entre tres

18

28

58

38

78

Fracción de pastel para cada uno

validar

resolver

b) Anota en la tabla cuánto le corresponde a los tres amigos.

5. EnlatiendadondeLuistrabajasevendenrebanadasde18 depastel.Cadadía,el

dueñoleregalalasrebanadassobrantes.Paracompartirlascondosamigos,Luislasllevaalaescuelaydividecadaunaentrespartesiguales.Ellunessolamentesobróunarebanada.

a) El rectángulo representa un pastel completo. Señala la parte que le correspondió a uno de sus amigos el lunes.

Se reducen los 3 _

4 m a la mitad.

1

24

1

12

5

24

1

8

7

24

1

8

frijol

1

___

24

1

___

24

1

___

24

Practica la multiplica-ción de fracciones en…



102


La mitad de un cuarto II21. Unartesano,quenecesitatrozosdemadera

pequeños,cortatirasenpartesiguales.

a) Anota en la tabla la medida de cada trozo.

b) Verifica tus resultados. Si multiplicas la medida de cada trozo (columna 3) por el número de trozos (columna 2), obten-drás la medida de la tira (columna 1).

c) Anota en la última columna las divisiones correspondientes.

2. Leelassiguientestécnicasparadividirfraccionesentrenúmerosenteros.Sinosonigualesalaqueusaste,aplícalasparaverificarlosresultadosdelproblemaanterior.

3. Resuelve.

Medida de la tira

Núm. de trozos

Medida de cada

trozo División

34 m 3 3

4 ÷ 3

45 m 2

12 m 2

13 m 5

23 m 5

a) 45

÷ 2 =

d) 89

÷ 4 =

g) 512

÷ 2 =

j) 37

÷ 3 =

b) 15

÷ 2 =

e) 310

÷ 3 =

h) 712

÷ 2 =

k) 34

÷ 4 =

c) 19

÷ 4 =

f ) 110

÷ 3 =

i) 17

÷ 3 =

l) 14

÷ 4 =

BLOQUE

Para dividir una fracción entre un número natural se puede…

» dividir el numerador: 45 ÷ 2 = 4÷2

5 = 2

5 ; o bien,

» multiplicar el denominador: 45 ÷ 2 = 4

2×5 = 410 = 2

5 .


CONT

ENID

O

técnicas

2

5

4

5

1

2

1

3

2

3

÷ 2

÷ 2

÷ 5

÷ 5

1

4

1

4

1

15

2

15

2

5

2

9

5

24

5

27

3

16

1

16

7

24

1

2

2

15

1

30

1

10

1

36


103

4. Analizaycompleta.

» Si el numerador de 23 se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces mayor:

103

o 3 13

.

» Si el denominador de 23 se multiplica por 5, se obtiene una fracción cinco veces menor: 2

15.

» Si tanto el numerador como el denominador de 23 se multiplican por 5, ¿qué se obtiene?

m Compara,conayudadelprofesor,lasrespuestasqueobtuvisteenlasactividades1,3y4conlasdetuscompañeros.

5. Resuelvelosproblemas.

a) Todas las mañanas, Ernesto da cuatro vueltas en una pista de 1 34 km. ¿Cuántos kilóme-

tros recorre diario?

b) La maestra de dibujo entrega a un equipo de cuatro alumnos 23 de un pliego de cartu-

lina y pide que lo repartan en partes iguales.¿Quéfracción del pliego le corresponde a cada uno?

c) Ana debe entregar un pedido de 20 kg de jamón, pero solamente le queda un paquete de 5 kg y paquetes de 3

4 kg.¿Cómopuede completar los 20 kg?

d) Un paquete de diez hojas de papel tiene 310 cm de espesor.

¿Qué espesor tiene cada hoja? ¿Qué espesor tienen 100 hojas?

e) Gonzalo manda un tercio de su sueldo mensual a sus familiares, que viven en Hidalgo. Del resto, la mitad es para los gastos de su casa; de estos, 1

5 es para pagar la luz.

» ¿Qué fracción de su sueldo representa el pago de la luz?

» Si paga $80.00 de luz, ¿cuál es el sueldo de Gonzalo?

f ) Una mezcla de pintura está compuesta por pintura roja, pintura blanca y agua. Las pinturas roja y blanca representan juntas 3

5 de la mezcla. La roja es 14 de esos 3

5.

¿Quéfracción de toda la mezcla representa la pintura roja?

resolver

Una fracción equivalente: 10

__

15

Con 20 paquetes de 3

__

4

7 km

$450.00

3 cmm

1

6

3

20

3

100

1

5

Conoce otra forma para multiplicar y dividir fracciones en…


Una pista

Representa el sueldo de Gonzalo con un rectán-gulo y fracciónalo.


104


Vueltas alrededor de un circuito I21. Untrendavueltasenuncircuitode60km.

a) ¿Cuántos kilómetros recorrerá después de 2 34

vueltas?

b) ¿Cuántos kilómeteos recorrerá luego de 0.25 vueltas?

2. Calculalosdatosquefaltanycontestalapregunta.

Vueltas 0.25 25

0.5 1 78

2 23_4

3 3.5 5 51_4

km 60

La operación que permite obtener los kilómetros recorridos en cinco vueltas es 5 × 60 km = 300 km. ¿Cuál es la operación para obtener los kilómetros que se recorren en 2

5

de vuelta?

m Compara,engrupo,losdatosdelatabla.Comentenquésignificamultiplicarunacantidadporunafracción,porejemplo,

34 ×100g.

3. Enelrecuadroaparecenvariasmultiplicaciones.

a) Subraya cada operación con el color que se indica.

si el resultado es menor que 60.

si el resultado es mayor que 60 pero menor que 120.

si el resultado es mayor que 120.

23 × 60

0.4 × 60

1 12 × 60

34 × 60

1.5 × 60

52 × 60

25 × 60

0.75 × 60

2 13 × 60

73 × 60

2.1 × 60

2 34 × 60

BLOQUE

Así como a cinco vueltas le corresponde cinco veces 60 km (5 × 60 km),

a 25 de vuelta le corresponden 2

5 de 60 km ( 25 × 60 km).

La acción de obtener 25 de una cantidad también se llama multiplicar por 2

5 .


CONT

ENID

O

Ya sabemos...

0.25 es lo mismo

que 25 ___ 100 o 1 __ 4 .

135 km

15 km

15 24 30 30 120 165

ROJO

ROJO

ROJO ROJO

ROJOAZUL

AZUL

AZUL

AZULAZUL AZUL AZUL

180 210 300 315

2

__

5 Í 60 km


105

c) Resuelve de las dos maneras las multiplicaciones del primer renglón del recuadro ante-rior. Verifica que se obtenga el mismo resultado.

d) Resuelve las multiplicaciones del segundo renglón. Recuerda que multiplicar por 0.4 y por 4

10 es lo mismo.

e) Resuelve las multiplicaciones del tercer renglón. Recuerda que para multiplicar 60 por 2 1

3 se puede multiplicar 60 por 2, después 60 por 13

, y, finalmente, sumar ambos resultados.

÷3 ×2

60

60

×2 ÷3


4. Encuentraelnúmeroquefalta.Sielnúmeronoesentero,usafracciones.

a) × 60 = 300 b) × 60 = 120 c) × 60 = 60

d) × 60 = 30 e) × 60 = 20 f ) × 60 = 10

g) × 60 = 40 h) × 60 = 6 i) × 60 = 1

Observa que…

» multiplicarpor 12

eslomismoquedividirentre2.

» multiplicarnosiempreesagrandar.

Multiplicar 60 × 5 equivale a sumar cinco veces 60.

Multiplicar 60 × 34 equivale a obtener 3

4 de 60.

Multiplicar 60 × 0.75 equivale a obtener 75100 de 60.

b) Una manera de calcular 23 × 60 es calcular primero 1

3 de 60, dividiendo 60 entre 3, y luego multiplicar el resultado por 2.

¿Se obtiene el mismo resultado si se invierte el orden de esas operaciones, es decir, si primero se multiplica 60 por 2 y luego se divide entre 3? Haz la prueba y anota los resultados en el esquema.

20 40

120 40

5 1

1

60

1

6

1

2

2

3

2

3

1

3

1

10


106


Vueltas alrededor de un circuito II

1. Untrenviajaenuncircuitode25 dekm.

a) Si da diez vueltas, ¿cuántos kilómetros recorre?

b) Si da 12 de vuelta, ¿cuántos kilómetros recorre?

c) Si da 14 de vuelta, ¿cuántos kilómetros recorre?

d) La tabla de la derecha muestra una manera de

calcular 14 de

25 , que consiste en dividir 2

5 entre 2,

dos veces. Anota lo que falta.

e) Si el tren viaja 4 23 vueltas, ¿cuántos kilómetros

recorre?

f ) La tabla de la derecha muestra una manera de

calcular 23 de

25 : se calcula

13 de

25 , es decir,

25 se divide entre 3. Escribe lo que falta.

2

Vueltas km

(÷2)

(÷2)

1

(÷2)

(÷2)

12

25

14

15

Vueltas km

(÷3)

(×2)

1

(÷3)

(×2)

13

25

23

215

2. Elcircuitodeltrenahoramide 34 km.

a) Anota los datos que faltan.

Vueltas 14

13

12

23 1 1 2

32 2 2

34 5

13

km 34

BLOQUE

Recuerda que para dividir una fracción entre un número n se puede dividir su numerador entre n, o

bien, multiplicar su denominador por n.


CONT

ENID

O

resolver

técnicas

Cuatro.

13

15

4

15

3

16

1

4

3

8

1

2

5

4

3

22

4

154

1

1

5

1

10

1

10


107

b) Completa la técnica para calcular 47 de

25 km.

Paso 1

Calcular17 de

25

Estosehaceasí:

Paso 2

Multiplicarelresultadoanteriorpor4

Estosehaceasí:

c) Verifica los resultados de la tabla anterior mediante la técnica de multiplicar entre sí los numeradores y los denominadores.

3. Resuelveysimplifica.

m Compara,conayudadelprofesor,tusresultadosconlosdelgrupo.Averigüencómoseresuelvenlassiguientesmultiplicacionesdefraccionesmixtas.

a)2 23 ×

12 = b) 5

34 × 2

16 =

a)23 ×

12 = b)

34 ×

16 = c)

310 ×

13 = d)

512 ×

25 =

e)1

10 × 12 = f )

45 ×

54 = g)

310 ×

103 = h)

34 ×

43 =

Observa que 47

de 25

= (4 × 2)

_ (7 × 5)

= 835

.

Es decir, para encontrar el resultado de una fracción de fracción basta multiplicar entre sí tanto los

numeradores como los denominadores.

Para calcular a cuánto equivalen cinco vueltas de 60 km cada una, se multiplica

5 × 60 km = 300 km.

Para calcular a cuánto equivalen 47

de vuelta de 25

km cada una, también se multiplica47

× 25

= 4 × 2 _ 7 × 5

= 835

km.

Es decir, obtener una fracción de fracción también es multiplicar.

En las lecciones del bloque siguiente continuarás estudiando la multiplicación y la división de

fracciones y decimales.

técnicas

validar

2

5

1

3

4

3

299

24

1

8

1

10

1

6

1 1 1 1

20

2

35

2

35

8

35÷ 7= x 4 =

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de multipli-cación y división de fracciones.


108


¿Qué número multiplicado por 2 da 3?21. Trazaenunahojaunalíneade20cmydivídelaentressegmentosiguales.

a) ¿Cuánto mide cada segmento?

b) Multiplica por 3 la medida que encontraste y verifica que obtengas los 20 cm.

m ¿Alguienencontróunamedidaque,multiplicadapor3,déexactamente20cm?Sinolaencontraron,engrupo,inténtenloexpresandolamedidaconunafracción.Anótenla.

20cm÷3=

2. Algunosrobotsquesefabricanenuntallerdanpasosgrandesyotrosdanpasospe-queños.Lospasossemidenconunaunidadllamada“vara”.

a) Un robot avanza una vara en 5 pasos. ¿Qué fracción avanza en cada paso?

b) Calcula y anota en la tabla el tamaño de los pasos de otros robots. Verifica los resultados multiplicándolos por 5 y comparando la distancia que cada robot recorrió en 5 pasos.

Robot Distancia que avanza en 5 pasos Tamaño de un paso Verificación

RA 1vara 5× =

RB 2 varas 5 × =

RC 5 varas 5 × =

RD 14 varas 5 × =

RE 15 varas 5 × =

c) De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el resultado de dividir 7 varas entre 5?

d) La siguiente es una forma de dividir 7 varas entre 5.

3. Encuentraloscocientesusandofracciones.

a) 3 varas entre 4 = b) 6 varas entre 4 = c) 5 varas entre 6 =

d) 5 varas entre 3= e) 10 varas entre 8 = f ) 30 varas entre 8 =

El resultado de dividir una vara entre 5 es 15 de vara.

Si en vez de dividir una vara entre 5, se dividen siete varas entre 5, el resultado será siete veces ma-

yor, es decir, siete veces 15 de vara.

Por tanto, el resultado de dividir siete varas entre 5 es igual a 75 de vara o 1 2

5 .


CONT

ENID

O

resolver

técnicas

6.6666...

de vara

de vara

vara

de vara

de vara

7

__

5 de vara

3

4

5

3

3

2

5

4

5

6

15

4

20

3

1

5

1

5

15

5

14

5

2

5

1

2

1 5

14

15

1

5

2

5

14

5

15

5

1


109

4. Cadasábado,Maríallevabarritasdechocolateasusnuevesobrinosylespidequelasrepartanenpedazosiguales.

a) Anota en la tabla cuánto le corresponde a cada sobrino.

Total de barritas

A cada sobrino le corresponde…

Verificación División

Sábado 2 1 9× =1 1÷ 9=

Sábado 9 3 9× =3 3÷ 9=

Sábado 16 5 9× =5 5÷ 9=

Sábado 23 7 9× =7 7÷ 9=

Sábado 30 8 9× =8 8÷ 9=

b) Completa las oraciones.

» Si una barrita se reparte entre nueve niños, a cada uno le corresponde

» Si m barritas se reparten entre nueve niños, a cada uno le corresponde

» Si una barrita se reparte entre n niños, a cada uno le corresponde

» Si m barritas se reparten entre n niños, a cada uno le corresponde

Ya sabemos…

Dados dos números diferentes de 0, siem-pre existe un tercer número que multipli-cado por uno de los números da el otro.

5. Resuelveusandofracciones.

a) 2 × = 1 b) 5 × = 2 c) 3 × = 2 d)4 × = 1

e) 10 × = 3 f ) 100 × = 3 g) 2 ÷ 5 = h)3 ÷ 4 =

6. Resuelveconnúmerosdecimales.Puedesusarcalculadora.

a) 2 × = 1 b) 5 × = 2 c) 3 × = 2 d)4 × = 1

e) 10 × = 3 f ) 100 × = 3 g) 2 ÷ 5 = h)3 ÷ 4 =

m Comparalosresultadosdelasactividades4,5y6contuscompañeros.Comentenlosiguiente:¿quéfraccióndebarritamultiplicadapor2esigualatresbarritas?

Observa que el resultado de dividir m unidades entre n es la fracción mn de unidad.

1

9

m

9

1

n

m

n

1

9

1

9

1

2

3

10

2

4

3

100

2

5

2

3

1

4

3

4

0.5 0.4

0.4 0.75

0.666 0.25

0.3 0.03

1

3

5

9

7

9

8

9

1

3

5

9

1

9

1

3

5

9

7

9

8

9

7

9

8

9


110

BLOQUE


A la misma distancia I

Se decidió construir una estación de tren a la misma distancia de dos pueblos. ¿Cómo localizarías ese lugar?Al estudiar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo podrás resolver problemas como este.

1. LospuntosnegrosrepresentanlascasasdeFernando(F)ydeLuisa(L).Seconstruiráunpozoalamismadistanciadeambas.Elpuntoazulesunadesusposiblesubicaciones.Marcaotroscincopuntosenlosquetambiénpodríaconstruirse.

F

L

a) Traza una recta que pase por los cinco puntos. Si no puedes trazarla, rectifícalos.

b) Traza el segmento que une los puntos negros. Este es el segmento FL. La recta que trazaste en el inciso a) corta al segmento FL en un punto. Llámale P.

c) Mide los segmentos. FP = LP =

d) ¿Cuánto miden los ángulos que forman el segmento FL y la recta que trazaste?

e) Por formar esos ángulos, ¿cómo son entre sí el segmento y la recta?

La recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él se llama

mediatriz del segmento.

Ya sabemos…

Como divide al segmento FL en dos partes iguales, P es su punto medio.

Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

CONT

ENID

O

resolver

3.1 cm

90o

Perpendiculares.

3.1 cm


111

m Comenta,enelgrupo,tusrespuestasdelasactividades1y2.

3. Leeelsiguienteprocedimientoparatrazarlamediatrizdeunsegmento.

a) Abre tu compás a una medida mayor que la mitad del segmento.

c) Apoya el compás en el otro extremo del segmento y traza dos arcos que corten los anteriores.

b) Apoya el compás en un extremo del segmento y traza un arco arriba y abajo.

d) Une los puntos de corte. Esa recta es la mediatriz.

4. Trazaentucuadernocuatrosegmentosdiferentesy,conelprocedimientodescrito,marcasusmediatrices.

Los puntos que pertenecen a la mediatriz de un segmento están a la misma distancia

de los extremos de este.

técnicas

2. EnlaactividadanteriortrazastelamediatrizdelsegmentoFL.Esarectapasaporloscincopuntosquehabíasmarcado.Marcaotrostrespuntos.

a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de F y de L?

b) Verifica tu respuesta.

c) La recta azul es la mediatriz de AB.» Marca cinco puntos sobre la recta.» Mide su distancia a los extremos del

segmento. » Verifica que estas distancias sean iguales.

A

B

Practica cómo se traza la mediatriz de un seg-mento en…


Este procedimiento también es útil para tra-zar figuras geométricas. ¿Cómo lo usarías para trazar un triángulo con dos lados iguales y uno diferente? ¿Y para uno con tres lados iguales?

Sí.


112

BLOQUE

2 A la misma distancia II


1. Secolocaráunaseñalalamismadistanciadedosvíasférreasquesecruzan.

a) El punto rojo es una posible ubicación para la señal. Marca otras cinco posibilidades.

b) Traza una recta que pase por los cinco puntos y prolóngala hasta el vértice del ángulo. Si no es posible hacerlo, rectifica los puntos.

c) Al trazar la recta, el ángulo quedó dividido en dos ángulos iguales. Usa tu transportador y completa la tabla.

Medida del ángulo inicial

Medida de los ángulos en que quedó dividido

2. Enlaactividadanteriortrazastelabisectrizdelánguloqueformanlasvías.Esarectapasaporloscincopuntosquehabíasmarcado.Marcaotrostrespuntos.

a) ¿Estos puntos están a la misma distancia de las vías?

b) Verifica tu respuesta. Recuerda que para medir la distancia de un punto a una recta se usa la escuadra.

La línea que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales

se llama bisectriz del ángulo.


CONT

ENID

O

resolver

Practica el trazo de la bisectriz de un ángulo en…


Sí.

20o

40o

R. P.


113

c) La recta roja es la bisectriz del ángulo A.

A

B

C

» Marca cinco puntos sobre la bisectriz y mide sus distancias a los lados del ángulo. Verifica que sean iguales.

m Comentacontuscompañeroslasrespuestasdelasactividades1y2.Escribanensuscua-dernoslapropiedadquecumplenlospuntosdeunabisectrizeilústrenla.

3. Leeelsiguienteprocedimientoparatrazarlabisectrizdeunángulo.

4. Trazaentucuadernocuatroángulosdiferentesy,conelprocedimientodescrito,trazalabisectrizdecadauno.

a) Abre el compás a una medida arbitraria y, con el centro en el vértice (V), traza dos arcos que corten los lados del ángulo. Los puntos de corte son M y N.

c) Con la misma abertura, y apoyando el compás en N, traza otro arco que corte al anterior. El punto de corte es P.

b) Apoya el compás en M y traza un arco hacia el lado opuesto a V.

d) Une V y P. Esa línea es la bisectriz.

V

V

V

V

M

M

M

M

N

N

N

N

P

P

Los puntos que pertenecen a la bisectriz de un ángulo están a la misma distancia de sus lados.

técnicas

Este procedimiento también es útil para tra-zar figuras geométricas. ¿Cómo lo usarías para trazar un rombo de 8 cm de lado y cuyo ángulo agudo mida 60°?

R. P.

R. P.

R. P.


114

BLOQUE

2 Mediatrices y bisectrices


1. TrazatrestriángulosisóscelesdistintosenlosqueelsegmentoMNseaelladodesigual.

2. TrazatresrombosdistintosenlosquesudiagonalmayorseaelsegmentoPQ.

3. Trazaunabisectrizencadapolígono.

a) ¿En qué polígonos la bisectriz es mediatriz de un lado?

b) ¿Qué tienen en común estos polígonos?

c) Si se trazara la bisectriz de un polígono regular de 35 lados, ¿esa bisectriz sería mediatriz

de un lado? ¿Cómo lo sabes?

d) ¿Pasaría lo mismo si el polígono fuera irregular?

Traza un polígono regular en tu cuaderno y ejemplifica tu respuesta.



CONT

ENID

O

validar

P

Q

M

N

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de mediatriz y bisectriz.

Pentágono y heptágono.

Tienen un número impar de lados.

No.

Sí. R. P.

R. P.


115

4. Larectaanaranjadarepresentaunavíaférreaylospuntos,dospoblados.Seconstruiráunaestacióndetrenalamismadistanciadeambos.Ubicaconunpuntoellugardondepodríaconstruirselaestación.

5. AnaquiereponerunnegocioalamismadistanciadelasavenidasMarianoEscobedo,MelchorOcampoyEje3Poniente.Señalaellugaradecuado.Señalatambiéndóndedeberíaestarsiloquisieraalamismadistanciadeloscrucesdeestasavenidas.

Calz.Gral.M

arianoEscobedo

EJE3PTE

Gutenberg

Calz

.Mel

chor

Oca

mpo

EjércitoNacionalMexicano

MuseoRufinoTamayo

resolver

Convivimos

Ante una tarea matemática piensa que eres libre de probar diferentes maneras de resolverla. Por lo general no hay una sola que lleve a la respuesta correcta.

Una pista

Recuerda las caracterís-ticas de la mediatriz y la bisectriz.

R. P. Debe

estar sobre

la mediatriz.


116

BLOQUE


Unas fórmulas se originan en otras

¿Te has preguntado de dónde salen las fórmulas para calcular perímetros y áreas? ¿Por qué una fórmula puede servir para diferentes figuras? En esta secuencia estudiarás estos aspectos y verás por qué sabiendo una puedes conocer otras.

1. Lafórmulaparacalculareláreadelassiguientesfiguraseslamisma.Explicaporqué.

b b

h hA = bh A = bh

m Comparatuexplicaciónconladetuscompañeros.Sinocoinciden,verifiquenquiénestienenrazón.

2. Divideelrectánguloyelromboideendospartesigualesmedianteunadiagonal.

a) ¿En qué figuras quedaron divididas?

b) ¿Qué parte del área de cada figura ocupan?

c) Tanto la base del rectángulo como la del romboide miden b, y las alturas, h. ¿Cuánto miden la base y la altura de los triángulos que se formaron?

d) Considerando que las áreas del rectángulo y del romboide se calculan multiplicando base por altura (A = bh), ¿cómo se determina el área de un triángulo?

¿Por qué?

m Analiza,engrupoyconayudadelprofesor,tusrespuestas.

Triángulosenelrectángulo

Base = Altura =

Triángulosenelromboide

Base = Altura =

Justifica las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.CO

NTEN

IDO

R. T. Las dos figuras tienen áreas iguales, y también base y altura iguales.

Triángulos.

La mitad.

Porque es la mitad de un cuadrilátero.

b

b

h

h

bh

_

2

Ya sabemos…

Una figura se puede transformar en otra, conservando su su-perficie.


117

3. Estasfigurassonpolígonosregulares.

a) Divide cada polígono en triángulos iguales. El centro del polígono debe ser el vértice común de los triángulos, y estos deben ser tantos como los lados del polígono.

b) Si el área de un triángulo se calcula multiplicando base por altura y dividiendo el resul-tado entre 2 (A = bh

 __ 2 ), ¿cómo se determina el área de un hexágono regular?

c) ¿Cómo se calcula el área de un octágono regular?

d) ¿Cómo se obtiene el área de un polígono regular de 25 lados?

e) ¿Cómo se calcula el área de un polígono regular de n lados?

La fórmula para calcular el área de un polígono regular es área igual a perímetro por apotema entre dos, (A = Pa

__ 2 ). La apote-ma tiene la misma medida que la altura de uno de los triángu-los en que se divide el polígono. apotema

4. CalculaeláreadeunoctágonoregulardelamedidaquequierasconlasfórmulasA=Pa

 __2yA=8×bh __2(baseporalturaentre2,queeseláreadeltriángulo,por8,puesto

queeloctágonosedivideen8triángulos).Verificaentucuadernoquelosresultadosseanigualesenlasdosfórmulas.

técnicas

resolver

A = 6 x bh

_

2

A = 8 x bh

_

2

A = 25 x bh

_

2

A = n x bh/2

R. P.

Ya sabemos…

Un polígono regular es una figura que tiene lados y ángulos iguales.

¿Puedes identificar el perímetro del octágono en esta fórmula? A = 8 × bh

__ 2 . ¿Y laapotema?


118

BLOQUE

2 La mitad del doble


1. Estafiguraesunromboideformadopordostrapeciosiguales.

a) Expresa con letras las medidas.

» Base mayor del trapecio » Altura del romboide » Base menor del trapecio » Área del romboide » Altura del trapecio » Área del trapecio » Base del romboide

m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Sinocoinciden,verifiquenquiénes tienenrazón.Comentenlasiguienteinformación.

La fórmula para calcular el área de un trapecio es

base mayor más base menor por altura entre 2:

A = (B + b) h ______ 2 .

2. Tambiénsepuedeobtenerlafórmulaparaeláreadeltrapecioconuncorteeneste,paraleloalasbasesyalamitaddelaaltura,ylaunióndelaspartes.

a) Encuentra las medidas del romboide con base en las medidas del trapecio.

» Base del romboide » Altura del romboide

b) ¿Cuál es el área del romboide?

c) ¿Cuál es el área del trapecio?

Justifica las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.CO

NTEN

IDO

a

b

c

c

a + b

(a + b)c

h _

2

B b

B + b h _

2

(B + b)h

_

2

(B + b)h

_

2

(a + b)c

_

2

b

a b

b

h

B

c

¿Es cierto que (B + b) (h)

_______ 2 = (B + b)( h __ 2 )? Compruébalo asignan-do valores a B, b y h.


119

A

D

d D pord D pord entredos

B C

A

a) ¿Qué fórmula conoces para calcular el área de un cuadrado?

b) Si la unidad de medida es un cuadrito, ¿cuál es el área de A?

c) ¿Cuál es el área de B?

d) Observa que un lado de B mide lo mismo que la diagonal de A y su área es el doble.

m Expresa,engrupo,apartirdelasobservacionesanteriores,otrafórmulaparacalculareláreadelcuadradoyanótala.

4. Elromboyelcuadradotienencuatroladosiguales.Difierenenqueelcuadradosiempretienecuatroángulosrectosyelrombopuedetenerdosángulosagudosydosobtusos.

a) ¿Cuánto miden las diagonales del rombo A? d = D =

b) Al multiplicar D por d se obtiene el área de un rectángulo cuyo largo es D y su ancho, d. ¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y el área del rombo?

c) ¿Cómo se calcula el área de un rombo con base en sus diagonales?

3. Observalafigurayrespondelaspreguntas.

B

resolver

Lado por lado.

16 cuadritos.

32 cuadritos.

4 6

El área del rombo es la mitad de la del rectángulo.

D x d

_

2

(Diagonal x Diagonal)

__

2

Entra a la página de CONECT@ y descarga la actividad de área de polígonos.


120

BLOQUE

2 Banderas a escala


Si se amplifica un dibujo de manera que un lado de 6 unidades mida 9, ¿cuánto medirá un lado de 4 unidades?

1. Luisharáseiscopiasaescaladelabanderadeladerecha.Consideralatablaparacon-testarlaspreguntas.Nocalculestodavíalasmedidas.

a) ¿Qué copias serán más grandes que la original?

b) ¿Cuál será la copia más grande?


Bandera original

Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5 Copia 6

Lado a 6 12

Lado b 6 9

Lado c 4 12

Lado d 8 20

Lado e 12 6 9

2. Indicasilasafirmacionessoncorrectasoincorrectasyexplicatusrespuestas.

Afirmación1: Las medidas de la copia 1 se obtienen multiplicando por 2 las de la original.

Afirmación2: Las medidas de la copia 5 se obtienen sumando 3 unidades a las de la original.

a) Si las dos afirmaciones fueran correctas, ¿cuánto medirían los lados de las copias 1 y 5?

Copia1. Lado a: Lado b: Lado c: Lado d: Lado e:

Copia5. Lado a: Lado b: Lado c: Lado d: Lado e:

b) Dibuja en papel cuadriculado las copias 1 y 5.

c) ¿Cómo quedaron? Registra tus observaciones en tu cuaderno.

a

c

de

b

Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

CONT

ENID

O

resolver

validar

Observa representacio-nes a escala de objetos reales en…


Las copias 1, 2, y 4.

La copia 4.

Es correcta, pues la copia 1 es el doble del original.

12 12 8 16 24

9 9 7 11 15

Es incorrecta, pues 4 + 3 = 7 y el lado b mide 6.

12

8

16

24

3

3

2

4

18

18

24

36

9

6

12

18

4.5

4.5

3

6

15

15

10

30

S-CNCT_M1_B2_120-125_maestro_de_alta 120 3/26/12 3:10 PM

121

3. Lasmedidasdelacopia5noseobtienensumando3alasdelaoriginal.

a) ¿Cómo se obtienen y cuáles son?

Lado a: Lado b: Lado c: Lado d: Lado e:

b) Dibuja en papel cuadriculado la copia 5 con las medidas que encontraste.

» La bandera original es un cuadrado. ¿Ocurre lo mismo en tu copia?

» En la bandera original, e es igual a la suma de c y d. ¿Esto ocurre en tu copia?

» Si tu copia 5 no cumple con las características anteriores, averigua, en grupo, dónde está el error.

4. Elladobmide6unidadesenlabanderaoriginaly9enlacopia5.Sicmide4unidades

enlaoriginal,¿cuántodebemedirenlacopia5?

a) En la tabla de la derecha hay un procedi-miento para calcular la medida de c en la copia 5. Encuentra lo que falta y compara el resultado con el que habías obtenido.

Dibujo original Copia 5

-4

1

9

—

—

6

×4

÷6

×4

÷6

5. Anotaenlatablaelnúmerodeunidadesquecorrespondeencadacopiaaunasolaunidaddelaoriginal.

Bandera original


1 2 1 1 __ 2 o 1.5

6. Calculalasmedidasdelasseiscopias,anótalasenlatabladelaactividad1ydibujalascopiasenpapelcuadriculado.

m Comparatuscopiasconlasdetuscompañeros.Verifiquenlasanticipacionesquehicieronenlaactividad1.

validar

técnicas

Multiplicando 1.5 por cada lado.

Sí.

9 9 6 12

Sí.

6

1.5

6

18

5

2

1

2

3

4

o 2.5 o 0.5 3 o 0.75


122

BLOQUE

2 Más del doble pero menos del triple


1. Escribelasmedidasquecalculasteenlalecciónanterior.

Bandera original


1 2

Lado a 6 12

Lado b 6 9

Lado c 4 12

Lado d 8 20

Lado e 12 6 9

2. Contestalaspreguntas.

a) ¿En qué copia los lados miden el doble que los de la bandera original?

¿Cuál es su factor de escala?

b) ¿En qué copia los lados miden el triple que los de la original?

¿Cuál es su factor de escala?

c) ¿Qué copia está entre las dos anteriores? Es decir, ¿cuál es mayor que unapero menor que la otra?

d) Los lados de esta última copia miden más del doble que los de la original, pero menos del triple. Por tanto, el factor de escala agranda más del doble pero menos del triple.

¿Cuál es ese factor?

En la copia 2, a cada unidad del dibujo original le corresponden 2 1 __ 2 unidades: 1➝ 2 1 __ 2 .

Entonces, el factor de escala de la copia es 2 1 __ 2 o 2.5.


CONT

ENID

O

1

2

Copia 1

2

Copia 4

3

Copia 2

2

12

2.5 0.5 3 1.5 0.75 0.25

16

24

8

15

15

10

30

3

3

2

4

18

l8

24

36

9

6

12

18

4.5

4.5

3

6

1.5

1.5

1

2

3


123

m Verificaengrupo.Puedesusarcalculadora.

a) Cada medida de la copia 2 es 2 1 __ 2 veces la medida correspondiente de la original.

b) Cada medida de la copia 2 es igual a la medida correspondiente de la original por 2.5.

3. ¿Cuálessonlosfactoresdeescaladelasotrascopias?Anótalosenlaprimerafiladelatabladelapáginaanterior.

4. Elfactordeescaladeunanuevacopia(copia7)es0.25.Anótaloenlacolumnavacíadelatablaanterior.

a) ¿La copia 7 es mayor, menor o igual que la bandera original?

b) ¿Cuánto mide en la copia 7 el lado que en la original mide 6 unidades? A continuación hay dos caminos para calcularlo: complétalos.

Camino 1: como el factor de escala es 0.25, a cada unidad de la original le corresponden 0.25 unidades en la copia. Entonces…

1 ➞ 0.25

6 ➞ 6 veces 0.25 =

Camino 2: como el factor de escala es 0.25, todas las medidas de la copia son 25

___ 100 de las originales, es decir, 1 __ 4 de las originales.

Por tanto, el lado de 6 unidades en la ban-

dera original medirá, en la copia, 1 __ 4 de 6 uni-

dades, es decir, unidades.

c) Calcula las demás medidas de la copia 7 y anótalas en la tabla.

5. Ordenalosfactoresdeescala,desdeeldelacopiamáspequeñahastaeldelamásgrande.

× 1.2 × 1.19 × 0.8 × 0.75 × 2 × 3 × 2 _ 3

× 7 _ 4

m Compara,conayudadelprofesor,tusresultadosdelasactividades3,4y5conlosdetuscompañeros.

resolver

técnicas

Si un factor de escala es, por ejemplo, 7 __ 4 , entonces…

» a cada unidad de la figura original le corresponden 7 __ 4 de unidad en la copia;

» cualquier medida de la copia equivale a 7 __ 4 de la medida original.

Ya sabemos…

Recuerda: dividir entre n equivale a multipli-car por 1 __ n .

7

4

Menor.

1.5

2

_

3 0.75 0.8 1.19 1.2 2 3

1.5


124

BLOQUE

2 La casita a escala


1. Seharáncincocopiasaescaladeldibujoqueaparecealaizquierda.Enlatablaseindicanvariasmedidasdeloriginalyunamedidadecadacopia.Antesdecalcularlasmedidasquefaltan,contestalaspreguntas.Argumentatusrespuestas.

a) ¿Qué copia será la más pequeña?

¿Cómo lo sabes?

a b

ce

d

f

c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles?

¿Por qué?

3 __ 4 1 __ 2 1 __ 3 1 __ 2 1 __ 5

Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5

Lado a 4 3

Lado b 10 5

Lado c 6 2

Lado d 2 1

Lado e 5 1

m Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros.Expliquensusrazonesencadacaso.Noesnecesarioquelleguenaacuerdos.Másadelantepodránverificar.

2. Efectúaloquesepide.

a) Calcula las medidas de la copia 1 y anótalas con lápiz en la tabla.

b) A continuación se indican tres relaciones que cumplen las medidas del dibujo original. Anota “sí” o “no” para indicar si en las medidas que calculaste para la copia 1 se verifican esas relaciones. Si no se verifica alguna, hay un error.

» ¿El lado a mide lo doble que el lado d?

» ¿El lado c mide lo triple que el lado d?

» ¿El lado b mide lo doble que el lado e?


CONT

ENID

O

b) ¿Qué copia será la más grande?

¿Cómo lo sabes?

7.5

4.5

1.5

3.75

2

3

1

2.5

1.33

3.33

0.66

1.66

2

5

3

2.5

0.8

2

1.2

0.4

Copia 2.

R. P.

Copia 4.

R. P.

1 y 3

Sí.

Sí.

Sí.

R. P.


125

Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5

Lado a 3 4

Lado b 5 6

Lado c 1 2

Lado d 4 6

Lado e 2 3

c) El lado a mide 4 unidades en el dibujo original y 3 en la copia 1. Si el lado b mide 10 unidades en el original, ¿cuánto mide en la copia 1? Responde en tu cuaderno.

» Completa los datos que faltan en la tabla y compara el resultado con la medida del lado b que encontraste.

3. Efectúalosiguienteconayudadetuprofesor.

a) Compara las medidas y factores que anotaste en la tabla con los de tus compañeros.

b) Verifica si acertaste en cuál iba a ser la copia menor y cuál la copia mayor.

4. Enlatabladeabajoseindicanlasmedidasdeldibujodelade-rechayalgunasdecincocopiasaescala.Contestalaspreguntasantesdecalcularlosdatosyjustificatusrespuestas.

a) ¿Qué copia será la más pequeña?

b) ¿Qué copia será la más grande?

c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles son?

d) Calcula los datos que faltan.

e

a

bc

d

d) Dado que a cada unidad del original le corresponden en la copia 3 __ 4 de unidad, el factor de escala es 3 __ 4 . Anótalo en la primera fila de la tabla, en la columna que corresponde a la copia 1.

» Verifica las medidas de los demás lados y corrígelas si es necesario.

» Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b).

e) Calcula las medidas de las demás copias y anótalas en la tabla. Verifica que se cumplan las relaciones del inciso b). Anota también los factores de escala que corresponden a cada copia.

Dibujo original Copia 1

-10

1

3

—

—

4

×10

÷4

×10

÷4

Practica la proporciona-lidad en los dibujos a escala en…


6.66

1.33

5.33

2.66

3.6

1.2

4.8

2.4

6

10

8

4

4.5

7.5

1.5

3

4.5

7.5

1.5

6

La copia 2.

7.5

Copia 3.

4 y 5

3

5


126

Las matemáticas en...

Los números primos

Desde la Antigüedad, los matemáticos han estudiado los números primos y han logrado de-mostrar algunas de sus propiedades. Sin embargo, aún hay muchas preguntas sin respuesta. Aquí te presentamos algunas de ellas.

En la antigua Grecia, el matemático Euclides demostró que “hay una cantidad infinita de nú-meros primos” o, dicho en otras palabras, “no hay un número primo que sea el más grande de todos”. Todavía no se ha descubierto un método para encontrar fácilmente números pri-mos muy grandes.

Escribe en cada inciso un número primo más grande que el que está escrito.

a) > 5 b) > 13 c) > 53 d) > 31 e) > 41

Los números primos, son, en cierta forma, los “ladrillos” o “componentes más básicos” de los números, pues cualquier número natural puede escribirse como una multiplicación de nú-meros primos, por ejemplo:

15 = 5 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 70 = 2 × 5 × 7 164 = 2 × 2 × 41 813 = 3 × 271

Escribe los siguientes números como multiplicación de números primos.

a) 32 = b) 78 = c) 192 = d) 18 = e) 69 =

Los matemáticos también se han preguntado, al respecto de los números primos, qué tan cerca pueden estar dos de ellos y cuántos hay a la misma distancia.

Los primos 2 y 3 distan una unidad, es decir, están lo más cerca posible.

Los primos 3 y 5 distan dos unidades; son llamados primos gemelos; 11 y 13 también son pri-mos gemelos.

¿Hay otros dos números primos que disten una unidad? Explica tu respuesta.

Escribe cinco parejas de primos gemelos.

Se considera que hay una cantidad infinita de primos gemelos; sin embargo, hasta ahora no se ha demostrado que así sea.

Euclides enseñando geometría a sus alumnos

7R. T. 19 79 47 79

R. T. No, porque el 2 es el único par.

(5, 7), (17, 19), (29, 31), (41, 43),

(59, 61)

2 x 2 x 2 x 2 x 2

2 x 3 x 13

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3

2 x 3 x 3 3 x 23


127

Muchos números pares mayores que 2 se pueden escribir como suma de dos números pri-mos, por ejemplo:

8 = 5 + 3 24 = 13 + 11 48 = 31 + 17 100 = 83 + 17

Escribe los siguientes números como suma de dos números primos.

a) 18 = b) 28 = c) 30 = d) 90 = e) 56 =

Muchos matemáticos han tratado de demostrar que “cualquier número par mayor que 2 pue-de escribirse como suma de dos primos”, pero nadie ha podido.

Durante mucho tiempo algunas personas creyeron que encontrar primos cada vez más gran-des era una mera “ociosidad de los matemáticos”, pero en el siglo xx se descubrió que los nú-meros primos grandes resultan muy útiles para enviar mensajes secretos.

La idea se basa en que con dos números primos grandes es fácil crear un número compuesto grande (basta con multiplicarlos).

Multiplica estos números primos.

5 × 11 = 13 × 17 = 11 × 7 = 23 × 7 = 19 × 29 =

Pero el camino de regreso es diferente: es muy difícil escribir un número compuesto muy grande como multiplicación de números primos.

Encuentra los dos números primos que, multiplicados, dan como resultado los nú-meros que se indican.

× = 341 × = 91 × = 217 × = 85 × = 899

Multiplica dos números primos menores que 20 y di a tus compañeros el resultado. Ahora pregúntales qué primos multiplicaste.

¿Cuánto tiempo tardaron en responder?

Actualmente, la seguridad de muchos datos bancarios depende de los números primos. Hay compañías que ofrecen un premio a las personas que encuentren nú-meros primos cada vez más grandes.

Quizás en el futuro comprobar si cualquier número par mayor que 2 puede escri-birse como suma de dos números primos, o saber cuántos primos gemelos hay, resulte ser más que una simple “ociosidad matemática”.

55

R. P.

11 31 7 13 31 7 17 15 29 31

221 77 161 551

15 + 3 17 + 11 23 + 7 29 + 61 43 + 13


128

Evaluación(TIPO ENLACE) BLOQUE 2

1.¿Quénúmeroesdivisibleentre3?

a) 1111 b) 11111111111

c) 111111111111 d) 1111111111111

2.Enunapapeleríasevendencajasdelápicescondoceunidadesycajasdeborradorescondiezunidades.Unapersonaquierecomprarlamismacantidaddelápicesyborradoresgastandolomenosposible.¿Cuántoslápicesdebecomprar?

a) 120 b) 112 c) 60 d) 22

3.Aunlistónquemide91.44cmselecortaunpedazode3_4

m.¿Cuántolistónsobra?

a) 90.69 cm b) 83.94 cm c) 25 cm d) 16.44 cm

4.Elaireestácompuestodevarioselementosquímicos,deloscuales3__4sonnitrógeno;1__5,oxígeno;yelresto,otroscomponentes.¿Quépartecorrespondeaotroscomponentes?

a) 1 _ 20

b) 4 _ 9

c) 5 _ 9

d) 19 _ 20

5.Doslitrosymediodelecheserepartenenvasosde2__5l.¿Cuántosvasossellenanycuántosobra?

a) Cinco vasos y sobra 1 _ 5

l. b) Seis vasos y sobra 1 _ 10

l.

c)Siete vasos y sobra 4 _ 5

l. d) Ocho vasos y sobra 1 _ 4

l.

6.Eneldiagrama,LeslamediatrizdelsegmentoAB.¿QuépodemosaseguraracercadeltriánguloABC?

a) El triángulo ABC es equilátero(sus tres lados miden lo mismo).

b) El triángulo ABC es isósceles(dos de sus lados miden lo mismo).

c) El triángulo ABC es escaleno(sus tres lados tienen medidas distintas).

d) El triángulo ABC es rectángulo(uno de sus ángulos es recto).

A

B

C

L

Selecciona la opción correcta.


129

7.ObservalafiguraABCDEF:esunhexágonoregularcuyocentroesO.IdentificalaopciónparacalcuareláreadelcuadriláteroABCF.

a) ( 57.9 _ 4.72

) × 3

b) 57.9 × 3

c) 4.72 × 3

d) ( 57.9 _ 2

) × 3

8.SequierereducirunafigurademaneraqueelladoAB,quemide5cmenlafiguraori-ginal,mida4cm.¿Conquéoperaciónsecalculanlasmedidasdelafiguraaescala?

a) Restar 1 a cada medida original.

b) Restar 2 a cada medida original.

c) Multiplicar por 4 _ 5

cada medida original.

d) Multiplicar por 5 _ 4

cada medida original.

9.AnotaenlosrecuadroslabaseylaalturadelrectángulousandolasmedidasDyddelaprimerafigura.Despuésexpresaeláreadelrectángulo.

1

1 cm 1 cm

2 cm

3 cm

3 cm

A

d

D

B

CD

EF

G H

4 cm

5 cm

A B

C

Area=57.94.72

DE

F

A=_________

Recámara1

9 m

Recámara2

BB

Comedor

Escalerasalsótano

Sala

Cocina

1 423

A

B

C

D

10.Mideloquenecesites.Apartirdelamedidaqueseproporcionaenelplano,averiguayanota.

a) Longitud real de la recámara 1(distancia entre la línea 1 y la línea 3):

b) Ancho de la cocina(distancia entre la línea A y la línea B):

c) Ancho de la casa (distancia entrela línea A y la línea D):

d) Factor de proporcionalidad:

D

__

2

dD

___

2

4.94 m

3.53 m

9 m

17

_____

3000


Pongo en juego mis competencias

130

Evaluación(TIPO PISA) BLOQUE 2

Geometría e ilusiones ópticasLaimagenesunfragmentodelaobraBitlinko,deVíctorVasarely,unartistadecomienzosdelsigloxxaquienseleconsideraelpadredelOp-Art,unacorrienteabstractaqueutilizafenómenosópticosparaengañaralojohumanoydarsensacióndemovimientoorelieve.Alcontrariodeotrastendencias,elOp-Artsebasaenprincipioscientíficosrigurosos.

Pregunta 1. En la obra mencionada el artista ha incluido tres tipos de polígonos. ¿Cuáles son y cuántos hay de cada tipo?

Pregunta 2. Si se sabe que el lado de cada cuadrado mide 2 cm, se observa la relación entre las dimensiones de los tres tipos de polígonos y se mide lo necesario, ¿cuál es el área total de la superfi cie pintada de negro?

Pregunta 3. Si miras fi jamente la imagen notarás puntos grises en la intersección de los polígonos. Estos no son reales, sino una ilusión óptica. ¿A qué se debe?

Pregunta 4. Muchas personas opinan que estas obras geométricas no pueden considerarse arte. ¿Qué opinas tú? Escribe tus argumentos y pre-séntaselos a tus compañeros.

Pregunta 5. Elabora una composición geométrica con polígonos al estilo de Vasarely. ¿Qué polígonos utilizaste? Calcula el área de tu composición.

LuisquiereadivinarelnúmerodecartasquetieneCarlos,quienledice:“Elnúmerodecartasquetengoeselmáspe-queñoquemepermitehacermontonesde18ode30sinqueenningúncasomesobrencartas”.

Luisescribeunosnúmerosenunpapelyenpocossegundoscontesta:“¡Tienes90cartas!”.

Carloscuentasuscartasy,sorprendido,responde:“¿Cómolohiciste?”.

Luislecontesta:“LoaprendíenclasedeMatemáticas”.

Pregunta 1. Como Carlos puede hacer montones de 18 o de 30 cartas, ¿cuántas cartas puede tener?

Pregunta 2. Explica cómo adivinó Luis esto.

COMPETENCIASResolver problemas de manera autónoma

Manejar técnicas efi cientemente

COMPETENCIASResolver problemas de manera autónoma

Comunicar información matemática ¿Adivino gracias a las matemáticas?


Pongo en juego mis competencias

131

Y para terminar...

Necesitarásochocuadradosdepapeldelmismotamaño;cuatrodeuncolorycuatrodeotro.

1.Tomauncuadradoydóblaloporlaslíneaspunteadasparahallarelcentro.

2.Llevadosvérticesconsecutivosdelcuadradohaciaelcentro.

3.Marcacondobleceslaslíneaspunteadas;nodejeseldoblezhecho,solomarcaydesdobla.

4.Doblaalamitadhaciaelcentroparaformarunromboide.

Encuentra,sinusartransportador,cuántomidecadaán-gulodelromboide.

Repitelospasosanterioreshastaobtenerochoromboides.

a) b) c)

5. Ensambladosromboidesdediferentecolorcomosemuestra.

6.Doblahaciaadentrolospequeñostriángulossobrantesparafijarbienlosdosromboides.

7.Hazlomismoconlosochoromboideshastacompletarlasiguientefigura.

¡Hagamos papiroflexia!

¿Quéfigurasformaneldiseño?

8.Deslizalaspiezashaciaelcentrodeloctágonoyob-tendrásestaestrella.

Identificaenlaestrella,sinusartransportador,ángulosde45º,90ºy135º.


B2_Matematicas 1 conecta

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