PRESENTACIÓN

ASPECTOS DE LA DIDÁCTICA

El algoritmo convencional paradividir fracciones

SITUACIONES DE APRENDIZAJE

Un problema de proporcionalidad

RESPUESTAS A PROBLEMAS

La razón de las áreas del cuadradoLa edad de las niñas

PROBLEMAS PARA RESOLVER

Presa/predador

¿DE QUÉ TRATA?La Reforma Integral de la EducaciónSecundaria (RIES)

BOLETÍN SEMESTRALNÚMERO 13

junio 2004

CONTENIDOLa Reforma Integral de la Educación Secundaria (RIES) es actualmenteuna de las prioridades educativas de la Secretaría de EducaciónPública. Su propósito es fortalecer la educación secundariaatendiendo los siguientes aspectos: ampliar la cobertura; reducir ladeserción y fracaso escolar; obtener mejores resultados en elaprendizaje y que éste sea equivalente en todos los alumnos,independientemente de su origen social y condiciones individuales;articular el modelo curricular a lo largo de los tres niveles de la educa-ción básica, y transformar el ambiente y las condiciones de la escuelasecundaria para lograr el interés y el gusto de maestros y alumnospor la tarea que realizan.

En este boletín presentamos información general sobre esteproyecto con la finalidad de que los maestros estén informados delproceso que se ha seguido y de los cambios más importantes que seplantean en esta reforma sobre la enseñanza de las matemáticas enla educación secundaria.

A todos los profesores de educación básica les reiteramos lainvitación para que lean, analicen y comenten el contenido de cadaapartado que conforma el boletín, a fin de que tengan una visiónmás clara acerca de la didáctica de las matemáticas que también sehace explícita en la Reforma Integral de la Educación Secundaria.

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2

Un reto más es una publicación de la Dirección Generalde Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaríade Educación Básica y Normal de la Secretaría deEducación Pública.

COORDINACIÓN

Hugo Balbuena Corro

COLABORADORES

Martha Dávila VegaFortino Escareño SoberanesMónica Schulmaister LagosMaría de los Ángeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos OrellanaMauricio Rosales ÁvalosLaurentino Velázquez DuránBertha Alicia Juárez GodínezMaría Teresa López CastroEsperanza Issa GonzálezOlga Leticia López Escudero

COORDINACIÓN EDITORIAL

Elena Ortiz Hernán Pupareli

CUIDADO EDITORIAL

Alfredo Giles-DíazHéctor Veyna Rodríguez

PRODUCCIÓN EDITORIAL

Alejandro Portilla de Buen

DISEÑO ORIGINAL

María Gabriela Barahona

FORMACIÓN

Julio César Olivares Ramírez

Sus participaciones para la elaboración del boletínUn reto más pueden enviarlas a las siguientes direcciones:

hbalbuen@sep.gob.mxProfesor Hugo Balbuena CorroDirector del Área de Matemáticas

mteresal@sep.gob.mxProfesora María Teresa López CastroSubdirectora del Área de Matemáticas. Preescolar

mdavila@sep.gob.mxProfesora Martha Dávila VegaSubdirectora del Área de Matemáticas. Primaria

fortinoe@sep.gob.mxProfesor Fortino Escareño SoberanesSubdirector del Área de Matemáticas. Secundaria

moni@sep.gob.mxProfesora Mónica Schulmaister LagosSubdirectora del Área de MatemáticasSecundaria a Distancia para Adultos

Avenida Cuauhtémoc 1230, cuarto piso,colonia Santa Cruz Atoyac,delegación Benito Juárez,C.P. 03310, México, D.F.

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3

EL ALGORITMO CONVENCIONAL PARA DIVIDIR FRACCIONES*MARTHA DÁVILA VEGA

Entre la numerosa correspondencia que nosllega, recibimos una carta en la que su autorcuestiona la validez del algoritmo convencio-nal para dividir fracciones, argumentando quecon este algoritmo no pueden resolverse pro-blemas de reparto, porque el cociente que seobtiene es mayor que el dividendo. Dado quees común encontrar estas ideas erróneas so-bre el concepto de la división de fraccionesentre maestros y alumnos, consideré conve-niente comentar el contenido de esta carta,manteniendo en el anonimato a su autor.

El problema que pretende resolver el autorde la carta con el algoritmo convencional dela división es el siguiente:

Si de metro de listón costaron de peso,¿cuánto costará de metro?1

Dado que trata de obtener el costo de mde listón con la división de fracciones, al ob-servar que el cociente resultante (1 ) es ma-yor que el dividendo ( ) manifiesta su des-concierto pues considera ilógico que elcociente sobrepase el valor del dividendo.Para demostrar la invalidez del algoritmo con-vencional, utiliza una representación gráficaen la que subyace un razonamiento propor-cional, con el que sí logra resolver este pro-blema.

* Agradezco la colaboración para la redacción del presente texto a los

maestros David Block Sevilla, Mónica Schulmaister Lagos y Fortino

Escareño Soberanes.1 Con este problema, el autor de la carta intenta forzar el uso de las

fracciones en un contexto poco apropiado, en virtud de que, por un

lado, las expresiones más comunes para comprar fracciones de me-

tro de listón son: medio metro, cuartos de metro o n centímetros.Por otro lado, para expresar de manera oral y por escrito el precio

de listón se utilizan los números enteros (60 centavos) o bien los

decimales ($0.60).

6 2 30 110 5 20 2÷ = = 1

15

+ 15

= 25

55

310

310

1 m =

1010$1.00 =

610

15

12

610

25

15

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4

La idea que tiene el autor de la carta acer-ca del algoritmo de la división de fraccionesse refleja en el siguiente pasaje de su misiva,donde afirma:

[…] la división consiste en que hay quehacer del dividendo tantas partes comounidades indica el divisor y [...] a cadauna de esas unidades no puede corres-ponderle un valor mayor del que repre-senta el dividendo [...]

Con esta idea propone utilizar el siguienteprocedimiento para dividir fracciones, con el queobtiene cocientes menores que el dividendo.2

Paso 1: Multiplicar el numerador del dividen-do (6) por el denominador del divisor (5)y, su producto (30), anotarlo como nume-rador del cociente fraccionario.

Paso 2: Multiplicar el denominador del divi-dendo (10) por el numerador del divisor(2) y, su producto (20), multiplicarlo por eldenominador del mismo divisor (5). El pro-ducto de esta segunda multiplicación (100)anotarlo como denominador del cocientefraccionario.

A continuación trataré de explicar, de dosmaneras, por qué el procedimiento propues-to no puede ser correcto.

Primera: Observemos lo siguiente, si utili-zamos el procedimiento propuesto paradividir un número entre 5, o entre , oentre , o entre , etcétera, se obtienesiempre el mismo cociente:

2 En adelante llamaremos procedimiento propuesto al algoritmo dise-

ñado por el autor de la carta.

57

÷ = 610

25

30

59

511

El hecho de que todas estas divisiones ten-gan el mismo cociente sin importar cuál sea eldivisor, nos plantea la siguiente disyuntiva: ten-dremos que aceptar que es lo mismo dividir

o bien tendremos que reconocer que algoanda mal.

Segunda: El problema planteado por el autordel procedimiento propuesto consiste enaveriguar el costo de un quinto de metrode listón. Como cabe 2 veces en , elproblema puede resolverse dividiendo ÷ 2 con el algoritmo convencional.

3 5 33 34 11 220 20 ÷ = =

3 5 3 x 7 21 34 7 4 x 5 x 7 140 20 ÷ = = =

3 5 3 x 9 27 3 4 9 4 x 5 x 9 180 20 ÷ = = =

3 3 5 3 5 3 54 4 9 4 7 4 11÷ 5; ÷ y ÷ ; ÷

15

25

610

÷ = = 610

25

30100

310

3 3 5 3 x 1 3 4 4 1 4 x 5 x 1 20÷ 5 = ÷ = =

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5

Como se puede observar, en el procedi-miento propuesto aparece un factor de másen el denominador: la d. Como este mismofactor también aparece en el numerador, seanulan al simplificar la expresión, sin alterarel numerador del dividendo ( ) d = a, o bien,(6 ÷ 5) 5 = 6. De esta manera ¡desaparece! eldenominador del divisor (d o 5).

Ahora la pregunta es: Si aceptamos que noes lo mismo dividir ÷ 2 que dividir ,¿por qué se llega al resultado correcto al divi-dir ÷ 2 con el procedimiento convencio-nal y con el procedimiento propuesto?

Al analizar los pasos que se siguen paraoperar con el procedimiento propuesto seobserva que lo que en realidad se hace esdividir ÷ 2 y no . Es decir, el autor deeste procedimiento elimina el denominador (5)del divisor. Trataré de explicar cómo lo hace.

El procedimiento convencional para dividirfracciones que se cuestiona es el siguiente:

6 6 2 6 x 1 6 310 10 1 10 x 2 20 10 ÷ 2 = ÷ = = = .

610

610

÷ 25

610

610

÷ 25

610

610 ÷ 2

5

ab x c

ab

÷ cd

a x db x c x d

= =

ab

÷ cd

a x db x c

= 610

÷ 25

6 x 5 10 x 2

=

610 x 2

610

÷ 25

6 x 510 x 2 x 5

= =

ab x c

ab

÷ cd

a x db x c x d

= =

610 x 2

610

÷ 25

6 x 510 x 2 x 5

= =

El procedimiento propuesto es:

El resultado de este tipo de problemas respon-de a la pregunta ¿cuánto le toca a cada uno?,

Si pago $35 por 5 litros de gaso-lina ¿cuánto cuesta cada litro? Respuesta: Cada litro de gasolina cuesta $7.00

Si pago $17.50 por dos litros ymedio de gasolina ¿cuántocuesta cada litro?

o bien:

Respuesta: Cada litro de gasolina cuesta $7.00

ad

35 ÷ 5 = 7

es decir, ¿cuánto le toca a cada unidad?, porejemplo:

QUÉ IMPLICA LA SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE REPARTO

Problema Procedimiento de solución

17.5 ÷ 2.5 7.0

25 175.0000

0

12 ÷17 1

2 2 = 352

52÷ = 35 x 2

2 x 5355= = 770

10 =

RETOMAS13.PM7 12/8/04, 1:09 PM5

6

Dado que cabe 1 veces en y que .es igual 1 veces , pueden plantearse nu-merosos problemas en los que al dividir .su cociente (1 ) signifique el número de vecesque cabe una fracción en otra. Por ejemplo:

La longitud de un resorte, en estado natural,mide de metro. Al estirar el resorte al máximoalcanza a medir de metro. ¿Cuántas veces au-mentó la medida original del resorte al estirarlo?

ALGUNOS SIGNIFICADOS

DEL COCIENTE DE LA DIVISIÓN .Como ya vimos, el algoritmo convencionalpara dividir fracciones puede ser de utilidadpara resolver problemas como:

Si de metro costaron de peso, ¿cuántocostará un metro?

En donde el cociente 1 de la división .significa el costo de la unidad (metro).

Otro tipo de problemas que también pue-de resolverse con la división de fracciones esel siguiente:

Si se cortan de metro de listón, en peda-zos de de metro, ¿cuántos pedazos de lis-tón de esa medida se pueden obtener?

En este caso, el cociente 1 significa quese obtendrían 1 pedazos de listón de m.Como puede verificarse mediante el siguien-te gráfico.

25

¿A qué nos conduce este análisis? La divi-sión $ entre m, resuelta con el algoritmoconvencional , noslleva a responder la pregunta ¿cuánto cuestala unidad?, que en este caso es el metro. Porlo tanto, en este problema el precio de unmetro es 1 pesos o bien $1.50, como se ve-rifica mediante la representación gráfica si-guiente:

610

25

12

Si es la quinta parte de 1; para respon-der a la pregunta ¿cuánto cuesta de me-tro de listón?, después de dividir ,haría falta averiguar cuál es la quinta partede 1 pesos. Es decir, calcular de 1 conla siguiente multiplicación:

de peso

Otro procedimiento, familiar para muchosmaestros, que también puede utilizarse pararesolver este tipo de problemas, es la reglade 3, que también implica la multiplicacióny la división.

Si de metro de listón costaron de pe-so, ¿cuánto costará de metro?

= 1 pesos

15 + 1

5 =

12

55 = 1 metro

15

15

15

+ + +

310

310

310

310

310

= 1510

15 1

5 610 ÷ 2

5 = 1 12

12

15

12

310

15

12x 1 = 1

5 x 32 =

610

25 1

5 610x = 6

50 =÷ 25

650

30100

310=

xx = 3

10

610

25

12

610 ÷

610 ÷ 2

5

610

121

225

25

610

25

12

610

610

12

25

12

25

25

610

15

610 ÷ 2

5

610

610 ÷ 2

5 = 6 x 510 x 2

3020= = 11

2

15

25

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COMPLEJIDAD CONCEPTUAL DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Problema 1

¿Cuántos medios pasteles obtenemos decinco pasteles?

Problema 2

Un automóvil recorre 7 kilómetros con litro degasolina. ¿Cuántos kilómetros recorre por litro?

Procedimiento convencional

12

Respuesta: En 5 pasteles hay 10 pedazos deun medio.

Respuesta: El automóvil recorre 14 kilómetrospor litro.

Representación gráfica

Procedimiento propuesto

1 5 1 5 x 2 102 1 2 1 x 1 x 2 2

5 ÷ = ÷ = = 1 7 1 7 x 2 142 1 2 1 x 1 x 2 27 ÷ = ÷ = =

0 7 14

12 +

12 = 1

Es importante señalar que cuando el dividen-do es una fracción y el divisor es un númeronatural mayor que 1, siempre, en esos casos,el cociente será menor que el dividendo. Sinembargo, cuando los divisores son fraccio-nes, pasan cosas que nos pueden parecer ex-trañas pero que son absolutamente correc-tas, como el hecho de que el cociente sí pue-

de ser mayor que el dividendo y en donde elprocedimiento propuesto ya no funciona.Veamos, por ejemplo, los siguientes proble-mas, que si bien pueden resolverse con pro-cedimientos más sencillos (incluso mental-mente), también pueden resolverse con el al-goritmo convencional de la división de frac-ciones.

1 7 1 7 x 2 142 1 2 1 x 1 1

7 ÷ = ÷ = =1 5 1 5 x 2 102 1 2 1 x 1 15 ÷ = ÷ = =

5 pasteles10 medios

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8

Al resolver el primer problema con el pro-cedimiento propuesto, el cociente puedeser interpretado como correcto dado que, aldividir 5 pasteles por mitad se obtienen 10medios, es decir, 10 pedazos de un medio;sin embargo, esta interpretación es incorrec-ta porque equivale a 5 y en realidad no seobtienen 5 pedazos de . Por lo tanto, la res-puesta correcta se obtiene mediante el algo-ritmo convencional en donde significa 10pedazos de , como se corrobora con la re-presentación gráfica.

Entre la multiplicación y la división de nú-meros naturales y la multiplicación y divisiónde números fraccionarios hay una fuerte rup-tura de significados que dificultan enorme-mente entender estas operaciones. Por ello seafirma que la multiplicación con multiplica-dores fraccionarios y la división con diviso-res fraccionarios tienen características muydistintas a la multiplicación y a la división denúmeros naturales que los alumnos aprendenen los primeros grados de la educación pri-maria.

102

102 1

2

1011

2

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UN PROBLEMA DE PROPORCIONALIDADPROFESOR EVARISTO SANDOVAL RAMÍREZ Y PROFESORA ANA LUISA VELÁZQUEZ JIMÉNEZ

COMENTARIOS A LA CLASE PROFESOR HUGO BALBUENA CORRO

En esta ocasión nos asomaremos a un grupode quinto grado de la escuela Niños Héroes,ubicada en la periferia de Minatitlán,Veracruz. Observaremos el desarrollo de unasesión de clase de matemáticas conducida porel profesor Sandoval y observada por la pro-fesora Velázquez, quien se encargó de elabo-rar el siguiente registro. Durante el desarrollode la clase los alumnos buscaron la soluciónpara un problema de proporcionalidad.8:25 a.m. Inicia la clase con 19 alumnos, el

profesor empieza a dar las indicaciones alos alumnos y les reparte una paleta.

Maestro (M). Se van a reunir de acuerdo conel sabor de las paletas, observen bien supaleta e intégrense rápido; aquí un equi-po, aquí el otro y los otros dos por acá.

Observadora (Obs). Se escucha un poco deruido, gritos; todos tratan de integrarse rá-pidamente como lo pidió el maestro. Fi-nalmente se formaron cuatro equipos, tresde cinco integrantes y uno de cuatro.

El maestro pega en el pizarrón una car-tulina. Pide que guarden silencio, que lean

con mucha atención el problema y quetraten de darle solución.

Ana invitó a 15 amigos a su fiesta de cum-pleaños y quiere hacer un pastel, pero la re-ceta que tiene es para 6 personas. Ayúdale acompletar la receta para las 15 personas.

M. (Se dirige a una niña). Jenny. Lee el pro-blema.

Obs. Jenny lee el problema pausadamente yen voz alta.

M. ¿A cuántos amigos va a invitar Ana?Alumnos (Als). A 15.M. ¿Y cuál creen ustedes que sea el proble-

ma de Ana?Als. Que Ana tiene una receta para 6 perso-

nas.M. ¿Qué pasaría si en vez de ponerle 400 gra-

mos de harina le pongo 200?Anahí. Saldría más espeso.Anastasio. No. Saldría más chico.M. ¿Me resultaría la receta?Alumno (Ao). No.

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M. La receta debe ser exacta, ¿qué necesitopara que me alcance para 15 personas?

Als. Agregarle más cosas.M. Les voy a dar una hojita por equipo y va-

mos a ayudar a Ana a hacer la receta delpastel para 15 personas. Discútanlo porequipo porque después voy a pasar a unode los integrantes del equipo para que meexplique cómo lo resolvieron.

Obs. El profesor pega en el pizarrón una car-tulina que contiene los ingredientes delpastel para 6 personas. Después, entregaa cada uno de los equipos una hoja quecontiene dos tablas con los ingredientesdel pastel para que anoten las cantidadespara 15 y 20 personas. Pasa a cada equi-po preguntando si entendieron lo que vana realizar y pide que todos trabajen en con-junto. Sugiere que tomen en cuenta la opi-nión de todos los integrantes para darlesolución a la problemática. Menciona tam-bién que deben fijarse en la receta quepegó en el pizarrón.

8:30 a.m. Inician la actividad.Obs. Los alumnos empiezan a copiar los da-

tos y hacen el recuadro en su cuaderno. Elmaestro observa esto e indica que no se en-tretengan en copiar los datos en su cuader-no, que mejor se pongan a resolver el pro-blema.

Los equipos empiezan a discutir pararesolver el problema. Un equipo co-menta:

Marlene. Miren, si en seis son 400 gramos deharina, 400 + 400 son para dos pasteles yalcanza para 12 personas y faltaría lo de 3personas.

Moisés. Nada más sacamos la mitad de lo de6 personas y serían 3 y tenemos para los15 invitados.

Edy. Sí, pero ¿cuánto sería en total de harina?Marlene. Pues vamos a sumar todos y luego

vemos los resultados, a ver si nos da lomismo.

Obs. En otro equipo dicen:Ángel. Son 15 huevos, ¿qué no saben sumar?Jenny. Sí, pero explícame, ¿por qué 15 hue-

vos?Ángel. Mira, en dos pasteles es 12, más 3

son 15.Jenny. No entiendo, explícame cómo sacaste

los tres huevos.Ángel. Maestro, explíquele, que no entiende

ni papa lo que le explicamos nosotros.

Receta de pastel para 6 personas

Harina 400 gramosHuevos 6Azúcar 200 gramosLeche de litroPasitas 50 gramosVainilla 4 gotas

14

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M. ¿Cómo calcularon los huevos que lleva elpastel para 15 personas?

Antonio. Es fácil porque depende para cuán-tas personas son. Si para 6 personas son6 huevos, para 15 personas son 15 hue-vos, es un huevo por persona.

Obs. En otro equipo se observa que discutensobre cuánto de leche llevará el pastel.

Jesús. Si un pastel lleva de litro, 2 pastelesson , pero, ¿cuál es la mitad de ? Yame trabé.

Ángel. No, miren. ¿Cuánto es ? Es igual a250 gramos. Un litro tiene mil. Si sumamos250 más 250 son 500 para 12 personas; deahí sacamos la mitad de 250 que serían 125y se lo sumamos a los 500 y son 625 gra-mos ¡y ya tenemos lo de las 15 personas!,porque los 125 sólo alcanza para tres.

Marlene. Creo que sí está bien. Lo voy aanotar.

Jesús. No. Es que dice gramos y no son gra-mos, son litros. ¿O cómo se dice?

Marlene. No. Es mililitros.Ángel. Sí, eso es. Anótalo.Jesús. Ahora sí entiendo.Obs. 8:45 a.m. Terminan dos equipos y se lo

indican al maestro.M. Si ya tienen sus resultados, discútanlos

bien para que ahorita lo expliquen.Obs. El maestro acude a un equipo que no avan-

za. Como los alumnos no llegan a un acuer-

M. Explíquenle ustedes, díganle paso a pasolo que hicieron.

Obs. La mayoría de los niños hacen las opera-ciones mentalmente, dicen: “200 más 200igual a 400 más 100 igual a 500”. Discutenel resultado y lo anotan en la hoja. Algunosverifican la suma en su cuaderno. El profe-sor escucha una discusión y pregunta:

M. ¿Cuánto de azúcar?Josué. Él dice que 700 gramos, pero nosotros

decimos que 500.M. ¿Por qué dices que son 700 gramos?Saúl. Son 700, porque 200 para 6 personas más

200 para otras 6 personas son 12 personas,la mitad de 6 son 3 más 400, serían 700.

Lucía. No. Son 500 gramos. Mira (anota en sucuaderno) 200 para un pastel más 200 paraotro y 100, que es la mitad de 200, son 500.

M. ¿El 100 qué representa?Lucía. Que es para tres personas. Si 200 gra-

mos alcanza para 6, la mitad, que son 100gramos, es para 3, lo que nos faltaba parallegar a las 15 personas.

M. ¿Qué piensas? (pregunta a Saúl). ¿Están enlo cierto tus compañeros o están en un error?

Saúl. Espéreme. Creo que voy a sumar en micuaderno, parece que me equivoqué.

Obs. Los alumnos se muestran interesadosdiscutiendo el problema. Algunos comen-tan que es fácil porque nada más tienenque sumar.

142

414

14

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do sobre cuánto de leche tienen que poner-le al pastel para 15 personas, pregunta:

M. ¿Cuánto de leche creen que debe llevar?Ao. Es que nadie se pone de acuerdo. Él dice

que 2 litros, ella, que medio litro, él, que nosabe, y es que yo no sé cuánto es la mitaddel cuarto. Por eso no me sale mi cuenta.

M. Si no pueden calcular lo de la leche, adelan-ten con las pasitas y la vainilla y después re-gresan a calcular la leche, busquen algunapista que los lleve a encontrar el resultado.

Obs. 9:00 a.m. El maestro indica a los equiposque ya terminaron que empiecen a calcular loque sería si el pastel fuera para 20 personas.

Ao. Maestro, ya encontramos una forma decalcular la leche, mire, es así (hace el si-guiente dibujo. Conforme dibuja explicaque divide al entero en cuartos y despuésen octavos y que eso era lo que le faltaba).

M. ¿Cómo?Ao. Pues un cuarto, más un cuarto, más un

octavo.M. ¿Cuánto sería?Ao. No sé.M. A ver, ustedes ayuden a su compañero a

realizar la suma.Obs. Los niños tratan de realizar la suma. Uno

de ellos dice:Ao. Un cuarto más un cuarto es un medio,

pero ¿si le sumamos un octavo...? No meacuerdo cómo se hace.

Ao. (Otro integrante del equipo sugiere).Cuenten los octavos que hay en los cuar-tos y después el otro octavo (no logra con-vencer a los demás).

Als. No, así no es (siguen discutiendo, final-mente no se ponen de acuerdo y cada unodecide poner el resultado que cree).

9:13 a.m. Termina un equipo de calcular lareceta para 20 personas. El profesor ob-serva que ya terminaron los dos equiposque faltaban de calcular la receta para 15personas e indica:

M. Un representante de cada equipo pasará yanotará sus cálculos en el recuadro que estáen el pizarrón para compararlos. Nadiedebe cambiar sus resultados. Pase el pri-mer equipo.

Obs. Los niños pasan y anotan su resultado,el recuadro queda de la siguiente manera:

M. (Observa lo que hace y dice el alumno y pre-gunta a los demás). ¿Y ustedes, qué opinan?

Als. (No contestan).M. ¿Qué van a hacer ahora?Ao. Sumar

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Ingredientes para el pastel de 15 personas

Ingredientes Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4

Harina 1 000 g 1 kg 1 000 g 1 000 g

Huevos 15 15 15 15

Azúcar 500 g 500 g 500 g 500 g

Leche l l 625 l

Pasitas 125 g 125 g 125 g 125 g

Vainilla 10 gotas 10 gotas 10 gotas 10 gotas

Als. Que es cierto. Está bien.M. Para sacar ese resultado ¿hicieron lo mis-

mo o algo diferente?Als. Lo mismo. Nosotros hicimos igual. Acá

también.M. Vamos con los huevos.Ao. Si para 6 personas son 6 huevos, para 12

son 12 y la mitad de 6 son 3, que es lo quenos falta para llegar a 15.

M. ¿Entendieron?Israel. Sí. Es fácil. Si 6 huevos son para 6 per-

sonas, es un huevo por persona y para 15personas son 15 huevos.

M. ¿Están de acuerdo?Als. Síííí.Obs. Todos los equipos coinciden en el re-

sultado del azúcar, las pasitas y la vainillay también hicieron el mismo procedimien-to para calcular el resultado: sumaron lodoble de un pastel para 6 personas y lue-

M. Aquí tenemos los resultados de todos losequipos. Observen en qué son diferentesy en qué se parecen. Pase el equipo 3 aexplicarnos qué fue lo que hizo.

Ao. Aquí me dio mil en harina.M. ¿Por qué te dio mil?Ao. Porque si para 6 personas son 400, para

otras 6 son otros 400, y de ahí como nadamás había hecho para 12 personas, nosfaltaban 3, se le saca la mitad de lo quees para 6 personas y es 200, todos suman1 000.

M. Mil qué.Ao. Gramos.M. Su resultado es igual al de los otros equipos.Ao. Sí, el equipo de aquí puso 1 kg, pero esto

es igual a 1 000, o sea que también se es-cribe así.

M. ¿Ustedes qué piensan de lo que dice sucompañero?

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316

58

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14

14

14

18

316

go la mitad de lo de 6 personas para queles sumara lo de 15 personas. Donde hubodiferencias fue en el cálculo de la leche.

M. Vamos a ver, en la leche no coinciden losresultados, expliquen (dirigiéndose al equi-po 3), qué hicieron para sacar su resultado.

Ao. Un cuarto de leche es para 6 personas yesto es igual a 250 gramos.

Als. No es gramos es mililitro.Ao. Para 12 personas es litro, esto es igual

a 500 y le sumamos la mitad de 250, quees para tres personas, y son 125 que nosda 625.

M. 625 qué.Ao. Litros.M. ¿Litros?Ao. No, que diga, mililitros.M. ¿Están de acuerdo?Als. Síííí.M. El equipo uno tiene , ¿nos explica cómo

obtuvieron este resultado?Ao. Aquí en la leche, si para 6 personas es

, para 12 es litro. Y el medio sale su-mando más hacen un medio. Y luegole sumamos .

M. ¿Y el octavo de dónde sale?Ao. El octavo lo restamos de la mitad de .

que es para 3 personas que hacen falta paracompletar las 15.

M. ¿No es más grande que ?Als. No.

M. ¿Seguros?Ao. Es que dice la maestra de cuarto que

es la mitad de , entonces tiene y .son , más son que es lo que alcanzapara las 15 personas.

M. ¿Estamos de acuerdo?Als. Síííí.M. ¿El equipo 2 nos dice cómo sacó los .

de leche?Ao. Lo hicimos así: + + = . Un cuarto

para 6 personas, el otro para otras 6 y para 3 y serían las 15 personas.

M. ¿De dónde sacaste el 16?Ao. Sumando.M. ¿Por qué aquí es y acá ?Ao. Es lo mismo, nada más que sumamos di-

ferente.M. ¿Serán igual , y 625 mililitros?, ¿es lo

mismo?Als. Síííí. Es lo mismo.M. ¿Podremos sumar objetos que son dife-

rentes?Als. Síííí.M. Si yo tengo 5 peras más 2 manzanas,

¿cuánto tengo?Als. SieteM. Siete qué, ¿peras o manzanas?Ao. No se puede. Serían frutas.M. Sí. ¿Y se podría sumar cuartos con octa-

vos?Ao. No.

12

58

14

12

14

14

18

14

14

18

18

14

14

28

124

818

58

316

18

58

316

58

316

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M. ¿Dónde está el error de su compañero?Als. En la suma.M. ¿Cómo se haría para sumar?Als. Que todos sean octavos o cuartos.M. ¿Cómo lo haríamos?Als. Pasando todo a octavos.M. Sí, se tiene que hacer una conversión y

pasar los cuartos a octavos . Y en un cuar-to ¿cuántos octavos tenemos?

Ao. .M. ¿Quién pasa a hacer la suma?Ao. + + =M. ¿Están de acuerdo?Als. Síííí.M. Ahora que todo quedó claro, ¿ es lo mis-

mo que 625 mililitros?Als. Síííí.M. ¿Por qué?Ao. Son equivalentes o iguales.Ao. Se puede decir de la misma forma que

valen igual.M. Bien, los dos equipos que no terminaron

de calcular lo del pastel para 20 personaslo hacen de tarea y todos la página 53 desu libro de matemáticas.

Als. ¿De tarea?M. Sí.9:55 a.m. Termina la sesión.

COMENTARIOS DEL PROFESOR

HUGO BALBUENA CORRO

Me parece importante resaltar, en primer lu-gar, la actitud positiva de los alumnos ante elreto que se les planteó. El registro de la ob-servación permite apreciar que el maestro fueclaro al plantear el problema y los alumnosse encargaron de resolverlo. Este solo hechoes un avance muy importante en cuanto a laforma de estudiar matemáticas.

Sin duda alguna, el momento más compli-cado para cualquier profesor es el de la pues-ta en común de los resultados, conocido tam-bién como el momento de la confrontación.Para esto no hay recetas ni esquemas, cadasesión es distinta y siempre se puede apren-der algo nuevo que nos permite tener másconfianza frente a los alumnos para poderayudarlos a reflexionar.

Con respecto a esta sesión, que me permi-to comentar, hay que decir que el problemaresultó fácil para los alumnos de este grado,ya que sólo hubo un resultado erróneo ( ) ydos más escritos de manera diferente al restode los equipos (1 kg y 625). Así las cosas, loconveniente, en mi opinión, hubiera sido cen-trar la atención de los alumnos en tres pre-guntas:

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28

28

18

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, y 625 mililitros?” Y en seguida desvian-do la atención de los niños hacia otra pre-gunta relacionada con el procedimiento dela suma: “¿Podremos sumar objetos que sondiferentes?” Esta y la siguiente pregunta, enel sentido de que si se pueden sumar perascon manzanas, desviaron la atención de losniños de los asuntos principales que surgie-ron en este problema.

Por último un comentario general, las lec-ciones del libro de texto son mucho más pro-vechosas cuando se resuelven y discuten enclase que cuando se dejan de tarea.

• ¿Son equivalentes y ? ¿Por qué sí opor qué no?

• ¿Cuál de los dos resultados es correcto?• ¿Cómo hay que efectuar la suma para ob-

tener el resultado correcto?

Una vez aclarados estos aspectos, se podríaprobar el procedimiento de la suma con otrasfracciones y finalmente cuestionar sobre laequivalencia de 625 (mililitros) con de litro.

Me parece que estas cuestiones no que-daron suficientemente claras porque se mez-claron. Primero con la pregunta: “¿Serán igual

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316

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DIFERENTES PROCEDIMIENTOS

LA RAZÓN DE LAS ÁREAS DEL CUADRADO1

1. ¿Cuál es la razón de las áreas del cuadrado menor al mayor?2. ¿Cuánto debe medir el lado del cuadrado mayor para que la

diagonal del cuadrado menor mida una unidad?3. ¿Qué otros problemas se podrían plantear a partir de este

dibujo?

Para este problema recibimos propuestas de solución de los siguientesprofesores: Fausto A. Sánchez Rosas de Mérida, Yucatán; Delfino Arteaga de Actopan, Hidalgo;Carlos R. Gutiérrez Saldívar de Nuevo León y de María Dolores Galarza y Ramón Hugo GonzálezLópez de Mazatlán, Sinaloa. A todos ellos les agradecemos su participación.

Presentamos enseguida la solución que nos envía el profesor Luis Fernando Pinzón Herrerade Ciudad Concordia, Campeche, en la cual se sintetizan las demás propuestas.

1. ¿Cuál es la razón de las áreas del cuadrado menor al mayor?Para hacer referencia a las diferentes figuras o segmentos hemos uti-

lizado letras.

Después de analizar la figura, podemos hacer la primera afirmación a.a) La diagonal del cuadrado pequeño es igual al lado del mediano.

LJ = HE = FG

1 Variante del problema “Los círculos inscritos”, publicado en los boletines 8 y 10 de Un reto más. elaborado y enviado por el profesor Luis Eduardo

Gallardo Payán de Moroleón, Guanajuato.

A A BFAE

IA

J

KG

CDH

L

3

2

1

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Al rotar el cuadrado mediano y trazar la diagonal IK en el pequeño, obtenemos la siguientefigura. A partir de ella tenemos las afirmaciones b, c y d.

b) Las diagonales LJ e IK forman 4 triángulos rectángulos, los cua-les son iguales a los que aparecen sombreados. Ahora, si dobla-mos los triángulos sombreados sobre el cuadrado pequeño, ob-servamos que lo cubre totalmente, con lo que se muestra que lasuperficie del cuadrado IJKL es la mitad de la superficie delcuadrado EFGH.

c) Realizando un razonamiento semejante tenemos que la superfi-cie del cuadrado EFGH representa la mitad de la superficie delcuadrado ABCD.

d) Si consideramos la superficie de A1 como la unidad de medida (A1 = 1u2); entonces:

La razón de las áreas del cuadrado menor al mayor es .

2. ¿Cuánto debe medir el lado del cuadrado mayor para que ladiagonal del cuadrado menor mida una unidad?

En la figura de la derecha aparece la condición del problema, ladiagonal del cuadrado menor mide una unidad.

Si LJ = 1 (la unidad)Además, LJ = EH por construcción y EH = HG por ser lados del

mismo cuadrado; entonces: EH, HG, GF y FE miden 1 unidad.

A B

F

E

I J

K

G CD

H

L

A3

A2

A1

14

A B

F

E

I1

J

K

G CD

H

L

∴ r = = Área de IJKL 1Área de ABCD 4

A2 = 2u2 y A3 = 4u2

RETOMAS12.PM7 12/8/04, 11:24 AM18

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Observando el triángulo rectángulo EGH de la figura de la iz-quierda, tenemos:

EG = EH2 + HG2 por PitágorasEG = 12 + 12 sustituyendoEG = 1 + 1EG = 2Como EG tiene la misma longitud que los lados del cuadrado

mayor, entonces: AB = BC = CD = DA = 2 ; que es la solución delproblema.

3. ¿Qué otros problemas se podrían plantear a partir de este dibujo?a) Encontrar la razón de los perímetros de los cuadrados, de las circunferencias, de las áreas

de los círculos, de los radios, de los diámetros y diagonales.b) Las razones de las diferencias entre los cuadrados y los círculos en cuanto a áreas y

perímetros.

A B

F

E

1 1

1

G CD

H

1

EG = AD = BC

LA EDAD DE LAS NIÑAS2

Dos amigos se encuentran después de años de no verse. Uno de ellos le pregunta al otro si tienehijos, a lo que le responde: “Tengo 3 niñas cuyas edades suman 13 y su producto es igual alnúmero de la casa de enfrente”.

El amigo que hizo la pregunta ve el número de la casa, se queda pensativo y le dice: “así nolo puedo saber, me faltan más datos”, a lo que le responde su compañero: “¡Ah, sí! Se meolvidaba decirte que la mayor tiene los ojos verdes”.

¿Cuál es la edad de las niñas?Los profesores: Félix Dévora Acevedo, de Durango, Cuauhtémoc de la Torre Morales, jefe de

enseñanza, y los hermanos Raudel y Jaime de la Torre Torres, estudiantes del primer semestrede Normal y del cuarto semestre del CEDART de Chihuahua, Chihuahua, también enviaron suspropuestas de solución para este problema. Transcribimos la del profesor Dévora.

2 Tomado y adaptado de G. Waldegg, R. Villaseñor y V. García, Matemáticas en contexto 2, Editorial Iberoamérica, México, 1998.

√√

√

√√

RETOMAS12.PM7 12/8/04, 11:24 AM19

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Según los datos del problema, la suma de las edades de las tres niñas debe ser 13. Por lotanto, sólo hay 12 posibilidades:

Niña mayor Niña menor 1 Niña menor 2 Producto de edades

11 1 1 11

10 1 2 20

9 1 3 27

9 2 2 36

8 1 4 32

8 2 3 48

7 1 5 35

7 2 4 56

7 3 3 63

6 1 6 36

6 2 5 60

6 3 4 72

La siguiente pista que se da es que el producto de esos tres números debe ser el número dela casa de enfrente, que está a la vista de los dos amigos. El hecho de que la información que seda no es suficiente, hace pensar que hay más de una posibilidad de que tres números de latabla den el mismo producto. Es el caso del 36, que puede obtenerse multiplicando 9 x 2 x 2 y6 x 1 x 6. Con la información de que la mayor tiene los ojos verdes, se descarta el producto6 x 1 x 6, porque entonces habría dos niñas mayores. Se concluye que la respuesta correcta esque las edades de las niñas son 9, 2 y 2 años, respectivamente.

RETOMAS12.PM7 12/8/04, 11:24 AM20

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PRESA/PREDADOR1

La siguiente gráfica muestra el crecimiento de los organismos Paramecium y Saccharomyces:

Uno de los dos animales (el predador) se come al otro (la presa). Al mirar la gráfica, ¿podríadeterminar qué trazo corresponde a la presa y cuál al predador?

Una de las propiedades del fenómeno de la presa y el predador se expresa como: la tasa decrecimiento es proporcional al número de presas disponible, ¿la gráfica anterior ilustra dichapropiedad? Explique por qué.

1 Tomado de: The PISA Assesment Framework - Mathematics. Reading. Science and Problems Solving Knowledge and Skills.

Paramecium

Saccharomyces

200

150

100

50

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Días

Tiempo

Núm

ero

de in

divi

duos

en

0.2

g de

agu

a

Paramecium aureliaSaccharomyces exiguus

N2

N1 (2) (3)(1)

MODELO DE LA PRESA Y PREDADOR

RETOMAS13.PM7 12/8/04, 1:36 PM21

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LA REFORMA INTEGRAL

DE LA EDUCACIÒN SECUNDARIA (RIES)DIRECCIÓN DE MATEMÁTICAS

DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES Y MÉTODOS EDUCATIVOS, SEByN-SEP

Estimados colegas:

Esta vez utilizamos este apartado del boletínpara hacerles llegar información sobre losprincipales cambios de los programas de es-tudio de Matemáticas para secundaria, conrespecto a los de 1993.

Los nuevos programas de estudio, queforman parte de la Reforma Integral de la Edu-cación Secundaria, están en proceso de revi-sión por diferentes especialistas en matemá-ticas y en didáctica de las matemáticas. Siusted está interesado en conocer los funda-mentos de dicha reforma y hacernos llegarsus dudas y comentarios, lo invitamos a revi-sar la página de internet: http:/www.ries.dgmme.sep.gob.mx. En esta ocasión podemosinformarle de sus características generales yde los logros que se pretende obtener delegresado de secundaria en cuanto al estudiode esta asignatura.

EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

Y EL PERFIL DE EGRESO

DE LA EDUCACIÓN BÁSICA

El propósito general del estudio de las mate-máticas en la educación básica busca que elalumno adquiera la habilidad para modelarmatemáticamente problemas que se presen-tan en distintos ámbitos de la actividad huma-na, trabaje en colaboración, respete las reglassociales del debate y desarrolle su creatividady el gusto por el estudio de la matemática. Demanera más específica, se pretende que elalumno disponga de diferentes opciones pararesolver problemas, justifique las solucionesque encuentre, recopile, analice, interprete ypresente información, además de que utilicela tecnología como apoyo para estudiar yaprender.

RETOMAS12.PM7 12/8/04, 10:29 AM22

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CAMBIOS RELEVANTES CON RESPECTO

A LOS PROGRAMAS DE 1993

Organización de los contenidosEn los programas vigentes para la educaciónsecundaria los contenidos están organizadosen las siguientes cinco áreas de conocimiento:

• Aritmética• Álgebra• Geometría• Presentación y tratamiento de la informa-

ción• Probabilidad

En la propuesta para la RIES, los contenidosse agrupan sólo en tres ejes temáticos:

• Sentido numérico y pensamiento alge-braico

• Forma, espacio y medida• Manejo de la información

Además, los contenidos que correspondena cada eje temático se distribuyen en cincobloques a lo largo de cada grado escolar.

Esta nueva forma de agrupar los conteni-dos tiene al menos las siguientes ventajas:

a) Los mismos tres ejes temáticos pueden ser-vir para articular el estudio de la matemá-

tica a lo largo de la educación básica (pre-escolar, primaria y secundaria).

b) La definición de ejes temáticos permiteinterrelacionar temas que correspondena diferentes ramas de la matemática, locual favorece la vinculación entre conte-nidos de distintos ejes y la búsqueda designificados.

c) La distribución de los contenidos de cadaeje temático en cinco bloques permiteestablecer cortes a lo largo del año esco-lar en los que, tanto el maestro como susalumnos, puedan evaluar el trabajo reali-zado de manera más formal que la eva-luación cotidiana. Para apoyar a los pro-fesores en esta tarea, se definen los obje-tivos por bloque en la sección tituladaAprendizajes esperados.

Información por programaLos nuevos programas aportan informaciónno sólo en cuanto a lo que se pretende estu-diar y aprender, sino también sobre la formade organizar el estudio y algunos recursosdidácticos que se pueden utilizar. La con-frontación entre lo que se sugiere en los pro-gramas y la práctica diaria permitirá a losmaestros formular propuestas que ayuden aconstruir programas cada vez más útiles.

RETOMAS12.PM7 12/8/04, 10:29 AM23

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Posibilidad de profundizaren el estudio de los contenidosUno de los criterios importantes para la elabo-ración de los nuevos programas fue reorgani-zar los temas de estudio a lo largo de la edu-cación básica con la idea de aligerar los pro-gramas y favorecer una mayor profundizaciónen el estudio. De acuerdo con la propuestacurricular que se ha elaborado, se tiene unmargen de aproximadamente 70 horas paragarantizar que se concluya cada programa.

Orientaciones para la evaluaciónCon respecto a la evaluación, los nuevos pro-gramas orientan y apoyan al maestro en dossentidos. El primero se refiere a la definiciónde lo que los alumnos debieran saber y saberhacer como resultado del estudio de los con-tenidos de los diferentes ejes temáticos que

hay en cada bloque. Estos conocimientos yhabilidades se describen, como ya se señaló,en la sección de Aprendizajes esperados.

El segundo tiene que ver con las competen-cias matemáticas que los alumnos puedendesarrollar mediante el estudio de esta asigna-tura y que se relaciona directamente con lascompetencias para la vida que se plantean enel Perfil de Egreso de la Educación Básica.Dichas competencias son resolución de pro-blemas, comunicación, argumentación y ma-nejo de técnicas.

Éstos son algunos de los adelantos que po-demos hacer sobre los nuevos programas dematemáticas de la escuela secundaria. Segui-remos en comunicación con ustedes.

AtentamenteDirección de Matemáticas

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