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INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos
miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
< menor que 2x − 1 < 7
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la
variable que verifica la inecuación.
Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞)
Criterios de equivalencia de inecuaciones
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les
resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a
la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
2x < 6 2x ÷ 2 < 6 ÷ 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante
cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5 (−x) x (−1) > 5 x (−1) x > −5
Inecuaciones de primer grado
Resolución de inecuaciones de primer grado
Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Quitar corchetes.
2º Quitar paréntesis.
3º Quitar denominadores.
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los
términos independientes en el otro.
5º Efectuar las operaciones
6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por
−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
7º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta
también podemos expresarla:
De forma gráfica:
Como un intervalo:
[3, +∞)
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de
representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar
la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que
obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la
desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde
se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
2x + y > 3
2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no
pertenecen a la solución.
Inecuaciones de segundo grado
Consideremos la inecuación:
x2− 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto
de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que
tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) (4, ∞)
x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la
solución es
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor
si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es
.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene
solución.
Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a
las de segundo grado, pero hay que tener presente que el
denominador no puede ser cero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0 x = 2
x − 4 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en
cuenta que las raíces del denominador, independientemente del
signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en
cada intervalo:
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2] (4, ∞)
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0 x = 7
x − 2 = 0 x = 2
Evaluamos el signo:
S = (-∞, 2) (7, ∞)
Sistemas de inecuaciones con una incógnita
Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto
solución del sistema la intersección de los conjuntos
soluciones de ambas inecuaciones.
[−1, 3]
(3, ∞)
No tiene solución.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
La solución a este sistema es la intersección de las regiones que
corresponden a la solución de cada inecuación.
1º Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que
obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la
desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde
se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
2º Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x + y = 1
x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)
x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1 No
3º La solución es la intersección de las regiones soluciones.
TALLER 2 DE INECUACIONES
1 Resolver las siguientes inecuaciones
1
2
3
4
2 Resuelve el sistema:
3
4 Resuelve:
1
2x4 − 25x2 + 144 < 0
3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0
5Resolver las inecuaciones:
1
2
6Resuelve:
4x2 − 4x + 1 ≤ 0
7 Resuelve:
8Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x
+ k = 0 sean las dos reales y distintas.
9 Resolver los sistemas:
1
2
3