BEAM – FEM

1 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Título del Proyecto:

ANALISIS DE VIGAS CON EL METODO DEL ELEMENTO FINITO

BEAM-FEM

Línea de investigación:

Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica Clave de registro:

TEP-IC-2012-102 Director Responsable: Ing. José Haro Hernández

Colaborador: M.C. Juan Raúl Arcadia Peña

Colaborador: Residente Marco Antonio González Montaño

BEAM – FEM

2 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Resumen

Los elementos estructurales más comunes en las edificaciones son las vigas continuas,

este proyecto estudia la teoría del elemento finito y su aplicación a la ingeniería

estructural, difunde las ventajas que proporciona el FEM (Finite Element Method) y se

pretende demostrar que con esta técnica se puede describir las diferentes acciones

mecánicas a las que están sujetas las vigas y simular el comportamiento que tendrán

las mismas en cada punto de la viga y no únicamente en los nodos, bajo la acción de

las cargas, empleando la teoría de FEM y la tecnología de computación moderna.

Introducción

Actualmente existen métodos de análisis de vigas que permiten obtener las fuerzas

internas en una viga, estos procedimientos se usan para obtener de manera

independiente los momentos, los cortantes en el caso del método de kani, fuerzas y

momentos, en el método de flexibilidades, desplazamientos, fuerzas externas y

fuerzas en los nudos, en el método de rigideces, el método FEM permite obtener

información en cualquier punto y a cualquier distancia de manera directa en la longitud

de los miembros que forman la estructura. Debido al gran esfuerzo que se requiere

para realizar las operaciones manualmente y dado que las soluciones requieren del

manejo de bastantes datos, se utilizará la tecnología computacional moderna, es decir,

programas en sus versiones DEMO como MathCad© y Staad ©.

Un estudiante de ingeniería civil necesita entender bien el comportamiento estructural.

Algunos estudiantes tienen dificultades para comprender las ideas del método del

elemento finito y por lo tanto es necesario invertir mucho tiempo y esfuerzo para

desarrollar una solución de análisis estructural para un problema específico aún de los

sencillos. Usando MathCad ©, se crea una hoja de trabajo para resolver vigas con el

método del elemento finito (FEM). En este software, el estudiante define funciones del

FEM, y escribe el procedimiento para resolver los problemas reales propuestos.

Las capacidades del MathCad © permiten resolver problemas de manera fácil y clara

evitando cálculos difíciles y ofreciendo una transparencia de los procedimientos

teóricos.

Para la verificación de los resultados de los procedimientos de FEM aplicado a las

vigas continuas se utilizará una versión STAAD.Pro ©, el cual permite analizar

BEAM – FEM

3 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

virtualmente cualquier tipo de estructura a través de su ambiente flexible de modelado y

sus avanzadas características de análisis1.

1.3 Marco Teórico

En estructuras continuas tales como las vigas, para desarrollar el análisis se debe

idealizar en un número de elementos antes de usar los métodos matriciales; Estos

elementos finitos, como se les conoce, pueden ser en dos o tres dimensiones. Como

los elementos están conectados en un número infinito de puntos alrededor de sus

fronteras se supone que están conectados en nodos. De tal manera que se asegure la

compatibilidad en los desplazamientos en los nodos. La solución es idéntica a los

métodos matriciales, la diferencia radica en la idealización de la estructura en

elementos finitos, en el cálculo de la matriz de rigidez y en el potencial para obtener los

esfuerzos, la deformación vertical, la rotación, la deformación longitudinal, el Corte y los

Momentos.

Método del Elemento Finito para vigas

Método del elemento finito

En este enfoque, el dominio de solución se divide primero en un número finito de

subdominios llamados elementos finitos. Dentro de cada elemento, la solución se

aproxima por un número finito de ecuaciones continuas, basadas en el valor de estas

funciones en puntos discretos llamados nodos, asociados con los elementos. La

ventaja principal de este proceso de aproximación de dos pasos es que muchos

aspectos del procedimiento de solución se llevan a cabo a nivel de los elementos, es

decir considerando un elemento a la vez.

Aquí, los métodos energéticos proporcionan una manera sistemática de obtener

ecuaciones algebraicas para los valores desconocidos de la solución en los nodos, el

trabajo inicia con la revisión de los métodos energéticos, haciendo énfasis en el

principio de la energía potencial mínima.2

Principio de la energía potencial mínima3

1(http://www.bentley.com/en-US/Products/STAAD.Pro/)

2Bauchau O. A., Craig J.L. Structural Analysis pag. 584

3Singiresu S. Rao, The finite element Method in engineering

BEAM – FEM

4 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

La energía potencial de un cuerpo elástico se define como:

Donde es la energía interna de deformación y es el trabajo realizado sobre el

cuerpo por las fuerzas externas. El principio de la energía potencial mínima se puede

establecer como sigue: de todos los estados posibles de desplazamientos (u, v, w) un

cuerpo puede suponer que satisface la compatibilidad y los desplazamientos dados por

las condiciones en la frontera, el estado que satisface las ecuaciones de equilibrio hace

que la energía potencial tome un valor mínimo.

Si la energía potencial , se expresa en términos de los desplazamientos u, v, w, el

principio de la energía potencial mínima dada en el estado de equilibrio es,

( ) ( ) ( )

Es importante notar que la variación se toma con respecto a los desplazamientos,

mientras que las fuerzas y los esfuerzos se suponen constantes. La energía de

deformación de un cuerpo lineal elástico está definido como

∭

Donde V es el volumen del cuerpo. Usando la relación esfuerzo – deformación:

, -( )

La energía de deformación considerando la deformación inicial se puede expresar

como:

∭

, -( )

∭

, -( ) ∭

, -( ) (Ecuación A)

El trabajo realizado por las fuerzas externas se puede expresar también como

∭

∬ (Ecuación B)

Where {

}= al vector de fuerzas conocidas del cuerpo,

BEAM – FEM

5 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

{

} = al vector de fuerzas superficiales prescritas (tracciones),

{ }Es el vector de desplazamientos y S1 es la superficie del cuerpo

sobre la cual se aplican las fuerzas.

Usando las ecuaciones A y B se puede escribir la energía potencial de un cuerpo

como:

( )

∭

, -( ) ∭

∬

Si usamos el principio de la energía potencial mínima para derivar las ecuaciones,

suponemos una forma de variación para la variable de campo desplazamiento dentro

del cual cada elemento y sus condiciones de derivada las cuales minimizaran el

funcional I igual a π.

Formulación de las ecuaciones del método del elemento finito

Se usa el principio de la energía potencial mínima para derivar las ecuaciones de

equilibrio de un problema en tres dimensiones. Los grados de libertad

(desplazamientos) en los nodos se tratan como incógnitas, la energía potencial se

tiene que expresar primero en términos de los grados de libertad de los nodos, por lo

que las ecuaciones de equilibrio necesarias se pueden obtener especificando la

primera derivada parcial de con respecto de cada uno de los grados de libertad de

los nodos igual a cero.

Pasos para la obtención de las ecuaciones de equilibrio4:

1. El cuerpo solido se divide en E elementos finitos.

2. El modelo de desplazamientos en un elemento se suponen como:

{

( ) ( ) ( )

} , - ( ) (Ecuación C )

4Singiresu S. Rao, The finite element Method in engineering

BEAM – FEM

6 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Donde ( ) es el vector de desplazamientos de los nodos, en los grados de libertad del

elemento, y , - es la matriz de la función de forma.

3. La matriz de rigidez y el vector de cargas se derivan a partir del principio de la

energía potencial mínima. Para esto, la energía potencial funcional del cuerpo se

escribe como:

∑ ( )

Donde ( ) es la energía potencial del elemento dada por

( )( )

∭ ( )

, -( ) ∭ ( )

∬ ( ) (Ecuación D)

Donde ( ) es el volumen del elemento, ( ) es la porción de superficie del elemento,

están prescritas y es el vector de fuerzas del cuerpo por unidad de volumen.

El vector de deformación que aparece en la ecuación se puede expresar en

términos del vector de desplazamientos en los nodos derivando la ecuación (C)

{

}

{

}

[

]

{ } , - ( ) (Ecuación E)

Donde

BEAM – FEM

7 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

, -

[

]

, -

Los esfuerzos se pueden obtener de las deformaciones usando la ecuación

, -( )

Como

, -( ) , -, - ( ) , -

La sustitución de la ecuación C y la E, en la D produce la energía potencial del

elemento como:

( )

∭ ( )

, - , -, - ( )

( )∭ ( )

, - , -

( )

∬ ( ) , - ∭ ( )

, -

( )

( )

Como generalmente también actúan cargas concentradas externas en los nodos, Si

denota el vector de las fuerzas en los nodos y que actúan en las direcciones de los

desplazamientos nodales de la estructura completa, la energía total potencial de la

estructura o del cuerpo se puede expresar como:

∑ ( )

(Ecuación E)

Donde {

} es el vector de desplazamientos nodales de toda la estructura y M es

el número total de grados de libertad de la estructura.

La suma de la ecuación E implica la expansión del tamaño de la matriz seguida por la

suma de los términos que se traslapan, dando la siguiente ecuación

BEAM – FEM

8 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

( )

[∑∭ ( )

, - , -, - ( )

( )

]

∑(∭ ( ) , - , -

( )

∬ ( ) , - ∭ ( )

, -

( )

( )

)

Esta ecuación expresa la energía total potencial de la estructura en términos de los

grados de libertad de los nodos .

La configuración de equilibrio estático de la estructura se puede encontrar resolviendo

las condiciones para la minimización de la energía potencial:

o

,

,

=…

Que con las ecuaciones anteriores, se puede como:

∑(∭ , - , -, - ( )

)

∑(∭ , - , - ∬ , - ∭ , - ( )

( ) ( )

)

Es decir

∑ ([ ( )]) ∑ .

( )

( )

( )/

(F)

Donde

[ ( )] ∭ , - , -, - ( )

Es la matriz de rigidez del elemento

( ) ∭ , - , - ( )

Es el vector de cargas del elemento debido a las

deformaciones iniciales

BEAM – FEM

9 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

( ) ∬ , -

( ) Es el vector de cargas del elemento debido a las

cargas en la superficie.

( ) ∭ , -

( ) Es el vector de cargas del elemento debido a las

cargas del cuerpo

4. La ecuación de equilibrio de toda la estructura se puede expresar usando la

ecuación F

[ ] (G)

Donde

[ ] ∑ ([ ( )]) Es la matriz de rigidez de toda la estructura

Y

∑ . ( )

( )

( )/

Es el vector de cargas en los nodos.

5. La solución para los desplazamientos en los nudos y los esfuerzos en los elementos

se pueden obtener después de resolver la ecuación G.

Viga y la función de Forma

Los miembros que son esbeltos y soportan cargas que están aplicadas

perpendicularmente a su eje longitudinal se les llaman Vigas5. En general, las vigas

son largas, rectas que tiene una sección transversal constante. Se clasifican de

acuerdo en cómo están apoyadas en sus soportes, vigas simplemente apoyadas, vigas

en cantiléver y vigas continuas, etc.

La manera de deformarse de una viga se describe por medio de un desplazamiento

vertical y una rotación en cada extremo de la viga. Por lo tanto estos valores son

tratados como grados de libertad cuyo valor se desconoce. Para un elemento viga de

longitud L, la cual está en el plano x-y

5Hibbeler R.C. Mechanics of materials seventh edition pag. 270

BEAM – FEM

10 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Los cuatro grados de libertad en el sistema de coordenadas locales se indican como

. El giro en contra del reloj se considera positivo. Como hay cuatro

desplazamientos nodales, suponemos un modelo de desplazamientos cubico para ( )

como:

( )

Donde las constantes se encuentran usando las siguientes condiciones en los

apoyos:

( )

( )

Y

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

d1 =v(x=0)= v1

d2 =dv/dx (x=0) =1)

d3 = v(x=L)= v2

d4 =dv/dx (x=L) =2)

x = 0

= 0

x = L

= 1

x,

L

0

BEAM – FEM

11 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Escribiendo en forma matricial las cuatro ecuaciones tenemos que:

{

} [

] {

}

[

]

Resolviendo el sistema para

[

]

{

} {

}

Tenemos que:

Sustituyendo en la ecuación del modelo de interpolación

( )

1

2

x 3

x2

4

x3

d2

L2

2 d1

L3

d4

L2

2 d3

L3

x3

3 d3

L2

3 d1

L2

d4

L

2 d2

L

x2

d2

x d1

BEAM – FEM

12 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Factorizando

( ) , -

, - , -

Agrupando para los valores de escribimos los componentes de , -

De acuerdo a la teoría de las vigas, las secciones de la viga permanecen planas

después de la deformación y por lo tanto el desplazamiento axial debido al

desplazamiento transversal se puede expresar como:

Donde y es la distancia desde el eje neutro. La deformación axial, está dada por

, -

Si se conocen los desplazamientos del elemento, se pueden encontrar los esfuerzos,

como:

( ) , -

Donde

L3

d1

2 x3

d1

2 x3

d3

3 L x2

d1

3 L x2

d3

L x3

d2

L3

x d2

L x3

d4

2 L2

x2

d2

L2

x2

d4

L3

BEAM – FEM

13 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

, -

*( ) ( ) ( ) ( )+

La matriz de rigidez de cada miembro se obtiene a partir de

[ ( )] ∭ , - , -, - ( )

[ ( )]

[

]

Conocer la matriz de rigidez, significa conocer los desplazamientos nodales que

producen, las cargas en los nodos.

El poder del método del elemento finito inicia después de encontrar los

desplazamientos resolviendo la ecuación [ ] .

Como la función de desplazamientos ( ) está determinada, también lo está la

rotación ( ), podemos evaluar para cualquier valor de x a lo largo de la viga y no

solamente en los nudos.

( ) , -

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- {

}

Pasos para obtener ( )

1.- Encontrar la matriz global de la estructura , -

2.- Resolver * + , -* + Obteniendo * +.

3.-Calcular ( ) , - .

2x

L2

x 2 L x2

x3

( ) D12

L2

D11 L3

3 L x2

2 x3

( )

L3

L x

2 x

3( ) D14

L2

2 x

3 3 L x

2( ) D13

L3

d

d

2 6 L 12 x( ) D13

L3

4 L 6 x( ) D12

L2

6 L 12 x( ) D11

L3

2 L 6 x( ) D14

L2

BEAM – FEM

14 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

4.- Obtener ( ) ( )

, -* + para evaluar la rotación de la viga en cualquier

punto a lo largo de la viga.

5.- Obtener la deformación ( ) , -* + donde , -

, -

6.- Obtener los esfuerzos a partir de , -* +

7.- Obtener los momentos de ( ) , -* +

8.- Obtener el Corte de ( )

( )

1.5 Resultados y discusión

Se integró un alumno de la licenciatura en ing. Civil al proyecto en la parte fundamental

que representa el análisis matemático y mecánico del método del elemento finito. Se

escribió un artículo científico de los resultados del proyecto. Se presentara la memoria

en extenso en una conferencia por realizarse en la semana académica de la ingeniería

civil en el Instituto Tecnológico de Tepic.

Se realizaron tres ejemplos representativos de vigas, los cuales se encuentran en su

respectivo anexo: Llamados Anexo ejemplo_1 Viga simplemente apoyada, Anexo

ejemplo_2 Viga en voladizo, Anexo ejemplo_3 Viga un Claro más Voladizo. Estos

ejemplos fueron realizados en MathCad © y verificados en Staad Pro ©

Dado que la solución que proporciona el método del elemento finito es aproximada es

necesario implementar una herramienta de programación que permita de manera

amigable el ingreso de la viga en estudio, así como el modelado y la representación

gráfica de los resultados. Esta herramienta será desarrollada a partir de los resultados

obtenidos en el proyecto.

Solo se analizaron vigas, por lo que se pretende extender la aplicación del método del

elemento finito a los sólidos con el fin de tener un modelado real y preciso del

comportamiento de los elementos. Con base en los resultados de este proyecto se

iniciara el análisis en tres dimensiones con la idea de obtener una mejor aproximación

al comportamiento de los materiales.

BEAM – FEM

15 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

1.6 Conclusiones

Un estudiante de ingeniería civil puede ahorrar tiempo cuando analiza una viga si

requiere no solamente información en los nodos, ya que el método le permite conocer

de manera simple la respuesta interna de los elementos en cualquier punto a lo largo

del elemento.

El método del elemento finito tiene una mejor respuesta que los métodos tradicionales,

debido a la gran cantidad de información que produce, ya que se basa en los métodos

energéticos y el principio de la conservación de la energía.

Dada la gran cantidad de datos y las operaciones sobre los mismos es necesario

contar con una herramienta que se pueda adaptar a los procedimientos de manera fácil

y clara.

Mathcad es la herramienta adecuada para realizar el método del elemento finito y

presentar sus fundamentos a los estudiantes y público en general interesado en el

tema. Como el Staad Pro ©, realiza el análisis con el método de rigidez, es posible

verificar los resultados obtenidos con MathCad ©, desde las deformaciones, los

esfuerzos, El corte y el momento.

Usando los ejemplos aquí presentados, se pueden resolver diferentes problemas con

un menor tiempo y esfuerzo. De tal manera que los estudiantes se enfoquen en el

procedimiento y no en la gran cantidad de cálculos involucrados en la solución.

1.7Bibliografia

The Finite Element Method in Engineering, Fifth Edition [Hardcover]

Singiresu S. RAO (Author)

Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, Second Edition (Series in Systems and Control)

J. N. Reddy

Structural Analysis: With Applications to Aerospace Structures (Solid Mechanics and Its Applications)

O. A. Bauchau, J.I. Craig

Introduction to Aircraft Structural Analysis (Elsevier Aerospace Engineering)

T.H.G. Megson

Matrix Analysis of Structural Dynamics: Applications and Earthquake Engineering (Civil and Environmental Engineering)

Advanced Engineering Mathematics (2nd Edition)

BEAM – FEM

16 Línea de Investigación: Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica

Michael Greenberg

Computer Methods in Structural Analysis

J.L. Meek

Advanced Mechanics of Materials

Roman Solecki, R. Jay Conant

Advanced Mechanics of Materials

Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt

Engineering Mechanics: Statics and Student Study Pack with FBD Package (11th Edition)

HIBBELER

Mechanics of Materials (7th Edition)

Russell C. Hibbeler (Author)

Introduction to Structural Analysis & Design

S. D. Rajan (Author)