Balotario Investigacion de Operaciones

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

BALOTARIO DE PROBLEMAS INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1. Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las de calidad A se fabrican con una unidad de lana y dos unidades de fibra sintética y las de calidad B, con dos unidades de lana y una de fibra sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de 1500 ptas. Para las de calidad A y 1000 ptas. Para las de calidad B. Sabiendo que solo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética se pide:

a) ¿cuántas prendas de cada tipo deben elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1000 prendas?

b) ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?, Justificar las respuestas.


2. Resolver gráficamente el programa lineal

Max z x1 x2

s.a.x1 3 x2

12 2 x1

x2 12 x1 x2 16x1 2 x2 2

x1 0 ; x2 0

3. La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1 000 kilos. La fabricación de un kilo de A cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 700 euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B.

Solución:

Llamamos x a los kilos de A e y a los de B. Sea m el margen de B; entonces el de A es 0,9m.Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

00

70025,18,10001

yx

yxyx

El margen total es z = 0,9mx mx = m(0,9x y). Esta es la función que debemos maximizar, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta m(0,9x y) = 0


0,9x y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = m(0,9x y).

Observamos que 1,8x 1,5y 2 700 no impone ninguna restricción nueva. El máximo se alcanza en el punto M (0, 1 000).

Por tanto, deben fabricarse 1 000 kilos de helado de tipo B y nada de tipo A.

4. Una máquina produce dos tipos de televisores A y B para fabricarlos se necesita un tiempo de producción en máquinas y un acabado a mano que realizan los operarios. La venta del modelo A necesita 2 horas en las máquinas y media hora de trabajo a mano, y produce un beneficio de 60 US$. La venta del modelo B necesita 3 horas en las máquinas y un cuarto de hora de trabajo a mano, y origina un beneficio de 55US$. Se dispone un total de 300 horas de trabajo en máquinas y 60 horas de trabajo a mano. Entre los dos tipos de televisión han de fabricarse por lo menos 90. ¿Qué cantidad de televisores de cada tipo ha de producirse para que el beneficio sea máximo?


5. Un paciente requiere una dieta estricta con 2 alimentos A y B. Cada unidad del alimento A contiene 120 calorías y 2 gramos de proteínas. La unidad del alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento A es de S/.60 y de cada unidad del alimento B es de S/.80¿Cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para que el costo sea mínimo?


6. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo Nº Bizcocho Relleno BeneficioT. Vienesa x 1.x 0,250x 250xT. Real y 1.y 0,500y 400y

150 50 Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200x Y


0 100

200 0 Para x + y =150x Y0 15

0150

0

La otras dos son paralelas a los ejesAl eje OY x=125Al eje Ox y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadranteLa región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices:El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)Resolviendo el sistema:

, por reducción obtenemos y=50, x=100 Otro vértice es el punto C(100, 50)Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25) Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),


Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200 x Y0 0200 -125

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vérticesLa unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemosf(125,0)=31.250f(125,25)=31.250+10.000=41.250f(100,50)=25.000+20.000=45.000f(0,100)=40.000 El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.

7. Aplicando el método Simplex, Minimizar la siguiente función: Min.Z = 1.5X1 + 2X2Sujeto a:


2X1 + 2X2 ≤ 82X1 + 6X2 ≥ 12

Xi ≥ 0

- EJEMPLOS RESUELTOS

8. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.

9. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de


electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Sea x = nº electricistas y = nº mecánicosLa función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La región factible sería para estas restricciones:

Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).Por tanto:20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000

10. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.

SoluciónSea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.

nº GananciaTurista x 30xPrimera y 40yTotal 5000 30x +40y


La función objetivo es:f(x, y)=30x +40y

Las restricciones: La región factible:

Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B)


11. BFC emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar mesas y sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una mesa y 30 minutos para ensamblar una silla. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de $ 135 por mesa y $ 50 por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día. Determine gráficamente la mezcla de producción óptima de los 10 días.

12. Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima posible.

Operarios Máquinas1 2 3 4

Antonio 10 14 16 13Bernardo 12 13 15 12

Carlos 9 12 12 11Diego 14 13 18 16

Planteamiento del Modelo Primal:

MIN W = 10 X11+ 14 X12+ 16 X13+ 13 X14+ 12 X21+ 13 X22+ 15 X23+ 12 X24+ + 9 X31+ 12 X32+ 12X33+ 11 X34+ 14 X41+ 16 X42+ 18 X43+ 16 X44

sujeto a las siguientes restricciones:

Aplicando el método Húngaro tenemos:

1 2 3 4A 10 14 16 13B 12 13 15 12C 9 12 12 11D 14 16 18 16

Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas correspondientes:


1 2 3 4A 0 3 6 3B 0 1 3 0C 0 3 3 2D 0 2 4 2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):

1 2 3 4A 0 3 3 3B 0 0 0 0C 0 2 0 2D 0 1 1 2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros (Método de Flood):

1 2 3 4A 0 2 3 2B 1 0 1 0C 0 1 0 1D 0 0 1 1

Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina 1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) y Diego en la máquina 2 (16 horas).

La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas, resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas.Dicho valor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.

13. Jack es un estudiante emprendedor de primer año de universidad. Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el estudio y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el estudio. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el estudio como en el juego?


14. John debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas. En la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas semanales. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. De manera que John quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor de STRES en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, John calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2 respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda.¿Cuántas horas debe trabajar en cada Tienda?

Planteamiento:

X1= Número de horas de trabajo en la tienda 1.

X2= Número de horas de trabajo en la tienda 2.


F.O.: Min z = 8x1 + 6x2

Sujeto a: x1 + x2 ≤ 20

x1 ≥ 5

x1 ≤ 12

x2 ≥ 6

x2 ≤ 10

x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ϵ Z

Explicación de las restricciones:

Se establece la suma del número de horas de trabajo en la tienda 1 y 2 no debe de sobrepasar las 20 horas a la semana.

Se establece que el número de horas de trabajo en la tienda 1 debe ser como mínimo 5 horas y como máximo 12 horas.

Se establece que el número de horas de trabajo en la tienda 2 debe ser como mínimo 6 horas y como máximo 10 horas.

Tipo de Planteamiento:

Se trata del tipo planteamiento de planeación de producción.

- Solución:

x1= 5

x2= 6

z= 76

La solución nos quiere decir que Juan va a trabajar 5 horas en la tienda 1 y 6 horas en la tienda 2, con lo cual se establece que va a trabajar más en la tienda 2 por 1 horas más que en la tienda 1, con lo cual se cumplen las restricciones dadas, y se va a generar un factor de estrés de 76 y va a poder cumplir con sus ingresos y la escuela.

15. Dado el siguiente diagrama de actividades y sus duraciones (ver tabla) Hallar la ruta crítica. ¿Cuánto es la duración total del proyecto? (5 puntos)


16. La empresa “químicos del caribe S.A” posee 4 depósitos de azufre que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depósito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D. Los costos que reaccionan la producción de cada químico con cada depósito se presenta a continuación:

A B C DDispositivo 1 2 3 4 6Dispositivo 2 1 5 8 3Dispositivo 3 8 5 1 4Dispositivo 4 4 5 6 3

Formule una solución para Este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos.

TareaDuració

n Normal

DíasA 10B 5C 15D 11E 10F 5G 5H 10I 10J 15

8J76G5F2

HC

DDD0

I431A

EB


17. La empresa INFORMATECH, east desarrollando cuatro proyecto de redes, y buscar los mejores costos de envió para las cajas de red categoría 6, desde los proveedores A, B, C con una capacidad máxima de oferta de 15, 25, 5 respectivamente, por lo que la demanda del proyecto 1, es de 5 cajas, el proyecto 2 y 3, es de 15 cajas respectivamente y el cuarto proyecto necesita 5 cajas de red, la tabla de costos de envió se muestran en la tabla. El gerent de Proyecto’s require determiner los costos minims para cada proyecto.

P1 P2 P3 P4A 10 0 10 11B 12 7 9 20C 0 14 16 18


18. NICARAGUA, Est planificando abastecerse por cuatro proveedores de petróleo, ALBANIZA, TEXAS, IRAN y Purmerend, Nicaragua Analiza las formas de envió, para proveer localmente a la distribuidora UNO, PUMA, PETRONIC y RESERVAS. La tabla anexada muestra los costos de embarque por cada barril de petróleo crudo. Determine la cantidad de Barriles que debe comprarse a cada proveedor para obtener el mejor costo.

UNO PUMA PETRONIC RESERVAS OfertasALBANIZA 35 28 31 33 520TEXAS 29 32 33 39 485


IRAN 32 35 36 27 400PURMEREND 34 31 35 18 235

610 210 310 210 1340/1640


19. UN lavacarro puede atender UN auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Ortega las medias de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema.

Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 9 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos μ= 0.2 clientes/minutos (media de llegada de los clientes) a) Vamos calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ.

𝜌=𝜆𝜇=0.15 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠0.20 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠=0.75=75%. El sistema está ocupado el 75% del tiempo. O sea pasa un 25% ocioso. Es decir la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es cuando el sistema está vacío y eso puede ocurrir con una probabilidad del 25%. Su cálculo puede hacerse directamente con la fórmula: 𝑃0=((1− 𝜆𝜇)(𝜆𝜇)0=(1−0.150.2)=0.25=25% b) La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes

𝑃0=(1−𝜆𝜇)(𝜆𝜇)0=(0.25)(0.75)2=0.25 𝑃1=(1−𝜆𝜇)(𝜆𝜇)1=(0.25)(0.75)1=0.1875


𝑃2=(1−𝜆𝜇)(𝜆𝜇)2=(0.25)(0.75)2=0.1406 𝑃3=(1−𝜆𝜇)(𝜆𝜇)3=(0.25)(0.75)3=0.1055 La probabilidad que haya más de tres clientes en el Sistema, implica que debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La diferencia con 1. Será la probabilidad que hayan más de tres. P(Ls>3)=1 –(P0 + P1 + P2 + P3)= 1-(0.25+0.1875+0.1406+0.1055)=1-0.6836=0.3164

20. Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos μ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y μ.

𝑾𝒔=𝑾𝒒+ 𝟏𝝁= 3 minutos + 𝟏𝟏=𝟑+𝟏=𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio. b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente:

Lq= λ Wq. 𝐿𝑞=𝜆∗𝑊𝑞=0.75𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠* 3 minutos = 2.25 clientes. Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola. c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.

𝐿𝑆= 𝜆∗𝑊𝑆=0.75𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠∗4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠=3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

21. Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistemaa) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?

Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos μ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos= Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) a) Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primero conoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización del sistema.

𝜌=𝜆/𝜇=(100 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/ℎ𝑜𝑟𝑎)/(150 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/ℎ𝑜𝑟𝑎)= 0.66=66.7% este porcentaje representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso. b) La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estará como primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula:


𝑃𝑛=(1−𝜆/𝜇)(𝜆/𝜇) ^𝑛 Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en: 𝑃1=(1−𝜆/𝜇)(𝜆/𝜇)^1=(1−100/150)(100/150) ^1=(1−0.667)(0.667)=0.222=22.2% Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido. c) Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.

𝐿𝑞=𝜆∗𝑊𝑞=1.667𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠* 2 minutos = 3.334 clientes.≈4 clientes en la cola. Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea de espera.

d) La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe un promedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 las probabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la fórmula que usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.

𝑃10=(1−𝜆/𝜇)(𝜆/𝜇) ^10=(1−100/150)(100/150) ^10=(1−0.667)(0.667) ^10=0.0058=0.58% (lo cual es casi cero). Es decir es muy remoto o poco probable que pueda haber 10 clientes en la línea de espera.

22. Un establecimiento comercial está analizando la posibilidad de realizar los pedidos de un determinado producto con un mes de antelación, con la finalidad de evitar roturas de inventario. Si realiza pedido con un mes de anticipación el coste por unidad de producto es de 50 euros, por el contrario, si la demanda de dicho producto durante el mes excede el número de unidades en almacén, debe ordenar las unidades necesarias a un coste de 100 euros por unidad. La tabla muestra la demanda mensual de dicho producto durante los tres últimos años:

Demanda (Unidades)

Frecuencia (Meses)

10 2020 1230 8

Sugiera la política de pedidos para la empresa así como el coste de la misma


23. Una empresa cuyo objeto es la venta de coches de segunda mano cobra un 10% de comisión sobre las ventas. Dicha empresa ha recibido el pedido de un cliente de vender tres automóviles de su propiedad, el primero de ellos un flamante utilitario valorado en 10.000 euros, el segundo un deportivo valorado en60.000 euros y el tercero un vehículo todoterreno 4x4 Turbo casi nuevo cuya valoración asciende a100.000 euros. Las cláusulas pactadas en el pedido entre el cliente y la empresa establecen que obligatoriamente el utilitario debe ser vendido primero en el plazo de un mes, en caso contrario queda anulado el pedido. Vendido el utilitario, la empresa puede optar por vender el deportivo, el todoterreno, o cancelar el pedido. Por último, una vez vendido el segundo vehículo, la empresa podrá cancelar el pedido o vender el tercer coche. Los gastos de publicidad que estima la empresa serán necesarios para vender dichos automóviles así como la probabilidad de vender cada uno de ellos, vienen dados en la tabla siguiente

Gasto Publicidad ProbabilidadUtilitario 3000 euros 40%Deportivo 1000 euros 80%Todo terreno 4x4 Turbo 2000 euros 60%

Determine si el gerente de la empresa debe o no aceptar el pedido que le formaliza el cliente


24. Una empresa, con el fin de fabricar una nueva línea de productos, está analizando la reforma de su planta actual. La demanda de la nueva línea de productos puede ser favorable o desfavorable. Si la empresa efectúa una reforma profunda de la planta actual, el beneficio estimado en el caso de que la demanda de la nueva línea de productos sea favorable es de 500.000 euros, mientras que si la demanda es desfavorable el beneficio estimado asciende tan solo a 100.000 euros. En el caso de que la reforma que se efectúe en la planta sea moderada, si la demanda es favorable se estiman unos beneficios de 400.000 euros, mientras que si es desfavorable los beneficios estimados son de 250.000 euros. La probabilidad a priori de que la demanda sea favorable o desfavorable es la misma. Obviamente, ni que decir tiene, que la empresa tiene la opción de no poner en marcha la nueva línea de productos. Determine la decisión que debe tomar el empresario. Antes de tomar su decisión, el empresario puede obtener información adicional contratando una firma de investigación de mercado para llevar a cabo un estudio de la demanda.¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información exacta?


25. Una empresa está estudiando la construcción de una nueva fábrica que le permita incrementar su capacidad productiva para hacer frente al incremento de la demanda previsto para los próximos años. Las alternativas de localización de la misma son las ciudades de Sevilla, Soria, Valencia, y Orense. Los beneficios estimados para cada alternativa a lo largo de los próximos años se recogen en la tabla.

Incremento de la demandaModerado Elevado Muy Elevado

Sevilla 100000 400000 650000Soria 140000 350000 450000

Valencia 150000 570000 1000000Orense 200000 500000 950000

Determine la ubicación óptima de la nueva planta:a) Siguiendo los criterios optimista, pesimista y Laplace.b) Si la probabilidad de un incremento moderado de la demanda es del 60%, de un incremento elevado

es del 30%, y de un incremento muy elevado es del 10%.


26. Una empresa está estudiando la compra de unos terrenos en los que es probable que haya gas. Si encuentra gas, la empresa podrá enajenar los terrenos obteniendo un beneficio de 125.000.000 de euros, o bien explotarlos ella misma en cuyo caso los beneficios dependerán de la demanda, si ésta es alta los beneficios serán de 200.000.000 de euros, en caso contrario, si la demanda es baja los beneficios solo alcanzarán los 75.000.000 de euros. La probabilidad a priori de que la demanda sea alta o baja, es exactamente la misma. En el caso de no encontrar gas en dichos terrenos, la empresa soportará unas pérdidas de 50.000.000 de euros, si bien la probabilidad de encontrar gas según los expertos es del 70%. Determine si la empresa debe o no adquirir los terrenos


27. Una empresa está considerando la posibilidad de contratar un experto en ingeniería industrial para la planificación de su estrategia de operaciones. Una adecuada planificación supondría a la empresa unos beneficios de 1.000.000 de euros, mientras que si la planificación no fuera correctamente elaborada, la empresa estima unas pérdidas de 400.000 euros. El director industrial estima que la probabilidad de que el experto realice una adecuada planificación es del 75%. Antes de contratar al experto, la empresa tiene la opción de realizar unas pruebas para determinar la idoneidad del candidato, dichas pruebas tienen una fiabilidad del 80% a la hora de determinar el éxito potencial del candidato en la realización de la planificación de las operaciones de la empresa. Determine la decisión óptima para la empresa, así como el coste que puede asumir la empresa por realizar la prueba de idoneidad.


28. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov.

29. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en


el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadenab) Dibujar el gráfico asociado.c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos.


30. Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide:

a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy?b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora?c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?.

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