Circuitos en serie LR

Pasos para resolver:

1.-se identifican los datos del problema

2.- se sustituyen los datos en la formula correspondiente

3.- se elimina fracción de la formula y se deriva la

formula

4.- se sustituye el resultado en m

5.- se multiplica por la formula y se procede a integrar

6.- se despeja para encontrar el valor de la constante

de integración

Ejemplo:

Un circuito LR cuenta con un voltaje de 12 volts y una

inductancia de ½ Henry, indique la corriente en función

del tiempo si inicialmente se encontraba apagado con

una resistencia de 10 Ω (ohms).

E= 12v

L= 1/2 henry

R= 10 Ω

[1

2

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 10𝑖 = 12] 2

𝑑𝑖

𝑑𝑇+20i=24

M=𝑒∫ 20𝑑𝑥 = 𝑒20𝑥

𝑒20𝑥𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 20𝑖𝑒20𝑥 = 24𝑒20𝑥

v=20x

dv=20dx

∫𝑑

𝑑𝑥𝑖𝑒20𝑥 =

1

20∫ 24𝑒20𝑥 20𝑑𝑥

i*𝑒20𝑥 =6

5𝑒20𝑥+c

i=6

5𝑒20𝑥+c

𝑒20𝑥 =6

5+

𝑐

𝑒20𝑥

i=6

5+ 𝑐𝑒20𝑥 solución general

Solución particular para cuando la corriente está

apagada

Inicio=apagado

10 = 0

0=6

5+ 𝑐𝑒20𝑥

C=- 6

5 𝑒20𝑥(0)

X=0

C=-6

5

i= 6

5 -

6

5∗ 𝑒20𝑥 solución particular

x=tiempo transcurrido.

Ecuaciones de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli se resuelve

mediante la sustitución de un factor “w” que es el

inverso de la variable dependiente una ecuación

diferencial de Bernoulli se conforma con la siguiente

estructura:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝑛

Siendo n un exponente no una derivada

Para su resolución se debe convertir la ecuación en una

ecuación lineal modificando la variable dependiente al

sustituir la siguiente expresión.

𝑑𝑤

𝑑𝑥+ (1 − 𝑛)𝑝(𝑥)𝑤 = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥)

Para representar el resultado se debe sustituir

nuevamente el valor del factor “w” encontrando así la

ecuación general.

Ejemplo:

Grafique la ecuación particular cuando y (1)=3 y

cuando pasa por el punto (2,2) de la ecuación.

Y´+𝑦

𝑥= 𝑥𝑦2

Y´ + 𝑦

𝑥=𝑥𝑦2

N=2

1-n=-1

Se sustituyen los valores y se resuelve la operación

𝑑𝑤

𝑑𝑥+ (−1) (

1

𝑥) 𝑤 = −1𝑥

𝑑𝑤

𝑑𝑥−

1

𝑥𝑤 = −𝑥

Se saca a M

M=𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫ −1

𝑥𝑥𝑑𝑥 = 𝑒− ln 𝑥 = 𝑥−1 =

1

𝑥

𝑥−1 𝑑𝑤

𝑑𝑥 – 𝑥−1w (

1

𝑥)=-x*𝑥−1=

−𝑥

𝑥= −1

Se integran ambas partes

∫𝑑

𝑑𝑥 𝑤 ∗ 𝑥−1 = ∫ −1𝑑𝑥

𝑤 ∗ 𝑥−1 = −𝑥 + 𝑐

W=−𝑥+𝑐

𝑥−1

W=−𝑥

𝑥−1 +𝑐

𝑥−1 = −𝑥2 + 𝑐𝑥

W=−𝑥2+cx

1

𝑦=−𝑥2+cx

Y=1

−𝑥2+𝑐𝑥 solución general

Solución particular:

Y (1)=3

C=

1

𝑦+𝑥2

𝑥=

1

3+(1)2

1=

4

3

C=4

3

Y=1

𝑥2+4

3𝑥 solución particular

Graficar

x Y=1

𝑥2+4

3𝑥

-3 - 1

3

-2 - 3

20

-1 - 3

7

0 Ind

1 3

2 - 3

4

3 - 1

5

3

3

-3

-3

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Raíces reales

Las raíces son reales se usara

y=𝑐1𝑒𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑚2𝑥

Ejemplo:

2𝑦´´ − 5𝑦´ − 3𝑦 = 0

Convertir a ecuación polinómica

2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 2 b= -5 c= -3

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

𝑥 =−(−5) ± √(−5)2 − 4(2)(−3)

2(2)

𝑥 =5 ± 7

4

Se resuelven las dos X´s

𝑥1 =5+7

4 = 3

𝑥2 =5−7

4 = -

1

2

Se sustituye en la fórmula del caso 1:

Y=𝑐1𝑒3𝑥+ 𝑐2𝑒− 1

2𝑥 solución general

Raíces iguales

Las raíces son iguales se usara

y=𝑐1𝑒𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑚2𝑥

Ejemplo:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 10

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 25𝑦 = 0

Convertir a ecuación polinómica

𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 1 b= -10 c=25

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

𝑥 =−(−10) ± √(−10)2 − 4(1)(25)

2(1)

𝑥 =10 ± 0

2

Se resuelven las dos X´s

𝑥1 =10+0

2 = 5

𝑥2 =10−0

2 = 5

Se sustituye en la fórmula del caso 2:

Y=𝑐1𝑒5𝑥+ 𝑐2𝑥𝑒5𝑥 solución general

Raíces con números imaginarios

Las raíces son con números imaginarios se usara

𝑚1 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 𝑚2 = 𝛼 − 𝑖 𝛽

Y=𝑐1𝑒(𝛼+𝑖 𝛽)𝑥 + 𝑐2𝑒(𝛼−𝑖 𝛽)𝑥

Y=𝑒𝛼𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥)

Ejemplo:

Y´´+y´+y=0

Convertir a ecuación polinómica

𝑚2 + 𝑚 + 1 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula cuadrática

a= 1 b= 1 c=1

Se resuelve la formula cuadrática con los valores

𝑥 =−1 ± √(1)2 − 4(1)(1)

2(1)

𝑥 =−1 ± √−3

2

Se identifica 𝛼 𝑦 𝛽

−1

2 ±

√3

2 i

𝛼 𝛽

Se colocan los datos en la ecuación del caso 3:

Y=𝑒−1

2𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠

√3

2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛

√3

2𝑥) solución general

Grafique la solución particular

Y´´-2y´-8y=0

Cuando y (0)=1

Y´ (0)=2

1: convertir a ecuación polinómica

𝑚2 − 2𝑚 − 8 = 0

2: Sacar el valor de a, b y c requeridos en la formula

general

a=1 b= -2 c= -8

3: incluirlos en la formula cuadrática

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−8)

2(1)

4: dar solución a la formula

X=2±6

2

5: dando en 𝑥1 𝑦 𝑥2

𝑥1=2+6

2 = 4

𝑥2=2−6

2 = -2

6: Se sustituye en la ecuación según el caso 1,2 y 3 de

las E.D.L.H.

Y=𝑐1𝑒4𝑥 + 𝑐2𝑒−2𝑥 solución general

7: con la solución general se sustituye el primer valor que

sería: y (0)=1

1=𝑐1𝑒4(0) + 𝑐2𝑒−2(0)

1=𝑐1 + 𝑐2

𝑐1 = 1 − 𝑐2 resultado1

8: se continua a derivar la solución general y se resuelve

con: y (0)=2

Y´=4𝑐1𝑒4𝑥 − 2𝑐2𝑒−2𝑥

2=4𝑐1𝑒4(0) − 2𝑐2𝑒−2(0)

2=4𝑐1 − 2𝑐2

𝑐1 =2 + 2𝑐2

4

𝑐1 =1+1 𝑐2

2 Resultado 2

9: Se procede a despejar a 𝑐1de ambos resultados

(𝑐1 + 𝑐2 = 1)4

(4𝑐1 − 2𝑐2 = 2) − 1

(4𝑐1 + 4𝑐2 = 4)

(−4𝑐1 + 2𝑐2 = −2)

6𝑐2 =2

𝑐2 =2

6=

1

3

10: con este resultado respondemos el primer resultado

de 𝑐1

𝑐1 = 1 − 𝑐2

𝑐1 = 1 −1

3=

2

3

11: sustituimos los resultados de C en la solución general

para sacar la solución particular

Y=2

3𝑒4𝑥 +

1

3𝑒−2𝑥 solución particular

12: se tabula y grafica sustituyendo a x según sea el

caso.

x Y=2

3𝑒4𝑥 +

1

3𝑒−2𝑥

-3 134.47

-2 18.19

-1 2.47

0 1

1 36.44

2 1987.41

3 108 503.19

120 mil

100mil

80mil

60mil

40mil

-3 20mil

3

Dependencia lineal

Cuando el Wroskiano es

w=0 las funciones son linealmente dependientes

w≠0 las funciones son linealmente independientes

Ejemplo:

𝑦1 = 𝑥 𝑦2 = 𝑥2 𝑦3 = 4𝑥 − 3𝑥2

1: ordenamos los datos en fila

W=| x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2 |

2: se deriva cada dato 2 veces para

tener el mismo número de

columnas y filas

W=

3: se repiten las 2 primeras filas en la parte de abajo

x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

0 2 -6

x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

0 2 -6 x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

4: Se multiplica cruzado de 3 en 3 empezando de la

parte superior izquierda a la inferior derecha en

diagonal 3 veces y los resultados se suman luego se

restan con los resultados de hacer el mismo proceso

pero ahora de abajo hacia arriba

De arriba hacia abajo

W=

5: De abajo hacia arriba

W=

6: Dando como resultado después de sumar y restar

cada lado

(-12𝑥2+8x-6𝑥2+0) – (-6𝑥2+8x-12𝑥2)

7: Se suma y restan los valores y nos dará W=0 por lo que

es las funciones son linealmente dependientes

x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

0 2 -6

x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

0 2 -6

x 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2

1 2x 4-6x

Ecuación lineal homogénea

Y´´´-6y´´+11y´-6y=0

1: se convierte a una ecuación polinómica

𝑚3 − 6𝑚2 + 11𝑚 − 6 = 0

2: se toman los coeficientes y se procede a buscar el

número de raíces acorde al máximo de Y primas en este

caso es 3

3: primero se ordenan los datos

1 -6 11 -6

4: se buscan los números que puedan dividir

exactamente al último número (-6)

1, 2, 3,-1,-2,-3

Luego se escoge cualquier número

Escogemos el 1

1 -6 11 -6

1

Se baja el primer número directo

1 -6 11 -6

1 v

1

Se multiplica el número bajado por el que se escogió y

se coloca el resultado alado del número bajado

1 -6 11 -6

1 v 1

1

Se resta o suma el resultado con el número de arriba

1 -6 11 -6

1 v 1

1 -5

Se repite el proceso con el fin de eliminar al último

número que es -6

1 -6 11 -6

1 v 1 -5 6

1 -5 6 0

Si el último número se elimina el numero escogido es

una raíz siendo 𝑥1=1

Se repite lo mismo con el resultado y se van eliminando

el número del final obteniendo en total 3 raíces

Se escoge cualquiera de los números que dividen a -6

exactamente

1 -6 11 -6

1 v 1 -5 6

1 -5 6 0

-2 v 2 -6

1 -3 0

3 v 3

1 0

𝑥1=1

𝑥2=2

𝑥3=3

Luego sustituimos en orden nuestras raíces en la fórmula

de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas según

sea el caso al que corresponda

Y=𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐1 𝑒2𝑥 + 𝑐1𝑒3𝑥

Entonces 𝑒𝑥 , 𝑒2𝑥 , 𝑒3𝑥 son independientes.