Matematikak eguneroko problemak ebazteko tresna izan dira beti. Zer neurri du lursail honek? Zelan banatu behar dugu uzta? Zelan erabil ditzakegu izarrak orientatzeko?

Matematiken aurreneko teoriko handia Pitagoras izan zen. Greziar hau, hainbat lekutan ibili ondoren, azke-nean Italia hegoaldean kokatu zen, eta astronomia gur-tzen zuen sekta mistiko-zientifikoa sortu zuen han.

Hiru mende geroago beste greziar entzutetsu bat ager-tu zen: Arkimedes. Sizilian (Italia, gaur egun) jaio zen, Sirakusako kolonia greziarrean, eta matematikari bikaina ez ezik, kalkulatzaile aparta ere izan zen. Gaitasun horri esker, zenbaki itzel handiak deskribatzeko sistema bat asmatu zuen. Berrekizuna 10 duten berreketetan oinarri-tuta dago.

Lehenengo matematikari teorikoak ez ziren K.a. vi. men-dera arte agertu. Zientziaren ikerketa eta garapena zuten helburu, erabilera praktikoa alde batera utzita.

2 Berreketak eta erroak

Sirakusa

Krotona

GREZIA

Zenbaki karratuak eta zenbaki kubikoakLehenago ere ikusi dugu pitagorikoek, zenbakien propietateei buruzko ikerketetan, geometriarekin lotzen zituztela. Eta zenbaki karratuak eta zenbaki kubikoak aipatzen zituzten. Hona hemen talde bateko eta besteko aurreneko zenbakiak:zenbaki karratuak

1 4

A1 A2 A3 A4

9 16

zenbaki kubikoak

18

B1 B2 B3 B4

2764

1 Idatzi aurreko segida horietako bakoitzeko hurrengo hiru gaiak.

2 Kalkulatu A100 eta B100.

Bakoitien batuketaEgiaztatu aurreko orrialdean ageri den erlazio pitagorikoa: Edozein zenbaki karratu hasierako zenbaki bakoitietako batzuen arteko batuketa moduan adieraz daiteke.S1 S2 S3 S4 S5

1

↓1

12

1 + 3

↓4

22

1 + 3 + 5

↓9

32

1 + 3 + 5 + 7

↓16

42

1 + 3 + 5 + 7 + 9

↓25

52

3 Hori kontuan hartuz, kalkulatu:a) Lehenengo zazpi zenbaki bakoitien arteko batura.

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13b) Lehenengo hamar zenbaki bakoitien arteko batura (S10).

4 Nola kalkulatuko zenuke, modu arin eta errazean, lehe-nengo ehun zenbaki bakoitien arteko batura?

S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199

30

Biderkagai berdinen arteko biderketa modu laburrean adierazteko modua da berreketa:a · a · a · a · a = a5

Berreketetan, errepikatzen den faktorea berrekizuna da, eta zenbat bider erre-pikatzen den adierazten duen zenbakia, berretzailea.

a b berretzaileaberrekizuna

→ Honela irakurtzen da: a ber b.

Adibideak• Adierazi biderketa hauek berreketa eran:

a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Hiru ber lau edo hiru laura jasota.b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Bi ber bost edo bi bostera jasota.

• Kalkulatu berreketa hauek.a) 73 = 7 · 7 · 7 = 343 b) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000

Bi berreketa berezi: karratua eta kuboaZenbaki bat 2 berretzailearekin berretzea zenbaki horren karratua kalkulatzea da.Adibidez: 72 = 7 · 7 = 49 → 7ren karratua 49 da.Zenbaki bat 3 berretzailearekin berretzea zenbaki horren kuboa kalkulatzea da.Adibidez: 73 = 7 · 7 · 7 = 343 → 7ren kuboa 343 da.

Berreketak kalkulagailuanBerreketen emaitzak, kasu errazetan izan ezik, zenbaki handiak izaten dira.Adibidez:

96 = 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 81 · 9 · 9 · 9 · 9 = 729 · 9 · 9 · 9 = … = 531 441Horrelako kalkuluak errepikakorrak eta neketsuak izaten dira eta, horregatik, kalkulagailuarekin egiten dira gehienetan.• Kalkulagailu sinpleetan, * eta = teklak erabiliko ditugu. 96 ⎯→ 9 * * = = = = = ⎯→ {∫∫∞«‘¢¢‘} ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 92 93 94 95 96

• Kalkulagailu zientifikoan, ‰ tekla erabiliko dugu.96 ⎯→ 9 ‰ 6 = ⎯→ {∫∫∞«‘¢¢‘}

Oharra: Emaitza oso handia denean eta ez denean pantailan sartzen, kalkula-gailu sinpleek errorea ematen dute; kalkulagailu zientifikoek, berriz, honelako formatuan ematen dute emaitza:

458 ⎯→ [VCWHJCGCDGEKÀÍÏ]Pantailako zenbaki hamartarra 10ekin 13 aldiz biderkatu behar dela adierazten du (hau da, koma hamartarra 13 leku mugitu behar dela eskuinera).

1 Berreketak

Zenbakiak eta geometriakarratua

5en karratua52 = 5 · 5 = 25 da(25 laukitxo).

5

5

kuboa

5en kuboa53 = 5 · 5 · 5 = 125 da(125 laukitxo).

5

5

5

Nola adieraziko zenituzke geome-trikoki 32 eta 33 zenbakiak? Gauza al zara 34 adierazteko moduren bat asmatzeko?

Berreketa kontzeptua.

Webgunean

31

1. Adierazi berreketa bidez.a) 6 · 6 b) 6 · 6 · 6c) 7 · 7 d) 5 · 5e) 10 · 10 · 10 f ) 4 · 4 · 4 · 4g) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 h) 10 · 10 · 10 · 10 · 10

2. Irakurri berreketa hauek eta adierazi biderketa moduan:a) 34 b) 27 c) 93

d) 152 e) 106 f ) 204

3. Koadernoan, osatu taula.berreketa berrekizuna berretzailea

26

5 3a4

m 5

4. Kalkulatu buruz eta ordenatu handienetik txikienera.a) 23 b) 52 c) 43

d) 203 e) 104 f ) 112

5. Kalkulatu arkatza eta papera erabilita.a) 28 b) 35 c) 123

d) 94 e) 152 f ) 852

g) 123 h) 304 i) 1003

6. Eman berreketa hauen emaitzak kalkulagailuaren laguntzaz:a) 115 b) 623 c) 374

d) 1363 e) 1014 f ) 1404

7. Idatzi berretzaile hauen balioa:a) 2x = 64 b) 3 y = 81c) 6z = 36 d) 8m = 512e) 10n = 10 000 f ) 30t = 810 000

8. Kalkulatu berrekizunaren balioa, a, kasu hauetako bakoitzean:a) a4 = 16 b) a2 = 25 c) a3 = 64d) a4 = 2 401 e) a3 = 1 000 f ) a10 = 1 024

9. Idatzi lehenengo hogei zenbaki arrunten karratuak. 12 22 32 … 202

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 4 9 … 400

10. Kalkulatu, prozesua urratsez urrats azalduz.a) 82 + 8 b) 33 – 32

c) 53 – 52 + 5 d) (92 – 72) + 42

e) (26 – 24)5 – 24 f ) (82 – 72)2 – 2 · 102 – 25

11. Egia ala gezurra?a) Zenbaki bat kubora jasotzea eta bere buruarekin

hirutan biderkatzea gauza bera dira.b) Laura jasotzea bider lau egitea da.c) 10en karratua 20 da.d) 10en karratua 1 000 da.e) Hamahiru ber bost eta bost hamahirura jasota

gauza bera dira.

12. Andonik hiru karratu irudikatu ditu: 5 cm, 12 cm eta 13 cm-ko aldeak dituzte. Bi txikienak gorriz margotu ditu, eta bestea, berdez. Azalera gorria ala berdea da handiagoa?

13. Hartu paper koadrikulatua eta ebaki bi karratu: hamar karratuko aldea duena, eta bost karratukoa duena.Lehenengo karratuan bigarrenean dagoen karratu-kopurua halako bi daude? Azaldu erantzuna.

14. Eraikin hauek leiho-kopuru berdina dute alde guztietan. Adierazi berrekizuna bost duen berreketa baten bidez eta kalkulatu zenbat dauden guztira.

15. Adierazi berreketen bidez eraikin poli-kubo bakoi-tzean zenbat kubo dagoen:

A

C D

B

Pentsatu eta egin Landu berreketa kontzeptua eta kalkulu erraz batzuk.Webgunean

32

Ondo dakizunez, 10ekin biderkatzeko nahikoa da zero bat gehitzea. Honela:102 = 10 · 10 = 100 103 = 10 · 10 · 10 = 1 000105 = 100 000 109 = 1 000 000 000

9 zero

Berrekizuna 10 duen berreketa baten emaitza unitatearen ostean berretzaileak adierazten duen adina zero dituen zenbakia da.

Zenbaki handien adierazpen laburtua Zero amaitzen diren zenbakiak adierazteko, zenbaki baten eta berrekizuna 10 duen berreketa baten biderketa erabil dezakegu.Adibidez: 400 000 = 4 · 100 000 = 4 · 105

Baliabide lagungarria da zenbaki oso handiak errazago adierazi eta ulertzeko.

AdibidezArgi-urte bat: 9 460 800 000 000 km. Aztertu zer aldaketa egiten ditugun kantitate hori irakurri, idatzi eta gogoratzeko errazagoa izan dadin:• Biribildu egingo dugu, bi zifra esanguratsu utziz → 9 500 000 000 000 • Biderketa moduan adieraziko dugu → 95 · 100 000 000 000• Bigarren biderkagaia berrekizuna 10 duen berreketa batekin adieraziko dugu

→ 95 · 1011

Argi-urte bat 95 · 1011 km dira.

Zenbakien deskonposizio polinomikoaZenbakiak zifren posizio-balioaren arabera nola deskonposatzen diren eta berrekizu-na 10 duten berreketei buruz ikasi duzuna kontuan hartuz, honako adibide honetan ageri den aldaketa egin dezakegu. Zenbaki baten deskonposizio polinomikoa da.

800 000 + 30 000 + 6 000 + 200 + 70 + 9 8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9

836 279 =

Zer da errazagoa idaztea eta interpre-tatzea?

1 000 000 000 000

1012

Egin gogoeta

Gramo bat oxigenotan

38 · 1021 atomo daude.

Gramo bat oxigenotan daude…37 638 383 060 000 000 000 000 atomo.

37 638 383 060 000 000 000 000 21 zifra

2 Berrekizuna 10 duten berreketak. Erabilerak

1. Idatzi berrekizuna 10 duten berreketak erabiliz.a) Mila. b) Milioi bat. c) Mila milioi. d) Bilioi bat.

2. Adierazi kantitate hauek zifra guztiekin.a) 4 · 105 b) 15 · 109 c) 86 · 1014

3. Idatzi zenbat balio duen x-k kasu bakoitzean:a) 2 936 428 ≈ 29 · 10 x b) 3 601 294 835 ≈ 36 · 10 x

c) 19 570 000 000 000 ≈ 20 · 10 x

4. Egin honako zenbaki hauen deskonposizio polino-mikoa:a) 74 238 b) 680 290c) 4 528 926 d) 46 350 000

5. Idatzi era laburtuan honako datu hauek:a) Litro bat uretan dagoen oinarrizko molekulen

kopurua 334 326 000 000 000 000 000 000 da.b) Alfa Centauri izarrak Eguzkitik berrogei bilioi kilo-

metrora daude.

Pentsatu eta egin

Landu zenbaki handien hurbilketa, berre-kizuna 10 duten berreketak erabiliz.

Webgunean

33

Berreketekin egin beharreko kalkuluak errazteko propietate batzuk ikasiko ditu-zu orain. Propietate horiek buruz ikastea eta hainbat egoeratan erabiltzeko saioak egitea komeni da.

Biderketa baten berreketa (Berretzaile berdineko berreketen biderketa)

Konparatu honako bi adierazpen hauek eta kontuan hartu emaitza berdina lor-tzen dela bietan. • (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216Edo bestela:• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)3

Biderketa baten berreketa biderkagaien berre-keten arteko biderketaren berdina da. ⎯→ (a · b)

n = an · bn

Zatiketa baten berreketa (Berretzaile berdineko berreketen zatiketa)

Aztertu emaitza berdina duten beste bi adierazpen hauek ere.• (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8Edo bestela:• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3

Zatiketa baten berreketa zatikizunaren eta zatitzai-learen berreketen arteko zatiketaren berdina da. ⎯→ (a : b)

n = an : bn

(2 + 3)4 = 54 = 625 24 + 34 = 16 + 81 = 97 (2 + 3)4 ≠ 24 + 34 Batuketa baten (edo kenketa baten) berreketa EZ DA batugaien berreke-ten arteko batuketa (edo kenketa).

(a + b)n ≠ an + bn

(a – b)n ≠ an – bn

Ez nahasi

3 Eragiketak berreketekin

Ariketa ebatziak1. Biderik errazena erabiliz,

kalkulatu 5 6 · 2 6.Eragiketak egiten hasi baino lehen, kontuan hartu berretzaile bereko berreketen arteko biderketa bat dela. Lehenengo propietatea erabiliko dugu:

56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1 000 000

2. Bilatu 12 3 : 4 3 kalkulatzeko biderik errazena.

Berretzaile bera duten berreketen arteko zatiketa bat da. Bigarren propietatea erabiliz, eragiketa asko aurreztuko ditugu:

123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27

3. Kalkulatu (6 4 · 5 4) : 15 4. Parentesi barruan lehenengo propietatea erabiliko dugu: 64 · 54 = (6 · 5)4 = 304 Ondoren, bigarren propietatea: 304 : 154 = (30 : 15)4 = 24

Eta dena batera aurkeztuko dugu, honela:(64 · 54) : 154 = (6 · 5)4 : 154 = 304 : 154 = (30 : 15)4 = 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

34

Berrekizun bereko berreketen biderketaZenbaki beraren bi berreketa biderkatzean, zenbaki horren beste berreketa bat lortzen dugu.

54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 4 aldiz 3 aldizIkusten duzunez, azken emaitzaren berretzailea biderkagaien berretzaileen arteko batura da.

Berrekizun bereko bi berreketa biderkatzeko, berrekizu-na bere horretan utzi eta berretzaileen arteko batuketa egin. ⎯→ a

m · an = am + n

Berrekizun bereko berreketen zatiketaBiderketaren eta zatiketaren arteko erlazioak kontuan hartuz, hau daukagu:

54 · 53 = 57 ↔ 57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54

57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53

Ikusten duzunez, zatiduraren berretzailea zatikizunaren berretzailearen eta zati-tzailearen berretzailearen arteko kendura da.

Berrekizun bereko bi berreketa zatitzeko, berrekizuna bere horretan utzi eta berretzaileen arteko kenketa egin. ⎯→ a

m : an = am – n

Berreketa baten berreketaBerreketa bat beste zenbaki batera jasotzean, berrekizun bera duen beste berre-keta bat lortzen da.

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512

Ikusten duzunez, azken berretzailea hasierako adierazpeneko bi berretzaileen arteko biderketa da.

Berreketa bat beste zenbaki batera jasotzeko, berrekizu-na bere horretan utzi eta berretzaileen arteko biderketa egin. ⎯→ (a

n)m = an · m

Ariketa ebatziak1. Kalkulatu, propietateak

erabiliz:

(83)2 : (83 · 82)

Lehenengo parentesian, berreketa baten berreketa egingo dugu: (83)2 = 83 · 2 = 86 Bigarrenean, berrekizun bereko berreketen arteko biderketa: 83 · 82 = 83 + 2 = 85 Eta amaitzeko, berrekizun bereko berreketen berretzaileen arteko kenketa:

(83)2 : (83 · 82) = 86 : 85 = 86 – 5 = 81 = 8

2. Laburtu berreketa bakarre-ra.

(a2 · a)4 : (a6 : a3)3

Parentesiak laburtuko ditugu, berrekizun bereko berreketen arteko biderketa eta zatiketa eginez: (a2 + 1)4 : (a6 – 3)3 = (a3)4 : (a3)3

Aurrera egingo dugu, berreketa baten berreketa eginez: a3 · 4 : a3 · 3 = a12 : a9 Eta amaitzeko, berrekizun bereko berreketen zatiketa egingo dugu a12 – 9 = a3 Laburbilduz: (a2 · a)4 : (a6 : a3)3 = (a3)4 : (a3)3 = a12 : a9 = a12 – 9 = a3

Landu berrekizun bereko berreketen biderketa.

Webgunean

Landu berrekizun bereko berreketen zatiketa.

Webgunean

Landu berreketa baten berreketa.

Webgunean

Landu berreketen eragiketak.Webgunean

35

Berretzailea zero duten berreketakAztertu zer gertatzen den berreketa bat, edozein, bere buruarekin zatitzen dugu-nean; adibidez, 53:• Zatiketaren propietatea erabiliz → 53 : 53 = 53 – 3 = 50

• Betiko kalkuluak erabiliz → 53 : 53 = 125 : 125 = 1 → 50 = 1

Beraz, 50 adierazpenaren balioa 1 da.

Zenbaki bat (zero ez, beste guztiak) ber zero, berdin bat. ⎯→ a

0 = 1 (a ≠ 0)

Adibidez: 20 = 1 80 = 1 100 = 1 340 = 1

1. Osatu koadernoan, adibidean bezala.

• ( ) ( )4 3 12 1444 3 16 9 144

4 3 4 3·· ·

· ·2 2

2 22 2 2"

= == =

=4

( · ) …· …

…3 53 5

a) 22 2

==4 ( · ) …

· ……4 2

4 2b) 3

3 3==4

( : ):

12 312 3

) ……

…c2

2 2==4 ( ):

:20 4

20 4) …

……d

3

3 3==4

2. Pentsatu eta kalkulatu erarik errazenean.a) 53 · 23 b) 42 · 52 c) 252 · 42

d) 203 · 53 e) 165 : 85 f ) 183 : 63

g) 214 : 74 h) 352 : 52 i) 1003 : 503

3. Kalkulatu.a) (25 · 35) : 65 b) (64 · 34) : 94

c) (803 : 83) : 53 d) (482 : 22) : 62

e) (82 · 122) : (62 · 82) f ) (33 · 43) : (203 : 53)

4. Kalkulatu eta kontuan hartu emaitzak ez datozela bat.a) (6 + 4)2 b) (5 + 2)3

62 + 42 53 + 23

5. Kopiatu koadernoan eta jarri laukietan «=» edo «≠», kasu bakoitzean dagokiona:a) (4 + 1)3 43 + 13 b) (4 + 1)3 53

c) (6 – 2)4 64 – 24 d) 73 (10 – 3)3

e) 102 52 · 22 f ) 104 52 · 22

g) (12 : 3)2 122 : 32 h) 127 : 32 45

6. Laburtu berreketa bakarrera.a) 52 · 52 b) 32 · 35

c) 105 · 102 d) a5 · a5

e) m7 · m f ) x2 · x6

7. Adierazi berreketa bakarrarekin.a) 26 : 22 b) 38 : 35 c) 107 : 106

d) a10 : a6 e) m5 : m f ) x8 : x4

8. Laburtu berreketa bakarrera.a) (52)3 b) (25)2 c) (103)3

d) (a5)3 e) (m2)6 f ) (x4)4

9. Laburtu.a) x · x2 · x3 b) m2 · m4 · m4

c) (k9 : k5) : k3 d) (x5 : x3) : x2

e) m6 : (m8 : m4) f ) (k2 · k5) : k6

g) (x2)5 : x7 h) m10 : (m3)3

i) (k2)6 : (k3)4 j) (x5 : x3)2

10. Ebatzi eragiketa konbinatuen adierazpen hauek:a) 62 + 22 – 22 + 5b) 24 – 38 : 36 – 22

c) 10 + (52)3 : (53)2

d) (105 : 55) – (22 · 22)e) [(8 – 5)2 · (9 – 6)3] : 35

f ) [(7 – 4)3 – (9 – 4)2]4

Pentsatu eta eginLandu berreketen eragiketak.Webgunean

36

Erro karratua kalkulatzea karratura jasotzearen alderantzizko eragiketa egitea da.

b a a b2 )= =

Adibideak

• 42 = 16 → 16 = 4 → 16ren erro karratua 4 da.

• 152 = 225 → 225 = 15 → 225en erro karratua 15 da.

erroa

errokizuna√

—a = b ⎯→ Honela irakurtzen da: a-ren erro karratua b da.

Erro zehatzak eta erro osoak• Zenbaki arrunten karratuei karratu perfektu esaten diegu:

12 - 22 - 32 - 42 - 52 - … - 82 - … - 112 - … - 202 - …

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 4 9 16 25 64 121 400

Karratu perfektu baten erro karratua erro zehatza da.

Adibidez, honako hauek erro zehatzak dira:

9 3 121 11 400 20= = =

• Baina zenbaki gehienen erroa ez da unitate osoen kantitate zehatz bat.

Esate baterako, 40ren erroa kalkulatuko dugu:

6 36 407 49 40

<>

2

2==

4 → 6 < 40 < 7 → 40ren erro karratua 6 eta 7 arteko zenbaki bat da.Errora azpitik gehien hurbiltzen den zenbaki arruntari erro oso esaten zaio.

40 ≈ 6 → 40ren erro osoa 6 da.

1. Kalkulatu buruz 900 .x2 = 900 → 302 = 900 → 900 = 30 → Erro zehatza

2. Hartu kontuan laukiko datuak eta kalkulatu 1440 , 1444 eta 1580 .

1440 37≈ → Erro osoa

1444 38= → Erro zehatza

1580 39≈ → Erro osoa

372 = 1 369382 = 1 444392 = 1 521402 = 1 600

Ariketa ebatziak

Lehenengo karratu perfektuak buruz ikastea komeni zaizu.

12 = 1 102 = 100 22 = 4 112 = 121 32 = 9 122 = 144 42 = 16 132 = 169 52 = 25 142 = 196 62 = 36 152 = 225 72 = 49 162 = 256 82 = 64 172 = … 92 = 81 182 = …

Ez ahaztu

4 Erro karratua

37

Erro karratuak haztamuka kalkulatuDakizuna erabiliz, erroak haztamuka kalkula ditzakezu. Teknika honek ideiak argitzen eta kontzeptua finkatzen lagunduko dizu. Geroago ikasiko dituzu tek-nika bizkorragoak.

AdibideaHaztamuka, kalkulatu 3 900 .

60 3 600 3 900

62 3 844 3 90063 3 969 3 900

<

<>

2

2

2

h h h

=

==

_

`

a

bb

bb

Ikusten duzunez, 3 900 handiagoa da 622 baino,

eta txikiagoa 632 baino.

Beraz: 62 3 900 63< <3 900en erro karratua 62 eta 63 arteko zenbaki bat da.

3900 62≈ → 3 900en erro osoa 62 da.

3 844

3 900↓

√—3 900

↓

3 969

622 632

62 63

1. Kopiatu eta osatu adibidean bezala.• 25 5 25en erro karratua 5 da."=

a) …49 7 "=

b) …64 …"=

c) 81 … …"=

d) 121 … …"=

2. Kalkulatu buruz.

a) 4 b) 9 c) 36

d) 400 e) 900 f ) 3 600

g) 006 4 h) 0081 i) 0010 0

3. Kalkulatu erro osoa kasu hauetako bakoitzean:

a) 5 b) 10 c) 24

d) 32 e) 39 f ) 50

g) 68 h) 92 i) 105

4. Koadernoan, idatzi 200 eta 900 zenbakien arteko ka-rratu perfektuak. 152 162 172 182 … 302

225 256 289 324 … 900

5. Kalkulatu, aurreko ariketako emaitzak kontuan har-tuz.

a) 289 b) 361 c) 484

d) 576 e) 676 f ) 841

6. Aztertu koadroa eta kalkulatu, erroa zehatza edo osoa den adieraziz.

502 = 2 500 512 = 2 601 522 = 2 704532 = 2 809 542 = 2 916 552 = 3 025

a) 02 55 b) 602 1 c) 2 725

d) 2 815 e) 2 916 f ) 2 929

7. Kalkulatu haztamuka.

a) 90 b) 150 c) 700

d) 1521 e) 6 816 f ) 10 816

8. Ebatzi.

a) 121 100 81– +

b) · · :4 25 5 9 5–` jc) 4 2 5 7– –3 5 2 +

d) ( ) :8 6 4– 6 4

Pentsatu eta egin

Landu erro osoen kalkulua.Webgunean

38

Erro karratua kalkulatzeko algoritmoaErro karratua arkatza eta papera erabiliz kalkulatzeko, jarraitu honako urrats hauei:

Adibidea105674 kalkulatuko dugu:

1 Errokizuneko zifrak binaka bereiziko ditugu eskuinetik hasita, eta ezkerreren dagoen bikotearen erroa zenbat den kalkulatuko dugu …10` j.

√10 . 56 . 74 3 ← A A = 10 = 3, eta 1 hondarrerako. 3 · 3 → –9 6 ← B B: Idatzi Aren bikoitza. 12 Hurrengo bikotea jaitsi (56) eta c zifra bilatu, kontuan hartuz 6 c × c bider

kadurak 156tik ahalik eta hurbilen egon behar duela, baina gainditu gabe.

√10 . 56 . 74 3 √10 . 56 . 74 3 –9 ↓ ↓ 6 c × c –9 62 × 2 = 124 1 56 c = 2 156 6 2 × 2 = 124 → 124 0323 c = 2 balioa soluzioaren eremura igoko dugu, hurrengo bikotea (74) jaitsiko

dugu eta prozesu berdina beteko dugu.

√10 . 56 . 74 32 √10 . 56 . 74 32 9 62 × 2 = 124 9 62 × 2 = 124 156 64 d × d 156 645 × 5 = 3 225 124 124 32 74 d = 5 3274 64 5 × 5 = 3 225 → 3225 00494 d = 5 balioa soluzioaren eremura igoko dugu.Soluzioa:

105 674 325=Egiaztapena: 3252 + 49 = 105 674

• Kalkulagailu batzuetan 105 674 kalkulatzeko teklen segida hau da:105674 $ → {«“∞…≠|∞………}

• Beste batzuetan, beste hau:$ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}

Erabili kalkulagailua

9. Kopiatu koadernoan eta osatu algoritmoaren bidez ebatzitako honako erro hauek:

√ 1 1 5 8 4 – 6 × – 2 5 6 0 0

√ 2 7 3 8 5 102 × 2 2 3 8

10. Kalkulatu arkatza eta papera erabiliz eta, gero, egiaztatu kalkulagailuarekin.

a) 1444 b) 2 025 c) 2 945

d) 93 74 e) 02 164 f ) 126 782

11. Kalkulatu kalkulagailuaren laguntzaz.

a) 2 936 b) 10 568 c) 528 471

Pentsatu eta egin

Landu erro karratuaren algoritmoa.Webgunean

39

Ariketak eta problemak

Berreketak kalkulatu1. Kalkulatu buruz.

a) 24 b) 63 c) 35 d) 204 d) 300

2. Kopiatu koadernoan eta osatu.a) 3 = 8 000 b) 2 = 4 900c) 4 = 10 000 d) 4 = 160 000

3. Kalkulatu berretzailea kasu hauetako bakoitzean:a) 2x = 256 b) 10x = 10 000c) 7x = 2 401 d) 13x = 2 197

4. Kalkulatu arkatza eta papera erabiliz.a) 55 b) 95 c) 110 d) 153 e) 164

5. Kalkulatu kalkulagailuaren laguntzaz.a) 412 b) 510 c) 453 d) 674 e) 993

6. Idatzi 1 000 eta 1 500 arteko karratu perfektu guztiak.

Berrekizuna 10 duten berreketak. Zenbaki handien adierazpen laburtua7. Idatzi zifra guztiekin.

a) 102 b) 106 c) 1010 d) 1012 e) 1016

8. Idatzi berrekizuna 10 duten berreketa moduan.a) Ehun. b) Ehun milioi.c) Ehun bilioi d) Ehun mila bilioi.

9. Idatzi zifra guztiekin.a) 13 · 107 b) 34 · 109 c) 62 · 1011

10. Aldatu adibidean bezala.• 180 000 = 18 · 104

a) 5 000 b) 1 700 000 c) 4 000 000 000

11. Kilometro batean 103 = 1 000 metro daude; eta metro batean, 102 = 100 zentimetro.Adierazi, era berean, kilometro batean zenbat zenti-metro dauden.

12. Biribildu ehun milakoetara hiri hauetako bakoi-tzean zenbat pertsona bizi diren, eta idatzi era labur-tuan, berrekizuna 10 duten berreketak erabiliz:erroma: 2 823 201 paris: 11 837 743madril: 3 234 359 kairo: 16 248 530

13. Ordenatu kantitate hauek txikienetik handienera:8 · 109 17 · 107 98 · 106

1010 16 · 108 9 · 109

14. Idatzi modu laburtuan, berrekizuna 10 duten berreketak erabiliz.a) Zortzi mila eta bostehun milioi.b) Bi bilioi eta hirurehun mila milioi.c) Lau trilioi eta bederatziehun mila bilioi.

Eragiketak berreketekin15. Kalkulatu.

a) 72 – 62 + 52 – 42

b) (5 – 4 + 2 – 1)3

c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3

d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2

e) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10

16. Kalkulatu, modurik errazena erabiliz.a) 82 · 52 b) 26 · 56 c) 253 · 43

d) 65 : 35 e) 153 : 53 f ) 204 : 54

17. Kopiatu koadernoan eta osatu hutsik dauden lau-kiak.a) 52 · 53 = 5 b) 64 · 63 = 6c) a5 · a3 = a d) m3 · m = m9

e) 26 : 24 = 2 f ) 78 : 75 = 7g) a9 : a8 = a h) m8 : m = m6

i) (42)3 = 4 j) (53)3 = 5k) (a2)2 = a l) (m4) = m12

18. Egin enuntziatu hauei buruzko gogoeta eta jarri berdintza edo desberdintza matematiko moduan:a) Biderketa baten berreketa. ↔ Biderkagaien berre-

keten arteko biderketa.b) Batuketa baten berreketa. ↔ Batugaien berreke-

ten arteko batuketa.c) Berrekizun bereko berreketen arteko biderketa. ↔

Berrekizun bera berretzaileen arteko batuketara jasota.d) Berreketa baten berreketa. ↔ Berrekizun bera

berretzaileen arteko biderketara jasota.e) Berretzailea zero duten berreketak. ↔ Bat.

40

Ariketak eta problemak19. Laburtu adierazpen hauek:

a) x8 : x3 b) m4 · m2 c) (k2)4

d) x5 · x5 e) (m3)2 f ) k6 : k4

20. Kalkulatu.a) 364 : (24 · 94) b) (24 · 25) : 29

c) (155 : 55) : 33 d) 129 : (47 · 37)e) (43 · 45) : (44 · 42) f ) (307 : 57) : (25 · 35)

21. Laburtu berreketa bakarrera.a) (x5 : x) · x2 b) (m7 : m4) : m3

c) (x2)4 : (x2)3 d) (m4)3 : (m5)2

e) (a3 · a5) : (a · a4) f ) (x3 : x2) · (x4 · x3)

22. Ariketa ebatziaLaburtu berreketa bakarrera eta, gero, kalkulatu:

164 : 45

164 : 45 = (42)4 : 45 = 48 : 45 = 48 – 5 = 43 = 64

23. Laburtu berreketa bakarrera eta, gero, kalkulatu.a) 210 : 44 b) 36 : 92 c) 253 : 54

d) (23 · 42) : 8 e) (34 · 92) : 272 f ) (55 · 53) : 253

Erro karratua

24. Kalkulatu, haztamuka, erro zehatza edo osoa.a) 90 b) 121 c) 1785

25. Ebatzi kalkulagailua erabiliz.a) 655 b) 1024 c) 1369d) 4 225 e) 12 664 f ) 33 856

26. Kopiatu koadernoan karratu perfektuak:1 000 1 225 1 600 1 724 1 601 2 4643 364 3 540 3 773 3 844 4 000 5 625

27. Ebatzi.

a) 5 12 5–2 22

+ ` j b) 2 53 – 024 +` `j j

Ikasi problemak ebazten

Zenbat itsasgarri erosi ditu Maiderrek? Erabili du baten bat?Zer egin nahi du sobera daudenekin? Zer galdetu dizute?

Zure ustez, nondik hasi behar duzu?

Eta nola jakin sobe-rako itsasgarriak, 146, kubo handia apaintze-ko nahikoa diren?

Komeni zaizu zenbat itsasgarri erabili dituen jakitea? Zenbat geratuko zaizkio?

— Lehenengo, zenbat itsasgarri erosi dituen kalkulatuko dut:40na itsasgarriko 5 orri → 5 · 40 = 200 itsasgarri erosi ditu.

— Lehenengo, kubo handia apaintzeko zenbat behar ditudan jakin behar dut: 6 aurpegi ditu, eta 6 · 6 karratu aurpegi bakoitzean:6 · 6 · 6 = 63 = 216 itsasgarri behar dira, 146 baino gehiago. Ez dira nahikoa!

Soluzioa: Maiderri ez zaizkio kubo handia apaintzeko nahikoa itsasgarri geratu.

— 6 aurpegiko kuboa apaintzeko, 32 = 9 itsasgarri erabili ditu aurpegi bakoitzean:Erabilitakoak: 9 · 6 = 54 itsasgarri.Beraz, 200 – 54 = 146 itsasgarri geratu zaizkio sobera.

Maiderrek berrogeina itsasgarri dituzten bost orri erosi ditu irudian ageri den moduko kubo txikia apaintzeko. Geratuko zaizkio kubo handia modu berdinean apaintzeko nahikoa itsasgarri?

Ziurtatu problema ulertu duzula.

Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

40

41

Ebatzi problemak

28. Nekazari batek urazak landatu ditu bere soloko lursailetako batean. 25 ilaratan banatu ditu, bakoi- tzean 25 uraza jarriz. Zenbat uraza landatu ditu guztira?

29. Udako zinema batean 625 jesarle-ku daude, ilara adina zutabetan antolatuta. Zenbat jesarleku dau-de ilara bakoitzean?

30. Lursail karratu batek 900 metro koadroko azalera du. Zenbat metro alanbre-hesi erosi beharko dira lur-sail osoa ixteko?

31. Luzera, zabalera eta altuera berdinak dituen pakete batean, zentimetro bateko ertza duten 1 000 azukre-koxkor daude. Zer neurri ditu paketeak?

32. Pentsa bi egitura hauek 1 cm-ko ertza duten zu-rezko kubotxoz egin ditugula (Kontuan izan! Irudiak ez daude proportzio berean eginda):a) 1 000 cm-ko aldea b) 100 cm-ko ertza duen

duen xafla karratua. bloke kubikoa.

Bietako zeinek izango du pisu handiagoa? Arrazoitu erantzuna.

33. Zenbat aita eta zenbat ama zituzten zure herenai-tona-amona guztien artean?

34. Aztertu irudiko kuboa: 5 × 5 × 5 kubotxok era-tzen dute.

a) Pentsa gorriz margotu ditugula. Zenbat kubotxok izango dute aurpegiren bat margotuta?

b) Handiagoa egin nahi dugu, eta kubotxo berdez eraturiko geruza gehitu diogu aurpegi guztietan. Zenbat kubotxo berde behar izan ditugu?

«+» problemak

35. 6 m × 6 m neurriko gela bateko zorua jartzeko, 12ko paketetan saltzen diren harlauza karratuak era-bili dira. Zer tamainatakoak dira harlauzak, kontuan hartuz 34 pakete behar izan direla, ez dela bat bera ere apurtu, eta sobera apur batzuk geratu direla?

12 · 34 = 408 harlauza erosi badituzte, zenbat harlau-za-ilara jarri dira?

36. Aitorrek txutxu-mutxu bat kontatu die Nikola eta Saioa lagunei.Handik hamar minutura, Nikolak Edurne eta Mireni kontatu die; eta Saioak, Eneritz eta Pauli.Hamar minutu geroago, azken horietako bakoitzak beste bi pertsonari kontatu die.Txutxu-mutxua erritmo horretan zabaltzen bada, zenbat pertsonak jakingo dute Nikolak eta Saioak jakin eta bi ordu geroago?

37. Egongela karratu bateko zorua 15 cm-ko aldea duten 484 harlauzak betetzen dute. Zuriak di-ra guztiak, hormatik 15 cm-ra daudenak izan ezik. Horiek marko gorri bat eratzen dute zorua apaintze-ko, irudian ageri denaren modukoa:

Zenbat harlauza gorri daude egongelan?

100 cm

100 cm100 cm1000 cm1000 cm

42

Matematika-lantegia

eta ikasiizan ekimena

Irakurri, egin gogoeta eta atera ondorioakZenbakien munduak hainbat lotura ditu, eta horietako batzuk hain dira harrigarriak ezen, magiazkoak direla ere ematen du. Hona hemen adibide batzuk:

■ Zenbaki bakoitien arteko batuketa eginda, lehenengo zenbaki kubikoak lortzeko batuketak ageri dira:

1

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + …

827

64

13 23 33 43

• Aurkitu aurreko batuketako zer zati hartu behar duzun 53 = 125 lortzeko. ■ Aurreko horren ondorio moduan, eta unitatearen hasierako orrialdeetan ikusi genuen honako hau kontuan hartuz:

62 = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

erlazio harrigarria aurkituko dugu karratu batzuen eta zenbaki kubikoen artean:

18

27

+36

+←→

62 = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 13 + 23 + 33

62 = 36 = (1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33

• Egiaztatu 13 + 23 + 33 + 43 karratu bat dela.• Bilatu kuboen arteko batuketa moduan adieraz daitekeen beste karratu bat.

Zenbakiak eta ordenagailuakOndo dakizun moduan, guk zenbakiak idazteko siste-ma hamartarra erabiltzen dugu, 0tik 9rainoko hamar ikurreko sistema. Ordenagailuek eta kalkulagailuek, euren barne hizke-ran, sistema bitarrean idazten dituzte zenbakiak; hau da, bi ikur baino ez dituzte erabiltzen: 0 eta 1. •Aztertu eta osatu taulak koadernoan, lehenengo ila-

ratako logikari jarraituta. Amaitzen duzunean, lehe-nengo hamabost zenbaki arruntak sistema bitarrean idatzita izango dituzu.

Lortu informazioa unitate- OrDenak

23 22 21 20

8 4 2 1

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07

unitate- OrDenak

23 22 21 20

8 4 2 1

8

9

10 1 0 1 011

12

13

14

15 1 1 1 1

43

1. Adierazi berreketa eran.a) 5 · 5 · 5 · 5 b) 10 · 10 · 10c) a · a · a · a · a d) m · m

2. Kalkulatu.a) 26 b) 53

c) 72 c) 106

3. Kopiatu eta osatu koadernoan.a) 2 = 8 b) 2 = 81

4. Kopiatu eta osatu taula hau koadernoan:

berreketen prOpietateak

Biderketa baten berreketa biderkagaien be-rreketen arteko biderketaren berdina da. (a · b)

n = an · bn

Zatiketa baten berreketa zatikizunaren eta zatitzailearen berreketen arteko za-tiketaren berdina da.

Berrekizun bereko bi berreketa bi-derkatzeko, berretzaileak batzen dira.

… zatitzeko, … am : an = am – n

Berreketa bat beste zenbaki batera jaso-tzeko, …

5. Laburtu berreketa bakarrera.a) a3 · a2 b) x5 : x4 c) (a3)4

6. Kalkulatu, biderik laburrena erabiliz.a) 24 · 54 b) 183 : 93

7. Kopiatu eta osatu koadernoan.a) x 3 · y 3 = ( · ) b) x 4 : y 4 = ( : )

8. Laburtu.a) (x 5 · x 2) : x 4 b) (a5)2 : (a2)3

9. Kopiatu koadernoan eta osatu. a) 36 = b) 400 = c) 10000 =d) 3= e) 8= f ) 30=

10. Kalkulatu, arkatza eta papera erabiliz, 2 920ren erro karratu osoa. Gero, egiaztatu kalkulagailuarekin emaitza zuzena den.

11. Ertza 1 cm-koa duten zurezko zenbat dado daude irudian ikusten duzunaren moduko 10 paketetan?

Autoebaluazioa

10 cm

10 cm 10 cm

Jo haztamuz, jarri adibideak•Hiru kaxa ditut, hirurak berdinak. Batean marrubizko gozokiak

daude; beste batean, limoizkoak; eta hirugarrenean, nahasita dau-de marrubizkoak eta limoizkoak. Erreferentzia hauekin daude etiketatuta, baina batek ere ez darama dagokiona.

MM → Marrubizko gozokiak. LL → Limoizko gozokiak. ML → Marrubizko eta limoizko gozokiak.Edurnek esan dit kaxa batetik gozoki bat atera eta erakusten badiot, gauza dela kaxa bakoitzean zer gozoki dauden esateko. Edurnek esandakoa egia dela uste baduzu, azaldu nola egiten duen.

•Banandu irudi hau itxura eta tamaina berdina izango duten lau zatitan.

Trebatu problemak ebazten

MM LL ML

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean