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Semana 3

Vectores. Operaciones con vectores. Movimiento

parabólico

04/13/23 Yuri Milachay, Eduardo Castillo

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La longitud de la flecha indica el valor de la magnitud física y su orientación es su dirección.

Magnitudes escalares y vectorialesExisten magnitudes físicas como la velocidad y la fuerza que para quedar definidas requieren conocer la dirección, mientras que otras como la temperatura o la masa, no. A las magnitudes que poseen dirección se les denomina vectoriales. Las otras magnitudes se denominan escalares.

Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores, los cuales geométricamente son líneas orientadas (flechas).

60

Mód

ulo

o m

agni

tud

origen

F

dirección

F 30N


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Dos vectores son opuestos si tienen el mismo módulo pero direcciones opuestas.

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo y la misma dirección.

Vectores iguales y vectores opuestos

A

B

180

A

B

A B

A B


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Suma de vectores. Método gráficoPara sumar vectores con el método gráfico, se unen de manera consecutiva la punta de un vector con la cola del siguiente. La resultante se obtiene uniendo la cola del primer vector con la punta del último.

Esta operación es conmutativa; es decir, puede cambiarse el orden de los vectores que se están sumando y la resultante será la misma.

A

B

R

A B R

R

B A R


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Método de componentes vectorialesEl vector A puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x y y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de componentes del vector A.

Ax y Ay se denominan componentes del vector A y se pueden calcular mediante la siguiente relación:

x yA A A

cosxA A

yA Asen

2 2x yA A A

1tan ( )y

x

A

A


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Un vector unitario es un vector con magnitud 1, no tiene unidades y su único fin es especificar una dirección.En un sistema de coordenadas x-y el vector unitario i tiene la dirección del eje +x y el vector j la dirección +y.

Vectores unitariosEscriba en función de los vectores unitarios cada uno de los desplazamientos realizados por un cartero en el recorrido de la ruta mostrada en la figura.

j

A

xA

yA

i

x yA A i A j


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Suma de vectores. Método de las componentes

Para sumar dos o más vectores mediante el método de las componentes, debe escribir cada uno de los vectores a través de sus componentes y luego sumar independientemente las componentes x y las componentes y de dichos vectores.

Calcule el desplazamiento total de cartero del ejercicio anterior utilizando el método de las componentes.

x yA A i A j

x yB B i B j

x yC C i C j

( ) ( )x x x y y yR A B C i A B C j


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EjerciciosLa figura muestra los vectores A y B, hallar D = 2A + B su resultante. Escriba su respuesta en componentes cartesianas.

¨Solución:

ˆ ˆ(2 15) (2cos15)A sen i j

ˆ ˆ(4 ) (4 15)B cos15 i sen j

ˆ ˆ2 (4,90 ) (2,82 )A B m i m j xx

yy

A

B1515oo

1515oo

2,00 m2,00 m

4,00 m4,00 m



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El vector A tiene componentes Ax = 1,30 cm, Ay = 2,55 cm; el vector B tiene componentes Bx = 4,10 cm, By = - 3,75 cm . Calcule:a) Las componentes de la resultante A+B b) La magnitud y dirección de B-A

Solución

ˆ ˆ(1,30 ) (2,55 )A cm i cm j

ˆ ˆ(4,10 ) (3,75 )B cm i cm j

ˆ ˆ(5,40 ) (1,20 )A B cm i cm j

2 2(5,40 ) ( 1,20 )A B cm cm

5,53A B cm

ˆ ˆ(2,80 ) ( 6,30 )

B A cm i cm j

B A cm cm

2 2(2,80 ) ( 6,30 )

1 1,20tan 12,5º

5,40

cm

cm

Ejercicio

B A 6,89cm


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Aplicación 1: Movimiento parabólico


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Movimiento en dos dimensionesLas magnitudes relevantes de un movimiento en dos dimensiones se expresan de manera general como se muestra en la figura.

x yr r i r j

.

Vector Velocidad

Vecto

r Pos

ición

x yv v i v j

Sólo se combinan las componentes vectoriales proyectadas sobre el

mismo eje.


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Movimiento de un proyectil• Características

• Un objeto es lanzado con cierto ángulo respecto a la horizontal.

• Bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria.

• La proyección horizontal del movimiento de la partícula realiza un mru.

• La proyección vertical del movimiento de la partícula realiza un movimiento de caída libre.

• El movimiento es una combinación de MRU horizontal y MRUV (caída libre) vertical.

Consideraciones para el movimiento parabólico:

• No se tendrán en cuenta los efectos de la resistencia del aire.

• Solo se considera trayectorias suficientemente cortas para que

g = -9,81 m/s2.



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Ecuaciones del movimiento parabólico

Movimiento Horizontal (eje

x)

Movimiento Vertical (eje y)

Velocidad Inicial

v0 x = v0 cos θ v 0y = v0 sen θ

Aceleración

a x = 0 a y = -g

Velocidad v x = v0 cos θ v y = v0 sen θ – g t

Posición x = x0 + v0 cos θ t

y = y0 + v0 sen θ t– g t2/2


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Ejercicios: ecuaciones de movimiento

Escribe las ecuaciones de movimiento para los siguientes casos:Lanzamiento de proyectil desde el suelo.

Lanzamiento de un proyectil con proyección horizontal.

Lanzamiento de un proyectil con proyección oblicua


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Ejemplo 3.9 página 63Un helicóptero deja caer un

paquete con suministros a las victimas de una inundación que se encuentran en una balsa. Cuando el paquete se lanza, el helicóptero se encuentra a 100 m por encima de la balsa, volando a 25,0 m/s y formando un ángulo de 36,9º sobre la horizontal. a) ¿Durante cuanto tiempo estará el paquete en el aire? b) ¿Dónde caerá el paquete?

Solución:Ecuaciones en el eje x

Ecuaciones en el eje y

a)El movimiento termina cuando y = 0

b)Cuando el paquete llega al piso, hallamos el valor de la coordenada x

( ) 0 25 (36,9º )x t cos t

( ) 25 (36,9º )xv t cos

2( ) 100 25 (36,9º ) 4,905y t sen t t

( ) 25 (36,9º ) 9,81yv t sen t

20 100 25 (36,9º ) 4,905sen t t

6,30t s

25 (36,9º ) 6,30x cos

126x m

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