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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA NAVAL

CALCULO DE LAS FRECUENCIAS CRITICASROTACIONALES DE UN SISTEMA PROPULSORCON EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS

TESIS PARA OPTAR AL TITULO DEINGENIERO NAVAL MENCION EN

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I. Calificacin.

I. CALIFICACION.

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II. Dedicatoria.

II. DEDICATORIA.

A mis padres por su apoyo incondicional y sus invaluables consejosdurante mis estudios. A Patricia Veloso E. que con su paciencia,

ternura y cario, contribuyo al buen termino de esta tesis

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III. Resumen.

III. RESUMEN.

El presente trabajo discute el uso y la validacin de una metodologa basada en el mtodo deelementos finitos, para la aproximacin de las caractersticas de vibracin rotacional del ejepropulsor. Para esto se estudia tericamente el fenmeno de vibraciones rotacionales en ejespropulsores, la teora bsica de vibraciones laterales en vigas y una introduccin al Mtodode Elementos Finitos para el anlisis dinmico estructural.

El caso de estudio considerado es un crucero turstico de 39.07 metros de eslora, con un serioproblema de vibracin. La vibracin produce altos niveles de ruido audibles en la sala demquinas, sobre los arbotantes de estribor y babor. En una primera aproximacin a lasolucin del problema, se determina la velocidad crtica del motor, donde se produce laresonancia que presumiblemente ocurre en un modo de vibracin rotacional. Debido a queeste tipo de vibracin es particularmente sensible a una configuracin errnea de laestructura, se realizaron modificaciones evaluados con mediciones de ruido. En este esfuerzoinicial, tendiente a mejorar el estado vibracional de la estructura, no se lograron mejorasnotorias.

La metodologa propuesta para calcular las caractersticas dinmicas de vibracin rotacionalen un eje propulsor, a diferencia de las metodologas tradicionales, considera descansos norgidos en un anlisis modal. Se realiz un anlisis modal con el programa ANSYS, versin9.0, usando la siguiente modelacin mixta del sistema propulsor: los arbotantes y el tubocodaste se modelaron con elementos de placas (SHELL63), el eje con elementos de viga(BEAM188) y la hlice se simplific con un elemento de masa puntual (MASS21). Loscomportamientos no lineales (problema de contacto) de los descansos de goma (CutlessBearing Bronze/Rubber) y de la prensa estopa, se aproximaron a un comportamiento lineal,usando un elemento de resorte (COMBIN14).

Se us la metodologa propuesta en modelos diferentes del sistema propulsor, los queconsideran la configuracin original y las modificaciones a la rigidez de los arbotantes. Estosresultados se compararon con un espectro de frecuencia, con las frecuencias de excitacincuando el motor opera en la velocidad crtica y con los resultados obtenidos considerando losdescansos rgidos. Adems se verificaron las frecuencias fundamentales de los arbotantes ytubo codaste.

El d ll d t i ti i it lt d i t l l

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IV. Tabla de contenidos

IV. TABLA DE CONTENIDOS.

I. Calificacin....2

II. Dedicatoria....3

III. Resumen4

IV. Tabla de contenidos............5

V. Simbologa.....9

CAPITULO 1. INTRODUCCION.

1.1. Introduccin.. 12

1.2. Objetivo.. 13

1.3. Revisin bibliogrfica.. 13

1.4. Organizacin de la tesis. 14

CAPITULO 2. VIBRACION ROTACIONAL DEL EJEPROPULSOR

2.1. Caractersticas de la vibracin rotacional........ 15

2.1.1. Definicin.. 15

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2.4. Algunas consideraciones de las casas clasificadoras... 24

2.4.1. Consideraciones generales 24

2.4.2. Consideraciones de clculo... 24

2.4.3. Mediciones 24

2.5. Otros tipos de vibraciones en el eje propulsor....... 25

2.5.1. Vibracin axial.. 25

2.5.2. Vibracin torsional... 25

CAPITULO 3. TEORIA DE LA VIBRACION ROTACIONAL

3.1. Conceptos bsicos de vibracin 26

3.1.1. Sobre la frecuencia. 26

3.1.2. Sobre el amortiguamiento..27

3.1.3. Sobre la respuesta del sistema........ 27

3.1.4. Sobre la condiciones del anlisis.. 28

3.1.5. Sobre las fuerzas excitadoras... 28

3.2. Teora de la vibracin rotacional 28

3.2.1. Vibracin lateral en vigas... 28

3.2.1.1. Vibracin lateral de una viga Bernoulli Euler.......... 293.2.1.2. Vibracin lateral de una viga Timoshenko.. 31

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CAPITULO 4. ANALISIS DINAMICO POR ELEMENTOSFINITOS.

4.1. Introduccin.. 41

4.1.1. Desarrollo histrico de mtodo. 41

4.2. Principios generales aplicados a un continuo elstico.. 42

4.2.1. Discretizacin del dominio en elementos 44

4.2.2. Funciones de forma o de interpolacin 45

4.2.3. Deformaciones elementales.. 45

4.2.4. Energa interna de deformacin (matriz de rigidez del elemento).. 45

4.2.5. Energa cintica (matriz de masa elemental). 46

4.2.6. Trabajo de las fuerzas conservativas (vector de fuerzas elemental). 46

4.2.7. Ensamblaje de las matrices . 47

4.2.8. Ecuaciones de movimiento 49

4.3. Anlisis dinmicos con el MEF.. 50

4.3.1. Formulacin conceptual de la ecuacin de movimiento 50

4.3.2. Anlisis modal. 51

4.3.3. Anlisis armnico. .. 54

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5.1.2. Investigacin previa........... 60

5.2. Modelo de elementos finitos.. 61

5.2.1. Modelos estudiados 61

5.2.2. Consideraciones de los modelos.. 61

5.2.3. Elementos y materiales.. 62

5.2.3.1. Arbotantes y tubo codaste........ 625.2.3.2. Eje propulsor 625.2.3.3. Descansos.... 635.2.3.4. Hlice 64

5.2.4. Geometra y restricciones de contorno....65

5.3. Caractersticas de vibracin.. 66

5.3.1. Frecuencias naturales. 66

5.3.2. Modos de vibracin rotacional (Modos de flexin). 68

5.4. Anlisis armnico. 72

5.4.1. Desplazamientos en el dominio de la frecuencia... 73

5.5. Discusin de resultados. 76

5.5.1. Frecuencias de excitacin.. 76

5.5.1.1. Modelo 01. 765.5.1.2. Modelo 03 y 04. 775.5.1.3. Modelo 02. 78

5.5.2. Comparacin con datos experimentales. 78

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V. Simbologa.

V. SIMBOLOGIA.

: Angulo de desfase : Factor de resonancia

max : Angulo de avance mximo.min : Angulo de avance mnimo.

: Variacin en avance angular de la pala durante una revolucin., , x y z : Rotaciones sobre direcciones cartesianas

{ }e(x,t) : Vector de deformacin de cualquier punto dentro del elemento e.e(x, t ) : Matriz de esfuerzos de cualquier punto dentro del elemento e(x )

: Matriz de funciones de Rayleigh-Ritz

e : Energa potencial total dentro del elemento e : Energa potencial total del dominio discreto

: La relacin de amortiguamiento o amortiguamiento relativo. : Densidad de masa{ }i : Vector propio, vector caracterstico : Fase de cambio de la fuerza de excitacin : Fase de cambio del desplazamiento, en radianes : Frecuencia

D : Frecuencia natural amortiguadae : Frecuencia de excitacinn : Frecuencia naturali : i frecuencia natural de un sistema mecnico de n grados de libertada

: Dominio en el espacio

e

: Subdominio en el espacio, o elemento ea : Distancia entre el punto e y G A : rea de una seccin transversal.{ }a : Vector de aceleracin absoluta

(x )B : Matriz de forma que resulta de la aplicacin de operadores diferenciales espaciales

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V. Simbologa.

{ }F : Vector de fuerzas externas , para t = 0, sobre el dominio{ }(t )F : Vector de fuerzas externas en funcin del tiempo ensambladas en el dominio global.{ }(t )F : Vector de fuerzas externas del dominio, con elementos no ensamblados{ }( t ) 1F : Parte real del vector de fuerzas externas en el dominio { }( t ) 2F : Parte imaginaria del vector de fuerzas externas en el dominio

{ }e(t )F : Vector de fuerzas externa del elemento e, en funcin del tiempo{ }e(t)1 IF : Parte real de la fuerza de inercia{ }e( t )2 IF : Parte imaginaria de la fuerza de inercia{ }e(t)1 CF : Parte real de la fuerza de amortiguacin{ }e( t )2 CF : Parte imaginaria de la fuerza de amortiguacinG : Centro de gravedad del disco desbalanceado H : Potencia mxima en el eje para una velocidad del buquebV , en Hp. I : Inercia de rea[ ]I : Matriz de identidadk : Rigidez de un sistema de un grado de libertad[ ]K : Matriz de rigidez ensamblada del dominio. Es una matriz cuadrada de dimensin nxn,de un dominio con n grados de libertad.

eK : Matriz de rigidez del elemento eK : Matriz de rigidez del dominio, con elementos no ensamblados

m : Masa de un sistema de un grado de libertad[ ] M : Matriz de masa ensamblada del dominio. Es una matriz cuadrada de dimensin nxn,de un dominio con n grados de libertad.

eM : Matriz de masa del elemento e

M : Matriz de masa del dominio, con elementos no ensamblados

en : Nmeros de subdominios o elementos en que se divide el dominio.nn : Nmero de nodos en un elemento.ngn : Nmero de grados de libertad en cada nodo

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V. Simbologa.

T : Fuerza de empuje de la hlice en el eje , en Lb'T : Fuerza de empuje alternativo de la hliceeT : Energa cintica dentro del elemento e

T : Energa cintica del dominio discreto [ ]T : Matriz de identidades de dimensin )nnn()nnn( ngngne : velocidad de giro del eje

AV : Componente axial de la velocidad del flujo de estela.T V : Componente tangencial de la velocidad del flujo de estela. RV : Componente radial de la velocidad del flujo de estela.bV : Velocidad del buque, en Kn

eV : Volumen del elemento o subdominio eV : Volumen total del dominio discreto

maxu : Desplazamiento mximo para un comportamiento armnico

{ }( t ) 1u : Parte real del vector de desplazamiento en el dominio { }( t ) 2u : Parte imaginaria del vector de desplazamiento en el dominio , , x y zu u u : Desplazamientos en direcciones cartesianas, , x y zu u u : Velocidades en direcciones cartesianas, , x y zu u u : Aceleraciones en direcciones cartesianas

{ } { } { }e e e

i( t ) i(t ) i( t)u , u , u

: Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracin del nodo i

y que pertenece al elemento e en funcin del tiempo{ } { } { }e e e( t ) ( t ) ( t )u , u , u : Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracinrespectivamente del elemento e en funcin del tiempo{ } { } { }e e e(x,t ) (x,t ) (x,t )u , u , u : Vector de desplazamiento, velocidad y aceleracin en funcin deltiempo de cualquier punto dentro del elemento e.{ } { } { }e e e( t ) ( t ) ( t )u , u , u : Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracin nodal, enfuncin del tiempo del dominio global no ensamblado

{ } { } { }( t ) ( t ) ( t )u , u , u

: Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracin nodal, en

funcin del tiempo del dominio global ensamblado{ } { } { }u , u , u : Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracin nodal deldominio global ensamblado de n grados de libertad, para t=0.{ }e(t)1u , { }e( t )2u : Parte real y imaginaria del vector de desplazamiento en elelemento e

eU : Energa potencial o energa interna dentro del elemento e

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Captulo 1. Introduccin.

CAPITULO 1.

INTRODUCCION

1.1. Introduccin

Debido a que el eje del sistema propulsor arrastra masas considerables y est expuesto afuerzas externas alternativas por efecto de la hlice, puede excitar tres tipos de vibraciones:axiales, rotacionales y torsionales. Un diseo o combinacin errnea de los componentes delsistema propulsor, aunque stos sean individualmente satisfactorios, puede crear un sistemapropenso a estas vibraciones.

En la etapa de diseo la evaluacin dinmica de la lnea propulsora es fundamental paraasegurar al diseador una operacin segura y confiable del sistema. Estas evaluaciones enetapas tempranas evitan rediseos, reconstruccin o daos en la estructura, seguido deretrasos y costos no presupuestados. En el caso que las vibraciones no puedan ser evitadas, laevaluacin dinmica del sistema propulsor permitir establecer limitaciones operacionales.

Una de las evaluaciones dinmicas que se puede realizar en la etapa de diseo, es el anlisisde vibracin rotacional (Wriling Vibrations Analysis). Esto debido a que este tipo de

vibracin es particularmente sensible a los parmetros de diseo como el dimetro del eje,nmero de palas de la hlice, la disposicin de los descansos, etc.

Histricamente los diseadores han necesitado mtodos confiables para predecir lasfrecuencias naturales de vibracin rotacional y establecer las velocidades crticas del motorque las excitan. De esta forma es posible evaluar el funcionamiento del sistema propulsordentro de su rango de operacin. La metodologa ms tradicional calcula las frecuenciasnaturales de los modos de vibracin lateral del eje (en direcciones ortogonales) aplicando la

Ley de Conservacin de la Energa con el Mtodo de Raleigh. Este tipo metodologas secomplican al considerar la flexibilidad y amortiguamiento de los descansos, la rigidez de lasestructuras alrededor del eje o la rigidez aportada por el efecto giroscpico de la hlice.Actualmente excite la tendencia a despreciar los efectos giroscpicos de la hlice y considerarlos descansos rgidos, debido que efectos se compensan. Estas comparaciones no han sidoevaluadas en buques que cuenten con la mayor parte del eje apoyado en arbotantes. El

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1.2. Objetivos.Usar una metodologa de aproximacin de las caractersticas dinmicas de vibracinrotacional del eje propulsor (frecuencias naturales y formas modales de vibracin rotacional),considerando los efectos que tienen las estructuras como: arbotantes, bocina, tubo codaste yprensaestopas en el comportamiento modal del sistema propulsor como una estructuraglobal.

Validar la metodologa propuesta comparando lo resultados analticos obtenidos con elmtodo de elementos finitos con datos experimentales, tales como las frecuencias deexcitacin (producto de la velocidad crtica de operacin reportada) y espectros de frecuencia.La validacin considerar tambin una comparacin entre la metodologa propuesta y lametodologa tradicional que considera el descanso como un punto simplemente apoyadoradialmente. Esta comparacin permitir establecer la utilidad de la metodologa propuestaal calcular modos de vibracin ms exactos y perdidos pertenecientes al sistema propulsor.

Exponer el uso de una metodologa para la estimacin de las caractersticas dinmicas devibracin rotacional, para ser usada en la evaluacin de la estructura en la etapa de diseo delsistema propulsor. Con esto, al igual que otras metodologas en base al mtodo de elementosfinitos, es posible realizar evaluaciones iterativas o de prueba y error, relativamenterpidas, confiables y econmicas, tendientes a disminuir los efectos de la vibracin rotacionaldel sistema propulsor.

Establecer la utilidad y factibilidad del mtodo de elementos finitos (MEF) para el estudio delas caractersticas dinmicas del sistema propulsor. A pesar que en este trabajo se uso el MEFpara estudiar solo las caractersticas dinmicas de vibracin rotacional, tambin puede serusado para estudiar las tres formas de vibracin del eje propulsora la vez. Para esto, lametodologa deber tener ciertas consideraciones al modelar estructuras como: el eje delreductor, el cigeal del motor, las bridas de acoplamiento, las caractersticas deamortiguacin del motor y la rigidez torsional de la caja reductora etc.

1.3. Revisin bibliogrfica.

Para realizar esta tesis se consultaron trabajos y publicaciones sobre el tema propuesto,utilizando varios de ellos como referencia. Los trabajos consultados con mayor importanciaen este campo, son discutidos aqu.

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Qingxin, X., Rongying, S., Shusheng, Z. [Ref. 19], usaron exitosamente el programa ANSYSpara calcular las caractersticas de vibracin de un sistema propulsor. Se realiz un anlisismodal simplificando la hlice con un elemento de masa (MASS21), el eje propulsor con unelemento de viga (BEAM188) y se agreg el efecto de la rigidez de los descansos con unelemento de resorte elstico (COMBIN14). De este modelo se pudieron obtener exitosamentelas frecuencias crticas de vibracin torsional, axial y lateral.

1.4. Organizacin de la tesis.El tema de esta tesis est expuesto en seis captulos, ordenados de tal forma de lograr elconocimiento del fenmeno en estudio, la teora y un mtodo prctico de clculo con lascorrespondientes conclusiones de su uso.

En el captulo uno se expone una introduccin a la importancia del control de vibraciones pormedio de la estimacin de las caractersticas dinmicas del sistema propulsor y la factibilidaddel uso del mtodo de elementos finitos. Tambin se exponen trabajos similares sobre estetema.

En el captulo dos, se expone el estudio del fenmeno de vibracin rotativa en ejespropulsores. Se identifica y se caracteriza el fenmeno describiendo las causas, efectos yconsideraciones del clculo de la frecuencia crticas rotativas en ejes propulsores.

En el captulo tres, se realiza una mirada general al estudio de vibraciones laterales de lasvigas y la vibracin rotativa de los rotores. Se muestra la teora que identifica los diferentesfactores que influyen en este tipo de vibracin y que son aplicables al clculo de lasfrecuencias naturales de flexin de un eje propulsor.

En el captulo cuatro se expone una introduccin al anlisis dinmico de estructuras usandoel Mtodo de Elementos Finitos, por medio del programa comercial ANSYS.

En el captulo cinco, se muestra un caso de estudio con la aplicacin del mtodo de loselementos finitos para identificar las frecuencias crticas rotacionales. Se comparan y valida lametodologa, al coincidir la frecuencia natural del eje propulsor con los datos obtenidos enuna investigacin previa.

En el captulo seis, se exponen las conclusiones y recomendaciones del uso del mtodot l i bl d ib i t i l

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Captulo 2. Vibracin rotacional del eje propulsor.

CAPITULO 2.

VIBRACION ROTACIONAL DEL EJE PROPULSOR

2.1. Caractersticas de la vibracin rotacional.

2.1.1. Definicin.

La vibracin rotacional (Whirling Vibration) es un caso especial de la vibracin lateral devigas esbeltas con masa y rigidez distribuida. La vibracin lateral se caracteriza por produciroscilaciones en un plano que pasan por la posicin neutral de una viga. Cuando el eje giracon una velocidad , la vibracin lateral se produce en planos giratorios que pasan porlnea neutra del eje como lo muestra la figura 2.1.1. Este tipo de comportamiento se denominavibracin rotacional.

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2.1.2. Causas.Aunque el eje est bien alineado y balanceado siempre existe algn grado de desbalance oeventuales masas excntricas que estn influenciadas por fuerzas centrfugas. En la prctica,debido a que el eje no es perfectamente simtrico, el eje propulsor siempre esta expuesto aproducir algn grado de vibracin rotacional dentro de las velocidades de operacin delmotor.

En el diseo del sistema propulsor, exciten factores sensibles a aumentar las amplitudes deuna vibracin rotacional del eje. Estos pueden ser:

Dimetro del eje. Un dimetro del eje inusualmente pequeo, y que por lo tantoposea una falta de rigidez, puede influenciar considerablemente una vibracinrotacional. As, el eje ser influenciado por cargas alternativas producto de la accinde la hlice y el torque del motor. Estas cargas pueden ser: cizalle por torsin, empujeaxial y esfuerzos de flexin. Las casas clasificadoras proponen dimetros mnimos del

eje que a menudo son tiles para evitar que este factor produzca altas magnitudes devibracin rotacional

Distancia entre descansos: Las amplitudes de esta vibracin generalmente aumentancon el espacio entre descansos. Sin embargo, esto no es regla general ya que pequeosespaciamientos entre descansos pueden provocar un aumento de la vibracinrotacional. A menudo un criterio til usado para la disposicin de los descansos,indica que el cuociente entre la distancia de stos y el dimetro del eje debe ser menorque 20.

Nmero de palas de la hlice : Como se ver ms adelante, las excitaciones de lahlice, son la fuente de excitacin ms importante a bordo del buque. La hlice generafluctuaciones en: el empuje, momentos flectores, momento de torsin y la posicin delcentro de empuje. Esto producto de las velocidades no uniformes del flujo de aguasobre el plano de la hlice. Estas fluctuaciones pueden influenciar en gran medida lavibracin rotacional.

Al igual que otros sistemas mecnicos, no es posible evitar las causas de vibracin rotacionalen un sistema propulsor. Sin embargo, s es posible disminuir la magnitud de la oscilacincontrolando los factores que la magnifican.

E l lt i l d ib i t ti g l t i fl i d

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Revoluciones del eje propulsor . Comnmente corresponde a la frecuencia deexcitacin por desbalanceamiento. Frecuencias del paso de la pala de la hlice (FPPH) y sus armnicos . Generalmente

son las frecuencias de excitacin por fuerzas alternativas de la hlice.

Las vibraciones se podrn identificar segn la naturaleza de las fuerzas de excitacin:

Vibracin primer orden: Masa desbalanceada del centro de rotacin del eje,

magnificadas por fuerzas centrfugas. Vibracin de n orden: Momentos flectores inducidos por la hlice segn el nmero

de palas (n).

Cuando la frecuencia de la excitacin es igual a la frecuencia natural de flexin del ejepropulsor, se produce una resonancia rotacional (whirling resonance) y se identificanfrecuencias crticas rotativas (whirling frequencies) dentro del rango de operacin del ejepropulsor , o en un sentido prctico, se identifica la velocidad crtica de operacin del motor.

Para el estudio de las frecuencias crticas en la operacin motor se puede hacer un diagramade Campbell.

2.1.4. Efectos.

La vibracin rotacional de un sistema propulsor, no es usualmente peligrosa para el eje, sinembargo es importante cuando las oscilaciones son comunicadas al casco por los descansos.

En efecto, cuando el eje vibra en un modo rotacional puede producir uno o varios de lossiguientes fenmenos:

Genera un esfuerzo dinmico adicional en el eje. Aumenta dinmicamente las reacciones en los descansos transmitiendo vibraciones a

la estructura de popa del buque. Alteracin en el normal funcionamiento de los descansos del tubo codaste, producido

por sobrecalentamiento o desgaste.

2.2. Excitacin debido a la hlice.

2 2 1 Fuerzas alternativas de excitacin

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La figura 2.2.1.b ejemplifica un flujo de agua con velocidades radialmente variables y suscomponentes vectoriales sobre el plano de la hlice. Las componentes tangenciales de lavelocidad del flujo, en ambas bandas de la cruja son simtricas y vectorialmente ascendentes(figura 2.2.1.a). La figura 2.2.2 muestra la variacin de las componentes axial y tangencial delas velocidades sobre la seccin de la pala que gira en sentido izquierdo bajo el efecto de laestela.

min = Angulo de avance mnimo

max = Angulo de avance mximo = Variacin en avance angular de la

pala durante un a rev. R = Velocidad tangencial de la pala

AV = Velocidad axial

T V = Velocidad tangencial.

RV = Velocidad radial R = Radio de la hlice

[Figura 2.2.1]: (a) Curvas de la isoestela en un buque de unasola hlice (b) Flujo de agua en el plano la hlice.

VA = Velocidad axialVT = Velocidad tangencial.VR = Velocidad radialR = Radio de la hlice

(a) (b)

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Las pequeas componentes axiales de la velocidad del flujo, en un buque de una hlice (estelacomparativamente grande), est generalmente por encima de la lnea central de la hlice. Estoproduce un gran empuje cuando la pala de la hlice pasa por la parte superior de est rbita

La figura 2.2.3 muestra una comparacin de las caractersticas de las fuerzas alternativas, queresultan al variar el nmero de palas de la hlice expuesta al efecto de la estela en un buquetpico de una hlice. Estos grficos corresponden al trabajo desarrollado por J.D. Van Maneny R. Wereldsma en el canal de experiencias hidrodinmicas de Wageningen, Alemania. Alcomparar las variaciones de torque, momento flector y posicin del centro de empujeproducido por hlices de 4 5 y6 palas en funcin del ngulo de giro de la hlice se concluy

[Figura 2.2.3]: Caractersticas de las fuerzas fluctuantes, generadas por hlices con diferentesnmero de palas, medidas a popa de un modelo de petrolero una hlice(Datos obtenidos de Marine Engieenering SNAME, 1975 [Ref. 18, Pg. 359])

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de hlice, nmero de palas, sentido de giro de la hlice, la forma de estela del buque, etc.Ejemplos de la forma como algunos de estos factores influencian estas caractersticas son:

El ngulo en las palas (Skew): En hlices que tienen un ngulo de pala del orden de70, se reducen significativamente las fuerzas alternativas de empuje y de torque.

Secciones de popa: En buques cuyas secciones de popa cambian desde una forma Va una forma U el centro del empuje tiende a moverse hacia abajo, debido a que las

velocidades del flujo de agua tienden a igualarse en regiones del fondo. Calado del buque : El calado del buque influye en la posicin resultante del empuje.

En buques de carga cuando operan en condicin liviana, cambia la forma del flujo deagua sobre el plano de la hlice generando que la excentricidad del centro de empujese mueva a la parte inferior de este plano.

Se puede realizar un anlisis cuasiesttico para predecir la magnitud de los componentes

alternativos de torque y empuje, incluyendo la excentricidad del centro de empuje. Estaaproximacin es suficientemente exacta para muchas aplicaciones. El anlisis se realizaexaminando las velocidades del flujo de agua sobre las palas en ngulos discretos del giro dela hlice. Las velocidades del flujo de agua son consideradas constantes en cada posicin de lapala. Usando las caractersticas de propulsor aislado (diagrama K T-KQ-J), el empuje y eltorque puede ser determinado en cada pala. Estos resultados se suman y se grafican enfuncin de ngulos discretos del giro de la hlice, obteniendo grficos como los mostrados enla figura 2.2.3. Una forma de estimar las fuerzas alternativas sobre la hlice es expuesta acontinuacin, obtenida de la referencia [18] en las pginas 360 y 361.

2.2.1.1. Cargas alternativas de torque:

El momento principal de torsin en el eje para estimar el promedio del esfuerzo de torsin escalculado de la salida del motor principal. El torque en el eje puede ser estimado por lasiguiente ecuacin [Ref. 18, Pg. 360].

N

H Q

=025.63

[Ec. 2.2.1]

Q ' r Q= [Ec. 2.2.2]

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del paso de la pala de la hlice como resultado de la estela no uniforme. El sistema de eje escuidadosamente diseado para evitar la frecuencia de resonancia por torsin a mximapotencia; por lo tanto, la las cargas torsionales no son consideradas amplificadas por laresonancia. El rango de la magnitud de la fuerza alternativa es obtenido de la ecuacin 2.2.2 yde la tabla 2.2.1. Ntese que el torque puede ser de gran magnitud aunque no se magnificapor la resonancia.

2.2.1.2. Cargas alternativas de de empuje.La magnitud de la fuerza de empuje producida por la hlice es igual a la resistencia deremolque, corregido por el efecto de la interaccin entre la hlice y el casco. Esta interaccines conocida como reduccin de empuje. El valor del empuje de diseo puede ser calculado enla estimacin de potencia o a partir de un modelo en el canal de pruebas. Para una estimacinpreliminar en el diseo, el empuje puede ser estimado con una de las siguientes expresiones[Ref. 18, Pg. 361]:

326 326 ( )1 (1 ) (1 )

= = =

T

c b c b c

R EHP H PC T

t V t V t

[Ec. 2.2.3]T ' f T= [Ec. 2.2.4]

Dnde:H = Potencia mxima en el eje a velocidad del buque V b, en hp.T = Empuje de la hlice, en lb.RT = Resistencia al avance a la velocidad del buque V b, en Lb.EHP = Eficiencia del casco a la velocidad del buque V b, en hp.Vb = Velocidad del buque a potencia mxima, en Kn.tc = Coeficiente de reduccin del empujePC = Coeficiente de propulsinT = Empuje alternativoF = Porcentaje de excitacin del empuje / Tabla 2.2.2

[Tabla 2.2.2 ]: Rango de valores para t c y PC.N de hlices Rango de valores Comentario

1 0.16 0.23 El menor valor corresponde a formas decasco finas y el mayor a formas llenas.tc El l d b

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La magnitud del empuje variable es dependiente del nmero de palas de la hlice como seestudi anteriormente. El empuje alternativo, para una estimacin preliminar, puede sercalculado como un porcentaje del empuje total. Estos porcentajes estn tabulados en la tabla2.2.3, en funcin del nmero de palas y del ltimo descanso de popa

2.2.2. Frecuencia de excitacin de la hlice.

Las caractersticas del flujo no uniforme sobre la hlice pueden ser resueltas dentro de lascomponentes de Fourier, con la frecuencia fundamental la velocidad rotacional de la hlice(frecuencia del eje). Asumiendo una linealidad entre la variacin de la velocidad del flujo deagua y la variacin de las fuerzas sobre la pala, las componentes de Fourier de la velocidaddel flujo de agua son tambin las componentes de Fourier de la fuerzas de una pala querealiza una revolucin. Estos armnicos de la carga son mltiplos del nmero de pala ( nZ ) ycontribuye a la inestabilidad del empuje y del torque. Los armnicos de la carga, adyacentes alos mltiplos de las frecuencias de la pala, contribuyen a la inestabilidad de las fuerzas

transversales y de los momento de flexin. ( 1nZ

),

La excitacin de una vibracin rotacional se puede presentar en la velocidad angular de lapala o en uno de sus armnicos. Se puede asumir que las frecuencias de excitacin de lahlice producto de la del flujo de agua no uniforme sobre el plano de la hlice, correspondena las frecuencias del paso de la pala de la hlice (FPPH) y sus armnicos. Estas frecuenciasson obtenidas a continuacin.

eje eje eje ejeZf , 2Zf , 3Zf ............nZf FPPH = [Ec. 2.2.5]

Por lo tanto, la fuerza de empuje alternativo generada por el flujo de agua no uniforme sobreel plano de la hlice ocurre en la frecuencia del paso de la pala de la hlice. La eleccin delnmero de pala de la hlice se podr realizar en base al esfuerzo sobre el eje, producto de losarmnicos de la velocidad del flujo de agua sobre la hlice, de tal forma de minimizar losmomentos de flexin, de torque y la fuerza alternativa del empuje sobre el eje.

2.3. Frecuencias naturales.

Las frecuencias naturales del comportamiento de vibracin rotativa (Whirling frequencies) esdeterminada por un modelo que considera lo siguiente [Ref. 18, Pg. 408].

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El mtodo descrito usa varias consideraciones para simplificar el clculo, como por ejemploconsidera rgidos los descansos. Ora consideracin es despreciar el efecto giroscpico de lahlice, el cual aumenta la rigidez del sistema. En el clculo de la frecuencia natural seestablece que el error asociado con las consideraciones descritas anteriormente, tienden acompensarse mutuamente.

Por una inspeccin de la ecuacin de Rayleigh es evidente que solo las regiones del eje quetienen relativamente grandes amplitudes por cargas estticas, tienen un efecto importante en

la velocidad crtica de vibracin rotacional. Por lo general, grandes amplitudes de vibracinse encuentran en las secciones de popa del sistema propulsor debido al espaciamiento de losdescansos. Este hecho se puede tener en cuenta para simplificar el clculo de la frecuenciacrtica rotacional.

Otra forma de calcular la frecuencia rotacional de un eje, considerando la flexibilidad de losdescansos y el efecto giroscpico de la hlice, es la propuesta por N. H. Jasper, en los trabajos:

A Theoretical Approach to the Problem of Critical Whirling Speeds of Shaft-DiskSystem En: David Taylor Model Basin Report 827 1954.

A Desing Approach to the Problem of Critical Whirling Speeds of Shaft-DiskSystem En: David Taylor Model Basin Report 890 1954.

An Experimental and Theoretical Investigation of Propellers Shaft Failures En:Trans. SNAME Vol. 60 - 1952

N.H.Jasper expuso un procedimiento relativamente simple debido a que considera solo laparte de ms a popa del sistema propulsor. Los resultados obtenidos por este mtodo sonequivalentes al mtodo de Rayleigh; esto es atribuible a la compensacin de los efectosopuestos que tienen la rigidez de los descansos y el efecto giroscpico de la hlice.

Otro mtodo actualmente en uso, es el de los elementos finitos. Para determinar la frecuencianatural de flexin del eje propulsor, la Germanischer Lloyd en su publicacin GL-Technology: Ship Vibration [Ref. 14] propone criterios para la investigacin de lascaractersticas dinmicas de la vibracin rotacional.

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Las caractersticas de los arbotantes. Estas pueden tener frecuencias naturales cercanasa la frecuencia de la pala de la hlice.

Estimacin de la clara entre el eje y el descanso, as como tambin las cargasdinmicas de los descansos en un anlisis de vibracin forzada.

Un ejemplo de anlisis, ocupando el primer y el ltimo de los criterios planteados, es elmostrado en la figura 2.4.1. En este anlisis se model la estructura de popa completa de uncrucero de 90 m de eslora, utilizando un modelo mixto de elementos finitos. De esta forma, el

sistema de eje propulsor se model con elementos de viga y la estructura que lo rodea conelementos de placas. Unos de los parmetros tomados en cuenta es la rigidez de losdescansos lubricados con aceite. En este ejemplo se identifico la frecuencia de excitacin en elsegundo armonio de la frecuencia de la pala. La vibracin diminuy al aumentar el dimetrodel eje, resultando una frecuencia natural 4 Hz mayor que inicial.

2.4. . Algunas consideraciones de las casas clasificadoras.

2.4.1. Consideraciones generales.

El constructor tiene que asegurar que las caractersticas dinmicas de la vibracin lateraltienen que ser satisfactorias dentro del rango de operacin, por medio de un estudio devibraciones [Ref. 13; 5.8.4/4.1.1], [Ref. 1; 4.3.2/7.9], [Ref. 10; 4.2.6/C601]. No obstante, si existeun sistema propulsor anlogo con caractersticas dinmicas satisfactorias en servicio, el

clculo de la vibracin lateral puede ser abandonado [Ref. 13; 5.8.4/4.3.2].

Se debe tener una importante preocupacin cuando el sistema de ejes tiene descansos fuerade borda (arbotante) o incorpora un cardn. [Ref. 13; 5.8.4/4.2.1].

Sobre la base del estudio de vibracin lateral el diseador podr proponer rangos prohibidosde velocidades de operacin dentro del rango de operacin del motor. Los rangos develocidad prohibidos debido a la vibracin lateral deben ser verificados y fijados por

apropiados procedimientos de medicin del nivel de vibracin, en presencia y con lasatisfaccin del inspector de la clase [Ref. 1; 4.3.2/7.9], [Ref. 1; 4.3.2/11.3.2], [Ref. 10;4.2.6/C602].

2.4.2. Consideraciones del clculo

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2.5. Otros tipos de vibraciones en el eje propulsor.

2.5.1. Vibracin axial.

Este tipo de vibracin se caracteriza por las oscilaciones de segmentos del eje en direccionesaxiales de la posicin neutral (hacia delante y hacia atrs). Las fuerzas de excitacin, sonprincipalmente la variacin de empuje en la hlice y las fuerzas generadas por el cigeal delmotor. Las fuerzas de excitacin del motor son productos de las componentes axiales ylongitudinales de la presin del gas de combustin y las fuerzas de inercia de las masasalternativas. En algunos casos la vibracin axial puede ser excitada por una vibracintorsional producindose un acoplamiento entre estas vibraciones. Aunque la vibracin axialaislada rara vez produce daos severos en el eje, es usualmente causa de vibracin en elcasco, la que es excitada por la fuerza variable que actan en la chumacera de empuje.

Para minorizar los efectos de este tipo de vibracin, los constructores de motores de baja

velocidad integran un amortiguador axial dentro del motor. Actualmente este sistema hallegado a ser un estndar en la construccin de motores marinos.

2.5.2. Vibracin torsional.

Este tipo de vibracin es caracterizada por la velocidad variable de rotacin del eje. Encontraste con los otros tipos de vibracin, este es invisible al ojo humano. Esta vibracin

puede causar serios daos al eje, e incluso fracturarlo. La vibracin torsional es caractersticade casi todos los mecanismos o dispositivos rotativos y es especialmente significativa cuandose produce en motores de combustin interna y en ejes. La vibracin torsional esconsecuencia de varios procesos, los ms comunes son:

Presin de gas variable en un cilindro en la combustin dentro del motor. Fuerzas de inercias del cigeal. Fluctuacin del flujo de agua alrededor de la hlice.

Actualmente estas caractersticas han aumentado con el tamao del motor, causando unincremento en las fuerzas de excitacin de la vibracin torsional en los nuevos sistemas depropulsin.

Para que se produzca una vibracin torsional la frecuencia de excitacin debe coincidir con la

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Captulo 3. Teora de la vibracin rotacional

CAPITULO 3.

TEORIA DE LA VIBRACION ROTACIONAL

3.1. Conceptos bsicos de vibracin

a. Vibraciones: Una vibracin en su concepto ms general, es el movimiento de unaestructura, que se repite con todas sus caractersticas despus de cierto intervalo detiempo (periodo de vibracin de un movimiento peridico. La vibracin puedeaparecer cuando energas de deformacin, potencial elstica o potencial elastoplsticaaparecen en un sistema mecnico. De esta manera el sistema mecnico puede teneruna energa cintica (masa o inercia), as como tambin factores que pueden disiparla(amortiguamiento). La vibracin del sistema mecnico involucra la transferenciaalternativa entre las energas potencial y cintica. Considerando un sistemaamortiguado, una de estas energas es disipada en un ciclo de vibracin, de tal formaque la energa de vibracin pueda ir disminuyendo.

El problema de vibraciones ocurre cuando persisten esfuerzos considerables yvariables en el tiempo, o tambin aportaciones de energa que puedan dar paso afenmenos de vibraciones autoexcitadas. La resolucin de este problema consiste en ladisminucin de estos esfuerzos dinmicos, modificando el sistema mecnico.

3.1.1. Sobre la frecuencia

b. Frecuencia de Excitacin ( e ): Es la frecuencia asociada a una accin exterioractuante sobre el sistema mecnico en estudio y puede vara armnicamente en unproblema de vibraciones forzadas por una excitacin armnica.

c. Frecuencia Natural ( i ): Es la frecuencia del movimiento armnico que resulta alintroducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema que est enposicin de equilibrio, y dejarlo vibrar libremente sin amortiguamiento (problema devibraciones libres no amortiguadas). En sistemas mecnicos de un grado de libertadsu valor es:

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3.1.2. Sobre el amortiguamientoe. Amortiguamiento crtico: Parmetro intrnseco de un sistema de un grado de libertad

amortiguado. Su valor es:

= mc 20 [Ec. 3.1.3]

f. Relacin de Amortiguamiento: La relacin de amortiguamiento o amortiguamiento

relativo ( ) de un sistema, es el cuociente entre el amortiguamiento del sistema ( c ): yel valor de su amortiguamiento crtico ( 0c ):

mk

ccc

==

20

[Ec. 3.1.4]

3.1.3. Sobre la respuesta del sistema.g. Modo Natural de Vibracin: Se llama modo natural de vibracin de un sistema

mecnico a los posibles movimientos armnicos que pueden tener lugar en el sistemaen condiciones de excitacin nula. Habr tantos modos naturales como grados delibertad tenga el sistema. Al tratarse de un problema de vibraciones libres noamortiguadas, los modos naturales vendrn dados por la resolucin del siguientesistema de ecuaciones:

[ ] [ ]( ){ }2 0 + =i i M K [Ec. 3.1.5]Este es un problema de valores y vectores propios generalizado, en que los vectorespropios son los modos naturales. Cada modo o vector propio establece la relacinexistente entre las amplitudes de los movimientos armnicos sncronos (cuando no seconsidera la presencia de amortiguamiento) de los diferentes grados de libertad del

sistema.

Si se desplaza el sistema respecto de su posicin de equilibrio esttico en la forma deun modo natural o vector propio { } i se observa el siguiente fenmeno: el sistemacomienza a oscilar armnicamente alrededor de dicha posicin de equilibrio, siendo la

i i d d l i l i i d i l d l

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i. Factor de Amplificacin Dinmica (D): Es la relacin existente entre la amplitud delas vibraciones de un sistema sometido a una excitacin armnica y el desplazamientoesttico (cuando la carga es aplicada estticamente). El valor de D para un sistema deun grado de libertad es:

22 2

1

1 2

= +

e e

i i

D

[Ec. 3.1.6]

3.1.4. Sobre las condiciones del anlisis

j. Rgimen Estacionario: Un sistema dinmico se dice que est en rgimen estacionariocuando su variacin con el tiempo reviste un carcter peridico. Es decir, todas lasvariables del problema repiten valores en cada intervalo de tiempo. Este intervalo detiempo se denomina perodo.

k. Rgimen Transitorio: Un sistema dinmico se dice que est en rgimen transitoriocuando la dependencia temporal de las variables del problema es arbitraria o carecedel carcter peridico.

3.1.5. Sobre las fuerzas excitadoras

l. Vibraciones Libres: Vibraciones que tienen lugar en ausencia de fuerzas exteriores: f(t) = 0 y slo son debidas a unas determinadas condiciones iniciales dedesplazamiento y/o velocidad.

m. Vibraciones Forzadas: Son las vibraciones que tienen lugar debido a la presencia defuerzas exteriores que actan sobre el sistema, las que son variables en el tiempo.

n. Vibraciones Aleatorias: Vibraciones que ocurren debido a la aplicacin sobre elsistema de fuerzas exteriores, de las que se pueden conocer algunos valoresestadsticos tales como la media, varianza, composicin en frecuencia, etc.

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viga con descansos rgidos usando la teora de Bernoulli-Euler, el problema de la vibracin derotores se complica debido a:

Efecto giroscpico de un disco (Caso de una hlice). Momentos de inercia de rea distintos en el eje (Cambio de secc. transversal en el eje). Propiedades de rigidez y amortiguamiento de un descanso lubricado con aceite. Acoplamiento de dos rotores.

3.2.1. Vibracin lateral en vigas

3.2.1.1. Vibracin lateral de una viga Bernoulli Euler

Generalizando el comportamiento de una viga, se pueden definir tres tipos decomportamiento distintos tabulados en la siguiente tabla, con sus grados de libertad y fuerzaspredominantes.

[Tabla 3.2.1] Tipos de comportamientos que puede presentar una vigaComportamiento Grados de libertad Fuerzas predominares

Axial Desplazamiento ( xu ) Fuerzas axiales ( xF )

Torsional Rotacin ( x ) Momento torsional ( xM )

Desplazamiento ( yu ) Fuerza de cizalle ( yF )Flexin (Plano xy)

Rotacin (z

) Momento de flexin (z

M )

Desplazamiento ( zu ) Fuerza de cizalle ( zF )Flexin (Plano yz)

Rotacin ( y ) Momento de flexin ( yM )

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Si se desprecia la inercia rotacional del elemento de viga y a partir de la ecuacin deequilibrio del elemento de masa dx de la figura 3.2.1.b, se obtiene la ecuacin general devibracin transversal.

4 2y y

4 2z

u d uA0

x EI dt + =

[Ec. 3.2.1]

Se reconocen parmetros de masa ( Am = ) y rigidez ( k EI= ). Cuando una viga tiene unmodo normal de vibracin lateral, la deflexin en cualquier punto de la viga varaarmnicamente con el tiempo, esto puede ser escrito como:

{ })()( 21 t sen Bt sen B X u y += [Ec. 3.2.2]

Dnde X es una funcin de x que define la forma de la viga del modo normal de vibracin,por lo tanto:

X X EI

A x X

z

424

4

=

=

[Ec. 3.2.3]

Donde resulta la ecuacin de la viga:

4 2

z

A

EI

=

[Ec. 3.2.4]

La solucin general de la ecuacin de la viga es:

)()()()( 4321 xsinhC xcoshC xsenC xcosC X +++= [Ec. 3.2.5]

Las constante C 1, C2, C3, C4 son determinadas por la condicin en los bordes.

Evaluando la ecuacin 3.2.5 con las condiciones de sus extremos, se obtienen los modos devibracin. Considerando la ecuacin 3.2.6, se obtiene la ecuacin general de las frecuenciasnaturales de la viga, donde el valor de L y se obtiene de la Tabla 3.2.2 para las i frecuenciasnaturales.

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3.2.1.2. Vibracin lateral de una viga Timoshenko.

La teora de la viga de Timoshenko se usa cuando el espesor es proporcionalmentesignificativo a la distancia entre dos apoyos adyacentes. En este caso, la inercia rotacional y ladeformacin por cizalle tienen una contribucin significante en la flexin lateral. Por otraparte, la inercia rotativa y el efecto del cizalle, deben ser tomados en cuenta, en anlisis devibracin a grandes frecuencias de cualquier tipo de viga o en anlisis de vigas huecas

[Figura 3.2.2]: Modos de vibracin lateral de una viga, con diferentescondiciones en los extremos

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Dnde:oe = Centro geomtrico del discoG = Centro de gravedad del disco desbalanceadoa = Distancia entre el punto e y Gr = Distancia del centro de rotacin o y el punto ee = Frecuencia crtica rotativa

= Velocidad de rotacin del eje

m a = Desbalance residualk = Rigidez lateralc =Amortiguamiento viscoso

Cuando las cargas del eje son debido a efectos centrfugos, la ecuacin de movimiento esexactamente la misma que para la vibracin transversal de la viga. Para determinar la

[Figura 3.2.1]: a. Eje flexible acoplado a un disco con desbalanceamientoresidual ( m a ), b. Geometra del desbalance del disco

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Donde:2e

2 2 2 2e e

m aD

(k m ) c

=

+

[Ec. 3.2.9]e = ; m

k = ;c

cc = ; Cc 2 km= [Ec. 3.2.10]

Reemplazando las ecuaciones 3.3.10 en la ecuacin 3.3.9 y dividiendo por a se obtiene:

222

2

)2()1(

+==

a D

D [Ec. 3.2.11]

12

2tan

1

=

[Ec. 3.2.10]

Al evaluar y graficar las ecuacin 3.3.11 y la ecuacin 3.3.10 para distintos valores de , se

obtiene la relacin de la amplitud D y el ngulo de desfase , en funcin de la velocidad deleje.

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Una comparacin entre los modos de vibracin lateral de una viga con diferentes valores derigidez en el descanso, es mostrada en la siguiente figura:

3.2.4. Vibracin rotativa en descansos lubricados con aceite

Por otra parte la respuesta de vibracin rotativa puede ser:

a Giro rotativo sincrnico en el sentido de giro del eje ( = )

[Figura 3.3.3]: Modos de vibracin rotativa de un eje rgido condescansos elsticos; (a) Modo de traslacin, (b) modo cnico

[Figura 3.3.4]: Efecto de la rigidez en los descansos k en los modos de vibracin lateral.

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debido a la pendiente es nula. Si el disco est unido en el extremo libre del eje, el efectogiroscpico tiene influencia considerable en el comportamiento dinmico de eje.

La base terica para incluir estos efectos giroscpicos en sistemas flexibles con el mtodo deelementos finitos, se muestra a continuacin. El mtodo de elementos finitos es un mtodomatemtico de aplicacin computacional. El concepto bsico de este mtodo es que discretizaun problema continuo en un problema discreto por medio de elementos definidos por nodos.Este mtodo ser descrito en mejor detalle en el capitulo 4 de esta tesis.

De acuerdo al capitulo 4 de esta tesis y la ecuacin 4.3.4, la ecuacin general de lasvibraciones libres no amortiguadas para una estructura esttica es:

[ ]{ } [ ]{ }M u K u 0+ = [Ec. 3.2.12]

En el caso de un rotor giratorio se puede definir un sistema de coordenadas (xyz) que giraacoplado solidariamente al disco. Las fuerzas de inercia se obtienen multiplicando la matriz

de masa [M] por el vector de aceleracin absoluta { }a respecto a un sistema absoluto (XYZ).Mientras que las fuerzas elsticas se obtienen multiplicando la matriz de rigidez [K] por elvector de desplazamientos {u}, relativos al sistema de coordenadas acoplado al disco.

[ ]{ } [ ]{ } { }0=+ uK a M [Ec. 3.2.13]

Para un modelo de elementos slidos cada nodo i tiene tres grados de libertad de traslacin

en el sistema relativo (x, y, z). De esta forma, el vector de desplazamiento queda definidocomo:

{ } { }T z y xi uuuu =

El nodo i que forma parte de la malla del disco se muestra en la siguiente figura:

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[ ] [ ]{ } { }( )i iR R u r +

= Aceleracin centrpeta del nodo i

[ ]

=0

0

0

x y

x z

y z

R R

R R

R R

R Siendo { } { }X Y ZR R R =

El vector de aceleracin absoluta para todos los nodos del disco se obtiene sumando losvectores { }i a expandidos al nmero de grados de libertad del modelo.

{ } { }=i

iaa~

[Ec. 3.2.15]

Introduciendo la ecuacin 3.3.11 en la ecuacin 3.3.10, los trminos aadidos a la ecuacingeneral de vibraciones libres no amortiguadas por los efectos giroscpicos est descrita por lasiguiente expresin.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }cen diff M a B u K K K u 0+ + + + = [Ec. 3.2.16]

Donde:[ ] M = Matriz de masa[ ]K = Matriz de rigidez

[ ]cor B = Matriz de amortiguamiento debido a la aceleracin de Coriolis[ ]cenK = Matriz de rigidez debido a la aceleracin centrfuga

diff K = Matriz de rigidez diferencial debida al estado tensional generado porla aceleracin centrpeta

Las matrices agregadas a la ecuacin 3.2.13 por el efecto giroscpico del disco, puedeexpresarse de la siguiente manera (en funcin de la velocidad de giro).

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

cor cor2

cen cen

2diff diff

B bK k

K k

= = =

[Ec. 3.2.17]

El bl d l t i l l l f i t l

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2 2 2a (b ) = +

Se calculan las frecuencias a velocidad nula, mxima velocidad y velocidad intermedia.La generacin del diagrama considera por tanto, las frecuencias anteriores para los modos ofamilias de modos para cada uno de los ndices de Fourier analizados. Se considera que elmodo n en condiciones de funcionamiento corresponde al modo n en condicionesestticas para un ndice de Fourier determinado.

Las constantes a y b, se calcularn con las condiciones de contorno para condiciones estticaso de funcionamiento.

El diagrama busca las potenciales resonancias que pueden aparecer en el rango defuncionamiento, para los que se dibujan las lneas que corresponden a los engine orders",que son los armnicos de la velocidad de giro del eje. Se representan por tanto, por lneasrectas de la forma:

engine orderf engine speed (rpm)

60=

Con los datos del comportamiento dinmico y los "engine orders", se calculan lasintersecciones para cada modo o familia de modos, para todos los ndices de Fourier y sucorrespondiente lnea de "engine order".

Los puntos de interseccin para todos los ndices de Fourier especificados, se describen enforma de porcentajes, sobre la velocidad y frecuencia dando forma al siguiente grafico:

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3.3.2. Anlisis en el tiempo y en la frecuencia

Los anlisis de vibraciones generalmente son usados para el mantenimiento predictivo y eldiagnstico de sistemas mecnicos. El anlisis de vibraciones y el monitoreo proveen de datospara mantener en ptimas condiciones de operacin y eficiencia los sistemas mecnicos

El proceso de anlisis de vibraciones requiere una recoleccin de datos complejos de lamaquinaria. Aunque tericamente la vibracin se puede simplificar con un comportamientosinusoidal, el perfil de vibracin de un rotor es mucho ms complejo, debido que se acoplanmuchas fuentes de vibracin. En un anlisis de vibracin estos perfiles se pueden presentaren dos formatos: en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

3.3.2.1. Anlisis de vibraciones el dominio del tiempo.

El perfil de vibracin en el dominio del tiempo es la variacin de la amplitud en funcin deltiempo. Un ejemplo terico sera la distribucin sinusoidal de la amplitud en funcin del

tiempo. En la realidad, el perfil es mucho ms complejo como lo muestra la figura 3.3.2., perotericamente se puede descomponer en varias funciones armnicas simples, como lo muestrala figura 3.3.3.

Este tipo de formato de vibraciones generalmente se usa para ayudar a caracterizar el

[Figura 3.3.2]: Ejemplo del perfil de

vibracin de la amplitud en el dominio deltiempo medido de un rotor.

[Figura 3.3.3]: Ejemplo del perfil

de vibracin de la amplitud enel dominio del tiempo

(Grficos obtenidos de Structural Vibration: Analysis and Damping Bears, C. F. 1996 [Ref. 4])

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Este tipo de anlisis es til para rotores que operan a ms de una velocidad, debido a que enel eje de las abscisas se puede tabular la frecuencia normalizada a la velocidad de operacin.La normalizacin de la frecuencia no afectar las amplitudes en el grfico. Una caractersticade este anlisis es si un componente del sistema mecnico vibra con una cierta frecuencia auna determinada velocidad de operacin, la vibracin se encontrar en el mismo lugar aloperar a otra velocidad pero, posiblemente, con una amplitud diferente.

Un analizador de vibraciones, para tomar datos en el dominio de la frecuencia, incorpora unmicroprocesador que permite la conversin matemtica de una seal elctrica, en aceleracinpor unidad de tiempo utilizando un algoritmo de clculo llamado Transformada Rpida deFourier (FFT).

[Figura 3.3.4]: Relacin entre la amplituden el dominio del tiempo y la amplitud

en el dominio de la frecuencia

[Figura 3.3.5]: Ejemplo del perfil de vibracinde un rotor. Amplitud en el dominio de la

frecuencia (espectro de frecuencia)

(Grficos obtenidos de Structural Vibration: Analysis and Damping Bears, C. F. 1996 [Ref. 4])

C l 4 A li i di i l MEF

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Captulo 4. Anlisis dinmico con el MEF

CAPITULO 4.

ANLISIS DINMICO CON EL MTODO DE

ELEMENTOS FINITOS

4.1. Introduccin.El mtodo de elementos finitos (MEF) es una poderosa tcnica numrica de aplicacincomputacional, utilizada para la solucin de problemas en varias reas de la ingeniera.

Antes del uso de este mtodo, la evaluacin de diseos complejos para obtener mejoras eraprcticamente imposible por mtodos matemticos tradicionales, sin antes realizar unagruesa aproximacin o realizar modificaciones iterativas con prototipos. Estas tcnicas traanconsigo un elevado coste econmico y de tiempo de desarrollo.

Este mtodo permite aproximar el comportamiento de un sistema real con un modelomatemtico. Posibilita verificar la integridad de los diseos de manera ms rpida,

econmica, exacta y adems de disminuir el nmero de prototipos. Sin embargo, este mtodono entrega la solucin final al problema, si no una aproximacin a ella debido a sus hiptesisbsicas. Contrariamente a estas ventajas, el correcto uso del MEF exige un profundoconocimiento de su teora, as como tambin del rea de la ingeniera en que se trabaja. Slode esta forma, el MEF garantiza que los resultados obtenidos se acerquen, a la realidad. Elsiguiente axioma puede ilustrar el uso errneo del MEF: Basura entra, basura sale.

En los ltimos aos, este mtodo ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances

informticos, crendose un sinnmero de programas o cdigos destinados a realizar clculosen los ms variados campos de la ingeniera. ANSYS, es uno de los ms generales ysofisticados programas de clculo de estructuras por el MEF. Este programa tieneaplicaciones en diferentes reas de la ingeniera, permitiendo anlisis como: anlisisestructurales (lineal y no lineal), termodinmica, dinmica de estructuras (explcita e

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El origen del MEF, como se conoce actualmente, fue ligado al clculo de estructura en elcampo aeroespacial. En 1956 aparece el concepto del MEF en el trabajo Stiffness anddeflection analysis of complex structures presentado por Turner, Clough y Martin en elJournal of Aeronautical Sciences ,1956. Ellos aplicaron elementos finitos simples en elanlisis de estructuras aeronuticas. Los elementos que ocuparon fueron barras y placastriangulares con cargas normales al plano, utilizando los conceptos de discretizacin yfunciones de forma.

El trabajo de revisin de Oden, presenta algunas de las contribuciones matemticas msimportantes al MEF. Estas se expusieron en el libro Advances in Computacional Methods inStructural Mechanics and Design , University of Alabama Press, Huntsville, 1972.

El libro Some aspects of recent contributions to the mathematical theory of finite elementsde los autores Przemieniecki y Zienkiewicz y Holister, presenta el MEF y su aplicacin msgeneral al anlisis estructural.

En los libros El Mtodo de los Elementos Finitos, formulacin bsica y problema linealesdede los autores Zienkiewicz y Taylor presenta una interpretacin amplia del MEF y suaplicacin a cualquier problema de campos continuos. En l se demuestra que las ecuacionesde los elementos finitos pueden obtenerse utilizando un mtodo de aproximacin de pesosresiduales, tal como el mtodo de Galerkin o el de mnimos cuadrados. Esta visin delproblema difundi un gran inters entre los matemticos para la solucin de ecuacionesdiferenciales lineales y no lineales mediante el MEF, a tal punto que ha producido una grancantidad de publicaciones.

Hoy en da el MEF se encuentra en una fase de gran expansin, conjuntamente con eldesarrollo de la tecnologa computacional. La aplicacin del MEF es de uso generalizado en laindustria y hoy continan apareciendo cientos de trabajos de investigacin sobre todo en loscampos de la mecnica estructural, transferencia de calor y mecnica de fluidos.

4.2. Principios generales aplicados a un continuo elstico conel mtodo de los desplazamientos.

El mtodo de los elementos finitos es un mtodo numrico que permite encontrar solucionesaproximadas a problemas fsicos gobernados por ecuaciones diferenciales en derivadas

i l E l d l l ti id d li l l t d it t l

Captulo 4 Anlisis dinmico con el MEF

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Dominio discreto : es el domino que tiene finitas incgnitas y su comportamientonecesita una cantidad finita de grados de libertad para describirlo.

Grados de libertad : Se refiere al nmero de formas diferentes en que un nodo sepuede mover dentro de un sistema de coordenadas espacial especfico. Son losparmetros independientes que definen la posicin y la deformacin del sistema.

Esta tcnica est basada en la aplicacin del mtodo de Rayleigh-Ritz en subdominiosllamados elementos. La accin de aproximar un dominio continuo a un dominio discreto sedenomina discretizacin. Conceptualmente la discretizacin de un dominio se puede realizarde la siguiente forma [Ref. 28]:

a. El continuo se divide mediante lneas o superficies imaginarias en un nmero finitode subdominios o elementos, cuyo comportamiento se especifica mediante un nmerofinito de parmetros asociados a los nodos.

b. Los elementos estn interconectados entre s con un nmero discreto de puntos onodos situado en sus contornos. Los desplazamientos de los nodos se convertirn enla incgnita fundamental de un problema estructural.

c. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera nica el campo dedesplazamiento dentro de cada elemento. Las variables de funciones sern losdesplazamientos de los nodos.

d. Las funciones de desplazamiento definirn de manera nica el estado de deformacin

del elemento, en funcin de los desplazamientos nodales. Estas, junto a lasdeformaciones iniciales y a las propiedades del material definirn el estado tensionaldel contorno del elemento.

e. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos tal que equilibre lastenciones y cualquier carga repartida en el contorno, resultando as una relacin entrelas fuerzas y los desplazamientos .

De acuerdo a lo anterior, la discretizacin del dominio ser la representacin y laaproximacin por una cantidad finita de elemento. Esta accin se denomina mallado deldominio, tal como lo muestra la figura 4.2.1.b

Captulo 4 Anlisis dinmico con el MEF

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La geometra de cada elemento puede ser parametrizada en funcin de las coordenadas delos nodos. En muchas ocasiones, la discretizacin del dominio puede no representar acabalidad todos los detalles de la frontera del dominio global. Esto constituye unacaracterstica de la naturaleza aproximada del mtodo. Sin embargo, la discretizacin deldominio es susceptible a ser mejorada para obtener una ptima calidad en la aproximacin.Esto se realiza por el llamado refinamiento de la malla, que corresponde al aumento de lasubdivisin del dominio o el mallado con elementos de menores dimensiones en reas deinters.

Una vez discretizado el dominio, los elementos se ensamblan mediante la aplicacin decondiciones de compatibilidad de desplazamientos de los nodos. Esto equivale a encontrarlas expresiones de energa cintica y potencial para todo el dominio. Estas expresiones sonintroducidas en ecuaciones de Lagrange obteniendo as una ecuacin matricial global quegobierna el problema.

Finalmente, las ecuaciones de contorno se imponen sobre la ecuacin matricial global y seresuelve el problema calculando el vector de desplazamiento nodal { }( t)u . En el caso de unproblema estructural esttico se pueden calcular las incgnitas secundarias como lasdeformaciones y los esfuerzos dentro del dominio.

4.2.1. Discretizacin del dominio en elementos.El dominio , mostrado en la figura 4.2.1, se discretiza en una cantidad en de subdominioso elementos e . El volumen total del sistema se puede expresar como la suma de losvolmenes de todos estos elementos, como lo muestra la ecuacin 4.2.1.

[Figura 4.2.2]: Elementos usados para discretizar el dominio ensubdominios: Elementos (a) y (b) para dominios unidimensional;

elementos (c) y (d) para dominios bidimensionales; elementos (c) y(f) para dominios tridimensionales.


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Los vectores de los desplazamientos del nodo i ( { }ei(t)u ) tienen una dimensin ngn , por lo quela dimensin total del vector de desplazamiento del elemento e ( { }e( t)u ) es igual al nmero

ng nn n

4.2.2. Funciones de forma o de interpolacin.

Siguiendo la metodologa de Rayleigh-Ritz, se pueden aproximar los desplazamientos de laecuacin 4.2.2 a cualquier punto dentro del elemento, de la siguiente forma:

{ } { }

{ }{ }

{ }

{ }n

n

n

e1(t)

en2(t)e e e

(x,t ) (x) ( t ) 1(x) 2(x ) n (x) (x) ( t)i 1

ei n ( t )

u

uu u N u

u

=

=

= =

[ec. 4.2.3]

Donde los trminos de la matriz (x ) son funciones de Rayleigh-Ritz que dependen de lascoordenadas espaciales y cuyo dominio se limita al dominio del elemento. Cualquier otraposicin de desplazamientos dentro del elemento se obtiene por la interpolacin de losdesplazamientos nodales. La matriz (x )N se denomina matriz de forma.

4.2.3. Deformaciones elementales.El vector de deformaciones en cada elemento, en funcin de los desplazamientos, se obtieneempleando la aproximacin descrita en la ecuacin 4.2.3 de los desplazamientos dentro decada elemento. Por lo tanto, el vector de deformaciones de un elemento e se define como:

{ } [ ]{ } [ ] { } { }e e e e(x ,t ) (x,t ) (x) ( t ) (x) ( t )L u L N u B u = = = [ec. 4.2.4]

Donde: [ ]( x) (x)B L N =


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p

{ } { } [ ] { }e ee eT e eT T e

(x,t ) (x ,t ) ( x,t) (x) (x) ( t )

1 1U dV u B D B u dV2 2

= = [ec. 4.2.6]

En la ecuacin 4.2.6, se evidencia que el vector de desplazamientos nodales no depende de lascoordenadas espaciales. Por lo tanto, la energa interna del elemento se reduce a:

{ }e eT e e(x,t ) ( t )1U u K u dV2 = [ec. 4.2.7]

donde la matriz eK indica la rigidez del elemento definida como:

[ ]e

e T( x) (x)K B D B dV

= [ec. 4.2.8]

La matriz eK es simtrica y su dimensin es igual al nmero de nodos del elemento por el

nmero de grados de libertad por nodo ( ngn nn ).

4.2.5. Energa cintica (matriz de masa elemental)Considerando la expresin de los desplazamientos dentro del elemento expuesta en laecuacin 4.2.3, se puede obtener la expresin para las velocidades de movimiento dentro delelemento como sigue:

{ } { } { }( ) { }e e e e(x ,t ) (x,t ) (x ) ( t ) (x) (t )u u N u N ut t

= = =

[ec. 4.2.9]

Por lo tanto, la energa cintica eT de un elemento e es:

{ }{ } { } { }e ee eT e eT T e

(x,t ) ( x,t ) ( t ) (x) (x) (t )

1 1T u u dV u N N u dV

2 2

= =

[ec. 4.2.10]

Simplificando y agrupando la ecuacin 4.2.10 resulta:

{ } { }Te e e e1T M dV =


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p

{ } { } { }{ } { }

i

TT TC(E)e e e e

(x,t ) (x,t ) (x,t ) (x,t ) (x ,t ) i(t )e e i

T TT Te e(x,t ) (x) (x,t ) (x,t ) (x) (x,t )e e

W u g dV u t dS u p

u N g dV u N t dS

= + +

= + +

{ } iTTe

(t ) (x ) i(t )i

u N p +

[ec. 4.2.13]

La primera integral representa la contribucin de las fuerzas de peso del cuerpo; la segunda

las fuerzas externas en la superficie y la sumatoria el efecto de las fuerzas concentrada. Elvector de las fuerzas elementales tiene una dimensin igual al nmero de nodos del elementopor el nmero de grados de libertad por nodos ( ngn nn ).

4.2.7. Ensamblaje de las matrices

Considerndose las ecuaciones 4.2.13, 4.2.11 y 4.2.7, la energa potencial total e dentro delelemento e y la energa cintica del elemento eT se pueden expresar de la siguiente forma:

{ } { } { } { }T Te e C(E)e e e e e e

( t ) ( t ) ( t ) ( t )

1U W u K u u F

2 = = [ec. 4.2.14]

{ } { }Te e e e( t ) ( t )1T u M u2 = [ec. 4.2.15]

Al igual que el volumen total del dominio puede ser expresado como la suma de losvolmenes de los elementos eV , tal como se muestra en la ecuacin 4.2.1. As se puedenescribir expresiones para la energa potencial total (

) y la energa cintica ( T ) para todoel dominio.

{ } { } { }e en n T Te e e e e e

( t ) ( t ) ( t ) ( t )e 1 e 1

1u K u u F

2

= =

= =

[ec. 4.2.16]

{ } { }e en n Te e e e

( t ) (t )e 1 e 1

1T T u M u

2

= =

= =

[ec. 4.2.17]

La energa potencial del dominio descrita en la ecuacin 4.2.16, puede ser expresadai i l i


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Ntese que las matrices K , M y el vector { }(t )F representan la rigidez, la masa y lasfuerzas externas del dominio, con todos los elementos por separado. Esto significa que ellosno estn unidos entre si o ensamblados. Es evidente que estas ecuaciones presentan grados delibertad repetidos, debido a que existen nodos que pertenecen a varios elementos. Por lotanto, el vector { }(t )u tiene la siguiente forma:

{ } e en n nTn T n T1T 1T 2T 2T

(t ) 1(t ) n ( t ) 1( t ) n ( t) 1( t ) n ( t)u u u u u u u= [ec. 4.2.20]

Con el fin de ensamblar todos los elementos es necesario aplicar condiciones decompatibilidad entre los desplazamientos nodales de los diferentes elementos. Suponiendoque el nodo k pertenece simultneamente al elemento i y al elemento j, se tiene lasiguiente relacin de compatibilidad:

i jk( t) k( t ) k( t)u u u= = [ec. 4.2.21]

Las condiciones de compatibilidad entre elementos como lo mostrado anteriormente, sepueden expresar mediante una transformacin lineal del tipo:

{ }

e

e

e

e

11(t)12(t) 1(t)

2(t)i

k ( t )

k ( t )(t ) jk ( t )

nn 1( t )n(n 1)(t )

nn ( t )

u I 0 0 0 0u u0 I 0 0 0

u

u 0 0 I 0 0uu

u 0 0 I 0 0u

u u0 0 0 I 0

0 0 0 0 Iu

= =

[ ]{ }(t )

nn(t)

T u

=

[ec. 4.2.22]

donde I representa la matriz identidad de dimensin ngn y el subndice nn representa el

nmero total de nodos en el dominio. La dimensin del vector { }(t )u es igual al producto de:el nmero de elementos por el nmero de nodos del elemento y por el nmero de grados delib d d ( ) Mi l di i d l { } i l


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Haciendo { } [ ]{ }( t ) ( t )u T u= e introducindola dentro de la ecuacin 4.2.19, se puede expresarla energa cintica del dominio en la siguiente ecuacin:

{ }[ ] [ ]{ } { }[ ]{ }T TT

(t ) ( t ) ( t ) (t )

1 1T u T M T u u M u

2 2 = =

[ec. 4.2.24]

donde [ ] [ ] [ ]TM T M T = representa la matriz de masa global ensamblada de dimensin

( ngnnn ), la que resulta ser simtrica. Finalmente es importante destacar, que aunque elensamblaje de las matrices y vectores globales mediante la trasformacin { } [ ]{ }( t ) ( t )u T u= esmatemticamente correcto, desde el punto de vista de implementacin del mtodo esbastante ineficiente. Esto ocurre porque almacena matrices de dimensin elevada y realizamultiplicaciones y operaciones entre ellas. En la implementacin del mtodo se usa unarreglo de conectividad que indica cuales son los trminos que conforman cada una de lasmatrices o vectores sin tener que realizar operaciones matriciales.

4.2.8. Ecuaciones de movimientoLas formas discretas de la energa potencial total y cintica del continuo (ecuaciones 4.2.23 y4.2.24) pueden ser introducidas en problemas dinmicos, habiendo entonces

ngnnn ecuaciones de Lagrange de la forma:

gn j j j

d T T0 j 1,......., nn n

dt u u u

+ = =

[ec. 4.2.25]

Considerando que la matriz de rigidez es simtrica, [ ] [ ]TK K= implica que jiij K K = . Deesta forma, desarrollando la ecuacin de la Lagrange se obtiene:

[ ]{ } { }gn

(t ) (t ) j J 1...(nn n )

K u Fu

T0

=

=

=


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4.3. Anlisis dinmicos con el MEF.

4.3.1. Formulacin conceptual de la ecuacin de movimientoEl anlisis dinmico estudia el comportamiento de una estructura en funcin del tiempo. Parauna comprensin preliminar de la ecuacin que gobierna el comportamiento de unaestructura, es necesario asimilar los siguientes conceptos y principios:

2 Ley de Newton: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motrizimpresa y ocurre segn la lnea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

3 Ley de Newton: Principio de accin y reaccin.

Principio de DAlambert : Este principio es una extensin de las leyes de Newton, queindica que si una masa se mueve con una aceleracin, desarrolla una fuerza inercialproporcional a la aceleracin y en sentido opuesto. De esta forma si una partcula demasa m con aceleracin u , la fuerza inercial desarrolladaza ser:

I ( t )F m u=

Conceptualmente, considerando un equilibrio esttico en un tiempo t, se puedendistinguir las siguientes fuerzas actuantes en un sistema.

I(t ) D( t ) E( t ) ( t )F F F F+ + = [ec. 4.3.1]

Dnde:

I(t)F =Fuerzas de inercia

D(t)F =Fuerzas de amortiguacin viscosa o de disipacin de la energa

E(t )F =Fuerzas elsticas

(t )F =Fuerzas externas

Principio de desplazamientos virtuales : Se puede aplicar este principio paraformular las ecuaciones de movimiento como un sustituto de las relaciones deequilibrio directo, cuando:


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La mayor ventaja de esta aproximacin es que la contribucin de trabajo virtual son

cantidades escalares y pueden ser sumadas algebraicamente, mientras que las fuerzasactuantes en la estructura son vectoriales y solo pueden ser superpuestasvectorialmente.

Principio de Hamilton : Es un principio variacional. Discrimina la forma real deevolucionar que tiene un sistema dentro de las formas posibles, entre dos instantes detiempo t 1 y t2. La forma que se produce realmente es la que hace mnima la integralrespecto al tiempo de la funcin Lagrangiana .

21

t

t dt L

Ecuaciones de Lagrange: Son el punto de partida de la mecnica analtica. Estableceuna ecuacin por cada grado de libertad o coordenada generalizada. La funcinLagrangiana U T L = es la diferencia entre la energa cintica y la energa potencial.

iQ es la fuerza generalizada segn el grado de libertad i.

iii

Qq L

q L

dt d =

Usando la discretizacin por el MEF del dominio continuo (del apartado 4.2 de esta tesis,donde se obtiene la ecuacin 4.2.7de comportamiento esttico) y agregando el concepto deamortiguamiento del sistema, se logra la ecuacin de movimiento del dominio para cualquiertiempo t. De esta forma el comportamiento dinmico de un dominio discreto, se describe conun sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden expresadazas en formamatricial, como sigue:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }(t ) (t ) (t ) (t )M u C u K u F+ + = [ec. 4.3.2]Ntese que los trminos de esta ecuacin son los mismos usados conceptualmente en laecuacin 4.2.1. Las matrices [ ] [ ] [ ]M , C y K son matrices cuadradas de orden nn , donde nindica el nmero de grados de libertad que tiene el sistema discreto (modelo de elementosfinitos) para describir un comportamiento elstico de una estructura.

f


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En un anlisis modal se puede despreciar la fuerza de amortiguacin. Haciendo [ ]{ }(t )C u 0= en la ecuacin 4.2.3 se obtiene la ecuacin de vibracin no amortiguada:

[ ]{ } [ ]{ }( t) (t )M u K u 0+ = [ec. 4.3.4]Considerando un comportamiento armnico elstico de la estructura, se puede aproximar larespuesta del sistema a una forma senoidal. De esta forma, las funciones de desplazamiento,velocidad y aceleracin nodal del dominio sern:

{ } { }( t ) iiu cos( t ) = [ec. 4.3.5]{ } { }( t ) i i iu sen( t) = [ec. 4.3.6]

{ } { }2( t ) i iiu cos( t) = [ec. 4.3.7]

donde:

i = Frecuencia natural i, en rad/seg{ }i = Vector de desplazamiento nodales mximot = Tiempo

Sustituyendo las ecuaciones 4.3.5, 4.3.6 y 4.3.7 en 4.3.3 y 4.3.4, se obtiene un problema devalores propios o problema de valores caractersticos:

[ ] [ ] [ ]( ){ }2i i iK i C M 0 + = [ec. 4.3.8][ ] [ ]( ){ }2i iK M 0 = [ec. 4.3.9]

La solucin no trivial de las ecuaciones anteriores son:

[ ] [ ] [ ]( )2i iK i C M 0 + = [ec. 4.3.10][ ] [ ]( ) 02 = M K i [ec. 4.3.11]

En estas ecuaciones el valor 2i es la raz cuadrada de la frecuencia natural del sistema,

llamado valor propio o valor caracterstico (eingevalude). El valor { }i es el vector propio de


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b. La ecuacin 4.2.8, haciendo 2i = , se puede escribir de la forma de la ecuacin4.2.11, obtenindose la interpretacin fsica de los modos de vibracin en que lasfuerzas elsticas estn balanceadas con las fuerzas de inercias.

[ ]{ } [ ]{ }iii M K = [ec. 4.3.11]

c. La relacin entre los grados de libertad dentro de i , define la forma modal i. Sin

embargo, la magnitud de los grados de libertad no tienen significacin. Por lo tanto, sic es un nmero arbitrario, el modo de vibracin i es el mismo que el modo devibrar { }ic . Los modos de vibracin pueden ser normalizados, escalndolos de talforma que la amplitud mayor de un grado de libertad es la unidad. Si el esfuerzo escalculado directamente desde los desplazamientos modales estos sernprobablemente irreales debido a la normalizacin. La normalizacin mas comn esescalar cada modo de vibracin { }i , de manera que:

{ } [ ]{ }Ti iM 1 = [ec. 4.3.12]

d. Los vectores propios son ortogonales con respecto a las matrices de rigidez y de masa.Para ji se culpe:

{ } [ ]{ }Ti jK 0 =

{ } [ ]{ }Ti jM 0 = [ec. 4.3.13]

En la mayora de los casos, solo los modos de las frecuencias pequeas son importantes en larespuesta de la estructura. Consecuentemente si el modelo de elementos finitos tiene muchosgrados de libertad, usualmente solo las pequeas frecuencias debern ser extradas de laecuacin 4.3.8. o 4.3.9, segn corresponda.

Existen varios algoritmos para aproximar la solucin de la ecuacin 4.3.8 o 4.3.9, llamadastcnicas de extraccin de valores y vectores propios. Estas tcnicas se basan en latransformacin de una ecuacin estndar en una ecuacin de valores propios. El programaANSYS, agrupa cinco tcnicas para la extraccin de valores propios de la ecuacin 4.3.8 (a, b,c d) y de la ecuacin 4 3 9 (e f) El uso de cada uno de estas tcnicas depende del tamao del


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el algoritmo de iteracin de Jacobi.

Es altamente exacto debido a que usa las matrices completas de rigidez y demasa.

Es ms adecuado para extraer pequeos nmeros de modos (< 40) en modelospequeos

Requiere menos memoria pero gran espacio en el disco. Puede tener problemas de convergencia en modos de cuerpo rgido. No recomendado con el uso de ecuaciones de restriccin.

c. PowerDynamics : Este mtodo usa la iteracin del subespacio y el solucionador iterativo PCG. Este mtodo tambin puede usar la aproximacin de masa aglomerada. Es ms adecuado para extraer pequeos nmeros de modos (< 20) en modelos

grandes (+100.000 DOF), de forma rpida. Requiere gran cantidad de memoria y menos espacio en el disco comparado con

a y b.

Puede no converger correctamente con elementos con formas bsicas o conmatrices no combinadas. Puede perder modos de vibracin en frecuencias repetidas.

d. Reduced Este mtodo usa el algoritmo HBI (Householder Bisection Inverse Iteration),

para calcular los valores y vectores propios. Se usa con modelos que tienen masa aglomerada que no crean una oscilacin

local. Es tpicamente usado con elementos de viga o barras. Emplea una tcnica que reduce el tamao de la matriz de rigidez y la matriz de

masa seleccionando un subconjunto de variables, llamados grados de libertadmaestros.

La reduccin de la matriz de masa puede perder cierta exactitud en el resultado.La exactitud depende de la cantidad y la posicin de los grados de libertadmaestros, por lo que el uso de este mtodo necesita gran experiencia del usuario.

Bajo requerimiento de memoria y de espacio en el disco. Es generalmente el solucionador de valores propios ms rpido, pero menos

recomendado por lo expuesto anteriormente.

e. Damped: Este mtodo usa las matrices enteras de amortiguacin , rigidez y masa usando


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La ecuacin que gobierna la respuesta armnica de una estructura es un caso especial de la

ecuacin de movimiento (ec. 4.2.2), en que la fuerza { }(t )F vara senoidalmente con el tiempocon una amplitud determinada.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }(t ) (t ) (t ) (t )M u C u K u F+ + = [ec. 4.3.14]donde el vector de la fuerza de excitacin tiene la siguiente forma:

{ } ( )( t ) maxF F cos( t ) isen( t ) = + + + [ec. 4.3.15.a]{ } { }i i t(t ) maxF F e e = [ec. 4.3.15.b]

Para el anlisis armnico la fuerza en funcin del tiempo es conocida, al igual que laamplitud ( maxF ), la frecuencia impuesta ( ) y la fase de cambio de la fuerza ( ). Se puedenaplicar simultneamente varias cargas y ellas pueden estar en fase con otra. Por lo tanto,

todas las cargas deben tener las mismas frecuencias de excitacin que describe el movimientoarmnico.

Por otra parte, se considera que el desplazamiento vara senoidalmente a una mismafrecuencia , pero no necesariamente en la misma fase. Tambin es conocido que enpresencia del amortiguamiento causa cambios en la fase. Por lo tanto, el vectordesplazamiento puede ser definido como sigue:

{ } { }i i t( t ) maxu u e e = [ec. 4.3.16]

Debido a que el desplazamiento mximo ( maxu ) y el cambio de fase del desplazamiento( ) pueden ser diferentes en cada grado de libertad, el uso de una notacin complejapermite una descripcin compacta y eficiente de la solucin del problema de la ecuacin4.2.16. Esta puede escribirse como:

{ } ( ){ } i t( t ) maxu u cos isen e = + [ec. 4.3.17.a]

Haciendo { } { }( t )1 m axu u cos( ) = y { } { }( t ) 2 m axu u sen ( ) = que indica el vector real yel vector imaginario de desplazamiento respectivamente la ecuacin 4 3 17 a tambin se


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2 2max ( t )1 ( t )2F F F= +

]1 ( t )2

(t)1

Ftan F

=

donde:

maxF = Amplitud de la fuerza = Fase de cambio de la fuerza, en radianes

{ } { }( t )1 m axF u cos = = Vector real de la fuerza de excitacin{ } { }( t ) 2 m axF u sen = = Vector imaginario de la fuerza de excitacin

Sustituyendo las ecuaciones 4.3.17 y 4.3.19, dentro de la ecuacin 4.3.14 se obtiene la ecuacinde movimiento armnico:

[ ] [ ] [ ]{ } { }( ) { } { }( )

2 i t i t( t )1 ( t )2 ( t )1 ( t )2( M i C K ) ( u i u ) e F i F e

+ + + = + [ec. 4.3.16]

o tambin:

[ ] [ ] [ ] { } { } { } { }2 ( t )1 ( t )2 ( t )1 ( t )2( M i C K ) ( u i u ) F i F + + + = + [ec. 4.3.17]Las partes imaginarias y reales de las fuerzas de inercia se calculan como:

{ } { }e 2 e e( t )1 ( t )1IF M u = [ec. 4.3.18.a]{ } { }e 2 e e( t )2 (t )2IF M u = [ec. 4.3.18.b]

La partes imaginaria y real de la fuerza de amortiguacin, se calculan como:

{ } { }e 2 e e( t )1 ( t )1C

F C u = [ec. 4.3.19.a]{ } { }e 2 e e( t )2 (t )2CF C u = [ec. 4.3.19.b]

donde:


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Para solucionar la ecuacin 4.2.17 el programa ANSYS cuenta con tres tcnicas parasolucionar este problema: Full, Reducido y Mode superpostition.

4.4. Anlisis por elementos finitos usando el programa ANSYS.Ciertos pasos en la formulacin de un anlisis de elementos finitos de un problema soncomunes en anlisis similares, como: anlisis estructurales, anlisis de transferencia de calor,dinmica de fluidos o dinmica de estructuras. Generalmente, en todos los programascomerciales de elementos finitos estos pasos son agrupados de la misma manera en:preproceso, solucin y posproceso.

El programa ANSYS divide estas etapas en procesadores de datos independientes que agrupalos comandos relacionados entre si para desarrollar una funcin general. Por ejemplo; PREP7(Preproceso), SOLUTION (Solucin), POST1 (Posproceso) y POST26 (Posproceso en funcindel tiempo). Las funciones ms comunes son las siguientes:

4.4.1. Preproceso.El paso de preproceso, en un anlisis de elementos finitos, describe y define el modelo. Elpreproceso o definicin del modelo es uno de los pasos ms crticos. Una solucin por elanlisis de elementos finitos puede ser errnea si el clculo corresponde a una definicinerrnea del problema;. En este paso se definen:

[Figura 4.2.3]: Componente imaginaria y real de las fuerzas deexcitacin armnica.


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casos se desfavorece la calidad del resultado. Estos algoritmos o parmetros son definidos en

esta etapa. Por ejemplo, en un anlisis modal de dinmica de estructuras, se puede elegirentre un algoritmo o tcnica de clculo Block Lanczos (ms lento y mayor calidad en elresultado) o el mtodo reducido (ms rpido y menor calidad en el resultado).

4.4.3. Posproceso:Esta etapa agrupa el anlisis y la evaluacin de los resultados. Comnmente un programa de

elemento finito contiene rutinas usadas para ordenar, imprimir y mostrar bajo un cdigo decolores los resultados obtenidos de la solucin.

Captulo 5. Caso de estudio

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CAPITULO 5.

ESTUDIO DE LAS CACTERISTICAS DE VIBRACIONROTATIVA DE UN SITEMA PROPULSOR USANDO EL

MEF

5.1. Prembulo

El yate turstico Coral I de 39.07 metros de eslora present en las prueba de mar altosniveles de ruido provenientes de la lnea de propulsin. En una investigacin inicialTECNAVIN S.A realiz modificaciones a la estructura en forma iterativa y evaluadas conmediciones de ruido en ambos sistemas de propulsin y a diferentes velocidades del motor.

Debido a que los altos niveles de ruido se encuentra el la sala de mquina, sobre losarbotantes de babor y estribor (en ambas bandas), se consider inicialmente que estasestructuras aportaban poca rigidez al sistema. Por lo tanto, las modificaciones en estasestructuras fueron las ms importantes. Conjuntamente a estas pruebas se verific elalineamiento del eje, el balance de la hlice y se realiz una medicin del espectro defrecuencia sin lograr encontrar la causa del problema de vibraciones.

Presumiendo que este problema se produce por la resonancia de los modos de vibracinrotacional, se hace necesario estudiar las caractersticas dinmicas de este tipo de respuesta enel sistema propulsor. Con la velocidad crtica de operacin del motor reportada en laspruebas de mar, se estudiarn por medio de elementos finitos los siguientes aspectos:

- La contribucin del tubo codaste y los arbotantes al comportamiento dinmico delsistema.

- L

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