Sealizacin en banda base

0.1 Seales y ruido

0.1.1 Degradacin del desempeo contra error

Fuentes de la degradacin del desempeo contra error en la transmisin digital

Efecto de flitrado en el transmisor, receptor y canal, el cual se puede causar ISI (interferenciaintersimblica), consistente en el alcance en el tiempo de dos o ms smbolos.

Ruido elctrico y otras fuentes de ruido. El ruido considerado principalmente en sistemasde comunicaciones es el de tipo gaussiano, blanco, con densidad espectral Gn(f) = N0/2,asociado al ruido trmico. Se le supone aditivo y recibe el nombre genrico de AWGN(Additive White Gaussian Noise) y se denota n(t). Desde el punto de vista de procesoaleatorios, consiste de una sucesin de variables aleatorias independientes idnticamentedistribuidas, de media cero. La independencia se garantiza si se busca que todas seanortogonales entre s. En el dominio de la frecuencia, la blancura asigna la misma potenciade ruido a todas las frecuencias; todos los intervalos de frecuencia de la misma magnitud,se ven afectados por la misma potencia de ruido, sin importar su ubicacin en el espectro.En el dominio del tiempo, la blancura hace que dos muestras de ruido tengan correlacincero,es decir, que son ortogonales.

0.1.2 Desmodulacin y deteccin

Durante un intervalo de tiempo T se transmite o enva un smbolo o bit por un canal. Para elcaso binario se tiene la seal transmitida se representa

si(t) =

{s1(t) 0 t T para un 1 binarios2(t) 0 t T para un 0 binario (1)

Si se tiene la respuesta al impulso del modelo del canal hc(t) que incluya los efectos de distorsinno deseados, entonces la seal recibida, incluyendo el ruido n(t), es

r(t) = si(t) hc(t) + n(t), i = 1, . . . ,M. (2)

con n(t) siendo AWGN. En la figura 1 se muestran las funciones bsicas de desmodulacin ydeteccin. La desmodulacin se refiere a la recuperacin de la seal u onda en banda base a

1

Figura 1: Desmodulacin y deteccin

partir de una pasabanda; la deteccin se refiere al proceso de decidir el significado digital dela onda recuperada. El bloque de conversin hacia abajo de frecuencia realiza la traslacin delespectro de la seal pasabanda para su conversin a banda base. El filtro de recepcin sirvepara recuperar el pulso de banda base libre de ISI y con la mejor SNR posible. El filtro ptimopara ello se conoce como filtro acoplado o correlador. Como elemento opcional se tiene un filtroecualizador, que sirve para reducir la ISI del canal de pueda distorsionar la seales. El filtroacoplado tiene que ver con el transmisor, mientras que el filtro ecualizador tiene que ver conel canal. La seal a la salida del ecualizador es z(t) = ai(t) + n0(t), donde ai(t) es la partedeseada de la seal recibida y n0(t) es la parte del ruido. Al trmino del tiempo de duracinde la seal o smbolo, cuando t = T , se toma una muestra de la seal de voltaje recibido z(t)para el proceso de deteccin y decisin. El valor del muestreador, el nmero z(T ) es un valor devoltaje directamente proporcional a la energa del smbolo recibido e inversamente proporcional ala potencia del ruido.

z(T ) = ai(T ) + n0(T ), i = 1, 2. (3)

ai(T ) es la componente de la seal deseada y n0(T ) es la componente del ruido. Puesto quen0(t) es un proceso gaussiano de media cero, z(t) tambin es un proceso gaussiano pero de mediaai(T ).

0.1.3 Funciones de densidad de probabilidad

La pdf del ruido gaussiano se denota

p(n0) =1

02pi

exp

[12

(n00

)2]. (4)

2

Las pdf condicionales del voltaje recibido z(t) dado que el transmisor envi si(t) son

p(z | s1) = 102pi

exp

[12

(z a10

)2](5)

y

p(z | s2) = 102pi

exp

[12

(z a20

)2](6)

Tambin se conocen con el nombre de verosimilitud. La abscisa z(T ) representa a todos los

Figura 2: Funciones de verosimilitud.

posibles valores de voltaje que puede tomar la muestra de z(t) al momento t = T . En este puntoes de notarse que la forma de la seal recibida no es determinante, sino que es su energa la queincide en ladecisin que se tome. El filtro acoplado transforma todas las seales con la mismaenerga, en el mismo valor z(T ). Para tomar una decisin con base en el valor de voltaje z(T )recibido, debe adoptarse algn criterio vlido. El valor de se conoce como umbral y dependiendodel voltaje recibido z(T ) se toma la decisin H1 (se envi la seal s1(t)) si z(T ) > , y se tomala decisin H0 (se envi la seal s2(t)) si z(T ) < , lo que se denota por

z(T )H1H0

. (7)

El criterio para determinar el valor de consiste en minimizar la probabilidad de error; es decir,el valor ptimo o debe ser tal que minimice la probabilidad de error. Esta probabilidad de errorpuede expresarse como

Pr(error) = Pr({decidir s1(t) y se envi s2(t)} {decidir s2(t) y se envi s1(t)}).

Por tratarse de eventos independientes y aplicando la relacin de Bayes, se tiene que, haciendoPr(error) , PB,

PB = Pr({H1 s2} {H2 s1})= Pr(H1|s2)Pr(s2) + Pr(H2|s1)Pr(s1)= Pr(z(T ) > |s2(t)) Pr(s2(t)) + Pr(z(T ) |s1(t)) Pr(s1(t)). (8)

3

Estrictamente, PB es una funcin de , cuya expresin general es

PB() = Pr(s1)

p(z|s1)dz + Pr(s2)

p(z|s2)dz. (9)

En trminos de la densidades condicionales gaussianas se tiene entonces

PB = Pr(s1)

1

02pi

exp

[12

(z a10

)2]dz

+ Pr(s2)

1

02pi

exp

[12

(z a20

)2]dz. (10)

Puede demostrarse1 que el valor de que minimiza PB es

0 =a1 + a2

2. (12)

0.1.4 Ortogonalidad y ruido

Un conjunto de funciones {i(t)}Ni=1 es ortogonal si el producto interno entre cualquier par deellas es la funcin delta de Kronecker con un peso determinado, es decir

i(t), j (t) ={Kj para i=j0 otro caso.

(13)

Para la transmisin digital, la expresin anterior toma la formaT

i(t)j(t)dt = Kj ij , j, k = 1, . . . , N. (14)

Si Ki = 1 i entonces el conjunto es ortonormal. La energa normalizada de cada una de ellas sedefine como

Ei =

T0

2j (t)dt = Kj . (15)

Debe aclararse que se considera que las funciones son reales. Un conjunto {i(t)}Ni=1 genera unespacio vectorial N -dimensional, y cualquier funcin si(t) del espacio puede expresarse como unacombinacin lineal de estas funciones. Un conjunto ortogonal de funciones tambin es linealmenteindependiente, lo converso no es necesariamente cierto. Por esto, el ruido blanco tambin puedeverse como una sucesin de variables aleatorias ortogonales. Un conjunto arbitrario finito de

1La minimizacin se obtiene de la forma usual: derivando PB() con respecto a , igualando a cero ydespejar el valor de . Para derivar se emplea la frmula de Leibnitz.

d

dx

(b(x)

a(x)f(, x)d

)= f (b(x), x)

d

dx[b(x)] f (a(x), x)

d

dx[a(x)]

+

b(x)

a(x)

x[f(, x)] d.

(11)

4

funciones reales {si(t)}Mi=1 de duracin T puede expresarse como una combinacin lineal de estafunciones ortogonales

si(t) = a111(t) + a122(t) + . . .+ a1NN (t) (16)

s2(t) = a211(t) + a222(t) + . . .+ a2NN (t) (17)

s3(t) = a311(t) + a322(t) + . . .+ a3NN (t) (18)

...... (19)

sM (t) = aM11(t) + aM22(t) + . . .+ aMNN (t). (20)

En forma compacta se tiene que

si(t) =

Ni=1

aijj(t), i = 1, . . . ,M ; N M, (21)

donde

aij =1

Kj

T0

si(t)j(t), i = 1, . . . ,M, j = 1, . . . , N. (22)

En forma general vectorial se tiene que

si = (ai1 ai2 aiN ) , i = 1, . . . ,M. (23)

Energa

La energa Ei de la seal si(t) se define como

Ei =

T0

s2i (t)dt =

T0

j

aijj(t)

2

dt =

Nj=1

a2ijKj i = 1, . . . ,M. (24)

Para conjuntos ortonormales Kj = 1 j.

Ruido y funciones ortogonales

Como se mencion, el ruido n(t) tambin se puede expresar en trminos de funciones ortogonales.Aqu se considera que el ruido tiene dos componentes: la que afecta al proceso de deteccin yrecepcin, es decir, que est en el mismo espacio de funciones de las si(t), denotada n(t); y laque est fuera de este espacio, denotada n(t). Se tiene entonces que

n(t) = n(t) + n(t) =Nj=1

njj(t) + n(t); (25)

donde

nj =1

Kj

T0

n(t)j(t)dt, j, (26)

5

y T0

n(t)j(t)dt = 0, j. (27)

La parte que est dentro del espacio de funciones se expresa tambin en trminos de las funcionesortogonales. La parte que est fuera se pide que sea ortogonal a estas funciones. El ruido n(t)puede expresarse tambin en la forma vectorial n = (n1, n2, . . . , nN), donde cada componenteni es una v. a. de media cero, variancia

2, gaussiana y todas son independientes entre s.Si se trata de ruido blanco, se sabe que su funcin de autocorrelacin es una funcin impulso,

su densidad espectral constante y por tanto, idealmente tiene potencia infinita. Para el casoparticular de deteccin de pulsos con filtro acoplado, su potencia se considera como

2 =N02. (28)

0.1.5 Parmetro bsico de desempeo

En comunicaiones el parmetro de desempeo comn es la SNR, (Signal to Noise Ratio), definidacomo el cociente de la potencia de la seal deseada entre la potencia del ruido. En transmisindigital, se emplea esta misma relacin pero normalizada por el ancho de banda y la tasa de bits(recurdese que la eficiencia espectral es precisamente la tasa de bit por Hz). Considerando quela energa de bit Eb es la potencia del bit en el intervalo de tiempo Tb, y que la densidad espectralde potencia del ruido es precisamente potencia de ruido N por unidad de ancho de banda W , setiene que

EbN0

=S TbN/W

=S/RbN/W

=S

N

(W

R

). (29)

Una de las medidas de desempeo en la comunicacin digital es la grfica de Probabilidad de biterrneo (PB) contra Eb/N0, cuya forma general se muestra en la figura 3. Esta figura de mrito

Figura 3: Forma general de la grfica PB vs. Eb/N0

6

Eb/N0 est directamente relacionada con un parmetro fundamental en la transmisin digital,que es la duracin de transmisin de bit o smbolo Tb o Ts. As, la energa puede verse como lapotencia en el intervalo Ts.

0.2 Deteccin de seales binaras en ruido gaussiano

Considerando la figura 2, y suponiendo que las seales s1(t) y s2(t) son equiprobables, la proba-bilidad de error es

PB = P (H2 s1) P (H1 s2) = P (H2|s1)P (s1) + P (H1|s2)P (s2), (30)es decir, hay error cuando se decide la hiptesisH1 y se envi la seal s2(t) o se decide la hiptesisH2 y se envi la seal s1(t). Considerando (12)

o =a1 + a2

2. (31)

se tiene que

PB =1

2P (H2|s1) + 1

2P (H1|s2) = P (H2|s1) = P (H1|s2) =

p(z|s2)dz =

p(z|s1)dz,(32)

por la simetra observada, por lo que entonces se tiene que

PB =

o=(a1+a2)/2

p(z|s2)dz = o=(a1+a2)/2

p(z|s1)dz. (33)

En trminos de las densidades gaussianas, esto queda

PB =

o=(a1+a2)/2

1

02pi

exp

[12

(z a20

)2]dz. (34)

Haciendo el cambio de variable u = (z a2)/0 se tiene que 0du = dz y

PB =

u=(a1a2)/20

1

02pi

exp

(u

2

2

)du = Q

(a1 a220

)= Q

((a1 a2)2

420

), (35)

donde

Q(x) 12pi

x

exp

(u

2

2

)du = Pr(X > x), (36)

es la funcin de error complementaria. Una forma alternativa de esta funcin es

erfc(x) =2pi

x

exp(u2)du. (37)

Ambas expresiones estn relacionadas del siguiente modo

erfc(x) = 2Q(x2) (38)

Q(x) =1

2erfc

(x2

). (39)

Es de resaltar que si x2 > x1 entonces Q(x1) > Q(x2).

7

0.2.1 El filtro acoplado

El filtro acoplado (Matched filter) proporciona la mxima SNR a su salida para una seal deentrada dada. Reconsiderando la figura 1 se tiene que el filtro de recepcin es precisamente elfiltro acoplado, y el valor de la muestra de seal z(t) al tiempo t = T es z(T ) = ai(T ) + n0(T ).Este valor tiene dos componentes, el de la seal, ai(T ), y el del ruido n0(T ), la SNR es(

S

N

)T

=a2i20, (40)

donde a2i es la potencia promedio de ai(t) y 20 es la potencia promedio del ruido de salida de

este . Se desea encontrar un filtro ho(t) Ho(f) que maximice esta ecuacin; suponga que elfiltro tiene inicialmente una respuesta al impulso h(t) H(f) y que si(t) Si(f), entonces

ai(t) = si(t) h(t)= F1 {S(f)H(f)}

=

S(f)H(f)ej2piftdf. (41)

La potencia del ruido a la salida del filtro se puede expresar como

20 =N02

|H(f)|2df. (42)

Con estos resultados se tiene que

(S

N

)T

=

S(f)H(f)ej2piftdf

2

N02

|H(f)|2df. (43)

Empleando la desigualdad de Schwarz2 se obtiene

S(f)H(f)ej2piftdf

2

N02

|H(f)|2df

|S(f)|2df. (45)

Aplicando este resultado en (43) resulta que(S

N

)T

2N0

| S(f) |2 df, (46)

es decir, el valor mximo se obtiene cuando

max

(S

N

)T

=2E

N0, (47)

2Una forma de la desigualdad de Scwarz es

f1(x)f2(x)dx

2

|f1(x)|2 dx

|f2(x)|2 dx, (44)

con igualdad si f1(x) = kf2 (x).

8

ya que E =

|S(f)|2df =

|si(t)|2dt es la energa de si(t). Este valor mximo de

(S/N)T depende de la energa de la seal y no de su forma o tipo. El filtro ptimo que maximizala (S/N)T es entonces, aplicando la condicin para la igualdad en la desigualdad de Schwarz,

H(f) = Ho(f) = kS(f)ej2pifT , (48)

o en el dominio del tiempo

ho(t) =

{ks(T t) 0 t T0 otro caso.

(49)

Note que el filtro resultante es causal. En el dominio del tiempo se tiene que

z(t) = r(t) ho(t) = t0

r()ho(t )d = t0

r() s(T t+ )d. (50)

Cuando t = T resulta

z(T ) =

T0

r() s()d, (51)

y la convolucin se hace correlacin. En la figura 4 se ilustra lo anterior.

Figura 4: Aspectos del filtro acoplado

9

0.2.2 Optimizacin del desempeo contra error en la deteccin de

bits

En esta seccin se conjuntarn los resultados obtenidos para la probabilidad de error considerandoAWGN y los del filtro acoplado. En el primer caso se encontr que el umbral ptimo o =

a1+a22

proporcionaba

PB = Q

(a1 a220

)= Q

((a1 a2)2

420

). (52)

Ntese que (a1 a2)2/40 sera un tipo de relacin seal a ruido de no ser por el factor de 4 enel denominador. De hecho, (a1 a2)2 es la energa de la diferencia entre a1 y a2, por lo queel cociente (a1 a2)2/20 es la SNR que se busca maximizar con del filtro acoplado a la sealdiferencia s1(t) s2(t), segn se considera en (40). Es decir, si

Ed =

T0

(s1(t) s2(t))2 dt, (53)

la SNR de salida del filtro acoplado a la diferencia de las entradas, al tiempo t = T es(S

N

)T

=(a1 a2)2

20=

2EdN0

. (54)

Dividiendo ambas partes entre 4, se tiene que

(a1 a2)2420

=2Ed4N0

=Ed2N0

, (55)

y sustituyendo en (35) se obtiene finalmente que

PB = Q

((a1 a2)2

420

)= Q

(Ed2N0

). (56)

Esta expresin que da en trminos de la energa de la diferencia de las seales enviadas. Esimportante tener una expresin en trminos de la energa de cada seal o bit. Expandiendo (53)se tiene

Ed =

T0

s21(t)dt 2 T0

s1(t)s2(t)dt+

T0

s22(t)dt; (57)

y considerando la energa de bit Ed se tiene

Eb =

T0

s21(t)dt =

T0

s22(t)dt. (58)

El trmino restante puede entenderse como una correlacin o medida de similitud entre s1(t) os2(t). Haciendo

=1

EB

T0

s1(t)s2(t)dt (59)

10

se tiene que para el caso binario = cos y 1 1, con siendo el ngulo entre las sealesconsideradas como vectores. As se tiene entonces

Ed = 2Eb(1 ), (60)y sustituyendo en (56),

PB = Q

Eb(1 )

N0

. (61)

0.2.3 Desempeo de la probabilidad de error en sealizacin binaria

Sealizacin unipolar

En la sealizacin unipolar, en general se tiene que

s1(t) = A 0 t T 1 binarios2(t) = 0 0 t T 0 binario (62)

En este caso se tiene que Ed = A2T , o bien, como son seales ortogonales (trivialmente) = 0,

por tanto

PB = Q

(A2T

2N0

)= Q

(EbN0

). (63)

Sealizacin polar

En esta sealizacin se tiene que

s1(t) = +A 0 t T 1 binarios2(t) = A 0 t T 0 binario (64)

Aqu Ed = (2A)2T , o bien, como son seales antipodales, = 1, por tanto

PB = Q

(2A2T

N0

)= Q

(2EbN0

). (65)

Sealizacin bipolar NRZ

En esta sealizacin se tiene que

s1(t) = A 0 t T 1 binarios2(t) = 0 0 t T 0 binario (66)

Se parece a la sealizacin unipolar, slo que aqu se requieren dos umbrales, lo que da lugar atres regiones. Suponiendo AWGN la probabilidad de error es

PB = Pr(error|se envi +A)Pr(se envi +A) + Pr(error|se envi A)Pr(se envi A)+ Pr(error|se envi 0)Pr(se envi 0)

(67)

11