Teorema de Bolzano

Sea [a , b ]un intervalo cerrado y acotado , f : [a , b ] continua con f a f b0x 0[a , b ]/ f x 0=0

NOTA: x 0 no tiene porque ser nicoNOTACIN : Si f x 0=0diremos que x 0 es un cero de f

Prueba :

a=a1 ; b=b1 ; x 1=ab2

Pudenocurrir tres casos :i f a1f x 10 f x 1f b10ii f a1f x 1=0 x 1 es un cero de fiii f a1f x 10 a2=a1 y b2=x 1

b1a1=ba

b2a2=ba2

b3a3=ba22

bnan=ba2n1

Dados an y bn definimos x n como :anbn

2i f anf x n0 f x nf bn0ii f anf x n=0 x n es un cero de f

iii f anf x n0 an1=an y bn1=x n

La sucesinann es creciente y la sucesinbnn es decrecienteanbn

a=a1a2anbnb2b1=b

{lim

nan=Supr {an/n}

limn

bn=Inf {bn/n}

bnan=ba2n1

} lim

nan=x 0= lim

nbn

aanx 0bnb x 0[a , b ]

0 f x 0f x 0= limn

f anf bn0

[ f x 0]2=0 f x 0=0