Beer Presentacion C13

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS:

DINÁMICA

Novena edición

Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

Notas:J. Walt OlerTexas Tech University

CAPÍTULO

© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

13Cinética de partículas:métodos de la energía

y la cantidad demovimiento


Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica

Novena

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Contenido

13 - 2

IntroducciónTrabajo de una fuerzaEnergía cinética de una partícula.

Principio del trabajo y la energíaAplicaciones del principio del

trabajo y la energíaPotencia y eficienciaProblema resuelto 13.1Problema resuelto 13.2Problema resuelto 13.3Pproblema resuelto 13.4Problema resuelto 13.5Energía potencialFuerzas conservativasConservación de la energíaMovimiento bajo una fuerza central

conservativa

Problema resuelto 13.6Problema resuelto 13.7Problema resuelto 13.9Principio del impulso y la cantidad demovimientoMovimiento impulsivoProblema resuelto 13.10Problema resuelto 13.11Problema resuelto 13.12ImpactoImpacto central directoImpacto central oblicuoProblemas en los que interviene laenergía y la cantidad de movimientoProblema resuelto 13.14Problema resuelto 13.15Problema resuelto 13.16Problema resuelto 13.17



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Introducción

13 - 3

• Anteriormente, los problemas relativos al movimiento de laspartículas se resolvieron mediante la ecuación fundamental delmovimiento, El capítulo actual presenta dos métodosadicionales de análisis.

.amF

• Método del trabajo y la energía: se relaciona directamente conla fuerza, la masa, la velocidad y el desplazamiento.

• Método del impulso y la cantidad de movimiento: serelaciona directamente con la fuerza, la masa, la velocidady el tiempo.



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Trabajo de una fuerza

13 - 4

• El vector diferencial es el desplazamiento de laspartículas.

rd

• El trabajo de la fuerza es

dzFdyFdxF

dsF

rdFdU

zyx

cos

• El trabajo es una magnitud escalar, es decir, tienemagnitud y signo, pero no dirección.

• Las dimensiones del trabajo son longitud x fuerza.Las unidades son

J1.356lb1ftm1N1J1 joule



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13 - 5

• Trabajo de una fuerza durante undesplazamiento finito,

2

1

2

1

2

1

2

1

cos

21

A

Azyx

s

st

s

s

A

A

dzFdyFdxF

dsFdsF

rdFU

• El trabajo está representado por el áreabajo la curva de Ft graficada contra s.



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13 - 6

• Trabajo de una fuerza constante en movimientorectilíneo,

xFU cos21

• Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad,

yWyyW

dyWU

dyW

dzFdyFdxFdU

y

y

zyx

12

21

2

1

• El trabajo del peso es igual al producto delpeso W y el desplazamiento vertical ∆y.

• El trabajo del peso es positivo cuando ∆y < 0,esto es, cuando el cuerpo se mueve hacia abajo.



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13 - 7

• La magnitud de la fuerza ejercida por un resortees proporcional a la deformación,

lb/in.oN/mresortedelconstante

k

kxF

• Trabajo de la fuerza ejercida por el resorte,

222

1212

121

2

1

kxkxdxkxU

dxkxdxFdUx

x

• El trabajo de la fuerza ejercida por el resorte espositiva cuando x2 < x1, esto es, cuando el resorteestá regresando a la posición no deformada.

• El trabajo de la fuerza ejercida por el resorte esigual al área negativa bajo la curva de F graficadacontra x,

xFFU 2121

21



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13 - 8

Trabajo de una fuerza gravitacional (suponer que lapartícula M ocupa una posición fija O, mientras que lapartícula m sigue la trayectoria mostrada),

12221

2

2

1r

MmG

r

MmGdr

r

MmGU

drr

MmGFdrdU

r

r



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13 - 9

Fuerzas que no funcionan (ds = 0 o cosa= 0):

• peso de un cuerpo cuando su centro de gravedad se desplazahorizontalmente.

• reacción en un rodillo en movimiento a lo largo de su trayectoria, y

• reacción en la superficie de fricción cuando el cuerpo se mueve encontacto con toda la superficie,

• reacción en un pasador sin fricción cuando el cuerpo soportado giraalrededor del pasador,



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Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y laenergía

13 - 10

dvmvdsFds

dvmv

dt

ds

ds

dvm

dt

dvmmaF

t

tt

• Considerar una partícula de masa m que se somete a unafuerza F

• La integración de A1 a A2 ,

cinéticaenergíamvTTTU

mvmvdvvmdsFv

v

s

s

t

221

1221

212

1222

12

1

2

1

• El trabajo de la fuerza es igual al cambio en energíacinética de la partícula.

F

• Las unidades de trabajo y energía cinética son las mismas:

JmNms

mkg

sm

kg2

22

21

mvT



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Aplicaciones del principio del trabajo y la energía

13 - 11

• Se desea determinar la velocidad de laplomada del péndulo en A2. Considerar eltrabajo y la energía cinética.

• La fuerza es normal a la trayectoria y norealiza trabajo.

P

glv

vg

WWl

TUT

2

21

0

2

22

2211

• La velocidad es encontrada sin determinarla expresión para la aceleración y laintegración.

• Todas las cantidades son escalares y se puedenagregar directamente.

• Las fuerzas que no trabajan son eliminadas delproblema.



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Aplicaciones del principio del trabajo y la energía

13 - 12

• El principio del trabajo y la energía no sepuede aplicar directamente a determinar laaceleración de la plomada del péndulo.

• El cálculo de la tensión de la cuerda requierecomplementar el método del trabajo y laenergía con una aplicación de la segunda leyde Newton.

• Cuando la plomada pasa por A2 ,

Wl

gl

g

WWP

l

v

g

WWP

amF nn

32

22

glv 22



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Potencia y eficiencia

13 - 13

• Potencia = tasa a la cual se realiza el trabajo.

vFdt

rdF

dt

dU

• Las dimensiones del poder son el trabajo / tiempo o lafuerza * velocidad. Las unidades de poder son

W746slbft

550hp1osm

N1sJ

1(watt) W1

•

entradadepotenciasalidadepotencia

entradadetrabajosalidadetrabajo

eficiencia



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Problema resuelto 13.1

13 - 14

Un automóvil que pesa 4 000 lbdesciende por una pendiente de 5o deinclinación a una rapidez de 60 mi/hcuando se aplican los frenos, lo queprovoca una fuerza de frenado totalconstante de 1 500 lb.

Determinar la distancia que recorre elautomóvil antes de detenerse.

SOLUCIÓN:

• Evaluar el cambio en la energíacinética.

• Determinar la distancia necesaria paraigualar el cambio de energía cinética.



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13 - 15

SOLUCIÓN:

• Evaluar el cambio en la energía cinética.

lbft481000882.324000

sft88s3600

hmi

ft5280h

mi60

2212

121

1

1

mvT

v

0lb1151lbft4810002211

x

TUT

ft418x

• Determinar la distancia necesaria para igualarel cambio de energía cinética.

x

xxU

lb1151

5sinlb4000lb150021

00 22 Tv



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13 - 16

Dos bloques están unidos por un cableinextensible como se muestra. Si elsistema se suelta desde el reposo,determinar la velocidad del bloque Adespués de que se ha movido 2 m.Suponer que el coeficiente de fricciónentre el bloque A y el plano esmk =0.25, y que la polea no tiene peso nifricción.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de trabajo y laenergía por separado a los bloques Ay B.

• Cuando se combinan las dosrelaciones, el trabajo de las fuerzas delcable se cancela. Resolver para lavelocidad.



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13 - 17

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de trabajo y la energía porseparado a los bloques A y B.

221

221

2211

2

kg200m2N490m2

m2m20

:

N490N196225.0

N1962sm81.9kg200

vF

vmFF

TUT

WNF

W

C

AAC

AkAkA

A

221

221

2211

2

kg300m2N2940m2

m2m20

:

N2940sm81.9kg300

vF

vmWF

TUT

W

c

BBc

B



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13 - 18

• Cuando se combinan las dos relaciones, el trabajo delas fuerzas del cable se cancelan. Resolver para lavelocidad.

221 kg200m2N490m2 vFC

221 kg300m2N2940m2 vFc

221

221

kg500J4900

kg300kg200m2N490m2N2940

v

v

sm43.4v



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13 - 19

Se utiliza un resorte para detener un paquetede 60 kg que se desliza sobre una superficiehorizontal. El resorte tiene una constante k =20 kN/m y se sostiene mediante cables demanera que se encuentre inicialmentecomprimido 120 mm. El paquete tiene unavelocidad de 2.5 m/s en la posición que seilustra y la máxima compresión del resortees de 40 mm.

Determinar a) el coeficiente de friccióncinética entre el paquete y la superficie, y b)la velocidad del paquete cuando éste pasaotra vez por la posición mostrada.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de trabajo y laenergía entre la posición inicial y elpunto en que el resorte estácompletamente comprimido y lavelocidad es cero. La únicaincógnita en la relación es elcoeficiente de fricción.

• Aplicar el principio del trabajo y laenergía para la recuperación delpaquete. La única incógnita en larelación es la velocidad en laposición final.



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13 - 20

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del trabajo y la energía entre laposición inicial y el punto en que el resorte estátotalmente comprimido.

0J5.187sm5.2kg60 22

212

121

1 TmvT

kk

kf xWU

J377m640.0sm81.9kg60 2

21

J0.112m040.0N3200N2400

N3200m160.0mkN20

N2400m120.0mkN20

21

máxmín21

21

0máx

0mín

xPPU

xxkP

kxP

e

J112J377212121 kef UUU

0J112J377-J5.187

:2211

k

TUT

20.0k



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13 - 21

• Aplicar el principio del trabajo y la energía para larecuperación del paquete.

232

1232

132 kg600 vmvTT

J36.5

J112J377323232

kef UUU

232

1

3322

kg60J5.360

:

v

TUT

sm103.13 v



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13 - 22

Un vehículo de 2 000 lb parte delreposo en el punto 1 y desciende sinfricción por la pista que se ilustra.

Determinar:

a) la fuerza que ejerce la pistasobre el vehículo en el punto 2, y

b) el valor mínimo seguro del radiode curvatura en el punto 3.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del trabajo y laenergía para determinar la velocidad enel punto 2.

• Aplicar la segunda ley de Newton paraencontrar la fuerza normal de la pista enel punto 2.

• Aplicar el principio del trabajo y laenergía para determinar la velocidad enel punto 3.

• Aplicar la segunda ley de Newton paraencontrar el radio mínimo de curvaturaen el punto 3, de tal manera que unafuerza normal positiva sea ejercida por lapista.



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13 - 23

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del trabajo y la energía paradeterminar la velocidad en el punto 2.

sft8.50ft2.32ft402ft402

21

ft400:

ft40

21

0

222

2

222211

21

22

222

121

vsgv

vg

WWTUT

WU

vg

WmvTT

• Aplicar la segunda ley de Newton para encontrarla fuerza normal de la pista en el punto 2.

:nn amF

WN

g

g

Wv

g

WamNW n

5

ft20ft402

2

22

lb10000N



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13 - 24

• Aplicar el principio del trabajo y la energía paradeterminar la velocidad en el punto 3.

sft1.40sft2.32ft252ft252

21

ft250

323

233311

vgv

vg

WWTUT

• Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar elradio mínimo de curvatura en el punto 3, de talmanera que una fuerza normal positiva sea ejercidapor la pista.

:nn amF

33

23 ft252

g

g

Wv

g

W

amW n

ft503



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13 - 25

El montacargas D y su carga tienen unpeso combinado de 600 lb, en tanto queel contrapeso C pesa 800 lb.

Determinar la potencia entregada por elmotor eléctrico M cuando el montacargasa) se mueve hacia arriba a una rapidezconstante de 8 ft/s, y b) tiene unavelocidad instantánea de 8 ft/s y unaaceleración de 2.5 ft/s2, ambas dirigidashacia arriba.

SOLUCIÓN:La fuerza ejercida por el cabledel motor tiene la mismadirección que la velocidad delmontacargas. La potenciaenviada por el motor es iguala FvD, vD = 8 ft/s.

• En el primer caso, los cuerpos estánen movimiento uniforme. Determinarla fuerza ejercida por el cable delmotor en condiciones de equilibrioestático.

• En el segundo caso, ambos cuerposse están acelerando. Aplicar lasegunda ley de Newton a cadacuerpo para determinar la fuerzarequerida del cable del motor.



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13 - 26

• En el primer caso, los cuerpos están en movimientouniforme. Determinar la fuerza ejercida por el cable delmotor en condiciones de equilibrio estático.

slbft1600

sft8lb200

DFvPotencia

hp91.2slbft550

hp1slbft1600

Potencia

Cuerpo libre C:

:0 yF lb4000lb8002 TT

Cuerpo libre D:

:0 yF

lb200lb400lb600lb600

0lb600

TF

TF



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13 - 27

• En el segundo caso, ambos cuerpos se están acelerando.Aplicar la segunda ley de Newton a cada cuerpo paradeterminar la fuerza requerida del cable del motor.

2212 sft25.1sft5.2 DCD aaa

Cuerpo libre C:

:CCy amF lb5.38425.12.32

8002800 TT

Cuerpo libre D:

:DDy amF

lb1.2626.466005.384

5.22.32

600600

FF

TF

slbft2097sft8lb1.262 DFvPotencia

hp81.3slbft550

hp1slbft2097

Potencia



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Energía potencial

13 - 28

2121 yWyWU

• Trabajo de la fuerza de gravedad ,W

• El trabajo es independiente de la trayectoriaseguida; depende sólo de los valores inicial yfinal de Wy.

WyVg

energía potencial del cuerpo respecto a lafuerza de gravedad.

2121 gg VVU

• Las unidades de trabajo y energía potencial sonlas mismas:

JmN WyVg

• El nivel de referencia desde el cual es medida laelevación y es arbitraria.



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Energía potencial

13 - 29

• La anterior expresión para la energía potencial deun cuerpo con respecto a la gravedad sólo es válidacuando el peso del cuerpo permanece constante.

• Para un vehículo espacial, la variación de la fuerzade la gravedad con la distancia desde el centro dela Tierra debe ser considerada.

• Trabajo de la fuerza gravitacional,

1221 r

GMm

r

GMmU

• Energía potencial Vg cuando la variación en lafuerza de la gravedad no puede ignorarse,

r

WR

r

GMmVg

2



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Energía potencial

13 - 30

• El trabajo de la fuerza ejercida por un resortedepende sólo de las desviaciones iniciales yfinales del resorte,

222

1212

121 kxkxU

• La energía potencial del cuerpo con respecto ala fuerza elástica,

2121

221

ee

e

VVU

kxV

• Obsérvese que Ve sólo es válida si lasdeformaciones del resorte se miden a partir desu posición no deformada.



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Fuerzas conservativas

13 - 31

• El concepto de energía potencial puede aplicarse si eltrabajo de la fuerza es independiente de la trayectoriaseguida por su punto de aplicación.

22211121 ,,,, zyxVzyxVU Esas fuerzas se describen como fuerzas conservativas.

• Para cualquier fuerza conservativa aplicada en unatrayectoria cerrada,

0 rdF

• Trabajo elemental correspondiente al desplazamientoentre dos puntos vecinos,

zyxdV

dzzdyydxxVzyxVdU

,,

,,,,

Vz

V

y

V

x

VF

dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdzFdyFdxF zyx

grad



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Conservación de la energía

13 - 32

• Trabajo de una fuerza conservativa,

2121 VVU

• Concepto de trabajo y energía,

1221 TTU

• Se deduce que

constante2211

VTE

VTVT

• Cuando una partícula se mueve bajo laacción de fuerzas conservativas, la energíamecánica total es constante.

WVT

WVT

11

11 0

WVT

VWgg

WmvT

22

2222

12 02

21 • Las fuerzas de fricción son no conservativas.

La energía mecánica total de un sistemaimplica disminución de la fricción.

• La energía mecánica se disipa por la fricciónen energía térmica. La energía total esconstante.



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Movimiento bajo una fuerza central conservativa

13 - 33

• Cuando una partícula se mueve bajo una fuerzacentral conservativa, tanto el principio deconservación de la cantidad de movimiento angular

como el principio de conservación de la energía

pueden ser aplicados.

sensen 000 rmvmvr

r

GMmmv

r

GMmmv

VTVT

221

0

202

1

00

• Dada r, las ecuaciones pueden ser resueltas para v yj.

• Para los valores mínimo y máximo de r,j =90o.Dadas las condiciones de lanzamiento, las ecuacionespueden ser resueltas para rmín, rmáx, vmín y vmáx.



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13 - 34

Un collarín de 20 lb se desliza sinfricción a lo largo de una varillavertical, como se ilustra. El resorteunido al collarín tiene una longitudno deformada de 4 in. y unaconstante de 3 lb/in.

Si el collarín se suelta desde laposición de reposo 1, determinar suvelocidad después que se ha movido6 in. hasta la posición 2.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de la conservación dela energía entre las posiciones 1 y 2.

• La energías potenciales elástica ygravitacional en 1 y 2 se evalúan por lainformación dada. La energía cinéticainicial es cero.

• Resolver para la energía cinética y lavelocidad en 2.



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13 - 35

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de la conservación de la energíaentre las posiciones 1 y 2.

Posición 1:

0

lbft20lbin.24

lbin.24in.4in.8in.lb3

1

1

2212

121

T

VVV

kxV

ge

e

Posición 2:

22

22

222

12

2

2212

221

311.02.32

2021

lbft5.5lbin.6612054

lbin.120in.6lb20

lbin.54in.4in.01in.lb3

vvmvT

VVV

WyV

kxV

ge

g

e

Conservación de la energía:

lbft5.50.311lbft20 22

2211

v

VTVT

sft91.42v



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13 - 36

Un objeto de 0.5 lb se empuja contrael resorte y se suelta desde el reposoen A. Ignorando la fricción,determinar la deformación mínima delresorte para la cual el objeto sedesplazará alrededor del aro ypermanecerá en contacto con él todoel tiempo.

SOLUCIÓN:

• Puesto que el objeto debe permanecer encontacto con el aro, la fuerza ejercidasobre él debe ser igual o mayor que cero.Estableciendo en cero la fuerza ejercidapor el aro, resolver para la velocidadmínima en D.

• Aplicar el principio de conservación dela energía entre los puntos A y D.Resolver para la deformación delresorte necesaria para producir lavelocidad requerida y la energíacinética en D.



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13 - 37

SOLUCIÓN:

• Estableciendo en cero la fuerza ejercida por el aro,resolver para la velocidad mínima en D.

:nn maF 222

2

sft4.64sft32.2ft2

rgv

rvmmgmaW

D

Dn

• Aplicar el principio de conservación de la energíaentre los puntos A y D.

0

18ftlb360

1

22212

21

1

T

xxkxVVV ge

lbft5.0sft4.64sft2.32

lb5.021

lbft2ft4lb5.00

222

221

2

2

D

ge

mvT

WyVVV

25.0180 2

2211

x

VTVT

in.47.4ft3727.0 x



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13 - 38

Un satélite es lanzado en direcciónparalela a la superficie de la Tierracon una velocidad de 36 900 km/hdesde una altura de 500 km.

Determinar a) la altura máximaalcanzada por el satélite, y b) el errormáximo permisible en la dirección delanzamiento si el satélite va a entrar auna órbita a 200 km de la superficieterrestre.

SOLUCIÓN:

• Para el movimiento bajo una fuerza centralconservativa, los principios deconservación de la energía y laconservación del momento angular sepueden aplicar de manera simultánea.

• Aplicar los principios a los puntos de laaltitud mínima y máxima para determinarla altitud máxima.

• Aplicar los principios hasta el punto deinserción en órbita y el punto de altitudmínima para determinar la inserción deerror máximo admisible de la órbita deángulo.



Novena

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13 - 39

• Aplicar los principios de conservación de la energía y laconservación del momento angular de los puntos de laaltitud mínima y máxima para determinar la altitudmáxima.


1

212

1

0

202

1

r

GMmmv

r

GMmmvVTVT AAAA

Conservación de la cantidad de movimiento angular:

1

0011100 r

rvvmvrmvr

Combinando,

2001

0

1

0

02

1

202

021 2

111vr

GM

r

r

r

r

r

GM

r

rv

23122622

60

0

sm10398m1037.6sm81.9

sm1025.10hkm36900

km6870km500km6370

gRGM

v

r

km60400m104.60 61 r



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13 - 40

• Aplicar los principios hasta el punto de inserción en órbita yel punto de altitud mínima para determinar la inserción deerror máximo admisible de la órbita de ángulo.


mín

2máx2

1

0

202

100 r

GMmmv

r

GMmmvVTVT AA

Conservación de la cantidad de movimiento angular:

mín

000máxmáxmín000 sensen

r

rvvmvrmvr

Combinando y resolviendo para senj0,

5.1190

9801.0sen

0

0

5.11permisibleerror



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Principio del impulso y la cantidad de movimiento

13 - 41

• De la segunda ley de Newton,

vmvmdt

dF

cantidad demovimiento lineal

2211

21 fuerzaladeimpulso2

1

vmvm

FdtFt

t

Imp

Imp

• La cantidad de movimiento final de lapartícula puede obtenerse al sumarvectorialmente su cantidad de movimientoinicial y el impulso de la fuerza durante elintervalo de tiempo.

12

2

1

vmvmdtF

vmddtFt

t

• Las dimensiones del impulsode una fuerza son

fuerza*tiempo.

• Las unidades para el impulsode una fuerza son

smkgssmkgsN 2



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Movimiento impulsivo

13 - 42

• Una fuerza que actúa sobre una partículadurante un breve intervalo lo suficientementegrande para causar un cambio significativo en lacantidad de movimiento se conoce como fuerzaimpulsiva.

• Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre unapartícula,

21 vmtFvm

• Cuando una pelota de beisbol es golpeada por unbate, el contacto se produce en un intervalo detiempo corto, pero la fuerza es suficientementegrande para cambiar el sentido del movimiento dela pelota.

• Las fuerzas no impulsivas son aquellas en lasque es pequeño y, por lo tanto, se puededespreciar.

tF



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13 - 43

Un automóvil que pesa 4 000 lbdesciende por una pendiente de 5o a unarapidez de 60 mi/h cuando se aplicanlos frenos, lo que provoca una fuerzade frenado total constante de 1 500 lb.

Determinar el tiempo que se requierepara que el automóvil se detenga.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento. El impulso esigual al producto de las fuerzasconstantes y al intervalo de tiempo.



Novena

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13 - 44

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento.

2211 vmvm Imp

Teniendo componentes paralelos a lapendiente,

015005sen4000sft882.32

4000

05sen1

tt

FttWmv

s49.9t



Novena

edición


13 - 45

Una pelota de beisbol de 4 oz se lanzacon una velocidad de 80 ft/s. Despuésde que la pelota es golpeada por el bate,adquiere una velocidad de 120 ft/s en ladirección mostrada. Si el bate y la bolaestán en contacto 0.015 s, determinar lafuerza impulsiva promedio ejercidasobre la pelota durante el impacto.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento en términos delas ecuaciones componentes horizontal yvertical.



Novena

edición


13 - 46

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y la cantidad demovimiento en términos de las ecuacionescomponentes horizontal y vertical.

2211 vmvm Imp

x

y

componente x de la ecuación:

lb89

40cos1202.32

16415.080

2.32164

40cos21

x

x

x

F

F

mvtFmv

componente y de la ecuación:

lb9.39

40cos1202.32

16415.0

40sen0 2

y

y

y

F

F

mvtF

lb5.97,lb9.39lb89 FjiF



Novena

edición


13 - 47

Un paquete de 10 kg cae desde unarampa en un carro de 25 kg a unavelocidad de 3 m/s. Si el carro está alinicio en reposo y puede rodarlibremente, determinar a) la velocidadfinal del carro, b) el impulso ejercidopor el carro sobre el paquete, y c) lafracción de la energía inicial perdidaen el impacto.

• Se aplica el mismo principio al paquetesólo para determinar el impulsoejercido sobre éste desde el cambio ensu cantidad de movimiento.

SOLUCIÓN:

• Se aplica el principio del impulso y lacantidad de movimiento al sistemapaquete-carro para determinar lavelocidad final.



Novena

edición


13 - 48

SOLUCIÓN:

• Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento al sistemapaquete-carro para determinar la velocidad final.

2211 vmmvm cpp Imp

x

y

componentes de x: 2

21

kg25kg1030cosm/s3kg10

030cos

v

vmmvm cpp

m/s742.02 v



Novena

edición


13 - 49

• Se aplica el mismo principio al paquete sólo para determinar el impulsoejercido sobre éste desde el cambio en su cantidad de movimiento.

x

y

2211 vmvm pp Imp

componentes de x:

2

21

kg1030cosm/s3kg10

30cos

vtF

vmtFvm

x

pxp

sN56.18 tFx

componentes de y: 030senm/s3kg10

030sen1

tF

tFvm

y

yp

sN15 tFy

sN9.23sN51sN56.1821 tFjitF

Imp



Novena

edición


13 - 50

Para determinar la fracción de energía perdida,

J63.9sm742.0kg25kg10

J45sm3kg10

2212

221

1

2212

121

1

vmmT

vmT

cp

p

786.0J45

J9.63J45

1

21

T

TT



Novena

edición

Impacto

13 - 51

• Impacto: Colisión que se produce entre doscuerpos durante un intervalo de tiempo, en el cualdichos cuerpos ejercen grandes fuerzas entre sí.

• Línea de impacto: Normal común a lassuperficies en contacto durante el impacto.

• Impacto central: Impacto en el que los centros demasa de los dos cuerpos se encuentran en la líneade impacto; de lo contrario, es un impactoexcéntrico.

Impacto central directo

• Impacto directo: Impacto en el que lasvelocidades de dos cuerpos se dirigen a lo largo dela línea de impacto.

Impacto central oblicuo

• Impacto oblicuo: Impacto en el cual uno o amboscuerpos se mueven a lo largo de una línea que nosea la línea de impacto.



Novena

edición


13 - 52

• Cuerpos que se mueven en la misma línearecta, vA > vB .

• Después del impacto los cuerpos sufren unperiodo de deformación, al final del cualestán en contacto y en movimiento a unavelocidad común.

• Un periodo de restitución se presentacuando los cuerpos recuperan su formaoriginal o permanecen deformados.

• Para determinar las velocidades finales delos dos cuerpos, la cantidad de movimientototal del sistema de los dos cuerpos seconserva,

BBBBBBAA vmvmvmvm

• Se requiere una segunda relación entre lasvelocidades finales.



Novena

edición


13 - 53

• Periodo de deformación: umPdtvm AAA

• Periodo de restitución: AAA vmRdtum 10

e

uv

vu

Pdt

Rdt

nrestituciódeecoeficiente

A

A

• Un análisis similar de la partícula B conduce aB

B

vu

uve

• La combinación de las relaciones conduce a lasegunda relación deseada entre las velocidadesfinales. BAAB vvevv

• Impacto perfectamente plástico,e = 0: vvv AB vmmvmvm BABBAA

• Impacto perfectamente elástico, e = 1:Energía total y cantidad de movimientoconservado.

BAAB vvvv



Novena

edición


13 - 54

• Se desconoce lamagnitud y direcciónde las velocidadesfinales. Se requierencuatro ecuaciones.

• Ningún componente tangencial deimpulsos; el componente tangencialde la cantidad de movimiento decada partícula se conserva.

tBtBtAtA vvvv

• El componente normal de lacantidad de movimiento total de lasdos partículas se conserva.

nBBnAAnBBnAA vmvmvmvm

• Los componentes normales de lasvelocidades relativas antes ydespués del impacto estánrelacionados por el coeficiente derestitución.

nBnAnAnB vvevv



Novena

edición


13 - 55

• Bloque obligado a moverse a lo largo de lasuperficie horizontal.

• Los impulsos de las fuerzas internasa lo largo del eje n y de la fuerza externaejercida por la superficie horizontal y lavertical a lo largo de la superficie y dirigidoa lo largo de la vertical a la superficie.

FFyextF

• Velocidad final de la pelota en direccióndesconocida, y magnitud y velocidad demagnitud desconocida. Son necesarias tresecuaciones.



Novena

edición


13 - 56

• La cantidad de movimiento tangencialde la bola se conserva.

tBtB vv

• La cantidad de movimiento totalhorizontal del bloque y la pelota seconserva.

xBBAAxBBAA vmvmvmvm

• El componente normal de lasvelocidades relativas del bloque y lapelota está relacionado por elcoeficiente de restitución.

nBnAnAnB vvevv

• Nota: La validez de la última expresión no resulta de la relación anterior por elcoeficiente de restitución. Es necesaria una derivación similar, pero por separado.



Novena

edición

Problemas en los que interviene la energía y la cantidad demovimiento

13 - 57

• Tres métodos para el análisis de la cinética de losproblemas:

- Aplicación directa de la segunda ley de Newton

- Método de trabajo y energía

- Método del impulso y de la cantidad de movimiento

• Seleccionar el método más adecuado para el problema o parte de unproblema en cuestión.



Novena

edición


13 - 58

Una pelota es lanzada contra unapared vertical sin fricción.Inmediatamente antes de que la pelotagolpee la pared, su velocidad tieneuna magnitud v y forma un ángulo de30o con la horizontal. Si se sabe quee = 0.90, determinar la magnitud ydirección de la velocidad de la pelotacuando ésta rebota en la pared.

SOLUCIÓN:

• Resolver la velocidad de la pelota encomponentes normales y tangenciales ala pared.

• El impulso ejercido por la pared esnormal a la pared. El componente de lacantidad de movimiento tangencial dela pelota se conserva.

• Suponer que la pared tiene una masainfinita para que la velocidad de lapared antes y después del impacto seanula. Aplicar el coeficiente de larelación de restitución para encontrar elcambio en la velocidad relativa normalentre la pared y la pelota, es decir, lavelocidad normal de la pelota.



Novena

edición


13 - 59

• El componente de la cantidad de movimiento tangencialde la pelota se conserva.

vvv tt 500.0

• Aplicar el coeficiente de la relación de restitución concero velocidad de la pared.

vvv

vev

n

nn

779.0866.09.0

00

SOLUCIÓN:

• Resolver la velocidad de la pelota en componentesnormales y tangenciales a la pared.

vvvvvv tn 500.030sen866.030cos

n

t

7.32500.0779.0

tan926.0

500.0779.0

1vv

vvv tn



Novena

edición


13 - 60

La magnitud y dirección de lasvelocidades de dos pelotasidénticas sin fricción antes de quechoquen entre sí son como seilustra.

Suponiendo que e = 0.9,determinar la magnitud ydirección de la velocidad de cadapelota después del impacto.

SOLUCIÓN:

• Resolver las velocidades de las pelotas encomponentes normal y tangencial al planode contacto.

• El componente tangencia de la cantidad demovimiento para cada pelota se conserva.

• El componente total normal de la cantidadde movimiento del sistema de las dospelotas se conserva.

• Las velocidades normales relativas delas pelotas están relacionadas por elcoeficiente de restitución.

• Resolver las dos últimas ecuaciones demanera simultánea para las velocidadesnormales de las pelotas después delimpacto.



Novena

edición


13 - 61

SOLUCIÓN:

• Resolver las velocidades de las pelotas en componentesnormal y tangencial al plano de contacto.

sft0.2630cos AnA vv sft0.1530sen AtA vv

sft0.2060cos BnB vv sft6.3460sen BtB vv

• El componente tangencia de la cantidad de movimientopara cada pelota se conserva.

sft0.15 tAtA vv sft6.34 tBtB vv

• El componente total normal de la cantidad demovimiento del sistema de las dos pelotas se conserva.

0.6

0.200.26

nBnA

nBnA

nBBnAAnBBnAA

vv

vmvmmm

vmvmvmvm



Novena

edición


13 - 62

6.557.236.34

tansft9.41

6.347.23

3.407.170.15

tansft2.23

0.157.17

1

1

B

ntB

A

ntA

v

v

v

v

t

n

• Las velocidades normales relativas de las pelotas estánrelacionadas por el coeficiente de restitución.

4.410.200.2690.0

nBnAnBnA vvevv

• Resolver las dos últimas ecuaciones de manerasimultánea para las velocidades normales de laspelotas después del impacto.

sft7.17 nAv sft7.23 nBv



Novena

edición


13 - 63

La pelota B cuelga de una cuerdainextensible. Una pelota idéntica A sesuelta desde el reposo cuando apenastoca la cuerda y adquiere una velocidadv0 antes de chocar con la pelota B.Suponiendo un impacto perfectamenteelástico (e = 1) y ninguna fricción,determinar la velocidad de cada pelotainmediatamente después del impacto.

SOLUCIÓN:

• Determinar la orientación de la línea deimpacto de la acción.

• El componente de la cantidad demovimiento de la pelota A tangencial alplano de contacto se conserva.

• La cantidad de movimiento totalhorizontal del sistema de dos pelotas seconserva.

• Las velocidades relativas a lo largo de lalínea de acción antes y después delimpacto están relacionadas por elcoeficiente de restitución.

• Resolver las dos últimas expresiones dela velocidad de la pelota A a lo largo dela línea de acción y la velocidad de lapelota B, que es horizontal.



Novena

edición


13 - 64

SOLUCIÓN:

• Determinar la orientación de la línea deimpacto de la acción.

30

5.02

sen

r

r

• El componente de la cantidad demovimiento de la pelota A tangencial alplano de contacto se conserva.

0

0

5.0

030sen

vv

vmmv

vmtFvm

tA

tA

AA

• La cantidad de movimiento totalhorizontal (componente x) del sistemade dos pelotas se conserva.

0

0

433.05.0

30sen30cos5.00

30sen30cos0

vvv

vvv

vmvmvm

vmvmtTvm

BnA

BnA

BnAtA

BAA



Novena

edición


13 - 65

• Las velocidades relativas a lo largo de la línea deacción antes y después del impacto estánrelacionadas por el coeficiente de restitución.

0

0

866.05.0

030cos30sen

vvv

vvv

vvevv

nAB

nAB

nBnAnAnB

• Resolver las dos últimas expresiones de la velocidadde la pelota A lo largo de la línea de acción y lavelocidad de la pelota B, que es horizontal.

00 693.0520.0 vvvv BnA

0

10

00

693.0

1.16301.46

1.465.0

52.0tan721.0

520.05.0

vv

vv

vvv

B

A

ntA



Novena

edición


13 - 66

Un bloque de 30 kg se deja caerdesde una altura de 2 m sobre el platode 10 kg de una balanza de resorte.Suponiendo que el impacto esperfectamente plástico, determinar eldesplazamiento máximo del plato. Laconstante del resorte es k = 20 kN/m.

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de la conservaciónde la energía para determinar lavelocidad del bloque en el instante delimpacto.

• Dado que el impacto es perfectamenteplástico, el bloque y el plato se muevenjuntos a la misma velocidad después delimpacto. Determinar si la velocidadrequerida para la cantidad demovimiento total del bloque y el plato seconserva.

• Aplicar el principio de la conservaciónde la energía para determinar ladeformación máxima del resorte.



Novena

edición


13 - 67

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio de la conservación de laenergía para determinar la velocidad del bloque enel instante del impacto.

sm26.6030J5880

030

J588281.9300

2222

1

2211

2222

1222

12

11

AA

AAA

A

vv

VTVT

VvvmT

yWVT

• Determinar si la velocidad requerida para lacantidad de movimiento total del bloque y el platose conserva.

sm70.41030026.630 33

322

vv

vmmvmvm BABBAA



Novena

edición


13 - 68

Deformación inicial del resortedebida al peso del plato:

m1091.4

1020

81.910 333

k

Wx B

• Aplicar el principio de la conservación de la energíapara determinar la deformación máxima del resorte.

2

43

213

4

24

321

34

242

14

4

233212

321

3

2212

321

3

10201091.4392

1020392

0

J241.01091.410200

J4427.41030

xx

xxx

kxhWWVVV

T

kx

VVV

vmmT

BAeg

eg

BA

m230.0

10201091.43920241.0442

4

24

3213

4

4433

x

xx

VTVT

m1091.4m230.0 334

xxh m225.0h

Beer Presentacion C13

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