Bioestadistica - Distribuciones de frecuencias

Prof. Ingº MSc. Carmen Lugo Delgado

UNEFM. CIENCIAS VETERINARIAS

I UNIDAD: ESTADISTICA DESCRIPTIVA

BIOESTADÍSTICA

TEMA 2: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Autor: Ingº MSc Prof. Ingº MSc. Carmen Lugo Delgado

2. Distribuciones de Frecuencias:

Arreglo de datos.

Representaciones tabulares y gráficas.

Cuando los individuos de la población en estudio son medidos u observados,

generalmente los valores resultantes se registran como una masa de datos

desordenada, que requiere ser organizada antes de proceder a realizar cualquier

interpretación de los mismos. Si el número de observaciones no es demasiado

grande, un primer paso para la organización de estos datos es la preparación de un

arreglo ordenado. Un arreglo ordenado es una lista de los valores extraídos de una

población o muestra dispuestos en orden alfabético para variables cualitativas, o en

orden de magnitud creciente del menor al mayor valor registrado cuando se trata de

variables cuantitativas.

Ejemplo Nº 1: Tipo de alimento suministrado a caninos de compañía atendidos en la clínica veterinaria Santa Ana en Coro, Estado Falcón durante el primer trimestre de 2009.

Num Alimento Num Alimento Num Alimento

1 CASERO 18 CONCENTRADO 35 CASERO

2 CONCENTRADO 19 CONCENTRADO 36 CONCENTRADO

3 CONCENTRADO 20 MIXTO 37 CONCENTRADO

4 CASERO 21 MIXTO 38 CONCENTRADO

5 CONCENTRADO 22 MIXTO 39 CASERO

6 MIXTO 23 MIXTO 40 MIXTO

7 CONCENTRADO 24 CASERO 41 CASERO

8 CASERO 25 CONCENTRADO 42 CONCENTRADO

9 CONCENTRADO 26 CASERO 43 MIXTO

10 MIXTO 27 CONCENTRADO 44 CASERO

11 MIXTO 28 MIXTO 45 MIXTO

12 MIXTO 29 CASERO 46 CONCENTRADO

13 CASERO 30 CONCENTRADO 47 CASERO

14 MIXTO 31 CONCENTRADO 48 CASERO



17 MIXTO 34 MIXTO


ARREGLO DE DATOS:

Num Alimento Num Alimento Num Alimento

1 CASERO 18 CONCENTRADO 35 MIXTO













14 CONCENTRADO 31 CONCENTRADO 48 MIXTO



17 CONCENTRADO 34 MIXTO

Cuando se tiene una gran cantidad de datos es conveniente presentarlos agrupados

en una distribución de frecuencias con el objeto de resumir la información y poder así

determinar su naturaleza.

Una distribución de frecuencia es representación estructurada como tabla de

resumen en la que los datos se disponen agrupados en clases o categorías

convenientemente ordenados acompañados de sus respectivas frecuencias.

Las tablas estadísticas permiten resumir las principales características de los datos,

con el objeto de hacerlas evidentes para el lector.


Representaciones Tabulares:

Cuando se trabaja con variables cualitativas cada una de las modalidades observadas

corresponden a las clases o categorías. Estas deben ser mutuamente excluyentes y

exhaustivas de tal manera que los datos solo puedan ser asignados a una de las

clases o categorías establecidas.

TABLA Nº 1. DISTRIBUCION POR EL TIPO DE ALIMENTO CONSUMIDO DE LOS CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLINICA VETERINARIA SANTA ANA. CORO. ENERO-MARZO 2009.

ALIMENTO ni fi %

CASERO CONCENTRADO MIXTO

13 20 17

0,26 0,40 0,34

26 40 34

50

ni Frecuencia Absoluta: Número de individuos pertenecientes a cada clase.

f i Frecuencia Relativa: Cociente de la frecuencia absoluta entre el número total de

datos.

El porcentaje se obtiene al multiplicar las frecuencias relativas por 100. Es muy útil

cuando se comparan series de datos que difieren en el número de observaciones.

Cuando se procesa información resultante del estudio de variables cuantitativas, es

conveniente observar si esta es de tipo discreto o continuo. Para las variables

cuantitativas de tipo discreto cuando el número de modalidades registradas es

pequeño, cada modalidad puede ser considerada como una clase.

Ejemplo Nº 2. Número de cuartos de ubre afectados por mastitis en un rebaño de vacas mestizas ¾ holteins. Municipio Federación. Falcón. Venezuela. 2009.

0 1 0 2 1 3 0 3 0 0 1 0 0 3 0

2 2 0 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 2

Arreglo de datos:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4

N

nifi


TABLA Nº 2. NÚMERO DE CUARTOS DE UBRE AFECATDOS POR MASTITIS EN UN REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO FEDERACIÓN. ESTADO FALCON. VENEZUELA 2009.

Nº CUARTOS ni f i Ni Fi

0 1 2 3 4

13 8 5 3 1

0,43 0,27 0,17 0,10 0,03

13 21 26 29 30

0,43 0,70 0,87 0,97 0,01

30

Por tratarse de una variable cuantitativa en la tabla de frecuencia debe considerarse el

cálculo de otras frecuencias adicionales a las calculadas en la anterior tabla.

Ni Frecuencia Absoluta Acumulada: Número de individuos pertenecientes a cada

clase mas los de la clase anterior.

Fi Frecuencia Relativa Acumulada: Cociente de la frecuencia absoluta Acumulada

entre el numero total de datos.

N

NiFi

Si el número de clases registrados es muy alto o cuando se trata de una variable

cuantitativa continua, es necesario agrupar los datos en intervalos de clases.

Cuando los datos numéricos son agrupados en intervalos de clase, la información

inicial correspondiente a cada observación individual se pierde, por lo que al construir

la tabla de distribución de frecuencia es necesario tener en cuenta los siguientes

aspectos:

1. Establecer la Amplitud de Variación para la serie total de datos.

2. Seleccionar un número apropiado de intervalos clase en función al número de datos.

3. Establecer la amplitud o ancho de intervalo óptimo.

4. Establecer los límites para cada intervalo de clase.

Calculo de la Amplitud de Variación:

La amplitud de variación para la serie total de datos se establece restando el mínimo

valor del máximo valor registrado (Diferencia existente entre los valores extremos).

A.V.= Valor Mayor – Valor Menor


Selección del Número de Intervalos de Clases:

La distribución de frecuencia debe tener al menos cinco (5) intervalos de clase, pero

no más de quince (15). Si no hay suficientes intervalos de clase o si hay demasiados,

se obtendría poca información.

Para tener una idea del número de intervalos de clase convenientes para el número de

datos con el cual se esta trabajando, se puede aplicar la regla de Sturges. Esta indica:

Nk log322,31

k Número de intervalos de clase N= Número de datos

Amplitud o Ancho de los Intervalos:

Para determinar la amplitud o ancho de los intervalos de clase (A.I) se debe dividir la

amplitud de la serie total de datos (A. V.) entre el número de intervalos estimados y se

redondea esa cantidad.

k

VAIA

....

A.I.= Amplitud de Intervalo

A.V.= Amplitud de Variación A.V.= Valor Mayor – Valor Menor

Es conveniente que todos los intervalos de una distribución de frecuencia tengan la

misma amplitud. La amplitud de un intervalo también se obtiene al restarle al límite

inferior de una clase superior, el límite inferior de la clase precedente.

El conjunto de intervalos debe incluir todos los datos. Asimismo no debería ocurrir el

traslape entre los intervalos.

Establecimiento de los límites para cada intervalo de clase:

El límite inferior (Li) de un intervalo corresponde al valor mínimo que puede ser

incluido en el intervalo.

El límite superior (Ls) de un intervalo corresponde al valor máximo que puede

incluirse en el intervalo.

El valor menor de la serie de datos, corresponde al límite inferior de la primera

clase. A este valor se le debe sumar la amplitud de intervalo estimada para

obtener el límite superior de dicha clase.


Cuando se trabaja con variables cuantitativas discretas, el límite superior (Ls) del

primer intervalo se obtiene cuando al valor mínimo registrado se le suma la amplitud

estimada de intervalo menos uno (1). El límite inferior (Li) para la segunda clase,

corresponderá al límite superior (Ls) de la primera clase más uno (1). Si a este valor

se le suma nuevamente la amplitud de intervalo se obtendrá el límite superior de esta

segunda clase. Este procedimiento deberá repetirse hasta obtener el número de

intervalos de clase estimado. Todos los valores registrados para la variable en estudio

deben ser incluidos en los intervalos construidos. Si algún valor quedara sin ser

incluido en el último intervalo podría ser necesario construir un intervalo adicional.

Ejemplo Nº 3. Número de consultas por emergencia atendidos semanalmente en la

Clínica Veterinária Santa Ana, Coro, Estado Falcón durante 2009.

Sem Emerg Sem Emerg Sem Emerg Sem Emerg Sem Emerg

1 3 13 8 25 13 37 4 49 2

2 5 14 5 26 1 38 3 50 3

3 4 15 2 27 0 39 1 51 4

4 5 16 4 28 8 40 0 52 4

5 1 17 12 29 9 41 3 53 0

6 2 18 2 30 5 42 1

7 1 19 6 31 7 43 7

8 4 20 4 32 3 44 4

9 2 21 10 33 11 45 3

10 4 22 2 34 8 46 0

11 3 23 1 35 10 47 2

12 8 24 3 36 0 48 6

Arreglo de datos:

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 13


Amplitud de Variación:

A.V. = 13 – 0= 13

Nº de intervalos: k= 1+3,322 x log 53 k= 6,72 7

Amplitud de los Intervalos: A.I= A.V./k A.I.=13/7= A.I.= 1,85 2

Primer Intervalo: Li = Valor Mínimo = 0

Ls = (Li+ A.I) – 1 (0 + 2) – 1= 1

Segundo Intervalo: Li= (Ls primer intervalo +1)= 1 + 1 = 2

Ls= (Li + A.I.) – 1 (2 + 2) – 1 = 3

Li Ls

0 - 1 2 - 3 4 - 5 6 - 7 8 - 9 10 - 11 12 - 13

Cuando se agrupan los datos en intervalos de clase es necesario, al preparar la tabla

de frecuencia calcular el Punto Medio o centro de clase.

Punto Medio o Centro de Clase:

Corresponde al promedio de los límites inferior y superior de cada clase.

Se obtiene sumando los límites inferior y superior de cada clase y dividiendo el

resultado entre dos (2):

Primer Intervalo: (Li + Ls)/ 2 (0 + 1) / 2 = 0,5

Segundo Intervalo: (2 + 3) / 2 = 2,5


TABLA Nº 3. NÚMERO DE CONSULTAS POR EMERGENCIA ATENDIDOS

SEMANALMENTE EN LA CLÍNICA VETERINARIA. SANTA ANA.

CORO. ESTADO FALCON. 2009.

Li Ls P.M ni f i Ni Fi

0 2 4 6 8

10 12

1 3 5 7 9

11 13

0,5 2,5 4,5 6,5 8,5

10,5 12,5

11 15 13 4 5 3 2

0,2075 0,2830 0,2453 0,0755 0,0943 0,0566 0,0377

11 26 39 43 48 51 53

0,2075 0,4906 0,7358 0,8113 0,9057 0,9623 1,0000

53

Cuando se trabaja con variables cuantitativas continuas es recomendable que el límite

superior de una clase, coincida con el límite inferior de la clase siguiente. Esto para

evitar que algunos datos pudieran no ser asignados en algún intervalo de clase.

Ejemplo Nº 4. Valores de glicemia registrados en los caninos de compañía

atendidos en la Clínica Veterinaria Santa Ana. Coro, Estado Falcón

durante el mes de diciembre 2009.

Arreglo de Datos:

52 71 79 88

100

54 72 79 89

104

55 73 81 91

104

58 74 83 92

105

61 74 83 93

108

65 76 84 94

108

65 76 86 94

111

68 76 86 96

116

68 77 87 96

119

70 77 87

100 122

Amplitud de Variación:

A.V. = 122 – 52= 70

Nº de intervalos: k= 1+3,322 x log 53 k= 6,72 7

73 89

111 76

100

72 104

86 77

105

74 70 52 96 71

119 79 54 94 83

76 77 68 96 83

108 76 68 65 55

94 91

108 58 87

84 61

104 100

92

87 79

122 93 86

88 81 65

116 74


Amplitud de los Intervalos: A.I= A.V./k A.I.= 70/7= A.I.= 10

Primer Intervalo: Li = Valor Mínimo = 52

Ls = (Li+ A.I) (52 + 10) = 62

Segundo Intervalo: Li= (Ls primer intervalo)= 62

Ls= (Li + A.I.) (62 + 10) = 72

Punto Medio o Centro de Clase:

Primer Intervalo: (Li+Ls)/2 = (52 + 62) / 2 = 57

TABLA Nº 4. VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN LOS CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA ANA. CORO. ESTADO FALCON. DICIEMBRE 2009.

Li Ls P.M ni f i Ni Fi

52 62 72 82 92

102 112

62 72 82 92

102 112 122

57 67 77 87 97

107 117

5 7

11 11 7 6 3

0,10 0,14 0,22 0,22 0,14 0,12 0,06

5 12 23 34 41 47 50

0,10 0,24 0,46 0,68 0,82 0,94 1,00

50

Representaciones Graficas:

Los gráficos se utilizan para presentar la información estadística contenida en una

serie de datos de forma visual. Ellos permiten obtener una percepción rápida de los

rasgos más sobresalientes de la variable que se estudia, que con otras formas de

presentación no serían tan evidentes o captados rapidez.

Los gráficos deben seleccionarse dependiendo del tipo de variable con la cual se esta

trabajando. Los gráficos apropiados para representar variables cualitativas difieren de

los adecuados para las variables cuantitativas, y aun dentro de estas últimas, existen

diferencias en cuanto a los gráficos para variables discretas y para las continuas,


Gráficos para Variables Cualitativas:

Para representar variables cualitativas los gráficos más adecuados son:

Gráficos de barras:

Consiste en una serie de barras rectangulares representando las modalidades o

clases de la variable, separadas por una distancia constante y con una altura

proporcional a la frecuencia de con que se presenta cada modalidad.

En el eje horizontal se representan las distintas modalidades o clases de la variable.

En el eje de escala vertical se representa la frecuencia con que ocurre cada clase. Los

gráficos de barras también podrían presentarse horizontalmente, para ello solo se gira

los ejes en el sentido de las agujas del reloj.

Este tipo de gráfico se utiliza con variables cualitativas medidas en escala nominal y

en escala ordinal. Para variables expresadas en escala nominal, las clases podrían

ordenarse alfabéticamente. También pudieran ordenarse considerando la magnitud de

la frecuencia con que se presenta cada clase, es decir de menor a mayor o viceversa.

Con las variables expresadas en escala ordinal, se debe respetar el orden lógico

presentado por la variable.

Cada barra debe estar identificada, indicando la clase o categoría que representa.

Pueden utilizarse letras, colores, símbolos, etc.

Los diagramas de barras pueden ser utilizados cuando se tiene una gran cantidad de

clases o categorías.

GRAFICO Nº 1. TIPO DE ALIMENTO SUMINISTRADO A LOS CANINOS DE

COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA

ANA. CORO. ESTADO FALCON. ENERO-MARZO 2009.

0

5

10

15

20

25

CASERO CONCENT. MIXTO


GRAFICO Nº 1. TIPO DE ALIMENTO SUMINISTRADO A LOS CANINOS DE



Gráficos de Sectores o Torta:

Se utiliza principalmente con variables cualitativa medidas en escala nominal. Consiste

en un círculo dividido en sectores, cada uno de ellos con tamaño proporcional o

equivalente a la frecuencia la categoría que se representa. Generalmente se utiliza

cuando la variable ocurre con pocas modalidades (hasta 7).

GRAFICO Nº 2. TIPO DE ALIMENTO SUMINISTRADO A CANINOS DE



0 5 10 15 20 25

CASERO

CONCENT.

MIXTO

CASERO, 13, 26%

CONCENT., 20, 40%

MIXTO, 17, 34%


Gráficos de Variables Cuantitativas:

Cuando se trabaja con variables cuantitativas se debe distinguir si esta es de tipo

discreto o es de tipo continuo.

Con las variables de tipo discreto se utilizan básicamente los gráficos de barra, las

barras acumuladas y los polígonos de frecuencia.

Con las variables de tipo cuantitativo se utilizan los histogramas, los polígonos de

frecuencias y los polígonos de frecuencias acumuladas.

Variables Cuantitativas Discretas:

Gráfico de Barras:

Este gráfico se obtiene al tomar un sistema de coordenadas. En el eje horizontal

(abscisas) se disponen los distintos valores de la variable y en el eje vertical

(Ordenada) la frecuencia (absoluta o relativa), con que estos se han presentado.

Sobre cada uno de valores de la variable, se levantan líneas verticales. Su altura se

mide en el eje de la ordenada.

Las barras deben ir separadas una de las otras por una distancia constante, de esta

manera se indica que no existe continuidad entre los valores.

GRAFICO Nº 3. NÚMERO DE CUARTOS DE UBRE AFECATDOS POR MASTITIS

EN UN REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO

FEDERACIÓN. ESTADO FALCON. VENEZUELA 2009.

0 1 2 3 4 Cuartos Afectados

0

3

6

9

12

15

ni


Gráfico de Barras Acumuladas:

Para formar este tipo de gráfico se coloca en el eje de las abscisas los distintos

valores de la variable, sobre cada uno de ellos se levanta una línea vertical con una

altura proporcional a la frecuencia absoluta o relativa acumulada hasta ese valor.

Sobre cada una de las barras verticales se traza una línea horizontal hasta cortar la

barra siguiente. Este gráfico tendrá una forma creciente.

GRAFICO Nº 4. FRECUENCIAS ACUMULADAS PARA EL NÚMERO DE CUARTOS DE UBRE AFECTADOS POR MASTITIS EN UN REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO FEDERACIÓN. ESTADO FALCON. VENEZUELA 2009.

Polígonos de Frecuencias:

Para un gráfico de barras, el polígono de frecuencias es la línea quebrada que se

obtiene al unir con líneas rectas, cada una de las barras verticales por sus extremos

superiores.

0 1 2 3 4

Cuartos Afectados

0

8

16

24

32

Ni


GRAFICO Nº 5. POLIGONO DE FRECUENCIA PARA EL NÚMERO DE CUARTOS DE UBRE AFECTADOS POR MASTITIS EN UN REBAÑO DE VACAS MESTIZAS ¾ HOLTEINS. MUNICIPIO FEDERACIÓN. ESTADO FALCON. VENEZUELA 2009.

Variables Cuantitativas Continuas:

Histograma:

Este tipo de gráfico se utiliza básicamente con variables cuantitativas continuas cuyos

datos deben agruparse en intervalos de clase. Consiste en una serie de rectángulos

unidos entre si, para indicar la continuidad de la variable y cuyas áreas son

equivalentes a la frecuencia (absoluta o relativa) que se representa.

Se forman al marcar sobre el eje de las abscisas los intervalos de clase. Sobre ellos se

levantan los rectángulos. La altura de cada rectángulo corresponde al cociente de la

frecuencia del intervalo y la amplitud del mismo. Cuando los intervalos tienen la misma

amplitud, se puede asumir que la amplitud del intervalo es igual a uno, por lo que las

alturas serán igual a la frecuencia registrada en cada intervalo.

0 1 2 3 4 Cuartos Afectados

0

3

6

9

12

15

ni


GRAFICO Nº 6. VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA ANA. CORO. FALCON. DICIEMBRE 2009.

La forma de un histograma puede variar para una misma serie de datos, al variar el

número de intervalos de clase, por lo que se requiere ser cuidadosos al momento de

establecer la amplitud de los intervalos.

47 57 67 77 87 97 107 117 127

GLICEMIA

0

3

6

9

12

ni

46 58 70 81 93 104 116 128

GLICEMIA

0

4

8

12

16

ni


Polígono de Frecuencias:

Para un histograma el polígono de frecuencias se obtiene marcando los Puntos

Medios de cada intervalo de clase en la parte superior de cada rectángulo, los cuales

se unen mediante líneas rectas.

El área delimitada por la línea poligonal se considera equivalente al área delimitada

por los rectángulos que forman el histograma.

GRAFICO Nº 7. POLIGONO DE FRECUENCIAS PARA LOS VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA ANA. CORO. FALCON. DICIEMBRE 2009.

Polígonos de Frecuencias Acumuladas:

Se obtiene levantando sobre los límites superiores de cada intervalo de clase, líneas

verticales con una altura proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada.

El extremo superior de cada de ellas se une mediante líneas rectas.

47 57 67 77 87 97 107 117 127

GLICEMIA

0

3

6

9

12

Ni


Cuando se trabaja con Frecuencias Absolutas Acumuladas la altura máxima que

alcanzara el último intervalo será igual que el número total de datos (N). Para

Frecuencias Relativas Acumuladas la altura máxima en el último intervalo será uno (1).

GRAFICO Nº 8. POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS PARA LOS VALORES DE GLICEMIA REGISTRADOS EN CANINOS DE COMPAÑÍA ATENDIDOS EN LA CLÍNICA VETERINARIA SANTA ANA. CORO. FALCON. DICIEMBRE 2009.

52 62 72 82 92 102 112 122

GLICEMIA

0

11

22

33

44

55

ni


Bibliografía

DANIEL, W. Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. Editorial Limusa,

México. 2002.

DI RIENZO, J. et al. Estadística para las Ciencias Agropecuarias. Cuarta Edición.

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QUESADA, V., ISIDORO, A., y LOPEZ, L. Curso y Ejercicios de Estadística. Aplicación

a las Ciencias Biológicas, Médicas y Sociales. Alambra Universidad.

Madrid. 2002.

STEEL, R. y TORRIE, J. Bioestadística: Principios y Procedimientos. McGraw Hill.

Colombia. 1985.

VISAUTA VINACUA, B,. Análisis Estadístico con SPSS para Windows. Estadística

Básica. Mc Graw Hill. Madrid. 1997.

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http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/

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