TEORÍA CUÁNTICA DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO

PROFESOR: EDUARDO JAIME VANEGAS LONDOÑO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA “JULIO CÉSAR GARCIA”PROFESOR: EDUARDO JAIME VANEGAS LONDOÑO

ÁTOMOS Y MOLÉCULAS“Construyendo convivencia, formamos personas con visión empresarial”

TEORÍA CUÁNTICA DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO

Función de onda y niveles de energía

Números Cuánticos

Operadores de momento angular

“Construyendo convivencia, formamos personas con visión empresarial”

La ecuación de Schrödinger para este potencial es:

FUNCIÓN DE ONDA Y NIVELES DE ENERGÍA-La masa del núcleo >> que la del electrón. (núcleo en reposo)

-Energía Potencial: Interacción electrostática entre una carga + y una – separadas una distancia r

2

0

( )4

eU r

r

2 22

0

( ) ( ) ( )2 4

er r E r

m r

2

2

2

2

2

22

zyx

En coordenadas cartesianas:y

2 2 2r x y z

no es separable en estas coordenadas, la ecuación de Schrödinger tampoco y es necesario buscar unas coordenadas adecuadas y expresar en ellas tanto r como .La simetría del problema sugiere coordenadas esféricas.

2

0

( )4

eU r

rcomo

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos

ˆ ˆ ˆ cos

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos

r xsen ysen sen z

xsen y

x y sen zsen

Como r, en coordenadas esféricas, es un vector función de r, Θ y Φ, la ecuación de Schrödinger escrita en estas coordenadas es:

22

2

2

2

2 2 2

2

0

1(

2

1( )

1

( ) ( )4

rm r r r

senr sen

r sen

er E r

r

Y para la parte radial:

Se obtienen 3 ecuaciones de una sola variable. Para la parte angular:

Y se soluciona por separacion de variables:( , , ) ( ) ( ) ( )r R r

22

2

1l

dm

d

2

2

1( 1) 0lmd d

sen l lsen d d sen

22

2 2 20

1 2 ( 1)0

4

d dR m e l lr E R

r dr dr r r

Para la parte angular:

Estas ecuaciones tienen soluciones matemáticas conocidas:

1( ) exp( ) 0, 1, 2...

2l lim m l

,

(2 1)( )!( ) (cos )

2( )!l

l

l ml m l

l

l l mP

l m

Para la parte radial:

3 / 2 2 1, 0 3

( 1)!( ) (2 / ) ( )

2 (( )!)l

n l n l

n lR r Z na e L

n n l

(cos )lmlP

2 1( )ln lL

Pol. asociados de Laguerre

La función de onda total, es el producto de las tres soluciones:, , , ,( , , ) ( ) ( ) ( )

l l ln l m n l l m mr R r

Para cada valor de n, l, o ml hay una función de onda diferente. La región del espacio donde esta definida cada función se llama ‘orbital’

0/1,0,0 0

1/ Zr aZ a e

03/ 2 / 2

2,0,0 0 0

1/ (2 / )

4 2Zr aZ a Zr a e

COINCIDE CON LOS RESULTDOS DE BOHR

La solución de la parte radial proporciona la energía :

2

20 0

1

8n

eE

a n

Funciones de onda diferentes, con el mismo valor de energía se llaman estados degenerados. P.ej

200 y 210 son estados diferentes con la misma energía

NÚMEROS CUÁNTICOS

n, l, ml

Cuando se resuelve la Ecuación para encontrar la función de onda (x,y,z) y describir los orbitales, resulta que existen muchas soluciones.

Cada solucion con diferentes números cuánticos que describen las propiedades de estos orbitales:

Número Cuántico Principal n n=1,2,3..... se relaciona directamente con el tamaño y la energía del orbital. Si n crece, el orbital es más grande y el electrón que lo ocupa, permanece más tiempo alejado del núcleo.

Un aumento en n implica entonces un aumento en la energía del orbital.

n corresponde al n que Bohr planteó en su modelo para los orbitales esféricos.

Número Cuántico azimutal l,

adquiere los valores enteros desde 0 hasta n-1, para cada valor de n.

l se relaciona directamente con la forma que adquiere ese orbital en el espacio.

La manera de usar su significado en Química, es definirlos mediante letras s, p, d, f, g. ..según el valor de l l 0 1 2 3 4

S P D F G

Número Cuántico Magnético ml

adquiere "todos" los valores comprendidos entre -l y +l

se relaciona con la orientación del orbital en el espacio, relativo a los otros orbitales en el átomo.

En resumen, estos números cuánticos pueden llegar a tomar valores como se muestra a continuación

1,2,3

0,1,2, , 1

0, 1, 2,l

n

l n

m l

Notacion quimica:

l

nml

Orbitales s

El orbital 1s tienen simetría esférica:

Representado 2 vs. la distancia al núcleo (r) vemos que la probabilidad de encontrar al electrón disminuye conforme aumenta r .

Esto indica que en el estado fundamental la atracción electrostática del núcleo es lo suficientemente fuerte para mantener al electrón en un radio próximo al núcleo.

Los orbitales s de niveles superiores son también esféricamente simétricos, pero presentan nodos en la función de probabilidad:

En un n nodo la densidad electrónica se aproxima a 0. El orbital 2s tiene un nodo, el orbital 3s dos nodos..etc

Los orbitales s para n>1 (estados excitados) tienen una densidad electrónica en la cual es más probable encontrar al electrón lejos del núcleo.

Orbitales S

L=0, ml=0

n=1 n=2

n=3 n=4

n=5 n=6

Orbitales p :La forma de los orbitales p es de dos lóbulos situados en lados opuestos al núcleo y con un nodo en él.

Hay tres tipos de orbitales p;

ml= -1,0,1 que difieren en su orientación. No hay una correlación simple entre los tres números cuánticos magnéticos y las tres orientaciones: las direcciones x, y y z. Los orbitales p del nivel n se denominan npx, npy, npz

Otros orbitales p

(l=1)

m=0

n=2

m=1 m=-1

m=0 m=1 m=-1

n=3

m=0 m=1 m=-1

n=4

Orbitales d

En el tercer subnivel tenemos 5 orbitales atómicos (para n=3 l =2; ml=-2,-1,0,1,2) con diferentes orientaciones en el espacio

Aunque el orbital 3dz2 difiere en su forma de los otros cuatro, los cinco orbitales d tienen todos la misma energía.

Otros orbitales d(l=2)

                          

n=3m=0

m=1

m=-1

m=2

m=-2

                          

n=4 n=5

Otros orbitales

n=6, l=4, m=2

n=7, l=6, m=3

n=10, l=9, m=0

n=10, l=9, m=7

mas orbitales

Átomo de hidrogeno Comparación modelo de Bohr- Solución cuántica

220

2

4nr n

me

* 3( ) ( )r r r r d r

2 2

1 113.6E eV

m n

2

20

1

8n

eE

r n

n , , ln l m

?

Recordemos que el atomo de hidrogeno es un nucleo fijo y un electron girando a su alrededor.

Para estudiar los sitemas aislados, se estudian las propiedades que se mantinen constantes.

El giro del electron se caracteriza por su cantidad de movimiento angular (momentum angular)

Estudiaremos cuanticamente el momento angular del atomo de hidrogeno

Para construir un operador cuántico se reemplazan las variables clásicas por sus respectivos operadores.

Como en un sistema aislado, esféricamente simétrico, el momentum angular se conserva , lo escribimos en coordenadas esféricas:

L 2= Lx2 + Ly

2 + Lz2

Operadores de momento angular

x y z

L r p

L L i L j L k

������������������������������������������

��������������������������������������������������������

Cuál es el efecto de los operadores de momentum angular, sobre las funciones propias de un átomo hidrogenoide?

Miremos la acción de Lz y L2: sobre la función de onda:

cot cos

cos cot

1: ( )

2l

x

y

imz

L i sen

L i sen

L i e

22 2

2 2

1 1L sen

sen sen

, , , ,( , , ) ( ) ( ) ( )l l ln l m n l l m mr R r

El efecto de Lz y L2: sobre la función de onda es multiplicarla por una constante: el valor propio del operador.

La función de onda es función propia de Lz y L2:

2 2( , , ) ( 1) ( , , )

( 1)

L r l l r

L l l

( , , ) ( , , )z l

z l

L r m r

L m

n, l , ml no es función propia de Lx ni de Ly.

El postulado de la mecánica cuántica nos permite encontrar el valor de la magnitud del momentum angular y de su componente Z.

La magnitud del momentum angular es el valor propio de L

( 1)L l l

Aparece la cuantización de L, propuesta por Bohr, aunque con otro valor.

La proyeccion del momentum angular en la direccion Z es el valor propio de Lz.

z lL m

Este valor propio, es el numero cuantico magnetico, que nos da la orientacon de los orbitales

Consecuencia del principio de incertidumbre. Lx, Ly, Lz están relacionadas entre si. Si se conoce exactamente una, las otras dos no.

Reglas de selección

Cuales transiciones elec-trónicas son posibles por emisión o absorción de un fotón?

Conservación del momentum angular:

L del fotón + L del átomo = cte.

Si se absorbe un fotón el átomo debe ‘perder’ momentum angular, si se emite, debe ‘ganar’

l = +1, -1.

La orientación de L, puede permanecer igual o inver-tirse

lz = 0, +1, -1.

Como ml esta relacionado com lz, entoncesml = 0, +1, -1.

La energía del fotón debe ser igual a la diferencia de energía entre dos estados

n 0

l = 0 1 2 3 4

5

4

3

2

1

, , ', ', 'l ln l m n l m

l = +1, -1.

ml = 0, +1, -1.

n 0