Beamer j 20

TALLER Exito Academico LIBERIA 2014

19 de febrero de 2014


Definiciones basicas sobre funciones lineales

Funcion Lineal

def. Una funcion lineal es una funcion f:R −→ R tal quef(x)=mx + b; donde m y b son constantes reales.

Ejemplos:

1. Sea f:R −→ R tal que f(x)=8x+4. En este caso m=8 y b=4.

2. Sea f:R −→ R tal que f(x)=-12x-74. En este caso m=-12 yb=74.

3. Sea f:R −→ R tal que f(x)=3x

4− 9. En este caso m=

3

4y

b=-9.


Definiciones basicas sobre funciones lineales

Algunas caracterısticas de esta funcion

1. En la funcion lineal siempre se tiene que f (0)=b, estoquiere decir que la grafica de la funcion corta al eje y en elpunto (0,b).

2. La constante m recibe el nombre de pendiente y esta indicala inclinacion de la recta, o lo que es lo mismo sumonotonıa.

3. Si m > 0, f es creciente, si m < 0 f es decreciente y sim = 0 f es constante.


Funcion Lineal

Pendiente de una funcion lineal

def. La pendiente m de una recta no vertical que contiene lospuntos (x1, y1) y (x2, y2) es

m =y2 − y1x2 − x1

A¿Cual es la razon por la que hablamos de una recta novertical?


Funcion Lineal

Calculo de la pendiente de una funcion

Sea f una funcion lineal tal que f (2)=5 y f (3)=8, determine supendiente.

Solucion:

De acuerdo a la definicion anterior se tiene que

m =f(3)− f(2)

3− 2=

8− 5

1= 3


Funcion Lineal

Ecuacion de la recta

La ecuacion de la recta esta definida de la siguiente manera:

y = mx + b


Funcion Lineal

Calculo de la ecuacion de una recta

Determine la ecuacion de la recta que contiene a los puntos(-1,4) y (3,6).

Solucion:

Primero debemos hallar el valor de la pendiente:

m =6− 4

3− (−1)=

2

4=

1

2

Por otro lado, para calcular el valor de b, despejamos laconstante b de la ecuacion y = mx + b, por lo que obtendrıamosy −mx = b


Funcion Lineal

Calculo de la ecuacion de una recta

Tomamos los valores de x y y de cualquiera de los paresordenados dados, por lo que tenemos:

4− (1

2)(−1) = b

9

2= b

∴ y =1

2x +

9

2


Funcion Lineal

Ejercicios

En cada caso determine la pendiente y los puntos deinterseccion de la grafica de la funcion f, f:R −→ R con los ejes;ademas indique si es creciente, decreciente o constante.

1. f (x)=−2x + 6

2. f (x)=2x− 5

3

3. f (x)=4x

5+

1

3

4. f (x)=−√

3x + 2

5. f (x)=6


Definiciones basicas sobre funciones cuadraticas

Funcion Cuadratica

def. Una funcion cuadratica es una funcion f:R −→ R, tal que

f(x)=ax2 + bx + c

donde a, b y c son constantes reales y a 6= 0



Ejemplos

1. f(x)=3x2 + 2x− 1; a=3, b=2 y c=-1.

2. f(x)=−x2 + 5x; a=-1, b=5 y c=0.

3. f(x)=5x2; a=b, b=0 y c=0.



Vertice y Concavidad

La grafica de la ecuacion y = ax2 + bx + c es una parabola cuyovertice es el punto(

− b

2a,−b2 − 4ac

4a

)=

(− b

2a,−44a

)Recuerde que 4 = b2 − 4ac



Vertice y Concavidad

1. Si a > 0 la parabola es concava hacia arriba.

2. Si a < 0 la parabola es concava hacia abajo.



Eje de Simetrıa

La recta vertical que contiene al vertice es el eje de simetrıa de

la parabola, la ecuacion del eje de simetrıa es x = − b

2a.

Intersecciones con los ejes

1. Intersecciones con el eje x: Son los puntos de la forma (x,0)que se obtienen de resolver la ecuacion ax2 + bx + c = 0.

2. Intersecciones con el eje y: Es un punto de la forma (0,y),para determinarlo se calcula la imagen de 0.



Intervalos de Monotonıa

1. Si a > 0: f crece en

[− b

2a,+∞

[y f decrece en

]−∞,− b

2a

]2. Si a < 0: f crece en

]−∞,− b

2a

]y f decrece en

[− b

2a,+∞

[



Ambito

1. Si a > 0 El ambito es:

[−4

4a,+∞

[2. Si a < 0 El ambito es:

]−∞,−4

4a

]


Funcion Cuadratica

Ejercicios

Determine en cada caso el vertice, la concavidad, el eje desimetrıa, la interseccion con los ejes, intervalos de monotonıa yel ambito. Trace un bosquejo de la grafica.

1. y = x2 − 4

2. y = x2 + 4x + 4

3. f(x) = −(x + 3)2

4. f(x) = x2 + 2x

5. h(x) = 2x2 + 7x− 4

6. h(x) = −x2 − 2x + 24


Funcion Cuadratica

Ejercicios

Determine en cada caso el vertice, la concavidad, el eje desimetrıa, la interseccion con los ejes, intervalos de monotonıa yel ambito. Trace un bosquejo de la grafica.

1. g(x) = −x2 + 1

2. g(x) = −x2 − 3

3. m(x) = −x2 − 3x− 5


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