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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos con- gruentes. IDEAS CLAVE • ángulos con- gruentes ACTIVIDAD RESUELTA . • Traza la bisectriz del ángulo QOP de la figura 3.72, con regla y compás. SOLUCiÓN: Para trazar la bisectriz del ángulo QOP, utilizando regla y compás, se sigue este proced im iento: 1.° Se traza un arco cualquiera con centro en Oy que corte a los lados en dos puntos, P y Q [figura 3.73]. 2.° Con la medida de OP se dibuja un arco con centro en P y otro con centro en Q, que se corten en el punto M [figura 3.74]. , , Q' -. , ' •. M " , , , o ~ o ,'P :P Figura 3. 73 Figura 3.74 o DESARROLLA -TU~-ENCI~ INTERPRqA 1. MODELACIÓN. Copia el ángulo de la figura 3.76 en tu cuaderno y traza la bisectriz utilizando regla y compás. 35' "'--_-'-- , Figura 3.76 2. MODELACIÓN. Traza las bisectrices de los siguien- • tes ángulos. Utiliza regla y compás. al bl Figura 3.77 cl dI L Figura 3.78 e A/ ,8 K J Figura 3.79 Figura 3.80 PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDICIONES SM Q 3.° Se dibuja la rec- ta r que pasa por M y el vértice del ángulo. Esta rec- ta es la bisectriz del 4QOP [figura 3.75]. • o P Figura 3.72 Q ~, ,V'"j ... ¡'~ , , :P Figura 3.75 ARGUMENTA 3. RAZONAMIENTO. Se traza la bisectriz de un ángu- lo llano. ¿Cuánto miden los ángulos que se forman? PROPONE 4. COMUNICACiÓN. Traza dos rectas secantes que se • corten formando un ángulo de 90° y las bi- sectrices de los cuatro ángulos formados. ¿Cuál es la medida de los ángulos obtenidos? '~""""'.""""""""""""""""""""" . 5. Camilo pidió a Sofía rea- . . .. tizar los siguientes pasos: • Traza una circunferencia y dos diámetros mutuamente perpendiculares. • Traza la bisectriz de cada uno de los ángulos que forman los diámetros perpendiculares. • Marca los puntos de intersección de las bisectrices con la circunferencia. Une los puntos. ¿Qué figura obtuvo Sofía? .
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos con-gruentes.
IDEAS CLAVE
• ángulos con-gruentes
ACTIVIDAD RESUELTA
. • Traza la bisectriz del ángulo QOP de la figura 3.72, con regla y compás.
SOLUCiÓN:Para trazar la bisectriz del ángulo QOP, utilizando regla y compás,se sigue este proced im iento:
1.° Se traza un arcocualquiera concentro en O y quecorte a los ladosen dos puntos, Py Q [figura 3.73].
2.° Con la medida de
OP se dibuja unarco con centroen P y otro concentro en Q, quese corten en elpunto M [figura3.74].
,,
Q' -.,
' •. M
" ,,,
o ~ o,'P :PFigura 3. 73 Figura 3.74
o
DESARROLLA -TU~-ENCI~
INTERPRqA1. MODELACIÓN. Copia el ángulo de la figura 3.76 en
tu cuaderno y traza la bisectriz utilizandoregla y compás.
35'"'--_-'-- , Figura 3.76
2. MODELACIÓN. Traza las bisectrices de los siguien-• tes ángulos. Utiliza regla y compás.
al bl
Figura 3.77
cl dI LFigura 3.78
e
A/ , 8 KJFigura 3.79 Figura 3.80
PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDICIONES SM
Q3.° Se dibuja la rec-
ta r que pasa porM y el vértice delángulo. Esta rec-ta es la bisectrizdel 4QOP [figura3.75].
•o PFigura 3.72
Q ~,,V'"j... ¡'~, ,
:PFigura 3.75
ARGUMENTA3. RAZONAMIENTO. Se traza la bisectriz de un ángu-
lo llano. ¿Cuánto miden los ángulos que seforman?
PROPONE4. COMUNICACiÓN. Traza dos rectas secantes que se• corten formando un ángulo de 90° y las bi-
sectrices de los cuatro ángulos formados.¿Cuál es la medida de los ángulos obtenidos?
'~""""'.""""""""""""""""""""" .
5. Camilo pidió a Sofía rea-. . ..tizar los siguientes pasos:
• Traza una circunferencia y dos diámetrosmutuamente perpendiculares.
• Traza la bisectriz de cada uno de los ángulosque forman los diámetros perpendiculares.
• Marca los puntos de intersección de lasbisectrices con la circunferencia. Une lospuntos.
¿Qué figura obtuvo Sofía? .
m ÁNGULOS CONGRUENTES
IDEAS CLAVE
• medidas iguales
TEN EN CUENTA
Dos rectas que se inter-secan forman dos paresde ángulos opuestos porel vértice.
Vértice comúnFigura 3.81
En la figura 3.81, 40. y: 4~ son opuestos por el: vértice. También lo sonI
: los ángulos 40 y 4>"·
B. Calcula los ángulos que faltan en la figura 3.82.*. 3
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. En particular, soncongruentes los ángulos opuestos por el vértice.
Los ángulos de lados paralelos, son congruentes o son suplementarios.
ACTIVIDADES RESUELTAS
A. Con base en la figura 3.81, escribe pares de ángulos congruentes.SOLUCiÓN: Como los ángulos 4a y 413 son opuestos por el vértice, entonces4a == 413· Análogamente se obtiene ~J) == -4>".
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8 Figura 3.82
SOLUCiÓN:
41 y 42 son opuestos por el vértice. Luego, m -42 = 28°.43 Y 44 son opuestos por el vértice. Luego, m 43 = 152°.45 y 46 son agudos de lados paralelos a 42. Por tanto,m -45 = m 46 = m -42 = 28°.47 y 48 son obtusos de lados paralelos a 44. Luego,m -47 = m 48 = m 44 = 1520
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
INTERPRETA1. RAZONAMIENTO. Calcula la medida de los ángulos
a y 13en las figuras 3.83 y 3.84.~ 1-----~--,--~
a = .Figura 3.84
13= .
2. RAZONAMIENTO. Halla los valores de los ángulos a,13y 8 que faltan en las figuras 3.85 y 3.86.al
bl
a = .a.
13= .
8 = .
Figura 3.85
a = .13= .
8 = .Figura 3.86
ARGUMENTA3. COMUNICACiÓN. En la figura 3.87 hay cuatro parejas
de ángulos congruentes. Nómbra cuáles sorM N
o
pL....- ----"-Q Figura 3.87
PROPONE4. Si dos rectas paralelas
son cortadas simultáneamente por una rec:::transversal, se forman ocho ángulos.
A
x zw
v y T
B Figuro -
Identifica parejas de ángulos conqrue ":en la figura 3.88. Utiliza el compás.
PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDt_
