BioestatısticaParte I

Profa Dra Alcione Miranda dos Santos

Universidade Federal do MaranhaoPrograma de Pos-Graduacao em Saude Coletiva

email:alcione.miranda@gmail.com

Abril, 2011

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Sumario

IntroducaoEstatıstica: O que e?Divisao da estatıstica

Conceitos basicos de estatısticaPopulacao e amostraParametro e estatıstica

Tipos de variaveis

Analise descritiva dos dadosTabelas e GraficosAnalise BivariadaMedidas Descritivas

AssimetriaCoeficiente de Assimetria de PearsonCoeficiente Quartil de Assimetria

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Estatıstica: O que e?

I Estatıstica pode ser pensada como a ciencia de aprendizagema partir de dados.

I Em linhas gerais, a Estatıstica fornece metodos que auxiliam oprocesso de tomada de decisao.

I A Estatıstica esta presente em todas as areas da ciencia queenvolvam a coleta e analise de dados.

I Bioestatıstica e a aplicacao de estatıstica ao campo biologicoe medico. Ela e essencial ao planejamento, coleta, avaliacao einterpretacao de todos os dados obtidos em pesquisa na areabiomedica.

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Divisao da estatıstica

A Estatıstica esta compreendida em duas partes:

I Estatıstica Descritiva: Reune um conjunto de tecnicas parasumarizar os dados (tabelas, graficos) e medidas descritivas quepermitem tirar muitas informacoes contidas nos dados.

I Estatıstica Indutiva: Consiste em obter e generalizar con-clusoes. Isto e, inferir propriedades para o todo (populacao)com base na amostra. E tratada atraves de tecnicas e metodosque se fundamentam na Teoria das Probabilidades.

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Conceitos basicos de estatıstica

A finalidade da pesquisa e coletar dados para obter informacoes.

I Dados: observacoes de uma ou mais variaveis.

I Variavel: aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipode conclusao, por exemplo, idade, sexo, peso.

I Dados usualmente provem de uma amostra, a qual representauma populacao de interesse.

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Conceitos basicos de estatıstica

I Populacao: E o conjunto de indivıduos (ou objetos) que apre-sentam pelo menos uma caracterıstica em comum, cujo com-portamento deseja-se analisar ou inferir.

I Exemplo: Estudo sobre a ocorrencia de sobrepeso em criancasde 7 a 12 anos no Municıpio de Sao Luıs.

I Populacao de estudo: criancas matriculadas em escolas.

I Amostra: E um subconjunto da populacao.

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Conceitos basicos de estatıstica

I Parametro: uma medida numerica que descreve alguma ca-racterıstica de uma populacao.

I Frequentemente desconhecido e denotado por letras gregas.I Exemplo: Peso medio ao nascer de criancas que nascem no

municıpio de Sao Luıs.

I Estatıstica: uma medida numerica que descreve alguma ca-racterıstica de uma amostra.

I E habitualmente representada por letras latinas.I Exemplo: Peso medio ao nascer, calculado em uma amostra de

120.000 criancas nascidas no Municıpio de Sao Luıs.

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Conceitos basicos de estatıstica

I Parametro: uma medida numerica que descreve alguma ca-racterıstica de uma populacao.

I Frequentemente desconhecido e denotado por letras gregas.I Exemplo: Peso medio ao nascer de criancas que nascem no

municıpio de Sao Luıs.

I Estatıstica: uma medida numerica que descreve alguma ca-racterıstica de uma amostra.

I E habitualmente representada por letras latinas.I Exemplo: Peso medio ao nascer, calculado em uma amostra de

120.000 criancas nascidas no Municıpio de Sao Luıs.

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Tipos de variaveis

As variaveis podem ser categoricas ou numericas.

I Variaveis categoricas (ou qualitativas)

X Variaveis categoricas nominais

Exemplos: Sexo, estado civil, tipo sanguıneo, cor da pele, etc.

X Variaveis categoricas ordinais

Exemplos: Grau de instrucao (1o grau, 2o grau, grau superior),classe social (alta, media, baixa), pressao sanguınea (baixa, nor-mal, alta), etc.

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Tipos de variaveis

I Variaveis numericas (ou quantitativas)

X Variaveis numericas discretas

Exemplos: Numero de filhos, numero de consultas medicas emum determinado perıodo, numero de cirurgias, etc.

X Variaveis numericas contınuas

Exemplos: Altura, idade, peso, altura, pressao sanguınea, taxade colesterol,etc.

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Analise descritiva dos dados

I A analise descritiva consiste basicamente na organizacao e des-cricao dos dados.

I A organizacao e apresentacao de dados consiste em:

I Tabelas de frequencias;I Graficos;I Medidas descritivas (por exemplo, media e desvio padrao).

I Comecaremos a analise descritiva com apenas uma variavel emestudo.

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Tabelas de Frequencias

I As tabelas de frequencias indicam cada valor distinto de umavariavel, juntamente com uma contagem do numero de vezesque esse valor ocorre.Esta contagem e conhecida por frequenciasimples ou absoluta.

I Juntamente com as frequencias simples, a tabela podera aindaincluir:

X Frequencias relativasX Frequencias acumuladasX Frequencias relativas acumuladas.

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Tipos de Frequencias

I Frequencia relativa: percentagem relativa a frequencia sim-ples.

I Frequencia acumulada: numero de vezes que uma variavelassume um valor inferior ou igual a esse valor.

I Frequencia relativa acumulada: percentagem relativa a fre-quencia acumulada.

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Elementos essenciais de uma tabela

I Tıtulo: uma indicacao que precede a tabela e que expliquetudo referente a tabela.

I Corpo: corresponde ao conjunto de colunas e de linhas quecontem informacoes sobre o fenomeno estudado.

I Cabecalho: colocado na parte superior da tabela, tem porfinalidade especificar o conteudo das colunas.

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Elementos complementares de uma tabela

I Fonte: indicacao do orgao ou entidade responsavel pelo forne-cimento dos dados ou pela sua elaboracao.

I Notas: sao informacoes destinadas a esclarecer ou conceituaro conteudo das tabelas, ou indicar a metodologia adotada.

I Chamadas: sao informacoes de natureza especıfica sobre de-terminada parte da tabela, destinada a conceituar ou esclarecerdados.

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Elementos essenciais de um grafico

I Todo grafico deve ter tıtulo, escala e fonte de dados, de formaa dispensar qualquer esclarecimento adicional.

I A numeracao dos graficos e feita utilizando-se algarismos arabicos.

I As escalas devem crescer da esquerda para a direita e de baixopara cima.

I As distancias que indicam as unidades devem ser rigorosamenteuniformes.

Agora, veremos como representar as variaveis qualitativas e asquantitativas por meio de tabelas e graficos.

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Tabelas e graficos: variavel qualitativa

I Podemos sumarizar a variavel qualitativa em:

I Tabelas: usando contagens ou porcentagens.

I Grafico de Barras ou Grafico de Setores.

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Tabelas de Frequencias: variavel qualitativa

Tabela: Tipo de parto em nascidos vivos de parto unico. Sao Luıs- MA,1997/98

Tipo de parto Frequencia %

Vaginal 1.619 66, 27Cesareo 824 33, 73

Total 2.443 100, 00

Fonte: Silva et al. (2001)

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Tabelas de Frequencias: variavel qualitativa

Tabela: Estado civil dos residentes em Sao Luıs, no perıodo de 10 deagosto a 31 de dezembro de 2005

Estado civil Frequencia %

Solteiro 281 38, 97Casado 197 27, 32Separado 87 12, 07Divorciado 56 7, 77Viuvo 54 7, 49Uniao estavel 46 6, 38

Total 721 100, 00

Fonte: Dados Fictıcios

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Graficos de barras

Figura: Dados sobre as doencas mais comuns ocorridas no Estado de SaoPaulo.

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Graficos de setores

Figura: Dados sobre as doencas mais comuns ocorridas no Estado de SaoPaulo.

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Tabelas de frequencias: variavel quantitativa

Quando analisamos uma variavel discreta que assume poucos valores, os

dados sao organizados na forma de uma tabela de frequencias, analoga a

construıda para o caso de variaveis qualitativas. Entretanto, em vez das

categorias apresentamos os valores distintos da variavel.

Tabela: Numero de filhos por famılias no municıpio de Sao Luıs, Marco,2009.

Numero de Filhos Frequencias %0 3 0, 101 4 13, 332 6 20, 003 10 33, 344 7 23, 33

Total 30 100,00Fonte: Fictıcia.

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Tabelas de frequencias: variavel quantitativa

I Em geral, as variaveis contınuas assumem muitos valores dis-tintos. Assim, costuma-se descrever as variaveis contınuas pormeio de tabelas de frequencias agrupadas em classes.

I Para construcao da tabela precisamos calcular:i) Numero de classes:

k = 1 + 3, 3× log(n) , sendo n o tamanho da amostra.

ii) Amplitude de classes:

a =At

k, com At a diferenca entre o valor maximo e o minimo

da variavel em estudo.

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Tabelas de frequencias: variavel quantitativa

I Exemplo: O tempo de coagulacao (em minutos) de 30 provas decoagulacao, encontrados em exames hematologicos de pacientes doHospital Universitario Materno Infantil sao apresentados abaixo.

4 5 6 7 6 9 8 4 10 127 10 14 5 4 6 4 12 7 95 6 9 5 10 8 8 5 7 6

I Temos quei) Numero de classes:

k = 1 + 3, 3× log(30) = 5, 87 ' 6

ii) Amplitude de classes:

a =14− 4

6= 1, 67 ' 2.

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Tabelas de frequencias: variavel quantitativa

I Para os dados anterior, a tabela de frequencia e dada por

Tabela: Tempo de coagulacao (em minutos) de 30 provas de coagulacao,encontrados em exames hematologicos de pacientes do HospitalUniversitario Materno Infantil.

Tempo Frequencias Porcentagens4 ` 6 9 30, 06 ` 8 9 30, 08 ` 10 6 20, 010 ` 12 3 10, 012 ` 14 2 7, 014 ` 16 1 3, 0Total 30 100, 0Fonte:Fictıcia.

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Histograma

Figura: Pressao arterial sistolica dos estudantes da UFMA

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Box Plot

I O Boxplot tambem e conhecido como diagrama de Box e Whisker.

I Por meio dele, obtemos um sumario completo dos dados deforma simples.

I Podemos identificar a mediana, a dispersao, a assimetria eoutliers de um conjunto de dados.

I A maior importancia desse tipo de grafico esta na identificacaode possıveis outliers no conjunto de dados.

I Outliers: observacoes que apresentam um grande afastamentodas restantes ou sao inconsistentes com elas. Estas observacoessao tambem designadas por observacoes atıpicas ou aber-rantes.

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Box Plot

I A construcao do boxplot exige que tenhamos o valor mınimo, oprimeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e o valor maximo.

I Tambem devemos calcular o limite inferior (LI ) e o limite su-perior (LS), os quais sao dados por:

LI = Q1 − 1, 5(Q3 − Q1)

LS = Q3 + 1, 5(Q3 − Q1)

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Box Plot

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Box Plot

Figura: Nıvel de Hemoglobina glicosilada segundo grupo de gestantes

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Graficos de linhas

I Quando as observacoes sao feitas ao longo do tempo, os dados saodenominados temporais ou longitudinais. Uma representacao ade-quada para este tipo de dados e o grafico de linhas.

Figura: Mortalidade Infantil no municıpio de Sao Luıs-MA 1970-1980dados fictıcios

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Analise Bivariada

I A analise bivariada consiste em examinar simultaneamente asduas variaveis, com o objetivo de avaliar associacao entre elas.

I Podemos construir tabelas de frequencia com dupla entradaou graficos de dispersao. Essas tabelas de dados cruzados saoconhecidas por tabelas de contingencia.

I As tabelas de contingencia sao utilizadas para estudar a asso-ciacao entre duas variaveis categoricas.

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Analise Bivariada: variaveis qualitativas

I Suponhamos que temos duas variaveis: tipo de parto (vaginale cesareo) e categoria de internacao (publica, privada).

I Observamos os valores de ambas as variaveis em uma amostrade 2.443 mulheres.

I Uma tabela de contingencia pode ser usada para expressar aassociacao entre tais variaveis.

I Vamos construir a tabela de contingencia para os dados acima.

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Analise Bivariada: variaveis quantitativas

I Caracterısticas: Relaciona duas variaveis quantitativas.

Exemplos:

X Estatura x idade.

X Consumo de dieta x Ganho ponderal.

X Idade x Peso.

I Questoes a serem respondidas na analise:

X Existe uma relacao entre as variaveis ?

X Relacao linear positiva ou negativa ?

X Se existe, quao forte ela e ?

X Qual a probabilidade da relacao ser verdadeira ? (p-valor)

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Grafico da Dispersao

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Medidas Descritivas

I Medidas de Tendencia Central

I Medidas Separatrizes

I Medidas de Dispersao ou Variabilidade

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Medidas de tendencia central

I Servem para termos uma ideia acerca dos valores medios davariavel em estudo.

I Sao usadas para sintetizar em um unico numero os dados ob-servados.

I Sao exemplos de medidas de tendencia central: Media, Modae Mediana.

I A escolha de qual medida usar, depende...

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Media aritmetica

I A medida de tendencia central mais comumente usada paradescrever resumidamente um conjunto de dados.

I E definida como a soma das observacoes dividida pelo numerodelas. Denotada por x .

I Sejam x1, x2, . . . , xn os n valores da variavel X , obtidos pelopesquisador. A media aritmetica e definida por:

x =x1 + x2 + ...+ xn

n

sendo n o total de observacoes.

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Media aritmetica

I Exemplo: Considere os dados relativos as idades (em anos) deonze pacientes:

10 12 11 17 21 18 16 17 20 15 27.

Determine a media de idade.

I A media de idade sera dada por:

x =10 + 12 + 11 + ...+ 27

11=

198

11= 18

I Portanto, a media de idade e 18 anos.

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Mediana

I Exemplo 1: Retornemos aos dados relativos as idades (em anos)de onze pacientes. Determine a idade mediana.

10 12 11 17 21 18 16 17 20 15 27.

I Ordenando os valores, tem-se:

10 11 12 15 16 17 17 18 20 21 27

I Logo, a idade mediana neste caso e 17 anos.

I Acrescentando-se mais uma idade ao conjunto de dados, tem-se:

10 11 12 14 15 16 17 17 18 20 21 27.

Portanto, a mediana sera a media aritmetica do 6o e 7o ele-mentos:

Md =16 + 17

2= 16, 5 anos

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Moda

I Valor que ocorre com maior frequencia.

I Obtida por inspecao da tabela de distribuicao de frequencias.

I Ao contrario do que acontece com a mediana e a media, umaamostra pode possuir mais do que uma moda.

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Moda

I Exemplo: Considere os dados relativos as idades (em anos) deonze pacientes. Determine a idade modal.

10 12 11 17 21 18 16 17 20 15 27.

I Temos que a idade modal e igual a 17 anos, pois este valor serepetiu em maior numero de vezes.

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Media ou Mediana?

I Considere a idade (em meses) de 7 indivıduos em diferentesamostras (A e B).

Total Media MedianaA 10 20 30 40 50 60 70 280 40 40B 10 20 30 40 50 60 350 560 80 40

I Deve-se notar que

X O valor da media e igual ao da mediana na amostra A.X As medianas sao iguais em ambas as amostras.X Em B, a media foi 80, sendo superior a maioria dos valores

individuais.X Observando os valores individuais da amostra, verifica-se que o

numero 40 melhor representa a distribuicao global da idade naamostra do que o numero 80.

X Assim, quando o valor da mediana e muito diferente da media,e aconselhavel considerar sempre a mediana para representar osdados, pois a media e bastante sensıvel a valores discrepantes.

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Medidas Separatrizes

I Medidas que separam a distribuicao em partes iguais.

X Quartis

X Decis

X Percentis

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Quartis

I Os quartis dividem a base de dados em 4 partes.

I Precisamos portanto de 3 quartis para dividir a base de dadosem quatro partes iguais.

I Sao representados pelo 1oquartil(Q1), 2oquartil(Q2) e 3oquartil(Q3)quartil.

I O 2o(Q2) quartil indica que abaixo existem 50% da distribuicao,logo, acima estao os outros 50% dos dados.

I Observe que Q2 = mediana.

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Como calcular os quartis?

I O metodo mais pratico e utilizar o princıpio do calculo da me-diana para os 3 quartis.

I Exemplo 1: Considere novamente os dados relativos as idades(em anos) de onze pessoas. Vamos determinar os quartis.

I Ordenando os valores, tem-se:

10 11 12 15 16 17 17 18 20 21 27

I Vimos que a mediana e igual 17 anos, que sera igual a Q2.

I Temos agora {10, 11, 12, 15, 16} e {17, 18, 20, 21, 27} como sen-do os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana(Q2).

I Para o calculo do Q1 e Q3 basta calcular as medianas das partesiguais provenientes da mediana. Portanto, temos que Q1 = 12e Q3 = 20.

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Decis

I Precisamos de 9 decis para dividirmos a base de dados em 10partes iguais.

I Sao representados por D1,D2,D3, ... e D9.

I O 1o decil (D1) de um conjunto de dados informa que abaixoestao localizados 10% dos dados e, assim sendo, acima estaoos 90% restantes.

I Os outros decis sao interpretados de forma semelhante.

I Observe que o 5o decil (D5) e igual ao valor mediano (Md).

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Precentis ou centis

I Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa enove valores que separam uma serie em 100 partes iguais.

I Indicamos por P1,P2, ...,P99.

I E evidente que P50 = Md , P25 = Q1 e P75 = Q3.

I O calculo dos percentis segue a mesma tecnica do calculo damediana.

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Medidas de Variabilidade

I Medidas de tendencia central sao descritores insuficientes deuma amostra.

I Sao necessarias medidas que reflitam a variacao dentro de umconjunto de dados (medidas de variabilidade).

I Essas medidas serao pequenas se os dados forem proximos egrandes se eles estiverem muito espalhados.

I Alem disso, tais medidas devem permitir comparar amostrasde diferentes tamanhos e determinar se uma amostra e maisvariavel (ou heterogenea) que a outra.

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Medidas de Variabilidade

I Amplitude Total

I Variancia e desvio padrao

I Coeficiente de variacao

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Amplitude total

I E a diferenca entre o maior e o menor valor observado. Isto e,

At = maior valor observado − menor valor observado

I Vantagem: facil de ser calculada.

I Inconveniente: muito afetada pelos valores extremos, porqueno seu calculo nao sao consideradas todas as observacoes.

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Variancia

I E um indicativo da dispersao de um conjunto de dados emrelacao a media.

I A variancia populacional e denotada por σ2. Usualmente σ2 edesconhecida.

I A variancia amostral e denotada por S2, sendo obtida da seguinteforma:

S2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n − 1=

n∑i=1

x2i − nx2

n − 1

I Desvantagem: nao e expressa na unidade de medida dos dadosoriginais. Por exemplo, caso estejamos avaliando com o pesocorporal de indivıduos, tomados em kg, a variancia destes pesose expressa em kg2.

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Desvio padrao

I Corresponde a raiz quadrada da variancia, tendo portanto amesma unidade da variavel que esta sendo estudada.

I O desvio padrao sera denotado por S .

I E a medida mais usada na comparacao de diferencas entre gru-pos.

I Fornece um numero que permite especificar quao acima ou quaoabaixo da media esta um determinado valor.

I Quanto maior o desvio-padrao, maior a variabilidade dos dados.

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Coeficiente de variacao

I Avalia a homogeneidade dos dados

I Vantagem: caracteriza a dispersao dos dados em termos rela-tivos a seu valor medio.

I Quanto menor o valor, mais homogeneo sera o conjunto dedados.

I o Coeficiente de variacao (CV) e dado por:

CV =S

X

I Como o CV e uma medida que exprime a variabilidade relativaa media, algumas vezes, o CV e ainda multiplicado por 100,passando a ser expresso como percentagem.

I Para efeitos praticos, costuma-se considerar que o CV supe-rior a 50% indica alto grau de dispersao e, consequentemente,pequena representatividade da media.

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Medidas de assimetria

I A assimetria e o quanto a distribuicao de frequencia se desviaou afasta da posicao simetrica.

I Podemos caracterizar as distribuicoes de frequencia em:

X Assimetria nula ou simetrica (x = Md = Mo)X Assimetrica a direita ou positiva (x > Md > Mo).X Assimetrica a esquerda ou negativa (x < Md < Mo)

I O grau de assimetria de uma distribuicao de frequencias podeser calculado pelo:

X Coeficiente de assimetria de PearsonX Coeficiente quartil de assimetria

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Coeficiente de Assimetria de Pearson

I Coeficiente de Pearson (AS)

AS =3(x −Md)

S

I Interpretacao:

X Se AS = 0, a distribuicao e simetrica.

X Se AS > 0, a distribuicao e assimetrica positiva.

X Se AS < 0, a distribuicao e assimetrica negativa.

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Coeficiente quartil de assimetria

I Util quando nao for possıvel empregar o desvio-padrao comomedida de dispersao.

I Coeficiente quartil de assimetria (EQ)

EQ =Q3 − 2Md + Q1

Q3 − Q1

I O coeficiente quartil de assimetria assume valores entre −1 e+1.

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Utilizacao das medidas de tendencia central

a) Escolha da media:

i) quando a distribuicao dos dados e aproximadamente simetrica;ii) quando for necessario obter posteriormente outros parametros

que podem depender da media, como por exemplo a variancia,o desvio padrao, etc.

b) Escolha da mediana

i) quando ha valores extremos;ii) quando desejamos conhecer o ponto central da distribuicao;iii) quando a distribuicao dos dados e muito assimetrica.

c) Escolha da moda

i) quando a medida de interesse e o ponto mais tıpico ou populardos dados;

ii) quando precisamos apenas de uma rapida ideia sobre a tendenciacentral dos dados.

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