AR ITMÈT ICA I ÀLGEBRA

L’ordre i la regularitat de les seves estructures, la potència i la precisió delsseus mecanismes fan que en tota excursió pel camp numèric trobem bellesa

i eficàcia.

BLOC I

1 EL NOMBRE REAL

COM PODEM EXPRESSAR UN DECIMAL EXACTE EN FORMA DE FRACCIÓ

Per obtenir una fracció equivalent a un nombre decimal exacte, només cal interpretar correcta-ment la part decimal. Per exemple:

27,8025 = =

El denominador de la fracció irreductible corresponent només té els factors 2 i 5 (400 = 24 · 52).

Troba la fracció irreductible equivalent als nombres decimals següents idescompon els seus denominadors en factors primers.

a) 6,388

b) 0,00875

Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres deci-mals exactes.

a) b) c) d) 57 33010 500

2 · 32 · 5 · 7 · 9122 · 3 · 53 · 7

31471250

3741100 000

11 121400

278 02510 000

COM PODEM EXPRESSAR UN DECIMAL PER IÒDIC EN FORMA DE FRACCIÓ

En calcular la fracció generatriu d’un decimal periòdic s’obtenen, multiplicant-lo per potències de 10, dos decimals amb un període idèntic. La diferència que hi ha és un nombre enter.

El denominador de la fracció irreductible equivalent a un decimal periòdic té algun factor diferentde 2 o 5.

Exemple 1r:

N = 7,31)

100 N = 731,3131…

N = 7,3131…100 N – N = 731 – 7 → N =

Exemple 2n:

N = 5,3724)

10 000 N = 53 724,724724…

10 N = 53,724724…N = =

Troba la fracció generatriu de: a) 0,0)51 b) 1,23

)456 c) 7,45

)6

Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres decimalsperiòdics.

a) b) c) 22 · 3 · 5 · 112 · 3 · 52 · 19

372 · 5 · 7

37

53 6719990

53 724 – 5310 000 – 10

72499

A dalt hi ha l’esquema que engloba tots els nombres, racionals i no racionals. En aquesta uni-tat els estudiarem detalladament. Comença classificant alguns nombres seguint l’esquema an-terior.

La llista següent consta de tots els nombres escrits a la pissarra i d’alguns més:

0; 4; –11; 0,31; ; ; ; ; ; ; – ; ; ; 7,31)

; π ; –

Classifica’ls en una graella com la següent en el teu quadern. Has de tenir en compte que unmateix nombre es pot incloure en més d’un conjunt.

59181

3

1–813–24

4246

3

1574

34

12

REFLEX IONA ET CONVÉ RECORDAR

NATURALS (N)

ENTERS (Z)

RACIONALS (Q)

NO RACIONALS

}

RACIONALSQ

NATURALSN

(enters positius)

0 ; 4 ; — ; √81246

?ENTERS

NEGATIUS

ENTERSZ

–11 ; — ; 3√–8–244

NO RACIONALS √2 ; –√3 ; 3√5 ; π …

FRACCIONARIS(racionalsno enters)

0,31 ; — ; 7,31 ; — …–59

34

ACTIVITATS

1.1 Justifica que aquestes construccions donen unsegment la mida del qual és igual al nombre d’or,

F = = + .

1.2 Volem demostrar que F és irracional. Sabemque 1

–5 ho és (per la mateixa raó que 1

–2). Ob-

serva que:

F = → 2F = 1–5 + 1 → 1

–5 = 2F – 1

A partir de la igualtat 1–5 = 2F – 1, què dedui-

ríem si F fos racional?

1–5 + 12

12

1–5

21–5 + 12

1

1

1

1312

NOMBRES IRRACIONALS1 EL NOMBRE D’OR: F =

La diagonal d’un pentàgon el costat del qual és igual a la unitat és el nombre(1

–5 + 1): 2 que, evidentment, és irracional. A més, és, històricament, el

primer nombre del qual es va tenir consciència que ho era.

Al segle V aC els grecs pitagòrics van descobrir amb sorpresa (i gairebéamb espant) que la diagonal del pentàgon i el seu costat no mantenienuna proporció exacta. Fins aleshores es deia que tot l’Univers es regia pelsnombres naturals i les proporcions entre aquests (fraccions), però en des-cobrir que no era així els va semblar que el caos treia el nas al seu món. Peraixò van anomenar irracional (contrària a la raó) aquesta relació entre ladiagonal i el costat del pentàgon regular.

Més endavant, els mateixos grecs van considerar que la proporció F:1era especialment harmoniosa, per la qual cosa la van anomenar proporcióàuria i van batejar F amb el nom de nombre auri.

El nombre F (fi, lletra F en grec) és la inicial de Fídies, escultor grec queva utilitzar reiteradament aquesta proporció.

EL NOMBRE p

Com ja sabem, p és la relació entre la longitud d’una circumferència i elseu diàmetre. Aquest nombre el coneixes i l’utilitzes des de fa molts anys.Concretament, has fet servir aquestes aproximacions del nombre p: 3,14(arrodonida per defecte) o 3,1416 (arrodonida per excés).

Una calculadora et donarà el valor de p (p sol compartir tecla ambEXP), amb moltes xifres {«Ÿ‘¢‘∞£“\∞«∞£}. Es tracta d’un nombreirracional i, per tant, té infinites xifres decimals no periòdiques.

p és la lletra grega corresponent a la P. Per què aquest nom? La paraulagrega perifereia significa ‘circumferència’ (la perifèria del cercle).

15 + 12

Els nombres racionals són els que es poden escriure com a quocient dedos nombres enters. La seva expressió decimal és exacta o periòdica.

Els nombres irracionals són els no racionals, és a dir, els que no poden obte-nir-se com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal ésinfinita no periòdica. N’és un exemple el nombre p = 3,14159265359…

Hi ha infinits nombres irracionals, alguns dels quals són especialment in-teressants. Vegem-ne alguns.

LA DIAGONAL DEL QUADRAT: EL NOMBRE 1–2

El teorema de Pitàgores ens proporciona el valor de la diagonal d’un qua-drat el costat del qual mesura 1: d = 1

–12 +

–12 = 1

–2

Demostrarem, ara, que 1–2 és irracional, és a dir, que no es pot escriure

com a quocient de dos nombres enters. Ho farem per reducció a l’absurd,que consisteix a suposar que sí i veure que s’arriba a un absurd.

— Suposem que 1–2 és racional.

— En aquest cas, es podria escriure com a quocient de dos nombres en-

ters: 1–2 =

— Elevem al quadrat els dos membres: 2 = → a2 = 2b2

Com que b2 és un quadrat perfecte, conté el factor 2 un nombre parellde vegades. Per tant, 2b2 té el factor 2 un nombre senar de vegades, laqual cosa és impossible ja que 2b2 = a2 és un altre quadrat perfecte.

D’aquesta manera completem el raonament següent: «Si suposem que 1–2 és

racional, arribem a l’absurd.»

I així hem demostrat, per reducció a l’absurd, que 1–2 no és racional.

ALTRES IRRACIONALS EXPRESSATS MITJANÇANTRADICALS

D’acord amb el que hem vist per a 1–2, si p no és un quadrat perfecte, 1

–p

és irracional. I, en general, si p no és un potència n-èsima exacta, n

1–p és un

nombre irracional.

Per exemple, 1–5,

31–9 i

51–10 són nombres irracionals. També ho són 1

–5 + 3,

31–9 : 7 i 4 –

51–10.

Provem que si 51–10 és irracional, aleshores també ho és 4 –

51–10:

— Anomenem N = 4 –51–10 → 5

1–10 = 4 – N.

— Si N fos racional, 4 – N també ho seria. És a dir,51–10 ho seria, la

qual cosa és falsa.

a2

b2

ab

El resultat de sumar, restar, mul-tiplicar o dividir nombres racio-nals és, també, un nombre ra-cional.

RECORDA

En la descomposició en factorsprimers d’un quadrat perfecte,cada nombre primer hi és unnombre parell de vegades. Perexemple:

N = 22 · 3 · 53

N 2 = (22 · 3 · 53)2 = 24 · 32 · 56

Tots els exponents de N 2 sónparells.

T INGUES EN COMPTE

Repeteix el raonament anteriorper provar que 1

–3 és irracional.

FES-HO TU

Segueix el raonament que hemfet servir a la dreta i demostraque 31

–7 + 15 és irracional.

FES-HO TU

1

11–2

d

l

= Φdl

DUES CONSTRUCCIONS DEL NOMBRE F

1

1—2

1—2

1

1—2

1_5—

2

A diferència de 1–2, 1

–5, F i

altres nombres irracionals, elnombre p no es pot represen-tar de forma exacta.

2r

L

= πL2r

1

1514

ELS NOMBRES REALS2El conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomena con-junt de nombres reals i es designa per Á. Així doncs, l’esquema de la pri-mera pàgina de la unitat es pot ampliar i completar de la manera següent:

Amb els nombres reals podem fer les mateixes operacions que amb elsnombres racionals: suma, resta, multiplicació i divisió (excepte amb el ze-ro), i es mantenen les mateixes propietats.

També podem extreure arrels de qualsevol índex (excepte arrels d’índexparell de nombres negatius) i el resultat continua sent un nombre real.Això no passava amb els nombres racionals.

LA RECTA REAL

Els nombres racionals, com ja sabem, se situen en la recta de manera den-sa, és a dir, de manera que en cada tram, per petit que sigui, n’hi ha infi-nits. No obstant això, i encara que sembli estrany, hi ha infinits forats en-tre aquests nombres, que són ocupats pels nombres irracionals. Entre totsomplen la recta.

Naturals N → 0; 4; ; 1–121

Enters negatius → –11; – ; 31––827

3

246Enters Z

Fraccionaris → 5,84; ; 5,)83; – 3

1074

Racionals QReals Á

No racionals → 1–2; 1

–3; F; p; – 1

–5 + 2; 2 + 1

–3

5

Si en una recta situem un origen (el zero, 0) i marquem la longitud uni-tat, a cada punt li correspon un nombre racional o un nombre irracio-nal, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nombre real. Peraixò la recta numèrica rep el nom de recta real.

Observa com es representen en la recta alguns nombres racionals i irra-cionals:

Entre cada dos nombres racio-nals hi ha altres infinits nom-bres racionals.

La recta real és completa, és adir, a cada punt de la recta li cor-respon un nombre real i a cadanombre real, un punt de la recta.

1.3 Representa , – i . 1.4 Justifica la construcció de 1–2, 1

–3 i 1

–10. Re-

presenta 1–11 i 1

–17 (Observa que 17 = 42 + 12).

267

57

57

ACTIVITATS

0 1 2 3 2 3 45 100 1 2 34—5

2 +

4—5

2 +14—5

=

REPRESENTACIÓ DE NOMBRES SOBRE LA RECTA REAL

Com hem vist en pàgines anteriors:

— Els nombres racionals es poden representar mitjançant una expressiódecimal finita o periòdica.

— Els nombres irracionals s’expressen mitjançant infinites xifres decimalsno periòdiques.

Tot nombre real pot situar-se en la recta real, depenent de com sigui elnombre:

• Enter o decimal exacte. Per exemple, 3,47:

• Decimal periòdic. Pot expressar-se en forma de fracció i, d’aquesta ma-nera, se situa fàcilment en la recta.

Per exemple: 0,83333… = 0,8)3 =

• Si un nombre irracional és radical quadràtic ( , …) o una combi-nació d’aquests, es pot representar mitjançant la construcció de trianglesrectangles, com hem vist anteriorment.

• Si un nombre irracional ve donat per la seva expressió decimal, podemrepresentar-lo de manera aproximada mitjançant el procés que descri-vim a l’esquerra per representar = 1,732…

El nombre està situat en el segment vermell, que és una centèsimapart de l’interval 1,7 – 1,8. En la recta inicial seria més fi que la pun-ta d’una agulla, però encara podríem seguir afinant més, tant comvolguéssim.

13

13

11012

56

Els nombres reals poden ser expressats en la recta real, segons els casos,de manera exacta o bé amb tanta aproximació com vulguem.

1

5—60 1

0 1 2

1,7 1,8

1,73 1,732 1,74

0 3 10

10

1

5—60 1

0 1 2

1,7 1,8

1,73 1,732 1,74

0 3 10

10

1

5—60 1

0 1 2

1,7 1,8

1,73 1,732 1,74

0 3 10

10

–1 0 1 2 3

3,4 3,47

4

3,5

1.5 Representa en la recta real aquests nombres:

a) De manera exacta: –2; 3,75; ; 0,666…15

ACTIVITATS

b)Φ de manera exacta ( ) i de manera

aproximada (1,618…).

1 + 1–5

2

0 1

1

1716

SEMIRECTES

(–`, a) són els nombres més petits que a: {x / x < a}.

(–`, a] són els nombres més petits que a i el mateix a: {x / x < a}.

(a, +`) són els nombres més grans que a: {x / x > a}.

[a, +`) són els nombres més grans que a i el mateix a: {x / x > a}.

Les seves representacions són aquestes:

Per exemple:

(–`, 2) és el conjunt dels nombres més petits que 2, sense incloure-hi el 2:

{x / x < 2} →

[2, +`) és el conjunt dels nombres més grans que 2, incloent-hi el 2:

{x / x > 2} →

RECTA REAL

La mateixa recta real es representa en forma d’interval així: Á = (–`, +`).

EXERCICI RESOLT

1. Expressem en forma d’interval i representem:

a) 2 < x << 3, b) x << 1, c) x > 0

a) Interval semiobert (2, 3]

b) Semirecta (–`, 1]

c) Semirecta (0, +`)

2. Expressem en forma de desigualtat i representem:

a) [–2, 0], b) [–1, +`], c) (0, 1)

a) {x / –2 < x < 0}

b) {x / x > –1}

c) {x / 0 < x < 1}

3. Per a quins valors de x són vàlides les expressions següents?

a) , b)

a) es pot calcular sempre que x valgui 3 o més: semirecta [3, +`).

b) L’arrel quadrada es pot calcular quan el radicand és zero o positiu.I això passa quan un dels factors és zero, quan tots dos són negatiuso quan tots dos són positius. És a dir, si x < –2 o si x > 3.

(–`, –2] < [3, +`]

1x – 3

1(x + 2) (x – 3)1x – 3

INTERVALS I SEMIRECTES3Per designar alguns trams de la recta real, hi ha una nomenclatura quehem de conèixer.

INTERVAL OBERT

L’interval obert (a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entrea i b, sense incloure-hi ni a ni b: {x / a < x < b}. Es representa així:

Per exemple, l’interval (–2, 1) és el conjunt de tots els nombres compresosentre –2 i 1, sense incloure-hi ni el –2 ni l’1: {x / –2 < x < 1}. La seva re-presentació és aquesta:

INTERVAL TANCAT

L’interval tancat [a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entrea i b, incloent-hi aquests: {x / a < x < b}. Es representa així:

Per exemple, l’interval [–2, 1] és el conjunt de tots els nombres compre-sos entre –2 i 1, incloent-hi el –2 i l’1: {x / –2 < x < 1}. La seva re-presentació és aquesta:

INTERVAL SEMIOBERT

L’interval (a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b,incloent-hi b, però no pas a: {x / a < x < b}. Es representa així:

L’interval [a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b,incloent-hi a, però no pas b: {x / a < x < b}. Es representa així:

Per exemple, l’interval (3, 4] és el conjunt de tots els nombres compresosentre 3 i 4, incloent-hi el 4, però no pas el 3: {x / 3 < x < 4}. La sevarepresentació és aquesta:

L’interval [3, 4) és el conjunt de tots els nombres compresos entre 3 i 4,incloent-hi el 3, però no pas el 4: {x / 3 < x < 4}. La seva representacióés aquesta:

a b

a b

–2 1

–2 1

a b

3 4

3 4

(a, b) = {x / a < x < b}

INTERVAL OBERT

(–`, a) = {x / x < a}

(–`, a] = {x / x < a}

(a, +`) = {x / x > a}

[a, +`) = {x / x > a}

SEMIRECTES

a b

[a, b] = {x / a < x < b}

INTERVAL TANCAT

(a, b] = {x / a < x < b}

[a, b) = {x / a < x < b}

INTERVAL SEMIOBERT

a ba b

a b

a b

a aa a

2

a

a

a

a

1

0

3

2

2 3

–2 0

–1

–2 0 1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

1.6 Escriu en forma d’inter-val i representa els nombresque compleixen les condi-cions indicades en cada cas.

a) Compresos entre 5 i 6,incloent-los tots dos.

b)Més grans que 7.

c) Més petits o iguals que–5.

1.7 Escriu en forma d’inter-val i representa.

a) {x / 3 < x < 5}

b) {x / x > 0}

c) {x / –3 < x < 1}

d) {x / x < 8}

1.8 Escriu en forma de des-igualtat i representa.

a) (–1, 4)

b) [0, 6]

c) (–`, –4)

d) [9, +`)

ACTIVITATS

(–`, a) (–`, a] (a, +`) [a, +`)

1

1918

ARRELS I RADICALS4 POTÈNCIES I ARRELS AMB CALCULADORA5

POTÈNCIES I ARRELS SENZILLES: x$h$Totes les calculadores científiques tenen les tecles x i $. Moltes tenentambé les tecles h i $, malgrat que aquestes acostumen a ser-hi com a sego-na funció (és a dir, fora de la tecla i, per tant, han de ser precedides per s).

Per exemple:

2472 → 247 x{∫∫\‘…≠≠£}4,83 → 4,8 h{∫‘‘≠…∞£“}1—247 → $ 247 ={‘∞Ÿ|‘\“««\¢}

31—4,8 → $ 4,8 ={‘Ÿ\°\°\∞««≠\}

Si en la pantalla hi ha un nombre l’arrel quadrada del qual vols calcular,abans de prémer la tecla $ hauràs de prémer la tecla =.

Per exemple: {∞°…¢≠«} =$={“¢‘Ÿ\\|‘“\¢«\}

POTÈNCIES D’ ÍNDEX QUALSEVOL: ‰ (O BÉ h)

17,845 → 17,84 ‰ 5 ={‘°≠|≠\\Ÿ£|£°¢}42,5 → 4 ‰ 2,5 ={∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫«“}

ARRELS D’ ÍNDEX QUALSEVOL: $ (O BÉ $)

Atenció, aquí l’ordre en què intervenen l’índex, el radicand i la tecladepèn molt de la calculadora. Per exemple:

5$2 ={∫∫∫∫∫“}51—32

$5 © 32 =51—32

2

Fins i tot hi ha calculadores amb la tecla $, i aleshores cal prémer aquestestecles:

51—32 → 32 $5 ={∫∫∫∫∫“}

CÀLCUL D’ARRELS AMB LA TECLA DE POTÈNCIA ‰51—32 = 321/5 → 32 ‰ 5 Y={∫∫∫∫∫“}

51—323 = 323/5 → 32 ‰ 3 h 5 ={∫∫∫∫∫°}ab/c

y

y

Mn

x

Mnx

x n

3

x 3

3x 3

3x 3

Quan facis servir expressions com aquesta, de vegades hauràs de calcular-ne el valor numèric, per a la qual cosa hauràs de tenir en compte la defini-ció, com en el cas de les que es proposen al marge, o bé hauràs de recórrera la calculadora. Altres vegades, però, hauràs de mantenir el radical, sim-plificar-lo, operar amb altres radicals, etc. En el pròxim apartat ens dedi-carem a això.

ALGUNES PECUL IARITATS DE LES ARRELS

• Si a > 0, existeix, sigui n el nombre que sigui.

• Si a < 0, només existeixen les seves arrels d’índex senar.

• Tot i que 4 té dues arrels quadrades, amb ens referim només a la po-

sitiva: = 2. En general, un nombre positiu, a, té dues arrels quadra-

des: i –

FORMA EXPONENCIAL DELS RADICALS

Els radicals es poden expressar com a potències:

= a , ja que (a )n = a = a

= a , ja que = (am) = am ·

= a

Per exemple:

( )2 = ( )2 = (33/6)2 = 36/6 = 3

= = 26/3 = 22 = 43

1263

164

6

1336

127

mn

1n

1nn

1ammnn

1am

nn

1n

1nn

1a

1a1a14

14

n

1a

S’anomena arrel n-èsima d’un nombre a, i s’escriu , un nombre bque compleix la condició següent:

= b si bn = as’anomena radical; a, radicand, i n, índex de l’arrel.

n

1a

n

1a

n

1a

1.9 Expressa en forma exponencial.

a) b) ( )5

c) d)

e) f )

1.10 Calcula: a) 41/2 b) 1251/3 c) 6251/4

d) 82/3 e) 645/6

1.11 Expressa en forma radical.

a) x7/9 b) (m5 · n5)1/3

c) a1/2 · b1/3 d) [(x2)1/3]1/5n

1m1—ak

3

11–x

1a13

a6

15

1a6

3

1x25

1x

ACTIVITATS

Fes aquestes operacions amb la calculadora:

1.12 a) 1—54 b) 3272 c)

31—8,53

1.13 a) 51—8,24 b)

61—586 c)

41—

79,46

1.14 a) 51—372 b)

41—2,15 c)

31—

0,0082

1.15 Calcula les arrels de l’activitat 1.13 amb la tecla‰ (per exemple, 8,24 ‰ 5 Y =).

1.16 Calcula les arrels de l’activitat 1.14 amb la te-cla ‰ (per exemple, 37 ‰ 2 h 5 =).ab/c

ACTIVITATS

1. Digues el valor de k en cada cas.

a) = 2 b) = –3

c) = d) = 2

2. Calcula les arrels següents.

a) b)

c) d)

e) f ) 3

11254

181

8

105

1–32

5

1323

1–8

k

1102423

4

1k

k

1–2433

1k

CÀLCUL MENTAL

= a

= amnn

1am

1nn

1a

Hi ha calculadores antigues queho fan al revés:

1—247 → 247${‘∞Ÿ|‘\“««\}

$ en les calculadores de panta-lla senzilla.

$ en les calculadores de pan-talla descriptiva.

En algunes calculadores la fun-ció $ s’anomena ≈.y

Mn

y

ATENCIÓ

Recorda:

→→

1

2120

PROPIETATS DELS RADICALS6POTÈNCIA D’UN RADICAL

Per exemple:

( )4 = = 26 = 64

( )3 = =

Hem aplicat la propietat 4 (vegeu el marge).

ARRELS D’ARRELS

Per exemple:

=

=

Hem aplicat la propietat 5 (vegeu el marge).

SUMA I RESTA DE RADICALS

Dos radicals diferents no poden sumar-se si no és a partir de les seves ex-pressions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics.Per exemple:

+

+

Sí que es pot simplificar l’expressió següent:

7 + 11 – = 17

Hi ha casos en què la possibilitat de simplificar una suma de radicals que-da amagada. Prèviament, haurem de treure els factors que puguem fora deles arrels o simplificar-les. Per exemple:

+ – = + – =

= 4 + 3 – 5 = 2

+ = + = 2 + = 31212124

1221234

1418

12121212

152 · 2132 · 2125150118132

15151515

3

1717

1213

12

153

154

1

6

12123

1

5

185

1235

12

1212123

Els radicals tenen una sèrie de propietats que cal conèixer i utilitzar ambsoltesa. Totes són conseqüències immediates de propietats ben conegudesde les potències.

SIMPL IF ICAR RADICALS

Si expressem els radicals en forma exponencial, veiem que, de vegades, espoden simplificar. Per exemple:

= = 32/4 = 31/2 =

Hem aplicat la propietat 1 (vegeu el marge).

REDUIR RADICALS A ÍNDEX COMÚ

Quan volem comparar dos radicals de diferent índex, no sempre és fàcil.Si els expressem amb el mateix índex, és molt més senzill. En realitat, estracta simplement de reduir-los a denominador comú.

Per exemple, per comparar amb , cal fer aquestes operacions:

= 5861/3 = 5862/6 = =

= 701/2 = 703/6 = =

Hem tornat a aplicar la propietat 1 (vegeu el marge).

TREURE FACTORS FORA D’UNA ARREL

Per simplificar alguns radicals i per sumar-los i restar-los, de vegades cal-drà treure factors fora d’una arrel. Vegem-ne alguns exemples:

= = · = 3

= = · · = 22 · 3 · = 12

Hem aplicat la propietat 2 (vegeu el marge).

AJUNTAR DOS RADICALS EN UN DE SOL

Per exemple: · = =

Hem aplicat la propietat 2 (vegeu el marge).

COL·LOCAR PRODUCTES I QUOCIENTS DE RADICALSSOTA UNA SOLA ARREL

Per exemple:

· = · = =

= = = =

Hem aplicat les propietats 1, 2 i 3 (vegeu el marge).

126

12328

25

6

16

11626

132

3

1166

132

6

11086

133 · 226

1226

1333

1213

1300115 · 20120115

151515132124124 · 32 · 51720

1212132132 · 2118

6

1343 0006

1703170

6

1343 3966

158623

1586

1703

1586

134

1324

19

= , ja que:

= a p/np = a1/n = n

1anp

1ap

n

1anp

1ap

PROPIETAT 1

( )p= , ja que:

( )p= (a 1/n)p = a p/n =

n

1apn

1a

n

1apn

1a

PROPIETAT 4

= , ja que:

= (a 1/n)1/m = a1/m·n = m·n

1an

1am

1

m·n

1an

1am

1

PROPIETAT 5

Només es poden sumar els ra-dicals idèntics.

RECORDA

= · , ja que:

= (a · b)1/n =

= a1/n · b1/n =

= · n

1bn

1a

n

1a · b

n

1bn

1an

1a · b

PROPIETAT 2

= , ja que: n

1an

1b

n

1ab

PROPIETAT 3

} → > 1703

1586} Només poden solucionar-se de manera aproximada

o bé cal deixar-les indicades.

= ( )1/n= =

n

1an

1ba1/n

b1/nab

n

1ab

1.17 Simplifica:

a) b) c)

d) e) f )

1.18 Quin dels dos és més gran en cada cas?

a) i

b) i

1.19 Redueix:

a) · b) · c)

1.20 Treu del radical els factors que sigui possible:

a) b) c)

1.21 Simplifica:

a) b) c)

d) ( )6 e) ( )3 · ( ) f ) ( )8

1.22 Fes aquestes operacions:

a) + – –

b) + – 127175112

1812150118

12113

1x1x3

1a2

4

1a3b5c1ab3c3

5

11612

193

13

5

1643

181a3b5c3

132x4

10

1a4 b66

133

165

123

13

9

1132 6503

151

3

1134

131

8

1819

1646

18

5

1y1012

1x812

1x9

ACTIVITATS

1

2322

RACIONALITZACIÓ DE DENOMINADORS

Antigament, quan no existien instruments de càlcul com els d’ara, caliaesforçar-se a aconseguir mètodes per facilitar les operacions. Per exemple,

per calcular a mà , es pot fer directament (es poden calcular unes quan-

tes xifres de 1—2 i després dividir 1 entre el resultat). Però els càlculs se

simplifiquen extraordinàriament si es té en compte que:

= =

Si fas l’operació de les dues maneres, veuràs que és molt més avantatjós su-primir el radical del denominador (vegeu-ne el marge).

Malgrat que amb les eines de càlcul senzilles i potents de què disposem ac-tualment no cal, encara tendim a donar els resultats finals dels problemesmitjançant expressions numèriques que no tinguin radicals en el denomi-nador.

En cada cas, ens farem aquesta pregunta: Per quina expressió he de multipli-car el denominador perquè el producte no tingui radicals? Un cop trobadal’expressió, també multiplicarem per aquesta el numerador perquè el re-sultat final no variï.

PRIMER CAS: ARRELS QUADRADES. Per exemple:

= =

SEGON CAS: ALTRES ARRELS. Per exemple:

= = =

TERCER CAS: SUMES I RESTES D’ARRELS. Per exemple:

= = =

= = = = 6 – 21—2

76 – 21

—2

9 – 26 – 21

—2

32 – (1—2)22 · (3 – 1

—2)

(3 + 1—2) · (3 – 1

—2)

23 + 1

—2

1—5 + 1

—3

21—5 + 1

—3

(1—5)2 – (1—3)21 · (1—5 + 1

—3)

(1—5 – 1—3) · (1—5 + 1

—3)

11—5 – 1

—3

5

1—73

7

5

1—73

5

1—75

5

1—73

5

1—72 ·

5

1—73

15

1—72

21—3

32 · 1

—3

1—3 · 1

—3

21—3

El procés pel qual fem desaparèixer els radicals del denominador s’ano-mena racionalització de denominadors.

1—2

21 · 1

—2

1—2 · 1

—2

11—2

112

1—2 = 1,14142...

És més difícil fer la primera ope-ració que la segona:

1,00000000 1,41420100600 0,7071...

01606001918

1,4142 2014 0,7071...

020

I el resultat és el mateix.

OBSERVA

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

L’expressió 1—a – 1

—b s’anome-

na conjugat de 1—a + 1

—b.

I, al revés, 1—a + 1

—b és el con-

jugat de 1—a – 1

—b.

T INGUES EN COMPTE

1.23 Racionalitza els denominadors:

a) b) c) d) e) f ) 32 – 1

—3

41—3 + 1

—2

25

1—32

13

1—2

1—5

1—7

51—2

ACTIVITATS

RECORDEM EL QUE ÉS ESSENCIAL

Nombres enters

Decimals exactes

N O M B R E S R A C I O N A L S

Es poden expressar com una fracció denombres enters.

Decimals periòdics

Propie ta ts de ls rad ica ls

• =

• = ·

• =

• ( )p =

• = m·n1a

m1 n1–a

n1apn

1a

n1an1b

n

1ab

n1bn

1an1a · b

n1a

np1ap

NOMBRES REALS

Els nombres racionals, juntament amb els irracionals, omplen tota la recta numèrica.

N O M B R E S I R R A C I O N A L S

No es poden expressar com una fraccióde nombres enters.

RADICALS

Arrel n-èsima de a: = b si bn = a Exemple: = 12, ja que 123 = 1 728

Notació exponencial: = a Exemple: = 3 = 3 = 13332

644

136mnn

1am

311 728n

1a

APROXIMACIÓ DECIMAL

A la pràctica, n’hi ha prou d’expressar, tant els nombres racionals com els irracionals, amb unes quantes xifressignificatives.

D E C I M A L S N O E X A C T E S

La seva expressió requereix infinites xifresno periòdiques.Per exemple: , , p, Φ.4

1513

Rac ional i tzac ió de denominadors

Consisteix a eliminar les arrels del denomi-nador.Per exemple:

• = · = =

• = =

= = 3 + 6 1631–2 · 1–3 + 31–2 · 1–23 – 2

31–2 (1–3 + 1–2)(1–3 – 1–2) (1–3 + 1–2)

31–2

1–3 – 1–2

51––22

2

51––22

51–25

51––22

51–22

15123

1518

EXERCIC IS DE LA UNITAT

1

Potències i arrels

1.36 Expressa en forma exponencial.

a) b) ( )3 c) d)

e) ( )–3 f ) g) ( )2 h)

1.37 Expressa com una arrel.

a) 151/2 b) (a2)1/3 c) (x–1)5/4 d) (a1/5)–4

e) (a2/3)1/2 f ) a2 · a1/2 g) (3–2/5)10/3

1.38 EXERCIC I RESOLT

Expressem com a potència de base 2 cadascun delsnombres que van entre parèntesis i fem, després, l’ope-ració.

(161/4 ) · ( ) · ( )Resolució

161/4 = (24)1/4 = 2

= = 22/6 = 21/3 2 · 21/3 · 2–3 = 2–5/3

= = 2–3

1.39 Expressa com a potència única.

a) b) 2 c)

d) e) f ) a

1.40 Soluciona amb la calculadora.

a) b) c) ( )3d) e) 283/4 f ) 8–1/3

g) 0,03–3/2 h) ( )–1

1.41 Expressa com a potència única.

a) b) c)

d) e) f ) ·

Radicals

1.42 Multiplica i simplifica el resultat.

a) b)

c)

1.43 Simplifica els radicals següents.

a) b) c)

d) e) f )

1.44 Extreu factors dels radicals següents.

a) b) c) ( )10

d) e) f )

1.45 Redueix a índex comú i ordena de méspetit a més gran.

a) , , , ,

b) , ,

1.46 Introdueix dins de l’arrel i simplifica.

a) 2 b) 3 c) 2

d) 2 e) f )

1.47 Divideix i simplifica el resultat.

a) b) c) :

d) e) : f )

1.48 Fes aquestes operacions i simplifica’n el re-sultat.

a) · b) ( · ) : ( · )

c) : d) · 3

1184

1274

1106

120

133

123

1312123

14

61204110

231

321

41a41ab

203

4

1512

4

131412

11213

94

3

123

11212

512

4

1

14

3

1231

321

6

1354

1533

124

6

165

154

143

1312

32a3

45b4125a2bc618a5

b41

11—228x2

75y313

116x6

41x5 · x7

3

18

1(x2y2)212

1a4 · b8

10

1a815

12126

153

1a18a3b110ab15a

3

1b23

1b43

1a23

1a16a13a12a

a3

1a

3

1—a2

a2

3

1—a2

a1—a

4

121212

1—125

3

1—25

1a

4

13

1—a7

a4

5

10,0025

4

15–9

149

4

13

1–1735

19,52

1a1

1a2

3

13

1—a8

a2

1—8

3

1—4

14

3

13

1313

123

18

6

1226

14

18

6

14

5

1a104

1a26

1a31a

3

141

—x

8

1a5 · a25

1a23

1x2

2524

PRACTICA

Nombres rea ls

1.24 Expressa en notació científica:

a) 32 · 105 b) 75 · 10–4

c) 843 · 107 d) 458 · 10–7

e) 0,03 · 106 f ) 0,0025 · 10–5

1.25 Digues quins d’aquests nombres són irra-cionals.

– ; 1,73)

; ; π; ;

1.26 Ordena de més petit a més gran. Utilitzal’aproximació decimal.

a) 1,45; 1,)4; b) ; ;

1.27 a) Observa el diagrama i completa en elteu quadern el quadre adjunt.

b)Situa els nombres següents al lloc que corres-pongui en el diagrama i en el quadre.

3,28)

; ; ; –

c) Com s’anomenen els nombres de DEE’D’?

1.28 Classifica aquests nombres segons quepertanyin als conjunts N, Z, Q i Á.

3 –3/4 7,23

–2 π 0 –4

1/3 11/9

2 2,48 18 1 +

–1 1 1,010203…

In ter va ls

1.29 EXERCIC I RESOLT

Expressem en forma d’interval i representem el con-junt M = {x / –3 < x < 4}.

Resolució

M = (–3, 4] és un interval semiobert que inclou el4 i no inclou el –3.

1.30 Escriu simbòlicament i representa els in-tervals següents.

A = {x / –6 < x < 3} B = {x / –4 < x < 4}

C = {x / 3 < x } D = {x / 0 < x < 5}

E = {x / x > –2} F = {x / 10 > x }

1.31 Escriu en forma d’interval o semirecta i re-presenta els nombres que compleixen la desigualtatindicada en cada cas.

a) 0 < x < 1 b) x < –3 c) x > 0

d) –5 < x < 5 e) –5 < x f ) 1 < x < 3

1.32 Escriu en forma de desigualtat i represen-ta els intervals següents.

P = (1; 2,5) Q = [–2, 3] R = [–7, 0]

S = [–3, +`) T = (2, +`) I = (–5, 2]

1.33 a) Representa les semirectes A = (–`, 2] i

B = [–2, +`) en una mateixa recta.

b)Quins són els nombres que pertanyen a totesdues semirectes?

c) Expressa en forma d’interval la part comuna a Ai B, (A > B).

1.34 Representa en la recta real.

a) (–`, –1] < [3, +`]

b) (–`, 2] < (7, +`)

1.35 Per a quins valors de x són vàlides les ex-pressions següents?

a) b) c) 12x – 113 – x1x – 54

1–5

12

1–53

1–1

12

1918147

139

3

131212

1 + 1–5

219133

4

A

2

2

–3

–19

–458

14,2

0,121221...

π

17108

– 6

1 – 3 — 2

7 — 3

18 – — 5

0,37

B

B'

C

C'

D

D'

E

E'

ABB' 2, 17,

A…

–3 0 4

NZQÁ

EXERCIC IS DE LA UNITAT

1

1.61 Els costats iguals d’un triangle isòscelesmesuren el doble que la base, la longitud de la qual

és m. Calcula el perímetre del triangle, l’alturai l’àrea. Expressa el resultat en radicals.

1.62 En un cub de cm d’aresta, calcula:

a) La diagonal d’una cara.b) La diagonal del cub.c) El volum del cub.Expressa els resultats en forma radical.

1.63 Redueix a un sol radical.

a) · b) · c)

REFLEXIONA SOBRE LA TEORIA

1.64 Quines d’aquestes arrels no existeixen?

, , , ,

1.65 Escriu un nombre racional i un d’irracio-nal compresos entre els nombres donats.

a) 3,)7 i 3,78 b) i

c) 1–2 i 1

–3 d) i

1.66 Quants nombres racionals hi ha entre 0,)8

i 0,)9? Posa’n exemples i raona la teva resposta.

1.67 Escriu dos nombres racionals, un que si-

gui més gran que i un altre que sigui més petit

que , que es diferenciïn en menys d’una mil·lè-sima.

1.68 Justifica si, en cada cas, els dos radicals sóniguals o diferents.

a) i b) i

c) i d) i

1.69 Explica un procediment per construir unsegment que mesuri exactament cm.

1.70 Calcula el valor de la diagonal en cada cas.

APROFUNDEIX

1.71 Doblega un full DIN A4 i forma un qua-drat. Expressa la diagonal d’aquest quadrat en fun-ció del costat petit, l. Comprova, amb un altre fulligual, que el costat gran mesura el mateix que ladiagonal del quadrat. Quina és la raó entre les di-mensions del full DIN A4?

1.72 Racionalitza i simplifica.

a) b)

c) d)

1.73 Resol i simplifica.

a) ( ) (3 + 21–2) b) – 31

–5

c) (1 – ) : (1 + )1.74 Per a quins valors de x es poden calcular

les arrels següents?

a) b) c) d)

1.75 Si saps que a > 1, com ordenaries elsnombres següents de més petit a més gran?

a, , – , , – 1a + 1

1a + 1

1a

1a

1x2 + 118 – x1–x1x – 2

1–3

1 – 1–3

1–3

1 + 1–3

(1–5 + 1)2

1–5 – 1

1–6 – 1

–3

1–6 + 1

–3

1x + 1x2 – 1

41–15 – 21

–21

21–5 – 1

–7

31–6 + 21

–2

31–3 + 2

2 – 3

123

12

17

6

11254

12512

1166

19

5

1323

1278

1166

18

12

12

4

133

12

6445

7150

4

1–165

12411–16

10,123

1–20

8

1841–3 · 1

–2

6

1a54

1a34

123

122

13

13

27

1.49 EXERCIC I RESOLT

Expressem com un sol radical.

– +

Resolució

Descomponem en factors cada radicand:

= = 3

= = 2 →

= = 4

3 – · 2 + = (3 – 5 + ) = –

1.50 Suma.

a) + – b) 2 + 4 – 7

c) 3 + 4 – +

d) 5 + – 8 +

1.51 Resol.

a) + – b) –

c) + d) –

e) + – f ) –

1.52 EXERCIC I RESOLT

Racionalitzem: a) b)

Resolució

a) Multipliquem numerador i denominador per .

= = =

b) De la mateixa manera multipliquem per 3 – 2.

= =

=

Simplifiquem i comprovem que és igual a .

1.53 Racionalitza i simplifica.

a) b) c) d)

1.54 Racionalitza.

a) b) c) d)

1.55 Racionalitza i simplifica.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

PENSA I RESOL

1.56 Troba el valor exacte de l’àrea total i delvolum d’un cilindre de 5 cm de radi i 12 cm d’al-tura. (Expressa’l en funció de p).

1.57 Tallem un sector circular de 120º d’am-plitud d’un cercle la circumferència del qual mesu-ra 30p m. Calcula l’àrea del sector i dóna el seu va-lor en funció de p.

1.58 Calcula l’àrea total i elvolum d’aquest con mitjançantnombres irracionals.

1.59 Calcula l’altura d’un tetraedre regular de8 cm d’aresta. Expressa-la amb radicals.

1.60 Troba el perímetre dels triangles dibui-xats. Expressa el resultat amb radicals.

1–5 – 1

–3

1–5 + 1

–3

1–2

21–2 + 3

1021

–3 – 1

–2

1–3 + 21

–2

1–3 – 21

–2

112 1

–5 + 3

1 + 1–3

1 – 1–3

235 – 1

–2

143 – 1

–2

21 + 1

–2

131–2 + 1

–3

815 – 1

181a5

3315

3115

6112

416

212

12

91–18 – 61

–6 + 61

–6 – 41

–2

(31–3)2 – 22

(3 1–6 + 21

–2) (31

–3 – 2)

(31–3 + 2) (31

–3 – 2)

31–6 + 21

–2

31–3 + 2

13

1–3 + 31

–2

61–3 + 1

–18

2 · 3(1 + 1

–6) 1

–3

2 1–3 1

–3

1 + 1–6

2 1–3

13

31–6 + 21

–2

31–3 + 2

1 + 16213

58

3

11358

3

11241541150

332

5

15

196741

7641

3

123

15415001801320

148175127112

1501321812

118172185133

313413

1723

1743

4173

1752

17

17124 · 71112

17122 · 7128

17132 · 7163

11123

12852

163

26

5 cm

10 cm

1 cm

C

B

A

P

S

R

Q

N

M

1 dn

n

1 d2

21

1 d1

1 d4

4 = 2

1 d3

3

l l l

d

d

1

2928

JOCS PER PENSAR

Rac ionals i i r rac ionals en e l cubEn un cub d’aresta 1, la diagonald’una cara,

k = =

i la diagonal del cub,

d = =

són nombres irracionals.

Esbrina si són racionals o irracionals les distàncies mi n indicades en la figura.

13112 + (1–2)2

12112 + 12

Rec tangles aur i s

Es diu que un rectangle és auri quan els seus costats tenen la proporció divinao àuria. És a dir, que si agafem el costat menor com a unitat, la mida del cos-tat gran és el nombre d’or, Φ = (1 + 1

–5)/2 = 1,618...

Aquests rectangles tenen una propietat ben curiosa: si recolzemun quadrat sobre el costat llarg del rectangle auri, obtenim un al-tre rectangle auri.

Comprova-ho: = + 1 = + 1 = ............... = Φ21–5 + 1

1Φ

1 + ΦΦ

Radis i F ibonacc i

Escriu la sèrie ordenada dels radis de l’espiralque has vist en la pàgina anterior.

R1 = Φ

R2 = Φ + 1

R3 = 2Φ + 1

R4 = 3Φ + 2

R5 = 5Φ + 3

Trobes cap relació entre aquesta sèrie i lasuccessió de Fibonacci?

De lòg ica

Aquí pots veure una sèrie de tres objectes ordenats se-guint un cert criteri:

Quin dels objectes de sota continua la sèrie, seguint aquestmateix criteri?

Esp i ra l i na tura

Si continuem recolzant quadrats –cada cop més grans– en la construcció de l’apartat anterior, obtindrem unasuccessió de rectangles auris sobre els quals es pot dibuixar una espiral formada per arcs de circumferència.

Es tracta d’una espiral molt coneguda en matemàtiques (espiral equiangular o espiral geomètrica). Però el méssorprenent és que existeix de manera espontània i natural en nombroses espècies vegetals i animals (flors, fruits,closques de mol·lusc, etc.)

Calcula el radi dels tres arcs que segueix l’espiral del dibuix.

Dins de l quadratCalcula l’àrea de la zona acolorida.

kd 1

m

n1

A B

CD

12 cm

Φ

Φ

1

1 + ΦΦ

1

1

1 + Φ

Φ2Φ + 1

3Φ + 2

Φ

Ordena de menor a major Va d’espe lmesD’aquestes dues espelmes, la més estre-ta mesura 14 cm i es consumirà del toten 3 hores i mitja. L’altra tardarà 5 ho-res a consumir-se.

Si les deixem cremar, després de dueshores tindran la mateixa alçària. Quinaalçària té ara l’espelma més ampla?

22990000 77330000 889999

332211220011667755 2255 115500

Continua la sèrie ambalguns termes més.

Cases amb parce l · la

Divideix la finca de manera que a cada casa licorrespongui una parcel·la de la mateixa formai mida.

Leonardo de Pisa (1170-1250), tam-bé anomenat Fibonacci (‘fill d’homebo’). El seu pare va ser comerciant icònsul de Pisa a la ciutat de Bugia, al’actual Algèria. Això li va permetreaprendre les matemàtiques dels àrabs,especialment el sistema de numeració

decimal, el qual va contribuir a introduir a Europa. Sel’associa a la famosa sèrie:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

en què cada terme s’obté de la suma dels dos anteriors.Aquesta sèrie té una gran relació amb el nombre auri, Φ.

PROBLEMES D’ESTRATÈGIA