Bisectrices de un Cuadrilátero - Matemática I - Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar

Narrativa de un Problema II:

Análisis Didáctico del Problema y

perspectivas de Trabajo.

Bisectrices de un Cuadrilátero.

Especialización Docente de Nivel

Superior en Educación y TIC.

Propuesta Educativa Matemática I.

Tutora: Prof. Expósito, Sandra.

2013

Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar. [email protected]


Prof. Dipl. Lencioni, Gustavo Omar.

Especialización Docente de Nivel Superior en Educación y TIC – Matemática I: 2

NNaarrrraattiivvaa ddee uunn PPrroobblleemmaa IIII..

AAnnáá ll iiss iiss ddee ll pprroobb lleemmaa ..

Nuevamente nos encontramos con una consigna “del i beradamente ab ie r ta ” ,

se observa un camino accesib l e para que se fo rmen d i s ími l es i n te rp retac i ones en

donde l os a l umnos deben di sgregar l a v i sual i zaci ón , l l egando a conclusiones sobre

l a re l aci ón en t re un cuadr i l á tero y aque l que se fo rma en base a l as b i sec t r i ces de

l os ángu los i n te r i o res del p r imero , i den t i f i cando fo rmas geo mét r i cas , ana l i zando

sus es t ruc turas , ca racte r ís t i cas , p ropiedades y re l aci ones para en tender y

descr i b i r a rgumentos convincen tes re l ac i onados con re l aci ones en tre ángulos

usando mode los y esbozos que se pueden dar con de l a tecnolog ía .

Es un p roblema que accederá a l a aprehens ión de est ra teg ias de resoluc i ón

y fo rmas de pensar l a geomet r ía , porque apunta a l a cons trucci ón de esquemas de

i n terp retaci ón y acci ón, dada l a posib i l i dades que presen tan l os d i s imi les t i pos de

cuadr i l á teros , permi t i endo así l a o rgani zac ión , e l anál i s i s , l a eva luación e

i n tegración de i deas usando el l engua je mate má t i co para expresarse con p reci s i ón ,

coherencia y c l a r i dad , sumin i s t rando un a mpl io campo para i n i c i ar l as re f l exi ones

acerca de lo que si gni f i can y apor tan es tas f i guras geomét r i cas .

Lo “es tá t i co ” de l a f i gu ra p resen tada en e l p roblema, l uego de l a consign a,

imp l i có l a i n te rvención de una ser i e p reguntas competen temente y necesar iamente

ab ier tas para que den l ugar a l deba te e i n te rcambio de i deas. Se c ree que e l g rado

de fo rmu lac i ón que se d i o sobre es tas p reguntas se encuent ra en que los a l umnos

t i enen que tomar dec i s iones es tra tég i cas al anal i zar l o que van a hacer y /o l o que

van a responder. Es por e l l o , que la ac t i v i dad no o f rece más i n fo rmac ión de l a que

se necesi ta para resol ver la , s i b i en hay una o r ien taci ón o un es t ímu lo indagator i o ,

no se proporc iona una def in i c ión p ropiamente di cha , se podr ía pensar que

p r imord ia lmente se espera que cada al umno, a l hacer l as i n te rvenciones que l e

parezcan convenien tes , l as o rgani ce y ponga en juego est ra tegias para su

resoluci ón a t ravés de l a exper imen tac ión que el mi smo rea l i za. Aqu í e l apoyo de

l as tecnolog ías resu l ta ser un sopor te par t i cul a r para p rovocar la percepción y

re f l exi ones imper i osas que conduzcan cada uno de l os esquemas y sus

t rans fo rmac iones que aparezcan .

Es to permi te nuevamente , a l i gua l que en la Nar rat i va I , vol car l a mi rada

sobre “un hacer mate mát i co ” donde d i s t i n tos recursos accedan a resol ver o ayudar

a so l venta r l os requer imien tos de l a ac t i v i dad y no a imponerse ; es por e l l o que se

p resen ta un exi guo pl an teamien to que permi t i r ía u na puesta en común y debate

ten iendo como ob je t i vo “enseñar Matemát i ca ” y es al l í donde es tá l a r i queza .




NNaarrrraa tt ii vvaa ..

Preguntas or ientadoras:

¿Siempre queda dete rminado un cuadr i l á te ro con l a i n tersección de l as

b i sec tr i ces?

¿Qué carac te r íst i cas t i ene el cuadr i l á tero que de terminan l as b i sec t r i ces de l os

ángulos i nte r i o res (e l de color ro jo ) cuando el ABCD es un cuadrado, rombo,

t rapecio , e tc .?

La i n te rsección de l as b i sec t r i ces ¿s iempre de te rminan un pol ígono que es tá

i ncl u i do en el ABCD? ¿En qué caso s? ¿Puede ser exte r i o r?

De l a f i gu ra podemos ver que e l cuadr i l á tero que de te rminaron l as b isec t r i ces

t i ene menor á rea que el ABCD. ¿Esto s i empre ocurre as í? ¿Es posib l e que

tenga área mayor? ¿ Igual? ¿Menor? ¿En qué casos se dar ía? Es to es , ¿qué

carac te r ís t i cas t iene el ABCD cuando el cuadr i l á te ro que de te rminan l as

b i sec tr i ces de sus ángulos i n te r io res t i ene á rea menor , i gual o mayor a é l ?

S i e l cuadr i l á te ro que de terminan l as b i sec tr i ces es un cuadrado ¿qué

carac te r íst i cas t i ene el ABCD? ¿Y s i es un rec t ángulo? ¿Y s i es un t rapec io?

¿Y s i es un paral e l ogramo?

1 . A l mo mento de l eer e l p roblema , se h i c i e ron p resen tes var i as cues t i ones y

de f in i c iones ya concebidas y tomé como punto de par t ida el p r imer cuadr i lá te ro

que imagené en mi cabeza , e l rec tángulo y además t raba ja r con é l en

GeoGebra , sabiendo que l uego podía t ransfo rmar ese rectángulo en cua lquie r

t i po de cuadr i l á tero con ayu da de este so f t ;

2 . Inmed ia tamente busqué un concepto re l aci onado al p roced imien to que es taba

real i zando: e l “b i sec tograma”

““UU NN BB II SS EE CC TT OO GG RR AAMM AA EE SS UU NN CC UU AA DD RR II LL ÁÁ TT EE RR OO FF OO RR MM AA DD OO PP OO RR LL AASS

BB II SS EE CC TT RR II CC EE SS DD EE LL OO SS ÁÁ NN GG UU LL OO SS DD EE UU NN CC UU AA DD RR II LL ÁÁ TT EE RR OO ”” ..

( G e o m e t r í a . C l e m e n s , e t a l . A d d i s o n W e s le y L o ng m a n P e a r so n)

3. Lo p r imero que hi ce fue t raba ja r con l ápi z y papel sobre un esquema

rec tangula r c l a r i f i cando l a d i fe renciaci ón en t re l as d i agonales del rectángulo ,

con respecto a l as b i sec t r i ces del l os ángulos i n ternos de di cho rec tángu lo .




4. Es impor tan te que es to se acl are , por más que no se co meta e l e rror , sobre

todo para despe ja r cua lquie r t i po de duda y o con fus i ón que pudiera aparecer a

pos te r i o r i ;

5 . Gra f i qué en GeoGebra e l rec tángu lo y rea l i ce l as b i sec tr i ces de sus ángulos ,

s i empre ten iendo en cuenta l as med idas que aparecen el p roceso al gebra i co , lo

i n teresan te que también op té por de ja r l a cuadr ícul a como re fe rencia a es tos

t i pos especia les de cuadr i l á teros (heur ís t i ca : anal i zar casos par t i cul ares para

buscar regula r i dades y poder as í general i za r) ;

6 . Pude observar que l a f igu ra que se fo rma, a l t razar l as b i sec t r i ces de cada

ángulo del rec tángulo , es un cuadrado y a med ida que fu i cambiando l as

med idas de los l ados del rec tángu lo , la f i gu ra fo rmada por sus b isec t r i ces

segu ía si endo un cuadrado ;

7 . Co mencé a mover l os pun tos del rec tángulo para fo rmar o t ros y observe que , e l

cuadrado fo rmado, en al gunos rec tángulos no es tá i ncl u i do , en su tota l i dad ,

den t ro de l a f i gura , como se muest ra a con t i nuac i ón ;




8 . Se puede observar con GeoGebra , que al mover un pun to , l as propiedades se

s i guen conservando, es deci r , que ABCD s i gue s i endo un rec tángulo y las

rec tas , l as b i sec tr i ces de l os ángu los i n ternos . Lo mismo sucede s i se mueve

o t ro vér t i ce del rec tángu lo .

9 . Y ade más, que a med ida que el rec tángulo va “ reduciendo” su área , e l cuadrado

aumenta su á rea , es to se observa a l a hora de hacer e l desplazamien to de

pun tos en l a v i s ta a lgebrai ca , has ta l l egar a ser mayor l a ú l t ima á rea

(cuadrado) que la p r imera á rea ( rec tángulo ) , he aqu í l a impor tanc ia del

so f tware como as i s ten te en la cons trucc ión de conocimien tos ;

10 . Aqu í se t i ene l a opor tunidad de mover dos pun tos para ver qué propiedad de

l as b i sec t r i ces de l os ángulos in te r io res se cumple para todos los rec tángulos .

S i b i en se par te de una ver i f i caci ón y NO una demost rac i ón , se pude u t i l i za r l as

her ramien tas de med i ci ón para ver l a med ida de l a longi tud de l os l ados y l os




ángulos de l a f i gura que se fo rma , co mo as í ta mb ién ver i f i ca r que l as

b i sec tr i ces de los ángulos in te rnos de un rec tángulo fo rman un cuadrado ;

11 . Aqu í me an imar ía a p l an tear desde la ver i f i caci ón que :

““EE LL BB II SS EE CC TT OO GG RR AAMM AA DD EE UU NN RR EE CC TT ÁÁ NN GG UU LL OO EE SS UU NN CC UU AA DD RR AA DD OO ”” ..

12 . Ahora b ien , una pequeña i dea de demost rac i ón de la con je tu ra an te r i or sobre

l as b i sect r i ces de l os ángu los i n ter io res un rec tángulo ;

13 . Se puede obse rvar que los t r i ángulos A ED y BHC son i sósceles y rec tángu los y

además son congruen tes . De i gual manera , l os t r i ángulos AGB y DEC son

i sósceles y rec tángulos y además son congruen tes . Por l as p ropiedades de la

subs t racci ón se ob t i ene que l os segmentos EF , EH, HG y FG son congruen tes.

Co mo l os t r i ángulos AED, BHC, AGB y DEC son rec tángulos , l os ángulos

i n ternos del cuadr i lá te ro EFGH son rec tos . Por tan to , EFGH es un cuadrado ;

14 . Lo i n te resan te de es ta ac t i v i dad y de l a ayuda del so f t , es que la “d iscus ión”

puede con t i nuar con un rec tá ngulo muy espec ia l , e l cuadrado y observar que

ocur re con l as b i sec tr i ces de los cuadrados.

15 . Opte por segui r cons truyendo i n f i n i dades de cuadrados y observar que como

pa t rón , l as b i sec tr i ces de l os ángulos de l cuadrado en es te caso co inci den con

sus d i agonales (p ropiedad: cada una de l as d i agonales del cuadrado es

b i sec tr i z de los ángu los i n ter io res opuestos , esto es a l t razar ambas d iagonales

se fo rman 8 ángulos de 45º) y que la in te rsección de di chas b i sec t r i ces fo rman

un pun to , es dec i r , que un cuadrado es un cuadr i l áte ro cuyas b i sec tr i ces de

ángulos i n ternos se in te rsecan en un so lo pun to . ¿será el úni co?




16. También , s imi l ar a l rec tángu lo se puede pl an tar una demost rac i ón de e l l o a

par t i r de los t r i ángulos que quedan fo rmados , por ser un rec tángulo cumple con

l as propiedad es respect i vas ;

17 . Ahora , para responder l a pregunta an te r i o r , voy por un fami l i a r d i rec to del

cuadrado , e l rombo, y p ruebo con l a ayuda del so f t a ver qué ocur re ,

observemos l a imágenes;

18 . A l i gua l que en el cuadrado , se puede segui r cons t ruyendo rombos y observar

que l as d i agonales de él son l as b i sec tr i ces de l os ángulos in te rnos y que e l

pun to B ( i ncen tro ) es l a i n te rsección de ambas b i sec tr i ces , es deci r , que un

rombo es un cuadr i l á tero cuyas bi sec t r i ces de ángulos i n te rnos se i n te rsecan

en un solo pun to . ¿habrá al guno más?

19 . Bueno, lo que se puede hacer es e mpezar a extender pun tos para fo rmar

rombo ides y observar que ocur re tamb ién aqu í , en es te p roceso también con l a

ayuda del so f t se ver i f i có que posee l as mi sma carac te r ís t i cas que el cuadrado

y e l rombo, f ren te a l as b i sec t r i ces , observemos a l gunas imágenes:




20. Resumiendo para es tos t res casos podr ía deci r que :

SS II LL AASS DD II AAGG OO NN AA LL EE SS BB II SS EE CC AA NN LL OO SS ÁÁ NN GG UU LL OO SS EE NN SS UU SS PP UU NN TT OO SS

FF II NN AA LL EE SS (( CC UU AA DD RR AA DD OO ,, RR OO MM BB OO ,, RR OO MM BB OO II DD EE )) NN OO EE XX II SS TT EE

BB II SS EE CC TT OO GG RR AA MM AA,, SS EE FF OO RR MM AA UU NN PP UU NN TT OO ..

21 . ¿Y el paral e l ogramo? Las bi sect r i ces de dos ángulos i n ter i o res de un

paral e l ogramo , se cor tan en ángu los rec tos (Geomet r ía . C lemens, e t a l .

Add i son W es ley Longman Pearson) , t r i ángulos rec tángu los , s e debe a que

ángulos consecu t i vos del paral e l ogramo son con jugados i n te rnos , y cumplen l a

p ropiedad de ser suplementar i os . S i se t raza l as cua t ro b i sec t r ices del

paral e l ogramo ABCD , e l cuadr i l á te ro c reado por los cua t ro pun tos de

i n tersección de es tas l íneas es un rec tá ngulo . Ahora veamos a l gunos

esquemas:

22 . También se puede observar , en al gunas s i tuac iones, que el rec tángulo fo rmado

por l as b i sec t r i ces del paral e l ogramo, puede es ta r tamb ién parc ia lme nte fuera

de es te úl t imo, y ta mb ién es impor tan te marcar de que después de var i as

p ruebas se puede ver i f i ca r que el á rea del rec tángulo a d i ferencia del p r imer

caso v i s to no supera el á rea del par a l e l ogramo;

23 . Puedo es tablecer aqu í es tablecer que :

EE LL BB II SS EE CC TT OO GG RR AA MM AA DD EE UU NN PP AARR AA LL EE LL OO GG RR AAMM OO EE SS UU NN RR EE CC TT ÁÁ NN GG UU LL OO ..

24 . A l segui r mod i f i c ando el cuadr i l á tero me encuent ro con l a f i gura del t rapecio

i sósceles , donde el b i sec tograma da como resul tado en di feren tes t ipos ,

rombo ides c íc l i cos , por que la pare ja de ángulos opuestos , de es tos, suman

180º . Aqu í d i je :

EE LL BB II SS EE CC TT OO GG RR AA MM AA DD EE UU NN TT RR AAPP EE CC II OO II SS ÓÓ CC EE LL EE SS EE SS UU NN RR OO MM BB OO II DD EE

CC ÍÍ CC LL II CC OO

25. Observemos l as f i guras :




26 . Una vez pasado por todos es tos cuadr i l á teros especia les he i r t ra tando de

responder l as preguntas o r i en tadoras , decido observar cuadr i lá te ros más

generales y no tar que ocurre :

27 . Inves t igando un poco en al gunos l ib ros y apuntes del p ro fesorado observe que

e l b i sec tograma de es tos cuadr i l á te ros exi s te y son cuadr i l áte ros c íc l i cos , es

dec i r , en es te úl t imo caso , s i empre queda de terminado un cuadr i l á te ro c íc l i co ,

que es un cuadr i l á te ro en e l que cuyos cua t ro vér t i ces se encuent ran en una

misma c i r cun fe renc ia . Para un cuadr i l á te ro convexo , una condi ci ón necesar i a y

su f i c i ente para que sea c íc l i co es que sus pare jas de ángulos opuestos sumen

180º .

28 . Resumiendo, a rmé una tab la donde se o rgani zan y resumen l os resu l tados

ob tenidos de todas es tas ver i f i caciones , que fu i ob teniendo a l o l argo de es te

aná l i s i s , donde l a pr imera f i l a se encuent ran l os cuadr i l á teros de par t i da y en l a

segunda f i l a e l b i sec tograma :

Rectángulo Cuadrado Rombo Romboide Paralelogramo Trapecio Isósceles

Cuadrilátero

Cuadrado Punto Punto Punto Rectángulo Romboide Cuadrilátero

cíclico.

29. Otra vez , he aqu í l legado, es l a gran p regunta…

CCoonncc lluuss iióónn

Es muy co mún t raba ja r con b i sec t r ices de t r i ángulos y sus p ropiedades, pero aqu í

t raba ja r l as b i sec t r i ces de cuadr i l á teros es “a l go nuevo” y la opor tunidad y

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_convexo

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo




entusiasmo que o f rece l a u t i l i zaci ón de un so f tware , permi ten descubr i r y generar

c reencias an tes de i n ten tar p l an tear una demost rac ión . Es to conl l eva a que se

fac i l i te l a p l ani f i cación y puesta en marcha de una s i tuación problemát ica como por

e je mplo es ta , con sus cor rec tas i n tervenciones, donde l a i nves t i gación y

exp lo raci ón van a tender a ser genu inas, l l evando a l a d i scusión , l a e laboración y

p roducción de propias i deas con y para con l os pares. -

La palabra cl ave que en es ta ac t i v idad aparece como ob je t i vo en su discurso es l a

exp lo raci ón más a l l á de l a demo st raci ón , porque imp l i ca l a con f ron tac ión de

con je tu ras ob tenidas a par t i r de carac te r ís t i cas y conceptos na tos , dados y

abordados. E l docen te debe es ta r aten to a l as “con fusi ones” , se r gu ía y o r i en te en

tan abier ta ac t i v i dad que se p lan tea e impu l sar a sus al umnos en que el

descubr imien to , se r i o , responsable y v i able , por uno mismo es l a me jo r manera de

aprender .

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