BienBienvveenidosnidos y y BienvenidasBienvenidas · 8/14/2014 6 ReglasReglas para para...

8/14/2014

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BienvenidosBienvenidos y y BienvenidasBienvenidas

Laboratorio de Química Física IQQUIM 4051

Ileana Nieves Ileana Nieves MartínezMartínez

agosto de 2014 1

ConocimientoConocimiento en en laslas CienciasCiencias NaturalesNaturales

BiologíaBiología

MedicinaMedicina

FísicaFísica

QuímicaQuímica

BiologíaBiología

MétodosMétodosQuímicoQuímico FísicosFísicos

MatemáticaMatemática

2agosto de 2014

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REPASO:REPASO:

MedidasMedidas y y CifrasCifras significativassignificativas

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014 3

¿¿QuéQué eses unauna medidamedida?? Observación cuantitativa Comparación de un

Menisco

estándard conocido Cada medida tiene un

número y su unidadcorrespondiente

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e

4.5?

4.57 0.02mL

agosto de 2014

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Cifras SignificativasCifras Significativas12.3 cm

Cifras significativas:3

12.30 cm

3

Incertidumbre ±± 0.10.1:12.2 a 12.4 cm

Cifras significativas:

5Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014

g4

Incertidumbre ±± 0.010.0112.29 a12.31 cm

DeterminaciónDeterminación de de laslas CifrasCifras SignificativasSignificativas

1. Todos los dígitos son significativos◦ 1.5 tiene 2 cifras significativas (cs)1.5 tiene 2 cifras significativas (cs)

2. Todos los ceros internos son significativos◦ 1.05 tiene 3 cifras significativas

3 Ceros a la izquierda NO son significativos

6

3. Ceros a la izquierda NO son significativos◦ 0.001050 tiene 4 cifras significativas 1.050 x 10−3

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014

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4

4. Ceros al final del dígito:a) Después del punto decimal son significativos

1.050 tiene 4 cifras significativas

DeterminaciónDeterminación de de laslas CifrasCifras SignificativasSignificativas

b) Antes del punto decimal son significativos si se escribeel punto decimal 150.0 tiene 4 cifras significativas

c) Al final del dígito sin el punto decimal son ambiguos y se deben evitar usando notación científica si 150 tiene 2 cifras significativas entonces se ecribe

7

si 150 tiene 2 cifras significativas entonces se ecribe1.5 x 102

Si 150 tiene 3 cifras significativas entonces se debeescribir 1.50 x 102


CifrasCifras SignificativasSignificativas y y númerosnúmeros exactosexactos

• Número infinito de cifras significativas•

• g – aceleración de la gravedad

8agosto de 2014

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EjemploEjemplo: : DeterminarDeterminar el el númeronúmero de de CifrasCifras SignificativasSignificativas

¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes números?

0.04450 m 4 cifras sig.; (4’s y 5, y 0 al final)

5.0003 km

10 dm = 1 m

1.000 × 105 s

5 cifras sig.; (5 y 3, y los 0’s internos)

infinito, número exacto

4 cifras sig.; (1, y 0’s al final)

9

0.00002 mm

10,000 m

1 cifras sig.; (2, y los 0’s izda. no cuentan)

Ambiguo y se asume 1 cifras sig.


ReglasReglas parapara sumasuma y y restaresta Redondeo antes de llevar a

cabo la operación según el número con: 543.2◦◦ menosmenos sitios decimales

◦ incertidumbre o error absoluto error absoluto mayormayor.

El resultado tendrá el mismo

41.5

5214.55799.2

70.0

7512229.5

10

número de sitios decimales deaquél con menos sitiosdecimales en la operación.

7.5976.5122.2


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ReglasReglas parapara MultiplicaciónMultiplicación y y DivisiónDivisión

Resultado tiene las cifras significativas (CS) del número que tenga menos cifras en la operación.

5.02 89.665 0.10 = 45.0118 3 CS 5 CS 2 CS

5 892 6 10 = 0 96590

= 452 CS

= 0 966

11

5.892 6.10 0.965904 CS 3 CS


0.966

3 CS

ReglasReglas de de MultiplicaciónMultiplicación y y DivisiónDivisión Al multiplicarmultiplicar oo dividirdividir se redondean todos los

números de acuerdo con el menosmenos precisopreciso (el demayormayor errorerror relativorelativo) de manera que lamayormayor errorerror relativorelativo), de manera que laincertidumbre del resultado será la del menospreciso.

47 61 0 0024

2 830 040375971

. .

..

47 61 0 01 0 0024 0 0001

12agosto de 2014

.. (?) incert relativa mayorIncert absoluta del resultado

entre las medidasresultado

47.61 0.01 0.0024 0.0001

2.83 0.010.040375971 ?

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7

Ejemplo:Ejemplo: Absoluta

0 0001 1

Relativa

47.61 0.01 0.0024 0.0001

2.83 0.010.040375971

◦ 0.0024 ± 0.0001

◦ 47.61 ± 0.01

0 0001

0 0024

1

240 04

.

..

0 01

47 61

1

47610 0002

.

..

13

◦ 2.83 ± 0.010 01

2 83

1

2830 004

.

..

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EjemploEjemplo ((continuacióncontinuación))

0.04 ( )0 040375

Incertidumbre absolutaincertidumbre relativa mayor

.( . )

Incert absolutaincert relativa mayor

resultado

0.040375

. 0.04 0.040375 0.0016Incert absoluta x

Resultado es 0.040 0.002

14agosto de 2014

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MultiplicaciónMultiplicación//DivisiónDivisión y Suma/y Suma/RestaRestacon con cifrascifras significativassignificativas

L é d l f Los paréntesis primero y determinar las cifrassignificativas y luego continuar con los otros pasos

3.489 (5.67 – 2.3) =

2 pd* 1 pd

3.489 3.37 = 12

4 1 d & 2 2

15

4 cs 1 pd & 2 cs 2 cs

* pd = pd = puntopunto decimaldecimal


EjemploEjemplo: : CalculeCalcule usandousando el el númeronúmero correctocorrecto de de cifrascifras significativassignificativas

Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e

4(0.35)

16agosto de 2014

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EjemploEjemplo: : CalculeCalcule usandousando el el númeronúmero correctocorrecto de de cifrascifras significativassignificativas

17Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e

4

agosto de 2014

(0.35)

LogaritmoLogaritmo de un número se mantiene en elresultado el número de dígitos a la derecha delpunto decimal igual al número de cifras

Otras operaciones matemáticasOtras operaciones matemáticas

punto decimal igual al número de cifrassignificativas del número original.

AntilogaritmoAntilogaritmo de un número se mantiene en el resultado el número de dígitos que sean iguales a los dígitos a la derecha del punto decimal del

log . .9 57 10 4 9814x

los dígitos a la derecha del punto decimal del número original.

18

anti xlog .12 5 3 1012

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P i ióP i ióPrecisiónPrecisióny y ExactitudExactitud

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PrecisiónPrecisión y y ExactitudExactitud Depende de la limitación

de la instrumentaciónusada.usada.

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Cálculos e interpretación de resultadosCálculos e interpretación de resultados Equipo usado para obtener datos tiene cierto

error o incertidumbre, por lo que hay que:h ál d d l bl ◦ hacer análisis de todos los posibles errores. ◦ determinar el grado de precisión que afecta el

resultado numérico.◦ hacer análisis estadísticos de resultados.

Ej l Ejemplos:◦ buretas ◦ pipetas◦ balanzas

agosto de 2014

FUENTES DE ERROR FUENTES DE ERROR Y Y CLASIFICACIÓNCLASIFICACIÓN DE DE LOS LOS ERRORESERRORES

Comparación entre exactitud yi ióprecisión

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IncertidumbreIncertidumbre de de medidasmedidas experimentalesexperimentales Provienen de las limitaciones de los instrumentos.

E ióE ió d d fi bilid dfi bilid d

PrecisiónPrecisión indica cuán cercanas estánuna serie de medidas repetidas(reproducibilidad).

ExpresiónExpresión de de confiabilidadconfiabilidad

23agosto de 2014

PrecisiónPrecisión se se afectaafecta porpor:: Errores indeterminados◦ fluctuaciones

íf ◦ No tienen causa específica y no se puedencorregir◦ son inherentes en la observación◦ no se puede predecir su origen ni su magnitud◦ tienen signo algebraico positivo o negativo

(ambos con igual probabilidad)

24

(ambos con igual probabilidad)

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PrecisiónPrecisión reproducibilidadreproducibilidad que reside en un resultado

numérico. medida del gradogrado dede incertidumbreincertidumbre debido a

errores indeterminados. se puede mejorarmejorar tomando un númeronúmero

grandegrande de medidas y haciendo análisisestadístico.

se expresa como el error mismo (absolutoabsoluto)p ( )o como función de la magnitud de la medida(relativarelativa)

5.0 0.10.1 1

0.025.0 50

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EjemploEjemplo

Incertidumbre = 0.5 metros.◦ Incertidumbre absolutaabsoluta

10.0 metros

◦ Incertidumbre absolutaabsoluta 0.5 metros

◦ Incertidumbre relativarelativa 0.5

0.0510 0

26

como % resulta en un 5%.

10.00.5

100 5%10.0

x

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0.510n

UnidadesUnidades relativasrelativas parapara la la precisiónprecisión

0.510

10.0nx

nn Unidad

2 %

Copyright 2011 Pearson Education, Inc.

%

3 ppmil (ppt)

6 ppm

9 ppb

2727

ExactitudExactitud indica cuán cercana es la medida del valor valor realreal (verdadero).

OtraOtra expresiónexpresión de de confiabilidadconfiabilidad

( )

◦ E = X? - XV

Debido a que el valor verdadero (real) nono seconoce, usaremos el promediopromedio aritméticoaritméticode una serie de determinaciones como elvalor verdadero.

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ExactitudExactitud se se afectaafecta porpor:: Errores sitemáticos

◦ Limitaciones instrumentales o del diseñoLimitaciones instrumentales o del diseñoexperimental e inclusive error personal

◦ Se pueden reducir usando instrumentos o diseños experimentales más sofisticados

29Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014

EjemplosEjemplos de los de los erroreserroresDeterminados Indeterminados

Fricción entre partes del instrumento Cambios en voltaje, humedad, presión

condiciones ambientales (humedad,temperatura)

atmosférica, temperatura (Ej.: Siaumenta la temperatura, el brazo de labalanza se expande)

HumanosHumanos: paralaje, lectura errónea deuna escala, reflejos lentos, usoincorrecto de cierta técnica.

HumanosHumanos: se puede leer una escalaun poco más arriba o abajo de loverdadero sin que incluya paralaje,menisco, reflejos

InstrumentalesInstrumentales: falta de calibración;cambio en línea base; escape de gas enlínea de vacío, no nivelar las balanzas.

InstrumentalesInstrumentales: límite de con-fiabilidad del instrumento (no hayinstrumento perfecto).

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CaracterísticasCaracterísticas

Determinados IndeterminadosSe deben a desperfectos del Se pueden identificar en fluctuacionesSe deben a desperfectos del instrumento o la técnica

Se pueden eliminar usando correcciones

No aparecen como fluctuaciones en la medida

Se pueden identificar en fluctuaciones al azar en las medidas experimentales sucesivas, afectan reproducibilidad.

Se pueden reducir y obedecen a la función de distribución de probabilidad de Gauss. Se usan métodos estadísticos e interpretación probabilística

Se pueden identificar al cambiar la técnica experimental

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ÍNDICESÍNDICES DE DE PRECISIÓNPRECISIÓNY Y CONFIABILIDADCONFIABILIDAD

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DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidad

EjemploEjemplo::

Datos

10.03

9 99

PromedioPromedio: xN

xii

Ni

1

1

= 10.02

9.99

10.06

9.98

MedianaMediana - el valor central (del medio) Colocar los datos en orden ascendente o

xmed

9.98

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descendente9.99

10.03

10.06

9.99 10.0310.01

2medianax

DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidadEjemploEjemplo ((continuacióncontinuación))::

Medidas de exactitud y precisión◦ Desviación o residuo, i ix x

||

= 0.01

= 0.03

= 0.04

= 0 04

|| = | (xi ─ xprom) |

|10.03─10.02 |

|9.99─10.02 |

|10.06─10.02|

|9 98─10 02|

Datos

10.03

9.99

10.06

9 98 0.04|9.98 10.02|

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9.98

x = 10.02

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DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidadEjemploEjemplo ((continuacióncontinuación)):: Desviación promedio

d pN i

i

N

. .1

1

||

0.01

0.03

0 04= 0.03

Desviación estándard

sN

i

2

1

0.04

0.04 ()2

0.0001

0.0009

0.0016

0 0016

0.00420.037

4 1

w

Intervalo o alcancew x xmayor menor

0.0016w

9.98

9.99

10.03

10.06

= 0.08

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LímiteLímite de de confiabilidadconfiabilidad y y distribucióndistribución de de erroreserrores

x

y f xdn

Ndxei

i

x xi

( )/

1

21 2

2

2

2

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TratamientoTratamiento estadísticoestadístico y y evaluaciónevaluación de los de los datosdatos

InocenteInocente convictoconvicto vs culpableculpable librelibre. El análisisanálisis estadísticoestadístico◦◦ agudizaagudiza elel juiciojuicio sobre los datos experimentales.◦◦ estimaestima lala probabilidadprobabilidad de que la diferencia entre

dos valores experimentales sea real o solo elresultado de erroreserrores alal azarazar.◦ determina sisi unun datodato sese rechazarechaza con gran

probabilidad.

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Prueba Q para datos sospechososPrueba Q para datos sospechosos Aceptar o rechazar un resultado anómaloAceptar o rechazar un resultado anómalo (“outlier”)◦ Se producen por errores o fallos en la metodología.

◦ Método Se ordenan los datos en forma ascendente y se calcula QQ Se ordenan los datos en forma ascendente y se calcula QQ

? vecino

mayor menor

entre dato sopechosos x y x más cercanoQ

entre x y x

x x

Qcalculado > Qtabulado

El dato se descarta

? ?vecinox xQ

alcance w

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TablaTabla estadísiticaestadísitica parapara la la pruebaprueba QQ

Si Qcalculado > Qtabulado el resultado se rechaza

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EjemploEjemplo:: Al efectuar una serie de experimentos para

determinar [SO42-] en una muestra de H2O para

riego se obtienen los siguientes resultados.riego se obtienen los siguientes resultados.Determine si hay alguna medida es dudosa.

Muestra Medida

1 5.0

2 5.2

3 5.5

4 5 6

1. Se ordenan los datos en orden descendiente (para . Se ordenan los datos en orden descendiente (para facilitar el cálculo)facilitar el cálculo)

6.0, 6.0, 5.6, 5.6, 5.5, 5.5, 5.25.2, , 5.05.02. Se calcula Se calcula QQ

Q = Q = (x(x?? –– xxvecinovecino)/w )/w Q = Q = ((6.06.0--5.6)/ (5.6)/ (6.06.0--5.0) =0.405.0) =0.40

6.0

4 5.6

5 6.03. SeSe comparacompara QQcalculadocalculado concon QQtabuladotabulado parapara 55 medidasmedidasyy unun nivelnivel dede confianzaconfianza deldel 9090%%.. ((QQtabtab==00..6464))

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0.40 < 0.64, por lo tanto el valor 6.0 0.40 < 0.64, por lo tanto el valor 6.0 NONO se rechazase rechaza

RESUMEN DEL MÉTODO PARA DESCARTAR DATOSRESUMEN DEL MÉTODO PARA DESCARTAR DATOS

Definir que tan grande es la diferencia entre el valor sospechoso y los otros datos.

Aplicar Prueba Q.◦ Ordenar los datos◦ Calcular el intervalo o alcance, w◦ Encontrar la diferencia entre el resultado sospechosos (x?)y su vecino

mas cercano (xvecino)◦ Dividir la diferencia obtenida en el paso anterior entre el alcance. De

esta forma obtiene el coeficiente Q para descartar datos. p◦ Consultar la tabla de valores Q. Si el valor calculado es mayor que el de la tabla el resultado se puede descartar con

un 90% de confianza.

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Parámetros usados en Tratamiento EstadísticoParámetros usados en Tratamiento Estadístico

Nivel de confianza es la probabilidad deque el promedio (experimental overdadero) esté en cierto intervaloverdadero) esté en cierto intervalo.

Nivel significativo “significance level” esla probabilidad de que el resultado estéfuera de los límites de confianza

43

Límites de confianza son las fronterasdel intervalo de confianza

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Parámetros usados en Tratamiento EstadísticoParámetros usados en Tratamiento Estadístico

Intervalos de confianza del promedio esel intervalo de valores donde se espera congran probabilidad que el promedioexperimental esté cercano al real.

◦ donde: tt es un parámetro estadístico que representa la

IC para xts

N

44

tt es un parámetro estadístico que representa ladesviación de un dato del valor promedio por unidadde desviación estándar. Depende del nivel de confianzay de los grados de libertad (NN).

ss es la desviación estándar

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Propagación de erroresPropagación de errores

Cantidades físicas medidas indirectamente◦ Incertidumbre o error en el resultado final◦ Incertidumbre o error en el resultado final

dependerá de la precisión y exactitud de lasmedidas experimentales afectando opropagándosepropagándose enen elel resultadoresultado deldel valorvalor calculadocalculado

agosto de 2014 45

FórmulasFórmulas generalesgenerales de de PropagaciónPropagación

Tipo de operación matemática

Ejemplo* Error

SSuma o resta

Multiplicación o división

Exponenciales

y a b c

y a bc

y a x

y a b c 2 2 2

yy

aa

bb

cc

2 2 2

yy

aax

Copyright 2011 Pearson Education, Inc.

Logaritmos

Antilogaritmos

y a log

y anti a log

y aa 0 434.

yy a 2 303.

* a, b y c son variables experimentales y a, b y c son los errores en esasvariables (instrumentales o desviaciones estándard).

46

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EjemploEjemplo: : DensidadDensidad Datos experimentales para determinar la densidad◦ m = 0.2852 g m = 0.0001 g

◦ V = 10.0 cm3 V = 0.1 cm3

m m m

V V V

Para determinar el error propagado de una división en términos del error relativo usamos:

33

0.2852 0.0001

10.0 0.10.02852g gm m

V V cmcm

0.0001 0.1 1 10.1000

0 2852 10 0 2852 100 m V

m V

El error abosoluto es:

Se informa el valor como: ((0.029 0.029 0.0030.003) g/cm) g/cm33

0.2852 10.0 2852 100

0.1000 0.02852 0.002852 0.003x

agosto de 2014 47

m V

EjemploEjemplo Determinación del área de un círculo:

A = r2

rr•

2

2

dA r dr

A r r

El error en AA se representa como AA.

Depende de el error en rr , r.r.

agosto de 2014 48

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A 20 0 02A A r r r 2

0r ya que

2

0 0

220 0 02

A A r r

A A r r r r

2 2A A

≈0≈0

A0-

+A

20 0 02A A r r r

r0

+r-r

ragosto de 2014 49

Caso general de propagación de errorCaso general de propagación de error

F F FF dF dx dy dz

, ,,y z x yx zx y z

, ,y z x yx z

F F FF x y z

x y z

50agosto de 2014

, ,,y yx z

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Error Error máximo propagadomáximo propagado (EMP)(EMP)

, ,,y z x yx z

F F FdF dx dy dz

x y z

,

, ,,

y y

y z x yx z

F F FF x y z

x y z

51

agosto de 2014

Error Error másmás probable probable propagadopropagado (EMPP)(EMPP)

1

2 22 22 2 2

, ,,y z x yx z

F F FdF dx dy dz

x y z

1

222 22 2 2

, ,,y z x yx z

F F FF x y z

x y z

52agosto de 2014

8/14/2014

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Ejemplo de Propagación de Error usando la Ejemplo de Propagación de Error usando la termometría de gasestermometría de gases

PVT

nR

T T T

PV nRT

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TdT dP dV dn

P V n

1

22 2 22 2 2

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TEMPP dP dV dn

P V n

53

, , , , , ,V n R P n R P V R

T T TEMP dP dV dn

P V n

agosto de 2014

Ejemplo de termometría de gasesEjemplo de termometría de gases 1PV PV

T x nnR R

T T TdT dP dV dn

2, , ,V n P n V P

V P PVdT dP dV dn

nR nR n R

1; ;

T V T P T PV

, , , , , ,V n R P n R P V RP V n

54

; ;P nR V nR n nR n

agosto de 2014

T T TdT dP dV dn

P V n

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Ejemplo de termometría de gases Ejemplo de termometría de gases ((ContinuaciónContinuación))

1/22 2 2

2 2 2T T TEMPP T P V n

P V n

1/22 222 VP

dP dV dnT T TP V n P V ndT dP dV dn T

Factor Factor comúncomún::

Factor común:

T T TEMP T P V n

1/22 2 2T P V n

T P V n

2 222 V nPP V nT T

55agosto de 2014

EMP T P V nP V n

T P V n

T P V n

REGRESIÓNREGRESIÓN LINEALLINEAL

agosto de 2014 56

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MétodoMétodo parapara ajustarajustar datosdatos experimentalesexperimentales en en unauna ecuaciónecuación

Cuadrado mínimo: y = mx + bxx

teórica experimental

experimental

i i i

i i i

y y y

y mx b y

yagosto de 2014 57

s s Er

rore

sEr

rore

s

Posición de un caracol moviéndose en linea recta

ació

nac

ión

de lo

sde

los

Pos

ició

n, (

x

x), c

m

Rep

rese

nta

Rep

rese

nta

Tiempo, (t t), segundos

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30

MATERIAL MATERIAL SUPLEMENTARIOSUPLEMENTARIO

agosto de 2014 59

Regresión linealRegresión lineal--definicióndefinición

Escoge la mejor línea que predice y de x.◦ Discrimina entre las dos variables◦ Se utiliza cuando éstas variables se conocen ◦ Se utiliza cuando éstas variables se conocen

definitivamente. Encuentra la línea que minimiza la suma de

los cuadrados (SS) de las distancias verticales (o residuales) de los puntos de la línea. ◦ Se determina cuán óptima es la línea usando el

60

Se determina cuán óptima es la línea usando el parámetro r2 de la regresión de la minimización.

Determina la pendiente “steepness”(m) y el intercepto (elevación) (b).

agosto de 2014

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Cálculo del cuadrado mínimoCálculo del cuadrado mínimo

Determinar el valor de m y b que mejor represente las observaciones experimentales.

Asumir que la mejor línea recta que se ajusta a los puntos experimentales es donde la suma de los cuadrados de las desviaciones (yi]2) entre el valor medido experimentalmente y el que predice la mejor línea es un mínimo.

61

Obedece la distribución de errores Gaussiana. Se consideraran solo desviaciones en la variable

dependiente ya que generalmente estas son mayores que en la variable independiente.

agosto de 2014

Representación gráficaRepresentación gráficaSSreg = 0.85 SSTot = 4.907

62

r2 = 1 ─ (Ssreg / SSTot) = 1─ (0.86/4.91) = 0.84

agosto de 2014

8/14/2014

32

Suma de cuadradosSuma de cuadrados

SSreg es la suma de los cuadrados de las regdistancias verticales de la mejor línea.

SSTot es la suma de los cuadrados verticales de la distancia a la línea que

l di d l l d

63

representa la mediana de los valores de y

agosto de 2014

Definición de CorrelaciónDefinición de Correlación

Cuantifica la correspondencia entre x y ypara aquellos eventos que se ha medido experimentalmente (no incluye el control)experimentalmente (no incluye el control)

Coeficiente de correlación (r)◦ Va desde -1 hasta + 1 : + 1 es una correlación perfecta entre ambas variables - 1 es una correlación inversa.

Coeficiente de determinación (r2)

64

Coeficiente de determinación (r )◦ Fracción de varianza de las dos variables◦ Se comparte la varianza por las dos variables: Ejemplo r2 = 0.59 implica que el 59% de la varianza en x

se explica por la variación en yagosto de 2014

8/14/2014

33

Ejemplo de correlaciónr2 << 1r2 0

r2 = 1r2 < 1

65agosto de 2014

ResidualResidualSon las distancias verticales de cada punto a

la línea

66agosto de 2014

8/14/2014

34

DERIVACIÓNDERIVACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA DE DE REGRESIÓNREGRESIÓN LINEALLINEAL

agosto de 2014 67

Suma de Suma de las desviaciones al cuadrado (SS)las desviaciones al cuadrado (SS)22

D esviació n , :

teó rica ex p erim en tal

exp erim en tal

i i i

i i i

y y y S

y m x b y S

pi i iy y

2

2 2

Suma de las desviaciones al cuadrado [sum of squares] ( ):

( ) 2N N

i i i i i i

SS

SS mx b y mx b mx b y y

1

Suma de las desviaciones (sum):N

i ii

S mx b y

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1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1

( )

( ) 2 2 2

i i i i i ii i

N N N N N

i i i i i ii i i i i

y y y

SS m x mb x Nb m x y b y y

8/14/2014

35

Mínimo de suma desviaciones al cuadradoMínimo de suma desviaciones al cuadradoCondición para que SS sea un mínimo

0 0S S

ym b

m b

2

1 1 1

1 1

0 2 2 2

0 2 2 2

N N N

i i i ii i i

n n

i ii i

Sm x b x x y

m

Sm x bN y

b

69agosto de 2014

2

1 1 1

1 1

Re-arreglando: N N N

i i i ii i i

N N

i ii i

m x b x x y

m x bN y

Mínimo de suma desviaciones al cuadradoMínimo de suma desviaciones al cuadrado

2

1 1 1 1

Resolviendo ecuaciones simultáneasN N N N

i i i i i ii i i i

N N N

x y x x x y

1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 1

N N N

i i ii i i

N N N N

i i i ii i i i

N N

i ii i

y N x y

m b

x x x x

x N x N

70

1 1 1

Resolviendo los determinantes:N N

i i i ii i i

N x y x y

m

2

1 1 1 12 2

2 2

1 1 1 1

N N N N N

i i i i ii i i i

n N N N

i i i ii i i i

x y x x yb

N x x N x x

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8/14/2014

36

Error en la Error en la pendiente y el interceptopendiente y el intercepto

2

1

N

ii

xN

12 2

2 2

1 1 1 1

2

1donde: y (exp) ( )1

i

i

im y b y

N N N N

i i i ii i i i

N

yi

y y i i

N x x N x x

y y mejor lineaN

71agosto de 2014

REGRESIONESREGRESIONESNO NO -- LINEALESLINEALES

agosto de 2014 72

8/14/2014

37

Si el modelo de regresión lineal es correcto Si el modelo de regresión lineal es correcto pregúntesepregúntese

¿Tiene apariencia lineal? ¿Tiene un valor de P (probabilidad entre ¿Tiene un valor de P (probabilidad entre

eventos) alto? ¿ Tiene residuales al azar?

Si algunas de las respuestas es NO debe

73

Si algunas de las respuestas es NO debe considerar la regresión no-lineal

agosto de 2014

RegresiónRegresión NoNo--lineal y lineal y ajustesajustes de la de la curvacurva

Se utilizan modelos matemáticosmodelos matemáticos que sean una descripción de un proceso físico, químico o biológico biológico.

Los modelos se derivan usando lógica simple, álgebra y algunas veces cálculo.

Usar los modelos en los intervalos adecuadosintervalos adecuados. La meta de la regresión no-lineal es ajustar un ajustar un

d l d td l d t

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modelo a su datamodelo a su data. El programa de regresión encuentra los valores de

las variables que mejor se ajusten en el modelo. Escoger el modelo es una decisión científica.

agosto de 2014

8/14/2014

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RegresiónRegresión NoNo--lineal y lineal y ajustesajustes de la de la curvacurvacontinuacióncontinuación

Es más general que la lineal. Ajusta datos a cualquier ecuación que define y

como función de x y uno o más parámetroscomo función de x y uno o más parámetros. Encuentra el valor de los parámetros que generan

una curva que minimiza SSreg No se puede derivar la ecuación directamente para

calcular los mejores valores que se ajustan a los datos.

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Se requiere un proceso intenso de iteraciónproceso intenso de iteración. La matemática de una regresión no-lineal requiere

que esté familiarizado con el álgebra de matrices

agosto de 2014

PasosPasos parapara la la regresiónregresión nono--lineallineal

Comenzar con valores iniciales estimadosvalores iniciales estimadospara cada variable en la ecuación.

Generar la curva con valores iniciales Generar la curva con valores iniciales. Calcular la suma de los cuadrados de las

distancias verticales. Ajustar las variables para hacer que la curva se

acerque a los datos. (Hay varios algoritmos algoritmos para ajustar las variablespara ajustar las variables.)

76

Ajustar las variables nuevamente para acercar mas la curva.

Repetir

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8/14/2014

39

PasosPasos parapara la la regresiónregresión nono--lineallineal((continuacióncontinuación))

Detener los cálculosDetener los cálculos cuando los ajustes no hagan diferencia en la suma de los cuadrados (criterio de convergenciacriterio de convergencia).

Informar los resultados que se ajustan mejor. Nota: Los valores precisos van a depender

de los valores iniciales y del criterio de detener los cálculos Por lo tanto los

77

detener los cálculos. Por lo tanto los resultados de análisis repetitivos no siempre van a dar exactamente los mismo resultados.

agosto de 2014

Ajuste de curvas de regresiones noAjuste de curvas de regresiones no--lineales.lineales.Escogiendo el modeloEscogiendo el modelo

Decaimiento exponencial en una fase

y Ae bkx

Decaimiento exponencial en dos fases

Asociación exponencial de una fase

y Ae b

y Ae Be bk x k x 1 2

kx( )1

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Asociación exponencial de dos fases

y y e kx max( )1

y y e y ek x k x max max( ) ( )

1

1

2

21 1

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Crecimiento exponencialy Aekx

Ajuste de curvas de regresiones noAjuste de curvas de regresiones no--lineales.lineales.

Escogiendo el modeloEscogiendo el modelo

Serie de potencias

Ecuación de polinomiosy = a + bx + cx2 + dx3 + ....

Sinosoidal

y Ax CxB D

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Distribución gausiana

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