CA2-1 Sangoquiza Velasco Alex Gerardo

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

CONTABILIDAD Y AUDITORIA

MATEMATICA II

NOMBRE: Alex Gerardo Sangoquiza Velasco

C.I: 172149447-2

FECHA DE NACIMIENTO: 10 de Junio de 1992

ESTADO CIVIL: Soltero

DIRECCION: Amaguaña, Barrio Cochapamba, Calle Gonzales

Suarez OE2-113 y García Gabriel

TELEFONO: 0987974539

EMAIL: [email protected]

ESTUDIOS PRIMARIOS: Escuela República Argentina

ESTUDIOS SECUNDARIOS: Colegio Luis N. Dillon

TÍTULO: Contador Bachiller en Ciencias de Comercio y Administración

ESTUDIOS UNIVERSITARIOS: Universidad Central del Ecuador

FACULTAD: Ciencias Administrativas

CARRERA: Contabilidad y Auditoría

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Tabla de Contenidos

Contenido

Tabla de Contenidos ______________________________________________________ 3

1. DATOS INFORMATIVOS ________________________________________________ 5

UNIDAD I ______________________________________________________________ 16

UNIDAD I.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. ________________________________ 16

Continuidad _________________________________________________________________ 16

UNIDAD I.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. ________________________________ 20

Propiedades _________________________________________________________________ 21

Ejercicios: ___________________________________________________________________ 21

LIMITES AL INFINITO __________________________________________________________ 29

Ejercicios: ___________________________________________________________________ 29

APLICACIÓN DE LÍMITES _______________________________________________________ 39

UNIDAD II ______________________________________________________________ 46

DIFERENCIACIÓN UNO ___________________________________________________ 46

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN ___________________________________________________ 47

Ejercicios Modelo sobre Derivadas _______________________________________________ 48

Reglas de las Derivadas ________________________________________________________ 49

Ejercicios en clase ____________________________________________________________ 49

Aplicación de Derivadas _______________________________________________________ 52

FUNCIÓN EXPONENCIAL ______________________________________________ 60

Aplicaciones de las Derivadas ___________________________________________________ 67

DEBERES Y TRABAJO AUTONOMO __________________________________________ 78

CORRECCIÓN DE LAS PRUEBAS _____________________________________________ 90

PRUEBA DE DIAGNOSTICO _____________________________________________________ 90

TEMA: Corrección prueba sobre Límites___________________________________________ 92

Corrección Prueba sobre Derivadas _____________________________________________ 102

Exposiciones ___________________________________________________________ 108

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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA

SÍLABO

EJE BÁSICO

MATEMÁTICA II

SEMESTRE: SEPTIEMBRE 2015 – FEBRERO 2016

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1. DATOS INFORMATIVOS

1.1. FACULTAD: CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

1.2. CARRERA: CONTABILIDAD Y AUDITORIA

1.3. ASIGNATURA: MATEMATICAS II

1.4. CÓDIGO DE ASIGNATURA: 5304.99 Otras (Matemática II)

5.CA2.5.5

1.5. CRÉDITOS: 6

1.6. SEMESTRE: 2

1.7. UNIDAD DE ORGANIZACIÓN CURRICULAR: Básica

1.8. TIPO DE ASIGNATURA: Obligatoria

1.9. PROFESOR COORDINADOR DE ASIGNATURA: Francisco Bahamonde

1.10. PROFESORES DE LA ASIGNATURA: Francisco Bahamonde, Martha Rojas,

1.11. PERÍODO ACADÉMICO: Septiembre 2015 - Febrero 2016

1.12. N°. HORAS DE CLASE: Presenciales 96

Prácticas:

1.13. N°. HORAS DE TUTORIAS: Presenciales 16 Virtuales: 8

1.14. PRERREQUISITOS Asignaturas:

MATEMATICA I

5.CA1.5..5

1.15. CORREQUISITOS Asignaturas:

ADMINISTRACION

II

INTRODUCCION

AL DERECHO

CONTABILIDAD

GENERAL II

ECONOMÍA

5.CA.2.1.5 5.CA.2.4.2 5.CA.2.2.4 5.CA.2.3.2

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DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA

El profesional de las ciencias administrativas requiere aplicar sus conocimientos y competencias

para resolver problemas y plantear soluciones en las diferentes esferas económicas financieras y

sociales, desarrollar su pensamiento formal mediante el razonamiento lógico, así como también

perfeccionar hábitos de exactitud, orden, perseverancia, optimización de recursos y de trabajo en

equipo.

La Matemática II, comprende la siguiente temática: límites y continuidad de funciones de variable

real, la derivada de funciones, optimización de funciones: máximos, mínimos y cálculo integral, con

énfasis en la solución de problemas administrativos, financieros, de producción, y prestación de

servicios que ofertan las organizaciones públicas y privadas.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Formar el criterio del estudiante y potenciar sus capacidades, de tal modo que pueda identificar los

problemas empresariales con una visión técnica y logre plantear soluciones con claridad, economía,

precisión demostrando la solvencia de su conocimiento y de su profesión, mediante la

identificación de problemas, el planteamiento y ejecución de soluciones factibles.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA

Aplicar el concepto de límites para el análisis y solución de problemas de crecimiento poblacional y

ámbito financiero.

Analizar situaciones empresariales, que modeladas mediantes funciones, permitan la optimización

de ganancias y costos.

Resolver problemas de aplicación práctica con utilización de derivadas, y/o integrales, función

marginal, máximos y mínimos, para perfeccionar el desarrollo de la empresa.

Desarrollar modelos de optimización que permitan logros claros y precisos en una empresa.

CONTRIBUCIÓN DE LA ASIGNATURA EN LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL (Perfil de Egreso)

La Matemática II, capacitará al estudiante para tomar decisiones con precisión en inversiones,

financiamiento, producción y gestión de recursos administrativos-financieros en el sector público y

privado. Además, con el conocimiento de otras asignaturas, de los próximos niveles, como

Matemática Financiera, Estadística y otras, el estudiante tendrá herramientas valiosas para

fortalecer la técnica y el conocimiento profesional que precisan las empresas ecuatorianas.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA:

Analiza problemas empresariales con la utilización de gráficas.

Resuelve problemas empresariales con la aplicación de límites, que le permita determinar pérdidas

y/o beneficios.

Analiza problemas empresariales con la utilización de graficas.

Resuelve problemas empresariales con la aplicación de límites, que le permita determinar pérdidas

y/o beneficios.

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Aplica modelos matemáticos relacionados con razones de cambio para la solución de sistemas de

carácter administrativo empresarial.

Determina intervalos de ganancias y pérdidas en la solución de problemas empresariales de

sectores públicos y privados.

Explica cómo obtener la máxima rentabilidad, mediante la utilización de conceptos de optimización

encaminados hacia el desarrollo empresarial.

Identifica parámetros dentro de los problemas empresariales que pueden ser determinados como

variables para buscar la solución del caso con la aplicación de derivadas e integrales.

Aplica el fundamento de integración de funciones, utilizando la teoría matemática en la generación

de áreas solución de ciertos problemas empresariales.

a) PROGRAMACIÓN DE UNIDADES CURRICULARES

DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 1

NOMBRE DE LA UNIDAD: LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Aplicar el conocimiento de límites a la solución de problemas administrativos y financieros de empresas públicas y privadas

RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Analiza comportamientos de problemas empresariales plasmados en

gráficas, en relación a funciones del ámbito empresarial.

Resuelve problemas con aplicación de límites y continuidad aplicados

al sector empresarial, para estimar límites de beneficio y pérdida.

CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE

N°. Horas aprendizaje Teóricas 10

N°. Horas Prácticas- laboratorio 14

TUTORÍAS N°. Horas Presenciales

4

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual 2

TRABAJO AUTÓNOMO

Horas de Trabajo Autónomo 24

PROGRAMACIÓN CURRICULAR

CONTENIDOS

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE

INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD

MECANISMOS DE EVALUACIÓN

1.1 Límites: Definición y Propiedades

1.2 Límites infinitos, límites al infinito y límites laterales.

Examinar el concepto de límite y sus propiedades. Calcular limites empleando una variedad de técnicas y procedimientos Estudiar la continuidad de varias funciones.

Participación en clase

Exposición Tareas individuales: clase y extra clase. Trabajos grupales Participación en el aula virtual.

Pruebas

Página | 8

1.3 Continuidad. Valor intermedio

1.3 Aplicaciones.

Desarrollar aplicaciones y

resolver problemas relacionados

con los negocios y la economía,

la vida y las ciencias sociales.

METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE: Método heurístico, Aprendizaje Basado en Problemas (ABP),

Método inductivo-deductivo.

Método Analítico-Sintético

Observaciones, identificar, analizar, resolver problemas de

aplicación empresarial, aplicación de software libre.

Estudio de casos.

RECURSOS DIDÁCTICOS: Libros, revistas y folletos.

Computador y Proyector

Software libre, graficadores, procesador de palabras, hojas

electrónicas, correo electrónico, redes.

Pizarra y marcadores

BIBLIOGRAFÍA: Hoffmann Laurence, et al,(2014), Matemáticas, Aplicadas a la Administración y los Negocios, México, Mc Graw Hill Education.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemáticas para Administración y Economía. México: Prentice Hall -

Decimosegunda edición.

OBRAS FÍSICAS DISPONIBILIDAD EN BIBLIOTECA VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

SI NO

BÁSICA x http://www.epulibre.org/

COMPLEMENTARIA x


NOMBRE DE LA UNIDAD: DIFERENCIACION UNO

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Resolver situaciones empresariales aplicando los conceptos de límites y derivación


Analiza modelos matemáticos relacionados con razones de cambio para

la solución de sistemas de carácter administrativo empresarial.

Construye tablas explicativas mediante el manejo de razones de cambio

en procesos de optimización de recursos humanos y materiales.





TUTORÍAS N°. Horas Presenciales 4

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TRABAJO AUTÓNOMO Horas de Trabajo Autónomo 24


CONTENIDOS




2.1 La Derivada: Definición e

Interpretación geométrica.

Reglas de diferenciación

2.2 Razón de cambio.

Regla de la cadena.

2.3 Derivadas de: funciones

Logarítmicas y

exponenciales.

Derivadas implícitas.

Derivadas de orden superior

2.4 Aplicaciones

.

Calcular e interpretar la derivada Calcular tasas de cambio relativa y

porcentual.

Resolver problemas aplicando el

concepto de razón de cambio

Calcular e interpretar derivadas

exponenciales y logarítmicas

Determinar e interpretar derivadas de

orden superior.

Establecer relaciones de incrementos entre dos variables identificadas en situaciones cotidianas de una empresa


Exposición – Material de soporte Tareas individuales Trabajos grupales Participación en el aula

virtual.

Pruebas orales

Pruebas escritas.

METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

Método heurístico, Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), Método

inductivo-deductivo.

Observaciones, identificar, analizar, resolver problemas de aplicación

empresarial, aplicación de software libre.



Software libre, Graficadores, procesador de palabras, hojas



BIBLIOGRAFÍA: Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemáticas para Administración y Economía. México: Prentice Hall - Decimosegunda edición.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Hoffmann Laurence, et al,(2014), Matemáticas, Aplicadas a la Administración y los Negocios, México, Mc Graw Hill Education.



SI NO


COMPLEMENTARIA x

Página | 10


NOMBRE DE LA UNIDAD: DIFERENCIACIÓN DOS

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Analizar situaciones empresariales aplicando los conceptos y propiedades de la primera y segunda derivada.


Identifica los intervalos de ganancias y pérdidas en la solución de

problemas empresariales de sectores públicos y privados.

Explica cómo obtener la máxima rentabilidad, mediante la reducción de

costos y la optimización-incremento de ingresos, encaminados hacia el

desarrollo empresarial.






4


TRABAJO AUTÓNOMO



CONTENIDOS ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE

VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD


.3.1 Primera derivada. Máximos y

mínimos relativos y absolutos

3.2 Segunda derivada.

Concavidades y puntos de

inflexión. Gráficas de Funciones.

3.3 Minimización de costos y

maximización de utilidades

3.4 Aplicaciones.

Analizar los intervalos en que las

funciones son crecientes y

decrecientes

Definir puntos críticos y extremos

relativos y absolutos

Analizar la concavidad

Localizar y examinar puntos de

inflexión

Modelar y analizar problemas de

optimización

Resolver problemas empresariales

relacionados con costos, ingresos,

utilidades, función marginal.


Exposición Material de soporte Tareas individuales Trabajos grupales Participación en el aula

virtual.

Pruebas orales

Pruebas escritas.

METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE: Determinar algoritmos y elaborar gráficas, esquemas,

diagramas y tablas.

Identificar variables en diversos problemas y sus relaciones

Estudio de casos.

Analizar problemas y predecir resultados

Página | 11



Software libre, Graficadores, procesador de palabras, hojas



BIBLIOGRAFÍA: Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemáticas para Administración y Economía. México: Prentice Hall - Decimosegunda edición.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Hoffmann Laurence, et al,(2014), Matemáticas, Aplicadas a la Administración y los Negocios, México, Mc Graw Hill Education.



SI NO


COMPLEMENTARIA x


NOMBRE DE LA UNIDAD: INTEGRALES

OBJETIVO DE LA UNIDAD: Aplicar los conceptos y propiedades de las integrales indefinidas y definidas en

problemas aplicados a las empresas


Identifica variables en actividades empresariales y demás, que pueden

ser sometidas a un estudio con aplicación de derivadas e integrales.

Aplica el fundamento de integración en la determinación de áreas

solución para problemas empresariales






4


TRABAJO AUTÓNOMO



CONTENIDOS




4.1 La Integral Indefinida:

concepto e integración de

formas elementales.


Exposición – Material de soporte

Página | 12

4.2 Integrales indefinidas con condiciones iniciales.Técnicas de Integración: sustitución e integración por partes.

4.3 Integral definida, interpretación geométrica.

4.4 Determinación de Áreas bajo la curva y entre curvas

4.5 Aplicaciones

Resolver problemas de

integración definida utilizando

fórmulas

Calcular integrales indefinidas,

con problemas de valor inicial

Determinar el área bajo una

curva y entre curvas.

Identificar y resolver

problemas empresariales

aplicando los conceptos del

cálculo integral.

Tareas individuales Trabajos grupales Participación en el aula

virtual.

Pruebas orales

Pruebas escritas.

METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

Determinar algoritmos y elaborar gráficas, esquemas, diagramas y

tablas.

Identificar variables en diversos problemas y sus relaciones

Estudio de casos.

Analizar problemas y predecir resultados



Software libre, Graficadores, procesador de palabras, hojas electrónicas,

correo electrónico, redes.


BIBLIOGRAFÍA: Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemáticas para Administración y Economía. México: Prentice Hall - Decimosegunda edición. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

Hoffmann Laurence, et al,(2014), Matemáticas, Aplicadas a la Administración y los Negocios, México, Mc Graw Hill Education.

OBRAS FÍSICAS DISPONIBILIDAD EN

BIBLIOTECA VIRTUAL NOMBRE BIBLIOTECA

VIRTUAL SI NO


COMPLEMENTARIA x

RELACIÓN DE LA ASIGNATURA CON LOS RESULTADOS DEL PERFIL DE EGRESO DE LA CARRERA

RESULTADOS O LOGROS DE APRENDIZAJE DEL PERFIL DE

EGRESO DE LA CARRERA EL ESTUDIANTE DEBE

Analiza comportamientos de problemas

empresariales plasmados en gráficas, en

relación a funciones del ámbito empresarial.

Al finalizar el semestre, el estudiante luego de

aprobar la asignatura será capaz de:

Aplicar el concepto de límites para el

análisis y solución de problemas

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Resuelve problemas con aplicación de límites y

continuidad aplicados al sector empresarial,

para estimar límites de beneficio y pérdida

Analiza modelos matemáticos relacionados con

razones de cambio para la solución de sistemas

de carácter administrativo empresarial.

Construye tablas explicativas mediante el

manejo de razones de cambio en procesos de

optimización de recursos humanos y

materiales.

Identifica los intervalos de ganancias y pérdidas

en la solución de problemas empresariales de

sectores públicos y privados.

Identifica variables en actividades

empresariales y demás, que pueden ser

sometidas a un estudio con aplicación de

derivadas e integrales.

Aplica el fundamento de integración en la

determinación de áreas solución para

problemas empresariales

Explica cómo obtener la máxima rentabilidad,

mediante la reducción de costos y la

optimización-incremento de ingresos,

encaminados hacia el desarrollo empresarial.

sociales y económicos con

responsabilidad y creatividad.

Analizar situaciones empresariales,

que modeladas mediante funciones,

permitan la optimización de

ganancias y costos con criterio

reflexivo y lógico.

Resolver problemas mediante el

uso de derivadas e integrales, para

contribuir al desarrollo de la

empresa con objetividad y

creatividad.

Desarrollar modelos que permitan la

optimización de los recursos de la

empresa con responsabilidad.

EVALUACIÓN DEL ESTUDIANTE POR RESULTADOS DE APRENDIZAJE

TÉCNICAS

PRIMER HEMISEMESTRE

(PUNTOS)

SEGUNDO

HEMISEMESTRE

(PUNTOS)

Evaluación escrita o práctica, parcial o final (10 Puntos) (10 Puntos)

Trabajo autónomo y/o virtual ( 2 Puntos) ( 2 Puntos)

Trabajos individuales (prueba) ( 4 Puntos) ( 4 Puntos)

Trabajos grupales(Taller, exposición) ( 2 Puntos) ( 2 Puntos)

Trabajos integradores (investigación de fin de

unidad)

( 2 Puntos) ( 2 Puntos)

TOTAL (20 Puntos) (20 Puntos)

PERFIL DEL DOCENTE QUE IMPARTE LA ASIGNATURA

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FORMACION

Francisco Bahamonde Ing. Civil Escuela Politécnica Nacional

Ing. Industrial Escuela Politécnica del Ejército

Diplomado Superior Universidad Central-Quito

SENESCYT: 1005-08-681635

Diplomado Universidad Santander-Bogotá

Diplomado Universidad Virtual FATLA

EXPERIENCIA DOCENTE

Profesor de matemáticas y física Escuela Politécnica Nacional : 1980-1995

Profesor de matemáticas Escuela Politécnica del Ejercito: 1982-1995

Profesor de matemáticas, estadística Universidad Central del Ecuador: 1995-2015

REVISIÓN Y APROBACIÓN

ELABORADO POR: REVISADO APROBADO

FIRMA DE LOS DOCENTES QUE DICTAN LA

ASIGNATURA

FECHA:

Docente 1: -------------------------------

ALBERTO ARROYO

Docente 2: -------------------------------

FRANCISCO BAHAMONDE

Docente 3: -----------------------------

CARLOS CLAVIJO

Docente 4:---------------------------

FERNANDO MEDIAVILLA

Docente 5: ______________________

MARCO POSSO

Docente 6: ______________________

MARTHA ROJAS

NOMBRE:

FECHA: 2015-09-21

FIRMA: ______________________

DRA. MARIA ANGÉLICA GARCIA

Coordinador de Carrera (Directora)

NOMBRE:

FECHA: 2015-09-___

FIRMA: ____________________

Consejo de Carrera

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UNIDAD I

UNIDAD I.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

INTRODUCCIÓN

Definición y Propiedades

Límite

Restricción o prohibición. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o

limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que

llega un periodo temporal.

Ejemplos de Límites:

Velocidad Km/h a los que avanza un vehículo.

Geografía Límites que existen para separar provincias y/o países.

Edad Límites de edad para el ingreso a bares, discotecas y otros.

Altura Límites de altura de vehículos para el ingreso a parqueaderos.

Capacidad Límite de personas que pueden usar un ascensor.

Continuidad

Es un término que se refiere al vínculo que

mantienen aquellas cosas que están, de alguna

forma, en continuo. Hace un tiempo, el

concepto también se empleaba como

sinónimo de continuación, aunque hoy este

uso es algo arcaico.

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Continuidad

Continuidad existe entre los

puntos a y b.

Ejemplo en una recta

𝑥 + 𝑦 = 3

𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

y = variable dependiente

Variable Discreta:

Se usa para términos de poblaciones,

únicamente se fijan valores enteros.

Población = Número de habitantes

Variable Continua:

Pueden expresarse valores en

fracciones o decimales

Se usa para:

Peso = kg

Estatura = metros

Edad = años

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Función

Función: Relación que existe entre A y B.

Ejemplos:

VELOCIDAD ES FUNCIÓN DE TIEMPO

A mayor velocidad menor es el tiempo en que se recorre una determinada distancia

CANTIDAD ES FUNCION DEL PRECIO

A menor precio mayor es la cantidad de las ventas de un producto

Ejemplos Prácticos de Funciones:

El ejemplo más práctico a usarse es el que va entre la edad y estatura de niños de 0 a 4 y 5

años, así mismo se toma como función el peso de los niños con respecto a su edad y altura

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Gráfico de la función Estatura (cm)-Años

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UNIDAD I.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = (𝑥 + 2)( 𝑥 − 1)

𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥 + 2

0 = 𝑥 + 2

−2 = 𝑥

x 0,80 0,90 0,95 0,98 0.99 1 1.005 1,05 1,10 1,50

f(x) 2,80 2,90 2,95 2,98 2,99 3 3,005 3,05 3,10 3,50

Página | 21

La variable no puede ser 1.

La variable puede ser mayor o menor que 3, pero no puede ser 3.

lim𝑋→1

= 3 lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑙

Propiedades 1. - lim 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ± lim𝑔 (𝑥) Propiedad distributiva

2. - lim 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim 𝑓(𝑥)

lim 𝑔(𝑥)

3. - lim f(x) . g(x) = lim f(x) . lim g(x).

4. – lim K f(x) = K lim f(x)

Ejercicios: 1.- 𝐥𝐢𝐦

𝐱→−𝟏(𝟑𝐱ᶟ − 𝟒𝐱 + 𝟖)

= lim𝑥→−1

3𝑥ᶟ − lim𝑥→−1

4𝑥 + lim𝑥→−1

8

= 3 lim𝑥→−1

𝑥ᶟ − 4 lim𝑥→−1

𝑥 + lim𝑥→−1

8

Página | 22

= 3(−1)ᶟ − 4(−1) + 8

= 3 + 4 + 8 = 9

2.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒙+𝟏

𝒙−𝟐 lim

𝑥→2

𝑥+1

𝑥−2=

3

0 = ∞

Curva: Algo sinuoso y continuo

Página | 23

Tipos de curvas

Mixta, Curva cóncava y convexa a la vez. Trazos, Recta

Tipos de Funciones

Lineal Cuadrática

Cubica Exponencial

Ejemplos de función continúa

Página | 24

𝑓(𝑥) = 1

𝑥 = Es continua excepto para X=0

g(x) =𝑥2−1

𝑥+1 = (𝑥−1)(𝑥+1)

(𝑥+1) = 𝑥 − 1 Es continua cuando 𝑋 ≠ −1

Ejercicios en clase

Página | 25

Limites

1.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

(𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐)

= lim𝑥→2

3𝑥2 − lim𝑥→2

5𝑥 + lim𝑥→2

2

= 3lim𝑥→2

𝑥2 − 5lim𝑥→2

𝑥 + lim𝑥→2

2

= 3(2)2 − 5(2) + 2

= 12 − 10 + 2

= 4

2.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏

(𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑)

= lim𝑥→−1

𝑥3 − lim𝑥→−1

2𝑥2 + lim𝑥→−1

𝑥 − lim𝑥→−1

3

= lim𝑥→−1

𝑥3 − 2lim𝑥→−1

𝑥2 + lim𝑥→−1

𝑥 − lim𝑥→−1

3

= (−1)3 − 2(−1)2 + (−1) − 3

= −1 − 2 − 1 − 3

= −7

3.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑

(𝒙 − 𝟏)𝟐(𝒙 + 𝟏) =

lim𝑥→3

(𝑥 − 1)2 lim𝑥→3

(𝑥 + 1)

= (3 − 1)2(3 + 1)

= (4)(4)

= 16

4.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟓

𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟏𝟎

𝒙−𝟓=

52−3(5)−10

5−5=

0

0= 𝐼

= 𝑥2−3𝑥−10

𝑥−5

=(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 5)

= (𝑋 + 2)

lim𝑥→5

(𝑥 + 2) = 5 + 2 = 7

Página | 26

Continua; 𝑋 ≠ 5

No es continua, “hueco” (5,7)

5.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟒)

(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟒)

=lim𝑥→4

(𝑥 + 1)(𝑥 − 4)

lim𝑥→4

(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)

=lim𝑥→4

(𝑥+1) lim𝑥→4

(𝑥−4)

lim𝑥→4

(𝑥−1) lim𝑥→4

(𝑥+4)

=(4−4)(4+1)

(4−4)(4−1)

= (4)+1

(4)−1

= 5

3= 1,66

Gráfico:

Página | 27

6.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝒙(𝒙𝟐−𝟏)

𝒙𝟐=

0(02−1)

02=

0

0= 𝐼

lim𝑥→0

𝑥(𝑥2−1)

𝑥2= 𝑥(𝑥2−1)

𝑥2

=𝑥2 − 1

𝑥

lim𝑥→0

𝑥2 − 1

𝑥

= (0)2−1

(0) =

−1

0= ∞

Gráfico:

Página | 28

Página | 29

LIMITES AL INFINITO lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

lim𝑥→∞

𝑔(𝑥) = 𝑀

Ejercicios:

1.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒙𝟐

𝟏+𝒙+𝟐𝒙𝟐=

=lim𝑥→∞

𝑥2

lim𝑥→∞

1 + lim𝑥→∞

𝑥 +2 lim𝑥→∞

𝑥2=

∞2

1 +∞ + 2∞2 =

∞

∞= ∞

Para levantar la Indeterminación se usa la regla del mayor exponente, la misma que únicamente se

aplica en límites orientados al infinito.

=

𝑥2

𝑥2

1𝑥2+𝑥𝑥2+2𝑥𝑥2

2

= 1

1𝑥2+1𝑥 + 2

=lim𝑥→∞

1

lim𝑥→∞

1𝑥2+ lim

𝑥→∞

1𝑥 + lim

𝑥→∞2

=1

1(∞)2

+1(∞)

+ 2

= 1

0 + 0 + 2=1

2

Página | 30

Gráfico de la función:


𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙+

𝟑𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟐= 𝐈

=2(∞)2 + 3(∞) + 1

3(∞)2 − 5(∞) + 2

Regla del mayor exponente

=

2𝑥2 + 3𝑥 + 1𝑥2

3𝑥2 − 5 + 2𝑥2

=

2𝑥2

𝑥2+3𝑥𝑥2+1𝑥2

3𝑥2

𝑥2−5𝑥𝑥2+2𝑥2

=

2𝑥2

𝑥2+3𝑥𝑥2+1𝑥2

3𝑥2

𝑥2−5𝑥𝑥2+2𝑥2

=2 +

3𝑥 +

1𝑥2

3 −5𝑥 +

2𝑥2

= lim𝑥→∞

2 + lim𝑥→∞

3𝑥 + lim

𝑥→∞

1𝑥2

lim𝑥→∞

3 − lim𝑥→∞

5𝑥 + lim

𝑥→∞

2𝑥2

Página | 31

=2 +

3(∞)

+1

(∞)2

3 −5(∞)

+2

(∞)2

=2 + 0 + 0

3 − 0 + 0

=2

3



𝟏𝟎𝟎𝒙

𝒙𝟐−𝟏= 100(∞)

(∞)2−1=

∞

∞= I

=

100xx2

x2

x2−1x2

=

100xx2

x2

x2−1x2

=

100𝑥

1 −1𝑥2

lim𝑥→∞

100𝑥

1 −1𝑥2

=

100(∞)

1 −1

(∞)2

= 0

1 − 0=0

1= 0

Página | 32


4.- 𝐥𝐢𝐦𝑿→∞

𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟏

𝟑𝒙+𝟕=

(∞)𝟐−𝟓(∞)+𝟏

𝟑(∞)+𝟕=

∞

∞= I

= lim𝑋→∞

𝑥2

𝑥2−5𝑥𝑥2+1𝑥2

3𝑥𝑥2+7𝑥2

= lim𝑋→∞

1 −5𝑥 +

1𝑥2

3𝑥 +

7𝑥2

=1 −

5∞+

1∞2

3∞ +

7∞2

=1

0= ∞

Página | 33



𝟐𝒙𝟐−𝒙+𝟑

𝒙ᶟ−𝟖𝒙+𝟓=

2(∞)2−(∞)+3

(∞)ᶟ−8(∞)+5=

∞−∞+3

∞−∞+5=

∞

∞= 𝐈 =

lim𝑥→∞

2𝑥2 − 𝑥 + 3

𝑥ᶟ − 8𝑥 + 5

= lim𝑥→∞

2𝑥2

𝑥ᶟ−𝑥𝑥ᶟ+3𝑥ᶟ

𝑥ᶟ𝑥ᶟ−8𝑥𝑥ᶟ+5𝑥ᶟ

=

2𝑥2

𝑥ᶟ−𝑥𝑥ᶟ+3𝑥ᶟ

𝑥ᶟ𝑥ᶟ−8𝑥𝑥ᶟ+5𝑥ᶟ

=

2𝑥 −

1𝑥 +

3𝑥ᶟ

1 −8𝑥2+5𝑥ᶟ

= lim𝑥→∞

2𝑥 −

1𝑥 +

3𝑥ᶟ

1 −8𝑥2+5𝑥ᶟ

=

2∞−

1∞ +

3∞ᶟ

1 −8∞2 +

5∞ᶟ

Página | 34

=0 − 0 +

1 − 0 +=0

1= 0



(√𝒙 + 𝒂 − √𝒙)

lim𝑥→∞

√𝑥 + 𝑎 − lim𝑥→∞

√𝑥

= √∞+ 𝑎 − √∞

= √∞− √∞

= ∞−∞ = 𝐈

Página | 35

=limx→∞

a

limx→∞

√x + a + limx→∞

√x

=a

√∞+ a + √∞=a

∞= 0


7.- 𝐥𝐢𝐦𝐱→∞

(𝟐𝐱𝟐−𝟑𝐱−𝟒

√𝐱𝟒+𝟏)

limx→∞

(2x2−3x−4

√x4+1) =

2(∞)2−3(∞)−4

√∞4+1=

∞

∞= I

2x2 − 3x − 4

√x4 + 1=

2x2

x2−3xx2−4x2

x2

x2+1x2

=2 −

3x −

4x2

1 +1x2

Página | 36

limx→∞

(2 −

3x−4x2

1 +1x2

)

=2 −

3x−4x2

1 +1x2

=2 −

3∞−

4∞2

1 +1∞2

=2 − 0 − 0

1 + 0=2

1= 2


𝟖.−𝐥𝐢𝐦 𝐲→∞

(𝐲+𝟏)𝟐

𝐲𝟐+𝟏

lim y→∞

(y + 1)2

y2 + 1= (∞ + 1)2

∞2 + 1= ∞

∞ = I =

y2 + 2y + 12

y2 + 1

=

y2

y2+2yy2+12

y2

y2

y2+1y2

= 1 +

2y +

1y2

1 +1y2

Página | 37

lim y→∞

1 +2y+1y2

1 +1y2

= 1 +

2∞ +

1∞2

1 +1∞2

= 1 + 0 + 0

1 + 0=1

1= 1


9.- 𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

𝟐 𝒙𝟐−𝒙+𝟑

𝒙𝟑−𝟖𝒙+𝟓

lim𝑥→−∞

2 𝑥2 − 𝑥 + 3

𝑥3 − 8𝑥 + 5=2(∞)2 − (∞) + 3

(∞) − 5(∞) + 5

=(∞)

(∞)= 𝐈

2x2 − 𝑥 + 3

x3 − 8𝑥 + 5=

2x2 − 𝑥 + 3x3

2x3 − 8𝑥 + 5x3

Página | 38

=

2x2

x3−xx3+3x3

2x3

x3−8xx3+5x3

=

2x −

1x2+3x3

1 −8x2+5x3

𝐥𝐢𝐦𝒙→−∞

2x −

1x2+3x3

1 −8x2+5x3

=

2(∞)

−1(∞)

+3(∞)

1 −8

(∞)2+

5(∞)3

=0 − 0 + 0

1 − 0 + 0=0

1= 𝟎


Página | 39

APLICACIÓN DE LÍMITES Ejercicio 1

Estudios indican que t años a partir de ahora la población de cierto país será 0,2t +1500 m p (miles

de personas) y que sus ingresos netos serán de E= miles de dólares E (t)=√9𝑡2 + 0,5𝑡 + 179

a.- Exprese los ingresos pre cápita del país con una función t

b.- ¿Qué sucede con los ingresos pre-cápita a largo plazo?

DATOS:

t=años

p= 0,2t +1500 m p = f(x)

E=miles$

E (t)=√9𝑡2 + 0,5𝑡 + 179 E=f(t)

a.- I f(t)=𝐸

𝑃=

√9𝑡2+0,5𝑡+179

0,2t +1500 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠).

b.- lim𝑡→∞

√9𝑡2+0,5𝑡+179

0,2t +1500 =

=lim𝑡→∞

(√9𝑡2 + 0,5𝑡 + 179)

lim𝑡→∞

(0,2t + 1500)

=√lim𝑡→∞

9𝑡2 + lim𝑡→∞

0,5𝑡 + lim𝑡→∞

179

(lim𝑡→∞

0,2t + lim𝑡→∞

1500)

=√9lim𝑡→∞

𝑡2 + 0,5lim𝑡→∞

𝑡 + lim𝑡→∞

179

(0,2 lim𝑡→∞

t + lim𝑡→∞

1500)

=√9(∞)2 + 0,5(∞) + 179

0,2(∞) + 1500 =∞

∞= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

√9𝑡2 + 0,5𝑡 + 179

0,2t + 1500 =

Página | 40

=

√9𝑡2 + 0,5𝑡 + 179𝑡2

(0,2t + 1500)𝑡

=√9𝑡

2

𝑡2+0,5𝑡𝑡2

+179𝑡2

0,2t𝑡+1500𝑡

=√9 +

0,5𝑡+179𝑡2

0,2 +1500𝑡

lim𝑡→∞

√9 +0,5𝑡+179𝑡2

0,2 +1500𝑡

=

=lim𝑡→∞

(√9 +0,5𝑡 +

179𝑡2)

lim𝑡→∞

(0,2 +1500𝑡 )

=√lim𝑡→∞

9 + lim𝑡→∞

0,5𝑡 + lim

𝑡→∞

179𝑡2

lim𝑡→∞

0,2 + lim𝑡→∞

1500𝑡

=√9 +

0,5(∞)

+179(∞)2

0,2 +1500(∞)

=√9 + 0 + 0

0,2 + 0

=√9

0,2= 15

A largo plazo los ingresos per cápita tienden a estabilizarse el $15.000 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠)

Página | 41

Ejercicio 2

La concentración de fármaco en el flujo sanguíneo de u n paciente en t horas, después de una

inyección es C (t)=0,4

𝑡2+1+ 0,013

DATOS:

C= f (t)

t= horas

C (t)= 0,4

𝑡2+1+ 0,013

¿Cuál es la concentración del fármaco inmediatamente después de aplicado la inyección?

𝐶(𝑡 = 0) =0,4

𝑡2 + 1+ 0,013 =

=0,4

(0)2 + 1+ 0,013 = 0,413

𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜

𝑚𝑖𝑙𝑖𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜

¿Cuál es la concentración del fármaco después de 5 horas?

𝐶(𝑡 = 5) =0,4

𝑡2 + 1+ 0,013 =

=0,4

(5)2 + 1+ 0,013 = 0,063



¿Disminuye o aumenta la concentración de fármaco?

𝐶(𝑡 = 4) =0,4

𝑡2 + 1+ 0,013 =

=0,4

(4)2 + 1+ 0,013 = 0,076



AC= (𝑡 = 5) − (𝑇 = 4)

T=0,063-.0, 073=-0,013

¿Cuál es la concentración residual del fármaco?

𝐶(𝑡 = ∞) =0,4

𝑡2 + 1+ 0,013 =

=0,4

(∞)2 + 1+ 0,013 = −0,013



Página | 42

Ejercicio 3

La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectado por la

construcción de un dique. En una zona de la playa esa profundidad vendrá dada

por la siguiente función

𝑃(𝑡) = {

2 + 𝑡 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 18𝑡2 − 𝑡 − 1

2𝑡2 𝑠𝑖 𝑡 > 1

P = la profundidad en metros

t = el tiempo en años desde el inicio de la construcción

Si la profundidad llegara a superar los 4 metros se debería elevar la profundidad

Es P(t) una función continua

Será necesario elevar la altura del paso por causa de a profundidad de la arena

Haga una gráfica aproximada de P(t)

lim𝑡→1

𝑃(𝑡) = lim𝑡→1

(2 + 𝑡2) = (2 + 1) = 3

lim𝑡→1𝑃(𝑡) = lim

𝑡→1

8𝑡2 − 𝑡 − 1

2𝑡2=8(1)2 − (1) − 1

2(1)2=6

2= 3

lim𝑡→∞

8𝑡2 − 𝑡 − 1

2𝑡2

Página | 43

= lim𝑡→∞

8𝑡2

𝑡2−𝑡𝑡2−1𝑡2

2𝑡2

𝑡2

= lim𝑡→∞

8 −1𝑡 −

1𝑡2

2

=8 −

1∞−

1∞²

2=8

2= 4

Ejercicio 4

Contaminación del aire

Se estima que en t años a partir de ahora la población cierta será de:

𝑃(𝑡) = 20 −7

𝑡2 + 2 (𝑚𝑝)

El estudio ambiental indica que el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire será:

𝐶(𝑝) = 0,4√𝑝2 + 𝑝 + 21 (𝑝𝑝𝑚𝑖, 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑙𝑙ó𝑛)

¿Qué sucede a largo plazo respecto al nivel de contaminación?

DATOS

𝑃(𝑡) = 20 −7

𝑡2 + 2 (𝑚𝑝)

𝐶(𝑝) = (𝑝𝑝𝑚𝑖, 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑙𝑙ó𝑛)

lim𝑡→∞

(20 −7

𝑡2 + 2) =

= lim𝑡→∞

20 − lim𝑡→∞

7

𝑡2 + 2

= lim𝑡→∞

20 −lim𝑡→∞

7

lim𝑡→∞

𝑡2 + lim𝑡→∞

2

= 20 −7

(∞)2 + 2= 20 −

7

∞= 20 − 0 = 20𝑚𝑝

Página | 44

𝐶(𝑝) = 0,4√𝑝2 + 𝑝 + 21 =

0,4√(20)2 + (20) + 21 = 8,4𝑝𝑝𝑚𝑖 𝑑𝑒 𝐶𝑜2

Ejercicio 5

Cuando se iniciar un nuevo trabajo en una instalación de producción puede esperarse que los

empleados ensamble n= artículos por hora, t en semanas de trabajo donde

n(t)= 70 −150

𝑡+4

A los empleados se eles paga0,20 ctv. Por hora por cada artículo que ensamblan.

DATOS

n= artículos por hora

t= semanas

n(t)=70 −150

𝑡+4

Encuentre una expresión para la cantidad de dinero que un empleado ganan por hora en t

semanas de experiencia

A(t)= cantidad de dinero

𝐴(𝑡) = (0,20) (70 −150

𝑡 + 4) 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜.

¿Cuánto dinero por hora espera ganar a largo plazo?

lim𝑡→∞

𝐴(𝑡) = (0,20) (70 −150

𝑡 + 4) =

= (lim𝑡→∞

0,20) (lim𝑡→∞

70 − lim𝑡→∞

(150

𝑡 + 4))

= (lim𝑡→∞

0,20)(lim𝑡→∞

70 −lim𝑡→∞

150

lim𝑡→∞

𝑡 + lim𝑡→∞

4)

= (0,20) ( 70 −150

(∞) + 4)

= (0,20)(70 − 0) = 14$/ℎ

Página | 45

Página | 46

UNIDAD II

DIFERENCIACIÓN UNO

2.1 La derivada: Definición e interpretación, reglas de diferenciación

Derivada.

Es la razón de una variable respecto a otra.

Interpretación.

La derivada es la pendiente a la recta tangente en un punto dado de una curva.

La pendiente de la recta es la primera derivada de la función.

Tangente le toca en un solo punto, mientras que la Secante toca dos puntos de una curva dada

Formas de las rectas tangentes

1) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

2) 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)

La pendiente de la recta (m) = es la primera derivada de la función

∆ = Delta ; ∆ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 Diferencial de y

∆= dy

dx=df(x)

dx= ∫ = m

1

x

Función

𝑦 = 2𝑥 + 4

𝑦 = f(𝑥)

Página | 47

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN 1.- Regla del exponente: 𝑦 = 𝑥𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

Derivar y=4

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥4) = 4𝑥4−1 = 4𝑥3

2.- Regla de la suma, resta: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))

= 𝑑

𝑑𝑥𝑓𝑥 ±

𝑑

𝑑𝑥𝑔𝑥

Derivar 𝒚 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(4𝑥3 − 5𝑥2) =

𝑑

𝑑𝑥(4𝑥3) −

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥2) = 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 − 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 = 4 ∙ 3𝑥3−1 − 5 ∙ 2𝑥2−1

= 12𝑥2 − 10𝑥

3.- Regla de la constante: 𝑦 = 𝑘𝑥𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑘𝑥𝑛) = 𝑘

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛

4.- Regla de la constante: 𝑦 = 𝑐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

Derivar: 𝒚 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(4𝑥3 − 5𝑥2)

=𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 −

𝑑

𝑑𝑥5𝑥2 = 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥3−1 − 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥2−1

= 4𝑑

𝑑𝑥3𝑥2 − 5

𝑑

𝑑𝑥2𝑥1

= 4(3)𝑥2 − 5(2)𝑥 = 12𝑥2 − 10𝑥

Página | 48

Ejercicios Modelo sobre Derivadas

1.- 𝒚 = −𝟐 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(−2) = 0

2.- 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟑 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥 − 3)

= 5𝑑

𝑑𝑥𝑥 − 0

= 5 ∙ 1𝑥1−1 − 0 = 5

3.- 𝒚 = 𝒙−𝟒 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥−4)

= −4𝑑

𝑑𝑥𝑥−4−1

= −4𝑥−5

4.- 𝒚 = 𝒙𝟑,𝟕 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3,7)

= 3,7 𝑥3,7−1 = 3,7𝑥2,7

5.- 𝒚 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝜋 ∙ 𝑟2)

= 𝜋𝑑

𝑑𝑥𝑟2

= 𝜋 ∙ 2𝑟2−1 = 2𝜋𝑟

6.- 𝒚 = 𝟐√𝒙𝟑𝟒

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(2√𝑥3

4)

= 2 ∙ 𝑥43 =

6

4𝑥14

Página | 49

Reglas de las Derivadas 5.- Regla del producto:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplo:

𝐲 = 𝟒𝐱𝟐 ∙ √𝐱

dy

dx=

d

dx(4x2 ∙ √x)

= 4x2d

dx(x

12) + x

12d

dx(4x2)

= 4x2 (1

2x1

2−1) + x

1

2 (8x)

= 2 x3/2 + 8x3/2 = 10 x3/2

Ejercicios en clase 1. − 𝑝𝑥= (𝑥−1)(3𝑥−2)

𝑑𝑝

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 − 1)(3𝑥 − 2)

= (𝑥− 1) 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 − 2) + (3𝑥 − 2)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 − 1)

= (𝑥 − 1)(3) + (3𝑥 − 2)(1)

= 3𝑥 − 3 + 3𝑥 − 2 = 6𝑥 − 5

2. −𝑝𝑥= (2𝑥+1)(2𝑥2−𝑥−1)

𝑑𝑝

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥 (2𝑥+1)(2𝑥2−𝑥−1)

= (2𝑥 + 1)𝑑

𝑑𝑥(2𝑥2 − 𝑥 − 1) + (2𝑥2 − 𝑥 − 1)

𝑑

𝑑𝑥 (2𝑥 + 1)

= (2𝑥 + 1)(4𝑥 − 1) + (2𝑥2 − 𝑥 − 1)(2)

= (8𝑥2 − 2𝑥 + 4𝑥 − 1) + (4𝑥2 − 2𝑥 − 2)

= 8𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 4𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 12𝑥2 − 3

Página | 50

5.1.- Regla del producto: 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 (Caso especial)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑤 + 𝑢𝑤

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣𝑤

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplo:

𝑷𝒙 = (𝒙𝟐 − 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏)

𝑑𝑝

𝑑𝑥= (𝑥2 − 1)(3𝑥 − 2)

𝑑

𝑑𝑥 (2𝑥 + 1) + (𝑥2 − 1)(2𝑥 + 1)

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 − 2) + (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 1)

= (𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 2)(2) + (2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 1)(3) + (6𝑥2 + 3𝑥 − 4𝑥 − 2)(2𝑥)

= 6𝑥3 − 4𝑥2 − 6𝑥 + 4 + 6𝑥3 + 3𝑥2 − 3 + 12𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥2 − 4𝑥

= 24𝑥3 − 3𝑥2 − 16𝑥 − 1

6.-Regla del Cociente: 𝒚 = 𝒖

𝒗

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒗 𝒅𝒅𝒙

𝒖 − 𝒖𝒅𝒅𝒙

𝒗

𝒗𝟐

Ejemplo:

𝑸𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕

𝟐𝒙

𝑑𝑞

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 7

2𝑥)

= 2𝑥

𝑑𝑑𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 7) − (𝑥2 − 5𝑥 + 7)

𝑑𝑑𝑥(2𝑥)

(2𝑥)𝟐

= (2𝑥)(2𝑥 − 5) − (𝑥2 − 5𝑥 + 7)(2)

4𝑥2

= 4𝑥2 − 10𝑥 − 𝑥2 + 10𝑥 − 14

4𝑥2

=3𝑥2 − 14

4𝑥2

Página | 51

7.- Extensión exponente:

y = (xn + a)k

Ejemplos:

1.- 𝒚 = (𝟑𝒙 + 𝟏) 𝟓

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 + 1) 5

= 5(3𝑥 + 1) 4𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 + 1)

= 5(3𝑥 + 1) 4(3)

= 15(3𝑥 + 1) 4

2.- 𝒚 = (𝒙𝟑 −𝟏

𝒙) 𝟐(𝒙 + 𝟏) 𝟑 ; 𝒙 = 𝟏

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 −

1

𝑥) 2(𝑥 + 1) 3

= (𝑥3 −1

𝑥) 2

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 1) 3 + (𝑥 + 1) 3

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 −

1

𝑥) 2

= (𝑥3 −1

𝑥)2

3(𝑥 + 1)2𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 1) + (𝑥 + 1) 3 2 (𝑥3 −

1

𝑥)2 𝑑

𝑑𝑥 (𝑥3 −

1

𝑥)

= (𝑥3 −1

𝑥)3(𝑥 + 1)2(1) + (𝑥 + 1) 32(𝑥3 −

1

𝑥)1

(3𝑥2 + 𝑥−2)

= 3 (𝑥3 −1

𝑥) (𝑥 + 1)2 + 2(𝑥 + 1) 3 (𝑥3 −

1

𝑥)1

(3𝑥2 + 𝑥−2)

Cuando 𝑥 = 1

= 3(0)22 + 2(2)3(0)(3 + 1)

=0

Página | 52

Aplicación de Derivadas 1.- 𝑦 = (5𝑥 − 1)(4 + 3𝑥) ; 𝑥 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥 − 1)(4 − 3𝑥)

= (5𝑥 − 1)𝑑

𝑑𝑥(4 + 3𝑥) + (4 + 3𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 (5𝑥 − 1)

= (5𝑥 − 1)(3) + (4 + 3𝑥)(5)

= 15𝑥 − 3 + 20 + 15𝑥

= 30𝑥 + 17

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = 30𝑥 + 17

𝑚 = 30(0) + 17

m= 17

1.- (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦0 = [5(0) − 1][4 + 3(0)]

𝑦 = −4 𝑃𝑡𝑜 (𝑜, −4)

(𝑦 − 𝑦0) = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)

𝑦 + 4 = 17𝑥

𝑦 = 17𝑥 − 4

Página | 53

2.- 𝒚 = (𝟑√𝒙 + 𝒙)(𝟐 − 𝒙𝟐); 𝒙 = 𝟏

𝑦 = −𝑥3 − 3𝑥2,5 + 2𝑥 + 6𝑥0,5

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(−𝑥3 − 3𝑥2,5 + 2𝑥 + 6𝑥0,5)

= −3𝑥2 − 7,5𝑥1,5 + 2 + 3𝑥−0,5

Determine

𝑦 = 𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 − 1; (−1,−8)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 − 1)

= 3𝑥2 − 10𝑥 + 3

𝑚 = −3(−1)2 − 10(−1) + 3

𝑚 = 10

𝑦 + 8 = 10 (𝑥 + 1)

𝑦 = 10𝑥 + 2

Página | 54

Regla de la cadena

𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛

𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1𝑑

𝑑𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏)

𝒚 = 𝒍𝒏𝒙𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛𝑥2

=1

𝑥2.𝑑

𝑑𝑥𝑥2

=1

𝑥2(2𝑥)

=2𝑥

𝑥2

=2

𝑥

𝒚 = 𝐥𝐧(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥ln(3𝑥2 + 2𝑥 + 1)

=1

(3𝑥2 + 2𝑥 + 1).𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2 + 2𝑥 + 1)

=1

(3𝑥2 + 2𝑥 + 1). (3

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 2

𝑑

𝑑𝑥𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥1)

=1

(3𝑥2 + 2𝑥 + 1)(6𝑥 + 2 + 0)

=6𝑥 + 2

3𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑌 =𝑥2

𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥= (

𝑥2

𝑙𝑛𝑥)

=𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥2 − 𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑙𝑛𝑥

(𝑙𝑛𝑥)2

Página | 55

=𝑙𝑛𝑥. 2𝑥 − 𝑥2.

1𝑥. 1

(𝑙𝑛𝑥)2

=2𝑥. 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥

(𝑙𝑛𝑥)2

𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐

𝑌 = 𝑙𝑛𝑥100

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥100𝑙𝑛𝑥

= 100.1

𝑥

=100

𝑥

𝒀 =𝒙𝟐 + 𝟑

(𝒍𝒏𝒙)𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3

(𝑙𝑛𝑥)2 )

=(𝑙𝑛𝑥)2

𝑑𝑑𝑥(𝑥2 + 3) − (𝑥2 + 3)

𝑑𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑥)2

(𝑙𝑛𝑥)4

=(𝑙𝑛𝑥)2. 2𝑥 − (𝑥2 + 3). 2(𝑙𝑛𝑥)

1𝑥

(𝑙𝑛𝑥)4

=

2𝑥(𝑙𝑛𝑥)2

1 −2(𝑥2 + 3)(𝑙𝑛𝑥)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)4

=

2𝑥(𝑙𝑛𝑥)2 − 2(𝑥2 + 3)(𝑙𝑛𝑥)𝑥

(𝑙𝑛𝑥)4

1

=2𝑥2(𝑙𝑛𝑥)2 − 2(𝑥2 + 3)(𝑙𝑛𝑥)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)4

=𝑙𝑛𝑥[2𝑥2𝑙𝑛𝑥 − 2(𝑥2 + 3)]

𝑥(𝑙𝑛𝑥)4

=2𝑥2𝑙𝑛𝑥 − 2(𝑥2 + 3)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)3

Página | 56

Segundo método

𝒀 =𝒙𝟐 + 𝟑

(𝒍𝒏𝒙)𝟐

𝑌 = (𝑥2 + 3). (𝑙𝑛𝑥)−𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥((𝑥2 + 3). (𝑙𝑛𝑥)−𝑧)

= (𝑥2 + 3)𝑑

𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑥)−𝑧 + (𝑙𝑛𝑥)−𝑧

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3)

= (𝑥2 + 3).−2(𝑙𝑛𝑥)−3.𝑑

𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑥) + (𝑙𝑛𝑥)−𝑧. 2𝑥

= −2(𝑥2 + 3)(𝑙𝑛𝑥)−3.1

𝑥+ 2𝑥(𝑙𝑛𝑥)−𝑧

= −2(𝑥2 + 3).1

(𝑙𝑛𝑥)3.1

𝑋+ 2𝑋.

1

(𝑙𝑛𝑥)2

=−2(𝑥2 + 3)

𝑋(𝑙𝑛𝑥)3+

2𝑋

(𝑙𝑛𝑥)2

=−2(𝑥2 + 3) + (𝑙𝑛𝑥)2𝑥2

𝑥(𝑙𝑛𝑥)3

=2𝑥2𝑙𝑛𝑥 − 2(𝑥2 + 3)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)3

𝒚 =𝒙² + 𝟑

(𝒍𝒏 𝒙)²

𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥² + 3

(ln 𝑥)²)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(𝑙𝑛𝑥)²

𝑑𝑦𝑑𝑥(𝑥2 + 3) − (𝑥2 + 3)

𝑑𝑦𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑥)²

[(𝑙𝑛𝑥)²]²

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(𝑙𝑛𝑥)2 (

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑥² +

𝑑𝑦𝑑𝑥3) − (𝑥2 + 3) 2(𝑙𝑛𝑥)2−1

𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥

(𝑙𝑛𝑥)4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑙𝑛𝑥)2 − (2𝑥 + 0) − (𝑥2 + 3)2(𝑙𝑛𝑥)

1𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥𝑥

(𝑙𝑛𝑥)4

Página | 57

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥(𝑙𝑛𝑥)2 − (𝑥2 + 3) 2(𝑙𝑛𝑥)

1𝑥

(𝑙𝑛𝑥)4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥² 𝑙𝑛𝑥 − 2(𝑥2 + 3)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)3

Segundo método

𝒚 =𝒙² + 𝟑

(𝒍𝒏 𝒙)²

𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒅

𝒅𝒙[(𝑥2 + 3)(𝑙𝑛𝑥)−2]

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥2 + 3)

𝑑

𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑥)−2 + (𝑙𝑛𝑥)−2

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥2 + 3)(−2)(𝑙𝑛𝑥)−2−1

𝑑

𝑑𝑥(𝑙𝑛𝑥) +

1

(𝑙𝑛𝑥)²(𝑑

𝑑𝑥𝑥² +

𝑑

𝑑𝑥3)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥2 + 3)(−2)

1

(𝑙𝑛𝑥)3− 1

𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑥 +

1

(𝑙𝑛𝑥)2(2𝑥 + 0)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (−2)(𝑥2 + 3)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)3+

2𝑥

(𝑙𝑛𝑥)²

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (−2)(𝑥2 + 3) + 2𝑥(𝑥)(𝑙𝑛𝑥)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)³

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(−2)(𝑥2 + 3) + 2𝑥²(𝑙𝑛𝑥)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥² 𝑙𝑛𝑥 − 2(𝑥2 + 3)

𝑥(𝑙𝑛𝑥)³

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + √𝒙 ; 𝒙 = 𝟒

𝑑𝑓(𝐼)

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 +√𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 (𝑥3 + (𝑥)0,5)

= 3𝑥2 + 0,5𝑥 − 0,5

Página | 58

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 3(4)2

𝑚 = 3(4)2 + 0,5(4) − 0,5

𝑚 = 48,25

𝑓(𝑥) = 𝑦 = (4)3 + (4)0,5 = 66

𝑃𝑡𝑜 (𝑥0 , 𝑦0)

𝑃𝑡𝑜 (4 , 66)

𝑦 − 66 = 48,25 (𝑥 − 4)

𝑦 – 66 = 48,25𝑥 – 193

𝑦 = 42,25𝑥 − 127

Ecuación de la recta tangente Pto( 4 ,66 )

y = (𝒙𝟐 − 𝟐 )3 ( √𝒙 − 𝟓 )4 ; x=2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 2)3(√𝑥 − 5)4

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 2)3(𝑥

12 − 5)4

= (𝑥2 − 2)3𝑑

𝑑𝑥(𝑥

12 − 5)4 + (𝑥

12 − 5)4

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 2)3

= (𝑥2 − 2)34(𝑥12 − 5)3

𝑑

𝑑𝑥 (𝑥

12 − 5) + (𝑥

12 − 5)43(𝑥2 − 2)2

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 2)2

= 4(𝑥2 − 2)3(𝑥1

2 − 5)3 (1

2𝑥−

1

2 − 0) + 3(𝑥1

2 − 5)4(𝑥2 − 2)2(2𝑥 − 0)

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥=2)= 4[(2)2 − 2]3[(2)

12 − 5][

1

2(2)−

12 − 0] + 3[(2)

12 − 5]4[(2)2 − 2]2[2(2) − 0]

= 4(8)(√2 − 5)3 (1

2√2) + 3(√2 − 5)4(16)

Página | 59

= 32(−46,11)(0,35) + 3(165,32)(16)

= 7413,96

𝐲 =𝟏

𝐭−𝟏

√𝐭+

𝟏

𝐭𝟑 − 𝟏 ; 𝒕 = 𝟐

𝑦 = 𝑡−1 − 𝑡−12 + (𝑡3 − 1)−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑡−1 − 𝑡−

12 + (𝑡3 − 1)−1

=𝑑

𝑑𝑥𝑡−1 −

𝑑

𝑑𝑥𝑡−12 + (𝑡3 − 1)−1

= −𝑡−2 +1

2𝑡−32 [−1(𝑡3 − 1)−1−1

𝑑

𝑑𝑥(𝑡3 − 1)]

= −𝑡−2 +1

2𝑡−32 [−1(𝑡3 − 1)2(

𝑑

𝑑𝑥𝑡3 −

𝑑

𝑑𝑥1)]

= −1𝑡−1−1 − [−1

2𝑡−12] + [−1(𝑡3 − 1)−2][3𝑡3−1 − 0]

= −𝑡−2 − (−1

2𝑡−32) + [−1(𝑡3 − 1)−2](3𝑡2)

= −(2)−2 − [−1

2(2)−

32 + [−1(2)3 − 1]−2[3(2)2]

= −0,25

Página | 60

FUNCIÓN EXPONENCIAL

𝒚 = 𝒂𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒅

𝒅𝒙𝒆𝟐𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒2𝑥

𝑑

𝑑𝑥2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒2𝑥(2(1))

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝟐𝒆𝟐𝒙

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

𝑎𝑥 = 𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 = 𝑥

𝑦 = 𝑒𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

𝒚 = 𝒆(𝒙+𝒌)𝒏

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒(𝑥+𝑘)

𝑛 𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 𝑘)𝑛

𝒚 = 𝒆𝟐𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑒2𝑥

= 𝑒2𝑥𝑑

𝑑𝑥2𝑥

= 𝑒2𝑥2

= 𝟐𝒆𝟐𝒙

Página | 61

𝐲 = 𝐞𝐱𝟐−𝟏

= ex2−1 d

dx(x2 − 1)

= ex2−1 (

d

dxx2 −

d

dx1)

= ex2−1(2x − 0)

= 2xex2−1

𝒚 = 𝑰𝒏𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝐼𝑛𝑥

=1

𝑥

𝒚 = 𝑰𝒏(𝒙 + 𝒂)𝒏

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝐼𝑛(𝑥 + 𝑎)𝑛

=1

(𝑥 + 𝑎)𝑛∙𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 𝑎)𝑛

𝒆𝒙 − 𝟏

𝒆𝒙 + 𝟏 ; 𝒙 = 𝟏

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑒𝑥 − 1

𝑒𝑥 + 1)

=(𝑒𝑥 + 1)

𝑑𝑑𝑥(𝑒𝑥 − 1) − (𝑒𝑥 − 1)

𝑑𝑑𝑥(𝑒𝑥 + 1)

(𝑒𝑥 + 1)2=

Página | 62

=(𝑒𝑥 + 1)(

𝑑𝑑𝑥𝑒𝑥 −

𝑑𝑑𝑥1) − (𝑒𝑥 − 1)(

𝑑𝑑𝑥𝑒𝑥 +

𝑑𝑑𝑥1)

(𝑒𝑥 + 1)2=

=(𝑒𝑥 + 1)(𝑒𝑥) − (𝑒𝑥 − 1)(𝑒𝑥)

(𝑒𝑥 + 1)2=

𝑓(¡) =(𝑒1 + 1)(𝑒1) − (𝑒1 − 1)(𝑒1)

(𝑒1 + 1)2=

=𝑒2 + 𝑒 − 𝑒2 + 𝑒

(𝑒 + 1)2

=2𝑒

(𝑒 + 1)2

𝒚 = 𝒆𝟐𝒙(𝒙 + 𝟔) ; 𝒙 = 𝟎

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑒)2𝑥(𝑥 + 6)

= (𝑒)2𝑥𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 6) + (𝑥 + 6)

𝑑

𝑑𝑥(𝑒)2𝑥

= (𝑒)2𝑥 (𝑑

𝑑𝑥𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥6) + (𝑥 + 6)(𝑒2𝑥

𝑑

𝑑𝑥2𝑥)

= 𝑒2𝑥 + 2𝑒2𝑥(𝑥 + 6)

= 𝑒(2)(0) + 2𝑒2(0)[(0) + 6]

= 1 + 12

= 13

Página | 63

Función Exponencial

𝑦 = 𝑒𝑥2+2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

2+2𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 2)

= 𝑒𝑥2+2(2𝑥 + 0)

= 2𝑥𝑒𝑥2+2

Función Implícita

𝑦 = 𝑒𝑥2+2

𝐼𝑛𝑦 = 𝐼𝑛𝑒𝑥2+2

𝐼𝑛 𝑦 = (𝑥2 + 2)𝐼𝑛 𝑒 1

𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 2)

1

𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥𝑦

= 2𝑥𝑒𝑥2+2

Función Logarítmica

𝑦 = 𝐼𝑛𝑥 → 𝑒𝑦 = 𝑥

𝑦 = 𝐼𝑛(𝑥2 + 𝑎)𝑛

= 𝑛 𝐼𝑛(𝑥2 + 𝑎) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛

𝑑

𝑑𝑥𝐼𝑛(𝑥2 + 𝑎)

= 𝑛1

𝑥2 + 𝑎∙𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑎)

=𝑛

𝑥2 + 𝑎(2𝑥 + 0)

=2𝑛𝑥

𝑥2 + 𝑎

𝐲 = 𝐱𝟑 𝐥𝐧(𝟐𝐱 + 𝟓)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑥3 ln(2𝑥 + 5)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3

𝑑

𝑑𝑥ln(2𝑥 + 5) + ln(2𝑥 + 5)

𝑑

𝑑𝑥𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3 (

1

(2𝑥 + 5))𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5) + ln(2𝑥 + 5) 3𝑥3−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3 (

1

(2𝑥 + 5)) (2(1) + 0) + 3𝑥2 ln(2𝑥 + 5)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥3

2𝑥 + 5+ 3𝑥2 ln(2𝑥 + 5)

𝑎𝑥 = 𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 = 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝐼𝑛𝑥

=1

𝑥∙𝑑

𝑑𝑥𝑥

Página | 64

𝐲 = 𝐱𝟐 𝐥𝐧 𝐱

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 ln 𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑥 + ln 𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2 (

1

𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑥 + ln 𝑥 (2𝑥2−1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥(1) + ln 𝑥 (2𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝒙 + 𝟐𝒙 𝐥𝐧 𝒙

y= 𝐥𝐧 (𝟏+𝐥

𝟏−𝐥)

𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑙) − ln(1 − 𝑙)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(ln(1 + 𝑙) − ln(1 − 𝑙))

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

(1 + 𝑙)

𝑑

𝑑𝑥(1 + 𝑙) −

1

1 − 𝑙

𝑑

𝑑𝑥(1 − 𝑙)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

(1 + 𝑙)(0 + 1) −

1

1 − 𝑙(0 − 1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

(1 + 𝑙)−

−1

(1 − 𝑙)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝟏

(𝟏 + 𝒍)+

𝟏

(𝟏 − 𝒍)

Página | 65

𝒇(𝒙) =𝒍𝒏 𝒛

𝒛

𝑓(𝑥)

𝑑𝑧=1

𝑧ln 𝑧

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧=

𝑑

𝑑𝑧(1

𝑧ln 𝑧)

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧=1

𝑧

𝑑

𝑑𝑧ln 𝑧 + ln 𝑧

𝑑

𝑑𝑧

1

𝑧

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧=1

𝑧(1

𝑧)𝑑

𝑑𝑧𝑧 + ln 𝑧 (

𝑧𝑑𝑑𝑧1 − 1

𝑑𝑑𝑧𝑧

𝑧2)

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧=1

𝑧2(1) + ln 𝑧 (

𝑧(0) − 1(1)

𝑧2)

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧=

1

𝑧2− ln 𝑧

1

𝑧2

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧=𝟏 − 𝐥𝐧 𝒛

𝒛𝟐

𝐲 = 𝐥𝐧 √𝟏 + 𝐱𝟐

𝟏 − 𝐱𝟐

𝟒

𝑦 = ln (1 + 𝑥2

1 − 𝑥2)

14⁄

𝑦 =1

4ln (

1 + 𝑥2

1 − 𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(1

4ln (

1 + 𝑥2

1 − 𝑥2))

Página | 66

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

4(

1

(1 + 𝑥2

1 − 𝑥2)) ∗

𝑑

𝑑𝑥(1 + 𝑥2

1 − 𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

4(1 − 𝑥2

1 + 𝑥2)(

(1 − 𝑥2)𝑑𝑑𝑥(1 + 𝑥2) − (1 + 𝑥2)

𝑑𝑑𝑥(1 − 𝑥2)

(1 − 𝑥2)2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

4(1 − 𝑥2

1 + 𝑥2)((1 − 𝑥2)(0 + 2𝑥) − (1 + 𝑥2)(0 − 2𝑥)

(1 − 𝑥2)2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

4(1 + 𝑥2)(2𝑥(1 − 𝑥2) + 2𝑥(1 + 𝑥2)

(1 − 𝑥2))

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

4(1 + 𝑥2)(2𝑥 − 2𝑥3 + 2𝑥 + 2𝑥3

(1 − 𝑥2))

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

4(1 + 𝑥2)(

4𝑥

(1 − 𝑥2))

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝒙

(𝟏 + 𝒙𝟐)(𝟏 − 𝒙𝟐)

Página | 67

Aplicaciones de las Derivadas

𝐶 = 𝑓(𝑞) →𝑑𝑐

𝑑𝑞= 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑈 = 𝑓(𝑞) →𝑑𝑢

𝑑𝑞= 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

𝐼 = 𝑓(𝑝) →𝑑𝐼

𝑑𝑝= 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑁° 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Ĉ =

𝑐

𝑞→ Ĉ = Ĉ. 𝑞

1.-Si el costo promedio de un proceso es 𝟎,𝟓 𝒆√𝒒

𝒒 encuentre el costo marginal; q=100

Ĉ =0,5𝑒√𝑞

𝑞

Ĉ =0,5 𝑒√𝑞

𝑞𝑞

Ĉ = 0,5 𝑒√𝑞

𝑑𝑐

𝑑𝑞= 0,25𝑒√𝑞𝑞−

1

2

𝑑𝑐

𝑑𝑞= 0,25 𝑒√𝑞(100)−

1

2

= 550,66$

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

2.- Para una empresa, la producción diaria está dada por 𝒒 = 𝟓𝟎𝟎(𝟏 − 𝒆)−𝟎,𝟐𝒕 encontrar la

razón de cambio de la producción q con respecto en el 10mo día.

𝑞 = 500(1 − 𝑒−0,2𝑡)

𝑑𝑞

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡500(1 − 𝑒−0,2𝑡)

= 500 (𝑑

𝑑𝑡1 −

𝑑

𝑑𝑡𝑒−0,2𝑡)

Página | 68

= 500 [0 − 𝑒𝑑

𝑑𝑡(−0,2𝑡)]

= −500𝑒−0,2𝑡(−0,2)

= 100𝑒−0,2𝑡

T=10

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 100𝑒−0,2𝑡

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 100𝑒−0,2(10)

= 13,53𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑑í𝑎

La razón de cambio al 10mo día es de 13,53 unidades por día.

3.- Un fabricante determina que m= empleados, producirán un total de q=unidades de un

producto por día donde 𝒒 =𝟏𝒐𝒎𝟐

√𝒎𝟐+𝟏𝟗

Si la ecuación de demanda para el precio el producto es 𝒑 =𝟗𝟎𝟎

𝒒+𝟗 determine el

producto de ingreso marginal cuando m=9

𝑞 = 𝑓(𝑚)

𝑝 = 𝑓(𝑞)

𝐼 =900

𝑞 + 9

𝐼 =900

100𝑚2

√𝑚2+19

∙10𝑚2

√𝑚2+19

𝑑𝐼

𝑑𝑞=

𝑑

𝑑𝑞(900𝑞

𝑞+9)

= (900𝑞)(𝑞 + 9)−1

= (900𝑞)𝑑

𝑑𝑞(𝑞 + 9)−1 + (𝑞 + 9)−1

𝑑

𝑑𝑞(900𝑞)

= (900𝑞)(−1)(𝑞 + 9)−2 + (𝑞 + 9)−1(900)

Página | 69

=−900𝑞

(𝑞+9)2+

(900)

(𝑞+9)1

=−900𝑞+900𝑞+8100

(𝑞+9)2

=8100

(𝑞+9)2

Si m= 9

𝑞 =10(9)2

√(9)2+19

=810

10

= 81

𝑑𝐼

𝑑𝑞=

8100

[(81)+9]2

= 1

𝒅𝒒

𝒅𝒎=

𝒅

𝒅𝒎(

𝟏𝟎𝒎𝟐

√𝒎𝟐+𝟏𝟗)

=𝑑

𝑑𝑚(

10𝑚2

(𝑚2+19)12

)

= (𝑚2 + 10)1

2𝑑

𝑑𝑥(10𝑚2) − (10𝑚2)

𝑑

𝑑𝑥(𝑚2 + 10)

= (𝑚2 + 19)1

2(20𝑚) − (10𝑚2)1

2(𝑚2 + 10)−

1

2(2𝑚)

= (20𝑚)

= −10𝑚3(𝑚2 + 19)−3

2 + 20𝑚(𝑚2 + 19)−1

2

= −10(9)3[(9)2 + 19]−3

2 + 20(9)2 + 19]−1

2

= −7290 (1

1000) + 180(0,10)

= −7,29(18)

= 131,22

Página | 70

COSTO FIJO

Datos:

𝐼 = 𝑝. 𝑞

𝑞 =10𝑚2

√𝑚2 + 19

𝐼 =

900𝑚2√𝑚2 + 19

10𝑚2√𝑚2 + 19 + 9(𝑚2 + 19)

900𝑚2√𝑚2 + 19

10𝑚2√𝑚2 + 19 + 9𝑚2 + 171

=

= 10𝑚2√𝑚2 + 19 + 9𝑚2 + 171𝑑

𝑑𝑚(9000𝑚2√𝑚2 + 19) − 1000𝑚2√𝑚2 +

19𝑑

𝑑𝑚10𝑚2√𝑚2 + 19 + 9𝑚2 + 171

= (10𝑚2√𝑚2 + 19 + 9𝑚2 + 171)[ 9000𝑚2 𝑑

𝑑𝑚(𝑚2 + 19)

1

2 +

√𝑚2 + 19(18000𝑚)] − 1000𝑚2√𝑚2 + 19[10𝑚2 𝑑

𝑑𝑚(𝑚2 + 19)

1

2 + (𝑚2 +

19)1

2(20𝑚) + 18𝑚]

4.- Se estima que dentro de 𝑡 años la circulación de un periódico local será 𝒄(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝒕𝟐 +

𝟒𝟎𝟎𝒕 + 𝟓𝟎𝟎

a) Obtenga un expresión para calcular la variación de la circulación con respecto

al tiempo

𝒅𝒄

𝒅𝒕= 𝟐𝟎𝟎𝒕 + 𝟒𝟎𝟎(

𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒊𝒄𝒐𝒔

𝒂ñ𝒐𝒔)

b) A qué razón cambiara la circulación con respecto al tiempo dentro de 5 años,

disminuirá o aumentará la circulación en ese momento

𝒕 = 𝟓

𝑑𝑐

𝑑𝑡= 200(5) + 400

= 1400 (𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠

𝑎ñ𝑜𝑠)

Página | 71

Desde este momento se estima que habrá 1400 periódicos por año

𝒕 = 𝟒

𝑑𝑐

𝑑𝑡= 200(4) + 400

= 1200 (𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠

𝑎ñ𝑜𝑠)

Del año 4 al año 5 la circulación aumentará en 300 periódicos por año

c) Porcentualmente en el año 5 aumentó o disminuyó

1400

1200= 16,66%

Porcentualmente, en comparación con los 4 y 5 años aumento a razón del

16,66%

5.- Encontrar el costo marginal

�� =𝟕𝟎𝟎𝟎𝒆

𝒒𝟕𝟎𝟎

𝒒 ; 𝒒 = 𝟑𝟓𝟎

𝐶 =𝑐

𝑞

𝐶 = 𝐶. 𝑞

𝑪 = (𝟕𝟎𝟎𝟎𝒆

𝒒𝟕𝟎𝟎

𝒒)𝒒

𝐶 = 7000𝑒𝑞

700

𝑑𝑐

𝑑𝑞=

𝑑

𝑑𝑞700𝑒

𝑞

700

= 7000𝑑

𝑑𝑞𝑒

𝑞

700

= 7000. 𝑒𝑞

700𝑑

𝑑𝑞(𝑞

700)

= 7000𝑒𝑞

7001

700

𝑑𝑐

𝑑𝑞= 10𝑒

𝑞

700

Página | 72

Costo por unidad extra en la línea estándar por producción

𝑑𝑐

𝑑𝑞= 10𝑒

350

700

= 10𝑒1

2

= 16,49$


6.- Se estima que dentro de 𝑡 = 𝑎ñ𝑜𝑠 la población de cierta comunidad será

𝑷(𝒕) = 𝟐𝟎 −𝟔

𝒕 + 𝟏 𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒉𝒂𝒃𝒊𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

a) Deduzca una fórmula para calcular el cambio poblacional

𝑑𝑝(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(20 −

6

𝑡+1)

= 0 +6

(𝑡+1)2

𝑑𝑝(𝑡)

𝑑𝑡=

6

(𝑡+1)2(𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎ñ𝑜𝑠)

b) A qué razón crecerá la población dentro de 1 año

𝒕 = 𝟏

𝑑𝑝(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑃(𝑡) =

6

[(1)+1]2=

= 1,5 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎ñ𝑜𝑠)

A población aumentará a razón de 1,5 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎ñ𝑜𝑠)

c) ¿Cuánto crecerá la población durante el 2do año?

Página | 73

𝑝(𝑡) = 20 −6

𝑡+1

𝑝(1) = 200 −6

(2+1)=

= 200 −6

3=

= 18000 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

∆𝑃 = 18000 − 17000

∆𝑃 = 1000 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑝(𝑡) = 20 −6

(1+1)

= 20 −6

2=


d) ¿Qué le pasará a la tasa de crecimiento de población a largo plazo?

lim𝑃→∞

𝑃 = lim𝑝→∞

(20 −6

𝑡+1)

= lim𝑝→∞

20 − lim𝑝→∞

6

𝑡+1

= 20 −6

∞+1=

= 20 −6

∞=

= 20 − 0


7.- El gerente de una firma de electrodomésticos determino que cuando se fija el precio de

las licuadoras en

𝑫(𝒑)𝟖𝟎𝟎𝟎

𝒑→ 𝑫 = 𝒇(𝒑)

Además el gerente estima que dentro de 𝑡 meses el precio unitario de las

licuadoras será

Página | 74

𝒑(𝒕) = 𝟎. 𝟎𝟔𝒕𝟑𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟓 (

𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅)

a) Calcular la variación de la demanda, mensual de las licuadoras dentro de 25

meses, ¿en ese momento la demanda aumentará o disminuirá?

𝑃 = 𝑓(𝑡)

𝑑𝐷

𝑑𝑡=𝑑𝐷

𝑑𝑝∙𝑑𝑝

𝑑𝑡

𝑑𝐷

𝑑𝑝=

𝑑

𝑑𝑝(8000

𝑝)

= −8000

𝑝2

𝑑𝑝

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑝(0,06𝑡

3

2 + 22,5)

= 0,06 (−3

2) 𝑡

3

2

= 0,09𝑡1

2

𝑑𝐷

𝑑𝑡= (−

8000

𝑝2) (0,09𝑡

1

2)

𝒕 = 𝟐𝟓

𝑝(𝑡=25) = 0,06(25)3

2 + 22,50

= 30$


La demanda de licuadoras a los 25 meses tomados desde hoy día tiende a decrecer

o a disminuir, por eso se tiene una demanda de -4 𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑚𝑒𝑠

𝑑𝐷

𝑑𝑡= −

8000

(30)2[0,09(25)

1

2]

= −4 𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑚𝑒𝑠

Dejó de vender las 4 que existen

Página | 75

8.-Un biólogo modela el efecto de producir una teoría de una colonia de bacteria mediante la

función

𝒑(𝒕) =𝒕 + 𝟏

𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝟒 (𝒏°𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒔

𝒉𝒐𝒓𝒂)

Donde 𝑝 = 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 de la colonia (millones) 𝑡 = ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 después de que se

introduce la toxina

a) ¿Cuál es la variación de la población cuando se introduce la toxina?

𝑑𝑝

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡[(𝑡2+𝑡+4)

𝑑

𝑑𝑡(𝑡+1)−(𝑡+1)

𝑑

𝑑𝑡(𝑡2+𝑡+4)

(𝑡2+𝑡+4)2] =

= [(𝑡2+𝑡+4)(1)−(𝑡+1)(2𝑡+1)

(𝑡2+𝑡+4)2=

= [𝑡2−2𝑡+3

(𝑡2+𝑡+4)2] =

𝑑𝑝

𝑑𝑡(𝑡=0)=

[−(0)2−2(0)+3]

[(0)2+(0)+4)]2=

=3

16=

= 0,1875 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

= 187500 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

b) ¿La población crece o decrece en ese instante?

𝒑(𝒕) =𝒕 + 𝟏

𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝟒

𝒕 = 𝟎

=(2+1)

[(2)+(2)+4]=

=3

10

= 187500 (𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎)

9.- Los ingresos anuales brutos de cierta compañía fueron

𝑨(𝒕) = 𝟎, 𝟏𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝒕 + 𝟐𝟎

𝑡 = 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 2008

Página | 76

a) La forma en que crecieron los ingresos anuales brutos de la compañía

respecto 𝑡 en el año 2012

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 0,1𝑡210𝑡 + 20

= 0,2𝑡 + 10

𝒕 = 𝟒

𝑑𝐴

𝑑𝑡(𝑡=4)= 0,2(4) + 10

= 10,8

= 10800 ($

𝑎ñ𝑜)

El crecimiento es $200 por año

VARIACIÓN –CRECIMIENTO RAZÓN AÑO

t 1 2 3 4

A 10200 10400 10600 10800

Página | 77

Página | 78

DEBERES Y TRABAJO AUTONOMO

DEBER N 1

lim𝑋→1

𝑥2 − 1

𝑥2 − 3𝑥 + 2 =

(1)2 − 1

(1)2 − 3(1) + 2=0

0= 𝐈

=lim𝑋→1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

lim𝑋→1

(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

=lim𝑋→1

(𝑥 + 1)

lim𝑋→1

(𝑥 − 2)

=lim𝑋→1

𝑥 + lim𝑋→1

1

lim𝑋→1

𝑥 − lim𝑋→1

2

=1 + 1

1 − 2=

2

−1= −2

Página | 79

DEBER 2

1. limx→∞

(2x2−3x−4

√x4+1)

=2(∞)2 − 3(∞) − 4

√∞4 + 1=∞

∞= I

=2x2 − 3x − 4

√x4 + 1=

2x2

x2−3xx2−4x2

x2

x2+1x2

=2 −

3x−4x2

1 +1x2

limx→∞

(2 −

3x−4x2

1 +1x2

) =2 −

3x−4x2

1 +1x2

=2 −

3∞−

4∞2

1 +1∞2

=2 − 0 − 0

1 + 0=2

1= 2

Página | 80

DEBER 1 Derivadas

1.- 𝒚 = √𝟐𝒙 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥

12)

= 2 ∙1

2𝑥12−1

= 𝑥−1

2⁄

2.- 𝒚 = 𝟗

√𝒕

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑥(9 ∙ 𝑡

−12 )

= 9 ∙−1

2𝑡−1

2 −1

= −9

2𝑡−3

2

3.- 𝒚 = 𝟒 − 𝒙−𝟏,𝟐 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(4 − 𝑥−1,2)

= 𝑑

𝑑𝑥4 −

𝑑

𝑑𝑥𝑥−1,2

= 0 − (−1,2𝑥−1,2−1)

= 1,2𝑥−2,2

4.- 𝒚 = 𝟒

𝟑𝝅𝒓𝟑

𝑑𝑦

𝑑𝑟=

𝑑

𝑑𝑟(4

3𝜋𝑟3)

= 12

3𝜋𝑟3−1

=12

3𝜋𝑟2

= 4 𝜋𝑟2

a) 𝑦 = 2√𝑥34

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(2√𝑥3

4)

= 2 ∙ 𝑥4

3 = 6

4𝑥1

4

Página | 81

Deber N 2 Derivadas

En los problemas del 1 al 4, encuentre la razón de cambio de la función dada con respecto a x para

el valor dado de x

1.- 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟓; 𝒙 = 𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 − 3𝑥 + 5)

= (𝑑

𝑑𝑥𝑥3 − 3

𝑑

𝑑𝑥𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥5)

= 3𝑥2−3

𝒅𝒚

𝒅𝒙(𝒙=𝟐)= 𝟑(𝟐)𝟐 − 𝟑

= 𝟏𝟐 − 𝟑 = 𝟗

2.- 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟓𝒙; 𝒙 = 𝟒

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(√𝒙 + 𝟓𝒙)

=𝑑

𝑑𝑥(𝑥

12 + 5𝑥)

= (𝑑

𝑑𝑥𝑥12 + 5

𝑑

𝑑𝑥 𝑥)

=1

2𝑥−

12 + 5

𝒅𝒚

𝒅𝒙(𝒙=𝟒)=1

2 (4)

−12 + 5

𝒅𝒚

𝒅𝒙(𝒙=𝟒)=1

2 (4)

−12 + 5 = 5,25

3.- 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟐)(𝒙 + √𝒙); 𝒙 = 𝟒

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥(𝒙𝟑 + 𝒙

𝟓

𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝟏

𝟐)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = (

𝑑

𝑑𝑥𝒙𝟑 +

𝑑

𝑑𝑥𝒙𝟓

𝟐 + 𝟐𝑑

𝑑𝑥𝑥 + 2

𝑑

𝑑𝑥𝒙𝟏

𝟐)

Página | 82

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =3𝒙𝟐 +

𝟓𝒙𝟑𝟐

𝟐+ 𝟐 +

𝟏

𝒙𝟏𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥=4)= 3(4)2 +

5√(4)3

2+ 2 +

1

√4

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥=4)= 48 + 20 + 2 + 0,5

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥=4)= 70,5

𝟒.− 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟑)(𝟓 − 𝟐𝒙𝟑); 𝒙 = 𝟏

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥2 − 2𝑥5 + 15 − 6𝑥3)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (5

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 − 2

𝑑

𝑑𝑥𝑥5 +

𝑑

𝑑𝑥15 − 6

𝑑

𝑑𝑥𝑥3)

𝑑𝑦𝑑𝑥

= 10𝑥 − 10𝑥4 − 18𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥=1)= 10(1) − 10(1)4 − 18(1)2

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥=1)= −10 − 18 + 10 = −18

CIRCULACIÓN DE PERIÓDICOS

1) Se estima que dentro de t años, la circulación de un periódico local será = 𝟏𝟎𝟎𝒕 + 𝟒𝟎𝟎𝒕 +𝟓𝟎𝟎𝟎

a.- Obtenga una expresión para la razón a la cual la circulación cambiará con respecto al tiempo dentro de t años 𝑑𝑐

𝑑𝑡= 100

𝑑

𝑑𝑡𝑡2 + 400

𝑑

𝑑𝑡𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡5000

𝐶`(𝑡) = 200𝑡 + 400

b.- ¿A qué razón cambiará la circulación con respecto al tiempo dentro de 5 años? ¿Disminuirá o aumentará la circulación en ese momento?

Página | 83

𝐶`(5) = 200(5) + 400

𝐶`(5) = 1400 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑎ñ𝑜, 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟á 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

c.- ¿En cuánto cambiará en realidad la circulación durante el sexto año?

𝐶(5) =100(5)2 + 400(5) + 5000

𝐶(5) =9500

𝐶(6) = 100(6)2 + 400(6) + 5000

𝐶(6) = 11000

11000 − 9500 = 1500 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟á

VELOCIDAD DE UN OBJETO EN MOVIMIENTO

2) Un objeto se mueve a lo largo de una recta de manera que después de t minutos su

distancia desde el punto de partida es 𝑫 = 𝟏𝟎𝒕 +𝟓

𝒕+𝟏𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

a) ¿A qué velocidad se desplaza el objeto al final de 4 minutos?

𝑑(𝐷)

𝑑𝑡= 10

𝑑

𝑑𝑡𝑡 (

(𝑡+1)𝑑

𝑑𝑡(5)−(5)

𝑑

𝑑𝑡(𝑡+1)

(𝑡+1)2) Velocidad

𝑑(𝐷)

𝑑𝑡= 10 +

−5

(𝑡 + 1)2

𝑑(𝐷)

𝑑𝑡= 10 −

5

(𝑡 + 1)2

𝐷´(4) = 10 −5

(4 + 1)2

𝐷´(4) = 10 −5

25= 9,8

𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

b) ¿Cuánto se desplaza realmente el objeto durante el quinto minuto?

Página | 84

𝑑(4) = 10(4) +5

4+1

𝑑(4) = 40 + 1 = 41 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑑(5) = 10(5) +5

5+1

𝑑 (5) = 50 +5

6= 50,83

50,83 – 41 = 9,83 metros se desplaza en el minuto 5

POLUCIÓN DEL AIRE

3) Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana señala que dentro de t años el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire sería

𝑸(𝒕) = 𝟎, 𝟎𝟏𝒕𝟐 + 𝟎, 𝟏𝒕 + 𝟑, 𝟒 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒍𝒍ó𝒏

a) ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono, con respecto al tiempo, dentro de 1 año?

𝑄´(𝑡) = 0,02𝑡 + 0,1 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑙𝑙ó𝑛

𝑎ñ𝑜

𝑄´(1) = 0,02(1) + 0,1

𝑄(1) = 0,02 + 0,1 = 0,12 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑚𝑖𝑙𝑙ó𝑛

𝑎ñ𝑜

b) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono este año?

𝑄(𝑡) = 0,01𝑡2 + 0,1𝑡 + 3,4 Partes por millón

𝑄(0) = 3,4

𝑄(1) =0,01+0,1+3,4

𝑄(1) =3,51

3,51 – 3,4 = 0,11 partes por millón

Interpretación: Cambiará en 0,11 partes por millón

c) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono durante los próximos 2 años?

𝑄(2) = 0,01(2)2 + 0,1(2) + 3,4

𝑄(2) = 3,64

Página | 85

3,64 – 3,4 = 0,24

Interpretación: Cambiará en 0,24 partes por millón

CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN

4) Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad suburbana será 𝑷(𝒕) =𝟔

(𝒕+𝟏)𝟐 miles

a) Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de t años.

𝑑𝑃

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡20 − [

(𝒕 + 𝟏)𝑑𝑑𝑡(6) − (6)

𝑑𝑑𝑡(𝒕 + 𝟏)

(𝒕 + 𝟏)𝟐]

= 0 − [0−6

(𝒕+𝟏)𝟐] =

6

(𝒕+𝟏)𝟐

b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año?

𝑃(𝑡) =6

(𝑡+1)2 miles de personas/año

𝑃(1) =6

((1)+1)2

𝑃(1) =6

4= 1500 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜

c) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el segundo año?

𝑃(1) = 20 −6

(1) + 1

𝑃(1) = 20 − 3 = 17 𝑚𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

𝑃(2) = 20 −6

(2) + 1

𝑃(1) = 20 − 2 = 18 𝑚𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

18000 – 17000 = 1000 personas

d) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 9 años?

Página | 86

𝑃(9) =6

((9)+1)2

𝑃(9) =6

100= 0,06 = 60

𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

𝑎ñ𝑜

e) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo plazo?

lim P´(t)𝑡→∞

= 𝑙𝑖𝑚 𝑡→∞

[6

(𝑡 + 1)2]

= 6

(∞ + 1)2

= 6

∞= 0

La razón de cambio de la población será de 0 a largo plazo

COSTO DE FABRICACIÓN

5) Suponga que el costo total de fabricación C en determinada fábrica es una función de la cantidad q de unidades producidas, que a su vez es una función de la cantidad t de horas durante la cual la fábrica ha estado operando

a) ¿Qué cantidad representa la derivada 𝑑𝐶

𝑑𝑞? ¿En qué unidades se mide esta cantidad?

𝐶(𝑞) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠

𝑄(𝑡) = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑑𝐶

𝑑𝑞 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛

$


b) ¿Qué cantidad representa la derivada 𝑑𝑞

𝑑𝑡? ¿En qué unidades se mide esta cantidad?

𝑑

𝑑𝑡 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓á𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 ℎ𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜

Operando, se mide en unidades/hora

c) ¿Qué cantidad representa el producto 𝑑𝐶

𝑑𝑞 𝑑𝑞

𝑑𝑡? ¿En qué unidades se mide esta cantidad?

𝑑𝐶

𝑑𝑞

𝑑

𝑑𝑡=

𝑑𝐶

𝑑𝑡 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓á𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 ℎ𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛

$

ℎ𝑜𝑟𝑎

Página | 87

CIRCULACIÓN DE PERIÓDICOS

6) Se proyecta que dentro de t años la circulación de un periódico local será 𝑪(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝒕𝟐 +𝟒𝟎𝟎𝒕+5000. Calcule la cantidad en la que aumentará la circulación durante los próximos 6 meses. (Ayuda: el valor actual de la variables es t=0)

𝐶(𝑡) = 200𝑡 + 400

𝐶(0) = 400

𝐶 (1

2) = 200(

1

2) + 400

𝐶 (1

2) = 500

500 – 400 = 100 unidades de periódicos

POLUCIÓN DEL AIRE

7) Un estudio ambiental de cierta comunidad revela que dentro de t años el nivel medio de

monóxido de carbono en el aire será 𝑸(𝒕) = 𝟎, 𝟎𝟓𝒕𝟐 + 𝟎, 𝟏𝒕 + 𝟑, 𝟒 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒍𝒍ó𝒏. ¿Aproximadamente en cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono durante los próximos 6 meses?

𝑄(𝑡) = 0,1𝑡 + 0,1

𝑄(0) = 0,1

𝑄 (1

2) = 0,1 (

1

2) + 0,1

𝑄 (1

2) =0,15 partes por millón

EFICIENCIA

8) Un estudio de productividad del turno matinal de cierta fábrica indica que un trabajador

medio que llega al trabajo a las 08:00 a.m. habrá ensamblado 𝒇`(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 +𝟏𝟓𝒙 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒎á𝒔 𝒕𝒂𝒓𝒅𝒆. ¿Aproximadamente cuántos radios ensamblará el trabajador entre las 09:00 y las 09:15 a.m.?

𝑓`(1) = −(1)3 + 6(1) + 15(1)

𝑓`(1) = −1 + 6 + 15 = 20𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎

𝑓`(1,25) = −(1,25)3 + 6(1,25) + 15(1,25)

Página | 88

𝑓`(1,25) = 24,29𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎

24 – 20 = 4 radios aproximadamente

ANÁLISIS MARGINAL

9) Suponga que el costo total en dólares de fabricar q unidades es

𝑪(𝒒) = 𝟑𝒒𝟐 + 𝒒+ 𝟓𝟎𝟎

a) Emplee el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la unidad número 41

𝐶`(𝑞) = 6𝑞 + 1

𝐶`(41) = 6(41) + 1

𝐶`(41) = 247$


b) Calcule el costo real de la fabricación de la unidad número 41

𝐶`(41) = 3(41)2 + (41) + 500

𝐶`(41) = 5584 $

𝐶(40) = 3(40)2 + (40) + 500

𝐶(40) = 5340$

5584 – 5340 = 244 $

IMPUESTOS SOBRE LA PROPIEDAD

10) Los registros indican que x años después de 1988, el impuesto medio sobre la propiedad de una casa de 3 habitaciones en cierta comunidad en

𝑻(𝒙) = 𝟔𝟎𝒙·𝟑

𝟐 +𝟒𝟎𝒙

𝟏𝟐𝟎𝟎𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔. Calcule el porcentaje en el cual se incrementó el impuesto sobre

la propiedad durante la primera mitad de 1992.

𝑇`(𝑥) = 90𝑥12 + 40

$

𝑎ñ𝑜

𝑇`(4,5) = 90√4,5 + 40

Página | 89

𝑇`(4,5) = 230,918 $

𝑎ñ𝑜

𝑇`(4) = 90√4 + 40

𝑇`(4) = 220$

𝑎ñ𝑜

230,918

220= 1.0496 → 4,96% 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó

Página | 90

CORRECCIÓN DE LAS PRUEBAS

PRUEBA DE DIAGNOSTICO 1.- Resolver y Graficar

4𝑥 + 3𝑦 = 13

3x + 2y = 7

Resolución:

Se reemplaza 0 en X y en Y respectivamente

En 1.- 4𝑥 + 3𝑦 = 13

Cuando X = 0 Cuando Y = 0

* 4(0) + 3𝑦 = 13 4𝑥 + 3(0) = 13

3𝑦 = 13 4𝑥 = 13

3

3𝑦 =

13

3

4

4𝑥 =

13

4

𝒚 = 𝟒, 𝟑𝟑 𝒙 = 𝟑, 𝟐𝟓

En 2.- 3𝑥 + 2𝑦 = 7

Cuando X = 0 Cuando Y = 0

* 3(0) + 2𝑦 = 7 3𝑥 + 2(0) = 7

2𝑦 = 7 3𝑥 = 7

2

2𝑦 =

7

2

3

3𝑥 =

7

3

𝒚 = 𝟑, 𝟓 𝒙 = 𝟐, 𝟑𝟑

Se despeja las variables “X” y “Y” respectivamente.

Encontramos el valor de la variable Y

4x + 3y = 13 (3)

3x + 2y = 7 (3)

12x + 9y = 39

−12x − 8y = −28 y = 11

Reemplazamos la variable Y

en 4x + 3y = 13 por y = 11

4𝑥 + 3(11) = 13

4𝑥 = −33 + 13

𝑥 = −20

4

𝑥 = −5

Página | 91

Gráfico:

2.- Encontrar el intervalo para x |𝑥 − 1| ≤ 3

|𝑥 − 1| ≤ 3

𝑥 + 1 ≤ 3

𝑥 ≤ 3 − 1

𝑥 ≤ 2

3.- En 5 líneas exponga lo más positivo que realizo en sus vacaciones

Lo más positivo que pude realizar durante las vacaciones fue sin lugar a dudas poder mejorar

la relación con mi hermano menor, por alguna razón siempre vivimos en conflicto pero

durante las últimas vacaciones se produjo un cambio que ninguno puede explicar y

simplemente nos pasamos más tiempo como hermanos de lo que normalmente pasamos, y al

final fueron unas buenas vacaciones.

Página | 92

TEMA: Corrección prueba sobre Límites Nombre: Alex Sangoquiza

Curso: CA2-1

Fila A

1.- Encontrar el valor del limx→∞

(√x2 + x − √x + 7)

limx→∞

(√x2 + x − √x + 7)

limx→∞

(√x2 + x − √x + 7)

= (√(∞)2 + (∞) − √(∞) + 7)

= ∞−∞ = 𝐈

(√x2 + x − √x + 7) ∗(√x2 + x + √x + 7)

(√x2 + x + √x + 7)

=(x2 + x) − (x + 7)

(√x2 + x + √x + 7)=

x2 + x − x − 7

(√x2 + x + √x + 7)

=x2 − 7

(√x2 + x + √x + 7)=

x2

x2−7x2

(√x2

x4+xx4+√

xx4+7x4)

= 1 −

7x2

(√1x2+1x3+√

1x3+7x4)

limx→∞

1 −7x2

(√1x2+1x3+√

1x3+7x4)

=limx→∞

1 −7x2

limx→∞

(√1x2+1x3+√

1x3+7x4)

=1 −

7∞2

(√1∞2 +

1∞3 +√

1∞3 +

7∞4)

=1 − 0

0= ∞

𝐥𝐢𝐦𝐱→∞

(√𝐱𝟐 + 𝐱 − √𝐱 + 𝟕) = ∞

2.- Encontrar el valor de limx→∞

(x2−5x

x+1−3x

2)

Página | 93

limx→∞

(x2 − 5x

x + 1−3x

2)

lim x→∞

(x2 − 5x

x + 1−3x

2)

= ((∞)2 − 5(∞)

(∞) + 1−3(∞)

2) =

∞

∞= I

(x2 − 5x

x + 1−3x

2) = (

(x2 − 5x)(2) − (x + 1)(3x)

(x + 1)(2))

=2x2 − 10x − 3x2 − 3x

2(x + 1)= (

−x2 − 13x

2(x + 1))

=[x(−x − 13)]

[2(x + 1)]=

xx (−

xx −

13x )

2x (xx +

1x)

=1(−1 −

13x )

2x (1 +

1x)

lim x→∞

[1 (−1 −

13x )

2x (1 +

1x)

] = [lim x→∞

[1 (−1 −13x )]

lim x→∞

[2x (1 +

1x)]

]

= [1 (−1 −

13(∞)

)

2(∞)

(1 +1(∞)

)] =

1(−1 − 0)

1=−1

1= −1

limx→∞

(x2 − 5x

x + 1−3x

2) = −1


Página | 94

3.- Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (en minutos) que se tarda en

realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los

deportistas (x en días) es:

T(x)=|

300

x+30 0 < 𝑥 < 30

1125

(x−5)(x−15)+ 2 x > 30

|

A.) LA FUNCIÓN DE T ES CONTINUA EN TODO SU DOMINIO?

Si la función de T es continua en todo su dominio porque no existe ningún salto en 30 ni en

ninguno de sus puntos

Página | 95

B) POR MUCHO QUE SE ENTRENE UN DEPORTISTA, ¿SERÁ CAPAZ DE

HACER LA PRUEBA EN MENOS DE UN MINUTO?

El deportista no puede realizar la prueba en menos de un minuto

T(x) =300

x+30= 5

C.) ¿SERÁ CAPAZ DE HACER LA PRUEBA EN MENOS DE 2 MINUTOS?

No se puede realizar la prueba en menos de 2 minutos ya que con el pasar del tiempo lo

más rápido que puede realizar la prueba es 2 minutos exactos no menos de eso.

limx→∞

1125

(x − 5)(x − 15)+ 2 =

1125

((∞) − 5)((∞) − 15)+ 2 =

0

∞+ 2 = 2

4.- El grupo de estudio de una empresa ha comprobado que la pérdida o ganancia de esta se

ajustan a la función.

y =2x − 4

x + 2

Donde x son los años de vida de la empresa (x > 0),y vive expresada en cientos de dólares.

A.- REPRESENTE LA FUNCIÓN.

Página | 96

B.- ¿EN QUÉ AÑO DEJA DE TENER PÉRDIDAS?

La empresa de tener pérdidas a partir del segundo año de inicio de sus actividades

C.- ¿ESTÁN LIMITADOS SUS BENEFICIOS? SI LO ESTÁN ¿CUÁL ES SU

LÍMITE?

limx→∞

2x − 4

x + 2= 2x − 4

x + 2 =

2(∞) − 4

(∞) + 2= ∞

∞= I

limx→3

(

2xx −

4x

xx +

2x

)

= 2 −

4x

1 +2x

= 2 −

4(∞)

1 +2(∞)

= 2

Sus beneficios si están limitados en 200 dólares

Página | 97

FILA B

1. Encontrar el valor del limx→0

(x2−5x+2

x2+2x−x3+2x+1

x3+x)

limx→0

(x2 − 5x + 2

x2 + 2x−x3 + 2x + 1

x3 + x) =(

(0)2 − 5(0) + 2

02 + 2(0)−(0)3 + 2(0) + 1

(0)3 + (0))

= (2

0−1

0) = ∞ −∞ = I

limx→0

(x2 − 5x + 2

x2 + 2x−x3 + 2x + 1

x3 + x)

=limx→0

(x2−5x+2

x2+2x) − lim

x→0(x3+2x+1

x3+x)

=𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎

(𝐱𝟐−𝟓𝐱+𝟐)

𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎

(𝐱𝟐+𝟐𝐱)−𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝟎

(𝐱𝟑+𝟐𝐱+𝟏)

𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝟎

(𝐱𝟑+𝐱)

=(𝐱𝟐−𝟓𝐱+𝟐

𝐱𝟐+𝟐𝐱−𝐱𝟑+𝟐𝐱+𝟏

𝐱𝟑+𝐱) = (

𝐱𝟐−𝟓𝐱+𝟐(𝐱𝟑+𝐱)−𝐱𝟑+𝟐𝐱+𝟏(𝐱𝟐+𝟐𝐱)

(𝐱𝟐+𝟐𝐱)(𝐱𝟑+𝐱))

=𝐱𝟓 + 𝐱𝟒 − 𝟓𝐱𝟒 − 𝟓𝐱𝟐 + 𝟐𝐱𝟑 + 𝟐𝐱 − 𝐱𝟓 − 𝟐𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐+𝐱𝟐 + 𝟐𝐱

𝐱𝟓 + 𝐱𝟑 + 𝟐𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝟐

=−𝟔𝐱𝟒 + 𝟒𝐱𝟑 + 𝟒𝐱

𝐱𝟓 + 𝐱𝟑 + 𝟐𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝟐=

−𝟔(𝟎)𝟒 + 𝟒(𝟎)𝟑 + 𝟒(𝟎)

(𝟎)𝟓 + (𝟎)𝟒 + (𝟎)𝟑 + 𝟐(𝟎)𝟐=𝟎

𝟎= 𝐈

2. El grupo de estudio de una empresa ha comprobado que la pérdida o ganancia

de esta se ajustan a la función.

y =2x − 4

x + 2

Donde x son los años de vida de la empresa (x > 0),y vive expresada en cientos de dólares.

A.- REPRESENTE LA FUNCIÓN.

Página | 98

B.- ¿EN QUÉ AÑO DEJA DE TENER PÉRDIDAS?

La empresa de tener pérdidas a partir del segundo año de inicio de sus actividades

C.- ¿ESTÁN LIMITADOS SUS BENEFICIOS? SI LO ESTÁN ¿CUÁL ES SU

LÍMITE?

limx→∞

2x − 4

x + 2= 2x − 4

x + 2 =

2(∞) − 4

(∞) + 2= ∞

∞= I

limx→3

(

2xx −

4x

xx +

2x

) = 2 −

4x

1 +2x

= 2 −

4(∞)

1 +2(∞)

= 2

Sus beneficios si están limitados en 200 dólares

3. - Encontrar el valor del limx→∞

(√x2 + x − √x + 7)

limx→∞

(√x2 + x − √x + 7) = (√(∞)2 + (∞) − √(∞) + 7) = ∞ −∞ = I

Página | 99

(√x2 + x − √x + 7) ∗(√x2 + x + √x + 7)

(√x2 + x + √x + 7)=(x2 + x) − (x + 7)

(√x2 + x +√x + 7)

=x2 + x − x − 7

(√x2 + x + √x + 7)=

x2 − 7

(√x2 + x + √x + 7)=

x2

x2−7x2

(√x2

x4+xx4+√

xx4+7x4)

=1 −

7x2

(√1x2+1x3+√

1x3+7x4)

limx→∞

1 −7x2

(√1x2+1x3+√

1x3+7x4)

=limx→∞

1 −7x2

limx→∞

(√1x2+1x3+√

1x3+7x4)

=1 −

7∞2

(√1∞2 +

1∞3 +√

1∞3 +

7∞4)

=1 − 0

0= ∞

limx→∞

(√x2 + x − √x + 7) = ∞

4. Un planificador urbano modela la población P(t)(en miles) de su comunidad en t años

a partir de ahora, mediante la función:

P(t) =40𝑡

𝑡2+10−

50

𝑡+1+ 70

a) ¿CUÁL ES LA POBLACIÓN ACTUAL DE LA COMUNIDAD?

Página | 100

𝑝(𝑡) =40𝑡

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70

= lim𝑡→0

(40𝑡

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70)

=(40(0)

02 + 10−

50

0 + 1+ 70)

= (0

10−50

1+ 70)

= 20

La población actual es de veinte mil habitantes.

B) ¿CUÁNTO CAMBIA LA POBLACIÓN DURANTE EL TERCER AÑO? LA

POBLACIÓN AUMENTARÁ O DISMINUIRÁ DURANTE ESTE PERIODO?

𝑝(𝑡) =40𝑡

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70

= lim𝑡→3

(40𝑡

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70)

=(40(3)

32 + 10−

50

3 + 1+ 70)

= (120

19−50

4+ 70)

= 63,815

Aumentará la población en 43815 habitantes

C) ¿QUÉ POBLACIÓN DEBE CONSIDERARSE A LARGO PLAZO?

𝑝(𝑡) =40𝑡

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70

= lim𝑡→∞

(40𝑡

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70)

=(40(𝑡)/𝑡^2

𝑡2 + 10−

50

𝑡 + 1+ 70)

=(

40(𝑡)𝑡2

𝑡2

𝑡2+10𝑡2

−

50𝑡2

𝑡𝑡2+1𝑡2

+ 70)

Página | 101

=(40/𝑡

1 + 10/𝑡2−

50/𝑡2

1𝑡 + 1/𝑡

2+ 70)

= (0

0−0

0+ 70)

= 70

A largo plazo la población será de setenta mil habitantes.

Página | 102



CONTABILIDAD Y AUDITORIA

Nombre: Alex Sangoquiza

Curso: CA 2-1

Corrección Prueba sobre Derivadas Fila A

1. Si 𝒚 = √(𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐𝟑

el valor de 𝒅𝒚

𝒅𝒙 cuando 𝒙 = −𝟐 es:

𝑦 = (4𝑥2 + 3𝑥 − 2)23

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(4𝑥2 + 3𝑥 − 2)

23𝑑

𝑑𝑥(4𝑥2 + 3𝑥 − 2)

=2

3(4𝑥2 + 3𝑥 − 2)−

13(8𝑥 + 3 − 0)

=2(8𝑥 + 3)

3√4𝑥2 + 3𝑥 − 23

𝑑𝑦

𝑑(−2)=

2[8(−2) + 3]

3√4(−2)2 + 3(−2) − 23

=2(−13)

√83

= −26

3(2)

= −𝟏𝟑

𝟑

2. La ecuación de la recta tangente a la función 𝒚 =𝒙+𝟏

𝒙𝟐(𝒙−𝟒) en el punto

(𝟐; − 𝟑

𝟖)es (grafique):

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(

𝑥 + 1

𝑥2(𝑥 − 4))

Página | 103

= (

𝑑𝑑𝑥(𝑥 + 1)

𝑑𝑑𝑥𝑥2(𝑥 − 4)

𝑑𝑑𝑥(𝑥 − 4)

)

= (1

2𝑥(1)(𝑥 − 4))

= (1

[2𝑥(𝑥 − 4)])

𝑚 =1

[2(1)(1 − 4)]

𝑚 =1

[2(−3)]= −

1

6

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − (−3

8) = −

1

6 [𝑥 − (−2)]

𝑦 +3

8= −

1

6 𝑥 −

2

6

𝑦 = −1

6 𝑥 −

2

6−3

8

𝑦 = −1

6 𝑥 −

2

6−3

8

𝑦 = −1

6 𝑥 −

17

24

3. Encuentre la 1 a, derivada para 𝑥 = −1, de: 𝑦 = (2𝑥3 − 8𝑥)−12

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(2𝑥3 − 8𝑥)−12

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −12(2𝑥3 − 8𝑥)−13

𝑑

𝑑𝑥 (2𝑥3 − 8𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −12(2𝑥3 − 8𝑥)−13(6𝑥2 − 8)

𝑑𝑦

𝑑(𝑥 = 2)= −12[2(1)3 − 8(1)]−13[6(1) − 8]

𝑑𝑦

𝑑(𝑥=2)= −12(−6)−13(−2) = 24(−6)−13

Página | 104

= 24/(−6)13

4. 𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟒)𝟐(𝟑𝒙 + 𝟓)

PRIMER MÉTODO

𝑦 = (𝑥4 − 16)(3𝑥 + 5) =

𝑦 = 3𝑥5 + 5𝑥4 − 48𝑥 − 80

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥5 + 5𝑥4 − 48𝑥 − 80)=

=𝑑

𝑑𝑥3𝑥5 +

𝑑

𝑑𝑥5𝑥4 −

𝑑

𝑑𝑥48𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥80 =

= 3𝑑

𝑑𝑥𝑥5 + 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥4 − 48

𝑑

𝑑𝑥𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥80 =

= 15𝑥4 + 20𝑥3 − 48

SEGUNDO MÉTODO

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥[(𝑥2 − 4)2(3𝑥 + 5)] =

= (𝑥2 − 4)2𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 + 5) + (3𝑥 + 5)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 4)2 =

= (𝑥2 − 4)2(3) + 2(3𝑥 + 5)(𝑥2 − 4)𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 4)=

= 3(𝑥4 − 16) + 2(3𝑥 + 5)(𝑥2 − 4)(2𝑥) =

= (3𝑥4 − 48) + 4𝑥(3𝑥3 − 12𝑥 + 5𝑥2 − 20) =

= (3𝑥4 − 48) + (12𝑥4 − 48𝑥2 + 20𝑥3 − 80𝑥)=

= 3𝑥4 − 48 + 12𝑥4 − 48𝑥2 + 20𝑥3 − 80𝑥=

= 15𝑥4 − 48𝑥2 + 20𝑥3 − 80𝑥 − 48

FILA B

5. La 1 a, derivada de 𝑦 = √𝑥2−1

𝑥2+1, cuando x=2, es

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 1

𝑥2 + 1)

1/2

6. La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 3√𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,3), 𝑒𝑠 grafique

Página | 105

𝑦 = 3√𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥3𝑥

12

=3

2𝑥−

12

𝑚 =3

2(1)−

12

𝑚 =3

2

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 =3

2(𝑥 − 1)

𝑦 =3

2𝑥 −

3

2+ 3

𝑦 =3

2𝑥 +

3

2

3.- La 1ra derivada de 𝑦 = (2𝑥3 − 8𝑥)−12 para cuando x=1 es:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(2𝑥3 − 8𝑥)−12

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −12(2𝑥3 − 8𝑥)−13

𝑑

𝑑𝑥 (2𝑥3 − 8𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −12(2𝑥3 − 8𝑥)−13(6𝑥2 − 8)

𝑑𝑦

𝑑(𝑥 = 2)= −12[2(1)3 − 8(1)]−13[6(1) − 8]

𝑑𝑦

𝑑(𝑥 = 2)= −12(−6)−13(−2) = 24(−6)−13 =

24/(−6)13

Página | 106

4.- Si 𝑦 = (𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6)(𝑥 + 4), encontrar la 1a derivada y comprobar con otro

método

PRIMER MÉTODO

𝑦 = (𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6)(𝑥 + 4)

𝑦 = (𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥2 + 12𝑥 + 2𝑥2 + 8𝑥 + 6𝑥 + 24)

𝑦 = (𝑥3 + 9𝑥2 + 26𝑥 + 24) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥3 + 9𝑥2 + 26𝑥 + 24)=

=𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑥3 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥9𝑥2 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥26𝑥 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥24 =

= 3𝑥2 + 18𝑥 + 26(1) + 0=

= 3𝑥2 + 18𝑥 + 26

SEGUNDO MÉTODO

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥[(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)]

= (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 4) + (𝑥 + 2)(𝑥 + 4)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 3) + (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 2)

= (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(1 + 0) + (𝑥 + 2)(𝑥 + 4)(1 + 0) + (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)(1 + 0) =

= (𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6)(1) + (𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥 + 8)(1) + (𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑥 + 12)(1) =

= (𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6) + (𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥 + 8) + (𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑥 + 12) =

= 3𝑥2 + 18𝑥 + 26

Página | 107

Página | 108

Exposiciones Grupo 1

Página | 109

LÍMITES

DEFINICIÓN DE LÍMITE:

a) Es un punto hasta el cual se puede llegar.

b) Es una restricción, una frontera a llegar, pero, que no se alcanza a llegar.

c) Es cuando se tiende a llegar a un valor determinado

FORMA DEL LÍMITE:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒏

𝒇(𝒙) = 𝟏

Límite de f(x) cuando X tiende a un valor constante es igual a un valor dado.

EJERCICIO Nº 1

Cierta función de costos se define c(x) = [4x2−100

x−5] en donde x es el numero de artículos

producidos (en cientos) y c es el costo de producción ( en miles de dólares)

a) Encontrar e interpretar cuando𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟓

𝒄(𝒙)

𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟓

𝒄(𝒙) = 𝟒𝟎

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 5

[4𝑥2 − 100

𝑥 − 5] =

100 − 100

5 − 5=0

0= 𝐼

[4𝑥2 − 100

𝑥 − 5] = [

(2𝑥)2 − 102

𝑥 − 5] = [

(2𝑥 − 10)(2𝑥 + 10)

𝑥 − 5] = [

2(𝑥 − 5)(2𝑥 + 10)

𝑥 − 5]

= 2(2𝑥 + 10)

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 5

2(2𝑥 + 10) = 2[2(5) + 10] = 2(20) = 40

Página | 110

EJERCICIO Nº 2

El costo (en dólares) de eliminar x % de la contaminación del agua en cierto riachuelo está

dado por:

𝒄(𝒙) =𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙

𝟏𝟎𝟎 − 𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟎𝟎

a) Hallar el costo de eliminar la mitad de la contaminación

𝑐(𝑥) =75000(50)

100 − 50= 75000(𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)

Por lo tanto el costo de eliminar el 50% de la contaminación es de $75000

b) ¿Qué porcentaje de la contaminación puede eliminarse con $20000?

Con 20000 se puede eliminar el 21.05% de la contaminación

20000 =75000𝑥

100 − 𝑥= 20000(100 − 𝑥) = 75000𝑥

2000000 − 20000𝑥 = 75000𝑥

2000000 = 75000 + 20000𝑥

2000000

95000= 𝑥

21,05 = 𝑥

Página | 111

EJERCICIO Nº 3

Un director de una empresa determina que el costo total de producir x unidades de un

producto dado se puede modelar por función:

𝐶(𝑥) = 7.5𝑥 + 120000 (𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠).

El costo promedio es 𝑨(𝒙) =𝑪(𝒙)

𝒙. Encuentre 𝒍𝒊𝒎

𝒙→∞𝑨(𝒙) e interprete su

resultado.

𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒆 $𝟕. 𝟓𝟎

(𝑥) =𝐶(𝑥)

𝑥

𝐴(𝑥) =7.5𝑥 + 120000

𝑥

𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒.

lim𝑥→∞

=7.5𝑥 + 120000

𝑥

lim𝑥→∞

=7.5 lim

𝑥→∞𝑥 + lim

𝑥→∞120000

lim𝑥→∞

𝑥

lim𝑥→∞

=7.5(∞) + 120000

∞

lim𝑥→∞

=∞

∞

lim𝑥→∞

= 𝐼

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐴𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎.

7.5𝑥 + 120000

𝑥

7.5𝑥𝑥 +

120000𝑥

𝑥𝑥

7.5 +120000

𝑥

lim𝑥→∞

= 7.5 +120000

𝑥

lim𝑥→∞

= lim𝑥→∞

7.5 + lim𝑥→∞

120000

𝑥

lim𝑥→∞

= 7.5 +120000

∞

lim𝑥→∞

= 7.5 + 0

lim𝑥→∞

= 7.5

Página | 112

DERIVADAS

DEFINICIÓN DE DERIVADAS:

a) Es la razón de cambio de una variable respecto a otra

INTERPRETACIÓN: La derivada es la pendiente a la recta tangente en un punto dado de

una curva.

EJERCICIO Nº 1

En un día desapacible, la temperatura Ten grados centígrados varía con el

tiempo t en horas según la función:

𝑻(𝒕) = 𝒕𝟐 − 𝟗𝒕 + 𝟖

¿Cuál es la temperatura a las dos de la mañana?

La temperatura a las dos de la mañana será de −𝟔° 𝑪𝑬𝑵𝑻𝑰𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶𝑺

a) ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora?

A las 4,5 horas se alcanzó una temperatura mínima de −𝟏𝟐, 𝟐𝟓° 𝑪𝑬𝑵𝑻𝑰𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶𝑺

b) ¿A qué hora hubo 0 grados?

Hubo 0 grados centígrados a la 1 y también a las 8 horas.

𝑇(2) = 𝑡2 − 9𝑡 + 8 𝑇(2) = (2)2 − 9(2) + 8

𝑇(2) = 4 − 18 + 8 𝑻(𝟐) = −𝟔° 𝑪𝑬𝑵𝑻𝑰𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶𝑺

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑡2 − 9𝑡 + 8)

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 2𝑡 − 9

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 2𝑡 − 9 = 0

2𝑡 − 9 = 0 2𝑡 = 9

𝑡 =9

2

𝑡 = 4,5ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑇(4,5) = 𝑡2 − 9𝑡 + 8 𝑇(4,5) = (4,5)2 − 9(4,5) + 8

𝑇(4,5) = 20,25 − 40,5 + 8 𝑻(𝟒, 𝟓) = −𝟏𝟐, 𝟐𝟓° 𝑪𝑬𝑵𝑻𝑰𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶𝑺

𝑇(𝑡) = 𝑡2 − 9𝑡 + 8 = 0

𝑡2 − 9𝑡 + 8 = (𝑡 − 8)(𝑡 − 1)

𝑡2 − 9𝑡 + 𝑡1 = 8

𝑡2 − 9𝑡 + 𝑡2 = 1

Página | 113

EJERCICIO Nº 2

Un ornitólogo determina que, aproximadamente en un periodo de 17 horas, la

temperatura corporal de cierta especie de aves fluctúa de acuerdo con la formula

cúbica

T(𝒕) = −𝟔𝟖, 𝟎𝟕𝒕𝟑 + 𝟑𝟎, 𝟗𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟐, 𝟓𝟐𝒕 + 𝟑𝟕, 𝟏

Para 0 ≤ t ≤ 0,713, donde T es la temperatura en °C medida t días desde el inicio de un

periodo.

a) Calcule e interprete la derivada de T`(t).

b) ¿A qué razón cambia la temperatura al inicio del periodo y al final del periodo?

¿Aumenta o disminuye la temperatura en cada uno de estos instantes?

Al inicio del periodo la temperatura es de 12,52 ℃, es creciente. Al final del periodo la

temperatura es de −𝟒𝟕, 𝟏𝟐℃, es decreciente.

c) ¿En qué instante no cambia la temperatura (ni aumenta ni disminuye)?

dT(x)

dt=

d

dt(−68,07t3 + 30,98t2 + 12,52t + 37,1)

= d

dt (−68,07t3) +

d

dt 30,98t2 +

d

dt 12,52t +

d

dt 37,1

= −68,07d

dt t3 + 30,98

d

dt t2 + 12,52

d

dt t + 0

= −68,07(3) t3−1 + 30,98 (2)t2−1 + 12,52(1) 𝑡1−1

= −204,21 t2 + 61,96 t + 12,52

t = 0

T`(0) = −204,21 t2 + 61,96 t + 12,52

T`(0) = −204,21 (0)2 + 61,96 (0) + 12,52

T`(0) = 12,52℃

t = 0,713

T`(0,713) = −204,21 t2 + 61,96 t + 12,52

T`(0,713) = −204,21 (0,713)2 + 61,96 (0,713) + 12,52

T`(0,713) = −47,12℃

Página | 114

−𝒃± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

La temperatura no aumenta ni disminuye en los 0,442 días o en las 10,61 horas

d) ¿Cuál es la temperatura del ave en ese instante?

La temperatura del ave en los 0,442 días es de 42,8℃

EJERCICIO Nº 3

La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la

función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde el

comienzo en estudio (t=0).

a) Calcule la derivada de 𝑽(𝒕).

b) ¿A qué razón cambia la virulencia de la bacteria cuando ya ha transcurrido 3

horas del estudio realizado?

𝑇 =−61,96 ± √(61,96)2 − 4(−204,21)(12,52)

2(−204,21)

𝑇 =−61,96 ± 118,60

−408,42

𝑇1 =0,442 días

𝑇2 = −0,138 Días

T = −68,07t3 + 30,98t2 + 12,52t + 37,1

T = −68,07(0,442)3 + 30,98(0,442)2 + 12,52(0,442) + 37,1

T = 42,8℃

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 ( 40 + 15𝑡 − 9𝑡2 + 𝑡3 )

= 𝑑

𝑑𝑡 40 +

𝑑

𝑑𝑡 15𝑡 −

𝑑

𝑑𝑡9𝑡2 +

𝑑

𝑑𝑡 𝑡3

= 0 + 15 − 9(2) 𝑑

𝑑𝑡𝑡2−1 + 3

𝑑

𝑑𝑡 𝑡3−1

= 15 − 18 𝑡1 + 3 𝑡2

T= 3

V`(3) = 15 − 18 (3)1 + 3 (3)2

V`(3) = 15 − 18 (3) + 3 (9)

V`(3) = 15 − 54 + 27

Página | 115

La virulencia de la bacteria cuando ya han trascurrido 3 horas de los estudios realizados

cambia a razón de -12 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎.

c) Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas.

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas

EJERCICIO Nº 4

V´(t)= 15-18t+3t2 3t2-18t+15 = 0

𝑡2 − 6𝑡 + 5 = 0 𝑡2 − 6𝑡 = −5 𝑡(𝑡 − 6) = −5

𝑡 = −5

𝑡 − 6 = −5 𝑡 = −5 + 6 𝑡 = 1

V (5)=125-225+75+40 =15

V (1)=1-9+15+40= 47

Página | 116

Un estudio de eficiencia del turno de la mañana en cierta fábrica indica que un trabajador

promedio que llega a las 8:00 a.m. habrá ensamblado

𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥

Radios de transistores x horas después.

a) Deduzca una fórmula para la razón a la que el trabajador ensamblará x radios

después de x horas.

b) ¿A qué razón el trabajador ensamblará radios a las 9:00 a.m.?

El trabajador ensamblará 24 radios por hora.

c) ¿Cuántos radios realmente ensamblará el trabajador entre las 9:00 a.m. y las 10:00

a.m.?

El trabajador ensamblará realmente 20 radios por hora.

EJERCICIO Nº 5

𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(−𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥)

= −3𝑥2 + 12𝑥 + 15 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑥 = 1

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥= −3(1)2 + 12(1) + 15

= 24𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑥 = 1

𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 6𝑥2 + 15𝑥

= −(1)3 + 6(1)2 + 15(1)

= 20𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Página | 117

Después de x semanas el número de personas que usan un nuevo sistema de transporte fue

aproximadamente de

𝑵(𝒙) = 𝟔𝒙𝟑 + 𝟓𝟎𝟎𝒙 + 𝟖. 𝟎𝟎𝟎

a) ¿A qué razón cambió el uso del sistema con respecto al tiempo después de 8

semanas?

El uso del sistema con respecto al tiempo después de 8 semanas cambio a razón

de 1.652.

b) ¿En cuánto cambió el uso del sistema durante la octava semana?

El usos del sistema durante la octava semana cambio a 1.514

𝑁(𝑥) = 6𝑥3 + 500𝑥 + 8.000𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

𝑑𝑁(𝑋)

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(6𝑥3 + 500𝑥 + 8.000)

= 18𝑥2 + 500 𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

𝑥 = 8

𝑑𝑁(𝑥)

𝑑𝑥= 18(8)2 + 500

= 1.652 𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑁(𝑥) = 6𝑥3 + 500𝑥 + 8.000

𝒙 = 𝟕

𝑁(𝑥=8) = 6(7)3 + 500(7) + 8.000


𝒙 = 𝟖

𝑁(𝑥=8) = 6(8)3 + 500(8) + 8.000


∆𝑢𝑠 = 15.072 − 13.558

= 1.514

Página | 118

EJERCICIO Nº 6

Los registros indican que cierta comunidad, x años después del año 2000 el

impuesto sobre la propiedad promedio por una casa de tres recámaras fue de:

𝑻(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝒙 + 𝟔𝟎𝟎 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

a) ¿A qué razón se incrementó el impuesto sobre la propiedad respecto al tiempo en

el año 2000?

𝑺𝒆 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕ó 𝒆𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒂ñ𝒐 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒏 $𝟒𝟎

b) ¿En cuánto cambió el impuesto entre los años 2000 y 2004?

𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂ñ𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒚 𝟐𝟎𝟎𝟒, 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊ó 𝒆𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 $𝟓𝟒𝟎 𝒅𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔.

𝑑𝑡

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥20𝑥2 + 40𝑥 + 60

𝑑𝑡

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥20𝑥2 +

𝑑

𝑑𝑥40𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥60

𝑑𝑡

𝑑𝑥= 40𝑥 + 40

𝑇(𝑥) = 0

𝑇(0) = 40𝑥 + 40

𝑇(0) = 40(0) + 40

𝑇(0) = $40

𝑇(𝑥) = 20𝑥2 + 40𝑥 + 600

𝑇(𝑥) = 4

𝑇(4) = 20𝑥2 + 40𝑥 + 600

𝑇(4) = 20(4)2 + 40(4) + 600

𝑇(4) = 320 + 160 + 60

𝑇(4) = $540

Página | 119

Grupo 3


FACULTAD DE CIANCIAS ADMINISTRATIVAS

CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

MATEMÁTICAS II

EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD 1

LÍMITES Y DERIVADAS

INTEGRANTES:

JOHANNA SANCHEZ

JONATHAN GARCIA

DARWIN TIPAN

SANTIAGO CARDENAS

AULA: CA2-1

Página | 120

LÍMITES

Definición.-

El concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación

hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa

sucesión o función se acercan a determinado valor.

Propiedades de los límites

Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos

o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

1.- lim𝑛→∞

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑛→∞

𝑓(𝑥) ± lim𝑛→∞

𝑔(𝑥)

2.- lim𝑛→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑛→∞

𝑓(𝑥)

lim𝑛→∞

𝑔(𝑥)

3.- lim𝑛→∞

𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = lim𝑛→∞

𝑓(𝑥) ∗ lim𝑛→∞

𝑔(𝑥)

4.- lim𝑛→∞

𝐾 𝑓(𝑥) = 𝐾 lim𝑛→∞

𝑓(𝑥)

5.- lim𝑛→∞

𝐾 = 𝐾

6.- lim𝑛→∞

[𝑓(𝑥)]2 = [ lim𝑛→∞

𝑓(𝑥)]2

APLICACIÓN DE LOS LIMITES

(MEDICINA)

Han establecido un método matemático que, aplicado a las imágenes médicas, permite determinar

los límites de los tumores de próstata, pulmón, y vejiga. Así que dada la función:

𝑀𝐷 =𝑃

𝑅 ∗ 𝑇

Donde:

MD: Diagnostico medico

P: Potencial de crecimiento tumoral

R: Resistencia del huésped

T: Tiempo (en Años)

Se pide:

a) Hallar en cuanto se prevé el crecimiento del tumor cuando T: 5, del Sr. Pérez, teniendo

en cuenta que su potencial de crecimiento es de 1000𝑚𝑚3, y su resistencia es del

5%.Expresar el resultado en c𝑚3

b) Con los mismos datos anteriores, determinar el crecimiento del tumor cuando R: 20%

Página | 121

c) Determine el tamaño a largo plazo, del primer literal

a)

lim𝑅→20%

1000

20%∗𝑇 =

1000

0,20∗𝑇

= 1000

(0,20)∗5

= 1000

1 = 1000𝑚𝑚3

1000𝑚𝑚3/1000 = 1c𝑚3

Solución: El tamaño que tendrá el tumor del señor Pérez, con una resistencia del 20%, en el quinto

año es de 1c𝑚3.

b)

lim𝑇→5

1000

5%∗𝑇 =

1000

0,05∗𝑇

= 1000

0,05∗(5)

= 1000

0,25 = 4000𝑚𝑚3

4000𝑚𝑚3/1000 = 4c𝑚3

Solución: El tamaño que tendrá el tumor del señor Pérez, con una resistencia del 5%, en el quinto

año es de 4c𝑚3.

c)

lim𝑇→∞

1000

5%∗𝑇 =

1000

0,05∗𝑇

= 1000

0,05∗(∞)

= 1000

∞ = 0 ⌊

𝑘

0= ∞⌋

Solución: Dada las condiciones, a largo plazo, el tamaño del tumor es cero, lo que quiere decir que

en el momento del diagnóstico, utilizando esta fórmula, es imposible decir con exactitud cuánto

crecerá un tumor a largo plazo.

INTERPRETACIÓN

Según lo evidenciado, con la función establecida, el tamaño del tumor con respecto al tiempo,

aumentara si la resistencia del huésped es baja, en cambio el tamaño del tumor con respecto al

tiempo, disminuirá si la resistencia del huésped es alta.

Aplicado a la medicina, el estado de salud actual del individuo será un factor determinante para el

diagnóstico médico y su futuro tratamiento.

Página | 122

IMÁGENES MÉDICAS Y LAS MATEMÁTICAS

Hasta ahora, para saber las posibles dimensiones de algún tumor, el médico tratante trazaba un

perímetro presuntivo sobre una imagen capturada por tomografía computarizada o resonancia

magnética. En lo cual la formula antes descrita ayuda a los galenos a ter una mayor percepción

acerca de las futuras dimensiones que tendrá el tumor, lo cual es un factor decisivo en su

tratamiento.

APLICACIÓN AEREONAUTICA

Una compañía aérea ha establecido una línea regular entre dos ciudades. Los estudios de mercado

indican que la variación de pasajeros que utilizaran dicha línea con el paso del tiempo, viene dada

por 𝑓(𝑥)=

𝑥2−25

𝑥3−5

pasajeros/año.

Hallar el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 → ∞

𝑓(𝑥)=

𝑥2−25𝑥3−5

lim𝑥→∞

𝑥2 − 25

𝑥3 − 5

=lim𝑥→∞

(𝑥2 − 25)

lim𝑥→∞

(𝑥3 − 5)

=lim𝑥→∞

𝑥2 − lim𝑥→∞

25

lim𝑥→∞

𝑥3 − lim𝑥→∞

5

=(∞)2 − 25

(∞)3 − 5

=∞

∞

= 𝐼

ALGEBREA 𝑥2−25

𝑥3−5

=

𝑥2 − 25𝑥3

𝑥3 − 5𝑥3

=

𝑥2

𝑥3−25𝑥3

𝑥3

𝑥3−5𝑥3

=

1𝑥 −

25𝑥3

1 −5𝑥3

Página | 123

LÍMITE 1𝑥−25𝑥3

1 −5𝑥3

= lim𝑥→∞

1𝑥−25𝑥3

1 −5

𝑥3

=lim𝑥→∞

(1𝑥−25𝑥3)

lim𝑥→∞

(1 −5𝑥3)

=lim𝑥→∞

1𝑥 − lim

𝑥→∞

25

𝑥3

lim𝑥→∞

1 − lim𝑥→∞

5𝑥3

Continuación LÍMITE:

=

lim𝑥→∞

1

lim𝑥→∞

𝑥−lim𝑥→∞

25

lim𝑥→∞

𝑥3

lim𝑥→∞

1 −lim𝑥→∞

5

lim𝑥→∞

𝑥3

=

1(∞)

−25(∞)3

1 −5

(∞)3

=0 − 0

1

=0

1

= ∞

Solución: La línea en el futuro tendrá demanda infinita de pasajeros

Lo cual le dice que la aerolínea sería rentable

DIFERENCIACIÓN (DERIVADAS)

Definición.-

Según Haussler, en su libro “Matemáticas para administración y finanzas”, define a la

derivada como la pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que

exista, de la recta tangente en P.

En otras palabras, es la pendiente de la recta tangente en un punto dado de una curva.

Página | 124

REGLAS DE DERIVACIÓN

1.- Regla del exponente: 𝑦 = 𝑥𝑛 →𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1

Ejemplo: 𝑦 = 𝑥4 →𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥4 = 𝑥4−1 = 𝒙𝟑

2.- Regla de la suma y resta: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) →𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) →

𝒅

𝒅𝒙𝒇(𝒙) +

𝒅

𝒅𝒙𝒈(𝒙)

Ejemplo: 𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(4𝑥3 − 5𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 −

𝑑

𝑑𝑥5𝑥2

3.- Regla de la constante con potencia: 𝑦 = 𝐾𝑥𝑛 →𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝐾𝑥𝑛 → 𝐾

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛𝑲(𝟑)𝒙𝒏−𝟏

Ejemplo: 𝑦 = 4𝑥3 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 → 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 → 4(3)𝑥3−1 → 12𝑥2

4.- Regla de la constante: 𝑦 = 𝐾 →𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝐾 → 0

5.- Regla del Producto: y= 𝑢 ∗ 𝑣; 𝑑

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplo: y= 4𝑥2 ∗ 𝑥5

𝑦 = 4𝑥2 ∗ 𝑥1/2

𝑦 =𝑑

𝑑𝑥(4𝑥2 ∗ 𝑥5)

𝑦 = 4𝑥2𝑑

𝑑𝑥𝑥5 + 𝑥5

𝑑

𝑑𝑥4

𝑦 =(4𝑥2)(5𝑥4) + (𝑥5)(0)

𝑦 = 20𝑥6

6.- Regla del cociente 𝑦 =𝑢

𝑣;𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑣𝑑

𝑑𝑥𝑢−𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣

𝑣2

7.- Función Exponencial: 𝑦 = 𝑒(𝑥+𝑘)𝑛; 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒(𝑥+𝑘)

𝑛∗ (𝑥 + 𝑘)

8.- Función logarítmica: 𝑦 = ln(𝑥2 + 𝑎)𝑛; 𝑛𝑑

𝑑𝑥ln(𝑥2 + 𝑎)

Página | 125

9.- Regla de la cadena

𝑦 = 𝑓(𝑢)

𝑢 = 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑢

𝑑𝑥∗𝑑𝑦

𝑑𝑢

APLICACIÓN DE DERIVADA

(FÁBRICA DE ZAPATOS)

Una fábrica vende q miles de zapatos fabricados cuando su precio es de p dólares por unidad.

Se ha determinado que la relación entre p y q es:

Si el precio p del par de zapatos es de 9 dólares y se incrementa a una tasa de 0,20 centavos por

semana, se pide:

a) Calcula el número de artículos vendidos a 9 dólares.

b) ¿Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q, vendidas por semana cuando

el precio es de 9 dólares?

Solución

a) Calcula el número de artículos vendidos a 9 dólares.

Página | 126

Solución

b) ¿Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q, vendidas por semana cuando el precio es de

9 dólares?

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 0.20

𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

Página | 127

EL concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una

variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables

a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas,

tendrán una razón de cambio igual a cero.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE RAZON DE CAMBIO

Leer cuidadosamente el problema.

Cuando sea conveniente hacer un dibujo.

Identificar con letras cada una de las cantidades que intervienen. ( es decir, asigne los

símbolos a todas las cantidades que sean funciones del tiempo)

Exprese la información dada y la razón de cambio requerida en términos de derivadas.

Escriba una ecuación que relacione las diversas cantidades del problema.

Use la regla de la cadena para derivar los dos miembros de la ecuación con respecto a t.

sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razón

desconocida.

Aplicación

1. Si la arista de un cubo crece a razón de 2cm/seg. ¿A qué velocidad cambia el volumen

del cubo en el instante en que la arista mide 5cm?

Solución

Página | 128

El resultado obtenido significa que cuando la arista mide 5cm, el volumen del cubo esta creciendo

a razón de 150cm3/seg

Aplicación

2. Suponga que la función de demanda para un producto está dada por p =𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎−𝒒

𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎, y la

función de costo está dada por 𝒄 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟐𝟓𝒒 , donde 𝟎 ≤ 𝒒 ≤ 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎.

Encuentre la utilidad marginal para q= 15000, 21875, 25000.

Recuerde: Utilidad= Ingreso total (r) – Costo total(c)

Solución

Página | 129

Del análisis de resultados puede determinar que si se venden más de 21875 unidades la ganancia

marginal es negativa. Esto indica que incrementar la producción más allá de ese nivel, reducirá la

ganancia.

Página | 130

Grupo 5

[TÍTULO DEL DOCUMENTO] [Subtítulo del documento]

HEWLETT-PACKARD JUAN CASA

ANABEL GAVILANES

JESICA NARANJO

PAMELA TOAPANTA

JEFERSON TUPIZA

Página | 131

Derivadas Definición:

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha

función matemática, según cambie el valor de su variable. La derivada de una función es un

concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función

en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna

cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un

punto dado.

Es la pendiente de una recta tangente respecto a una curva

Importancia:

Permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de

muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0

(máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos

cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En

física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos

asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones.

Las derivadas ayudan a calcular las razones de cambio de diferentes elementos de la vida

cotidiana

Reglas:

a) Regla del exponente

𝑦 = 𝑥𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥 𝑛𝑥𝑛−1

𝑦 = 𝑥4

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑥4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥4−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥3

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

Página | 132

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥3

b) Regla de la suma o resta

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(4𝑥3 − 5𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 −

𝑑

𝑑𝑥5𝑥2

c) Regla de la constante

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑓(x) ± g(x))

𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(4𝑥3 − 5𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 −

𝑑

𝑑𝑥5𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 − 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4.3

𝑑

𝑑𝑥𝑥3−1 − 5.2

𝑑

𝑑𝑥𝑥2−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 − 10

𝑑

𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12𝑥2 − 10𝑥

d) Derivada de una constante es 0

𝑦 = 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(5)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Página | 133

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥2. 3𝑥3−1 − 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥6𝑥2 − 0

e) Regla del producto

Y=U.V

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑈. 𝑉)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑈

𝑑

𝑑𝑥𝑉 + 𝑉

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑈

𝑌 = 4𝑋2. √𝑋

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(4𝑋2. √𝑋)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥2

𝑑

𝑑𝑥√𝑥 + √𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥4𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥2

𝑑

𝑑𝑥√𝑥 + √𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥4𝑥2

f) Regla del cociente

𝑌 =𝑈

𝑉

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑈. 𝑉−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑈𝑑𝑑𝑥

− 𝑉𝑑𝑑𝑥

𝑉2

𝑄(𝑥) =𝑥2 − 5𝑥 + 7

2𝑥

𝑑𝑞

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 7

(2𝑥))

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(2𝑥)

𝑑𝑑𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 7) − (𝑥2 − 5𝑥 + 7)

𝑑𝑑𝑥(2𝑥)

(2𝑥)2

Página | 134

𝑑𝑦

𝑑𝑥=(2𝑥)

𝑑𝑑𝑥(𝑥2 − 5𝑥 + 7) − (𝑥2 − 5𝑥 + 7)

𝑑𝑑𝑥(2𝑥)

(2𝑥)2

g) Regla de la cadena

𝑌 = 𝑓(𝑤)

𝑢 = 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑢

𝑑𝑥.𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑓(𝑤) = 𝑦 = √𝑤

𝑓(𝑥) = 𝑤 = 7 − 𝑡3

𝑑𝑤

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(7 − 𝑡3)

𝑑𝑤

𝑑𝑥= 0 − 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑡2

𝑑𝑤

𝑑𝑥= −3𝑡2

𝑑𝑦

𝑑𝑤=

𝑑

𝑑𝑤(√𝑤)

𝑑𝑦

𝑑𝑤=

𝑑

𝑑𝑤𝑤12

𝑑𝑦

𝑑𝑤=1

2

𝑑

𝑑𝑤𝑤12−1

𝑑𝑦

𝑑𝑤=1

2

𝑑

𝑑𝑤𝑤12−1

𝑑𝑦

𝑑𝑤=1

2𝑤−

12

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑤

𝑑𝑥.𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (−3𝑡2) (

1

2𝑤−

12)

Página | 135

Aplicaciones:

1) Ingresos anuales

Los ingresos anuales brutos de MORETECH S.A fueron 𝑨(𝒕) = 𝟎. 𝟏𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝒕 + 𝟐𝟎

miles de dólares t años después de su formación en el año 2000.

a) A qué razón crecieron los ingresos anuales brutos de la compañía con

respecto al tiempo en el año 2004.

b) A qué razón porcentual crecieron los ingresos anuales brutos con

respecto al tiempo en el año 2004?

DATOS:

𝐴(𝑡) = 0.1𝑡2 + 10𝑡 + 20

t= años

SOLUCIÓN:

a) A qué razón crecieron los ingresos anuales brutos de la compañía con

respecto al tiempo en el año 2004.

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(0.1𝑡2 + 10𝑡 + 20)

=𝑑

𝑑𝑡0.1𝑡2 +

𝑑

𝑑𝑡10𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡20

= 2(0.1)𝑡2 + 1(10) + 0

= 0.2𝑡 + 10

𝑑𝐴

𝑑𝑡𝑡=4= 0.2(4) + 10

=0.8+10

=10.8 miles

=10 800

CONCLUSIÓN: Los ingresos anuales brutos de la compañía en el año 2004 fueron de

10 800 dólares.

Página | 136

b) A qué razón porcentual crecieron los ingresos anuales brutos con

respecto al tiempo en el año 2004?

SOLUCIÓN

𝑅𝐶% =0.2(𝑡)+10

0.1𝑡2+10𝑡+20 ∗ 100

𝑅𝐶%𝑡=4 = 0.2(4)+10

0.1(4)2+10(4)+20∗ 100

𝑅𝐶%𝑡=4 =10.8

61.6∗ 100

𝑅𝐶%𝑡=4 = 0.1753*100

𝑅𝐶%𝑡=4 = 17.53%

CONCLUSIÓN: La razón porcentual creciente de la empresa MERETECH S.A. es de

17.53% en el año 2004.

2) Sea p= 100-𝒒𝟐 la función de la demanda de la venta de televisores de

MERETECH. Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con

respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto

a q cuando q=5? Suponga que p está en dólares.

DATOS:

p= 100-𝑞2

q= cantidad

q=5

SOLUCIÓN

La razón de cambio de p con respecto a q es dp

dq

𝒅𝒑

𝒅𝒒 =

𝒅

𝒅𝒒(100-𝒒𝟐)

= 𝑑

𝑑𝑞100 –

𝑑

𝑑𝑞 (𝑞2)

= -2q

𝒅𝒑

𝒅𝒒 = -2q

= -2(5)

= -10

Página | 137

CONCLUSIÓN

Esto significa que cuando se demandan 5 unidades, hay un incremento por unidad que

corresponde a un decremento de aproximadamente de $10 en el precio que el consumidor

está dispuesto a pagar.

3) DEMANDA DEL CONSUMIDOR

Cuando un televisor se vende a p dólares por unidad, los consumidores compran

𝑫(𝒑) = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑷 unidades por mes. Se estima que dentro de t meses, el precio del televisor

será 𝒑(𝒕) = 𝟎. 𝟒𝒕𝟑/𝟐 + 𝟔. 𝟖 dólares por unidad. A qué razón porcentual cambiará la

demanda mensual del artículo respecto al tiempo dentro de 4 meses a partir de este

momento?

DATOS:

𝐷(𝑝) = 40000

𝑃

𝑝(𝑡) = 0.4𝑡3/2 + 6.8

t= meses

SOLUCIÓN

𝑑𝐷

𝑑𝑝=

𝑑

𝑑𝑝(40000

𝑝)

= 𝑝𝑑

𝑑𝑝(40000)−40000

𝑑

𝑑𝑝(𝑝)

𝑝2

=0−40000

𝑝2

=−40000

𝑝2

𝑑𝑝

𝑑𝑡= 𝑑

𝑑𝑡(0.4𝑡

3

2 + 6.8)

= 𝑑

𝑑𝑡0.4𝑡3/2 +

𝑑

𝑑𝑡6.8

=0.4 (3

2) 𝑡

3

2−1 + 0

=0.6𝑡1/2

Página | 138

𝑑𝐷

𝑑𝑡=

𝑑𝐷

𝑑𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑡

𝑑𝐷

𝑑𝑡=(−

40000

𝑝2)(0.6𝑡

1

2)

𝑑𝐷

𝑑𝑡= −

24000𝑡1/2

𝑝2

𝑑𝐷

𝑑𝑡= −

24000𝑡1/2

(0.4𝑡32+6.8)

𝑅𝐶%𝑡=4 =0.6𝑡1/2

0.4𝑡3/2+6.8*100

𝑅𝐶%𝑡=4 =0.6(4)1/2

0.4(4)32+6.8

*100

𝑅𝐶%𝑡=4 =1.2

10∗ 100

𝑅𝐶%𝑡=4 =0.12*100

𝑅𝐶%𝑡=4 =12%

CONCLUSIÓN:

La razón porcentual de la demanda mensual de los televisores es del 12% después de 4 meses

4) Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien

cuya función de demanda es y = 60 -2x

SOLUCIÓN:

Lo primero es saber cómo obtenemos el ingreso, el cual es 𝐼(𝑋) = 𝑥. 𝑦

Por lo tanto como tenemos la función de demanda que es y = 60 -2x

Remplazamos en la función del ingreso

𝐼(𝑥) = 𝑥(60 − 2𝑥)

𝐼(𝑥) = 60𝑥 − 2𝑥2

Como nos pide el ingreso marginal el cual es la primera derivada de la función de

ingreso

𝑑𝐼(𝑥)

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(60𝑥 − 2𝑥2)

Página | 139

= 60 − 4𝑥

Para obtener el ingreso máximo igualamos la primera derivada de la función a 0

0 = 60 − 4𝑥

𝑥 = 15 El cuál sería el precio Max

Para lo cual remplazamos el precio Max en la función de ingreso

𝐼(𝑥=15) = 60𝑥 − 2𝑥2

𝐼(𝑥=15) = 450

CONCLUSIÓN:

Entonces los 450 sería el ingreso máximo de esta función

Página | 140

Grupo 6


FACULTAD DE CIANCIAS ADMINISTRATIVAS


MATEMÁTICAS II

LÍMITES Y DERIVADAS

INTEGRANTES:

Erick Cusicagua

Cristian Ortega

Diego Regalado

Michelle Siza

Sofía Torres

INGENIERO FRANCISCO BAHAMONDE

AULA: CA2-1

LÍMITE

En matemática, el límite describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los

parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo: El limite da a conocer conceptos fundamentales de

o Convergencia

o Continuidad

o Derivación

Es un sitio o lugar que se aproxima pero que no se puede llegar a tocarlo.

Página | 141

PROPIEDADES DE LOGARITMOS

N° PROPIEDADES EJEMPLO

1 𝑙𝑖𝑚(𝑓(𝑥)

+

−𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)

+

−𝑙𝑖𝑚𝑔(𝑥)

lim𝑥→1

(𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐)

2 lim

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑓(𝑥)

lim𝑔(𝑥)

lim𝑥→1

(𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟓

𝟐𝒙 + 𝟏)

3 lim𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) = lim𝑓(𝑥) . lim𝑔(𝑥) lim𝑥→1

(𝟐𝒙). lim𝑥→1

(3𝑥 + 2)

Forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a

Representación mediante la flecha (→) como en an → a.

𝒌

𝟎= ∞

𝟎

𝟎= 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑪𝑰Ó𝑵

∞

∞= 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑪𝑰Ó𝑵

𝒌𝟎 = 𝟏

𝟎𝟎 = 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑪𝑰Ó𝑵

∞∞ = 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 ∞−∞ = 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑪𝑰Ó𝑵

Página | 142

4 lim𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑓(𝑥)

lim𝑥→1

𝟑𝒙 = 3lim𝑥→1

𝑥

5 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟏

𝒌 = 𝒌

lim𝑥→1

𝟏𝟔 = 16

6 lim𝑥→𝑛

(𝑓(𝑥))𝑛= lim

𝑥→𝑛𝑓(𝑥)

𝑛

lim𝑥→1

(𝟏𝟔𝒙)𝟐 = lim𝑥→1

16𝑥2

CONTINUIDAD

Sucesión de puntos sin interrupción, estar en conexión inmediat

EJEMPLO:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔

𝒙𝟐 − 𝟒

=𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒙𝟐+𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒙−𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝟔

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒙𝟐−𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝟒

=(𝟐)𝟐+𝟐−𝟔

(𝟐)𝟐−𝟒

=𝟒+𝟐−𝟔

𝟒−𝟒= 𝟎

𝟎 =I

Algebra

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥2 − 4

=(𝑥+3)(𝑥−2)

(𝑥−2)(𝑥+2)

=𝑥+3

𝑥+2

=(2)+3

3+(2)

= 𝟓

𝟒

Página | 143

LIMITES AL INFINITO

Se utiliza cuando se pretende buscar un resultado obtenido a largo plazo

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

lim𝑥→∞

𝑔(𝑥) = 𝑀

DERIVADAS

Es la razón de cambio de una variable respecto a otra.

Página | 144

DIFERENCIAL ∆𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒇′

(𝒙)= 𝒎

1.- Regla del Exponente

𝑦 = 𝑥𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1

2.- Regla de la Suma y Resta

𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)) =

𝑑

𝑑𝑥 𝒇(𝒙) ±

𝑑

𝑑𝑥𝒈(𝒙)

3.- Regla de la Constante

𝒚 = 𝒌𝒙𝒏

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑑

𝑑𝑥𝒌𝒙𝒏 = 𝒌

𝑑

𝑑𝑥𝒙𝒏

4.- Regla de la Constante

𝒚 = 𝒄

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

5.- Regla del Producto

𝒚 = 𝒖𝒗

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑢

6.- Regla del Cociente

𝒚 =𝒖

𝒗

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣𝑑 𝑑𝑥𝑢 + 𝑢

𝑑 𝑑𝑥𝑣

𝑣2

𝒚 = (𝒙𝒏 + 𝒂)𝒌

Página | 145

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝒙𝒏 + 𝒂)𝒌

= 𝑘(𝒙𝒏 + 𝒂)𝒌−𝟏.𝑑

𝑑𝑥(𝒙𝒏 + 𝒂)

Recta tangente: Es una recta que tiene un punto común con una curva o función.

APLICACIONES

Se estima que dentro de x meses, población de cierta comunidad será

𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟖𝟎𝟎𝟎

a. ¿ A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 15 meses ? b. ¿ En cuánto cambiará la población durante el decimosexto mes?

RESOLUCIÓN:

a)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 20𝑥 + 8000)

=𝑑

𝑑𝑥𝑥2 +

𝑑

𝑑𝑥20𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥8 000

𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 20

La razón de cambio de la población dentro de 15 meses será P(x)= 2(15)+20= 50 personas por mes

b)

𝑝(16) = (16)2 + 20(16) + 8 000

𝑝(16) = 256 + 320 + 8 000 = 8 576

𝑝(15) = 225 + 300 + 8 000 = 8 525

Página | 146

Cambio en población = P(16)-P(15)= 8576 – 8525 = 51 personas

Al sacar la diferencia entre el 15 mes y el 16 mes obtenemos que la población ha cambiado en 51 personas

Un fabricante determina que en m empleados producirán en total de q unidades de cierto artículo por día, donde

𝒒 =𝟏𝟎𝒎𝟐

√𝒎𝟐 + 𝟏𝟗

Si la ecuación de demanda para el producto es p=𝟗𝟎𝟎

(𝒒+𝟗) , determine el producto del

ingreso marginal cuando m= 9

Encontrar 𝑑𝑟

𝑑𝑚

𝑑𝑟

𝑑𝑚=

𝑑𝑟

𝑑𝑞 .

𝑑𝑞

𝑑𝑚

Así se debe 𝑑𝑟

𝑑𝑞 y

𝑑𝑞

𝑑𝑚 , cuando m= 9. Se comienza con

𝑑𝑟

𝑑𝑞 . La función de ingreso está

dada por

𝑟 = 𝑝𝑞 = (900

𝑞 + 9) 𝑞 =

900

𝑞 + 9

𝑑𝑟

𝑑𝑞=

(𝑞+9)(900)−900𝑞(1)

(𝑞+9)2=

8100

(𝑞+9)2

𝑞 =10(9)2

√(9)2 + 19= 81

𝑑𝑞

𝑑𝑚=

𝑑

𝑑𝑚(

10𝑚2

√𝑚2 + 19)

=(𝑚2+19)

12 𝑑

𝑑𝑚(10𝑚2)−(10𝑚2)

𝑑

𝑑𝑚(𝑚2+19)

12

[(𝑚2+19)12]

2

= (𝑚2+19)

12(20𝑚)−(10𝑚2)[

1

2(𝑚2+19)

− 12(2𝑚)]

𝑚2+19

Página | 147

= (81+19)

12[20(9)]−[10(81)][

1

2(81+19)

− 12(2)(9)]

81+19

=(1)(10.71)

Grupo 7

Página | 148

INTRODUCCIÓN LÍMITES

LÍMITES

El límite describe la tendencia de una función, a medida que los parámetros de esa función

se acercan a determinado valor.

Los límites son importantes porque nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que nos

presentan en un ejercicio de un tema determinado.

Según Laurence D. Hoffmann

En pocas palabras, el proceso de límite consiste en examinar el comportamiento de una

función f(x) cuando x se aproxima a un número c, que puede o no estar en el dominio de f

Aplicación en la vida cotidiana

Los límites en la administración se aplican para conocer el nivel de producción óptimo,

encontrar el menor costo posible y generar una mayor ganancia para la empresa.

Un ejemplo de esto es cuando presenta un alza en los costos de la materia prima, esto

eventualmente generará un cambio en cuanto al costo que esta generó anteriormente

Ejercicios de Aplicación de límites:

1.- Costo Promedio

Ct es el costo total en dólares para producir Q unidades de un producto, la función de costo

total es 𝒄 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝟔𝒒.

Página | 149

Por medio de la determinación de limq→∞

c demuestre que el costo promedio se aproxima a un

nivel de estabilidad si el productor aumenta de manera continua la producción.

a.- ¿Cuál es el valor límite del costo promedio?

Datos:

𝐶𝑡 = 5000 + 6𝑞

Q = unidades

Ĉ=costo promedio

Ct= Ĉ⋅ Q

Ĉ= 𝐶𝑡

𝑄

Ĉ= 5000

𝑞+6 = 6

𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

Ĉ = 𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

(5000

𝑞+ 6)

= 𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

5000

𝑞 + 𝑙𝑖𝑚

𝑞→∞6

= 5000

(∞)+ 6

= 0+6

= 6 $

El límite del costo promedio será de $6.

b.- Repita el problema anterior, considerando un costo fijo de $12 000 y que el costo

variable está dado por la función 𝒄𝒗 = 𝟕𝒒.

Datos:

Cf= 12000

Cv= 7q

𝐶𝑡=12000 + 7q

Ĉ= 𝐶𝑡

𝑞

Ĉ= 12000+7𝑞

𝑞

Ĉ= 12000

𝑞+7

Página | 150

𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

Ĉ = 𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

(12000

𝑞+ 7) = 7

= 𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

12000

𝑞+ 𝑙𝑖𝑚𝑞→∞

7

= 12000

(∞) +7

= 0 + 7

= 7 $

lim𝑞→∞

(12000

𝑞+ 7) = 7$

El valor límite del costo promedio cuando el costo fijo es de $12000 y el costo variable es

de $7 por cada unidad es $7

2.- PURIFICACIÓN DEL AGUA

El costo de purificar agua está dado por 𝑪 =𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒑− 𝟔𝟓𝟎𝟎 donde p es el porcentaje de

impurezas que quedan después de la purificación.

Página | 151

a) Determine el porcentaje de impurezas del agua antes de ser purificada.

𝑪 =𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒑− 𝟔𝟓𝟎0

0 = 50000

𝑝 - 6500

6500 = 50000

𝑝

6500 p = 50000

P = 50000

6500

P = 7,69 %

b) Determine 𝒍𝒊𝒎𝒑→𝟎

𝑪 y analice el significado de dicho límite.

C= 50000

𝑝 − 6500

𝑙𝑖𝑚𝑝→0

𝐶 = 𝑙𝑖𝑚𝑝→𝑜

(50000

𝑝− 6500)

= 𝑙𝑖𝑚𝑝→0

50000

𝑝 - 𝑙𝑖𝑚𝑝→𝑜

6500

= 50000

0− 6500

= ∞− 6500

= ∞

lim𝑝→𝑜

(50000

𝑝− 6500) = ∞

Interpretación: Se puede interpretar como que el porcentaje de impurezas del agua no puede ser

0%, de lo contrario el costo sería infinito.

Página | 152

3.- Psicología experimental.

Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un

experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga que el

tiempo requerido para que la rata atraviese el laberinto en el n-ésimo intento era aproximadamente

T(n) =5n + 17

nminutos

a) ¿Cuantos segundos se demora la rata en atravesar el laberinto en el primer intento?

Datos

𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑇(𝑛) =5𝑛 + 17

𝑛𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑇(1) =5(1) + 17

1𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑇(1) = 22 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Página | 153

22min 𝑥 60𝑠𝑒𝑔

1𝑚𝑖𝑛=

𝑇𝑛(𝑛=1) = 1320 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

La rata demora 1320 segundos en atravesar el laberinto en el primer intento

b) ¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en atravesar un laberinto a medida que

aumenta indefinidamente el número de intentos? Interprete su resultado

lim T𝑛→∞

= lim 𝑛→∞

(5𝑛+17

𝑛)

= lim n→∞

5𝑛

𝑛 + lim

n→∞

17

𝑛

= lim 𝑛→∞

5 + lim 𝑛→∞

17

𝑛

= 5 + 17

∞

= 5 + 0

= 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Interpretación: El tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto va disminuyendo a

medida que intenta más veces, hasta ser 5 minutos el límite para atravesarlo

Página | 154

4.- Volumen de Agua de una Piscina

El volumen de agua de una piscina viene dado por la siguiente función:

V(t) =

{

360 − √

2t3

5, 0 ≤ t < 10

280+312t

t, t ≥ 10

V es el volumen de agua de la piscina en m3 y t es el tiempo transcurrido en horas después

de haber llenado la piscina.

a) ¿Cuál es el volumen de agua que tiene la piscina al momento de acabar de llenarla?

𝑣 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑚3

𝑡 = ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Página | 155

𝑣𝑡 = 360 − √2𝑡3

5

𝑣(0) = 360 − √2(0)3

5

𝑣(0) = 360 − 0

𝑣(0) = 360 𝑚3

Interpretación: El volumen de agua en la piscina al momento de acabar de llenarla es de

360𝑚3

b) ¿Qué pasa con el volumen de agua de la piscina con el paso del tiempo?

V(t) =

{

360 − √

2t3

5, 0 ≤ t < 10

280 + 312t

t, t ≥ 10

lim 𝑡→∞

v = lim 𝑡→∞

(280 + 312𝑡

𝑡)

= lim 𝑡→∞

280

𝑡+ lim 𝑡→∞

312𝑡

𝑡

= lim 𝑡→∞

280

𝑡+ lim 𝑡→∞

312

= 280

(∞)+ 312

= 312𝑚3

Con el paso del tiempo el volumen de agua de la piscina va disminuyendo hasta llegar al

límite de 312𝑚3

Página | 156

c.- Considerando que, el largo de la piscina es de 20 m y el ancho de 12 m. Si el nivel de

agua de la piscina disminuye más de 17 cm, se deberá volverla a llenar

¿Será necesario con el paso del tiempo volver a llenar la piscina?

𝑙 = 20 𝑚

𝑎 = 12 𝑚

𝑣𝑖 = 360 𝑚3

lim 𝑡→∞

v = 312 𝑚3

ℎ𝑖 =?

v = 𝒍 ∙ 𝒂 ∙ 𝒉

360 𝑚3 = (20𝑚)(12𝑚)(ℎ)

360 𝑚3

(20𝑚)(12𝑚)= (ℎ)

ℎ =360 𝑚3

240 𝑚2

ℎ𝑖 = 1,5 𝑚

Página | 157

v = 𝒍 ∙ 𝒂 ∙ 𝒉

312 𝑚3 = (20𝑚)(12𝑚)(ℎ)

312 𝑚3

(20𝑚)(12𝑚)= (ℎ)

ℎ =312 𝑚3

240 𝑚2

ℎ = 1,3 𝑚

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1,3 𝑚 − 1,5 𝑚

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = −0,20 𝑚

Con el paso del tiempo el nivel de agua de la piscina disminuirá un límite de 20 cm, por lo

tanto, si se deberá volverla a llenar

CONCLUSIÓN

Así como estos problemas hay muchos en los cuales nos vemos en la necesidad de recurrir a

los límites matemáticos para poder calcular datos que tienen que ver netamente con nuestra

carrera. En lo cual por lo que nos hemos podido dar cuenta sirve mucho para poder calcular

datos imprescindibles en el desarrollo de nuestra profesión por eso es fundamental tener

conocimiento sobre ellos.

Bibliografía:

1.- Calculo Aplicado Para Administración, Economía y Ciencias Sociales

Laurence D. Hoffmann, Octava Edición

2.- Matemáticas para Administración y Economía

Ernest F. Haeussler, JR. Decimosegunda Edición

Net grafía:

http://es.scribd.com/doc/3594460/PROBLEMAS-CON-LIMITES

http://es.slideshare.net/yanurisolanorodriguez/aplicacion-del-tema-de-limites-a-la-

contabilidad?qid=c995506a-9973-402d-aaa2-

e21b6d8f4e6c&v=default&b=&from_search=1

http://es.scribd.com/doc/3594460/PROBLEMAS-CON-LIMITES

http://es.slideshare.net/yanurisolanorodriguez/aplicacion-del-tema-de-limites-a-la-contabilidad?qid=c995506a-9973-402d-aaa2-e21b6d8f4e6c&v=default&b=&from_search=1



Página | 158

Grupo 8




MATEMÁTICAS II

CA 2-1

Ing. Francisco Bahamonde

Integrantes: Andrango Catota Francis Jacqueline

Cumbajin Nasimba Steven Adrian

Gómez Luna Vanessa Isabel

Gómez Pucuna Dayerlin Yoscani

Loya Ñacato Wendy Mabel

Página | 159

QUITO, 18 de Noviembre de 2015

TABLA DE CONTENIDO

LÍMITES 160

Ejercicios de aplicación 160 Ejercicio Nº 1 160

Ejercicio Nº 2 162

Ejercicio Nº 3 164

Ejercicio Nº 4 165

Ejercicio Nº 5 167

Ejercicio Nº 6 169

Ejercicio Nº 7 170

Página | 160

LÍMITES

Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función a medida que los

parámetros se acercan a ese determinado valor.

Ejercicios de aplicación

Ejercicio Nº 1

1. Un cultivo de bacterias crece siguiendo la ley donde el tiempo t se mide en horas y el peso del cultivo en gramos.

a) Determine el peso del cultivo transcurridos 60 minutos.

lim𝑡→1

𝑓(𝑦) = lim𝑡→1

(1,25

1 + 0,25𝑒−0,4𝑡)

=(1,25

1 + 0,25𝑒−0,4(1))

=(1,25

1 + 0,25𝑒−0,4))

=(1,25

1 + 0,25(0,670320046))

=(1,25

1 + 0,1675800115)

=(1,25

1,167580012)

=1,070590441

Página | 161

=𝟏. 𝟎𝟕 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔

b) ¿Cuál será el peso del mismo cuando el número de horas es 4?

lim𝑡→4

𝑓(𝑦) = lim𝑡→4

(1,25

1 + 0,25𝑒−0,4𝑡)

=(1,25

1 + 0,25𝑒−0,4(4))

=(1,25

1 + 0,25𝑒−1,6)

=(1,25

1 + 0,25(0.201896518))

=(1,25

1 + 0,0504741295)

=(1,25

1,0504741295)

=1,189938871

=𝟏. 𝟏𝟗 𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔

Página | 162

Ejercicio Nº 2 Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de

revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus

cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de

fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo

a la siguiente expresión [F(x) representa el número de fotografías por minuto

cuando la máquina tiene x años

x= Años

f(x)=Nº/minutos

a) Estudia la continuidad de la función f(x)

𝑓(𝑥) = 15,5 − 1,1𝑥

lim𝑥→0

(15,5 − 1,1𝑥)

= 15,5 − 1,1(0)

= 15,5

Si es continua para todas las x y descontinúa cuando x=-2 ya que no está en sus

intervalos

Página | 163

b) Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la

antigüedad de la máquina entonces si ésta tiene más de 5 años revelará

menos de 10 fotocopias por minuto.

𝑓(𝑥)=(15,5−1,1𝑥) 𝑓(𝑥)=5𝑥+45𝑥+2

lim𝑥→5

(15,5 − 1,1𝑥) lim𝑥→5

(5𝑥 + 45

𝑥 + 2)

= lim𝑥→5

15,5 − lim𝑥→5

1,1 𝑥 =5lim𝑥→5

𝑥 + lim𝑥→5

45

lim𝑥→5

𝑥 + lim𝑥→5

2

= 15,5 − 1,1(5) =5(5) + 45

(5) + 2

= 10 =70

7= 10

c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.

𝑓(𝑥) =

5𝑥 + 45

𝑥 + 2

lim𝑥→∞

(5𝑥 + 45

𝑥 + 2) = (

5(∞) + 45

(∞) + 2) =

∞

∞= 𝐼

Algebra

(5𝑥 + 45

𝑥 + 2) =

5𝑥𝑥 +

45𝑥

𝑥𝑥 +

2𝑥

=5 +

45𝑥

1 +2𝑥

lim𝑥→∞

(5 +

45𝑥

1 +2𝑥

) =lim𝑥→∞

5 + lim𝑥→∞

45𝑥

lim𝑥→∞

1 + lim𝑥→∞

2𝑥

= (5 +

45(∞)

1 +2(∞)

) =5 + 0

1 + 0=5

1= 5

Página | 164

Graficar

Ejercicio Nº 3 Población: se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a

partir de ahora será:

𝑁 = 50000 −2000

𝑡 + 1

A. Determine la población actual.

lim𝑡→0

𝑁 = 50000 −2000

𝑡 + 1

= lim𝑡→0 50000− lim

𝑡→0

2000𝑡+1

= 50000− 2000(0)+1

= 50000−2000

= 48000h.

Solución: la población en el tiempo actual es de 48000 habitantes.

Página | 165

B. Determine la población en 7 años

lim𝑡→7

𝑁 = 50000 −2000

𝑡 + 1

= lim𝑡→7 50000− lim

𝑡→7

2000𝑡+1

= 50000− 2000(7)+1

= 50000− 20008

= 50000−250

= 49.750ℎ.

Solución: la población en séptimo años será de 49750 habitantes.

C. Determine la población a largo plazo.

lim𝑡→∞

𝑁 = 50000 −2000

𝑡 + 1

= lim𝑡→∞

50000− lim𝑡→∞

2000𝑡+1

= 50000− 2000(∞)+1

= 50000− 2000∞

= 50000−0

= 50000ℎ

Solución: la población a largo plazo será de 50000 habitantes.

Ejercicio Nº 4

Página | 166

Como los avances en la tecnología resultan en la producción de

calculadoras compactas cada vez más poderosas, actualmente su precio en

el mercado está descendiendo. Suponga que x meses a partir de ahora el

precio de cierto modelo será de P dólares por unidad donde:

𝑷(𝒙) = (𝟒𝟎 +𝟑𝟎

𝒙 + 𝟏)

a) ¿Cuál será el precio dentro de 5 meses a partir de ahora?

𝑷(𝟓) = (𝟒𝟎 +𝟑𝟎

𝒙 + 𝟏) =

= (40 +30

5 + 1) = 40 + 5 = 45

b)¿Cuándo el precio será de $43,00?

El precio dentro de 5 meses a partir de ahora será de $45,00 dólares

Página | 167

𝟒𝟑 = (𝟒𝟎 +𝟑𝟎

𝒙 + 𝟏)

43 =40(𝑥 + 1) + 30

(𝑥 + 1)

43 =40𝑥 + 40 + 30

(𝑥 + 1)

43 =40𝑥 + 70

(𝑥 + 1)

43𝑥 + 43 = 40𝑥 + 70 3𝑥 = 27 𝑥 = 9

c)¿Qué sucede con el precio a largo plazo cuando x tiende al infinito?

𝑷(∞) = (𝟒𝟎 +𝟑𝟎

𝒙 + 𝟏) =

= (40 +30

(∞) + 1)

= 40 +30

∞

= 40 + 0 = 40

Ejercicio Nº 5 Relación huésped –parásito

En el mes 9 la calculadora tendrá un valor de $43,00 dólares

El precio a largo plazo será de $40,00 dólares se mantiene.

Página | 168

Para una relación particular huésped –parásito, se determinó que cuando la

densidad de huésped (número de huéspedes por unidad de aérea) es x, el

número de huéspedes parásitos en un periodo es:

𝒚 =𝟗𝟎𝟎𝒙

𝟏𝟎 + 𝟒𝟓𝒙

Si la densidad de huésped aumentara indefinidamente ¿a qué valor se

aproximaría?

lim𝑥→∞

𝑦 = lim𝑥→∞

900𝑥

10 + 45𝑥=

900 lim𝑥→∞

𝑥

lim𝑥→∞

10 + 45lim𝑥→∞

𝑥=

900(∞)

10 + 45(∞)=∞

∞= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

lim𝑥→∞

𝑦 = lim𝑥→∞

900𝑥

10 + 45𝑥=

900𝑥𝑥

10 + 45𝑥𝑥

=900

10𝑥 + 45

=900

10(∞)

+ 45=

900

0 + 45

= 20 ℎ𝑢é𝑠𝑝𝑒𝑑𝑒𝑠

Página | 169

Ejercicio Nº 6 La federación de caza de cierto estadio introduce 50 venados en una determinada región. Se cree que el número de venados crecerá siguiendo el

modelo 𝑵(𝒕) =𝟏𝟎(𝟓+𝟑𝒕)

𝟏+𝟎.𝟎𝟒𝒕 , donde “t” es el tiempo en años.

a) Calcule el número de animales que habar luego de 5 y 10 años.

𝑁(𝑡=5) =10(5 + 3(5))

1 + 0.04(5)=10(5 + 15)

1 + 0.2=200

1.2= 166

𝑁(𝑡=10) =10(5 + 3(10))

1 + 0.04(10)=10(5 + 30)

1 + 0.4=350

1.4= 250

Dentro de 5 años habrá 166 venados y dentro de 10 250 venados.

b) ¿A qué valor tendera la población cuando “t” tiende a infinito?

lim𝑡→∞

10(5 + 3𝑡)

1 + 0.04𝑡=10(5 + 3∞)

1 + 0.04∞=∞

∞= 𝐼

lim𝑡→∞

10(5 + 3𝑡)

1 + 0.04𝑡=lim𝑡→∞

50 + 30𝑡

lim𝑡→∞

1 + 0.04𝑡=lim𝑡→∞

50 + lim𝑡→∞

30𝑡

lim𝑡→∞

1 + lim𝑡→∞

0.04𝑡=

50 + 30𝑡𝑡

1 + 0.04𝑡𝑡

=

50𝑡 +

30𝑡𝑡

1𝑡 +

0.04𝑡𝑡

=

50𝑡 + 30

1𝑡 + 0.04

=

50∞ + 30

1∞+ 0.04

=0 + 30

0 + 0.04=

30

0.04= 750

𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝟏𝟎(𝟓 + 𝟑𝒕)

𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝒕= 𝟕𝟓𝟎

La población de venados tenderá a 750.

Página | 170

Ejercicio Nº 7 Las conclusiones de un estudio, establece que el número de individuos de

una determinada población de una especie protegida vendrá dada por los

próximos años por la función

𝑓(𝑡) =15000𝑡+10000

2𝑡+2 Siendo t el número de años transcurridos se pide:

a) Hallar el tamaño de la población.

𝑓(𝑡) =15000𝑡 + 10000

2𝑡 + 2

=15000(0) + 10000

2(0) + 2

=10000

2= 5000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

Solución: en el inicio de la población de especies protegidas es de 5000 individuos.

b) 𝑠𝑖𝑡 → ∞𝑙𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.

lim𝑡→∞

15000𝑡 + 10000

2𝑡 + 2

=15000(∞)10000

2(∞) + 2

=∞

∞= 𝐼

Aplicar el método del menor exponente.

Página | 171

15000𝑡 + 10000

2𝑡 + 2

=

15000 + 10000𝑡

2𝑡 + 2𝑡

=

15000𝑡𝑡 +

10000𝑡

2𝑡𝑡+2𝑡

=15000 +

10000𝑡

2 +2𝑡

Aplicamos límites𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 → ∞.

lim𝑡→∞

15000 +10000𝑡

2 +2𝑡

=lim𝑡→∞

(15000 +10000𝑡 )

lim𝑡→∞

(2 +2𝑡)

=lim𝑡→∞

15000 + lim𝑡→∞

10000𝑡

lim𝑡→∞

2 + lim𝑡→∞

2𝑡

=15000 +

10000∞

2 +2∞

Página | 172

=15000 + 0

2 + 0

=15000

2= 7500 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠

Gráfica

𝑓(𝑡) =15000+

10000

𝑡

2+2

𝑡

𝑓(𝑡) =15000𝑡+10000

2𝑡+2

CA2-1 Sangoquiza Velasco Alex Gerardo

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