BIOMECÁNICA.

MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS.• Las mediciones físicas se hacen

desde un punto de referencia(0); que es el origen de unconjunto de ejesperpendiculares entre sí,llamado sistema cartesiano.

• El desplazamiento desde elorigen (S), de una partícula, estanto su distancia del origen (0)como su dirección. Encoordenadas rectangulares(coordenadas cartesianas) ladirección S se especifica dandosu dirección (componente) a lolargo de c/u de sus ejes x, y y z.Usando el teorema de Pitágorasla magnitud está dada por:

S = √ Sx2 + Sy2 + Sz2.

Móv. de partículas …..

• La dirección de S respecto a c/uno de sus ejesx, y y z, está dado por sus ángulos; así:

La dirección de S respecto a z, está dado por elángulo γ → Sz = S.cosγ.

La dirección de S respecto del eje x, será:Sx = S.cosα.

La dirección de S respecto del eje y, será:Sy = S.cosβ.

Las cantidades cosα, cosβ y cosγ, se llamancosenos directrices.

Mov. de partículas …..

• Para el desplazamientoen dos dimensiones seutilizan las componentesSx y Sy y la dirección seda por un ángulo (θ)

Sx = S. cosθSy = S. Senθ

S = √ Sx2 + Sy2.

Mov. de partículas ….

• RAPIDEZ: es la longitud total de la trayectoriarecorrida por unidad de tiempo, sin importar ladirección. Ejm.: 50 km/h.

• VELOCIDAD: es el desplazamiento por unidadde tiempo, indicando la dirección. Ejm.: 50 km/hhacia el norte. Una velocidad constante implicano solo rapidez constante, sino tambiéndirección constante (V).

V = S / t.

VECTORES• CANTIDAD VECTORIAL: es aquella cuya medida se

determina por medio de una magnitud y una dirección.Ejm.: una velocidad de 30 m/s. hacia el norte.

• CANTIDAD ESCALAR: tiene únicamente magnitud.Ejm.: una masa de 2,2 Kg.

• VECTOR: es un segmento de línea cuya longitudrepresenta, a escala, la magnitud de la cantidadvectorial y cuya dirección indica la dirección de esacantidad.

• RESULTANTE: es aquella cantidad vectorial que por sísola representa o reproduce dos o más cantidadesvectoriales.

• COMPONENTES: las componentes rectangulares de unvector son sus proyecciones sobre un conjunto de ejesrectangulares.

Componentes rectangulares.X = R. Cosθ.Y = R. Senθ.

La suma de dos vectores es otro vector,a+b=c. La suma de componentes nosproporciona un método analítico parasumar vectores. La componente x de lasuma d de varios vectores es la sumaalgebraica de las componentes x delos vectores individuales:dx = ax + bx + cx, igualmente para las

componentes y:dy = ay + by+ cy. Si los vectores están

en el plano xy, la magnitud de la sumad (la resultante) puede calcularse:d =√ dx

2 + dy2..El ángulo θ que forma d

con el eje x está determinado por:tgθ = dy / dx.

SUMA DE COMPONENTES. Ejm.

• Encuentre laResultante R de undesplazamiento Pde 3 m en ladirección positivadel eje x y de undesplazamiento Qde 5 m que formaun ángulo de 30ºcon el eje x, comose muestra en lafigura.

PRODUCTO ESCALAR.

• a) dos vectores dibujadosdesde un punto departida común paradefinir su productoescalar A . B = A.B.cosθ.

• b) B.cosθ es lacomponente de B en ladirección de A, y A . B esel producto de lamagnitud de A y estacomponente.

• c) A . B también es elproducto de la magnitudde B y la componente deA en la dirección de B

VELOCIDAD RELATIVA.

Es la suma vectorial de lasvelocidades. Ejm: unsurfer.

Vso + Vot = Vst

Vso = velocidad horizontal.Vot = velocidad hacia la

orilla.Vst = velocidad respecto a

tierra.Otro ejemplo es el

desplazamiento de losaviones.

MOV. UNIFORMEMENTE ACELERADO.• Es común en los experimentos físicos, o en la vida diaria, que las

partículas o los cuerpos, experimenten cambios en la velocidad, tantoen magnitud (rapidez) como en dirección.

• Aceleración. Es la rapidez de cambio de la velocidad con el tiempo, yse denota:

a = ∆V / ∆t. (1)

La aceleración es una cantidad vectorial pues tiene magnitud y dirección.Las unidades están dadas por velocidad dividida por tiempo.

Mov. Uniformemente acelerado. Es en el cual la dirección de laaceleración permanece paralela a la dirección del movimiento inicial yla rapoidez cambia uniformemente. Como los cálculos involucransolamente cambios en magnitud, omitiremos la notación vectorial.Llamando positiva la aceleración cuando la rapidez aumenta ynegativa si disminuye.

Mov. Uniformemente acelerado……

• Como: ∆V = V1 – Vo. Siendo :V1 = velocidad final.Vo = velocidad inicial.

La ecuación puede escribirse:V1 – Vo = at. (2)

Lo cual quiere decir que el cambio develocidad es igual a la rapidez decambio de la velocidad(aceleración) multiplicada por elintervalo de tiempo t que empleapara cambiar.

Cuando la rapidez cambiauniformemente, la velocidadmedia (Vm) es igual al promediode la rapidez final y la rapidezinicial.

Vm = Vo + V1 / 2 (3)

• La distancia recorrida durantecualquier intervalo de tiempo estádado por:

S = V . tUsando la ec. (3) para V y sustituyendo V1

de acuerdo a la ec. (2), obtenemos:

S = Vo + V1 = Vo + at + Vot 2 2

S / t = 2 Vo + at / 2

S = 2 Vo t + a t2 / 2 = 2 Vo t / 2 + a t2 / 2

S = Vo t + (1/2) a t2 (4)

Mov. Uniformemente acelerado ….

• Utilizando las ec. V = S / t y (2) y (3) para eliminar V y t obtenemos:

S = V1 + Vo → S = V1 + Vot 2 V1 -Vo 2

a

as = V1 + Vo → 2as = (V1 + Vo)(V1 – Vo)V1-Vo 2

2as = V12 – Vo2

V12 = Vo2 + 2as. (5)

Las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) se conocen a menudo como “ecuaciones para elmovimiento rectilíneo uniformemente acelerado”, pues se aplican únicamentecuando la aceleración es constante en una dirección.

CAIDA DE UN CUERPO (CAIDA LIBRE).

• Un cuerpo en caída libre es aquel sobre el cual noactúan fuerzas distintas a la de su propio peso (es decirla gravedad). La aceleración de un cuerpo en caídalibre, a nivel del mar es aproximadamente:

• g = 9.8 m /s = 32 pies / s.• Los cuerpos que usualmente vemos caer, no lo hacen

en caída libre, sufren la resistencia del aire. Como laresistencia a su movimiento crece a medida queaumenta la rapidez del aire, la aceleración deja de seruniforme.

• Velocidad límite. Es la velocidad constante que alcanzaun cuerpo, cuando su peso es equilibrado por laresistencia del aire, Ejm.: una pluma, el polvo, unhombre que salta de un avión.

MOVIMIENTODE PROYECTILES.• Cualquier proyectil lanzado

horizontalmente desde una superficieelevada, sigue una trayectoria curvapor la combinación de la aceleraciónde la gravedad hacia abajo, con elmovimiento horizontal inicial.

• La trayectoria puede determinarse delas ecuaciones para el movimientorectilíneo uniformemente acelerado,junto con la suma vectorial de lasvelocidades en la dirección vertical yhorizontal.

• Al comenzar el movimiento lavelocidad V es igual a Vx, lacomponente horizontal.

• Durante el movimiento: V = Vx + Vy,una suma vectorial.

• Si suponemos que no hay resistenciadel aire, Vx permanece constante,mientras Vy aumenta de acuerdo conlas ecuaciones (2), (3), (4), y (5),produciendo una trayectoria curvadahacia abajo.

Mov. De proyectiles …..

• Una rana, para escapar desus depredadores (halcón),debe saltar rápidamente ytan lejos como pueda,escogiendo la posibilidadde máximo alcance.

• Observamos que si su saltoes muy bajo (curva B) omuy alto (curva A) nollegará muy lejos. Pero sisu velocidad inicial Voforma un ángulo de 45ºcon la horizontal (curvaC), logrará el máximoalcance.

Salto de la rana.

• Para analizar este mov. Utilizamos lascomponentes vertical y horizontal de Vo en lasecuaciones para el mov. Rectilíneouniformemente acelerado . La componentevertical de la velocidad inicial Vo es Vo.senθ, asíque la distancia vertical según la ec. (4), estádada por:

y = (Vo.senθ)t – (1/2)gt2.

Donde consideramos negativo el mov. Hacia abajo yla aceleración es –g. El desplazamiento verticalhacia arriba y hacia abajo, es cero para el saltototal, de manera que y=0, la ec. Se convierte en:

(Vo.senθ) t = (1/2) g.t2.

Luego:t = 2Vo.senθ

g

Donde “t” es el tiempo total que permanece en el aire,subiendo y bajando.

Salto de la rana …..La componente horizontal de la velocidad inicial es (Vo.cosθ), luego la distancia

horizontal está dada también por la ec. (4), con a = 0 pues no hay aceleraciónhorizontal:

X = (Vo.cosθ) t

El valor de x para t, duración del salto completo, es el alcance R. Sustituyendo t de la ec.Anterior obtenemos:

R = (Vo.cosθ) 2Vo.senθg

Que con sen2θ = 2 senθ.cosθ, se reduce a:

R = Vo2 sen 2θg

El valor de R es máximo si escogemos θ = 45º de tal forma que sen 2θ = sen 90º = 1

R = Vo2

g

LEYES DELMOVIMIENTO DE NEWTON.

• SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL. La frase “enreposo” es muy ambigua, porque un objeto puede estaren reposo en un sistema, mientras que se estámoviendo en otro. Por ejm., un hombre sentado en unavión está en reposo con respecto al avión, pero se estámoviendo a 600 millas/h con respecto a la tierra. Elavión y la Tierra son dos sistemas de referenciadistintos, respecto a los cuales se puede describir elmovimiento del hombre.

• Definición.- Un sistema de referencia inercial es unsistema de referencia en el cual es válida la primera leyde Newton.

• Principio: “Cualquier sistema de referencia, que se estámoviendo uniformemente con respecto a un sistemainercial, es él mismo un sistema de referencia inercial”.

Primera ley de Newton.

• Un cuerpo permanece en su estado de reposo o demovimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerzaneta que actúe sobre él le obligue a cambiar.

• Primera ley de Newton del movimiento (enunciadocompleto). Para que un objeto permanezca en reposo ose mueva uniformemente con relación a un sistema dereferencia inercial, es necesario que el vector suma detodas las fuerzas que actúan sobre el objeto sea nulo.

• La primera ley del movimiento es válida, por definición,en todos los sistemas de referencia inerciales.

• Principio de la relatividad (restringida): Todas las leyesde la física son ciertas en todos los sistemas dereferencia inerciales.

Conceptos de masa y fuerza: 2da. Ley de Newton.• El concepto de masa es utilizado como una medida de la inercia.

Masa ≡ cantidad de materia de un cuerpoLa medición de la masa se hace mediante comparación con un kilogramo (Kg)

patrón de medida.La masa de un cuerpo es proporcional pero no igual a su peso.Cuanto mayor sea la masa, menor la aceleración resultante.

SEGUNDA LEY DE NEWTON: siempre que una fuerza neta actúe sobre uncuerpo, producirá una aceleración en la dirección de la fuerza proporcionala la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa delcuerpo.

a = F / m ó F = m.a (1)

Como el peso (W) de un cuerpo en la Tierra es la fuerza que resulta de laatracción gravitacional (g), la ecuación anterior queda convertida en:

W = m.g y m = W / g (2)

Notemos que el valor de g es diferente en la Luna, de modo que el peso esmenor.

Ejm: ¿qué fuerza debe aplicarse a una masa de 70 Kg para darle unaaceleración de 4,50 m/s2, a) horizontalmente y b) verticalmente haciaarriba?.

• a) De la ec. (1)

F = m.a = (70,0 Kg.)(4,50 m/s2) = 315 N.

b) De la parte (a),Faplicada = Fneta + Fgravedad.

Fneta = 315 N.

Fgravedad = m.g = (70,0 Kg.)(9,8 m/s2) = 686 N

Faplicada = 315 N + 686 N = 1001 N hacia arriba.

Tercera ley del movimiento de Newton.• Para toda fuerza ejercida por un cuerpo A sobre un cuerpo B, hay una

fuerza de igual magnitud y dirección opuesta, ejercida por el cuerpo Bsobre el cuerpo A.

• Fricción: es una fuerza tangencial que está presente entre dossuperficies de contacto y que se opone al desplazamiento de uno conrespecto del otro.

• Cuando el cuerpo está en reposo y sobre un plano horizontal, la fuerzaque soporta todo el peso se llama Normal que es perpendicular a lasuperficie.

• Para superficies ásperas, cualquiera sea la dirección del movimiento seoponen a él fuerzas de fricción y se encuentra experimentalmente queson proporcionales a la fuerza Normal (N) que aparece en la superficiede contacto. Convirtiendo la proporcionalidad en una igualdad tenemos:

f = µ.NDonde µ es el coeficiente de fricciónµk : coeficiente de fricción cinética, cuando hay desplazamiento.

µs : coeficiente de fricción estática, par cuerpos en reposo.

Momentum, Impulso, “fuerzas g”.

• La segunda ley de Newton es muy útil para estudiar losefectos de las colisiones de pequeña duración(choques), partiendo de:

F = m.a = m ∆v/∆t = ∆(mv)/∆tDonde ∆ quiere decir “un pequeño cambio en”. El producto

(mv) se llama momentum líneal P, y es una cantidadvectorial. La segunda ley de Newton puede expresarseentonces:F = ∆P/∆t.

Que nos dice que la fuerza neta F que actúa sobre unobjeto es igual a la rapidez de cambio de su momentumcon el tiempo. Al producto F∆t se llama impulso y en élse supone que ∆t es un intervalo pequeño de tiempo(∆t< 1 s), así que F se refiere a una fuerza promedioejercida durante ese intervalo.

Fuerzas g.• Son las fuerzas originadas por aceleraciones y desaceleraciones súbitas.

Ejm: la expulsión de un piloto de un caza a reacción, un payaso disparadodesde un cañon.

• Las fuerzas que aparecen en situaciones como estas se llaman “fuerzas g”,y se dan en términos de múltiplos de g, la aceleración de la gravedad.

• Las fuerzas g son peligrosas porque aumentan el peso efectivo de lasangre y los órganos del cuerpo hasta W = gW, donde g es el número degravedades.

• Los órganos que sufren fuerzas g pueden dejar de funcionar. Para unaaceleración en la dirección cabeza-pies (sostenida por un periodo corto), sesiente dificultad para utilizar los músculos a las 3 o 4g. A 5g se detiene larespiración y se hace imposible el movimiento del cuerpo; entre 6g a 9g secongestionan los pulmones, se pierde la visión y se pierde el sentido, estapérdida se debe a la ausencia de irrigación al cerebro pues la sangre esdemasiada pesada para que el corazón pueda bombearla.

• Durante período de tiempo muy corto una persona pude soportar fuerzasde hasta 30g sin sufrir lesiones siempre y cuando esté de frente en ladirección de la aceleración y tenga un buen apoyo en la espalda.

• En un automóvil, la desaceleración se logra con un cinturón de seguridad,los cuales constituyen apenas el 20% de lo que en la aceleración haciadelante llamamos buen apoyo en la espalda.

• Puede estimarse de aquí que el límite de la aceleración soportable en unchoque automovilístico es de 0,2 x 30g = 6g.

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA.

• El equilibrio mecánico en general significa queno hay aceleración neta; sin embargo, tambiénestá en equilibrio un objeto que está enmovimiento rectilíneo con velocidad constante,pues su aceleración es cero.

∑F = 0• Esto implica que ∑ de los componentes Fx, Fy y

Fz es cero ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0 ).

Ejm: Una araña de 0,5 g pende de su hilo al borde de un tejado. Al soplar el vientohorizontalmente el hilo se mantiene formando un ángulo de 30° con la vertical. Halle lafuerza del viento y la tensión del hilo.

• ∑F = 0.• La tensión T, el peso W y la fuerza del viento

F se combinan entre sí para producir elequilibrio.

• F = T sen30°• W = T cos30°• tan30° = F/W• F = W . Tan30°• F = 0,5 x 9,8 x 10-3 x 0,577 = 2,83 x 10-3 N• Usando T = F/ sen30° = 2.83 x 10-3 / 0,5 =

5,66 x 10-3 N

TORQUE, EQUILIBRIO ROTACIONAL YFUERZA MUSCULAR.

• Si las dos fuerzas que semuestran actuando sobre elbloque, son de igual magnitud,no habrá aceleración neta y elbloque no se deslizará ni haciadelante ni hacia atrás; sinembargo, probablementerotará alrededor de un eje.

• La rotación de un cuerpoalrededor de un eje, involucrala especificación de un eje derotación y la localización de lasfuerzas respecto a él.

TORQUE.

• El factor que determina elefecto de una fuerza dada enel movimiento rotacional es subrazo de momento (brazo depalanca), definido como ladistancia perpendicular desdeel eje de rotación hasta lalínea de acción de la fuerza.En la figura el brazo demomento de F1 es la distanciaOB y el de F2 es la distanciaOA.

Torque…• Dado un eje de rotación el torque T alrededor de este

eje se define como el producto cruz entre los vectores.T = r . F

• Donde “r” es un vector posición desde el eje de rotaciónhasta el punto de aplicación de la fuerza F. Lasunidades para el torque son N-m, el torque es unaunidad vectorial.

• La ecuación es un producto vectorial: C = AxB, el cualda un vector C de magnitud: AB senθ

Ejm: Encuentre el torque ejercido alrededor de la articulación de larodilla por el peso de 25 lb en la posición de ejercicio que se muestraen la figura.

• T = r. Fsenθ=18/12 x 25 x sen 20°.

• T = 1,5 x 25 x 0,342= 12,82 pie-lb.

Cuando una persona realiza el ejerciciomostrado en el ejm. Sostiene lapierna en posiciones que hacendiferentes ángulos con la vertical pormedio del esfuerzo muscular quecontrarresta el torque calculado. Portanto, no hay torque neto y la piernaestá en equilibrio rotacional.

CENTRO DE GRAVEDAD• Si un cuerpo extenso apoyado en un solo punto se mantiene en

equilibrio, se puede considerar que el peso total de él actúa en esepunto. A este punto se le llama entonces centro de gravedad.Cualquier cuerpo apoyado en su centro de gravedad está enequilibrio y no cambiará su posición ni rotará. No hay torque netoalrededor del centro de gravedad para un cuerpo en equilibrio.

• Es fácil localizar la posición del centro de gravedad en cuerposuniformes de formas simples, como esferas o cubos; se encuentranprecisamente en su centro geométrico, pero puede ser dificil paraobjetos de forma irregular. Para un sistema compuesto de objetossimples el centro de gravedad puede localizarse utilizando lacondición de equilibrio:

∑Tc = 0.Donde Tc, es el torque alrededor de un eje que pasa por el centro de

gravedad.

Centro de gravedad…• No siempre el centro de gravedad de un cuerpo

queda dentro de él. El centro de gravedad deuna pierna o de un brazo depende de laposición relativa de sus partes y para posicionesde flexión puede quedar fuera del miembro.Para cualquier articulación de solo dos partes, elcentro de gravedad queda sobre la línea queune el centro de gravedad de cada una de ellas.

• El centro de gravedad es un conceptoimportante en terapia física, cuando se lastimaun muslo, una pierna o una cadera,desplazamos nuestro peso, cambiando deposición, de tal manera que el torque netoalrededor del centro de gravedad sea cero.

• Para una persona que está de pie, el centro degravedad está localizado en la región pélvica,anterior a la segunda vertebra sacra.

Ejm: Encuentre el desplazamiento necesario de la posición del centro degravedad de un hombre de 180 lb que está de pie, para llevar una carga W de35 lb, en la forma que aparece en la figura. ¿ Cómo se logra normalmente estedesplazamiento en la práctica?.

• El torque adicional causado por el peso Westá dado por

• T = W x 14 = 35 x 14 = 490 lb-pulg.• Este debe compensarse por un contratorque

dado por F.x, donde F es el peso del hombrey x es el brazo de palanca necesario:

• 180 . X = 490• X = 2,72 pulg.hacia el lado opuesto del peso de 35 lb. En la

práctica, uno levanta el brazo que seencuentra libre hasta una posición horizontaly luego dobla el tronco para mantener elequilibrio.