ESPA I: ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO

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BLOQUE 5 TEMA 1: ÁLGEBRA BÁSICA

Introducción

Quizás cuando escuches la expresión las Matemáticas nos rodean, pienses solo en aritmética y

números, pero es igualmente cierto para el Álgebra.

Álgebra es la ciencia que trata del cálculo de las cantidades consideradas en general, esto es,

independientemente de toda magnitud numérica y de todo sistema de numeración.

1. Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico nos permite:

Relacionar el lenguaje ordinario con operaciones matemáticas, independientemente de la clase

de números que aparezcan en ellas.

Representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades.

Crear modelos para problemas procedentes de la propia matemática (aritméticos, geométricos

...) o de la vida cotidiana, financieros, físicos, etc.

Reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución, destacando la importancia de

herramientas y técnicas como el uso de funciones y operaciones.

1.1. Expresiones algebraicas

¿Qué es el lenguaje algebraico? Cuando aplicamos una fórmula estamos haciendo uso del lenguaje algebraico.

Si recuerdas en la unidad anterior estudiamos las magnitudes, entre ellas la presión. En su momento

dijimos que la presión era el cociente entre la fuerza y la superficie, y dimos una fórmula para saber

calcularla. P = F / S

Aunque, en ese momento no lo supieses estábamos haciendo uso de un lenguaje algebraico.

También serían ejemplos la fórmula para calcular la densidad: d = m / V, o la expresión que utilizamos

para calcular los kelvin a partir de los grados centígrados: kelvin = ºC + 273

El lenguaje numérico expresa la información matemática a través de los números, pero en algunas ocasiones, es necesario utilizar letras para expresar números desconocidos. El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras, números y símbolos.

Cuando pasamos del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico ponemos de manifiesto los datos (que

simbolizamos por letras), las operaciones que los ligan (a través de símbolos preestablecidos) y las

relaciones entre los mismos (por ejemplo, la de igualdad).

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Expresiones algebraicas

Precisamente el paso del lenguaje usual al lenguaje algebraico, da como resultado una expresión algebraica.

Una expresión algebraica es aquella en la que usamos números y letras relacionadas por operaciones matemáticas.

Cada expresión algebraica tiene un significado. De hecho, cuando tenemos un problema, intentamos traducirlo al lenguaje algebraico mediante una expresión. Cada uno de los valores (variables) que no conocemos lo representaremos por una letra diferente. Mira los siguientes ejemplos:

Enunciado

A un número le sumamos El doble de un La cuarta parte de un número, El coste de kg de naranjas, si El 15% de un

4 unidades número menos su cuadrado valen a 1,80 €/kg precio

Expresión algebraica

Observa que cuando escribimos una expresión algebraica, podemos sustituir el signo de multiplicar tradicional (x) por el signo · o bien suprimirlo: 3 x x2 → 3 · x2 → 3x2

Valor numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.

Actividades:

a) El valor numérico de x3 – 2x para x = 1 es : b) El valor numérico de x3 + 3x – 1 para x = 2 es: c) El valor numérico de 4a – b para a = 1 y b = 0 es:

d) El valor numérico para

para a = 3, b = 4 y c = 5 es:

1.2. Tipos de expresiones algebraicas. Monomios

Tipos de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se suelen clasificar en función de los elementos que intervengan en ella. Por ejemplo, si en la expresión algebraica no aparece el signo igual, y dependiendo del número de

sumandos que tenga hablamos de:

- monomio (un sumando): 2x3

- binomio (2 sumandos): x + 2

- trinomio (3 sumandos): x2 + 2x – 1

- polinomios (4 o más sumandos): 2x3 – 2xy + 3xy2 - 8

Si en la expresión algebraica aparece el signo igual hablamos de igualdades algebraicas y dentro de

este grupo podemos distinguir entre ecuaciones e identidades.

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Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números (coeficiente) y letras (parte literal). En el ejemplo de la página anterior: 2x3, el coeficiente sería 2, y la parte literal sería x3

Otros ejemplos: - 4xy2 coeficiente - 4, parte literal xy2 x2y coeficiente (si no aparece número es:) 1, parte literal x2y

Cuando en un monomio interviene una sola letra, su exponente es el grado del monomio. Cuando la parte literal está formada por dos o más letras distintas el grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman. En los ejemplos anteriores: 2x3: es un monomio de tercer grado (una sola letra) - 4xy2 : también es de grado 3 (la x tiene exponente 1 y la y tiene exponente 2) x2y: es de tercer grado también (la x tiene exponente 2 y la y tiene exponente 1)

Actividad: Aplica lo aprendido para completar la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal grado

x2

- 2x

3x2y3

-5xy2z3

2x3y2

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (eso significa tener las mismas letras con los mismos exponentes). Por ejemplo, son monomios semejantes 3x2y; - 8x2y, 7x2y No son monomios semejantes: 3x2y; 5xy2 (porque la x y la y no tienen los ismos exponentes en los dos monomios) En el siguiente enlace puedes ver un vídeo resumen sobre lo visto en este apartado de monomios.

Aunque ya hemos visto que los monomios pueden tener dos o más incógnitas, a partir de este momento trabajaremos con una sola.

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Operaciones con monomios

Aunque con los monomios podemos hacer las cuatro operaciones básicas (suma, resta,

multiplicación y división), nosotros vamos a estudiar únicamente la suma y la resta.

La suma y resta de dos o más monomios solo se puede realizar si los monomios son

semejantes, es decir, si tienen la misma parte literal. En este caso sumamos (o

restamos) los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Por ejemplo: 5x3 – 2x3 = 3x3

Actividad: Realiza la siguiente suma de monomios

a) 7x – 2x

b) 3x3 – x3

c) 4y2 – 3y2 – 5y2

d) 2z5 – 3z5 +4z5

Si los monomios no son semejantes la suma o resta se deja indicada. Si una expresión

algebraica está formada por monomios no todos ellos semejantes, únicamente se suman

o restan los que son semejantes entre si. Por ejemplo,

3x2+2x-x2+x+1=3x2-x2+2x+x+1=2x2+3x+1

Actividad: Realiza las siguientes operaciones

a) 5x2 - 3x + 5 – 2x2 + x + 3

b) 2z3 + z + 1 – z3 – 2z2 + 5

c) 3y3 + 5y + 3x – 5y + 5y3

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2. Igualdades

En matemáticas una igualdad está formada por dos expresiones separadas por el signo

=. Si en alguna de ellas intervienen letras se tiene una igualdad algebraica.

2.1. Identidades y ecuaciones

¿Qué es una identidad? ¿Qué es una ecuación?

Observa las siguientes igualdades: a) 5x-4x+1=x+1 b) 5x-4x+1=1-x En apariencia son las dos iguales, veamos qué ocurre al darle valores a la variable x:

Valores x=0 x=1 x=2

5x-4x+1=x+1 5·0-4·0+1=0+1 5·1-4·1+=1+1 5·2-4·2+1=2+1 1=1 2=2 3=3

5x-4x+1=1-x 5·0-4·0+1=1-0 5·1-4·1+1=1-1 5·2-4·2+1=1-2 1=1 2=0 3=-1

En la primera expresión, para cualquier valor de x la igualdad se cumple, mientras que

en la segunda expresión solo se cumple para x=0. Esa es precisamente la diferencia

entre identidad y ecuación.

Si una igualdad algebraica es cierta para cualquier valor de las variables, es una

identidad. Si solo es cierta para algunos valores de las variables es una ecuación. En las ecuaciones a las variables las llamamos incógnitas, porque desconocemos su

valor. Llamamos solución de una ecuación a los valores de la incógnita que hacen que

la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es encontrar su solución o soluciones.

Partes de una ecuación

En una ecuación, a la parte de la izquierda de la igualdad se le denomina primer

miembro, y a la parte que se encuentra a la derecha de la igualdad, segundo miembro. Cada miembro está formado por uno o más sumando que se denominan términos.

Llamamos grado de la ecuación al mayor de los exponentes que tienen la incógnita. A

las ecuaciones que tienen grado 1, las llamamos lineales o ecuaciones de primer grado.

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2.2. Resolución de ecuaciones de primer grado

Ecuaciones equivalentes

Observa las siguientes ecuaciones:

a) x+2=5

b) 2x+4=10 Al darle a la incógnita el valor 3, vemos que efectivamente 3 es la solución de ambas ecuaciones. Dos ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen la misma solución.

Resolución de ecuaciones de primer grado

Ya hemos visto que las ecuaciones, tienen dos miembros y en cada miembro podemos encontrar distintos términos. El mecanismo para resolver una ecuación es aislar la incógnita. Para ello tenemos que agrupar todas las incógnitas en un miembro de la ecuación (normalmente a la izquierda), y todos los números, o términos independientes en el otro miembro de la igualdad (normalmente a la derecha) hasta llegar a la forma ax = b. Una vez hecho esto podemos decir que x = b/a es la solución de la ecuación de primer grado. Para resolver una ecuación de primer grado, hay que tener en cuenta las siguientes reglas:

a) Regla de la suma: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o se le resta un número, o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera (tiene la misma solución).

Por ejemplo: x – 5 = 13 Sumamos 5 a ambos lados de la ecuación: x – 5 + 5 = 13 + 5 x – 5 + 5 = 13 + 5 x = 13 + 5 Fíjate que es como si hubiésemos pasado el 5 que estaba restando, al otro miembro sumando. Por tanto la solución de la ecuación es x = 18 Comprobación: Escribimos la ecuación original: x – 5 = 13 Sustituimos la x por la solución: 18 – 5 = 13 La solución es correcta: 18 = 18 Otro ejemplo: 3x = 5 + 2x Restamos 2x a ambos miembros de la ecuación: 3x – 2x = 5 + 2x – 2x

3x – 2x = 5 + 2x – 2x 3x – 2x = 5

Fíjate que es como si hubiésemos pasado el 2x que estaba sumando, al otro miembro restando. Por tanto la solución de la ecuación es x = 5 Comprobación: Escribimos la ecuación original: 3x = 5 + 2x Sustituimos la x por la solución: 3 ∙ 5 = 5 + 2 ∙ 5

15 = 5 + 10 La solución es correcta: 15 = 15

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b) Regla del producto: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica, o divide, por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada (tiene la misma solución)

Por ejemplo: 2x = 6

Dividimos ambos miembros por dos:

Fíjate que es como si hubiésemos pasado el 2 que estaba multiplicando, al otro miembro dividiendo. Por tanto la solución es: x = 3 Comprobación: Escribimos la ecuación original: 2x = 6 Sustituimos la x por la solución: 2 ∙3 = 6 La solución es correcta: 6 = 6

Otro ejemplo:

Multiplicamos ambos miembros por 3:

x = 4 ∙ 3 Fíjate que es como si hubiésemos pasado el 3 que estaba dividiendo, al otro miembro multiplicando. Por tanto la solución es x = 12

Comprobación: Escribimos la ecuación original:

Sustituimos la x por la solución:

La solución es correcta: 4 = 4

c) Transposición de términos: Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma inversa a como estaba antes:

a) Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando

b) Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando.

Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación: 4x – 8 = 6 + 2x Agrupamos las incógnitas en un lado de la igualdad, y en el otro los números, realizando la transposición de términos: 4x – 8 = 6 + 2x 4x – 2x = 6 + 8

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El 2x que está sumando a la derecha, lo pasamos restando a la izquierda. Del mismo modo, el 8 que está restando a la izquierda, lo pasamos sumando a la derecha. A continuación se realizan las operaciones indicadas: 2x = 14 Por último, para despejar a la x, el 2 que está multiplicando, lo pasamos dividiendo:

Comprobación: Escribimos la ecuación original: 4x – 8 = 6 + 2x Sustituimos la x por la solución: 4∙7 – 8 = 6 + 2∙7 28 – 8 = 6 + 14 La solución es correcta: 20 = 20 Otro ejemplo, vamos a resolver la ecuación: - 2x + 7 = 3x – 13 Agrupamos las incógnitas en un lado de la igualdad, y en el otro los números, realizando la transposición de términos: - 2x + 7 = 3x – 13 - 2x – 3x = - 13 – 7 El 3x que está a la derecha positivo, lo pasamos a la izquierda negativo (restando). Del mismo modo, el 7 que está a la izquierda sumando, lo pasamos a la derecha restando. A continuación se realizan las operaciones indicadas: - 5x = - 20 Para tener la x positiva, conviene multiplicar por (- 1) a ambos lados de la igualdad, eso equivale a cambiar de signo a derecha y a izquierda. 5x = 20 Por último, para despejar a la x, el 5 que está multiplicando, lo pasamos dividiendo:

Comprobación: Escribimos la ecuación original: - 2x + 7 = 3x – 13 Sustituimos la x por la solución: - 2∙4 + 7 = 3∙4 – 13 - 8 + 7 = 12 – 13 La solución es correcta: - 1 = -1 Actividades: Resuelve las siguientes ecuaciones:

I. 12x – 16 = - 3x + 4 II. 8x – 10 = - 4x + 26 III. 4 – 5x = 7x – 6

d) Ecuaciones con paréntesis: En estas ecuaciones, el primer paso es quitar

paréntesis. Para ello, se multiplica todos los términos que están dentro del paréntesis, por el factor que está fuera. Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x En primer lugar quitamos paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x 3x – 21 = 5x – 5 – 4x A continuación agrupamos todas las x a la izquierda, y todos los términos independientes a la derecha, con la operación inversa a la que están realizando

3x – 21 = 5x – 5 – 4x 3x – 5x + 4x = - 5 + 21

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Realizamos las operaciones: 2x = 16 Por último, para despejar a la x, el 2 que está multiplicando, lo pasamos dividiendo:

Comprobación: Escribimos la ecuación original: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x Sustituimos la x por la solución: 3(8 – 7) = 5(8 – 1) - 4∙8 3∙1 = 5∙7 – 32 3 = 35 -32 La solución es correcta: 3 = 3

Actividades: Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:

I. 2(3 + x) – 5 = 9 II. 10(4 + 2x) = 5 – 3(x – 1) + 4 III. 6(3 – x) = 2(4 + x) – 4

e) Ecuaciones con denominadores: Primero se reducen todas las fracciones a

común denominador, buscando el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores. Una vez que todos los términos tienen el mismo denominador, podemos eliminar los denominadores (equivale a multiplicar a derecha e izquierda por ese número)

Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación:

Hay que calcular el m.c.m(4, 2, 6) que es 12

Ahora se pueden eliminar todos los denominadores (equivale a multiplicar por 12 a ambos lados de la igualdad) 3x + 30 – 2x = 60 A continuación, agrupamos a la izquierda las incógnitas y a la derecha los números: 3x – 2x = 60 – 30 Realizamos las operaciones: x = 30

Comprobación: Escribimos la ecuación inicial:

Sustituimos la x por la solución:

7,5 + 2,5 – 5 = 5 La solución es correcta: 5 = 5 Actividades: Resuelve las siguientes ecuaciones:

I.

Sol: x = - 1

II.

Sol: x = - 1

Si quieres ver más ejemplos de ecuaciones, pincha este enlace para ver 52 vídeos de resolución de ecuaciones.

Aunque la mayoría de las calculadoras no nos dejan resolver ecuaciones, existen aplicaciones móviles que ya nos lo permiten. Es el caso de photomath que escaneando con la cámara la ecuación, no solo nos da la solución, sino los pasos hasta llegar a ella.

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2.3. Resolución de problemas El siguiente esquema resume los 4 pasos que hay que seguir para llegar a la solución de un problema de este tipo:

Como ocurría en los problemas aritméticos, no hay una fórmula mágica para resolver estos problemas,

pero lo que sin duda nos ayuda la práctica. Por eso te proponemos una lista de reproducción con 2

vídeos del canal de Youtube lasmatematicas.es:

Ejemplo: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? Resolución: La incógnita será la edad de Jorge (que es lo que nos preguntan): x

Por un lado, nos dice “el triple de la edad de su hijo”, eso es 3x.

Por otro lado nos dice que “La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos” que lo anterior, esos se puede poner: 3x = 39 + 6 Es decir: 3x = 45

Jorge tiene 15 años.

Comprobación: El triple de la edad de Jorge sería 3 ∙ 15 = 45 años. Como la medre tiene 39 años, es verdad que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. Ejemplo: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial? Resolución: La incógnita será el número que tenemos que averiguar: x Nos dice que “el número que aumentado en 55”, es decir: x + 55 Y por otro lado nos dice “6 veces su valor inicial”, es decir: 6x Y que ambas cosas son iguales: 6x = x + 55 6x – x = 55 5x = 55

Se trata del número 11 Comprobación: Aumentamos el número en 55: 11 + 55 = 66 Por otro lado, calculamos se veces su valor: 6 ∙11 = 66 Ambas cosas son iguales.

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ACTIVIDADES DE REPASO 1º.- Escribe las siguientes expresiones algebraicas:

a) Un número cualquiera b) El doble de ese número c) El doble de un número menos 3 d) El triple de un número e) La mitad del triple de un número

2º.- Calcula los siguientes valores numéricos para x = 0, x =1 y x = - 1:

a) x2 – 3x + 1 b) x3 + x – 5 c) 2x3 + 4x2 – 5x + 7

3º.- Completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal grado

3x2

- 2x5

x3y

-2xy2z

7x3y3

4º.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x – 34 = 120 Sol: x = 77 b) 9x + 8 = 7x + 16 Sol: x = 4 c) 5x – 13 = 2x – 4 Sol: x = 3 d) 9 +9x = 117 – 3x Sol: x = 9 e) 2x + 1 = 3x – 2 Sol: x = 3

5º.- Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:

a) 2(x - 6) = 3x – 19 Sol: x = 7 b) x – 2 = 3(2x – 19) Sol: x =11 c) 15(x – 1) + 20(x +1) = 75 Sol: x = 2 d) 38 + 7(x – 3) = 9(x + 1) Sol: x = 4 e) 9(13 – x) – 4x = 5(21 – 2x) + 9x Sol: x =1

6º.- Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones:

a)

Sol: x = 10

b)

Sol: x = 4

c)

Sol: x = 0

d)

Sol: x = 3

e)

Sol: x = 3

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7º.- ¿Cuál es el número tal que si a su triple le restamos 8, se obtiene 442? Sol: 150 8º.- El doble de la edad de Juan más 10 años es igual a la edad de Óscar que actualmente tiene 20 años. ¿Qué edad tiene Juan? Sol: 5 años 9º.- Un listón de 28 cm se corta en 2 partes, de forma que una de ellas tiene 6 cm más que la otra. ¿Cuánto mide cada parte? Sol: 11 cm y 17 cm 10º.- En la 2ª planta de un parking hay el doble de coches que en la primera. Si en el parking hay 156 coches, ¿cuántos hay aparcados en la primera planta? Sol: 52 coches 11º.- Entre billetes de 5 € y de 10 € tengo 11 billetes, y de 10 € tengo 3 billetes más que de 5 €. ¿Qué cantidad de dinero tengo? Sol: 90 € 12º.- El número de ecuaciones que ha resuelto Juan es igual al triple que las que ha resuelto Óscar menos 5, y entre los dos han resuelto 7 ecuaciones. ¿Cuántas ha resuelto Juan? ¿y Óscar? Sol: Juan 4 ecuaciones y Óscar 3 ecuaciones. 13º.- Un refresco de limón cuesta 10 céntimos menos que uno de naranja. Hemos comprado 4 refrescos de limón y 1 de naranja y hemos pagado 3,60 €. ¿Cuál es el precio de cada uno de los refrescos? Sol: El refresco de limón 0,70 € y el de naranja 0,80 €. 14º.- Por 2 kg de naranjas y 1 kg de plátanos hemos pagado 3,60 €. ¿Cuánto cuesta cada kg de fruta si el precio de 2 kg de naranjas es el mismo que 1 kg de plátanos? Sol: naranjas 0,90 € y plátanos 1,80 € 15º.- En un juego Miguel ha conseguido el doble de puntos que Ana, y Abel el triple de los que ha conseguido Miguel. Si en total se han conseguido 72 puntos, ¿cuál es la puntuación de cada uno? Sol: Ana 8 puntos, Miguel 16 puntos y Abel 48 puntos 16º.- La suma de tres números naturales consecutivos es igual al menor más 9. ¿Cuáles son estos tres números? Sol: el 3, 4 y 5