Breve Introducción al Electromagnetismo y las OndasElectromagnéticas en Relatividad General

Lic. Martín Abraham E.Trabajo para el Curso de Postgrado "Relatividad" de la Facultad

de Ciencias Exactas de la UNCPBA

June 22, 2011

Contenidos

1 Introducción 21.1 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Breve síntesis del electromagnetismo covariante en ET planos y en vacío. 42.1 La fuerza de Lorentz como punto de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Dualidad. Magnitudes Duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Potencial Vector electromagnético y ecuación de onda para ~A . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Ecuación de onda para el tensor campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Obtencion de las ecuaciones de onda 3D a partir de la ec onda para

!F . . . . . . . . . . 11

3 Problema covariante electromagnético medios (isótropos) móviles en RE. 12

4 Paso del electromagnetismo al marco de RG 154.1 Leyes de la física en ET curvos.Principio de Equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . 154.2 Problemas de "Factor Ordering" en el principio de Equivalencia. No commutatividad de

la derivada covariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.1 Derivadas covariantes que no conmutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Como atacar el problema de factor ordering. ¿Cómo sabemos cual ecuación es la

correcta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Paso a sistemas de referencia curvos: Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Ecuaciones de Onda en marco de RG: ecuación para ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Ecuación de onda para el tensor

!F en el marco de RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.6 Ecuaciones 3D a partir de la formulación covariante: generalización covariante de las rela-

ciones constitutivas y medio efectivo para el EM en vacío. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.6.1 Primera relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.6.2 Segunda relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.7 Ecuaciones de Maxwell 3D en métrica no plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8 Obtencion de las ec�s de onda 3D de nuevo a partir de la ec onda para

!F . . . . . . . . . 27

5 Electromagnetismo de Medios Móviles 28

1

6 Conclusiones 29

Abstract

En este trabajo derivo las ecuaciones de Maxwell y de ondas para el campo electromagnético (EM)en presencia de campos gravitatorios o espacio-tiempos (ET) curvos en la aproximación de interaccióndespreciable de la luz sobre la gravedad. Para esto se hace una introducción adecuada al tema detallandotodas las herramientas necesarias. La cuestión inicial es si a partir de las ecuaciones de Maxwell paralos 3-vectores en presencia de métricas de ET curvos se puede obtener una ecuación de onda para éstos3-vectores, y se plantea la cuestión de si esta ecuación responde a fenómenos de dispersión o no. Loslineamientos de este trabajo son: entender la generalización de las relaciones constitutivas de los campos3D que origina naturalmente el hecho de considerar las ecuaciones de Maxwell covariantes en el marcode Relatividad General (RG), luego armar ecuaciones de onda para tratar de entender las soluciones delos campos en este mismo marco.

1 Introducción

He decidido hacer un trabajo que comprenda cuatro instancias o secciones:

En primer lugar, en la sección 2 un breve repaso del electromagnetismo covariante en métricas asociadas aET planos. De aquí deduciremos la ecuación de onda para el 4-potencial vector EM ~A y la correspondientepara el tensor campo

!F , que suele estar ausente en la mayoría de los textos de formulación covariante

del electromagnetismo clásico. Mostraré a partir de allí que se pueden obtener de nuevo trivialmentelas ecuaciones de onda para los campos observables 3D ~E, ~D, ~H y ~B EM. Dando paso seguro sobrelas ecuaciones "geométricas" podremos llegar más facilmente a las ecuaciones de onda en metricas quecorresponden a ET curvos o sistemas de coordenadas curvos en general.

En la sección 3 haré similarmente una breve introducción al electromagnetismo de medios móviles en ETplanos. Mostraré aquí que se pueden de�nir relaciones constitutivas especiales para los campos 3D que sonuna generalización de las que corresponden a medios lineales isótropos y homogéneos en reposo inmersosen vacío. Esto tiene como fín hacer la misma clase de introducción que en la primera instancia, pero parafamiliarizarnos con las fórmulas de medios efectivos [1] para electromagnetismo en "1+3" dimensiones,es decir, el electromagnetismo de los ya mencionados observables físicos. A su vez, esta instancia tienecomo objetivo la generalización a métricas no planas, i.e. el electromagnetismo enmarcado dentro de laRG, a través las relaciones constitutivas efectivas: será el objetivo indirecto de este punto y directo de laúltima sección.

En tercer lugar, en la sección 4 trataré de rearmar el electromagnetismo en coordenadas curvilineasgenerales de acuerdo con la base armada sobre la primera instancia. También aqui me propongo obtenerlas relaciones que existen entre los campos ~D y ~B con ~E y ~H de manera covariante y en general, hayao no medio. Para esto deberemos de�nir de manera natural un tensor que contenga los campos ~D y ~B,de manera análoga a los pensado para la sección 3. Finalmente, juntamos las ecuaciones covariantes conla formulación que quedaría para el desarrollo EM 1+3, dando las buscadas fórmulas de Landau. Desdela generalización de las ecuaciones de onda para ~A y

!F buscaremos tratar el tema brevemente de las

soluciones de ondas planas y del problema de la dispersíon aparente de las mismas (o un conjunto de ellas)por métricas no planas o gravitación. Pero en este sentido nos limitaremos entonces solo a la revisión deproblemas no autoconsistentes y lineales, en el sentido de que en una primera aproximación la gravedado la curvatura del espacio-tiempo no sería afectada por la luz que se progaga u ondas electromagnéticas.Además, cuando se revisan en la bibliografía resultados o expresiones más rígidas, la in�uencia de lagravedad sobre el campo EM se trata por perturbaciones, es decir usando métricas de ET no planoslevemente perturbadas de los casos curvos.

2

En la última sección 5, se termina de hacer la equivalencia entre medios móviles y campo gravitatorio efec-tivo en el vacío para los campos EM. Se utiliza lo citado en la sección 3 para tal fín. Se cierra el asunto delas relaciones constitutivas para los campos para los medios lineales, isótropos y homogéneos (propiedadesen reposo). Se da por sentado la relación que hay para las soluciones de ondas electromagnéticas en esteproblema y las in�uenciadas por un campo gravitatorio en vacío.Dentro de la idea del trabajo he hecho una búsqueda bibliográ�ca medianamente extensa, y en una formade búsqueda que pretendía conectar mis temas de investigación, he encontrado que los temas de RGy plasmónica y materiales avanzados complejos no son ya temas diferentes en la actualidad. Destacoque trabajos nuevos como [2],[3],[4], [5], [6], [7],[8],[9], hablan por sí mismo acerca de esto. Ademásencontré que el tema de la propagación de ondas en métricas generales parece abierto. Hay muchostrabajos viejos como [10],[11],[12],[13],[14],[15] y por otro lado aparecen trabajos nuevos como [16], [17]que parecen cerrar el tema del electromagnetismo en coordenadas curvas en forma elegante, donde sesuponen "electromagnetismos" en cosmologías conocidas pero cuando hablan de ondas son muy generalesen cuanto al tema de la dispersion y poco o nada dicen. Hay en esto algo asumido o no esclarecido alrespecto. Además son formalismos que describen al campo EM como un �uido no ideal (imperfecto) en4D, tal que las ondas tienen fuentes (cineméticas y dinámicas) además de las geométricas que contienentérminos que dependen del observador (sistema de referencia).Otros [10] ,[18] directamente calculan las diferencias que se supone que hay entre la cola de los paquetes deonda (wave tails) y el centro (en tiempo y en energía, por ejemplo), dando por entendido completamentela dispersión de ondas planas cuando en trabajos viejos como [19],[20],[21] se dice solo que el principio deHuygens no funciona en general si no es en métricas planas y universos (o espacios en general) de númerode dimensiones par.A continuación voy a aclarar brevemente el tema de la notación que utilizo en el trabajo.

1.1 Notación

He tenido que buscar un poco acerca de la notación moderna porque las convenciones en lo personalno me quedaban del todo claro, y se hace bastante difícil interpretar y conectar los temas en la diversabibliografía. Con "el panorama" un poco más claro, me parece útil aclarar las siguientes notaciones [22],[23], [1] (págs 27,154 y Cap 6),[24]1 ,

@�S =@S

@x�= S;� (1)

@�S =@S

@x�= g��@� = S

;� (2)

Queda claro que la base teórica que utilizaré es la de un espacio de Riemann con métrica de�nida y conex-ión afín para de�nir la derivación covariante y conectar las componentes covariantes y contravariantes delos tensores en general [24], como en la mayoría de los trabajos de la bibliografía. Y haré obviamente usoexplícito de estas asunciones en cada sección correspondiente.Según la notación moderna para tensores ([23],[22], en algunos papers nuevos como [16] los índices senotan con índices latinos en imprenta minúscula a,b,etc) se conviene en llamar indice contravariante dela derivación ordinaria (gradiente) en componentes covariantes a la operación ([23], pág 85 Box 3.3) delevantar índice2 :

N��; = N�

�;� �� (3)

1 en este caso, por la convención que utiliza y la ausencia de índices contravariantes para la derivación (ordinaria ocovariante) de tensores en general, diría que este libro ya no es más adecuado si de notación se trata

2 esta notación valdrá no solo para derivación ordinaria sino también para derivación covariante. No hay posibilidad deconfusión: no existe la derivación contravariante.

3

con tal de que tomar derivación ordinaria (4-gradiente) y levantar o bajar índices sean operacionesconmutables, es decir

N��; = (���N

��); = ��� N��

; (4)

Estas valen para sistemas de referencia de Lorentz (i.e. cartesianos), ver más adelante los problemasde "Factor-ordering" que aparecen aquí cuando la métrica no es plana. Por propia comodidad adoptaréen general la notación de la coma y punto y coma para las derivadas. Cuando se tenga que aplicarvarias derivaciones sucesivas no será necesario seguir colocando comas o puntos y comas. Se respetaráobviamente el lugar de componentes contra o covariantes que tengan.En algunos casos breves utilizaremos dos sistemas de referencias explicitos en la notación. A uno de lossistemas se lo diferenciará colocando en los índices tildes como x o b�.Por último aclaro que estoy acostumbrado a llamar a la manera antigua "el orden" al de un tensor(cantidad de índices) y no "el rango".

1.2 Sistemas de Unidades

En este trabajo procuraré usar el llamado sistema "geometrizado" [23] (para más detalles ver página 36)en el cual c = G = k = 1 por ser el más utilizado en gravitación y por gusto propio. En esta notación ces la velocidad de la luz, G es la constante de gravitación de Newton y k es la constante de Boltzman.Este sistema utiliza como unidad de longitud el centímetro (cm). Para poder pasar todas las ecuaciones(también las covariantes) a otros sistemas de unidades recomiendo utilizar los resultados del trabajo [25].

2 Breve síntesis del electromagnetismo covariante en ET planosy en vacío.

2.1 La fuerza de Lorentz como punto de partida

Para comenzar con el electromagnetismo covariante, voy a adoptar el punto de vista de partida del libro[23] el cual usa la fuerza de Lorentz para de�nir los campos en un sistema de referencia determinadoy predecir los movimientos de las partículas inmersas en los mismos. Como en esta sección trataremoscampos en vacío (con fuentes pero sin medios), salvo cuando sea necesario cambiar usaré por convenciónlos campos ~E y ~B (en este caso ~D = ~E, ~H = ~B).

La ley de fuerza de Lorentz en su versión corriente 3D, se escribe

d~p

dt= q

�~E + ~v � ~B

�(5)

donde ~p es el momento 3D de la partícula,q su carga eléctrica,~v es la velocidad de la partícula (medidadesde un sist inercial), ~E es el campo eléctrico local y ~B es el campo magnético local.

Esta no es una ley del tipo "geométrica" (es decir, no es covariante en 4D). Una ecuación puramentegeométrica dependerá del cuadrivector momento de la partícula ~P , y no será medido por un reloj de unobservador partícular (que mide tiempo t) sino que será medido por el reloj propio del observador local(que mide tiempo propio �), de manera que tendrá una forma a priori

d~P

d�= : (6)

4

El lado derecho de la ecuación, es decir la fuerza de Lorentz, debe ser también un objeto independiente del

sistema de coordenadas. Será lineal en la velocidad de la partícula 4D ~U = (u0; ~u)�donde ~u = 1p

1�v2~v�,

d~p

d�=

1p1� v2

d~p

dt=

qp1� v2

�~E + ~v � ~B

�= q

�u0 ~E + ~u� ~B

�(7)

Debe de existir entonces una "máquina lineal" !F , o tensor campo EM, tal que su input sea la cuadrive-

locidad y su output sea la fuerza

d~P

d�= q !F (~U) (8)

Comparando ésta expresión con (7) y con la ley de potencia siguiente

dP 0

d�=

1p1� v2

dE

dt=

qp1� v2

~E:~v = q ~E:~u (9)

donde E es la energía. Estas dos expresiones se condensan en lo que podríamos llamar la de�nición deltensor (componentes mixtas) en un sistema de referencia de Lorentz especí�co.

dP�

d�= q F� � U

� (10)

,

F� � =

0BB@0 Ex Ey EzEx 0 Bz �ByEy �Bz 0 BxEz By �Bx 0

1CCA (11)

Tal que si de�nimos la métrica de Lorentz como

��� = bx�:bx� = ��� = bx�:bx� =0BB@�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA (12)

en cualquier sistema de referencia de Lorentz (i.e. es un tensor isotrópico), entoncesF�� = �� F

� donde

F�� =

0BB@0 �Ex �Ey �EzEx 0 Bz �ByEy �Bz 0 BxEz By �Bx 0

1CCA (13)

, yF�� = �� ���F � donde

F�� =

0BB@0 Ex Ey Ez�Ex 0 Bz �By�Ey �Bz 0 Bx�Ez By �Bx 0

1CCA (14)

las dos últimos son las formas quizás más encontradas (componentes covariantes o contravariantes totales)para el tensor campo EM.Es de destacar en esta parte que ninguno de los campos ~E o ~B se considera por si solos entidades geométri-cas (es decir, son dependientes del sist de coordenadas, por ser vectores 3D), aunque desafortunadamentepara el formalismo covariante, son los observables físicos del "mundo real". Estos detalles serán muyimportantes de destacar en una sección posterior del trabajo.

5

2.2 Ecuaciones de Maxwell

Empecemos con la más simple en un sistema de Lorentz, la que dice de la ausencia de monopolosmagnéticos. En el sistema que podríamos llamar de "Laboratorio" tenemos

r: ~B = @Bx@x

+@By@y

+@Bz@z

= 0 (15)

Esta ecuación debe ser válida para todos los sistemas inerciales de referencia. Entonces vale para unsistema que consecuentemente llamaríamos "rocket"

@Bx@x

+@By@y

+@Bz@z

= 0 (16)

Para un cambio in�nitesimal de referencia,i.e. bajo una transformación de Lorentz (TL) in�nitesimal enla dirección x (para una velocidad � no relativista), uno tiene

Bx = Bx By = By + �Ez Bz = Bz � �Ey (17)

@x = @x + �@t @y = @y @z = @z (18)

Si se mete esta tranformación en (16) se recupera (15) más la condición (que se obtiene de anular eltermino que es proporcional a la velocidad arbitrariamente pequeña �)

@Bz@t

+@Ez@y� @Ey@z

= 0 (19)

Para las tranformaciones en las otras dos direcciones del espacio y,z se obtienen expresiones similares,con @Bx

@t@By

@t . Las tres condiciones se condensan en

@�!B

@t+r� ~E = 0 (20)

es decir, de manera elegante aparece la segunda ecuación de Maxwell.Que hermosa es la teoría que utilizando el principio de covarianza (las leyes de la física son las mismasen cada sistema de referencia de Lorentz, o tienen este punto de vista "geométrico") más el principio deque las líneas de fuerza magnéticas no tienen principio ni �n, da lugar a la Ley dinámica de Faraday!Pero aparte esto da cuenta de que estas dos ecuaciones se pueden condensar en una ley geométrica(independiente del sistema de referencia) como

F��; + F� ;� + F �;� = F[��; ] = 0 (21)

de tal manera que cua ndo se hace � = 1, � = 2, = 3 se obtiene (9) y cuando se hace uno de los índicesigual a cero (ej �) y los otros distintos se obtiene (20).Las otras dos ecuaciones que quedan son: la ecuación electrostática

r: ~E = @Ex@x

+@Ey@y

+@Ez@z

= 4�� (22)

y la ecuación electrodinámica

@�!E

@t�r� ~B = �4� ~J (23)

6

Estas dos, como la magnetostática y la magnetodinámica, son dos partes de la misma ley geométrica. Secondensan en

F�� ;� = 4�J� (24)

Que es una expresión un poco más sencilla en cuestión de recuperar las ecuaciones 3D por estar saturadaen un índice.

2.3 Dualidad. Magnitudes Duales

Como consecuencia inmediata de la de�nición del pseudotensor de Levi-Civita para dimensión n, a todotensor totalmente antisimétrico T�1�2:::�p de orden p 6 n se le puede hacer corresponder un pseudotensorde orden n� p siguiente, llamado un tensor adjunto o Dual del tensor primitivo:

�T �1�2:::�n�p =

1

p!"�1�2 :::�n�p�1�2:::�pT�1�2:::�p (25)

y analogamente, a todo pseudotensor totalmente antisimétrico �T�1�2:::�p de orden p 6 n le correspondeun tensor adjunto o dual de orden n� p de�nido por

T�1�2

:::�n�p =1

p!"�1�2

:::�n�p�1�2:::�p�T �1�2:::�p (26)

Por ejemplo, al tensor totalmente antisimétrico de segundo orden !F para n = 4 le corresponde el

pseudotensor

�F�� =1

2"����F�� (27)

al vector ~J le corresponde el pseudotensor

�J�� = J�"��� (28)

usando la de�nición del pseudotensor de Levi-Civita de cuatro índices. También se de�ne por ejemplo,para n = 3,

B� =1

2"�� B� ,H� =

1

2"�� H

� (29)

usando la de�nición del pesudotensor de Levi-Civita de tres índices. Estas de�niciones para los camposmagnéticos ~B y ~H se utilizarán más adelante.La dualidad está bien de�nida en el sentido de que tomar dos veces el dual a una magnitud, vuelve adar esa magnitud. Esta propiedad muestra que entonces tanto el dual como el original de una magnitudcontienen precisamente la misma información [23].Para transformaciones generales de coordenadas, la dualidad se transforma adecuadamente usando latransformación del pseudotensor totalmente antisimétrico de Levi-Civita (pág 325 [1] o punto 83:Coor-denadas curvilíneas)

E�� � =p�ge�� � (30)

7

oE�� � =

1p�g e�� � (31)

, (e�� �g��g��g� g�� = �ge����). Para el pseudotensor de Levi-Civita de tres índices (3D), la transfor-mación adecuada es

�ijk =1p eijk (32)

�ijk =p eijk (33)

donde es el determante de la métrica espacial pura, es decir la versión 3D de la métrica (ver [1]).

(Ver también wikipedia: Levi-Civita para aclarar puntos sobre la de�nición dependiendo de que la métricaesté de�nida o no).

2.4 Potencial Vector electromagnético y ecuación de onda para ~A

Para el campo EM, o para una partícula sometida a la acción del mismo, el campo está de�nido por unpotencial vector, que se mani�esta a través de la acción (ver [1]). El vector potencial ~A genera el tensorcampo como !F = �

�r ~A�antisim

/

F�� = A�;� �A�;� (34)

donde los campos eléctricos y magnéticos quedan, según 13

~B = r� ~A; ~E = �@~A

@t�r� $ � � A0 (35)

Si colocamos la de�nición (34) en las ecuaciones de Maxwell (21), (24), para (21) se satisface automática-mente por ser mudos los índices y derivadas cruzadas iguales, y para (24) se obtiene la condición necesariay su�ciente [23] (pág. 89) que sigue. Sea

F�� = �� ���F � ! F�� = �� ��� (A�; �A ;�) = �� ���A�; � �� ���A ;� = A�;� �A�;� (36)

y en (24)

F�� ;� =�A�;� �A�;�

�;�= � A�;� ;� + A�;� ;� = � A�;� � + A�;� � = 4�J� (37)

! A�;� � � A�;� � = �4�J� (38)

donde para llegar a esta expresión se ha usado la convención (3) para ET planos, luego se verá lo quesucede cuando los ET sean curvos.Cabe mencionar que puesta de manera correcta, las tranformaciones de gauge dejan sin afectar no solo a~E y ~B de�nidos en (15), (20), (22), (23), sino también directamente a

!F . La invarianza de Gauge sería

en 4D

A0� = A� + �;� (39)

F 0�� = A0�;� �A0�;� = (A� + �;�);� � (A� + �;�);� = F�� + (�;�� � �;��) (40)

8

donde el último termino es igual a cero por igualdad de parciales cruzadas de la función escalar � y porser índices mudos.Si se ajusta el Gauge de manera que su 4-divergencia sea nula (Gauge de Lorentz)

A�;� =@A�

@x�= 0 (41)

y se coloca esta expresión en (38), teniendo en cuenta que en métrica plana A�;�� = A� ;�

�, entonces

~A también cumple

� ~A = �4� ~J (42)

donde � se de�ne como el "operador de Ondas" o D�Alembertiano y es tal que

� ~A = A�;� � bx� (43)

(notación tipo diádica: o bien directamente � ~A = A�;� �)Cabe mencionar que para que se cumpla la condición 41, termina forzando en (39) la condición de ondas(nuevamente) escalar:

�� = 0 (44)

que no es una condición para nada arbitraria. En este caso el operador actúa de la misma manera

�� = �;� � (45)

2.5 Ecuación de onda para el tensor campo electromagnético

Supongamos aplicar el operador � al campo !F de manera de utilizar la de�nición independizada del

objeto geométrico � = :;� �, donde el punto entre paréntesis simboliza un objeto al cual "le sobresale" uníndice contravariante como el caso de A� en (43) (para poder seguir utilizando esta de�nición aplicada avectores contravariantes). Entonces aplicando por ejemplo a la forma mixta del tensor, tenemos

� F� � = F��;�

� =����F��

�;��= ��� (A�;� �A�;�);� � = �

���A�;�

�� � A�;�

��

�=

(46)

A� ;��

� � A�;��

� = A�;� �� � A�;��� =

�A� ;� � A� ;�

�;��

(47)

donde para llegar a la última expresión se hemos hecho uso de las propiedades (3), (4). A partir de aquípodemos volver a usar (4) y sabiendo que los índices son mudos, obtener�

A� ;� � A� ;��;�

;�= A�

;�;�� � A�

;�;�;� =

��A�

�;�� ��� (�A�);� (48)

donde en el último termino de la última expresión se hace notable el uso de la métrica plana, para poderrestablecer nuestra de�nición de D�Alembertiano. Entonces reemplazando las ecuaciones de onda para el4-potencial vector ~A

� F� � =��A�

�;�� ��� (�A�);� = �4�

�~J� ;� � ��� ~J�;�

�= �4�

�~J� ;� � ~J�

;��

(49)

9

Que sería la ecuación de ondas buscada inhomogenea. Notar que esta expresión en las otras componentestotales (totalmente covariante y totalmente contravariante) serían

�F�� = �4��~J�;� � ~J�;�

�(50)

a esta llegamos análogamente

�F�� = F��;�� = (A�;� �A�;�)� � = A�;�

�� � A�;�

�� (51)

= A���� � A�

��� = ��� A

�;��� � ��� A�;� �� = ��� �A� ;� � ��� �A� � (52)

= �4����� J

�;� � ��� J� �

�= �4� (J�;� � J�;�) (53)

y también vale

�F�� = �4��~J�;� � ~J�;�

�(54)

la expresión (54) tiene la misma forma cuando la métrica corresponde a ET plano que [19] (fórmula 6),y la (50) tiene la misma forma que la dada en la [22] (considerando el cambio de unidades).

Por último, notemos que si se aplica al tensor campo EM la operación de derivar dos veces pero saturandototalmente los índices del tensor en vez de saturar como en (50) entonces obtenemos la ecuación decontinuidad para 4D [1] (pág. 106). Es decir3 :

F�� ;� = �4�J� ! F�� ;�� =@2

@x�@x�F�� = �4� J� ;� (55)

pero en virtud de la antisimetría de !F y la igualdad de parciales cruzadas en este espacio-tiempo plano

(ver que sucede luego cuando ET es curvo):

@2

@x�@x�F�� =

1

2

�@2

@x�@x�F�� +

@2

@x�@x�F ��

�=1

2

�@2

@x�@x�F�� +

@2

@x�@x�F ��

�= (56)

1

2

�@2

@x�@x��F�� + F ��

��=1

2

�@2

@x�@x��F�� � F��

��= 0 (57)

Lo cual deja como queríamos demostrar

J� ;� = 0 (58)

También es posible despejar directamente la ec de ondas para el tensor !F directamente desde las dos

ecuaciones de Maxwell 4D (24),(21). Comenzando desde (21)

F��; + F� ;� + F �;� = 0 (59)

�������F

���; +����� �F

���;�+ (� ����F

��);� = 0 (60)

y derivándola respecto de ��������F

���;

�+����� �F

���;�

�+ (� ����F

��);��= 0 (61)

!����� �F

���;�

�= �

�������F

���;

� � (� ����F ��);�� (62)

3Elijo en esta parte el cambio de notación para destacar las propiedades de las derivadas ordinarias cruzadas

10

por la propiedad de (4) puede escribirse como

! ���� � F��;��= ������� F �� ;

� � � ���� F �� ;� � (63)

por estar en ET plano y por ser mudos los indices podemos sin problemas igualar a

���� � F��;��= ������� F ��

;� � � ���� F �� ;� � (64)

que por la antisimetría de !F queda en el primer termino

= ������ F�� ;�

� � ���� F �� ;� � (65)

que usando sobre el índice de derivación la propiedad (3) deja a la expresión

= ��� F��;� � � � F �� ;�� (66)

ahora utilizando aquí la otra ecuación (24)

= �4����� J

�; � � � J� ;�

�= �4� (J�; � J ;�) (67)

entonces la igualdad es

���� � F��;��= �4� (J�; � J ;�) (68)

multiplicando �nalmente por las inversas ���� � de las métricas ���� � (tales que ������ = ��� y � �� � =

���) a ambos miembros �nalmente deja

F�� ;��= F��

;�� = �4����� � (J�; � J ;�) = �4�

�J�;� � J�;�

�(69)

! �F �� = 4��J�;� � J�;�

�(70)

que es de nuevo la ecuación de ondas inhomogenea para el tensor.

2.6 Obtencion de las ecuaciones de onda 3D a partir de la ec onda para !F

Notemos que partiendo de

�F � = 4��J ;� � J�;

�(71)

podemos obtener las ecuaciones de onda para los campos observables 3D, según (14)� = 0; = i (i = 1; 2; 3)

�Ei = �4��J0;i � J i;0

�! � ~E = �4�

r�� @

~J

@t

!(72)

� = i; = j (i; j = 1; 2; 3)

�F ij = �4��J i;j � Jj;i

�(73)

por ejemplo según 14

i = 1; j = 2

�F 12 = �Bz = �4��J1;2 � J2;1

�= �4�

�@Jx

@y� @J

y

@x

�(74)

i = 1; j = 3

11

�F 13 = ��By = �4��J1;3 � J3;1

�= �4�

�@Jx

@z� @J

z

@x

�! �By = 4�

�@Jx

@z� @J

z

@x

�= �4�

�@Jz

@x� @J

x

@z

�(75)

i = 2; j = 3

�F 23 = �Bx = �4��J2;3 � J3;2

�= �4�

�@Jy

@z� @J

z

@y

�(76)

! � ~B = 4�r� ~J (77)

aquí notemos que se puede de�nir (para comparar con Landau hacer !� ! � !� , �g = g00 y en nuestrocaso g00 = �00 = �1)([1],[22], [23])

Bij = Fij , Hij =p�gF ij ,Ei = Fi0,Di =

p�gF 0i (78)

y aquí tenemos

Bij = Fij ;Hij = F ij ; Ei = Fi0; D

i = F 0i ! Bij = Hij ; Ei = D

i (79)

como debe ser en el sistema de unidades y la signatura de la métrica de ET plano elegidos (ver paper [25]sobre electromagnetismo covariante independiente de las unidades),donde los campos magnéticos son losduales, según lo expuse en la sección 2.3:

B� =1

2"�� B� H� =

1

2"�� H

� (80)

tales que entonces

B� = H� (81)

y de�niendo en general

D�� =p�gF�� (82)

es compatible con Di = �p�gF 0i si D = (0; Di) (i = 1; 2; 3) y

D�� =1

2"�� D (83)

en coordenadas planas (ver fórmulas en métricas de ET curvos para notar la diferencia).Nota: recordemos que en el espacio plano para los vectores 3D vale Ei = Ei,Bi = Bi, J i = Ji (lascomponentes contra y covariantes son iguales) como debe ser para que todo sea consistente con la métricade�nida !� en la ecuación (12).

3 Problema covariante electromagnético medios (isótropos) móviles

en RE.

En esta sección seguiré con ET de métrica plana (Lorentz), pero mostraré como se utiliza el formalismocovariante para hacer una equivalencia entre sistemas de coordenadas móviles (por una tranformaciónde Lorentz), uno de ellos inmerso en un medio. Esto lo haré como una introducción a las ecuacionesque aparecen en Landau ([1],punto 90, pág 354), ya que no se necesita en principio una tranformacióngeneral para obtener una forma similar. Empezaré con la base de las ecuaciones de Maxwell en mediosmóviles en esta sección y terminaré este tema en la última sección del presente trabajo. Como diceen [4],[26], los medios isotrópicos móviles aparecen para los campos EM como una cierta geometría delespacio-tiempo efectiva. En 1959 Plebansky [10] guíado por los trabajos de Tamm (1924-1925: cuyos

12

trabajos son imposibles de encontrar en la red, pero en varios trabajos se le reconoce como autor de laidea) formuló (junto a otros trabajos) el efecto EM de ET curvos o pasando a coordenadas curvilíneas(equivalencia importante de destacar) como ecuaciones con relaciones constitutivas equivalentes a un"medio macroscópico". De aquí se deduce (¿formalmente?) [1] que los medios dieléctricos actúan sobrelos campos EM como en una geometría alterada, que vale tanto como la proposición inversa de que lasgeometrías actúan sobre los campos como medios efectivos [4],[27].Estas ideas están muy consideradas últimamente con el surgimiento de la posibilidad de metamateriales[28] o medios efectivos y los efectos fantásticos como la idea de la invisibilidad [3],[4], o la idea de laplasmónica como el control total sobre excitaciones nanoópticas [6].El punto de partida serían las transformaciones de Lorentz de los campos cuando el sistema de referenciaes cambiado por uno móvil, en vacío. Pero para insertar dieléctricos el problema es considerablemente máscomplejo, porque el campo EM es descrito por un número mayor de cantidades [29]. En el movimiento decuerpos macroscópicos, las velocidades involucradas son usualmente pequeñas en comparación con c. Igualpara obtener las expresiones bajo esta aproximación es más sencillo abordar el problema de velocidadesarbitrarias. Como en mi sistema de unidades c = 1 entonces pequeñas velocidades se expresarán v � 1.Por tener a los vectores ~E y ~B que dan cuenta de los promedios sobre (~e,~h microscópicos) es evidenteque para dieléctricos móviles las dos primeras ecuaciones de Maxwell

r: ~B = 0 y @�!B

@t+r� ~E = 0! (84)

F��;� + F��;� + F��;� = 0 (85)

siguen siendo válidas. Pero el segundo par de ecuaciones de Maxwell (sin fuentes: la generalización aecuaciones con fuentes no cambia la deducción)

r: ~D = 4��;@�!D

@t+r� ~H = 0 (86)

sigue valiendo, aunque no implica que las relaciones "constitutivas" entre los campos de las (85) y de las(86) sean las mismas para objetos móviles. El cambio de las relaciones constitutivas es el que paga elprecio de la invarianza de las ecuaciones (85-86). Para un campo en el vacío, los vectores ~D y ~H debenser los mismos que ~E y ~B, y de esta manera la invarianza relativista de las (86) queda condensada enuna forma para el mismo tensor

!F , es decir

F�� ;� = 0 (87)

esto nos indica que la forma covariante para (86) cuando hay dieléctricos móviles no puede diferir muchoen forma que (87) si cuando se vuelve al caso de los campos en vacío deben dar precisamente (87).Se postula entonces que los campos ~D y ~H se transformen como las componentes de un 4-tensor similar-mente a

!F , que denotamos por

D�� =

0BB@0 �Dx �Dy �DzDx 0 Hz �HyDy �Hz 0 HxDz Hy �Hx 0

1CCA ; D�� =

0BB@0 Dx Dy Dz�Dx 0 Hz �Hy�Dy �Hz 0 Hx�Dz Hy �Hx 0

1CCA (88)

luego la similar a (87) sería la ecuación

D��;� = 0 (89)

Una vez que se han caracterizado como 4-tensores los campos 3D (como componentes de los tensores),se ha formado la ley de transformación de un sistema de referencia a otro (por una transformación

13

de Lorentz) implícitamente. Pero el interés de las mismas radica en como generalizan la forma de lasrelaciones constitutivas ~D = " ~E, ~B = � ~H válidas para un medio (u objeto) en reposo.Denotemos por u� (o u�) el 4-vector velocidad del medio (u objeto dieléctrico, en gral.), sus componentesse relacionan con la velocidad 3D mediante

u� =

�1p1� v2

;~vp1� v2

�= (1; ~v) / =

1p1� v2

(90)

u� =

�1p1� v2

;� ~vp1� v2

�= (1;�~v) ,/ (91)

u�u� = 1 (92)

Desde esta transformación de Lorentz y los tensores !F y

!D formamos conbinaciones las cuales se deben

volver las relaciones entre ~E, ~D, ~H y ~B para un medio en reposo. Las combinaciones tensoriales que sepueden formar dan los productos F��u� y D��u�; para ~v = 0 dan F��u� ! ~E y D��u� ! ~D entoncesla primera generalización a 4D obvia de las relaciones constitutivas para ~E, ~D por ejemplo es

D��u� = "F��u� (93)

similarmente con la otra ecuación 4D de Maxwell, se obtendría la generalización de ~B = � ~H como

F��u� + F��u� + F��u� = � (D��u� +D��u� +D��u�) (94)

si volvemos a la notación 3D desde éstas dos ecuaciones generalizadas, obtenemos

~D + ~v � ~H = "�~E + ~v � ~B

�(95)

~B + ~E � ~v = ��~H + ~D � ~v

�(96)

Estas formulas fueron derivadas por primera vez por Minkowski (1908). Si se supone ahora que v � 1 espequeño entonceslas relaciones nos dan (se desprecian los terminos ~v � ~H � ~v, ~v � ~B � ~v,~v � ~D� ~v y ~v � ~E � ~v por ser desegundo orden en potencias de v)

~D = " ~E + ("�� 1)~v � ~H (97)

~B = � ~H + ("�� 1) ~E � ~v (98)

Estas relaciones tienen las forma de las ecuaciones de los trabajos [27],[4], [5] y considerando el cambiode unidades. En estos papers se ve de paso que la generalización a medios anisótropos es considerando engeneral "! !" , �! !� . En la referencia [5] se puede notar como empiezan a de�nirse distintos tipos depropagación de ondas planas en base a este tipo de relaciones incorporando el tensor de polarizabilidadque depende de la velocidad del medio !� .Para completar la formulación del problema EM completo falta establecer la generalización de las condi-ciones de contorno para los campos 3D. esto se puede encontrar en [29] en el apartado 76, pág 260; no esde nuestro interés expresarlas aquí.

En la sección � , cuando derive las relaciones constitutivas más generales en ET curvos, volveré a mostrarque las transformaciones (97) y (98) son un caso particular de este tipo de interpretación. Solo aquíadelantaré que éstas ecuaciones, se pueden de�nir como

14

~D = " ~E + ~g � ~H ; ~B = � ~H � ~g � ~E (99)

donde ~g = ("��1)~v quedando de esta manera claro que el vector ~g es el agente mezclador de campos (esteefecto en la bibliografía se suele llamar magneto-eléctrico, para diferenciar el concepto del más generalque es electromagnetismo: aunque ya es obvio que los campos EM como vectores 3D (i.e. ~E; ~B; ~H; ~D)ya no tienen sentido físico). No solo los campos se "mezclan" en (99), sino que se distingue que ~g es unvector que tiene en cuenta los medios móviles (u objetos diéctricos móviles), y más generalmente, tieneen cuenta la transformación de coordenadas. O sea, los campos se mezclan por una "acción geométrica".

4 Paso del electromagnetismo al marco de RG

En esta sección mostraré como como se lleva el problema EM de ET planos al marco de RG o ET curvosde manera adecuada.En esta sección demostraré que el problema EM en presencia de un campo gravitatorio arbitrario engeneral (i.e. en métrica de ET no planos) es equivalente al mismo problema en ET planos y sistemade referencia cartesiano con un medio equivalente que sustituye al vacío, por la acción "geométrica" delcampo gravitatorio. Esto es consecuencia de representar con vectores y pseudovectores al campo EM,que son entidades geométricas que conducen a ecuaciones covariantes de leyes físicas como el electromag-netismo en este caso.

Además deduciré la ecuación de onda para el campo EM en forma general. Indagaremos queimplicancias se podrían estudiar en base a esta.

4.1 Leyes de la física en ET curvos.Principio de Equivalencia de Einstein

En todos y en cualquier sistema de referencia local de Lorentz, en cualquier punto del espacio y encualquier tiempo en el universo, todas las leyes físicas (no gravitacionales) deben tomar sus formasfamiliares de relatividad especial [23].

Con este principio podemos generalizar todas las leyes de la física obtenidas en el marco de la relatividadespecial a los ET curvos. Y la curvatura no necesita ser pequeña para hacerlo. Además las leyes dela física, escritas en la manera geométrica abstracta (usando formas diferenciales, [23]) no di�eren enmanera alguna entre ET planos y curvos, que es lo que muestran a través del principio de Einstein. Parahacer esto en forma práctica, aplicaremos la llamada "Comma-goes-semicolon rule" que dice que las leyesde la física, escritas en forma de componentes (entonces no formas diferenciales, sino notación tensorial),cambian adecuadamente desde ET planos a curvos por un mero reemplazo de todas las comas por puntosy comas. Es decir, no cambian en absoluto desde el sentido físico o geométrico, cambian debido a uncambio de sistema de referencia Lorentziano a no Lorentziano. Como se verá explícitamente luego, estecambio inserta la gravedad dentro de las leyes de la física de un manera esencial, a través de la derivadacovariante del espacio-tiempo curvo.

4.2 Problemas de "Factor Ordering" en el principio de Equivalencia. Nocommutatividad de la derivada covariante.

En algunas ocasiones cuando uno aplica el principio de equivalencia para pasar de sistemas de referenciaplanos a curvos encuentra problemas de "factor ordering" análogos a los que uno encuentra cuando hacea transición de la mecánica clásica a la cuántica (Merzbacher,1961-Pauli,1934). Por ejemplo:

15

En la ecuación 38 de la sección 2 para espacio-tiempo plano, el potencial vector cumple

� A�;� � + A� ;�� = 4�J� (100)

entonces según la regla citada arriba, la transición a ET curvos sería

� A�;� � + A� ;�� = 4�J� (101)

Pero si se escribe la primera ecuación en ET planos con las dos derivadas intercambiadas:

� A�;� � + A�;� � = 4�J� (102)

entonces su transición sería

� A�;� � + A�;� � = 4�J� (103)

la cual como se ve en el apartado siguiente, se puede escribir como

� A�;� � + A� ;�� + R� �A

� = 4�J� (104)

donde R� � es el tensor (mixto) de Ricci, y apareció como resultado de querer "conmutar" las derivadascovariantes. Entonces el problema es..¿cúal de las ecuaciones, (101) o (104) es la correcta? Ahora veremosque la (104) es la correcta, introduciendo esta no conmutatividad el "acople" de la curvatura a la ecuación.

4.2.1 Derivadas covariantes que no conmutan

Sea ~C campo vectorial y !S campo tensorial de segundo orden, entonces

C� ;�� = C� ;�� + R���� C

� (105)

S�� ;�� = S�� ;�� + R���� S

�� + R� ��� S�� (106)

y de la primera se puede demostrar

C�;� � = C� ;�� + R� � C

� (107)

Para hacer esta demostración se puede trabajar en un sistema de referencia de Lorentz, donde �� � = 0pero �� � ;� 6= 0, luego se expande el lado izquierdo en términos de los símbolos de Christo¤el y susderivadas parciales, y se usa la siguiente identidad para la de�nición de las componenetes del tensor deRiemann

R� � � =@ �� ��@x

� @ ���

@x�+ �� � �

��� � �� �� �� � (108)

16

4.2.2 Como atacar el problema de factor ordering. ¿Cómo sabemos cual ecuación es lacorrecta?

¿En qué orden deben ser escritas las derivadas cuando se aplica la regla de reemplzar las comas porpuntos y comas? Intercambiar las derivadas cuando el ET es plano no hace ninguna diferencia,pero enET curvos produce términos que acoplan la curvatura, por ejemplo2 B� ;[ �] = B� ; � � B� ;� = R� �� B

� 6= 0 en general para cualquier campo vectorial (conmutación:justi�ca el uso de corchetes notado antes). Pero, cuando y cómo la regla de "comma-goes-semicolon"(CGS: no confundamos con el sistema de unidades!) debe ser aumentada por términos que acoplen lacurvatura? En general no hay regla para hacer esto, pero podemos tener en cuenta estos "tips":- Los términos de curvatura casi siempre surgen de la no conmutación de las derivadas (covariantes).Consecuentemente, necesitamos preocuparnos por ecuaciones que contengan doble derivación covariante(como la ecuación para el potencial vector). Pero podemos ignorar el acoplamiento de la curvatura enecuaciones de primer orden (como las ecuaciones de Maxwell, directamente).- El acomplamiento no puede venir de una razón no física. Por lo tanto si aplicamos la regla CGS soloa magnitudes observables (e.g. al campo EM, pero no al potencial vector) podemos intuir cuando esprobable este acomplamiento. Dos ejemplos que necesitamos:Un acomplamiento a la curvatura en las ecuaciones T�� ;� = 0 (e.g. reemplazando estas por T�� ;� =R� � � T

� u�) no tiene ningún sentido. En un sistema de referencia local terminos como R� � � T � u�

podrían ser interpretados como fuerzas producidas sobre un punto por curvatura. No debería ser posible"sentir" la curvatura excepto sobre regiones �nitas! (desviaciones geodésicas, etc). Ahora si tenemos doblederivación, por ejemplo las segundas derivadas del potencial gravtitacional (métrica) pueden producirfuerzas netas sobre un punto, deberían producir fuerzas de marea!Ecuaciones de Maxwell. Debería ser "antinatural" introducir términos de curvatura: causarían un break-down en la conservación de la carga, es decir, las líneas de campo (magnéticas, eléctricas) podrían empezaro terminar en puntos donde hay curvatura pero no carga. Para mantener la conservación de la cargahacemos CGS normalmente:

F�� ;� = 4�J� (109)

F��; + F� ;� + F �;� = 0 (110)

Es más uno podría seguir con CGS para traer la de�nición "como está" del campo EM en función delpotencial vector trasladado:

F�� = A�;� �A�;� (111)

En métricas de ET no planos al meter (111) en (110) aparecen terminos de coe�cientes de la conexión deLevi-Civita que se anulan entre sí: cambiar a derivadas covariantes no cambia nada. Pero articular estade�nición en la primera, nos da:

� A�;� � + A� ;�� + R� �A

� = 4�J� (112)

prueba su�ciente para decir cual ecuación para �A valía realmente en el apartado 4.2.

4.3 Paso a sistemas de referencia curvos: Resumen

Ahora podemos pasar �nalmente la electrodinámica a ET curvos. En cualquier sistema de referencia deLorentz local aún en presencia de gravedad, un observador puede medir los campos eléctrico y magnético~E y ~B usando la fuerza de Lorentz usual para partículas cargadas como se de�nió en ??.Y tal comose de�nió antes en esa sección para relatividad especial, podemos reconsiderar las de�niciones comocomponentes del tensor campo EM.

Fb0bj = �Fbjb0 = Ebj ; Fbjbk = "bjbkblBbl (113)

17

el observador puede considerar las densidades de corriente y carga como las componentes del 4-vector J b�,y puede escribir las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de la fuerza de Lorentz en la forma de relatividadespecial

F b�b� ;b� = 4�J b�; Fb�b�;b + Fb�b ;b� + Fb b�;b� = 0 (114)

mab� = F b�b�qub� (115)

donde m es la masa de la partícula, q su carga,ub� la 4-velocidad y ab� la 4-aceleración. En cualquier otrosistema de referencia estas ecuaciones tendrán la misma forma, pero con punto y comas reemplazandolas comas.

F�� ;� = 4�J� (116)

F��; + F� ;� + F �;� = 0 (117)

ma� = F��qu� (118)

Estas son las ecuaciones de la electrodinámica en presencia de gravedad. Es obvio que como se dijoanteriormente éstas ecuaciones no contienen acople explícito por problemas de factor-ordering. Contienentoda la información física relevante, por ejemplo, implican como deben la conservación de la carga:

J� ;� = 0 (119)

y para un campo EM interactuando con materia cargada, implican divergencia nula para la suma de lostensores energía-impulso �

T (EM)�� + T (Matter)���;�= 0 (120)

Como en relatividad especial, también aquí podemos introducir el 4-vector potencial A�. Con la reglaCGS aplicada a la expresión para F�� en términos de

�!A , obtenemos

F�� = A�;� �A�;� (121)

esta ecuación garantiza, como en relatividad especial, que la ecuación de Maxwell (110) se satisface. Alhacer esto encontramos como se vió, la ecuación previa a la ecuación de onda para ~A, ecuación (104).

4.4 Ecuaciones de Onda en marco de RG: ecuación para ~A

Si a la ecuación (104) se le adopta la condición de Gauge de Lorentz como en relatividad especial,

A� ;� = 0 (122)

da la ecuación de onda para ~A,

(�dRA)�= � A�;� � + R� �A� = 4�J� (123)

,/(�dRA)

� ! (�A)� � �A�si R� � ! 0 (124)

El operador de�nido se llama oparador de "de Rham" (�dR) que generaliza al D�Alembertiano (��:cambiado de signo) para vectores en ET curvos [23], [30]. De esta manera la transición de la ecuación deonda para el 4-potencial vector ~A según CGS no es la trivial (factor-ordering). Como se destaca en lanotación, cuando el espacio-tiempo es plano, la ecuación de onda anterior se reduce a la correspondiente arelatividad especial (42). El tensor de Ricci es simétrico, por lo tanto se puede escribir R� � = R�

� = R�� .

18

4.5 Ecuación de onda para el tensor !F en el marco de RG

Debería haber dos maneras al menos de obtener la ecuación de onda generalizada a ET curvos para eltensor campo EM. La primera forma es obtenida directamente desde las ecuaciones de Maxwell corre-spondientes. Los pasos son los mismos que en la deducción en métrica plana, teniendo ahora mucho máscuidado.Si expreso (110) mediante las componentes totalmente contravariantes,

�g��g��F

���; +�g��g �F

���;�+ (g �g��F

��);� = 0 (125)

cuando se de�ne la conexión de Levi-Civita en los espacios de Riemann, marco que contiene a este trabajo,recordemos que una condición (de dos) para de�nirla es que [24]

g��; = 0 (126)

Esta condición implica entonces, como pasó en métrica plana, que

g��g�� F��; + g��g � F

��;� + g �g�� F

��;� = 0 (127)

(es fácil ver que (126) vale también para las componentes contravariantes de las derivadas) hacemos comoantes y derivamos esta ecuación respecto de �, teniendo en cuenta otra vez (126)

g��g�� F��; �+ g��g � F

��;��+ g �g�� F

��;�� = 0 (128)

! g��g � F��;��= �g��g�� F �� ;

� � g �g�� F �� ;� � (129)

usando las mismas componentes del tensor métrico logramos

= �g�� F �� ; � � g � F �� ;�� (130)

pero notemos que aquí ya aparece una diferencia con el caso de métrica plana. Para introducir la ecuaciónde maxwell (109) necesitamos antes usar la identidad (106), que para este caso daría (lo explicito porcomodidad propia)

F �� ; � = F �� ;� + R��� F

�� + R� �� F�� (131)

F �� ;�� = F �� ;�� + R���� F

�� + R� ��� F�� (132)

pero si tenemos en cuenta la de�nición del tensor de Ricci R�� = R� ��� entonces (131) y (132) quedan

F �� ; � = F �� ;� +R� F�� + R� �� F

�� (133)

F �� ;�� = F �� ;�� + R���� F

�� +R��F�� (134)

insertando entonces estas dos en (130) dá

g��g � F��;��= �g��

�F �� ;� +R� F

�� + R� �� F���� g � (F �� ;�� + R� ��� F�� +R��F ��) (135)

ahora si podemos ingresar la ecuación tensorial (109), teniendo en cuenta en el término F �� ;� !� F �� ;� porque se trata del tensor totalmente antisimétrico

!F . Esta ecuación nos queda

g��g � F��;��= g��

�4� J� ; �R� F �� � R� �� F ��

�� g � (4� J� ;� + R� ��� F�� +R��F ��) (136)

19

= 4� (J�; � J ;�)� g���R� F

�� + R� �� F���� g � (R� ��� F�� +R��F ��) (137)

pero a su vez notemos que necesitamos formar (para nuestra propia referencia) el operador D�Alembertianovisto en la sección 2. Para esto necesitamos multiplicar a ambos miembros de (130) por el término g��g �

(tal que por ejemplo g��g�� = ��� y g �g

� = ��� )

F�� ;��= 4�

�J�;� � J�;�

�� g�

�R� F

�� + R� �� F���� g��

�R� ��� F

�� +R��F���

(138)

y además notemos que

F�� ;��= g��F

��;�� = F��;� � (139)

la cual tiene implícita la propiedad (o de�nición para la conexión) (126). Esto nos devuelve la forma del"verdadero" D�Alembertiano. Hasta ahora nuestra ecuación quedó

F��;� � + R�� F �� + R� ��

� F �� + R� ���F�� + R�

� F�� = 4��J�;� � J�;�

�(140)

Ahora busco llevar esta ecuación a la forma del paper [19]. Para esto veamos lo siguiente, y llamo denuevo � � y � �. Las componentes del tensor de curvatura de Riemann mixtas que se presentan sepueden llevar a

R� ���= g��g��R

���� ! R� ���F �� = g��g��R

����F �� = R����F�� (141)

y lo mismo para

R� ��� = g��g��R

���� ! R� ��� F�� = g��g��R

����F�� = R����F�� = R����F�� (142)

donde la última asignación de la igualdad es por ser mudos los índices y por conveniencia obvia. Por laspropiedades de simetría del tensor de Riemann [24] (cito a continuación solo las que voy a usar)

R���� = �R���� (143)

R���� = R���� (144)

! R���� = �R���� (145)

tenemos que (142) mediante (144) queda

R����F�� = R����F�� (146)

En la expresión (141), por ser mudos los índices � y �, los podemos intercambiar

R����F�� = R����F�� (147)

que mediante (144) queda

R����F�� = �R����F�� (148)

pero usando la propiedad (145) queda

�R����F�� = R����F�� (149)

expresión idéntica a (146). Además notemos que en (140), uno de los términos que contienen el tensorde Ricci lo dejo, por la antisimetría de

!F como

20

R�� F �� = � R� � F��: (150)

De manera que ahora (140) quedó

F ��;� � + R�� F �� + R� ��

�F �� + R� ��

� F�� + R�� F �� = 4�

�J�; � J ;�

�(151)

F ��;� � + 2R����F�� �R��F�� +R

��F

�� = 4��J�;� � J�;�

�(152)

Expresión idéntica en forma a la del paper citado!. Esto implica que la generalización para tensores delD�Alembertiano es ahora (ver [20])

(�dRT )��= T��;� � + T

��R�� + T��R�� � 2T��R���� (153)

en contraste con la generalización para 4-vectores que cité en (123). A este operador tensorial no meatrevo a llamarlo el de De Rham, no creo que sea verdad llamarlo así.La segunda forma de obtener la ecuación de ondas para

!F sería intentar aplicar CGS para la ecuación

(54), por ejemplo. Es un buen ejercicio comprobar que llegaríamos a (152). No lo haré aquí porque no loconsidero pertinente.Otro buen ejercicio que no considero pertinente expresar aquí pero que recomiendo, es obtener la ecuaciónde onda para

!F en términos de la ecuación de onda para

�!A , i.e. ecuación (123) utilizando para tal

propósito la de�nición (111).Como dice en los papers [19],[20] y otros, el principio de Huygens no se cumple en general para estasecuaciones en 4D si la métrica correspondiente no es de ET plano. En [19] se describe brevemente enprimera aproximación las consecuencias que esto tiene en la propagación de un paquete de ondas enforma de pulso. La aproximación se basa en la estimación dimensional del orden de magnitud del tensorde Riemann y el de Ricci implícitos en las ecuaciones. En principio se obtiene en general una diferenciamanifestada en un "talón" dentro del cono de luz del paquete, que llega después que el resto de la señal, yse propaga entonces a una velocidad menor. El pulso termina ensanchado un pequeño porcentaje respectodel ancho inicial.Otros trabajos como [13] directamente mencionan como imposible la superposición deondas electromagnéticas planas en métricas no planas.

Otro trabajo que hace referencia a lo que le sucede a los campos de ondas electromagnéticas cerca dela presencia de un ET curvo o campo gravitatorio fuerte es [10]. En el mismo se calculan (perturbati-vamente desde métricas levemente no planas) los efectos de de�exión de la luz (rotación del vector dePoynting que marca la dirección de la onda), rotación del plano de polarización de ondas planas (comoforma de medir !g incluso), cambio de fase de las ondas planas, medición del "parámetro de impacto"del fotón, la absorción de ondas por el campo gravitatorio, etc. todo bajo la aproximación de ópticageométrica. Además aplica los mencionados cálculos al caso de cuerpos esféricos rotantes (no penetrablespor luz), nubes interestelares y sistemas de estrellas (ambos penetrables, binarios o no). Los cambios depolarización, por ejemplo tienen dos fases: cuando se aproxima la onda al campo gravitatorio y cuandolo deja y se mide en ET lejanos. Y por supuesto son solo aproximaciones para k !1, y no se encuentranada acerca de una dispersión en el sentido de una función ! = !(~k) (si ! es la frecuencia angular dela onda plana), por lo tanto dá la sensación que los efectos dependen de la métrica de manera no-local,pero no de forma dispersiva: el problema de la dispersión de un paquete de ondas no está tratado y noqueda claro en ningún trabajo al menos de los que el autor de este trabajo haya observado. En el trabajodonde queda más claro esto es (dentro del formalismo de medio equivalente que paso a detallar en lasección que sigue) en [15], donde se toma el problema que plantea Landau, pero aplicado a las métricas deSchwarzschild y Kerr: Estas dan las componentes de los tensores permitividad y permeabilidad efectivos,pero en ningún caso se consigue !" = !" (k; !) o !� = !� (k; !) en general como debería ser si hubieradispersión. Fundamentalmente el problema es que en general !g 6= !g (k; !).Para un tratamiento de ondas electromagnéticas planas en las métricas de Schwarzschild y Kerr haciendoun desarrollo de las ecuaciones de medio equivalente de Maxwell en términos de armónicos esféricos sobrela ecuación transformada de Fourier sobre la zona donde se encuentra el campo gravitatorio recomiendo

21

el trabajo [14]. Pero también al hacer aproximaciones hay ciertas controversias. Este trabajo dice que lamétrica de Kerr puede distinguir polarizaciones de las ondas planas electromagnéticas en campo lejano,pero no predice backscattering como para presentar el fenómeno de Gloria, por ejemplo, que se sabe enfísica de agujeros negros que es elemental obtener. Sin embargo, al hacer el desarrollo de autofuncionesen las transformadas de los campos, supuestamente encuentra que hay cierta ley de dispersión esperable! = !(~k) cuando la métrica es estática (cuando es independiente del tiempo), en el sentido que elresponsable de esta es la expansión multipolar que se propone. Pero no está explicito ningún cálculo depaquetes de onda y no hay ninguna comprobación del modelo. Como parece, el tema de la dispersión deondas electromagnéticas en campos gravitatorios no está muy claro en la bibliografía. Pero si creo quees clara la conexión entre la falla del principio de Huygens en [19], [20] con la "ecuación de dispersiónintegral" de [14].

4.6 Ecuaciones 3D a partir de la formulación covariante: generalización co-

variante de las relaciones constitutivas y medio efectivo para el EM envacío.

4.6.1 Primera relación

Partimos de las ecuaciones de Maxwell covariantes generales de nuevo, pero en la forma que utiliza laspropiedades de conexión (derivación) del espacio de Riemann utilizado:

F[��;�] = 0 (154)

F�� ;� =1p�g

�p�gF��

�;�= 4�J� (155)

entonces en general como se sugiere en in�nidad de libros (algunos ejemplos son [1],[31] aunque la ideaoriginal fué del mismo A. Einstein), parece natural de�nir4

D�� =p�gF�� =

p�gg��g��F�� ,/ F�� =

1p�g g��g��D�� (156)

entonces !D se construye tomando la de�nición de nuestro trabajo (14) (ver sección 3 y [1], apartado 90)

como

D�� =

0BB@0 �Dx �Dy �DzDx 0 Hz �HyDy �Hz 0 HxDz Hy �Hx 0

1CCA ; D�� =

0BB@0 Dx Dy Dz�Dx 0 Hz �Hy�Dy �Hz 0 Hx�Dz Hy �Hx 0

1CCA (157)

Entonces inroduciendo como en Landau la 4-corriente I� =p�gJ� entonces de las ecuaciones de Maxwell

(155),(154) queda la primera inalterada y la segunda se expresa ahora

D��;� = 4�I

� (158)

a éstas dos junto a las relaciones (constitutivas) que se obtendrán luego para los vectores 3D ~H, ~B, ~E y ~D

constituyen lo que se llama el problema EM en presencia de un medio material. En las referencias [22],[31]se puede ver la generalización de este problema a medios anisótropos polarizables de�niendo otros tensores

4dependiendo de la fuente bibliografía se usan indistintamente las letras !H o

!D para indicar este tensor. Aquí por

distinguir el tensor dual del campo magnetico para coordenadas espaciales opté por !D , para ser consistente con el

!H

de�nido en [1].

22

pertinentes y reobteniendo las relaciones constitutivas que corresponden: aquí queda fuera del alcance deeste trabajo.Para obtener las relaciones entre los campos 3D observables deseadas consideremos primero, como esnatural observando (13), el campo eléctrico Ei = Fi0 (i = 1; 2; 3). Junto al 3-tensor campo magnéticoBij = Fij caracterizarán los campos del vacío plano. Utilizando junto con Fi0 a (156) y (157), hacemos

Ei =1p�g

�gi�g0�D

���

(159)

y teniendo en cuenta por ejemplo � = (0; j), � = (0; k)

=1p�g

�gi0g00D

00 + gi0g0kD0k + gijg00D

j0 + gijg0kDjk�

(160)

pero D00 = 0, y de�niendo (análogamente) los 3-elementos correspondientes: el 3-tensor Hjk = Djk porser la parte magnética y el 3-vector Di = D0i =

p�gF 0i obtenidos del 4-tensor !D , nos queda

Ei =1p�g (gi0g0k�kj � gijg00)Dj �

1p�g gijgikHjk (161)

Pero la expresión (161) se puede simpli�car. La identidad g��g�� = ��� en nuestro caso dá

� = i; � = 0! gi�g�0 = 0! gi0 = �

1

g00gijg

j0 (162)

� = 0; � = i! g0�g�i = 0! gi0 = � 1

g00gijgj0 (163)

� = j; � = i! gj�g�i = gj0g

0i + gjkgki = �ij (164)

si en (162) y (163) hicimos � = (0; j) por ejemplo, y en la última expresión hicimos � = (0; k). Tambiénse ha hecho uso de la simetría de !g . El uso de (162) ó (163) en (164) produce las dos relaciones quede�nen la métrica 3D y sus relaciones inversas (véase [1], por ejemplo)�

gik � 1

g00gi0gk0

�gkj = �

ij (165)

y

gik�gkj �

1

g00gk0gj0

�= �ij (166)

que de�nen entonces ik = �gik y kj = 1g00gk0gj0 � gkj tales que ik kj = �ij

5(cuidado con hacergikgkj 6= �ij !)

Ei =1p�g g00 ijDj +

1p�g gijg0kHjk (167)

multiplicando la ecuación por li = �gli

�gliEi =1p�g g00�

ljDj �

1p�g gligijg0kH

jk (168)

pero teniendo en cuenta (164) ! gligij = �lj � gj0g0l el segundo término de (168) queda

1p�g gligijg0kH

jk =1p�g

��lj � gj0g0l

�g0kH

jk =1p�g g0kH

lk � 1p�g gj0g0lg0kH

jk (169)

5Algunos trabajos como [15] de�nen a esta métrica de manera inversa (ver).

23

pero en el último término de esta expresión, g0lg0kgj0Hjk contienen al producto tensorial g0kgj0Hjk

doblemente saturado de un tensor gk0g0j simétrico y un tensor Hjk antisimétrico. Por lo tanto estetérmino se anula y nos queda solo

�gliEi =1p�g g00�

ljDj �

1p�g g0kHlk (170)

que multiplicando porp�gg00

y despejando ~D queda

Dl = �p�gg00

gliEi +1

g00g0kH

lk (171)

usando la de�nición del 3-vector dual del 3-tensor H lk = 1p elkmHm que de�ne al 3-vector campo

magnético ~H

Dl = �p�gg00

gliEi +1

g00

1p elkmg0kHm (172)

y de�niendo el 3-vector campo gravitatorio ~g como gj = � g0jg00 y teniendo en cuenta que el pseudotensorde Levi-Civita se transforma como (32) entonces

Dl = �p�gg00

gliEi �h~g � ~H

il(173)

que pasando completamente a notación 3D deja como resultado

~D = !" ~E � ~g � ~H = !" ~E + ~H � ~g (174)

si y solo si se de�ne !" como

"li = �p�gg00

gli (175)

4.6.2 Segunda relación

En esta parte utilizaré (porque me place y porque es más sencillo) una demostración más elegante queen la primera relación, basada en utilizar las magnitudes duales para 4D, no las que corresponden a 3D.Para de�nir los duales se utiliza la de�nición (27) del apartado 2.3. Entonces teniendo en cuenta

!F y

!D de�nimos

�F�� =1

2E����F�� ! F�� =

1

2E����

�F�� (176)

y�D�� =

1

2E����D

�� ! D�� =1

2E���� �D�� (177)

de manera que estos explícitamente valen, considerando la transformación del pseudotensor de Levi-Civita4D, fórmulas (30) y (31)

�F�� =1p�g

0BB@0 Bx By Bz�Bx 0 �Ez Ey�By Ez 0 �Ex�Bz �Ey Ex 0

1CCA (178)

�D�� =p�g

0BB@0 �Hx �Hy �HzHx 0 �Dz DyHy Dz 0 �DxHz �Dy Dx 0

1CCA ; (179)

24

ahora podemos expresar de nuevo las relaciones constitutivas para las magnitudes duales

�D�� =p�gg��g�� �F�� ,/ �F�� =

1p�g g��g��D�� (180)

y de esta manera, de�niendo ahora Hi = 1p�g

�Di0 entonces el procedimiento es análogo a la primera

relación. Usando (179) y (180) podemos expandir

Hi = gi0g00�F 00 + gijg00

�F j0 + gi0g0k�F 0k + gijg0k

�F jk (181)

donde teniendo en cuenta que �F 00 = 0 y de�niendo análogamente al 3-tensor !H el 3-tensor

!E tal que

Ejk =p�g �F jk , y el 3-vector Bj =

p�g �F 0j entonces (181) queda

Hi =1p�g (�gijg00Bj + gi0g0k�jkBk) +

1p�g gijg0kEjk =

1p�g g00 ijBj +1p�g gijg0kE

jk (182)

y multiplicndo de nuevo por li = �gli

! �gliHi =1p�g g00�

jlBj �

1p�g gijglig0kE

jk (183)

usando de nuevo gligij = �lj � gj0g0l de (164) y despejando el campo ~B

Bl = �p�gg00

gliHi +1

g00g0k��lj � gj0g0l

�Ejk = �

p�gg00

gliHi +1

g00g0kE

lk (184)

donde se ha tenido en cuenta otra vez que la expresión que contiene a g0kgj0Ejk se anula porque estacontracción es idénticamente nula. De�niendo �nalmente el 3-vector campo eléctrico como el dual del3-tensor Ejk según lo visto en el apartado 2.3 y considerando el 3-vector gk, deja

Bl = �p�gg00

gliHi + �lkmgkEm (185)

que deja análogamente a (174) en forma vectorial 3D la expresión

~B = !� ~H + ~g � ~E = !� ~H � ~E � ~g (186)

si se de�ne !� como

�li = �p�gg00

gli (187)

y las expresiones (174) y (186) son la generalización de las ecuaciones "constitutivas" que aparecen en [1].Notemos que el vacío con métrica no plana representa un "medio equivalente" anisótropo de impedanciasadaptadas !" = !� . El responsable del efecto magneto-eléctrico o efecto de "medio móvil" (ver secciónsiguiente) que observan estas relaciones es el mismo vector ~g. En esta sección entonces hemos probadoque el vacío no plano consitutuye un medio equivalente. En la sección que sigue demostraremos que unmedio móvil equivale (recíprocamente a lo anterior) a una métrica no plana o campo gravitatorio.

4.7 Ecuaciones de Maxwell 3D en métrica no plana

Para probar que todo lo anterior es correcto, es un ejercicio bueno el volver de nuevo a las ecuaciones deMaxwell 3D en presencia de métrica no plana, como se hizo en la sección correspondiente para métricaplana.Tomando en (155) por ejemplo

25

F�� ;� =1p�g

�p�gF��

�;�= 4�J� (188)

� = 0 ,� = i queda, teniendo en cuenta la de�nición Di = D0i =p�gF 0i, anterior y que p�g = pg00

p

1p�g (Di);i = 4�J

0 perop�gJ0 = �! (Di);i = 4��

entonces en forma 3-vectorial

r: ~D = 4�� (189)

Ahora para � = i ,� = (0; j) tenemos

1p�g�p�gF i0

�;0+

1p�g�p�gF ij

�;j=

1p�g��p�gF 0i

�;0+

1p�g�p�gF ij

�;j= 4�J i (190)

1p�g (�Di);0 +1p�g

�p�gF ij

�;j= 4�J i (191)

y si tomamos como antes Hij = Dij =p�gF ij y tenemos en cuenta que Ii = p�gJ i

�Di;0 + Hij;j = 4�I

i (192)

y si ahora consideramos la de�nición también de�nida antes H lk = 1p elkmHm entonces

�Di;0 +1p eijmHm

;j

= �Di;0 + �ijmHm;j = 4�Ii (193)

que ahora en forma 3-vectorial es

r� ~H = 4�~I +@ ~D

@t(194)

Notemos que para hacer compatibles las de�niciones con Landau [1] se tiene que tomar por ejemplo Di =�pg00F 0i y Hij =

pg00F

ij para que quedep en la ecuaciones de Maxwell anteriores explícitamente,

en vez de hacer como hicimos aquí, tomando directamentep�g en las de�niciones.

En la otra ecuación 4D de Maxwell (154),i.e.

F[��;�] = F[��;�] = 0 (195)

haciendo � = 0 y � = i,� = j por ejemplo

Fij;0 + Fj0;i + F0i;j = 0 (196)

si se toma Bij = Fij , Ei = Fi0 como antes

Bij;0 + Ej;i � Ei;j = 0 (197)

y multiplicando todo por la magnitud 121p ekij queda

1

2

1p ekijBij;0 +

1

2

1p ekij (Ej;i � Ei;j) = 0 (198)

tomando el pseudovector dual 3D de Bij;0 y tomando la de�nición del rotor para ~E nos queda

Bk ;0 = �1

2

1p ekij (Ej;i � Ei;j)! r� ~E = �

@ ~B

@t(199)

y �nalmente haciendo � = i, � = j, � = k queda

Fij;k + Fjk;i + Fki;j = 0! Bij;k +Bjk;i +Bki;j = 0 (200)

26

usando las de�niciones duales y acomodando los índices mudos�p eijkB

k�;k+�p ejkiB

i�;i+�p ekijB

j�;j= 0 (201)

! eijk�p Bk

�;k+ ejki

�p Bi

�;i+ ekij

�p Bj

�;j= 0 (202)

pero por la antisimetría total del pseudotensor de Levi-Civita

eijk�p Bk

�;k+ eijk

�p Bi

�;i+ eijk

�p Bj

�;j= 0!

�p Bh

�;h= 0 (203)

lo cual dividiendo porp 6= 0 es

1p

�p Bh

�;h= 0! r: ~B = 0 (204)

donde en la última expresión se usó la de�nición de la 3-diveregencia de un vector.

4.8 Obtencion de las ec�s de onda 3D de nuevo a partir de la ec onda para !F

Si consideramos de nuevo la ecuación (152),i.e.

F ��;� � + 2R����F�� �R��F�� +R

��F

�� = 4��J�;� � J�;�

�(205)

y la ponemos en forma totalmente covariante, con ayuda de la ecuación que aparece en componentesmixtas en [16] pero en la que la parte del operador D�Alembertiano queda para componentes covariantesnos deja

F��;�� + 2R� ��F

� �R �F � �R � F� = 4��J�;� � J�;�

�(206)

! F��;�� + 2R� ��g

�g��F�� �R �F � �R �g �F�� = 4��J�;� � J�;�

�(207)

y si hacemos el siguiente agrupamiento

F��;�� +

�2R� ��g

�g������ �

��

��R �

h�� �

��

i�R �g �

�F�� = 4�

�J�;� � J�;�

�(208)

donde de�no que las cantidades entre corchetes [::] no llevan índices que cumplan con la convención deEinstein, es decir no saturan con el resto de los tensores del término en donde van. Simplemente escribola ecuación así para que se vea "un poco mejor" lo que sucede si evalúo esta ecuación para �; � = i; j oi; 0. En cada caso estaremos armando la ecuación de onda para el 3-tensor campo magnético Bij o parael 3-vector campo eléctrico ~E ! Ei = Fi0 por las de�niciones explicadas con anterioridad. Para el casode Bij , pasando a su magnitud dual obtendremos la ecuación de onda para el 3-vector campo magnético~B. De cualquier manera, en los dos casos se ve claramente en (208) que va a existir el acomplamiento delos campos ~E y ~B para las dos ecuaciones correspondientes. A su vez se tendrán términos fuentes comor�, @�@t ,r� ~J ,

@ ~J@t , etc.

Cuando se toma el límite de métrica plana, los términos de curvatura desaparecen y el segundo términoque de�ní para (208) se elimina, dejando la ecuación (50) descrita en la sección 2, como corresponde.

27

5 Electromagnetismo de Medios Móviles

En esta sección trataré de demostrar la proposición recíproca de la sección anterior. Un medio material(móvil) se puede comportar como un campo gravitatorio efectivo. La base fué descripta en la sección 3,por lo tanto seguiremos partiendo de la premisa de electromagnetismo en medios continuos sin fuentes.En esta sección utilizaré la métrica con signatura (+;� � �).En la sección 3 se tuvo en cuenta la 4-velocidad como (90) y (91), con la propiedad (92). Y las relaciones constitutivas fueron generalizadas enforma covariante con (93-94). Las vuelvo a expresar aquí

D��u� = "F��u� (209)

F��u� + F��u� + F��u� = � (D��u� +D��u� +D��u�) (210)

la primera la puedo expresar en forma alternativa covariante para !D , en forma local (de Lorentz) basta

������D��u� = "F��u� ! ���D��u

� = "F��u� y por ��� queda

! D��u� = "���F

��u� = " F�� u� = " F�

� u���� = "F��u� (211)

que es la forma contraria en componentes a (209), y es en de�nitiva

D��u� = "F��u

� (212)

multiplicando a (210) por u� y usando el producto (92) queda

F�� + u�F��u� + u

�F��u� = � (D�� + u�D��u� + u

�D��u�) (213)

y usando aquí la propiedad de que !D es antisimétrico

F�� + u�F��u� + u

�F��u� = � (D�� + u�D��u� � u�D��u�) (214)

y usando la forma (212)

F�� + u�F��u� + u

�F��u� = � (D�� + "F��u�u� � "F��u�u�) (215)

! �D�� = F�� + u�F��u� + u

�F��u� � "� (F��u�u� � F��u�u�) (216)

! �D�� = F�� + (1� "�) (F��u�u� � F��u�u�) (217)

si se pasa a componentes contravariantes esto queda

�D�� = F�� + (1� "�)�F��u�u

� � F��u�u��

(218)

esta ecuación se puede reescribir en la forma local

�D�� = ������F�� + (1� n2)�������F��u�u

� � ������F��u�u��

(219)

= ������F�� + (1� n2)����F��u

�u� � ���F��u�u��

(220)

y teniendo en cuenta de nuevo la antisimetría de !F y la de�nición n2 = "� nos queda

�D�� = F��������� + (n2 � 1)(���u�u� + ���u�u�

�(221)

28

pero ahora haciendo el truco de agregar el término nulo (n2 � 1)2u�u�u�u�F�� por ser un productodoblemente saturado de un tensor totalmente simétrico u�u� con uno totalmente antisimétrico F�� , estaexpresión se factoriza a

�D�� =���� + (n2 � 1)u�u�

� ���� + (n2 � 1)u�u�

�F�� (222)

esto de�niría una métrica generalizada

�D�� = g��g��F�� (223)

Recordemos que queremos comparar el problema de una métrica general de ET no plano para camposEM en vacío, con el problema de una metrica de un medio móvil en ET plano. Entonces deberíamoshacer como en el trabajo [26]; de�namos para distinguir los tensores efectivos contravariantes con indicesentre paréntesis

F (�)(�) = g��g��F�� (224)

De esta manera es obvio que la primera ecuación 4D de Maxwell (154) no cambia en absoluto con estetensor. En la ecuación (158) colocaríamos un D(�)(�) = �D��, de manera que en la relación (156), aquí enla forma D(�)(�) = F (�)(�) que deja (223) hace que

p�g = 1 para tener EM en vacío pero el determinanteverdadero de la métrica no plana efectiva es �n2, tal que p�g =

pn2 = n, lo que hace que si el medio es

de parámetros " y � constantes (no voy a hacer más generaliación que esta en este trabajo) deja en (158)

1p�g D(�)(�)

;� =1

n�D��

;� =�

nD��

;� = 0 (225)

donde es notable que para que se cumpla esta ecuación de Maxwell sin fuentes, � fuera constante. De estamaner a probamos que g�� = ��� + (n2 � 1)u�u� funciona como métrica efectiva en vacío para mediosmóviles en ET planos. Se puede demostrar facilemente que la forma totalmente covariante de este tensormétrico es

g�� = ��� +

�1

n2� 1�u�u� (226)

Con esta sección probamos no solo que un medio móvil se comporta para los campos EMs como uncampo gravitatorio efectivo (notar que el problema debe ser EM: sino n2 = 1 y la métrica vuelve a serplana, no tiene realidad física más que por esto), sino que el estudio de la ecuación de onda en general secorresponde con el estudio de propagación de ondas en medios móviles.

6 Conclusiones

Las relaciones constitutivas que promueven una equivalencia entre medios efectivos para un campo EMpropagándose en ET curvos en vacío tiene un fundamento geométrico por la naturaleza de la descripciónvectorial del campo EM clásica. Esto se trabajó en el marco de la interacción "débil" entre luz y gravedadcomo se aclaró oportunamente.Se dedujeron las ecuaciones de onda para el tensor

!F y los 3-vectores ~E y ~B del vacío, haciendo hincapié

en que las soluciones de éstas ecuaciones no quedan claras en ningún trabajo respecto de la idea desi representan una "dispersión" de ondas y de si es posible directamente un criterio de superposiciónrazonable de las mismas, dado que supuestamente no se cumple el principio de Huygens en general paraET de Riemann de 4D.

29

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