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TALLERDE NIVE-LACIONLIBERIA

2014

TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014

18 de febrero de 2014


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Definiciones basicas sobre funciones

Funcion

def. Una funcion f de un conjunto A a un conjunto B es unacorrespondencia que asigna a cada elemento x de A un unicoelemento y de B.Se denota de la siguiente forma: f :A −→ BEjemplos:

1 En cierto colegio, la calificacion anual del rendimientode cada alumno se expresa mediante una escalacualitativa: excelente, bueno, regular, malo.

2 En cierta biblioteca, a cada libro se le asocia un numerode acuerdo con la cantidad de paginas que lo conforman.


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Dominio y Codominio

En una funcion f :A −→ B, al conjunto A se le llamadominio o conjunto de salida, mientras que al conjunto Bse le conoce como codominio o conjunto de llegada.

Imagenes y Preimagenes

Los elementos de B asociados a elementos de A se les llamaimagenes bajo f y se denotan por f(x). Las preimagenes sonlos elementos que estan en A y se encuentran asociados conelementos del conjunto B.


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Ambito

El ambito de una funcion es el subconjunto del codominioformado por las imagenes de los elementos del dominio; alambito tambien se le llama rango.

Criterio

Es la regla que define la funcion. Por ejemplo sea

f :R −→ Rf(x)=x2

En este caso el criterio es f(x)=x2


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Grafico

El grafico de f es el conjunto de todos los pares ordenadostales que el primer elemento del par es un elemento deldominio de f y el segundo elemento es su imagen respectiva.

Grafica

Es la representacion de una funcion en un plano cartesiano,que consta de dos rectas numericas perpendiculares, dondeuna representa al eje y y la otra al eje x, que se intersecanen un punto llamado origen (0,0).


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Calculo de imagenes y preimagenes

Calcular una imagen

Sea f :[−5, 5] −→ R definida por f(x)=x2 − 3x + 2 ,determine f (0), f (1) y f (-4).Solucion: Para determinar f (0) se reemplaza x por 0 en laregla establecida:

f (0)=(0)2 − 3 · (0) + 2 = 2f (1)=(1)2 − 3 · (1) + 2 = 0

f (-4)=(−4)2 − 3 · (−4) + 2 = 30


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Calculo de imagenes y preimagenes

Calcular una preimagen

Sea la funcion f:[2,+∞[−→ R tal que f(x)=−2x2 + 8x− 6.Determine la preimagen de -6.Solucion:Determinar la preimagen de -6 significa hallar el valor x deldominio de la funcion que hace que f(x)=-6, o sea, resolver−2x2 + 8x− 6 = −6.

−2x2 + 8x− 6 + 6 = −6 + 6−2x2 + 8x = 02x(−x + 4) = 0⇒ x = 0 o x = 4

Como 0 no pertenece al dominio de la funcion, entonces lapreimagen de -6 es 4 y se denota f (4)=-6.


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Dominio maximo de una funcion

Dominio maximo

Es el mayor subconjunto de R en el cual el criterio de lafuncion tiene sentido. Para determinar el dominio maximode una funcion debemos excluir todos aquellos valores realesque indefinirıan el criterio.


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Calcular el dominio maximo

Determinar el dominio maximo de la funcion definida porf (x)=

√3− 2x

Solucion:En este caso, el criterio de la funcion estara bien definidosiempre y cuando el subradical sea mayor o igual que 0.Entonces:

3− 2x > 0⇔ 3 > 2x⇔ 3

2 > x∴ DM =]−∞, 32 ]


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Determine el dominio maximo de f(x)=4x2 + 3x− 1Solucion:Como el criterio de la funcion esta dado por un polinomio, ax se le puede asignar cualquier valor real, por lo que sudominio maximo es R.


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Determine el dominio maximo de f(x)= 3√x2 − 1

Solucion: Como esta expresion tiene en su ındice unnumero impar, entonces el subradical puede asumircualquier valor real, ademas como el subradical es unpolinomio,a x se le puede asignar cualquier valor real, por lotanto el dominio maximo es R.


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Ejercicios

Determine el dominio maximo de las siguientes funcionesreales:

14x− 3

3x− 82 4√−3x + 8

34x− 3√x + 5

4

√4x− 3

3x− 5

5

√4x− 3

3x− 5

6x2 − x− 6

x2 + 3x + 2


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Analisis de graficas

En este segmento utilizaremos graficas para determinar enellas ambito, dominio maximo,imagenes y preimagenesası como intervalos de monotonıa e intersecciones con losejes.

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