Bolzano
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Teorema de Bolzano Sea [ a,b ] un intervalo cerrado y acotado , f : [ a,b ]ℝ continua con f a ⋅ f b 0 ⇒ ⇒∃ x 0 ∈[ a,b ]/ f x 0 =0 NOTA : x 0 no tiene porque ser único NOTACIÓN : Si f x 0 =0 diremos que x 0 es un cero de f Prueba : a =a 1 ; b =b 1 ; x 1 = a b 2 Puden ocurrir tres casos : i f a 1 ⋅ f x 1 0 ⇒ f x 1 ⋅ f b 1 0 ii f a 1 ⋅ f x 1 =0 ⇒ x 1 es un cero de f iii f a 1 ⋅ f x 1 0 ⇒ a 2 =a 1 y b 2 = x 1 b 1 −a 1 =b −a b 2 −a 2 = b −a 2 b 3 −a 3 = b −a 2 2 ⋮ b n −a n = b −a 2 n−1 Dados a n y b n definimos x n como : a n b n 2 i f a n ⋅ f x n 0 ⇒ f x n ⋅ f b n 0 ii f a n ⋅ f x n =0 ⇒ x n es un cero de f iii f a n ⋅ f x n 0 ⇒ a n1 =a n y b n1 = x n La sucesión a n n es creciente y la sucesión b n n es decreciente a n ≤b n a =a 1 ≤a 2 ≤⋯≤a n ≤b n ≤⋯≤b 2 ≤b 1 =b { lim n ∞ a n = Supr {a n / n ∈ℕ} lim n ∞ b n = Inf {b n / n ∈ℕ} b n −a n = b −a 2 n−1 } ⇒ ⇒ lim n ∞ a n = x 0 = lim n ∞ b n a ≤a n ≤ x 0 ≤b n ≤b ⇒ x 0 ∈[ a,b ] 0≤ f x 0 ⋅ f x 0 = lim n ∞ f a n ⋅ f b n ≤0 [ f x 0 ] 2 =0 ⇒ f x 0 =0
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Bolzano
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Teorema de Bolzano
Sea [a , b ]un intervalo cerrado y acotado , f : [a , b ] continua con f a f b0x 0[a , b ]/ f x 0=0
NOTA: x 0 no tiene porque ser nicoNOTACIN : Si f x 0=0diremos que x 0 es un cero de f
Prueba :
a=a1 ; b=b1 ; x 1=ab2
Pudenocurrir tres casos :i f a1f x 10 f x 1f b10ii f a1f x 1=0 x 1 es un cero de fiii f a1f x 10 a2=a1 y b2=x 1
b1a1=ba
b2a2=ba2
b3a3=ba22
bnan=ba2n1
Dados an y bn definimos x n como :anbn
2i f anf x n0 f x nf bn0ii f anf x n=0 x n es un cero de f
iii f anf x n0 an1=an y bn1=x n
La sucesinann es creciente y la sucesinbnn es decrecienteanbn
a=a1a2anbnb2b1=b
{lim
nan=Supr {an/n}
limn
bn=Inf {bn/n}
bnan=ba2n1
} lim
nan=x 0= lim
nbn
aanx 0bnb x 0[a , b ]
0 f x 0f x 0= limn
f anf bn0
[ f x 0]2=0 f x 0=0
![Teoremas para el final de Análisis II (c) - cubawiki.com.ar · Volver al índice Teorema 2 Teorema de Bolzano Sean: Sea A el intervalo [P, Q] I N f: A → N una función continua](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5c6113d109d3f2006c8c77e7/teoremas-para-el-final-de-analisis-ii-c-volver-al-indice-teorema-2-teorema.jpg)
