C. Vectorial Extremos, Máximos y Mínimos

Calculo vectorialIntroduccin al Clculo Infinitesimal

Tema 5: Aplicaciones de la Diferenciabilidad.

Realizado por : Jos Eduardo vila Brito. Profesor: Ing. Edison Guamn.

Jos R. Narro

ndice1. Extremos relativos de funciones de varias variables. 2. Condicin necesaria de extremo relativo. 3. Condicin suficiente de extremo relativo. 4. Extremos absolutos de funciones de varias variables. 5. Extremos condicionados de funciones de varias variables. 6. Mtodo de los multiplicadores de Lagrange.

Extremos de funciones de varias variablesUna de las aplicaciones ms importante del Clculo Infinitesimal se realiza al tratar problemas de optimizacin. La construccin de naves espaciales pretende minimizar el peso de la estructura y, maximizar la resistencia de la estructura. En la fabricacin de un determinado producto se busca hacer mxima la calidad, minimizando sus defectos. Los ejemplos de estas caractersticas serian muy numerosos. Aqu estudiaremos procedimientos matemticos de optimizacin de funciones de varias variables. Sea f una funcin de dos variables: Se dice que f presenta en (a, b) un mximo relativo (o local ) si se verifica f(x, y) e f(a, b) para todo (x, y) perteneciente a cierto disco centrado en (a, b) y de radio no nulo. Se dice que f presenta en (a, b) un mnimo relativo (o local ) si se verifica f(a, b) e f(x, y) para todo (x, y) perteneciente a cierto disco centrado en (a, b) y de radio no nulo. Los mximos o mnimos relativos reciben el nombre de extremos relativos (o locales).

EjemploGrfica de la funcin z = 2x2+y2, en un entorno de (0, 0) min. rel.

Introduccin al Clculo Infinitesimal


plot3d(2*x^2+y^2,x=-3..3,y=-3..3);

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EjemploGrfica de la funcin z =- 2x2-y2, en un entorno de (0, 0) max. rel.


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plot3d(-2*x^2-y^2,x=-3..3,y=-3..3);

Puntos crticosEjemplo La funcin f(x, y) = 2x2 + y2, presenta en (0, 0) un mnimo relativo, pues f(0, 0) = 0, por lo que f(0, 0) e f(x, y) para (x, y) perteneciente a cualquier disco de centro (0, 0). La funcin f(x, y) = -2x2 - y2, presenta en (0, 0) un mximo relativo, pues f(0, 0) = 0, por lo que f(x, y) e f(0, 0) para (x, y) perteneciente a cualquier disco de centro (0, 0). En el caso de una variable, la existencia de extremo relativo implicaba necesariamente la anulacin de la derivada en el punto considerado o la no existencia de derivada en dicho punto. En el caso de dos variables se presenta una situacin anloga. Se dice que el punto (a, b) es un punto crtico o estacionario de la funcin f si se verifica una de las siguientes condiciones: 1) Existen las derivadas parciales en (a, b) y son nulas : fx(a, b) = fy(a, b) = 0 2) Al menos una de las derivadas parciales en (a, b) no existe.

Condicin necesaria de extremoPara el caso de dos variables se tiene el siguiente: Teorema Si f presenta en (a, b) un extremo relativo, entonces (a, b) es un punto crtico de f. Para demostrarlo, supongamos en primer lugar, que no existe alguna de las derivadas parciales en (a, b). En este caso (a, b) es un punto crtico. Supongamos ahora que existen las derivadas parciales en (a, b), y que en (a, b) se tiene un mximo relativo, luego se cumple f(x, y) e f(a, b) para cierto disco de centro (a, b). Fijando x = a, f se convierte en funcin solo de y: z = f(a, y), por lo que presentar tambin un mximo relativo en el punto y = b, luego su derivada ser nula en dicho punto, es decir, fy(a, b) = 0. Anlogamente fijando y = b se obtendra fx(a, b) = 0. El razonamiento es similar si suponemos que en (a, b) se alcanza un mnimo relativo. Si f presenta en (a, b) un extremo relativo, existiendo plano tangente en el punto P(a, b, f(a, b)), una consecuencia inmediata del teorema anterior, es que su ecuacin debe ser z = f(a, b).

Condicin necesaria de extremoPara que en un punto se alcance un extremo relativo, es necesario que sea un punto crtico. Sin embargo esta condicin no es suficiente para la existencia de extremo relativo; lo comprobamos con el siguiente Ejemplo Consideremos la funcin f(x, y) = x2-y2.Calculemos sus puntos crticos: fx=2x = 0, fy = -2y = 0 x = 0, y = 0. Luego el nico punto crtico es (0, 0), siendo f(0, 0) = 0. La funcin sobre el eje OX toma los valores f(x, 0) = x2 u 0. Sobre el eje OY toma los valores f(0, y) = -y2 e 0. Luego en cualquier disco de centro el origen hay puntos donde la funcin toma valores superiores a 0, y puntos donde ocurre lo contrario, por lo que en el punto crtico (0, 0) f no tiene un extremo relativo, y el punto (0, 0) se denomina punto de silla. En general, se dice que la funcin f tiene un punto de silla en (a, b), si (a, b) es un punto crtico de f, y todo disco centrado en (a, b) contiene puntos (x, y) del dominio de f tales que f(x, y)0 (o fyy(a,b)>0), f tiene un mnimo relativo en (a, b). 2) Si H(a, b)>0 y fxx(a, b)0, f xx (0,0)=2 ,

luego f presenta en P

un mnimo relativo con valor f(0 ,0) = 2.

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EjemploEstudio en la frontera: Obtengamos la ecuacin paramtrica de la curva que delimita la re-



gin: x 2 + y 2 =1 . Al tratarse de una elipse de semiejes 1 y 2 su ecuacin paramtrica es:x=cos t t [0,2 ] . y=2sen t

1 4

Luego la expresin de f en la frontera ser f(cos t,2sen t)=2+cos 2 t+4sen 2 t . Por tanto f(t)=2+cos2 t+sen 2 t+3sen 2 t=3+3sen 2 t , t [0,2 ] . Calculemos los puntos crticos de f en la frontera:3 f (t)=0 6cos t sen t=0 , luego debe ser t=0, , , ,2 . 2 2

A estos valores de t corresponden los siguientes puntos crticos: t = 0, t = 2 x=1,y=0 , luego A(1, 0) es un punto crtico, con valor f(1, 0) = 3. t= t= 3. t=2 x=0,y=2 , luego B(0, 2) es un punto crtico, con valor f(0, 2) = 6. x=-1,y=0 , luego C(-1, 0) es un punto crtico, con valor f(-1, 0) = 3 x=0,y=-2 , luego D(0, -2) es un punto crtico, con valor f(0, -2) = 6. 2

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Ejemplo



Comparando todos los resultados obtenidos, se concluye que el mximo absoluto se alcanza en los puntos B y D con valor 6, y el mnimo absoluto se alcanza en P (interior) con valor 2.

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Mtodo de los multiplicadores de LagrangeLos problemas estudiados hasta ahora son de extremos libres (o sin


restricciones), en ellos se pretende obtener los extremos de una funcin


sin aadir condicin alguna. Sin embargo, se pueden plantear problemas de obtencin de extremos de una funcin, de manera que estos cumplan determinadas condiciones (restricciones o ligaduras). Gran cantidad de problemas que se presentan en la realidad son de extremos con ligaduras. Por ejemplo, una empresa tratar de maximizar las ganancias, pero estar condicionada por la cantidad de mano de obra necesaria, la materia prima disponible, etc. Ejemplo de esto, puede ser el siguiente problema: determinar los extremos de la funcin f(x, y, z) = x2+y2+z2, verificando la ligadura x+y-2z = 1; la funcin dada, en principio, es de tres variables, pero se reduce a una funcin de dos variables despejando una cualquiera de las variables de la ligadura y sustituyndola en la en la funcin, con lo cual se ha reducido el problema con ligadura a otro sin ligadura.

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Mtodo de los multiplicadores de LagrangeLo realizado anteriormente, en general puede no ser fcil, y en algunos casos puede ser imposible.


Estudiamos ahora un mtodo alternativo: el de los multiplicadores de La-


grange. Consideremos el caso de la funcin z = f(x, y), con la ecuacin de ligaduraN (x, y) = 0 ,

por lo cual las variables x, y no son independientes, ya que estn relacionadas por la condicin de ligadura Las definiciones de extremos relativos condicionados y de extremos absolutos condicionados, se obtienen aadindole a la definicin de extremo sin condiciones la ecuacin de ligadura N (x, y) = 0. Obtendremos una condicin necesaria de extremo condicionado, sin despejar y de la ecuacin N (x, y) = 0, que convertira a la funcin f en funcin de una variable. Admitamos que la condicin de ligadura define y como funcin implcita de x, luego si existe extremo debe ser z = f (x, y(x))=0, luego aplicando la

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regla de la cadena debe ser: z (x) = fxx +fyy = fx+fyy = 0.

Mtodo de los multiplicadores de LagrangeAdems derivando la condicin de ligadura N (x, y) = 0, respecto de x, se obtiene de forma anloga N x N y y! 0 . Si multiplicamos N x N y y! 0 , por P (que, de momento, es un nmero indeterminado llamado multiplicador de Lagrange), y se la sumamos a fx+fyy = 0, obtenemos fx+fyy + P (N x N y y) = 0 fx + Nx +(fy + Ny )y=0 , esta igualdad se cumple en todos los puntos donde hay extremos. Eligiendo P , de forma que fy+ P N y ! 0 , para los puntos donde hay extremo, se tendr tambin fx+ P N x ! 0 , en los puntos donde hay extremos. Por lo tanto en los puntos extremos se cumplen las condiciones:f x PN x =0 f y PN y =0 Sistema N (x,y)=0



de tres ecuaciones en las incgnitas x, y,

P.

(Sistema de Lagrange) El coeficiente P desempe un papel auxiliar.

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Mtodo de los multiplicadores de LagrangeLas condiciones obtenidas son necesarias para la existencia de extremo condicionado, aunque, en general, no son suficientes.


Observemos que los primeros miembros del sistema obtenido son las


derivadas parciales de la funcin de tres variables F(x, y, P ) = f(x, y) +P N (x, y), que se denomina funcin de Lagrange del problema de ex-

tremos con ligadura en cuestin. Una condicin suficiente, anloga a la que se tiene para el problema de extremo sin ligadura, es la siguiente: Llamando H(x,y. )=Fxx (x,y, )Fyy (x,y, )-Fxy 2 (x,y, ) , si (x, y, P ) es una solucin del sistema de Lagrange, entonces Si H(x, y, P )>0, Fxx(x, y, P )>0, hay un mnimo condicionado de la funcin f en el punto (x, y). Si H(x, y, P )>0, Fxx(x, y, P )0, Fxx(0, 0,

-1 ) 2

= 2>0.

Luego en el punto (0, 0) se alcanza un mnimo condicionado.

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Mtodo de los multiplicadores de LagrangeEl mtodo de Lagrange se puede generalizar a una funcin con n


variables y m condiciones de ligadura (m0 . 2 2) 2 2

Se deduce que P es un mnimo relativo con valor1 1 -1 f( , )=...= ! -0,5 2 2 2

Estudio en la frontera En el segmento OA: y=0 f=x 2 -x, x [0,2] . x= 1 1 1 1 -1 f( ,0)= - = ! -0,25 . 2 2 4 2 4

Se tiene f= 2x 1 = 0

Los valores en los extremos son: f(0, 0) = 0, f(2, 0) = 2.

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Mtodo de los multiplicadores de LagrangeEn la semicircunferencia:



La funcin de Lagrange es F(x, y, P ) = x2 + y2 x y + P ( x2 + y2 - 2x), por lo que el sistema de Lagrange esFx =2x-1+2 x-2 =0 1-2x 1-2y Fy =2y-1+2 y=0 = = 2y-4xy=2x-4xy-2+4y -2y-2x=-2 y=1-x 2x-2 2y F =x 2 +y 2 -2x=0

Sustituyendo en la ultima ecuacin queda x2+(1-x)2-2x =0 x2+1+x2-2x-2x = 0 2x2 - 4x+1 = 0 Si Si4 16-8 42 2 2 = =1 . 4 4 2 2 2 2 2 2 x=1+ y=1-1= (1+ ,) no 2 2 2 2 2 x=

pertenece a la semi-

circunferencia considerada.x=12 2 2 2 2 y=1-1+ = (1, ) 2 2 2 2 2

si pertenece a la semicir-

cunferencia considerada, y el correspondiente valor de P es1- 2 2

.

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Mtodo de los multiplicadores de Lagrange



Comprobemos la condicin suficiente:Fxx =2+2 , Fyy =2+2 , Fxy =0 H(x,y, )=(2+2 )2 H(12 2 1- 2 1- 2 , , )=(2+2 )>0. 2 2 2 2 Luego en el punto (1- 2 , 2 ) 2 2 Fxx (12 2 1- 2 1- 2 2 , , )=(2+2 ) "0 2 2 2 2

hay mnimo relativo condi-

cionado con valorf (12 2 2 2 2 2 2 2 , )=(1) +( ) -1+ =...=1- 2 } 1-1,414=-0,414 2 2 2 2 2 2

Por tanto comparando los resultados obtenidos, se deduce que el mximo absoluto se alcanza en (2, 0) con valor 2, y el mnimo absoluto se alcanza en ( 1 , 1 ) con2 2

valor -0,5.

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Mtodo de los multiplicadores de Lagrange

Ejercicio



Determinar los puntos de la curva x2 + y2 -xy = 6, mas cercano y mas lejano al origen de coordenadas. Ejercicio Obtener los puntos de la curva x2 + 3y2 = 3, mas prximos y mas lejanos al segmento que en el primer cuadrante determina la recta x + y = 3. Ejercicio

x2 y 2 + =1 . Hallar el rectngulo de rea mxima que se puede inscribir en la elipse 4 9

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