400

oblemas

esuelto

s

la web)

Adaptado

a la LOMCE

Incluye 400

problemas

(resuelto

s

enla web)

e-lectoibris

Matemáticas IIBachillerato

de Ciencia y Tecnología

Segunda edición

José Asensio MayorJosé Martínez HernándezAntonio Moreno RaelJosé Navarro Cáceres

José Asensio Mayores Licenciado yDoctor en Matemáticaspor la Universidad deMurcia (UM) y ProfesorTitular de Álgebraen la misma, con ampliaexperiencia docente.Autor de diversostrabajos sobre teoría de

anillos y del libro Ecuaciones Algebraicas(DM-UM). Actualmente es Delegado en laUM de la Real Sociedad MatemáticaEspañola (RSME) para la OlimpiadaMatemática Española y miembro de laComisión de Educación de la RSME.Entre 1996 y 1999 fue CoordinadorGeneral de las Pruebas de Acceso a laUniversidad en la UM y es Coordinadorcon Educación Secundaria de la misma.Ha participado en diversos proyectos deInnovación Educativa financiados por elministerio de educación y la ComunidadAutónoma de la Región de Murcia.

José MartínezHernándezes Licenciadoen Matemáticaspor la Universidadde Granada.Catedrático deEnseñanza Secundaria

(Matemáticas) y Director del IES IsaacPeral (Cartagena). Es Profesor Asociadode la Universidad Politécnica deCartagena y Delegado la OlimpiadaMatemática Española (RSME) para lamisma, donde además ejerce comopreparador de olimpiadas matemáticas.Ha desarrollado material educativo conénfasis en el uso de aplicaciones comoGeogebra. Obtuvo varios Premios TIC dela CARM: 2o en 2005, 3o en 2006 y 1o en2007. Fue Tutor del Instituto Nacional deTecnología Educativa entre los cursos2009/2010 y 2012/2013. También esPremio de la Academia de Ciencias de laRegión de Murcia.

Antonio Moreno Raeles Licenciado

en Matemáticaspor la Universidad de

Murcia y Catedrático deEnseñanza Secundaria

en la especialidadde Matemáticas.

Actualmente es Directordel IES Rey Carlos III de Águilas. Profesorpreparador de alumnos para la Olimpiada

Matemática Española, ha participado endiversos proyectos de innovación

educativa relacionados con lasmatemáticas.

José Navarro Cácereses Licenciado

en Matemáticas por laUniversidad de Murcia

y Catedrático deEnseñanza Secundaria

en la especialidadde Matemáticas.

Desarrolla su labordocente en el IES Alquibla (Murcia). Ha

sido Profesor Asociado de la UMU durantedos cursos académicos. Ha participado en

diferentes proyectos de innovacióneducativa relacionados con las

matemáticas, la física y, principalmente, enel uso de las tecnologías de la información

en el aula. Colabora activamente en lapreparación de alumnos para los

diferentes concursos matemáticos, enespecial de la Olimpiada Matemática

organizada por la RSME. Fue premiadopor la Academia de Ciencias de la Región

de Murcia.

Segunda edición

e-lectoibris

Comité editorial de la Real Sociedad Matemática Española

Guillermo Curbera, Miguel Ángel Revilla (directores),Manuel Abellanas, Sergio Amat, David Arcoya, José Bonet, Rafael Crespo,

Guadalupe Gómez, Clara Grima, Elvira Mayordomo, Vicente Muñoz,Rafael Sendra y Elena Vázquez

Editor por Ediciones e-LectoLibris

Bernardo Cascales

A.M.S. Mathematics Subject Class. (2010): 00-01, 15-01, 26-01, 51-01, 60-01, 62-01

Código IBIC: PBF, PBKA, PBMCódigo CDU: 512, 514, 517

maxima es un producto desarrollado bajo licencia pública general (GPL) de GNU

Diseño de cubierta: Juan Pedro Cascales Sandoval y Ediciones Electolibris S.L.Diseño y composición: Ediciones Electolibris S.L.Compuesto con LATEX con tipos Computer Modern y Luximono

c⃝ José Asensio Mayor, José Martínez Hernández, Antonio Moreno Rael yJosé Navarro Cáceres

c⃝ Ediciones Electolibris, S. L. (2016)C.I.F. B-73749186Pablo Neruda, 730820 Murcia (España)www.electolibris.es

c⃝ Real Sociedad Matemática Española (R.S.M.E.)C.I.F. G-28833523

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Segunda edición, octubre 2016

e-ISBN: 978-84-946150-0-9Depósito legal: MU 1092-2016

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pág. 6, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg

pág. 6, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg

pág. 46, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bernard_Bolzano.jpg

pág. 47, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Darboux.jpg

pág. 48, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Karl_Weierstrass.jpg

pág. 87, http://alain.camanes.free.fr/thumbs/rolle_michel-1652_1719.jpg

pág. 91, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augustin_Louis_Cauchy.JPG

pág. 91, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lagrange_portrait.jpg

pág. 151, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:

Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg

iv

pág. 173, http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

pág. 174, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gabriel_Cramer.jpg

pág. 174, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hermann_Grassmann.jpg

pág. 206, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arthur_Cayley.jpg

pág. 254, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg

pág. 294, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GeorgFrobenius.jpg

pág. 311, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid2.jpg

pág. 312, http://euler.us.es/˜libros/images/euclides47.jpg

pág. 313, http://euclides59.files.wordpress.com/2013/01/27396_david_hilbert.jpg

pág. 314, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:

Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes.jpg

pág. 452, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_Pascal_Versailles.JPG

pág. 454, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pierre-Simon,_marquis_

de_Laplace_(1745-1827)_-_Guérin.jpg

pág. 456, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:

Andrej_Nikolajewitsch_Kolmogorov.jpg

pág. 470, http://estadisticando.blogspot.com.es/2013/06/

thomas-bayes-1702-londres-inglaterra.html

pág. 476, http://bunda-bisa.blogspot.com.es/

2014/09/bapak-statistik-gottfried-achenwall.html

pág. 483, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jakob_Bernoulli.jpg

pág. 490, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Abraham_de_moivre.jpg

Júpiter (puerta), http://grin.hq.nasa.gov/IMAGES/MEDIUM/GPN-2000-000451.jpg

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ejercicio

gráficaResuelve

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dificultad de unejercicio

Pestañas de acceso acapítulos: en color intenso

el capítulo actual1.1. Límites de sucesiones

1.2. Límites de funciones. Definiciones

1.3. Operaciones con límites de funciones

1.4. Resolución de indeterminaciones

1.5. Ejercicios propuestos

1.2. Límites

1.3. Operaciones

1.4. Resolución

1.5. EjerciciosÍndice de capítulos conhipervínculos internos

3. Derivadas. Funciones derivables

3.1. Derivada en un punto. Función derivada3.2. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . .3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . .

3. Derivadas.

3.1. Deriv3.2. Reglas3.3. EjerciciosÍndice general con

hipervínculos internos

T

tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 57tasa de variación media . . . . . . . . . . . . . . 54teorema

de Bolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

T

un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 57ariación media . . . . . . . . . . . . . .54

Bolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91oux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Índice terminológico conhipervínculos internos

or ello que el conjunto de puntosespacio vectorial V3 de vectores libres

lado, en el capítulo 12 habíamos vistoteníamos definido un producto escalar,éase la proposición 12.2.5):

que el conjunto devectorial V3 de vectorescapítulo 12 habíamosdefinido un producto

proposición 12.2.5):

Hipervínculosinternos

eso por lo que nosotros loLa definición de límite

Weierstrass (1815-1897)con la flecha debajo es debidaA Course of Pure Mathematics

por lo que nosotrosLa definición

eierstrass (1815-1897)la flecha debajo

Course of Pure

Hipervínculosexternos

x→+∞−

c) lımx→+∞

(0, 2x − 5)

d) lımx→+∞

(2−x + 1)

e) lımx→+∞

1√x

1.3 Calcula los siguientes

a) lımx2√

Calcula los siguienAcceso a lasolución deun ejercicio

1

2

1 2 3 4 5

Practica con los comandosPractica conAcceso a la web para

ejecutar maxima

A la memoria de nuestro maestroFrancisco Martínez Abad,

que nos inculcó el placer de estudiar matemáticasy de enseñarlas

Introducción 1

I Análisis 3

1. Límites 71.1. Límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Límites de funciones. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Operaciones con límites de funciones . . . . . . . . . . . . . 191.4. Resolución de indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Continuidad 392.1. Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2. Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Derivadas. Funciones derivables 533.1. Derivada en un punto. Función derivada . . . . . . . . . . . 543.2. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Aplicaciones de las derivadas 714.1. Monotonía y extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2. Curvatura y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Índice general x

4.3. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange . . . . . . . . . . . . 874.4. Regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5. Representación gráfica de funciones 995.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2. Dominio, cortes con los ejes, simetrías y periodicidad . . . . 1005.3. Asíntotas y otras ramas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4. Regiones, monotonía, concavidad y convexidad . . . . . . . . 1125.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6. Cálculo de primitivas 1276.1. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2. Métodos de cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7. Integral definida 1477.1. Áreas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.3. Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . 1587.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

II Álgebra Lineal 171

8. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss 1778.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.2. Sistemas escalonados y sistemas equivalentes . . . . . . . . . 1798.3. Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4. Sistemas de ecuaciones con uno o dos parámetros . . . . . . 1968.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9. Matrices 2059.1. Matriz real de orden m× n. Definiciones . . . . . . . . . . . 2069.2. Operaciones con matrices. Propiedades . . . . . . . . . . . . 211

Índice general xi

9.3. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.4. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10. Determinantes 25310.1. Determinantes de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.2. Determinantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.3. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27010.4. Cálculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.5. Cálculo del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 27410.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11. Sistemas de Cramer y teorema de Rouché-Frobenius 29311.1. Sistemas de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29411.2. Teorema de Rouché-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 29811.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30111.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

III Geometría 309

12. Vectores en el espacio 31512.1. Vectores. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . 31612.2. Producto escalar de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32912.3. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33412.4. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33812.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34112.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

13. Rectas y planos en el espacio afín 34713.1. Espacio afín real tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.2. Sistemas de referencia en el espacio . . . . . . . . . . . . . . 34913.3. Rectas en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas . . . . 35313.4. Planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas . . . . 369

Índice general xii

13.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38413.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

14. Problemas métricos en el espacio 39514.1. El espacio afín euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39614.2. Distancias en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40214.3. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42814.4. Áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43314.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43814.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

IV Estadística y probabilidad 449

15. Probabilidad 45315.1. Espacio muestral y sucesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . 45415.2. Frecuencias relativas y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 45515.3. Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades . 45815.4. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46515.5. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes . . . . . . . . . 46815.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

16. Estadística 47516.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47616.2. Distribuciones de una variable aleatoria discreta . . . . . . . 47716.3. Distribuciones de una variable aleatoria continua . . . . . . . 48116.4. Distribución binomial o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 48316.5. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48616.6. Aproximación de la distribución binomial por la normal . . . 48916.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49216.8. Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Índice terminológico 499

Los dieciséis capítulos que siguen, divididos en cuatro partes, Análisis,Álgebra, Geometría y Estadística y Probabilidad, constituyen la segunda

edición del libro titulado Matemáticas II, correspondiente al segundo cursodel Bachillerato de Ciencias y Tecnología, dentro del sello e-Lectolibris.

Los contenidos de estos capítulos, en esta segunda edición, se han adap-tado y cubren sobradamente los establecidos en el Real Decreto 1105/2014,de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la EducaciónSecundaria Obligatoria y del Bachillerato.

Hemos procurado ilustrar los conceptos y métodos que aparecen en ellibro con ejemplos, para intentar ayudar en la comprensión de los mismos. Ellector podrá observar que a lo largo del libro hay también numerosos enlacesa maxima, un programa de software libre y abierto para la manipulación deexpresiones numéricas y simbólicas y también para la representación gráfica.Esto permite a los estudiantes, además, comprobar sus propias soluciones y,modificando las entradas, utilizarlo como herramienta de apoyo en la reso-lución de problemas de naturaleza similar, contribuyendo de ese modo a laadquisición de los conceptos y técnicas propias de la materia. Se respondeasí a la demanda de la «utilización de recursos tecnológicos como apoyo enel análisis gráfico y algebraico de las propiedades de las funciones y para surepresentación gráfica». Deliberadamente se ha realizado una introducciónprogresiva de algunos de los comandos de maxima en respuesta a necesida-des concretas del aprendizaje de la materia, no del software.

El libro está concebido para poder ser adaptado a las necesidades docen-tes. Se ha optado por incluir la mayoría de las demostraciones de los teoremasy proposiciones y de esta forma el profesor puede elegir, al desarrollar su cur-

Índice general 2

so, entre omitir algunas demostraciones o contenidos, mantenerlas o, por elcontrario, proponer actividades de ampliación, si dispone del tiempo y con-diciones adecuadas. En cada capítulo se han incorporado ejercicios resueltos,algunos de los cuales son sencillos, que contribuyen a consolidar los conceptosintroducidos.

Al final de cada capítulo aparece una lista de ejercicios propuestos, lagran mayoría de ellos procedentes de las pruebas de acceso a la universidad,a cuya solución se puede acceder desde el propio libro electrónico haciendoclick en el enlace diseñado a tal efecto ( ). En conjunto se contabilizanen torno a 400 problemas resueltos, de los que más de 200 corresponden alas PAUs de prácticamente la totalidad de las comunidades autónomas. Losejercicios van etiquetados con el nivel de dificultad, lo que, aún sabiendo quese trata de una apreciación subjetiva, puede ser útil al profesor a la hora deproponerlos o al alumno a la hora de elegirlos para su realización. Algunosde ellos se complementan con acceso a un fichero de audio donde se explicanlas ideas para su resolución.

Otros servicios ofrecidos desde el libro electrónico incluyen enlaces a undiccionario de términos matemáticos seleccionados y enlaces a Wikipediarelativos a matemáticos históricamente relevantes para el curso. Al comienzode cada capítulo se incluye «una puerta» de acceso a materiales en la web yque se irán enriqueciendo paulatinamente.

Este libro electrónico se ofrece en múltiples formatos para tabletas, orde-nadores, teléfonos móviles y pizarra digital.

Para finalizar, deseamos expresar nuestro agradecimiento más sincero atodas aquellas personas que con sus sugerencias han contribuido a mejo-rar este libro, en particular a Bernardo Cascales, Antonio Cabrera, AntonioGalvis, José Manuel Mira, Salvador Sánchez-Pedreño y al revisor de la RealSociedad Matemática Española.

Murcia, octubre de 2016

José Asensio Mayor, Profesor Titular de Álgebra, Universidad de Murcia.José Martínez Hernández, Catedrático de Matemáticas de E. Secundaria.Antonio Moreno Rael, Catedrático de Matemáticas de E. Secundaria.José Navarro Cáceres, Catedrático de Matemáticas de E. Secundaria.

5

S i entramos en Wikipedia y buscamos análisis matemático podremos leerque es un área de las matemáticas que estudia los números reales, los

complejos y las funciones entre esos conjuntos. Su origen es el cálculo dife-rencial e integral que fue desarrollado a partir del siglo xvii y que tratabade resolver, entre otros, problemas como el cálculo de tangentes a una curva,extremos relativos de funciones, longitudes de curvas o el cálculo de áreas yvolúmenes de cuerpos geométricos.

Entre los más importantes precursores del Análisis matemático podemoscitar a Barrow, que determinó la tangente por medio de un cociente incre-mental, pero sobre todo a Newton y Leibniz.

A finales del siglo xvii Newton y Leibniz de manera independiente, apro-vechando los resultados obtenidos por sus predecesores, desarrollaron dosconceptos, que hoy llamamos derivada e integral, y unas reglas para operar.Comprobaron que ambos conceptos eran inversos el uno del otro a travésdel teorema fundamental del cálculo. Posteriormente Bolzano (1781-1848)y Cauchy (1789-1857) se acercaron más a una definición precisa de lími-te y de continuidad; las que hoy utilizamos en nuestros textos son debidasa Weierstrass (1815-1897), y matemáticos de la talla de Johann Bernoulli(1667-1748), L’Hôpital (1661-1704) o Euler (1707-1783), entre otros, utili-zaron las herramientas que proporciona el cálculo diferencial para resolvermuchos problemas.

Barrow

Isaac Barrow (1630-1677). Nació en Londres yfue teólogo y matemático. Ejerció de profesor de geo-metría en Cambridge hasta 1669, año en que aban-donó la cátedra para dedicarse a la enseñanza de lateología. La cátedra la ocuparía precisamente IsaacNewton que fue su discípulo. Sus trabajos sirvieron debase para el desarrollo del cálculo infinitesimal. Enun-ció la relación recíproca entre la derivada y la integralcon el teorema que lleva su nombre. De hecho cuandoNewton dijo su célebre frase «Si he llegado a ver más

lejos que otros es porque me subí a hombros de gigantes» sin duda se estabarefiriendo, entre otros, a su maestro Isaac Barrow, quien probablemente fueel científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo.

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Newton

Isaac Newton (1642-1727). Fue un físico, filósofo,teólogo y matemático inglés. Es autor de los Philoso-phiae naturalis principia mathematica, más conocidoscomo los Principia, donde describió la ley de la gravi-tación universal y estableció las bases de la mecánicaclásica mediante las leyes que llevan su nombre. New-ton fue el primero en descubrir el cálculo infinitesimalpero, dado su poco interés en publicar sus resultados,guardó casi en secreto su descubrimiento, aunque siem-pre hubo copias de sus trabajos en sus círculos de ami-gos. Su primera obra sobre el cálculo, De analysi per æquationes numeroterminorum infinitas, que le valió la cátedra que dejó su maestro Barrow,fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra deNewton sobre el cálculo De methodis serierum et fluxionum fue escrita en1671 pero no fue publicada hasta 1737 (diez años después de su muerte y 66después de escrita). En ella estableció el teorema fundamental del cálculo.

Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Fue unfilósofo, lógico, matemático, jurista, bibliotecario y po-lítico alemán nacido en Leipzig. Se le reconoce comouno de los grandes pensadores de los siglos xvii y xviii.Realizó importantes contribuciones a diferentes áreascomo metafísica, lógica, filosofía de la religión, mate-mática o física. De forma independiente a Newton in-ventó el cálculo infinitesimal. Su descubrimiento fueposterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primeroen publicarlo. Lo hizo además utilizando un procedi-

miento novedoso para la época, lo publicó en 1684 en la revista científica ActaEroditorum, con el título Nova Methodus pro maximis et minimis, itemquetangentibus, et singulare pro illis calculi genus que incluía la solución defini-tiva al problema de las tangentes.

En un artículo de 1686 titulado De Geometria y publicado en la mismarevista, Leibniz utilizó por primera vez la notación para la integral que to-davía hoy usamos y en el trabajo de 1684 introdujo la notación dx para eldiferencial. Estas notaciones se emplean desde entonces.

1.1. Límites de sucesiones

1.2. Límites de funciones. Definiciones

1.3. Operaciones con límites de funciones

1.4. Resolución de indeterminaciones

1.5. Ejercicios propuestos

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1.1. Límites de sucesiones 8

E l concepto de límite es históricamente posterior a otros conceptos delcálculo como el de derivada o el de integral. Sirvió para dar una justifi-

cación más rigurosa de los resultados conocidos hasta ese momento y es poreso por lo que nosotros lo estudiamos antes que los otros.

La definición de límite tal y como la conocemos hoy se debe a KarlWeierstrass (1815-1897) y la notación de escritura usando la abreviatura lımcon la flecha debajo es debida Hardy (1877-1947) que la introdujo en su libroA Course of Pure Mathematics publicado en 1908.

1.1. Límites de sucesiones

Las sucesiones de números reales, así como los límites de las mismas, hansido objeto de estudio en cursos anteriores. Haremos a continuación un breverepaso y daremos las definiciones de límites con algo más de precisión que sehizo en primer curso de bachillerato.

Si (an) es una sucesión de números reales, a veces nos va a interesarsaber la tendencia de sus términos cuando n → +∞. Puede que se acer-quen más y más a un cierto número, que crezcan indefinidamente superandocualquier cantidad positiva que imaginemos, que decrezcan indefinidamentesiendo menores que cualquier cantidad o bien que no ocurra ninguno de loscasos anteriores.

Consideremos la sucesión an = 2nn+1 y representemos en unos ejes de

coordenadas los primeros términos de la sucesión

1

2

3

−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Observando lo anterior se intuye que los términos de la sucesión se acercancada vez más a 2, que es su límite, como ya sabemos del curso anterior. Larepresentación gráfica anterior ilustra el concepto de límite.

Nuestro calculador maxima te ayuda a calcular límites fá-cilmente. Practica con los comandos que se indican y pásalobien cambiando el código y calculando otros límites. Es muy

fácil. Aquí tienes el código para calcular el límite del ejemplo anterior:

1.1. Límites de sucesiones 9

(%i1) a[n]:=2*n/(n+1);

limit(a[n],n,inf);

(%o1) an :=2n

n+ 1(%o2) 2

1.1.1. Definiciones

Definición 1.1.1.

Diremos que L es el límite de la sucesión de números reales (an) sipara cualquier cantidad ε > 0 podemos encontrar un cierto n0 ∈ N demanera que si n ≥ n0 entonces |an − L| < ε.

Cuando lo anterior ocurre, se escribe

lıman = L

o tambiénlım

n→+∞an = L.

En otras palabras, elegida una cierta cantidad, por pequeña que sea, hayun término de la sucesión tal que él y todos los que le siguen, y esto últimoes esencial, están más cerca del límite que la cantidad elegida. Por ejemplo,sabemos que

lımn→+∞

2n

n+ 1= 2.

Elijamos ahora una cantidad pequeña, como puede ser ε = 10−6. Para quese cumpla !!!!

2n

n+ 1− 2

!!!! <1

106

operando,!!!!

2n

n+ 1− 2

!!!! =!!!!2n− 2n− 2

n+ 1

!!!! =!!!!−2

n+ 1

!!!! =2

n+ 1

tenemos que deberá ser

1.1. Límites de sucesiones 10

2

n+ 1<

1

106

O lo que es lo mismo2 · 106 < n+ 1,

de donde2 · 106 − 1 < n.

Bastaría elegir para este caso n0 = 2 · 106. Notemos que esto se puede hacersiempre para cualquier cantidad elegida, es decir el razonamiento anterior sepuede adoptar para otro ε obteniendo el correspondiente n0.

Consideremos ahora la sucesión

bn =

⎧⎨

⎩

1 si 1 ≤ n ≤ 106

2n

n+ 1si n > 106

que la hemos obtenido sustituyendo el primer millón de términos de an porel valor 1 y a partir de ahí bn = an, es decir los dejamos como estaban. Comose comprueba fácilmente

lımn→+∞

an = lımn→+∞

bn = 2,

es decir, para el cálculo del límite de una sucesión podemos ignorar los 100primeros, 1 000 primeros, m primeros términos siendo m cualquier númeronatural y el límite seguirá siendo el mismo.

Definición 1.1.2.

Diremos que el límite de la sucesión (an) es +∞, y lo escribimoslımn→+∞ an = +∞, si para cualquier cantidad K existe n0 ∈ N demanera que si n ≥ n0 entonces an > K.

Definición 1.1.3.

Diremos que el límite de la sucesión (an) es −∞, y lo escribimoslımn→+∞ an = −∞, si para cualquier cantidad K existe n0 ∈ N demanera que si n ≥ n0 entonces an < K.

1.1. Límites de sucesiones 11

Ejemplo 1.1.4 Se cumple que

lımn→∞

(n2 + n+ 1) = +∞ y lımn→∞

(−n3 + n) = −∞.

1.1.2. El número e

Tiene especial interés la sucesión an =!1 + 1

n

"n. Si calculamos los pri-meros términos de dicha sucesión veremos que van aumentando desde 2, elprimero, hasta 2, 593742460100002 . . . el décimo, etc. Podríamos aventurarque la sucesión es creciente, cosa que es cierta. Si le damos ahora a n valo-res grandes, por ejemplo del orden de 106 o 109, veremos que aunque siguecreciendo lo hace muy lentamente y que los valores obtenidos son todos in-feriores a 2, 72; lo que nos hace pensar que la sucesión va a estar acotada,cosa que también es cierta. Está demostrado que toda sucesión de númerosreales creciente y acotada tiene un límite que será menor o igual que una desus cotas. En nuestro caso su límite es un número irracional que se denotapor la letra e y cuyas primeras cifras decimales son 2, 7182818284 . . .Concluyendo

lımn→+∞

#1 +

1

n

$n

= e.

Si estás interesado en saber más cosas sobre éste número, sin duda unade las constantes más importantes de las matemáticas, puedes consultarEl número e en Wikipedia.

¿Es difícil el cálculo del número e? Con nuestro calculadorpuedes obtener aproximaciones del número e. El código quesigue te servirá para ver cómo simbólicamente maxima obtie-

ne e como límite y para ver qué valor tienen distintos términos de lasucesión que lo define.

(%i4) a[n]:=(1+1/n)^n$

limit(a[n],n,inf);

a[10],numer;

a[10^6],numer;

(%o5) e(%o6) 2,593742460100002(%o7) 2,718280469095753

1.2. Límites de funciones. Definiciones 12

1.2. Límites de funciones. Definiciones

En lo que sigue vamos a considerar funciones f : D −→ F definidas enun conjunto D ⊂ R, llamado dominio o conjunto inicial, que toman valoresen un conjunto F ⊂ R, llamado conjunto final, entendiendo por función a laregla , del tipo que sea, que permite asignar a cada elemento x ∈ D un únicopunto f(x) ∈ F . Las mayoría de las veces f(x) vendrá dada mediante unafórmula en x, aunque esto no es imprescindible.

En sentido estricto la función viene determinada por la regla, el dominioy el conjunto final y un cambio en alguno de ellos significaría cambiar lafunción. Sin embargo suele ser habitual, por razones de economía de escritura,referirse a una función en la forma «sea la función f(x) = x3 − x», dondeel dominio y el conjunto final se omiten, entendiendo que el dominio estáformado por todos aquellos números para los cuales la regla tiene sentido.Conviene insistir que f(x) no es la función, es sólo el valor de la función f enel punto x, aunque por abuso de notación lo utilicemos para referirnos a ella.

En ocasiones nos va a interesar restringir la aplicación de la función a unsubconjunto del dominio, por ejemplo un intervalo, sin considerar que hemoscambiado de función.

En lo que sigue [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) denotan los intervalos correspon-dientes de la recta real de extremos a y b tal y como fueron definidos encursos anteriores.

1.2.1. Límites finitos en un punto

Consideremos la función f : R −→ R cuya gráfica es la siguiente:

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3−1−2−3

1.2. Límites de funciones. Definiciones 13

Observamos que si x se acerca más y más al valor 1 (tanto por la derechacomo por la izquierda) los valores de función hacen lo propio hacia el valor 2.

Esa es precisamente la idea intuitiva que tenemos de límite de una funciónen un punto: es el valor al que tienden los valores que toma la función cuandox tiende al punto dado. Hagamos notar que el valor de la función en el puntono influye para nada, en el ejemplo anterior f(1) = 3 y sin embargo ellímite es 2.

Damos ahora la definición precisa de límite de una función en un punto.

Definición 1.2.1.

Una función f : (a, b) −→ R se dice que tiene por límite L cuandox tiende a x0 ∈ (a, b) si se cumple que para cualquier ε > 0 elegido esposible encontrar un número δ > 0 de forma que, para cada x ∈ (a, b),si 0 < |x− x0| < δ entonces |f(x)− L| < ε.

Cuando lo anterior ocurre escribimos

lımx→x0

f(x) = L.

Como se ha comentado antes, observamos que en la definición de límitese prescinde del valor de la función en el punto x0 al considerar 0 < |x− x0|.

Definición 1.2.2.

Dada una función f : (a, b) −→ R, diremos que L es el límite lateralpor la derecha cuando x tiende a x0 ∈ [a, b) si se cumple que paracualquier ε > 0 elegido es posible encontrar un número δ > 0 de formaque, para cada x ∈ (a, b), si 0 < x− x0 < δ entonces |f(x)− L| < ε.

Cuando lo anterior ocurre escribimos

lımx→x+

0

f(x) = L.

Notemos aquí que la condición 0 < x−x0 < δ implica que necesariamente lavariable x es mayor que x0 (se acerca a x0 por la derecha en la representaciónde los números en la recta real). Observemos también que si f tiene comodominio el intervalo (a, b) tiene sentido calcular su límite por la derecha ena, pero no en b.

1.2. Límites de funciones. Definiciones 14

Definición 1.2.3.

Dada una función f : (a, b) −→ R, diremos que L es el límite lateralpor la izquierda cuando x tiene a x0 ∈ (a, b] si se cumple que paracualquier ε > 0 elegido es posible encontrar un número δ > 0 de formaque, para cada x ∈ (a, b), si 0 < x0 − x < δ entonces |f(x)− L| < ε.

Cuando lo anterior ocurre escribimos

lımx→x−

0

f(x) = L.

Aquí la condición 0 < x0−x < δ implica que necesariamente x es menor quex0 (se acerca a x0 por la izquierda en la representación de los números en larecta real).

Observemos en la gráfica de la función f que sigue

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3

que se cumple que lımx→x−0f(x) = 2, lımx→x+

0f(x) = 3 y en este caso

f(1) = 3, aunque esto último no influye para nada en el cálculo de los límiteslaterales.

Proposición 1.2.4La condición necesaria y suficiente para que una función f tenga límite L

en un punto x0 es que tenga límites laterales en dicho punto (por la derechay por la izquierda) y ambos coincidan.

lımx→x0

f(x) = L⇐⇒ lımx→x−

0

f(x) = lımx→x+

0

f(x) = L.

Proposición 1.2.5Si una función f tiene límite en un punto x0 éste es único.

1.2. Límites de funciones. Definiciones 15

1.2.2. Límites infinitos en un punto

Si observamos la siguiente gráfica correspondiente a la función

f(x) =1

|x|

vemos que cuando x se va aproximando a 0 entonces la función toma valorescada vez mayores. En este caso el límite va a ser infinito.

1

2

3

4

5

1 2−1−2

f(x) = 1|x|

La definición precisa de este hecho es la siguiente:

Definición 1.2.6.

Diremos que la función f : (a, b) −→ R tiene límite +∞ (respecti-vamente −∞) cuando x tiende a x0 ∈ (a, b) si para cualquier cantidadM existe un cierto δ > 0 tal que para cada x ∈ (a, b) si 0 < |x− x0| < δentonces f(x) > M (respectivamente f(x) < M).Lo expresamos de la forma

lımx→x0

f(x) = +∞

(respectivamente lımx→x0 f(x) = −∞).

En el caso de la función de la gráfica anterior se cumple que

lımx→0

1

|x|= +∞.

Si observamos la gráfica siguiente, correspondiente a la función f(x) = 1x ,

vemos que la función que representa se comporta de manera diferente segúnnos acercamos a 0 por la derecha o por la izquierda

1.2. Límites de funciones. Definiciones 16

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2−1−2−3

f(x) = 1x

Esto nos lleva a dar las siguientes definiciones:

Definición 1.2.7.

Diremos que la función f : [a, b) −→ R tiene límite +∞ (respecti-vamente −∞) si x tiende por la derecha a x0 ∈ [a, b) si para cualquiercantidad M existe δ > 0 tal que, para cada x ∈ [a, b), si 0 < x− x0 < δentonces f(x) > M (respectivamente f(x) < M).

Definición 1.2.8.

Diremos que la función f : (a, b] −→ R tiene límite +∞ (respectiva-mente −∞) si x tiende por la izquierda a x0 ∈ (a, b] si para cualquiercantidad M existe δ > 0 tal que, para cada x ∈ (a, b], si 0 < x0 − x < δentonces f(x) > M (respectivamente f(x) < M).

Para la función f(x) = 1/x podemos calcular los límites laterales en 0:

lımx→0−

1

x= −∞ y lım

x→0+

1

x= +∞.

1.2.3. Límites finitos en el infinito

La función que representa la siguiente gráfica se acerca más y más a uncierto número real cuando x→ ±∞